[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op donderdag 15 oktober 2009 11:28 schreef poesemuis het volgende:
Ik had gedacht: x(1/120) = 0,3 en dan x berekenen
Maar dit is niet goed, je moet 1 - (119/120)^x = 0,3 en dan x uitrekenen, ik zie niet helemaal in waarom, iemand die dit misschien voor me kan verduidelijken?

Wat jij wilt gaat niet goed. Immers, vul eens voor x 240 in, dan krijg je 240(1/120) = 240/120 = 2. Een kans van 2? Dat is natuurlijk niet zo zinnig! Ook als je 240 keer speelt is er natuurlijk een kans dat je 240 keer niet wint (niet zo’n grote hoor). Wat jij in feite uitrekent is de verwachting – als dat begrip je wat zegt. Anders kun je deze opmerking negeren.

Nu de eigenlijke uitwerking. Je wilt dus dat de kans om te winnen groter of gelijk is aan 30%. In het antwoord wordt de vraag omgekeerd. Als de kans 30% is dat je de hoofdprijs wint, dan is de kans dat je die niet wint 70%. Immers, je wint de hoofdprijs wel, of je wint die niet, dus P(wel) + P(niet) = 1 moet gelden.

Dit niet winnen is echter makkelijker uit te rekenen. Dat betekent gewoon dat je telkens niet-wint (kans 119/120), het wél winnen betekent namelijk de kans uitrekenen dat je óf de eerste keer wint, óf de tweede keer, óf de derde keer, óf de eerste én de tweede keer, maar de derde keer niet, óf de eerste en de derde keer, maar de tweede keer niet, en ga zo maar door. Heel veel mogelijkheden, heel lastig. P(wel) is namelijk hetzelfde als P(minstens één keer winnen).

En P(niet) is dus, zoals ik net zei, gewoon P(nooit winnen). Dat P(nooit winnen) kun je gewoon door vermenigvuldiging uitrekenen: de eerste keer niet winnen (119/120) én de tweede keer niet (119/120) én de derde keer niet (119/120), en ga zo maar door. Dit geeft (119/120)^x.

1 - (119/120)^x = 0,3 is natuurlijk hetzelfde als: (119/120)^x = 0,7 als je het herschrijft, het is maar net welke interpretatie je het meest ligt. Hoe dan ook, we moeten oplossen:



Het gemakkelijkste gaat dit met logaritmes:



Maak gebruik van log(a^b) = b log(a):


Dus:



Dus je moet 43 keer spelen.

quote:

Op donderdag 15 oktober 2009 11:49 schreef poesemuis het volgende:

[..]

ahh ik snap het, als het via de winkans uit zou willen rekenen zou je iedere keer ook met combinaties enzo moeten vermenigvuldigen, omdat bv 1x winnen op de 6x spelen de eerste, 2e, 3e enz x zou kunnen gebeuren. merci!

Maar je rekent nu in feite uit dat de kans dat je minstens één keer wint 30% is. In principe is het ook mogelijk dat je 43 keer wint als je 43 keer speelt, en die kans neem je ook mee.

Injectief betekent zowel surjectief als injectief. Als het dus niet injectief of surjectief is, kan het per definitie niet bijectief zijn.

Wat betekent injectief?

f(x) = f(y) ⇔ x = y.

Is dat zo bij x²? Nee: (-5)² = 5² maar (-5) ≠ 5.

Wat betekent surjectief?

Dat élke waarde uit het bereik van de functie inderdaad een beeld is van een bepaalde waarde uit het domein. M.a.w. als je een functie van ℝ → ℝ hebt, dan moeten alle waarden uit ℝ voorkomen als ‘functiewaarde’.

Is dat zo bij x²? Nee, natuurlijk niet, want ∀x : x² ≥ 0. Dus -1 is nooit het beeld van deze functie.

Kortom, niet injectief, niet surjectief (en dus automatisch niet bijectief).

Overigens, één en ander hangt dus af van hoe je bereik en domein specificeert, jij hebt nu:



Zou je hebben:



Dan is deze functie wél surjectief. Zou je hebben:



Dan is ze zelfs bijectief.

Ook voor:



geldt dat. Informeel wordt wel over ‘injectieve’ of ‘bijectieve’ functies gesproken, maar in feite is dit altijd gekoppeld aan een domein en bereik (of codomein). En dat moet je eigenlijk ook altijd netjes vermelden.

Waarom zou e^x niet injectief zijn? Weet jij een x ≠ y zodanig dat e^x = e^y?

quote:

Op donderdag 15 oktober 2009 15:10 schreef Diabox het volgende:

[..]

Hm, na lang denkwerk weet ik er toch geen, dus inderdaad injectief.

Zeg, dat is geen bewijs natuurlijk! Als je dat niet weet: wat is de afgeleide van e^x? Wat betekent dat dus?

quote:

Op donderdag 15 oktober 2009 15:20 schreef Diabox het volgende:

[..]

De afgeleide van e^x is gelijk aan zichzelf.

En ∀x:e^x > 0, dus het is een monotoon stijgende functie, die moet wel injectief zijn.

quote:

Op donderdag 15 oktober 2009 18:56 schreef Diabox het volgende:

[..]

Dankjewel voor de uitleg.

Nog een vraagje, wat is het verschil tussen een lineaire en partiële ordening? De uitleg in mijn boek is nogal vaag.

