SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Volgens mij is het ook niet noodzakelijk, maar meer om vertrouwd te raken met goniometrische functies. Maar ik zou dus ook een functie als f(x)= sin^2 (3x) gewoon volgens de productregel kunnen integreren/differntieren ?quote:Op maandag 1 maart 2010 15:01 schreef Riparius het volgende:
[..]
Leg eens uit waarom je de functie hierboven überhaupt wil omschrijven. Kennelijk om het jezelf wat makkelijker te maken bij het differentiëren, maar dat doe je dan alsnog fout. Het is niet nodig deze functie om te schrijven om de afgeleide ervan te bepalen. Bij integreren daarentegen kunnen goniometrische identiteiten goede diensten bewijzen, bijvoorbeeld om een integrand die een rationale functie is van sin x, cos x en tan x om te zetten in een rationale functie van t via de substitutie t = tan ½x.
Differentiëren is eenvoudig m.b.v. (tweemaal!) de kettingregel, maar integreren van iets als f(x) = sin2(3x) is (uit het blote hoofd) niet zo eenvoudig. Maar het kwadraat van een sinus of cosinus kun je eenvoudig omzetten in de cosinus van de dubbele hoek en dan kun je het wel weer eenvoudig integreren.quote:Op maandag 1 maart 2010 16:55 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Volgens mij is het ook niet noodzakelijk, maar meer om vertrouwd te raken met goniometrische functies. Maar ik zou dus ook een functie als f(x)= sin^2 (3x) gewoon volgens de productregel kunnen integreren/differntieren ?
Dus bij primitiveren wel gebruik maken van de identiteiten?quote:Op maandag 1 maart 2010 17:04 schreef Riparius het volgende:
[..]
Differentiëren is eenvoudig m.b.v. (tweemaal!) de kettingregel, maar integreren van iets als f(x) = sin2(3x) is (uit het blote hoofd) niet zo eenvoudig. Maar het kwadraat van een sinus of cosinus kun je eenvoudig omzetten in de cosinus van de dubbele hoek en dan kun je het wel weer eenvoudig integreren.
Dan zit er niks anders op dan meer oefenen.
Tja, ach, de voornaamste goniometrische identiteiten zou je gewoon uit het hoofd moeten kennen. Als je dat niet lukt, zorg ervoor dat je dan in ieder geval de somformules voor cos(α+β) en sin(α+β) wel uit het blote hoofd kent, aangezien je de meeste andere identiteiten daar gemakkelijk uit af kunt leiden. Voor de cosinus van de dubbele hoek zijn er drie formules die vaak van pas komen, als volgt:quote:Op maandag 1 maart 2010 17:18 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Dus bij primitiveren wel gebruik maken van de identiteiten?
Dan zit er niks anders op dan meer oefenen.
cos 2α = cos2α - sin2α
cos 2α = 2cos2α - 1
cos 2α = 1 - 2sin2α
Uit de tweede en derde van deze formules volgt direct hoe je een kwadraat van een cosinus of sinus om kunt zetten in de cosinus van de dubbele hoek:
cos2α = ½(1 + cos 2α)
sin2α = ½(1 - cos 2α)
Zo kan ik direct zeggen dat f(x) = sin23x = ½(1 - cos 6x), zodat een primitieve van deze functie is: F(x) = ½x - (1/12)∙sin 6x.
Complexe functies kun je ook gebruiken bij het vinden van goniometrische relaties.
verkapte tvp overigens.
verkapte tvp overigens.
kloep kloep
Ik zal het zo proberen te onthouden en er nog wat mee oefenen.quote:Op maandag 1 maart 2010 17:34 schreef Riparius het volgende:
[..]
Tja, ach, de voornaamste goniometrische identiteiten zou je gewoon uit het hoofd moeten kennen. Als je dat niet lukt, zorg ervoor dat je dan in ieder geval de somformules voor cos(α+β) en sin(α+β) wel uit het blote hoofd kent, aangezien je de meeste andere identiteiten daar gemakkelijk uit af kunt leiden. Voor de cosinus van de dubbele hoek zijn er drie formules die vaak van pas komen, als volgt:
cos 2α = cos2α - sin2α
cos 2α = 2cos2α - 1
cos 2α = 1 - 2sin2α
Uit de tweede en derde van deze formules volgt direct hoe je een kwadraat van een cosinus of sinus om kunt zetten in de cosinus van de dubbele hoek:
cos2α = ½(1 + cos 2α)
sin2α = ½(1 - cos 2α)
Zo kan ik direct zeggen dat f(x) = sin23x = ½(1 - cos 6x), zodat een primitieve van deze functie is: F(x) = ½x - (1/12)∙sin 6x.
In ieder geval bedankt voor je hulp
!
Dat is waar. Als je begrijpt dat:quote:Op maandag 1 maart 2010 17:55 schreef Borizzz het volgende:
Complexe functies kun je ook gebruiken bij het vinden van goniometrische relaties.
verkapte tvp overigens.
cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β)
dan hoef je zelfs de somformules voor cos(α+β) en sin(α+β) niet uit het blote hoofd te weten. Maar ik heb het idee dat Siddartha daar nog niet aan toe is.
Klopt, ik heb geen idee waar het over gaat.quote:Op maandag 1 maart 2010 18:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat is waar. Als je begrijpt dat:
cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β)
dan hoef je zelfs de somformules voor cos(α+β) en sin(α+β) niet uit het blote hoofd te weten. Maar ik heb het idee dat Siddartha daar nog niet aan toe is.
Om mijn 'niveau' aan te geven, ik heb wiskunde a12 afgesloten met een 8+. Daarna ben ik een verkeerde studie gaan doen, waarna ik erachter kwam dat ik wat met wiskunde wil gaan doen. Dus probeer ik nu in april mijn voortentamen wiskunde B (nieuwe nieuwe nieuwe fase) met zelfstudie te halen. Wat nog best pittig is, in die korte tijd.
De identiteit die ik gaf laat zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten worden opgeteld. In Nederland is het nog steeds zo dat complexe getallen niet in de normale schoolstof zitten, terwijl dat in veel andere landen wel zo is. Ik kwam pas nog wat aardige PDFjes tegen van een Vlaamse zomercursus, hier. Daar zit een ook PDF bij met een inleiding in de complexe getallen. Misschien heb je daar wat aan.quote:Op maandag 1 maart 2010 18:19 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Klopt, ik heb geen idee waar het over gaat.
