[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

[kansruimtes]
Hoe ziet er nou precies uit als een interval is?

En "Zij een kansruimte en laat . Geldt ?"
Als je als = [0, 1) en A = 0,5 dan P(A) = 0 (als je kijkt naar bijvoorbeeld een schijf waar een wijzer op ronddraait oid). Maar ik weet niet zeker of

-

[ Bericht 100% gewijzigd door YoshiBignose op 20-05-2010 20:09:40 ]

[projectieve meetkunde] Ik snap echt heel weinig van de duale ruimte.
Een ruimte met lineaire functies, oké, kan. Maar dan krijg je de bases, en raak ik al in de war,
(http://i165.photobucket.com/albums/u55/Hanneke12345/Untitled-5.png?t=1274382824)
Hoe ziet dit er nou uit dan? Stel je hebt het gewoon over de R³ oid. Dan heb je een punt (x₀ : x₁ : x₂). Maar hoe dan verder?

Het aardige en tegelijkertijd verraderlijke aan R^3 is dat je in Cartesische coordinaten qua componenten geen onderscheid hebt tussen vectoren en duale vectoren. Da's ook de reden waarom je bij een vak vectoranalyse vaak dit concept eerst niet krijgt. De reden is dat de metriek in dit specifieke geval gelijk is aan de Kronecker delta.

Qua visualizatie heb je misschien wat aan deze PDF. Een boek wat ook nogal uitgebreid op dit soort zaken ingaat is "Gravitation" van Misner,Thorne en Wheeler. Een boek over algemene relativiteit, maar met een hele intuïtieve aanpak van de wiskunde erachter; dit komt ergens in de eerste hoofdstukken aan bod.

Persoonlijk ben ik niet zo van de visualizatie van dit soort zaken; ik gebruik alleen de definitie met betrekking tot de bases die ook in jouw PNGtje staan

In wat voor vectorruimtes werkt het dan wel?

En ik weet nog toen die definitie van annihilator op het bord gezet werd dat heel veel mensen het opeens heel duidelijk werd waarom die dimensie veranderde, maar ik zie niet hoe dit komt. ;x

Vectoren leven formeel gezien in de raakruimte van een variëteit, dus formeel gezien zijn de vectorruimtes de raakruimte en de duale raakruimte. Voor vlakke variëteiten zoals R^3 heb je dit niet, aangezien je deze variëiteit kunt identificeren met de gehele raakruimte. Dus laten we voor het gemak even aannemen dat jouw vectoren gewoon in R^3 leven.

Je kent waarschijnlijk het inproduct op R3 wel. Je kunt dit op twee manieren bekijken: een product tussen twee vectoren via een metriek, of een duale vector die op een vector inwerkt (of andersom). Jij bent geïnteresseerd in de tweede opvatting.

Voor twee vector x en y heb je voor het inproduct waarschijnlijk geleerd dat, in componenten,

x*y = x¹y¹+x²y²+x³y³

In jouw geval beschouw je de ene (bijvoorbeeld x) als de duale vector die inwerkt op de vector y:

x(y) = x¹y₁+x²y₂+x³y₃

De boven- en benedenindices geven aan dat het verschillende objecten zijn. De duale ruimte wordt dan opgespannen door 3 vectoren x^{i} met i=1,2,3. Waarbij {i} aangeeft dat het geen componenten zijn maar vectoren, maar hele vectoren an sich! Formeel zijn dit functionalen van R3 naar R.

Dan kun je bekijken of er duale vectoren x zijn zodanig dat x(y)=0. De ruimte die deze vectoren opspannen is de annihilatorruimte. In R3 in cartesische coordinaten geeft dit de notie van "loodrecht"; Als ik een twee dimensionale deelruimte M heb van R3, dan zullen alle vectoren loodrecht op deze M 0 geven als ik het inproduct neem met vectoren die in M liggen.

Nogmaals, dit is een visualizatie. Want nogmaals: vectoren en duale vectoren leven in verschillende ruimtes! Echter, voor R3 in Cartesische coordinaten valt het onderscheid tussen vectoren en duale vectoren weg omdat de componenten exact gelijk aan elkaar zijn. Fysici zijn dan ook geneigd om deze objecten "als hetzelfde" te beschouwen omdat ze vaak met componenten werken, maar wiskundig is dit natuurlijk onjuist.