De ideeën zijn hetzelfde in feite, behalve dat in een partiële ordening sommige elementen ‘onvergelijkbaar zijn’.

Neem b.v. ≤, dat is een lineaire (of totale) ordening op de natuurlijke getallen.

Ze is reflexief (x ≤ x)

Ze is transitief: als a ≤ b en b ≤ c, dan a ≤ c.

Er geldt altijd, als je twee elementen (getallen in dit geval) hebt dat óf a ≤ b, óf b ≤ a.

Neem nu als operatie ⊆, en neem verzamelingen, ook hier is deze weer reflexief, er geldt s ⊆ s, en transitiviteit geldt ook. Maar er geldt níét altijd dat r ⊆ s óf s ⊆ r, ga maar na, neem b.v. {1, 2} en {2, 3}. {1, 2} is geen deelverzameling van {2, 3}, en omgekeerd ook niet.

Je kunt dus niet, zoals op de getallenlijn (waarbij elk getal kleiner of gelijk is dan al z’n opvolgers), verzamelingen in een lange keten rangschikken. Natuurlijk ∅ zit in alle verzamelingen, maar daarna wordt het een soort boom (hier voor {x, y, z​}), de pijlen geven ⊆ aan.


^{Bron: Wikimedia Commons. Maker: KSmrq. Licentie: CC-BY-SA.}

Er geldt alleen: als r ⊆ s, dan niet s ⊆ r tenzij s = r, of anders gezegd, als r ⊆ s en s ⊆ r, dan r = s. Dit ‘in plaats van’ die 3e eigenschap bij een lineaire ordening.

quote:

Op vrijdag 16 oktober 2009 14:38 schreef Diabox het volgende:
De vraag luidt:
Is de relatie R op de verzameling lijnen L in het vlak gegeven door lRm wil zeggen l staat loodrecht op m een equivalentierelatie?

Ik heb nee, want l en l kunnen dan nooit loodrecht opelkaar staan, dus is het geen equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?

Voor een equivalentierelatie moet gelden dat ze reflexief, symmetrisch én transitief is. Daar l R l niet geldt, geldt de reflexiviteit niet, ergo, het is geen equivalentierelatie. (Transitiviteit gaat ook niet op overigens.) Dat opmerken is voldoende. Gewoon de eisen erbij halen, en zeggen dat de relatie er niet aan voldoet.

quote:

Daarna de vraag:
Idem met lRm wil zeggen l en m hebben dezelfde richting, ik heb:
Ja, lRl, l en l hebben altijd dezelfde richting, dus reflexief

lRm l en m hebben dezelfde richting --> m en l hebben dezelfde richting, mRL. dus symmetrisch

lRm
l en m hebben dezelfde richting
mRz
m en z hebben dezelfde richting
--> l en z zelfde richting
lRz
dus transitief, dus equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?

Zo als je hier boven doet. Ik weet niet ‘of dezelfde richting hebben’ nog formeel gedefinieerd is, dan moet je wel die formele definitie gebruiken, anders lijkt me dit afdoende.

quote:

Op donderdag 15 oktober 2009 19:27 schreef Diabox het volgende:
Op Wikipedia staat:
Informeel gesproken koppelt een afbeelding ieder element uit een verzameling aan ten hoogste één element uit een andere (of dezelfde) verzameling.

In mijn boek staat:
Het kenmerkende van een afbeelding of functie van A naar B, kort genoteerd als f : A --> B, door f aan elk element van A precies één element van B toegekend wordt.

Welk is nu juist?

Edit:
Oh oops staat hetzelfde, alleen las ik het als: door f aan elk element van B precies een element van A toegekend wordt.

Ze zijn niet helemaal hetzelfde natuurlijk, en verwoorden iets andere insteken. Een functie kan namelijk niet gedefinieerd zijn voor sommige waarden. B.v. 1/x is niet gedefinieerd voor x = 0 en log alleen voor positieve getallen.

Sommigen zullen zeggen dat het domein van 1/x gewoon ℝ is, maar dat de functie niet gedefinieerd is voor 0, anderen zullen zeggen dat in feite het domein ℝ\{0} is, en dan koppelt 1/x wél elke waarde uit het domein aan precies één waarde uit het bereik.

Er is niet zoveel aan uit te leggen, want het staat er in feite. Dus, geldt a = 2^kb, voor een zekere k, dan zit het paartje (a,b) in de relatie. Neem b.v. a = 8 en b = 2, dan geldt a = 2²·b, dus die zit erin.

Het makkelijkste om die tabel te maken is er een vierkante tabel van te maken en kruisjes te plaatsen waar het klopt.

quote:

Op vrijdag 16 oktober 2009 15:07 schreef Diabox het volgende:
Dus inprincipe moet ik steeds kijken of
a = 2^k . b kan waarbij ik voor a en b steeds alle getallen van 1 t/m 10 af ga, en waarbij ik een k kies die ervoor zorgt dat de uitkomst a kloppend is, zo niet zet ik geen kruisje?

Ja, maar, je kunt gegeven een b natuurlijk wel vrij snel bedenken welke a’s erbij horen. Verder kun je uit de vraagstelling al enige dingen opmaken, met name (b) opmaken die wel zullen moeten gelden, dus daar kun je ook al rekening mee houden. (Overigens staat er bij (b) ‘ga na’, maar het is natuurlijk vrij eenvoudig te bewijzen).