Ah, zo. Wat moet je (ongeveer) weten voor dat tentamen in april? Wellicht heb ik nog wat linkjes of tips voor je.quote:Om mijn 'niveau' aan te geven, ik heb wiskunde a12 afgesloten met een 8+. Daarna ben ik een verkeerde studie gaan doen, waarna ik erachter kwam dat ik wat met wiskunde wil gaan doen. Dus probeer ik nu in april mijn voortentamen wiskunde B (nieuwe nieuwe nieuwe fase) met zelfstudie te halen. Wat nog best pittig is, in die korte tijd.
Ik heb het bij mijn favorieten gezet, ik ga het zeker doorbladeren. Er staat ook goniometrie bij, met een beetje uitleg! Geweldig, dat is al een stuk beter dan puur wat formules en opdrachten.quote:Op maandag 1 maart 2010 18:45 schreef Riparius het volgende:
[..]
De identiteit die ik gaf laat zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten worden opgeteld. In Nederland is het nog steeds zo dat complexe getallen niet in de normale schoolstof zitten, terwijl dat in veel andere landen wel zo is. Ik kwam pas nog wat aardige PDFjes tegen van een Vlaamse zomercursus, hier. Daar zit een ook PDF bij met een inleiding in de complexe getallen. Misschien heb je daar wat aan.
[..]
Ah, zo. Wat moet je (ongeveer) weten voor dat tentamen in april? Wellicht heb ik nog wat linkjes of tips voor je.
Mijn grootste deficiënt is meetkunde/goniometrie. Primitiver en de afgeleide vinden lukt aardig, maar die gebieden blijven nog onduidelijk voor me. Hoe zo'n functie om te schrijven en wat wel/niet geoorloofd is, is me nog niet helemaal duidelijk.
Inhoud van Wiskunde B:
In het centraal examen zal meer dan in de vorige situatie het geval was aandacht
worden besteed aan formele wiskunde, wiskunde zonder context, en het abstracte
denken. Subdomein A5 is hierdoor aan het examenprogramma toegevoegd. Het geeft
aan dat de bij het examenprogramma passende algebraïsche vaardigheden ook zonder
gebruik van een grafische rekenmachine moeten worden beheerst.
Domeinen Subdomeinen
A: Vaardigheden A1: Informatievaardigheden
A2: Onderzoeksvaardigheden
A3: Technisch-instrumentele vaardigheden
A4: Oriëntatie op studie en beroep
A5: Algebraïsche vaardigheden
Bg: Functies en grafieken Bg1: Standaardfuncties
Bg2: Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
Cg: Discrete analyse Cg1: Veranderingen
Bb: Differentiaal- en
integraalrekening
Bb1: Afgeleide functies
Bb2: Algebraïsche technieken
Bb3: Integraalrekening
Db: Goniometrische functies Db1: Goniometrische functies
Gb: Voortgezette meetkunde Gb1: Oriëntatie op bewijzen
Gb2: Constructie en bewijzen in de vlakke meetkunde
F: Keuzeonderwerpen
Bron: http://www.digischool.nl/(...)B_vwo_DEFINITIEF.pdf
Betekent dit dat je met name je wil richten op de vetggedrukte onderdelen?
Gaat daar jouw tentamen over?
Op zich wel pittige onderdelen, maar wel te doen als je er de tijd voor hebt en er energie in wil steken.
En hier op dit forum kunnen we jou wel een handje helpen.
Gaat daar jouw tentamen over?
Op zich wel pittige onderdelen, maar wel te doen als je er de tijd voor hebt en er energie in wil steken.
En hier op dit forum kunnen we jou wel een handje helpen.
kloep kloep
OK. Die PDF vind ik nogal een 'ambtelijk' stuk, waar ik niet zoveel wijzer van word. Vaak wordt het Basisboek Wiskunde van Van de Craats aangeraden. Ik kende dat boek inhoudelijk niet zo, maar het blijkt integraal op een legale (!) webserver te staan, zodat ik het eens door heb kunnen nemen, en ik ben er niet enthousiast over. Ik vind het niet erg geschikt voor zelfstudie als je niet op een docent terug kunt vallen, al was het maar door het ontbreken van uitwerkingen.quote:Op maandag 1 maart 2010 18:58 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Ik heb het bij mijn favorieten gezet, ik ga het zeker doorbladeren. Er staat ook goniometrie bij, met een beetje uitleg! Geweldig, dat is al een stuk beter dan puur wat formules en opdrachten.
Mijn grootste deficiënt is meetkunde/goniometrie. Primitiver en de afgeleide vinden lukt aardig, maar die gebieden blijven nog onduidelijk voor me. Hoe zo'n functie om te schrijven en wat wel/niet geoorloofd is, is me nog niet helemaal duidelijk.
[snip]
Db: Goniometrische functies Db1: Goniometrische functies
Gb: Voortgezette meetkunde Gb1: Oriëntatie op bewijzen
Gb2: Constructie en bewijzen in de vlakke meetkunde
F: Keuzeonderwerpen[/i]
Bron: http://www.digischool.nl/(...)B_vwo_DEFINITIEF.pdf
Veel beter geschikt voor zelfstudie vind ik dan een aantal publicaties van de Open Universiteit die je terug kunt vinden op hun website als je even slim zoekt. Die geven meer dan je waarschijnlijk nodig hebt, maar ik zou ze zeker eens doorkijken, je kunt er veel uit leren.
Voor de vlakke meetkunde, tenslotte, kun je hier goed terecht. Mooi overzicht van alle belangrijke stellingen, met bewijzen.
Het is een keuze onderdeel binnen wiskunde D.quote:Op maandag 1 maart 2010 18:45 schreef Riparius het volgende:
[..]
In Nederland is het nog steeds zo dat complexe getallen niet in de normale schoolstof zitten, terwijl dat in veel andere landen wel zo is. Ik kwam pas nog wat aardige PDFjes tegen van een Vlaamse zomercursus,
bron: http://www.nvvw.nl/media/downloads/examens/examenprogramma_wiskunde_d_vwo_definitief.pdf
Het is alleen jammer dat niet alle middelbare scholen wiskunde D ook daadwerkelijk aanbieden.
