SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Alleen maar omdat ik naar jou luister zeker 
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Kan ik hier ook m'n vragen kwijt omtrent semantische tableau's, propositie- en predikatenlogica? Volgens mij is het testen van consistentie namelijk vakoverstijgend.
Voor m'n studie (filosofie) moet ik nu leren werken met semantische tableau's. Je raadt het al, voor mij als typische alfa valt het nogal zwaar. Al zie ik zelf ook in dat de stof niet ontzettend abstract of onbegrijpelijk is. We werken met het boekje 'Logic' van Wilfrid Hodges.
Een voorbeeld (genomen uit een chemische analyse) hoe de semantische tablau toegepast wordt door Hodges:
Hij begint bij een willekeurige zin. Ditmaal bij de tweede. Deze zin is alleen waar als 'manganese is absent' en 'nickel is absent' beide waar zijn ('and' is de connectief). Het gevolg is dit:
Hetzelfde past hij toe op de derde zin:
Er is nog geen contradictie (tegenspraak) opgetreden in de kortere zinnen, dus het is tijd om de eerste zin op te breken. De eerste zin is waar als er een 'brown colour appears', of als het niet waar is dat 'Colbalt but nickel is present' is (een of-inclusief dus!). Dit resulteert in de volgende ontleding:
Aan de rechtertak zien we nu een duidelijke tegenspraak: 'Only a grean colour appears.' en 'A brown colour appears'. Deze zinnen kunnen niet tegelijkertijd waar zijn, dus ze zijn inconsisent. Oftewel; streep eronder!
Nu nog alleen de linkertak. Deze zin is dus precies waar als colbalt absent is of nickel present is (let op: of-inclusief! Eén hoeft maar waar te zijn!).
De linkertak heeft de twee inconsisente zinnen 'Colbalt is present' en 'Colbalt is absent'. Dus streep eronder. De andere tak kan ook gesloten worden vanwege de twee inconsistente zinnen 'Nickel is absent' en 'Nickel is present'. De volledige tableau is dus als volgt:
Alle drie de takken (situaties die mogelijk waar konden zijn) zijn gesloten. Oftewel; de verzameling zinnen is inconsistent!.
Nu dat we dit voorbeeld gehad hebben gaan we naar een opgave die ik voor m'n neus kreeg. Dit is 'm:
Net als Hodges neem ik een willekeurig startpunt, in dit geval de eerste zin. Als ik naar die eerste zin kijk zie ik, volgens mij, een of-inclusief: of Auguste woont in Bootle, of Auguste woont in Bootle. Hierdoor komt dus een vertakking:
Eerste zin gehad, op naar de tweede. Wederom een of-inclusief in mijn ogen. Dezelfde truc dus.
Zo, aangekomen bij de laatste zin. In deze zin zit een 'en', dus die moet ik eronder elkaar neerkalken.
Kwam er ineens achter dat ik de derde zin verkeerd had overgenomen. Oeps.
Het moet dus
zijn 'doesn't live in Bootle'. Domdomdom. Maar afijn, wanneer ik naar de zinnen kijk en of zij consistent (dwz. één van de mogelijkheden is tegelijkertijd waar) zijn, kom ik tot de volgende conclusie:
Deze set zinnen is dus consistent. Ik zie namelijk drie takken met een set zinnen die mogelijk waar kunnen zijn tegelijkertijd.
Graag feedback hierop, want ik heb werkelijk geen enkel benul op het klopt.
Een voorbeeld (genomen uit een chemische analyse) hoe de semantische tablau toegepast wordt door Hodges:
Hij begint bij een willekeurige zin. Ditmaal bij de tweede. Deze zin is alleen waar als 'manganese is absent' en 'nickel is absent' beide waar zijn ('and' is de connectief). Het gevolg is dit:
Hetzelfde past hij toe op de derde zin:
Er is nog geen contradictie (tegenspraak) opgetreden in de kortere zinnen, dus het is tijd om de eerste zin op te breken. De eerste zin is waar als er een 'brown colour appears', of als het niet waar is dat 'Colbalt but nickel is present' is (een of-inclusief dus!). Dit resulteert in de volgende ontleding:
Aan de rechtertak zien we nu een duidelijke tegenspraak: 'Only a grean colour appears.' en 'A brown colour appears'. Deze zinnen kunnen niet tegelijkertijd waar zijn, dus ze zijn inconsisent. Oftewel; streep eronder!
Nu nog alleen de linkertak. Deze zin is dus precies waar als colbalt absent is of nickel present is (let op: of-inclusief! Eén hoeft maar waar te zijn!).
De linkertak heeft de twee inconsisente zinnen 'Colbalt is present' en 'Colbalt is absent'. Dus streep eronder. De andere tak kan ook gesloten worden vanwege de twee inconsistente zinnen 'Nickel is absent' en 'Nickel is present'. De volledige tableau is dus als volgt:
Alle drie de takken (situaties die mogelijk waar konden zijn) zijn gesloten. Oftewel; de verzameling zinnen is inconsistent!.
