SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
X is een stochast; een functie op een kansruimte waar een reëel getal uitkomt. Getallen kun je optellen.
Als X~BIN(1,1/6) en Y~BIN(1,1/6) dan is X+Y het aantal keren zes als je twee keer met een dobbelsteen gooit.
Je kunt de convolutie nemen; P(X+Y = x) = sum{k=0 t/m x} P(X=k en Y=x-k}. Maar bij verdelingen als bin en nbin kun je beter beredeneren.
Als X~BIN(1,1/6) en Y~BIN(1,1/6) dan is X+Y het aantal keren zes als je twee keer met een dobbelsteen gooit.
Je kunt de convolutie nemen; P(X+Y = x) = sum{k=0 t/m x} P(X=k en Y=x-k}. Maar bij verdelingen als bin en nbin kun je beter beredeneren.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Dus, in dit geval X~nbin(n1p), Y~nbin(n2, p) - X, Y het aantal so herhalingen om resp. n1, n2 successen te behalen. Dan betekent X+Y het aantal so herhalingen om n1+n2 successen te hebben, en dus X+Y~nbin(n1+n2, p)?
[ Bericht 1% gewijzigd door Hanneke12345 op 29-06-2010 02:23:21 ]
[ Bericht 1% gewijzigd door Hanneke12345 op 29-06-2010 02:23:21 ]
En voor de variantie (ik ben die pagina kwijt in m'n syllabus, en kan de syllabus ook niet online vinden ;x). Wikipedia zegt dat zowel E(X-EX)2 als EX2-(EX)2 gebruikt kunnen worden, maar welke is ook alweer gebruikelijker?
Bij negatief-binomiaal zegt wikipedia dat EX = n/p, hoe komen ze hier precies aan? M'n syllabus zegt wel dat als P(X in S) = 1 met S eindig, dan is de verwachting EX = Som{x in S} xP(X=x), maar dat is hier (bij nbin) niet van toepassing, toch?
Bij negatief-binomiaal zegt wikipedia dat EX = n/p, hoe komen ze hier precies aan? M'n syllabus zegt wel dat als P(X in S) = 1 met S eindig, dan is de verwachting EX = Som{x in S} xP(X=x), maar dat is hier (bij nbin) niet van toepassing, toch?
Weten jullie misschien een leuk wiskunde leesboek om de vakantie mee door te komen? (niveau: ik ga nu naar 2e jaar wiskunde aan de uni)
Die tweede en aftelbaarheid ipv eindigheid is voldoende.quote:Op maandag 28 juni 2010 12:56 schreef Hanneke12345 het volgende:
En voor de variantie (ik ben die pagina kwijt in m'n syllabus, en kan de syllabus ook niet online vinden ;x). Wikipedia zegt dat zowel E(X-EX)2 als EX2-(EX)2 gebruikt kunnen worden, maar welke is ook alweer gebruikelijker?
Bij negatief-binomiaal zegt wikipedia dat EX = n/p, hoe komen ze hier precies aan? M'n syllabus zegt wel dat als P(X in S) = 1 met S eindig, dan is de verwachting EX = Som{x in S} xP(X=x), maar dat is hier (bij nbin) niet van toepassing, toch?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik faal echt heel hard in deze opdrachten.
Homogene of uniforme verdeling: (toch even latex maar ;x)
Ik snap niet goed hoe ze aan de FX komen. Volgens mij is fX altijd constant (0 als x niet uit (a,b), 1/(b-a) als x in (a,b) ).
Verder is in de vraag het interval [-1,1], een gesloten of open interval maakt denk ik weinig uit? (Als in; ik kan net als vaak bij analyse gebeurd zeggen "uniform op [-1, 1] dus zeker op (-1, 1) en dan daarmee verder gaan)
Homogene of uniforme verdeling: (toch even latex maar ;x)
Ik snap niet goed hoe ze aan de FX komen. Volgens mij is fX altijd constant (0 als x niet uit (a,b), 1/(b-a) als x in (a,b) ).