Vd Craats heeft ook een "inleiding" geschreven over complexe getallen:quote:Ah, zo. Wat moet je (ongeveer) weten voor dat tentamen in april? Wellicht heb ik nog wat linkjes of tips voor je.
http://staff.science.uva.nl/~craats/CGnieuw.pdf
kloep kloep
Ja, dat weet ik. Maar daarmee is het nog geen standaard onderdeel van de stof, terwijl dat in veel andere (Europese) landen wel zo is.quote:Op maandag 1 maart 2010 21:16 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Het is een keuze onderdeel binnen wiskunde D.
bron: http://www.nvvw.nl/media/downloads/examens/examenprogramma_wiskunde_d_vwo_definitief.pdf
[..]
Ja, weet ik. Hoewel ik zijn oude versie wat aardiger vind.quote:Vd Craats heeft ook een "inleiding" geschreven over complexe getallen:
http://staff.science.uva.nl/~craats/CGnieuw.pdf
Bedankt! Daar kom ik al een stuk verder mee.quote:Op maandag 1 maart 2010 20:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
OK. Die PDF vind ik nogal een 'ambtelijk' stuk, waar ik niet zoveel wijzer van word. Vaak wordt het Basisboek Wiskunde van Van de Craats aangeraden. Ik kende dat boek inhoudelijk niet zo, maar het blijkt integraal op een legale (!) webserver te staan, zodat ik het eens door heb kunnen nemen, en ik ben er niet enthousiast over. Ik vind het niet erg geschikt voor zelfstudie als je niet op een docent terug kunt vallen, al was het maar door het ontbreken van uitwerkingen.
Veel beter geschikt voor zelfstudie vind ik dan een aantal publicaties van de Open Universiteit die je terug kunt vinden op hun website als je even slim zoekt. Die geven meer dan je waarschijnlijk nodig hebt, maar ik zou ze zeker eens doorkijken, je kunt er veel uit leren.
Voor de vlakke meetkunde, tenslotte, kun je hier goed terecht. Mooi overzicht van alle belangrijke stellingen, met bewijzen.
Verder zal ik gewoon moeten doorbijten en veel oefenen.
Weet je toevallig ook (Wat een vragen!) hoe het niveau van een voortentamen is? (http://www.ccvx.nl/)
Ik zie net dat zo'n examen iets afwijkt van een normaal eindexamen,
"Het programma van het voortentamen wiskunde B is gebaseerd op het examenprogramma Wiskunde B van
het vwo en omvat de volgende domeinen uit dit programma:
- A5: Algebraïsche vaardigheden
- Bg: Functies en Grafieken
- Bb: Differentiaal- en integraalrekening
- Cg: Discrete analyse
- Db: Goniometrische functies
- Gb: Voortgezette Meetkunde
Bij het voortentamen ligt de nadruk op domeinen Bg en Bb en Db. De algebraïsche vaardigheden komen in de
opgaven over deze drie domeinen met nadruk aan de orde. In bijlage 1 vindt u een overzicht van de inhoud
van de domeinen."
Probeer een goede balans te bewaren tussen het krijgen van inzicht en het krijgen van routine in het oplossen van opgaven of het gebruik van standaardtechnieken (zoals algebraïsche herleidingen, werken met goniometrische formules of differentiëren). Wiskunde gaat niet (alleen) over het maken van sommetjes. En wees niet bang dat je te veel doet, dat is nooit weg als je later verder gaat met iets waar wiskunde aan te pas komt.quote:Op dinsdag 2 maart 2010 10:08 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Bedankt! Daar kom ik al een stuk verder mee.
Verder zal ik gewoon moeten doorbijten en veel oefenen.
Geen idee, eerlijk gezegd. Maar pin jezelf niet vast op allerlei opsommingen over wat je wel of niet moet weten. Je kunt beter te veel weten dan te weinig.quote:Weet je toevallig ook (Wat een vragen!) hoe het niveau van een voortentamen is? (http://www.ccvx.nl/)
Ik zie net dat zo'n examen iets afwijkt van een normaal eindexamen,
Ik wil laten zien dat {r+sqrt{2} : r in Q} irrationaal is.
Stel r+sqrt{2}=a/b
dan (r+sqrt{2})^2=a^2/b^2
Dus r^2+2sqrt{2}+2=a^2/b^2
Kan ik dan nu gewoon 2(1/2r^2+sqrt{2}+1)=a^2/b^2, en dan concluderen dat ggd(a,b) minstens 2 moet zijn dus tegenspraak?
[ Bericht 0% gewijzigd door Hanneke12345 op 02-03-2010 12:54:33 ]
Stel r+sqrt{2}=a/b
dan (r+sqrt{2})^2=a^2/b^2
Dus r^2+2sqrt{2}+2=a^2/b^2
Kan ik dan nu gewoon 2(1/2r^2+sqrt{2}+1)=a^2/b^2, en dan concluderen dat ggd(a,b) minstens 2 moet zijn dus tegenspraak?
[ Bericht 0% gewijzigd door Hanneke12345 op 02-03-2010 12:54:33 ]
Oh, wacht, ik bedoelde overal = a^2/b^2. Gekke typfout! Maar los daarvan, kan het wel op deze manier?
Ik begrijp je aanpak niet zo, althans niet als je gebruik mag maken van het feit dat √2 irrationaal is. Als r + √2 = a/b (met a,b ∈ ℤ, b ≠ 0) en r ∈ ℚ, dan zijn er twee getallen p,q ∈ ℤ, q ≠ 0 zodanig dat r = p/q en heb je dus √2 = a/b - p/q = (aq - bp)/bq, waarmee √2 rationaal zou zijn: een tegenspraak. Ergo, r + √2 is niet rationaal voor r ∈ ℚ.quote:Op dinsdag 2 maart 2010 12:39 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ik wil laten zien dat {r+sqrt{2} : r in Q} irrationaal is.
Stel r+sqrt{2}=a/b
dan (r+sqrt{2})^2=a^2/b^2
Dus r^2+2sqrt{2}+2=a^2/b^2
Kan ik dan nu gewoon 2(1/2r^2+sqrt{2}+1)=a^2/b^2, en dan concluderen dat ggd(a,b) minstens 2 moet zijn dus tegenspraak?