Misschien ken je de gradient van een functie. Bij een vak vectoranalyse leer je vaak dat de gradient van een functie een vector oplevert. Strikt genomen is dit verkeerd; het is een duale vector, wat je zelf kunt checken door een coordinatentransformatie uit te voeren. Echter, in R3 in Cartesische coordinaten "zie" je dit niet. Maar als je overgaat op bijvoorbeeld bolcoordinaten zal dit verschil er zeker zijn, en ook in gekromde ruimtes!

Nu wordt al opgemerkt in je tekst dat zo'n ruimte en zijn duale ruimte isomorf zijn. Het isomorfisme is precies die metriek die ik eerder noemde; componenten van een vector kun je afbeelden op componenten van een een duale vector via de metriek.

Hoop dat je hier wat aan hebt. Ik heb een tijdje geleden over dit soort zaken een setje lecturenotes geschreven waar dit ook wordt behandeld, dus mocht je interesse hebben dan PM je je e-mail adres maar

Over die basis waar je van in de war raakte:

Stel, ik heb een vectorruimte V met basis e_{i} en de duale vectorruimte V^* opgespannen door de basis e^{i}. Ik schrijf met beneden- en bovenindices om aan te geven dat het echt twee verschillende objecten zijn, maar dit is natuurlijk volledig willekeurig en slechts notatie.

Dat de twee ruimtes duaal zijn betekent per definitie:

e^{i}(e_{k}) = e_{i}(e^{k}) = dⁱ_k

waarbij d de Kronecker delta is.

Als ik nu een vector x in V heb, en een vector y in V^*, dan kan ik deze ontbinden in deze bases als volgt:

x = xⁱ e_{i}

y = y_k e^{k}

waarbij je over twee dezelfde indices hoog en laag sommeert. Nu bedenk je dat x en y lineaire objecten zijn. Als ik met x op y inwerk krijg ik dus

x(y) = x = xⁱ e_{i} ( y_k e^{k})
= xⁱ y_j e_{k}(e^{k}) = xⁱ y_i,

gesommeerd over i.

Had het beter in LaTeX kunnen doen, hoop dat het enigszins duidelijk is zo

[ Bericht 2% gewijzigd door Haushofer op 21-05-2010 10:28:48 ]

Haushofer je haalt er allemaal structuren bij die niet nodig zijn. Een willekeurige vectorruimte is niet de raakruimte van een varieteit, en de duale kun ja altijd definieeren als alle lineaire functies over de vectorruimte.

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 19:13 schreef ijsklont het volgende:
Haushofer je haalt er allemaal structuren bij die niet nodig zijn. Een willekeurige vectorruimte is niet de raakruimte van een varieteit, en de duale kun ja altijd definieeren als alle lineaire functies over de vectorruimte.

Waar beweer ik anders dan?

Als je het begin van m'n post weghaalt, dan valt het toch wel mee met die extra structuren? Ik vind zelf een klein beetje referentie altijd wel fijn, maar misschien dat andere mensen dat als teveel uitwijding opvatten

[ Bericht 24% gewijzigd door Haushofer op 21-05-2010 21:10:39 ]

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 21:03 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Waar beweer ik anders dan?

Als je het begin van m'n post weghaalt, dan valt het toch wel mee met die extra structuren? Ik vind zelf een klein beetje referentie altijd wel fijn, maar misschien dat andere mensen dat als teveel uitwijding opvatten

Ik vatte je eerste paragraaf in ieder geval zo op. Persoonlijk vind ik het prettiger om zo min mogelijk axioma's te gebruiken. Het eerste stuk maakt het alleen maar duidelijker als je wat ervaring hebt met differentiaalmeetkunde. Maar goed, het is natuurlijk ook een kwestie van smaak.

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 21:24 schreef ijsklont het volgende:

[..]

Ik vatte je eerste paragraaf in ieder geval zo op. Persoonlijk vind ik het prettiger om zo min mogelijk axioma's te gebruiken. Het eerste stuk maakt het alleen maar duidelijker als je wat ervaring hebt met differentiaalmeetkunde. Maar goed, het is natuurlijk ook een kwestie van smaak.

Ja, ik vind het zelf een prachtig onderwerp, dus misschien ben ik wat te uitgeweid Maar ik vatte de vraag op alsof ze benieuwd was naar het grotere plaatje; in de link die ze aangaf stond de definitie omtrent dualiteit al.

Differentiaalmeetkunde is best tof.