Verder is in de vraag het interval [-1,1], een gesloten of open interval maakt denk ik weinig uit? (Als in; ik kan net als vaak bij analyse gebeurd zeggen "uniform op [-1, 1] dus zeker op (-1, 1) en dan daarmee verder gaan)
Dat is niet constant, aangezien hij 2 verschillende waarden kan aannemen. Teken eens een grafiekje zou ik zeggen.quote:Op maandag 28 juni 2010 14:30 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik faal echt heel hard in deze opdrachten.
Homogene of uniforme verdeling: (toch even latex maar ;x)
[ afbeelding ]
Ik snap niet goed hoe ze aan de FX komen. Volgens mij is fX altijd constant (0 als x niet uit (a,b), 1/(b-a) als x in (a,b) ).
Oh, ja ik zie 't al. Ik zat omgekeerd te denken (FX = d/dx fX ipv andersom). En bovendien moet het natuurlijk voldoen aan de limieten naar 0 en 1.
Ik moet nu de verdelingsfunctie bepalen van Y = sqrt(1+Z) en Z is uniform op [-1, 1]. Moet dan als Y = k dus sqrt(1+Z) = k dus Z = k2+1?
EX als X Pascal(p) verdeeld is snap ik toch niet helemaal
EX = som{k=1 tot oneindig}k(1-p)k-1p = p lim som {k = 1 tot K} - d/dp(1-p)k
Dat p ervoor kan worden gezet snap ik, dat je van een som naar oneindig een limiet maakt ook. Maar de -d/dp niet. Als ik het goed heb moet -d/dp dus gelijk zijn aan k/(1-p). Maar verder kom ik niet.
Ik moet nu de verdelingsfunctie bepalen van Y = sqrt(1+Z) en Z is uniform op [-1, 1]. Moet dan als Y = k dus sqrt(1+Z) = k dus Z = k2+1?
EX als X Pascal(p) verdeeld is snap ik toch niet helemaal
EX = som{k=1 tot oneindig}k(1-p)k-1p = p lim som {k = 1 tot K} - d/dp(1-p)k
Dat p ervoor kan worden gezet snap ik, dat je van een som naar oneindig een limiet maakt ook. Maar de -d/dp niet. Als ik het goed heb moet -d/dp dus gelijk zijn aan k/(1-p). Maar verder kom ik niet.
Klopt dan dit?
Althans, als Z uniform op (-1, 1) zou zijn?
En voor [-1, 1] moet ik denk ik alleen wat groter dan / kleiner dan veranderen in groter of gelijk etc?
Waarom kom ik niet uit op de goede variantie voor X(~nbin(n, p)?
EX = n/p
EX2 = n2/p
EX2 - (EX)2 = (n2p - n2) / p2 = (n2(p-1))/p2
Moet zijn: (np-n)/p2.
Ik heb dus een n teveel, als ik het goed zie.
Althans, als Z uniform op (-1, 1) zou zijn?
En voor [-1, 1] moet ik denk ik alleen wat groter dan / kleiner dan veranderen in groter of gelijk etc?
Waarom kom ik niet uit op de goede variantie voor X(~nbin(n, p)?
EX = n/p
EX2 = n2/p
EX2 - (EX)2 = (n2p - n2) / p2 = (n2(p-1))/p2
Moet zijn: (np-n)/p2.
Ik heb dus een n teveel, als ik het goed zie.
Er gaat wat mis in je plaatje. Als x˛<0.25 dan -0.5<x<0.5. Jij meldt nu alleen de bovengrens. Dat gaat een aantal keer fout. En de laatste stap is echt fout; nu bij x=1.1 krijg je een raar resultaat.
En als EX = n/p dan zal je EX˛ wel fout zijn.
[ Bericht 16% gewijzigd door GlowMouse op 28-06-2010 21:54:42 ]
En als EX = n/p dan zal je EX˛ wel fout zijn.
