SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik volg je ook niet Eric... Je hebt nu volgens mij de optimale waarden berekent... Of zie ik dat nu verkeerd. Snap niet waarom er gedifferentieerd wordt. En Pieter, waarom edit je al je posts achteraf? behoorlijk irritant 
~Si vis amari, ama~
Een studenten-assistent legde hem als volgt uit:quote:Op woensdag 11 augustus 2010 18:12 schreef Riparius het volgende:
Eric, ik volg je niet. Het antwoord op de opgave zoals die door pieter_R is gepost is 1 ≤ a ≤ 2 als er althans geen aanvullende voorwaarden worden gesteld aan x, uitgezonderd dat dit een reëel getal moet zijn.
2sin²(x) + cos²(x) = a
2(1-cos²(x)) + cos²(x)= a is edited
2 + cos²(x) = a
Aangezien cos²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen -1 en 3 liggen voor een oplossing.
Een andere beredenering:
2sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) + sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) +1 = a
Aangezien sin²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen 0 en 2 liggen?
Wat is nou juist?
[ Bericht 2% gewijzigd door pieter_R op 11-08-2010 19:08:06 ]
Dan hebben beide student-assistenten het toch echt hopeloos fout daar. assistent 1 verknalt het met de juiste gonoimetrische betrekking inpluggen, en assistent 2 maakt de fout door te veronderstellen dat sin2x negatieve waarden aan kan nemen; in het reële getallenstelsel kan dat nl. niet.
@FedExpress: Doordat je de som mbv differentiëren aanpakt bereken je de minimum- en maximumwaarden, en weet je op basis daarvan gelijk dat oplossingen binnen die minimum- en maximumwaarden liggen or daar volledig buiten vallen, naar gelang de som.
[ Bericht 0% gewijzigd door ErictheSwift op 11-08-2010 19:08:39 ]
@FedExpress: Doordat je de som mbv differentiëren aanpakt bereken je de minimum- en maximumwaarden, en weet je op basis daarvan gelijk dat oplossingen binnen die minimum- en maximumwaarden liggen or daar volledig buiten vallen, naar gelang de som.
[ Bericht 0% gewijzigd door ErictheSwift op 11-08-2010 19:08:39 ]
Geen van beide.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 18:55 schreef pieter_R het volgende:
[..]
Een studenten-assistent legde hem als volgt uit:
2sin²(x) + cos²(x) = a
2(1-cos²(x)) = a
2 + cos²(x) = a
Aangezien cos²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen -1 en 3 liggen voor een oplossing.
Een andere beredenering:
2sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) + sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) +1 = a
Aangezien sin²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen 0 en 2 liggen?
Wat is nou juist?
Die student-assistent maakt al meteen een cardinale fout, want 2(1 - cos2(x)) = 2sin2(x).
En in beide redeneringen wordt ten onrechte verondersteld dat sin2(x) alle waarden tussen -1 en 1 zou aannemen, en dat is niet juist, het kwadraat van een reëel getal kan niet negatief zijn. De waarde van sin2(x) ligt op het interval [0, 1]. Zie mijn post hierboven voor de juiste oplossing: 1 ≤ a ≤ 2.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-08-2010 18:55:41 ]
Zie edit in bold. Ik had het fout overgenomen, moest nog +cos²(x) achter. Maar dankje Riparius, ik snap hem nu! 
quote:Op woensdag 11 augustus 2010 18:55 schreef pieter_R het volgende:
[..]
Een studenten-assistent legde hem als volgt uit:
2sin²(x) + cos²(x) = a
2(1-cos²(x)) + cos²(x) = a
2 + cos²(x) = a
Aangezien cos²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen -1 en 3 liggen voor een oplossing.
Een andere beredenering:
2sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) + sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) +1 = a
Aangezien sin²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen 0 en 2 liggen?
Wat is nou juist?
Oh ja, natuurlijk! Thanksquote:Op woensdag 11 augustus 2010 19:01 schreef ErictheSwift het volgende:
@FedExpress: Doordat je de som mbv differentiëren aanpakt bereken je de minimum- en maximumwaarden, en weet je op basis daarvan gelijk dat oplossingen binnen die minimum- en maximumwaarden liggen or daar volledig buiten vallen, naar gelang de som.
~Si vis amari, ama~
Ondanks je correctie in bold is de herleiding nog steeds fout, kijk nog maar eens goed.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 19:06 schreef pieter_R het volgende:
Zie edit in bold. Ik had het fout overgenomen, moest nog +cos²(x) achter. Maar dankje Riparius, ik snap hem nu!
[..]
Ja, 2(1-cos²(x)) is niet gelijk aan 2. Daarom vond ik het ook een raar antwoord van de student-assistent en dat is ook exact de reden waarom ik het hier postte.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 19:11 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ondanks je correctie in bold is de herleiding nog steeds fout, kijk nog maar eens goed.