Ja, ik wist wel dat r+i (r in Q, i niet in Q) irrationaal was, maar wist niet hoe ik dat moest bewijzen en probeerde dat op deze manier. ;x Merci!
Dit is zo frustrerend!
f(x) = sin 2x
V is het vlakdeel dat word ingesloten door f(x), de x-as, x= 1/3Pi, en x= 1/6Pi.
Bereken het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wentelt om de x-as.
Ah, ik moet f(x) eerst kwadrateren en dan pas integreren!
[ Bericht 31% gewijzigd door Siddartha op 02-03-2010 13:56:04 ]
f(x) = sin 2x
V is het vlakdeel dat word ingesloten door f(x), de x-as, x= 1/3Pi, en x= 1/6Pi.
Bereken het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wentelt om de x-as.
Ah, ik moet f(x) eerst kwadrateren en dan pas integreren!
[ Bericht 31% gewijzigd door Siddartha op 02-03-2010 13:56:04 ]
Je bedoelt neem ik aan het volume van het omwentelingslichaam? En wat is je uitkomst?quote:Op dinsdag 2 maart 2010 13:50 schreef Siddartha het volgende:
Dit is zo frustrerend!
f(x) = sin 2x
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door f(x), de x-as, x= 1/3Pi, en x= 1/6Pi.
Bereken het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wentelt om de x-as.
Ah, ik moet f(x) eerst kwadrateren en dan pas integreren!
primitiveren en uitrekenen 
A "Nederlands restaurant" is a 'contradictio in terminus'.
If it don't matter to you, it don't matter to me
If it don't matter to you, it don't matter to me
In het boek staat gewoon 'het vlakdeel', wat in dit geval gelijk is aan het volume (toch?).quote:Op dinsdag 2 maart 2010 14:22 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je bedoelt neem ik aan het volume van het omwentelingslichaam? En wat is je uitkomst?
Uitkomst had ik 1/12Pi^2 + 1/8Pi Wortel3
(als primitive functie had ik F(x) = 1/2x -1/8sin4x , invullen voor b=1/3pi en a = 1/6 pi, etc geeft de inhoud. Dat keer Pi en ik heb de uitkomst.)
Maar ik vind het vreemd dat je de originele functie moet kwadrateren en niet de uitkomsten van de integrale functie.
Nee, want een vlakdeel heeft geen volume. En bij een omwentelingslichaam kan het ook nog zijn dat wordt gevraagd de oppervlakte van dat omwentelingslichaam te berekenen. In de opgave moet duidelijk staan wat de bedoeling is.quote:Op dinsdag 2 maart 2010 15:40 schreef Siddartha het volgende:
[..]
In het boek staat gewoon 'het vlakdeel', wat in dit geval gelijk is aan het volume (toch?).
Dit is correct.quote:Uitkomst had ik 1/12Pi^2 + 1/8Pi Wortel3
(als primitive functie had ik F(x) = 1/2x -1/8sin4x , invullen voor b=1/3pi en a = 1/6 pi, etc geeft de inhoud. Dat keer Pi en ik heb de uitkomst.)
Snijd het omwentelingslichaam in gedachten eens in n hele dunne plakjes met een dikte Δx, waarbij het snijvlak loodrecht op de as van de rotatie staat. Elk van die dunne plakjes kun je bij benadering als een cilinder met straal f(xk) en lengte Δx beschouwen. Het volume van één zo'n cilinder is dan π∙{f(xk)}2∙Δx. Het volume van al die plakjes (met k = 1,2 ... n) moet je sommeren om een benadering te krijgen van het volume van het omwentelingslichaam. Deze benadering wordt beter naarmate je de plakjes dunner maakt. Zo krijg je de limiet van wat ze wel een Riemann som noemen, en deze limiet is de integraal die je hebt uitgerekend.quote:Maar ik vind het vreemd dat je de originele functie moet kwadrateren en niet de uitkomsten van de integrale functie.
Wat jij wilde is de oppervlakte van het vlakdeel kwadrateren, maar daarmee bereken je geen inhoud (waarom niet?). Probeer het maar eens met wat eenvoudige figuren als een cirkel of een vierkant die je om hun symmetrie-as roteert, dan zie je dat jouw idee over het volume van een omwentelingslichaam niet klopt.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-03-2010 18:57:45 ]
Te stom voor woorden
Plaatsvervangend probleempje voor wie het leuk vind om over na te denken.
Construeer vierkant met alleen een passer en een lineaal.
(dus GEEN geo ofzo).
[ Bericht 77% gewijzigd door Borizzz op 02-03-2010 21:19:07 ]
Plaatsvervangend probleempje voor wie het leuk vind om over na te denken.
Construeer vierkant met alleen een passer en een lineaal.
(dus GEEN geo ofzo).
[ Bericht 77% gewijzigd door Borizzz op 02-03-2010 21:19:07 ]
kloep kloep
Reken die kansen eens afzonderlijk voor mij uit dan 
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
GGB: 6/14 * 5/13 * 8/12 =10/91quote:Op dinsdag 2 maart 2010 21:12 schreef GlowMouse het volgende:
Reken die kansen eens afzonderlijk voor mij uit dan
GBG: 6/14 * 8/13 * 5/12 =10/91
BGG: 8/14 * 6/13 * 5/12 = 10/91
Samen 30/91ong 0.3296
Oke laat maar, kleine misvatting
Maar ik vind het didactisch niet echt verantwoord om het zo kort neer te zetten.
Beter is het om het geheel uit te werken en het te laten zien.
kloep kloep
Kan iemand mij vlug uitleggen hoe ik de Y kan of moet vrijmaken? Aub beginnen met iets heel elementairs.
"Fifty years ago the Leningrad street taught me a rule - if a fight is inevitable, you have to throw the first punch."
Vladimir Putin
“To forgive the terrorists is up to God, but to send them there is up to me.”
Vladimir Putin
Vladimir Putin
“To forgive the terrorists is up to God, but to send them there is up to me.”
Vladimir Putin
Dus een integraal is de somfunctie van alle 'y' op gebied delta x (waar x zo klein mogelijk is) en is dus voor elke delta x eigenlijk (een benadering van) de straal?quote:Op dinsdag 2 maart 2010 16:39 schreef Riparius het volgende:
[..]