[ Bericht 16% gewijzigd door GlowMouse op 28-06-2010 21:54:42 ]
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik begin me steeds stommer te voelen 
Waar komt die wortel-half nu precies vandaan? En mag FX zomaar "gaten" hebben? (Als in: er is nu geen x zodat FX(x) is tussen 0 en 0.25).
Wat moet ik hier precies doen voor EY? Ik weet .
Maar is die laatste integraal niet oneindig?
Die ander - is het niet zo dat als X is het aantal herhalingen dat je moet doen om n successen te krijgen, dan is X^2 het aantal herhalingen voor n^2 successen en dus X^2 ~ nbin(n^2, p)?
Ik probeer via Pascalverdeling op de verwachting voor de negatief-binomiaal uit te komen, maar het lukt me echt niet. Wat moet ik doen met dingen als som{k=1 tot oneindig} (k-1)-boven-(n-1)?
God, dit zijn alleen nog maar de eerste twee sommen
Waar komt die wortel-half nu precies vandaan? En mag FX zomaar "gaten" hebben? (Als in: er is nu geen x zodat FX(x) is tussen 0 en 0.25). Wat moet ik hier precies doen voor EY? Ik weet .
Maar is die laatste integraal niet oneindig?
Die ander - is het niet zo dat als X is het aantal herhalingen dat je moet doen om n successen te krijgen, dan is X^2 het aantal herhalingen voor n^2 successen en dus X^2 ~ nbin(n^2, p)?
Ik probeer via Pascalverdeling op de verwachting voor de negatief-binomiaal uit te komen, maar het lukt me echt niet. Wat moet ik doen met dingen als som{k=1 tot oneindig} (k-1)-boven-(n-1)?
God, dit zijn alleen nog maar de eerste twee sommen
fX is de afgeleide van FX. En die absoluutstrepen horen er ook niet te staan.quote:Op dinsdag 29 juni 2010 02:22 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik begin me steeds stommer te voelen
Wat moet ik hier precies doen voor EY? Ik weet [ afbeelding ].
Maar is die laatste integraal niet oneindig?
Nee, 't is het kwadraat van het aantal herhalingen voor n successen.quote:Op dinsdag 29 juni 2010 02:22 schreef Hanneke12345 het volgende:
Die ander - is het niet zo dat als X is het aantal herhalingen dat je moet doen om n successen te krijgen, dan is X^2 het aantal herhalingen voor n^2 successen en dus X^2 ~ nbin(n^2, p)?
FX is een (niet-dalende) functie van R naar [0,1].quote:Op dinsdag 29 juni 2010 02:22 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik begin me steeds stommer te voelen
Ik neem aan dat daar nog een factor xk oid bij zit. Tja, dat manipuleren met reeksen moet je een beetje in de vingers hebben. In dit geval volstaat het denk ik om de reeks te schrijven als een zoveelste afgeleide van een andere reeks. Vaak kun je ook gebruiken dat n boven k de k-de danwel (n-k)-de coefficient in (1+x)n is, of zelfs het residu van (1+z)n/zk+1 bij z=0, en zo zijn er nog wel een paar andere truuks.quote:Op dinsdag 29 juni 2010 02:22 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik probeer via Pascalverdeling op de verwachting voor de negatief-binomiaal uit te komen, maar het lukt me echt niet. Wat moet ik doen met dingen als som{k=1 tot oneindig} (k-1)-boven-(n-1)?
Het begint langzaam iets helderder te worden allemaal. ;x (Dat wordt tijd )
Laatste keer dan nog;
Kansdichtheid van X en Y wordt gegeven door: fX,Y(x,y) = cx^2y^2 als x in [-1, 1], y in [-1, x]
Teken in R^2 het gebied waarop fX, Y(x,y) > 0.
- Is dat gewoon in het x,y-vlak en dan een soort driehoek met hoekpunten (-1, -1) (1,1) en (1, -1), maar dan zonder punt (0,0)?
Bepaal C
- Hoe kan ik met deze informatie C bepalen?