Maar de som is duidelijk, ik kan weer verder! Bedankt allen.
Nee, dit is niet zo natuurlijk. Door het bepalen van de nulpunten van de afgeleide kun je de waarden berekenen waarvoor een functie een minimum of een maximum bereikt. Maar aangezien je zo locale minima of maxima berekent, bepaal je op die manier in zijn algemeenheid niet het bereik van een functie. Daarom is de redenering van Eric in zijn algemeenheid niet juist, nog even afgezien daarvan dat het gebruik van differentiaalrekening voor de opgave volstrekt overbodig is en waarschijnlijk ook niet de bedoeling is van de opstellers van de opgave.quote:
Kijk nog eens heel goed. We beginnen met het omschrijven van de welbekende Pythagoreaanse uitdrukking:quote:Op woensdag 11 augustus 2010 18:55 schreef pieter_R het volgende:
[..]
Een studenten-assistent legde hem als volgt uit:
2sin²(x) + cos²(x) = a
2(1-cos²(x)) + cos²(x)= a is edited
2 + cos²(x) = a
Aangezien cos²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen -1 en 3 liggen voor een oplossing.
Een andere beredenering:
2sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) + sin²(x) + cos²(x) = a
sin²(x) +1 = a
Aangezien sin²(x) tussen -1 en 1 ligt, moet a tussen 0 en 2 liggen?
Wat is nou juist?
sin²(x) + cos²(x) = 1
cos2x = 1 - sin2x
Vervolgens pluggen de we rechterzijde van de vgl. van de tweede regel in voor cos2 in de oorspronkelijke opgave:
2sin²(x) + cos²(x) = a
2sin²(x) + 1 - sin2x = a
sin²(x) + 1 = a
Zoals ik al eerder heb aangegeven is het niet altijd evident dat je even snel kan redeneren dat de vgl. oplossingen heeft voor a in het interval [b,c] . Dat werkt bij deze som, maar voor bijv. sinx + cosx = a ga je op jouw manier al voor gaas. Dan moet je naar andere goniometrische technieken grijpen, en differentiëren is dan een controlemiddel van onschatbare waarde.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 19:18 schreef Riparius het volgende:
Nee, dit is niet zo natuurlijk. Door het bepalen van de nulpunten van de afgeleide kun je de waarden berekenen waarvoor een functie een minimum of een maximum bereikt. Maar aangezien je zo locale minima of maxima berekent, bepaal je op die manier in zijn algemeenheid niet het bereik van een functie. Daarom is de redenering van Eric in zijn algemeenheid niet juist, nog even afgezien daarvan dat het gebruik van differentiaalrekening voor de opgave volstrekt overbodig is en waarschijnlijk ook niet de bedoeling is van de opstellers van de opgave.
kom es uit die pedant-modus
.
Ik zie dat je moeite hebt om je ongelijk toe te geven, daarom ga je waarschijnlijk ook niet in op de principiële kwestie dat je door het bepalen van (locale) minima en maxima in zijn algemeenheid niet het bereik van een functie kunt bepalen.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 19:34 schreef ErictheSwift het volgende:
[..]
Zoals ik al eerder heb aangegeven is het niet altijd evident dat je even snel kan redeneren dat de vgl. oplossingen heeft voor a in het interval [b,c] . Dat werkt bij deze som, maar voor bijv. sinx + cosx = a ga je op jouw manier al voor gaas. Dan moet je naar andere goniometrische technieken grijpen, en differentiëren is dan een controlemiddel van onschatbare waarde.
kom es uit die pedant-modus
En wat die andere opgave betreft die je nu uit je hoge hoed tovert, die verschilt niet principieel van de opgave waar het hier om ging. In beide gevallen kun je werken met een herleiding middels goniometrische identiteiten.
We hebben:
sin x + cos x = sin x + sin(½π - x) = 2∙sin(¼π)∙cos(x - ¼π) = √2∙cos(x - ¼π),
zodat direct duidelijk is dat moet gelden:
-√2 ≤ a ≤ √2
Maar we zijn hier met goniometrische functies bezig; we maken dus gebruik van handige eigenschappen als beperkt bereik en periodiciteit. Gelieve dan ook de uitleg in de context daarvan te zien.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 19:56 schreef Riparius het volgende:
Ik zie dat je moeite hebt om je ongelijk toe te geven, daarom ga je waarschijnlijk ook niet in op de principiële kwestie dat je door het bepalen van (locale) minima en maxima in zijn algemeenheid niet het bereik van een functie kunt bepalen.