Snijd het omwentelingslichaam in gedachten eens in n hele dunne plakjes met een dikte Δx, waarbij het snijvlak loodrecht op de as van de rotatie staat. Elk van die dunne plakjes kun je bij benadering als een cilinder met straal f(xk) en lengte Δx beschouwen. Het volume van één zo'n cilinder is dan π∙{f(xk)}2∙Δx. Het volume van al die plakjes (met k = 1,2 ... n) moet je sommeren om een benadering te krijgen van het volume van het omwentelingslichaam. Deze benadering wordt beter naarmate je de plakjes dunner maakt. Zo krijg je de limiet van wat ze wel een Riemann som noemen, en deze limiet is de integraal die je hebt uitgerekend.
Wat jij wilde is de oppervlakte van het vlakdeel kwadrateren, maar daarmee bereken je geen inhoud (waarom niet?). Probeer het maar eens met wat eenvoudige figuren als een cirkel of een vierkant die je om hun symmetrie-as roteert, dan zie je dat jouw idee over het volume van een omwentelingslichaam niet klopt.
Hmm, wat ik dus deed was puur de oppervlakte kwadrateren, terwijl oppervlakte niet gelijk is aan straal. Wat ik deed was de stralen/lijnen onder het gegeven gebied uitrekenen, bij elkaar optellen en dan kwadrateren. Door de formule van de integraal te kwadrateren, kwadrateer ik elke straal en ( x Pi) krijg ik wel de inhoud.
Klopt dit een beetje?
Ik volg het niet helemaal waarom je de stappen neemt die je neemt, maar volgens mij klopt het niet.quote:Op dinsdag 2 maart 2010 23:40 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Dus een integraal is de somfunctie van alle 'y' op gebied delta x (waar x zo klein mogelijk is) en is dus voor elke delta x eigenlijk (een benadering van) de straal?
Hmm, wat ik dus deed was puur de oppervlakte kwadrateren, terwijl oppervlakte niet gelijk is aan straal. Wat ik deed was de stralen/lijnen onder het gegeven gebied uitrekenen, bij elkaar optellen en dan kwadrateren. Door de formule van de integraal te kwadrateren, kwadrateer ik elke straal en ( x Pi) krijg ik wel de inhoud.
Klopt dit een beetje?
Een voorbeeld:
De straal van het cilindertje is de functiewaarde en de "hoogte" van de cilinder is de dx. Je kan het zien als een worst die je in infinitesimaal dunne plakjes snijdt. Als je de volumes van de kleine plakjes bij elkaar optelt heb je het formule van de hele worst. Een worst die in dikte varieert kan je zien als een niet-constante functie. Stel dat je worst wel kaarsrecht is met constante straal f(x)=c en lengte L. Dan kun je de inhoud uitrekenen met de "standaardformule" voor een cilinder: pi × c² × L (dat is dus gewoon de "oppervlakte maal hoogte". Je kan ook de volgende integraal uitrekenen:
Voor een gewone cilinder is dit eigenlijk overbodig werk, maar het geeft je misschien wel een idee dat het voor niet-constante formules ook de inhoud geeft.
Misschien is het wel een leuke oefening om mbv een omwentelingslichaam de inhoud van een kegel met hoogte L te bepalen
. Je zou een kegel kunnen kiezen met als tophoek 90 graden. Dan kan je de functie f(x)=x gebruiken. Welke integraal bereken je dan?[ Bericht 2% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:40:28 ]
Ik had in een opgave de uitkomst van de integraal gekwadrateerd en vroeg me af waarom je de hele formule moest kwadrateren. Maar dat is dus omdat de integraal een verzameling is van stralen (of benaderingen ervan) voor elk stapje delta x binnen het aangegeven gebied?quote:Op woensdag 3 maart 2010 00:29 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Ik volg het niet helemaal waarom je de stappen neemt die je neemt, maar volgens mij klopt het niet.
Een voorbeeld:
De straal van het cilindertje is de functiewaarde en de "hoogte" van de cilinder is de dx. Je kan het zien als een worst die je in infinitesimaal dunne plakjes snijdt. Als je de volumes van de kleine plakjes bij elkaar optelt heb je het formule van de hele worst. Een worst die in dikte varieert kan je zien als een niet-constante functie. Stel dat je worst wel kaarsrecht is met constante straal f(x)=c en lengte L. Dan kun je de inhoud uitrekenen met de "standaardformule" voor een cilinder: pi × c² × L (dat is dus gewoon de "oppervlakte maal hoogte". Je kan ook de volgende integraal uitrekenen:
[ afbeelding ]
Voor een gewone cilinder is dit eigenlijk overbodig werk, maar het geeft je misschien wel een idee dat het voor niet-constante formules ook de inhoud geeft.
Misschien is het wel een leuke oefening om mbv een omwentelingslichaam de inhoud van een kegel met hoogte L te bepalen
Hmm, een kegel. De f(x) lijn is in dit geval de schuine zijde, de x-lijn de hoogte(L) en x=b is de straal. Als ik f(x) primitiveer en voor 2 getallen invul (waarvan a = 0), krijg ik de oppervlakte onder de lijn. Zonder de primitive had ik gewoon uitgerekent: Pi x straal^2 x L x 1/3
Maar omdat F(x) = 1/2x^2 voor (b=x en a=0) al de oppervlakte geeft, hoef ik toch alleen maar:
Pi x F(x)^2 uit te rekenen?
Nee, je vervalt weer in dezelfde denkfout door de primitieve te kwadrateren, en daarmee in feite de oppervlakte van het vlakdeel omder de curve te kwadrateren.quote:Op woensdag 3 maart 2010 08:19 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Ik had in een opgave de uitkomst van de integraal gekwadrateerd en vroeg me af waarom je de hele formule moest kwadrateren. Maar dat is dus omdat de integraal een verzameling is van stralen (of benaderingen ervan) voor elk stapje delta x binnen het aangegeven gebied?