Bepaal de dichtheid en verdelingsfunctie van X
- Hoe kan ik hieruit X halen?
Ik ben bang dat deze opgave werkt met dubbelintegralen, klopt mijn vermeoden?
)Laatste keer dan nog;
Hoe dan, en waarom kan ik bij X+Y wel gewoon zeggen nbin(n_1+n_2,p)? Ik neem aan dat 't uiteindelijk toch op dezelfde manier werkt?quote:Op dinsdag 29 juni 2010 08:49 schreef thabit het volgende:
[..]
Nee, 't is het kwadraat van het aantal herhalingen voor n successen.
Kansdichtheid van X en Y wordt gegeven door: fX,Y(x,y) = cx^2y^2 als x in [-1, 1], y in [-1, x]
Teken in R^2 het gebied waarop fX, Y(x,y) > 0.
- Is dat gewoon in het x,y-vlak en dan een soort driehoek met hoekpunten (-1, -1) (1,1) en (1, -1), maar dan zonder punt (0,0)?
Bepaal C
- Hoe kan ik met deze informatie C bepalen?
Bepaal de dichtheid en verdelingsfunctie van X
- Hoe kan ik hieruit X halen?
Ik ben bang dat deze opgave werkt met dubbelintegralen, klopt mijn vermeoden?
Dat dat zo werkt in dit geval, dat is gewoon toeval. Het werkt zeg maar niet per definitie zo, maar het komt in dit speciale geval zo uit.quote:Op dinsdag 29 juni 2010 16:28 schreef Hanneke12345 het volgende:
Het begint langzaam iets helderder te worden allemaal. ;x (Dat wordt tijd
Laatste keer dan nog;
[..]
Waarom kan ik bij X+Y wel gewoon zeggen nbin(n_1+n_2, p)?
Ja.quote:Op dinsdag 29 juni 2010 16:28 schreef Hanneke12345 het volgende:
Kansdichtheid van X en Y wordt gegeven door: fX,Y(x,y) = cx^2y^2 als x in [-1, 1], y in [-1, x]
Teken in R^2 het gebied waarop fX, Y(x,y) > 0.
- Is dat gewoon in het x,y-vlak en dan een soort driehoek met hoekpunten (-1, -1) (1,1) en (1, -1), maar dan zonder punt (0,0)?
De integraal van fX,Y over R2 moet 1 zijn.quote:Bepaal C
- Hoe kan ik met deze informatie C bepalen?
De dichtheid is een gevaarlijk begrip want een kansverdeling hoeft geen dichtheid te hebben en als-ie dat wel heeft is de dichtheid iha niet uniek (de dichtheid kun je bijvoorbeeld in 1 punt veranderen, dan verandert de verdeling daarmee niet). Ik zou dus beginnen met de verdeling, die kun je schrijven als een integraal.quote:Bepaal de dichtheid en verdelingsfunctie van X
- Hoe kan ik hieruit X halen?
Jaquote:Ik ben bang dat deze opgave werkt met dubbelintegralen, klopt mijn vermeoden?
.
Hoeveel driehoeken kun je vinden in de complete graaf van zeg 6 punten?
Ik dacht zelf aan het volgende:
Je hebt (6*5 /2 =) 15 verschillende kanten. Met elk van die 15 kanten kun je (6-2=) 4 verschillende driehoeken maken. Dus zodoende heb je 60 driehoeken, maar omdat je nu alles 3 voudig telt, deel je door drie op om 20 te komen.
En algemeen voor Kn: n(n-1)/2 * (n-2)/3.
Klopt dat?
Ik dacht zelf aan het volgende:
Je hebt (6*5 /2 =) 15 verschillende kanten. Met elk van die 15 kanten kun je (6-2=) 4 verschillende driehoeken maken. Dus zodoende heb je 60 driehoeken, maar omdat je nu alles 3 voudig telt, deel je door drie op om 20 te komen.
En algemeen voor Kn: n(n-1)/2 * (n-2)/3.
Klopt dat?
⎝⏠⏝⏠⎠