OK, nemen we sinx + 1/sinx . Blind afgaan op alleen gonio kan je voor lelijke verrassingen komen te staan.quote:En wat die andere opgave betreft die je nu uit je hoge hoed tovert, die verschilt niet principieel van de opgave waar het hier om ging. In beide gevallen kun je werken met een herleiding middels goniometrische identiteiten.
We hebben:
sin x + cos x = sin x + sin(½π - x) = 2∙sin(¼π)∙cos(x - ¼π) = √2∙cos(x - ¼π),
zodat direct duidelijk is dat moet gelden:
-√2 ≤ a ≤ √2
nu moet je oplette met het domein, maar deze is ook nog vrij makkelijkquote:Op woensdag 11 augustus 2010 21:03 schreef ErictheSwift het volgende:
[..]
OK, nemen we sinx + 1/sinx . Blind afgaan op alleen gonio kan je voor lelijke verrassingen komen te staan.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Uiteraard; iemand met VWO-wiskunde onder de gordel tovert de oplossingen vrij eenvoudig op papier, maar het is een mooie illustratie van wat er allemaal op je afgevuurd wordt.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 21:46 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
nu moet je opletten met het domein, maar deze is ook nog vrij makkelijk
Ik heb niet het idee dat van pieter_R wordt verwacht dat hij differentiaalrekening moet gebruiken om wat elementaire goniometrische opgaven op te lossen. Ik vraag me ook af of hij wel chocola kan maken van je uitleg, maar dat kan hij alleen zelf beantwoorden.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 21:03 schreef ErictheSwift het volgende:
[..]
Maar we zijn hier met goniometrische functies bezig; we maken dus gebruik van handige eigenschappen als beperkt bereik en periodiciteit. Gelieve dan ook de uitleg in de context daarvan te zien.
[..]
Ga je me nu steeds lastiger functies voorleggen, net zolang totdat ik het bereik niet meer langs elementaire weg kan bepalen? En wat heb je dan aangetoond?quote:OK, nemen we sinx + 1/sinx . Blind afgaan op alleen gonio kan je voor lelijke verrassingen komen te staan.
Het is evident dat | 1/sin x | willekeurig groot kan worden als sin x maar dicht genoeg bij 0 ligt, en dat het teken van 1/sin x zowel positief als negatief kan zijn. Verder heeft de vergelijking t + 1/t = a geen reële oplossingen in t voor | a | < 2 zodat waarden op het open interval (-2,2) niet kunnen worden aangenomen door sin x + 1/sin x. Voor | a | ≥ 2 heeft t + 1/t = a steeds een oplossing op [-1, 1], zodat het duidelijk is dat het bereik van sin x + 1/sinx gelijk is aan ℝ\(-2,2).
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-08-2010 22:18:31 ]
Als je econometrie gaat doen, mag men wel verwachten dat je gonio en differentiëren onder je gordel hebt zitten. Met dat gegeven erbij is het gebruik van differentiaalrekening, zij het wat overkill in dezen, geen gekke gedachte.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 22:00 schreef Riparius het volgende:
Ik heb niet het idee dat van pieter_R wordt verwacht dat hij differentiaalrekening moet gebruiken om wat elementaire goniometrische opgaven op te lossen. Ik vraag me ook af of hij wel chocola kan maken van je uitleg, maar dat kan hij alleen zelf beantwoorden.
Nee hoor, ik wil alleen aantonen dat gebruik van differentiaalrekening zaken makkelijker (te doorgronden) maakt.quote:Ga je me nu steeds lastiger functies voorleggen, net zolang totdat ik het bereik niet meer langs elementaire weg kan bepalen? En wat heb je dan aangetoond?
Het is evident dat | 1/sinx | willekeurig groot kan worden als sin x maar dicht genoeg bij 0 ligt, en dat het teken van 1/sin x zowel positief als negatief kan zijn.
Om jou even te quoten: "Ik vraag me ook af of hij wel chocola kan maken van je uitleg, maar dat kan hij alleen zelf beantwoorden". Ik denk niet dat pieter_R dit in zn hoofd en op papier uitwerkt. Dan kan je beter een aanpak waarvan de kans groot is dat hij er al mee bekend is voorleggen.quote:Verder heeft de vergelijking t + 1/t = a geen reële oplossingen in t voor | a | < 2 zodat waarden op het open interval (-2,2) niet kunnen worden aangenomen door sin x + 1/sin x. Voor | a | ≥ 2 heeft t + 1/t = a steeds een oplossing op [-1, 1], zodat het duidelijk is dat het bereik van sin x + 1/sinx gelijk is aan ℝ\(-2,2).