Hmm, een kegel. De f(x) lijn is in dit geval de schuine zijde, de x-lijn de hoogte(L) en x=b is de straal. Als ik f(x) primitiveer en voor 2 getallen invul (waarvan a = 0), krijg ik de oppervlakte onder de lijn. Zonder de primitive had ik gewoon uitgerekent: Pi x straal^2 x L x 1/3
Maar omdat F(x) = 1/2x^2 voor (b=x en a=0) al de oppervlakte geeft, hoef ik toch alleen maar:
Pi x F(x)^2 uit te rekenen?
In de laatste regel bedoel ik F(x) als gehele functie te kwadrateren, dusquote:Op woensdag 3 maart 2010 08:44 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, je vervalt weer in dezelfde denkfout door de primitieve te kwadrateren, en daarmee in feite de oppervlakte van het vlakdeel omder de curve te kwadrateren.
F(x) = 1/2x^2
F(x)^2 = 1/4x^4 (En daarvoor invullen, x Pi geeft het volume, toch?)
Ik begrijp wat je bedoelt, maar het is gewoon fout. Het volume van een omwentelingslichaam verkregen door de curve van y = f(x) tussen x=a en x= b rond de x-as te wentelen wordt gegeven door:quote:Op woensdag 3 maart 2010 09:05 schreef Siddartha het volgende:
[..]
In de laatste regel bedoel ik F(x) als gehele functie te kwadrateren, dus
F(x) = 1/2x^2
F(x)^2 = 1/4x^4 (En daarvoor invullen, x Pi geeft het volume, toch?)
(1) π∙∫ab (f(x))2dx
Maar wat jij schijnt te denken is dat dit hetzelfde is als:
(2) π∙[∫ab f(x)dx]2
Maar (2) is niet hetzelfde als (1), en bovendien kan (2) onmogelijk het volume van het omwentelingslichaam voorstellen. Zie je ook waarom?
Hallo,
Ik heb wat vragen over ontbinden in factoren:
1. Ik begrijp deze stappen niet:
2. Ik moet de determinant van een matrix bepalen. Ik kom op de hieronderstaande waarde uit:
( de vergelijking moet als uitkomst 0 hebben).
Als antwoord is alleen het eindantwoord gegeven: a = 0 a = 1 of a = 2.
Ik kom hier niet op uit heb ik iets fout gedaan of zien jullie deze antwoorden zo?
Alvast bedankt
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:40:33 ]
Ik heb wat vragen over ontbinden in factoren:
1. Ik begrijp deze stappen niet:
2. Ik moet de determinant van een matrix bepalen. Ik kom op de hieronderstaande waarde uit:
( de vergelijking moet als uitkomst 0 hebben).
Als antwoord is alleen het eindantwoord gegeven: a = 0 a = 1 of a = 2.
Ik kom hier niet op uit heb ik iets fout gedaan of zien jullie deze antwoorden zo?
Alvast bedankt
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:40:33 ]
1. Een derdegraads polynoom is wat lastig te ontbinden in factoren tenzij je tenminste één van de nulpunten zo al ziet (of echt een kubische vergelijking wilt gaan oplossen), maar in dit geval is het betrekkelijk eenvoudig. Het product van de wortels van a3 - 3a + 2 = 0 is -2, dus ligt het voor de hand plus of min 1 en plus of min 2 te proberen, en dan kom je er snel achter dat a = 1 en a = -2 voldoen. Door het uitvoeren van een polynoomstaartdeling vind je dan (a3 - 3a + 2)/(a + 2) = a2 - 2a + 1, en dus a3 - 3a + 2 = (a + 2)(a2 - 2a + 1). Verder is a2 - 2a + 1 = (a - 1)2, maar dat is gewoon een kwestie van het merkwaardig product (a - b)2 = a2 -2ab + b2 gebruiken.quote:Op woensdag 3 maart 2010 13:35 schreef Matr het volgende:
Hallo,
Ik heb wat vragen over ontbinden in factoren:
1. Ik begrijp deze stappen niet:
[ afbeelding ]
2. Ik moet de determinant van een matrix bepalen. Ik kom op de hieronderstaande waarde uit:
( de vergelijking moet als uitkomst 0 hebben).
[ afbeelding ]
Als antwoord is alleen het eindantwoord gegeven: a = 0 a = 1 of a = 2.
Ik kom hier niet op uit heb ik iets fout gedaan of zien jullie deze antwoorden zo?
Alvast bedankt
2. Hier ben je kennelijk haakjes vergeten. Als je hebt (a - 1)(a2 - 2a) = 0 dan kun je uit de tweede factor van dit product nog een factor a buiten haakjes halen en krijg je dus a(a - 1)(a - 2) = 0, waaruit volgt a = 0 of a = 1 of a = 2.
Kan iemand (Iblis, GlowMouse?) me helpen bij het vak 'modale logica'? Ik zit alweer met problemen rondom de wat meer wiskundige kant van mijn studie.
Modale logica dus. Modale logica is strikt gezien de studie naar het deductieve gedrag van de expressies 'het is noodzakelijk dat' (□) en 'het is mogelijk dat' (◊). Nu heeft de docent syntaxis (wat welgevormde zinnen zijn) en axiomatiek beschreven (de drie axioma's van de propositielogica, de Neccissitatie-regel (N) en het K(ripke)-, D-, U, en T-axioma). Deze axiomatiek wordt dus gebruikt om verdere welgevormde proposities te bewijzen (kijken of ze dus afleidbaar zijn uit die axioma's).
Ik heb de volgende opgaven:
1. Bewijs zelf het omgekeerde ⊨ ¬□(φ ∧¬φ) ⇒ C! D
2. Toon aan dat T sterker is dan D.
3. Bewijs dat T inderdaad U impliceert, als ook N geldt.
4. Toon de volgende beweringen aan:
⊨ □φ → □□φ
⊨ □□φ → □φ
Axioma's:
N: ⊨ If φ is a theorem of K, then so is □φ (Neccissitatie regel)
K: ⊨ □(φ →ψ) → (□φ →□ψ). (Distribution Axiom)
T: ⊨ □φ→φ
U: ⊨ □(□φ→φ)
D: ⊨ □φ→◊φ
Axioma's voor de propositielogica (die we gebruiken voor de modale logica)
A1:
A2:
A3:
Ik moet dus een aantal zaken bewijzen. Hierbij ga ik er vanuit dat ik vanaf de conclusie (het bewijs) mezelf terug moet werken naar de axioma's toe. Maar hoe werkt zoiets precies? Hoe begin ik daarmee?