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 09:53 schreef Haushofer het volgende:
<knip>

Het tentamen is inmiddels al geweest, dus de urgentie om dit te snappen is iets minder, maar ik ga (na het laatste tentamen) dit nog wel even lezen en m'n best doen om 't te begrijpen. Bedankt voor de moeite alvast


Over analyse:
Stelling: als f is gedefinieerd op een open interval die x₀ bevat n f bereikt z'n maximum (of minimum) op x₀ en f is differentieerbaar op x₀, dan geldt f'(x₀)=0.
"Assume first that f'(x₀)>0, since there exists delta > 0 such that en
"

Ik snap niet zo goed hoe ze hierbij komen. En wat ze doen met die a en b (dat die bewering waar is, is neem ik aan gewoon omdat de afgeleide groter is dan 0, en de functie dus stijgend is? Hoewel dat als delta gro(o)t(er) is dus niet meer waar is dan...)

[ Bericht 0% gewijzigd door Hanneke12345 op 23-05-2010 14:41:36 (Typfouten, ik kan niet typen op een laptop ) ]

quote:

Op zondag 23 mei 2010 14:16 schreef Hanneke12345 het volgende:

[..]

Het tentamen is inmiddels al geweest, dus de urgentie om dit te snappen is iets minder, maar ik ga (na het laatste tentamen) dit nog wel even lezen en m'n best doen om 't te begrijpen. Bedankt voor de moeite alvast


Over analyse:
Stelling: als f is gedefinieerd op een open interval die x₀ bevat n f bereikt z'n maximum (of minimum) op x₀ en f is op x₀differentieerbaar, dan geldt f'(x₀0.
"Assume first that f'(x₀)>0, since [ afbeelding ] there exists delta > 0 such that [ afbeelding ] en
[ afbeelding ]"

Ik snap niet zo goed hoe ze hierbij komen. En wat ze doen met die a en b (dat die bewering waar is, is neem ik aan gewoon omdat de afgeleide groter is dan 0, en de functie dus stijgend is? Hoewel dat als delta gro(o)t(er) is dus niet meer waar is dan...)

Je post is wat verwarrend (en LaTex is niet altijd een pré) maar wat ze bedoelen te zeggen is dat je aan de hand van de definitie van de afgeleide (en de ε,δ definitie van een limiet) kunt aantonen dat als een functie f differentieerbaar is op een open interval (a,b) en een maximum of minimum bereikt voor een waarde x₀ op dat interval, dat dan geldt f'(x₀) = 0. Dit is eenvoudig aan te tonen door te laten zien dat de aannames f'(x₀) > 0 en f'(x₀) < 0 beide tot een tegenstrijdigheid voeren, zodat alleen f'(x₀) = 0 overblijft.

quote:

Op zondag 23 mei 2010 14:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je post is wat verwarrend (en LaTex is niet altijd een pré) maar wat ze bedoelen te zeggen is dat je aan de hand van de definitie van de afgeleide (en de ε,δ definitie van een limiet) kunt aantonen dat als een functie f differentieerbaar is op een open interval (a,b) en een maximum of minimum bereikt voor een waarde x₀ op dat interval, dat dan geldt f'(x₀) = 0. Dit is eenvoudig aan te tonen door te laten zien dat de aannames f'(x₀) > 0 en f'(x₀) < 0 beide tot een tegenstrijdigheid voeren, zodat alleen f'(x₀) = 0 overblijft.

Met breuken en griekse letters ben ik al snel geneigd latex te gebruiken.

Dat ze die stelling proberen te bewijzen met tegenspraken was me duidelijk. vooral om de implicatie
En ik vraag me af wat ze met het feit doen dat a < x₀-d < x₀+d < b.

quote:

Op zondag 23 mei 2010 14:40 schreef Hanneke12345 het volgende:

[..]

Met breuken en griekse letters ben ik al snel geneigd latex te gebruiken.

Dat ze die stelling proberen te bewijzen met tegenspraken was me duidelijk. vooral om de implicatie [ afbeelding ]
En ik vraag me af wat ze met het feit doen dat a < x₀-d < x₀+d < b.

Als je aanneemt dat f'(x₀) > 0 dan kun je een omgeving van x₀ (minus x₀ zelf) kiezen waarin het differentiequotiënt (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) positief is, en dat is strijdig met de aanname dat f bij x₀ een maximum of minimum heeft. Maar deze omgeving (x₀-δ, x₀+δ) van x₀ moet wel binnen het gegeven interval (a,b) liggen, dus

a < x₀ - δ < x₀ + δ < b