Dat je voor econometrie differentiaalrekening nodig hebt neem ik direct aan, maar als ik zie dat Pieter zegt voor het eerst met goniometrie bezig te zijn, daar duidelijk al problemen mee heeft, en ook al niet goed overweg blijkt te kunnen met de abc-formule, dat heb ik toch gerede twijfels over zijn kennis van iets gevorderde onderwerpen zoals differentiaalrekening. Voor zo iemand wordt jouw uitleg dan een obscurum per obscurius, zoals ze dat zo mooi zeggen in het Latijn.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 22:30 schreef ErictheSwift het volgende:
[..]
Als je econometrie gaat doen, mag men wel verwachten dat je gonio en differentiëren onder je gordel hebt zitten. Met dat gegeven erbij is het gebruik van differentiaalrekening, zij het wat overkill in dezen, geen gekke gedachte.
[..]
Als ik zie hoe vaak van differentiaalrekening gebruik wordt gemaakt als een soort automatisme, ook als duidelijk is dat de vragensteller niet persé op zoek is naar een oplossing middels differentiaalrekening dan twijfel ik toch sterk of dit de zaken nu inzichtelijker maakt voor de vragenstellers. Van inzicht is vaak geen sprake, alleen van het slaafs toepassen van weliswaar aangeleerde maar onbegrepen of half-begrepen regeltjes.quote:Nee hoor, ik wil alleen aantonen dat gebruik van differentiaalrekening zaken makkelijker (te doorgronden) maakt.
[..]
Pieter, kom er maar in om je oordeel te geven ...quote:Om jou even te quoten: "Ik vraag me ook af of hij wel chocola kan maken van je uitleg, maar dat kan hij alleen zelf beantwoorden". Ik denk niet dat pieter_R dit in z'n hoofd en op papier uitwerkt. Dan kan je beter een aanpak waarvan de kans groot is dat hij er al mee bekend is voorleggen.
Ik heb snel kort jullie discussie doorgenomen en nee, ik kon de uitleg van ErictheSwift waarbij hij gebruik maakte van differentiaalrekening om tot die oplossing te komen niet volgen. Niet zo heel vreemd voor iemand die zich net pas voor het eerst aan het verdiepen is in goniometrie (drie jaar geleden wiskunde A12 gehad op VWO-niveau). Ik wil niet één iemand 'gelijk' geven, maar de uitleg van Riparius was inderdaad makkelijk te volgen.
En trouwens, ik weet hoe ik gebruik moet maken van de ABC-formule. Het is alleen zo dat wanneer je al dagenlang de hele dag bezig bent om in een razend tempo door veel nieuwe stof te werken er af en toe wat vergissingen ontstaan. 
Vrijdag heb ik m'n toets, ik zal dan meteen laten weten of ik had gehaald heb. Als ik ondertussen nog vragen heb dan zal ik jullie hiervan op de hoogte brengen. Alvast bedankt voor jullie hulp in ieder geval!
En trouwens, ik weet hoe ik gebruik moet maken van de ABC-formule.
Het is alleen zo dat wanneer je al dagenlang de hele dag bezig bent om in een razend tempo door veel nieuwe stof te werken er af en toe wat vergissingen ontstaan. Vrijdag heb ik m'n toets, ik zal dan meteen laten weten of ik had gehaald heb. Als ik ondertussen nog vragen heb dan zal ik jullie hiervan op de hoogte brengen. Alvast bedankt voor jullie hulp in ieder geval!
Econometristen doen niks met goniometrie. Alleen bij wat algemene theorie over differentiaalvergelijkingen is het handig als je de afgeleide van de sinusfunctie kent Daar staat tegenover dat ze wel in staat zijn de uitleg van ErictheSwift te volgen.
Heck, economen kunnen dit ook volgen.
Daar staat tegenover dat ze wel in staat zijn de uitleg van ErictheSwift te volgen.Heck, economen kunnen dit ook volgen.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Wat bedoel je hiermee duidelijk te maken? De discussie ging over het feit of ik EricktheSwift zijn uitleg kon volgen, waarbij duidelijk was dat ik voor het eerst met goniometrie bezig ben (wiskunde A12 achtergrond). Dan lijkt het me vrij nutteloos om mij met doelgroepen als economen en econometristen te vergelijken.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 23:40 schreef GlowMouse het volgende:
Econometristen doen niks met goniometrie. Alleen bij wat algemene theorie over differentiaalvergelijkingen is het handig als je de afgeleide van de sinusfunctie kent
Heck, economen kunnen dit ook volgen.
Het was een reactie op Riparius. De aanpak van EriktheSwift heeft niks met goniometrie te maken.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Toets gehaald.quote:Op woensdag 11 augustus 2010 23:35 schreef pieter_R het volgende:
Vrijdag heb ik m'n toets, ik zal dan meteen laten weten of ik had gehaald heb. Als ik ondertussen nog vragen heb dan zal ik jullie hiervan op de hoogte brengen. Alvast bedankt voor jullie hulp in ieder geval!