Alvast bedankt!
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 03-03-2010 21:53:58 ]
Modale logica dus. Modale logica is strikt gezien de studie naar het deductieve gedrag van de expressies 'het is noodzakelijk dat' (□) en 'het is mogelijk dat' (◊). Nu heeft de docent syntaxis (wat welgevormde zinnen zijn) en axiomatiek beschreven (de drie axioma's van de propositielogica, de Neccissitatie-regel (N) en het K(ripke)-, D-, U, en T-axioma). Deze axiomatiek wordt dus gebruikt om verdere welgevormde proposities te bewijzen (kijken of ze dus afleidbaar zijn uit die axioma's).
Ik heb de volgende opgaven:
1. Bewijs zelf het omgekeerde ⊨ ¬□(φ ∧¬φ) ⇒ C! D
2. Toon aan dat T sterker is dan D.
3. Bewijs dat T inderdaad U impliceert, als ook N geldt.
4. Toon de volgende beweringen aan:
Axioma's:
N: ⊨ If φ is a theorem of K, then so is □φ (Neccissitatie regel)
K: ⊨ □(φ →ψ) → (□φ →□ψ). (Distribution Axiom)
T: ⊨ □φ→φ
U: ⊨ □(□φ→φ)
D: ⊨ □φ→◊φ
Axioma's voor de propositielogica (die we gebruiken voor de modale logica)
A1:
A2:
A3:
Ik moet dus een aantal zaken bewijzen. Hierbij ga ik er vanuit dat ik vanaf de conclusie (het bewijs) mezelf terug moet werken naar de axioma's toe. Maar hoe werkt zoiets precies? Hoe begin ik daarmee?
Alvast bedankt!
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 03-03-2010 21:53:58 ]
Hmm, wat ik deed was dus weer dezelfde fout: De oppervlakte kwadrateren.quote:Op woensdag 3 maart 2010 09:18 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik begrijp wat je bedoelt, maar het is gewoon fout. Het volume van een omwentelingslichaam verkregen door de curve van y = f(x) tussen x=a en x= b rond de x-as te wentelen wordt gegeven door:
(1) π∙∫ab (f(x))2dx
Maar wat jij schijnt te denken is dat dit hetzelfde is als:
(2) π∙[∫ab f(x)dx]2
Maar (2) is niet hetzelfde als (1), en bovendien kan (2) onmogelijk het volume van het omwentelingslichaam voorstellen. Zie je ook waarom?
Door f(x) te kwadrateren, kwadrateer je alleen de straal voor elke x, en met integreren tel je dan alle gekwadrateerde stralen in een gebied(=lengte) bij elkaar op. En dus heb je de straal^2 x lengte zo berekent.( Dan volgt vanzelf keer Pi)
Terwijl je door F(x) te kwadrateren, tel je alle stralen bij elkaar op in een gebied en dat kwadrateer je. Wat dus fout is.
Ik denk dat ik het nu snap!
Je kunt het beste denken aan het verdelen van een omwentelingslichaam in hele dunne plakjes die elk bij benadering een cilinder zijn. Door de volumina van die cilinders bij elkaar op te tellen krijg je een benadering voor het volume van het omwentelingslichaam die beter wordt naarmate de plakjes dunner worden. Een integraal is in principe te definiëren als de limiet van een dergelijke Riemann som. Dat suggereert het integraalteken ook. De ∫ is oorspronkelijk een langgerekte s van summa. Probeer om het principe beter te begrijpen eens of je ook een formule kunt opstellen voor de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam (hint: stel eerst een formule op voor de lengte van de curve van y = f(x) tussen x=a en x=b).quote:Op woensdag 3 maart 2010 15:41 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Hmm, wat ik deed was dus weer dezelfde fout: De oppervlakte kwadrateren.
Door f(x) te kwadrateren, kwadrateer je alleen de straal voor elke x, en met integreren tel je dan alle gekwadrateerde stralen in een gebied(=lengte) bij elkaar op. En dus heb je de straal^2 x lengte zo berekend.( Dan volgt vanzelf keer Pi)
Terwijl je door F(x) te kwadrateren, tel je alle stralen bij elkaar op in een gebied en dat kwadrateer je. Wat dus fout is.
Ik denk dat ik het nu snap!
Nou, de lengte is y voor f(delta x) maal 2 omdat je met y alleen maar de straal van het midden naar de 'cirkel' hebt, terwijl je aan de andere kant nog eens die lengte hebt.quote:Op woensdag 3 maart 2010 15:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Probeer om het principe beter te begrijpen eens of je ook een formule kunt opstellen voor de manteloppervlakte van een omwentelingslichaam (hint: stel eerst een formule op voor de lengte van de curve van y = f(x) tussen x=a en x=b).
dus lengte is 2y: 2f(x)
Omtrek van een figuur is Pi x lengte.
Om de lengte van elke delta x bij elkaar op te tellen kan ik de integraal gebruiken. Door (2f(x)) te primitiveren tel ik al die lengtes bij elkaar op en door dan met Pi te vermenigvuldigen krijg ik de omtrek/mantel. Toch?
Nee, dat gaat niet goed. Eerst de booglengte s van de curve van y = f(x) tussen x=a en x=b. Die wordt gegeven door:quote:Op woensdag 3 maart 2010 16:23 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Nou, de lengte is y voor f(delta x) maal 2 omdat je met y alleen maar de straal van het midden naar de 'cirkel' hebt, terwijl je aan de andere kant nog eens die lengte hebt.
dus lengte is 2y: 2f(x)
Omtrek van een figuur is Pi x lengte.
Om de lengte van elke delta x bij elkaar op te tellen kan ik de integraal gebruiken. Door (2f(x)) te primitiveren tel ik al die lengtes bij elkaar op en door dan met Pi te vermenigvuldigen krijg ik de omtrek/mantel. Toch?
(1) s = ∫ab √(1 + (f'(x))2)dx
Voor de afleiding van deze formule moet je hier maar even kijken.
Nu de manteloppervlakte. Hierbij neem ik aan dat f(x) op het interval [a,b] niet negatief wordt. Verdeel het omwentelingslichaam weer in heel dunne plakjes met een dikte Δx, dan kun je de manteloppervlakte van één zo'n plakje (ring) benaderen door de booglengte van de curve van y = f(x) over het betreffende interval te vermenigvuldigen met de omtrek 2πr van zo'n ring. Dit geeft als benadering voor de manteloppervlakte van één zo'n ring
2π∙f(xk)√(1 + (f'(xk))2)Δx,
waarbij xk een waarde van x is op het betreffende intervalletje. Om de manteloppervlakte van x=a tot x=b te benaderen moet je al deze stukjes (met k = 1 ... n) optellen, waarbij de benadering weer beter wordt naarmate we de dikte Δx van de plakjes tot nul laten naderen. Voor de manteloppervlakte A van het omwentelingslichaam dat ontstaat door de curve van y = f(x) tusen x=a en x=b om de x-as te wentelen vinden we zo:
(2) A = 2π∙∫ab f(x)∙√(1 + (f'(x))2)dx
Probeer eens of je nu formules voor de inhoud en de oppervlakte van een bol met straal r kunt afleiden. Neem f(x) = √(r2 - x2) (r > 0). De grafiek hiervan is een halve cirkel met als middelpunt de oorsprong en als straal r, zodat bij wenteling om de x-as een bol met straal r ontstaat.
Wat ik dus deed gaf niet de oppervlakte van een willekeurig figuur (met f(x) ongedifineerd)?quote:
Ik heb gewoon de formule gepakt van de omtrek van een cirkel (dat gebeurt er namelijk ook op delta x)
2Pi r = Pi maal lengte. En de rest staat in mijn vorige post.
Ik snap niet goed waarvoor ik een booglengte nodig heb?
Waarom moet je nu niet als eerste stap f(x) keer 2 doen? Dan heb je namelijk de 2 x straal op vlakdeel delta x, waarna je kan gaan integreren (en uiteindelijk nog keer Pi).
Nee.quote:Op woensdag 3 maart 2010 17:41 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Wat ik dus deed gaf niet de oppervlakte van een willekeurig figuur (met f(x) ongedefineerd)?
Nee, om de lengte van één zo'n dunne ring te bepalen moet je de omtrek 2πr = 2πf(xk) vermenigvuldigen met de breedte van de ring, en die breedte is gelijk aan de booglengte van de curve y = f(x) over dat intervalletje. De breedte van de ring is niet Δx, dat zou alleen zo zijn als de curve horizontaal loopt (en dus f'(x) = 0).quote:Ik heb gewoon de formule gepakt van de omtrek van een cirkel (dat gebeurt er namelijk ook op delta x)
2Pi r = Pi maal lengte. En de rest staat in mijn vorige post.
Omdat de breedte van elke ring afhangt van de steilheid van de curve op het betreffende intervalletje.quote:Ik snap niet goed waarvoor ik een booglengte nodig heb?
Op jouw manier bereken je gewoon de oppervlakte van het vlakdeel onder de curve vermenigvuldigd met 2π. Dan krijg je niet de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam. Probeer het maar eens met een halve cirkel als curve.quote:
Waarom moet je nu niet als eerste stap f(x) keer 2 doen? Dan heb je namelijk de 2 x straal op vlakdeel delta x, waarna je kan gaan integreren (en uiteindelijk nog keer Pi).
Kun je even specificeren wat je me wilt laten doen?quote:Op woensdag 3 maart 2010 18:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee.
[..]
Nee, om de lengte van één zo'n dunne ring te bepalen moet je de omtrek 2πr = 2πf(xk) vermenigvuldigen met de breedte van de ring, en die breedte is gelijk aan de booglengte van de curve y = f(x) over dat intervalletje. De breedte van de ring is niet Δx, dat zou alleen zo zijn als de curve horizontaal loopt (en dus f'(x) = 0).
[..]
Omdat de breedte van elke ring afhangt van de steilheid van de curve op het betreffende intervalletje.
[..]
Op jouw manier bereken je gewoon de oppervlakte van het vlakdeel onder de curve vermenigvuldigd met 2π. Dan krijg je niet de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam. Probeer het maar eens met een halve cirkel als curve.
Dus, wat voor figuur en wat ik moet berekenen ( oppervlakte/omtrek/beide)?
En ik neem aan dat lengte is de x-as en y geeft de breedte? (die heb ik in eerdere berichten een paar keer door elkaar gebruikt.)
Trouwens, heel erg bedankt hiervoor. Dit zal meer voor mijn inzicht doen dan puur wat sommetjes maken.
Probeer gewoon eens de oppervlakte en het volume te berekenen van een bol met straal r door een halve cirkel met straal r om de x-as te laten wentelen, zoals ik hierboven al had voorgesteld. Begin maar met het volume, dat is het eenvoudigst.quote:Op woensdag 3 maart 2010 18:17 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Kun je even specificeren wat je me wilt laten doen?
Dus, wat voor figuur en wat ik moet berekenen ( oppervlakte/omtrek/beide)?
En ik neem aan dat lengte is de x-as en y geeft de breedte? (die heb ik in eerdere berichten een paar keer door elkaar gebruikt.)
Trouwens, heel erg bedankt hiervoor. Dit zal meer voor mijn inzicht doen dan puur wat sommetjes maken.
En als je eenmaal het volume hebt is de oppervlakte ook nog maar één stap(je)quote:Op woensdag 3 maart 2010 18:26 schreef Riparius het volgende:
[..]
Probeer gewoon eens de oppervlakte en het volume te berekenen van een bol met straal r door een halve cirkel met straal r om de x-as te laten wentelen, zoals ik hierboven al had voorgesteld. Begin maar met het volume, dat is het eenvoudigst.
Volume is:quote:Op woensdag 3 maart 2010 18:26 schreef Riparius het volgende:
[..]
Probeer gewoon eens de oppervlakte en het volume te berekenen van een bol met straal r door een halve cirkel met straal r om de x-as te laten wentelen, zoals ik hierboven al had voorgesteld. Begin maar met het volume, dat is het eenvoudigst.
Eerst de gewone formule: f(x) = Wortel(r^2 - x^2)
Dat kwadrateren, dan primitiveren geeft als volume:
V = Pi x [(r^2)x - 1/3x^3]a,b met a=-r en b=r