Nu dat we dit voorbeeld gehad hebben gaan we naar een opgave die ik voor m'n neus kreeg. Dit is 'm:
Net als Hodges neem ik een willekeurig startpunt, in dit geval de eerste zin. Als ik naar die eerste zin kijk zie ik, volgens mij, een of-inclusief: of Auguste woont in Bootle, of Auguste woont in Bootle. Hierdoor komt dus een vertakking:
Eerste zin gehad, op naar de tweede. Wederom een of-inclusief in mijn ogen. Dezelfde truc dus.
Zo, aangekomen bij de laatste zin. In deze zin zit een 'en', dus die moet ik eronder elkaar neerkalken.
Kwam er ineens achter dat ik de derde zin verkeerd had overgenomen. Oeps.
Het moet duszijn 'doesn't live in Bootle'. Domdomdom. Maar afijn, wanneer ik naar de zinnen kijk en of zij consistent (dwz. één van de mogelijkheden is tegelijkertijd waar) zijn, kom ik tot de volgende conclusie:
Deze set zinnen is dus consistent. Ik zie namelijk drie takken met een set zinnen die mogelijk waar kunnen zijn tegelijkertijd.
Graag feedback hierop, want ik heb werkelijk geen enkel benul op het klopt.
Ik twijfel nu weer. 
Het nare gevoel begint me te bekruipen alleen de meest rechtse vertakking consistent is (vanwege de 'en'-connectief die volgens mij eist dat beide zinnen per se waar moeten zijn).
Het nare gevoel begint me te bekruipen alleen de meest rechtse vertakking consistent is (vanwege de 'en'-connectief die volgens mij eist dat beide zinnen per se waar moeten zijn).
Alleen de laatste tak is waar inderdaad. Bij de tweede heb je B leeft wel/niet in B, en bij de derde heb je hetzelfde probleem als bij de eerste.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Bedankt! 
Het klopte idd wat je zei.
Bij dezen nog een opgave die ik gemaakt heb:
Hopelijk klopt deze wel.
Het klopte idd wat je zei.Bij dezen nog een opgave die ik gemaakt heb:
Hopelijk klopt deze wel.
Die tweede vermelden in de rechtertak is overbodig, maar ik weet niet of je het ook weg mag laten. Verder klopt hij.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik schrijf ze eigenlijk te lang op, maar dat is meer voor mezelf om het begrijpelijk te houden. Nogmaals bedankt!
Oh! Semantische tableaus! 
Maar hoe jij ze oplost… is dat echt de methode die je aangeleerd wordt? Ik vind het zó onoverzichtelijk als ik eerlijk ben, met name omdat je telkens maar die hele zinnen meesleept. Ik kon het niet laten om die laatste opgave ook te doen. Ik zou het zo doen:
Ik heb de formules even een kleurtje geven. Jouw uitwerking is niet fout, d.w.z. komt goed uit, maar ik vind dat je strikt genomen niet precies genoeg bent in je uitwerking van de eerste regel. Er staat namelijk hetzij Y of Z (maar niet allebei), dus als je die tak splitst, dan moet je beide aangeven. In dit geval maakt het voor de uitkomst niet uit, maar strikt genomen heb jij
(inclusieve of) uitgewerkt. Althans, bovenstaande is hoe ik deze exclusieve-of-regel zou uitwerken (want feitelijk is 
gelijk aan 
).
En als laatste doe ik net als Glowmouse, ik laat de tweede regel weg in de rechter tak, die maakt toch niet uit voor de uitkomst. (En volgens mij is dat ook de gangbare manier van doen.) Het belangrijkste echter lijkt me het leren werken met logische symbolen, het gaat juist om de algemene verbanden in logica, niet om de specifieke inhoud van de voorbeeld zinnetjes.
Maar hoe jij ze oplost… is dat echt de methode die je aangeleerd wordt? Ik vind het zó onoverzichtelijk als ik eerlijk ben, met name omdat je telkens maar die hele zinnen meesleept. Ik kon het niet laten om die laatste opgave ook te doen. Ik zou het zo doen:
Ik heb de formules even een kleurtje geven. Jouw uitwerking is niet fout, d.w.z. komt goed uit, maar ik vind dat je strikt genomen niet precies genoeg bent in je uitwerking van de eerste regel. Er staat namelijk hetzij Y of Z (maar niet allebei), dus als je die tak splitst, dan moet je beide aangeven. In dit geval maakt het voor de uitkomst niet uit, maar strikt genomen heb jij
En als laatste doe ik net als Glowmouse, ik laat de tweede regel weg in de rechter tak, die maakt toch niet uit voor de uitkomst. (En volgens mij is dat ook de gangbare manier van doen.) Het belangrijkste echter lijkt me het leren werken met logische symbolen, het gaat juist om de algemene verbanden in logica, niet om de specifieke inhoud van de voorbeeld zinnetjes.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Een brommer trekt eenparig versneld op waardoor hij in 4 sec een afstand van 24 m aflegt. Bereken zijn versnelling.
Noem de afgelegde weg (spatium) op tijdstip t s(t) en noem de snelheid (velocitas) op tijdstip t v(t), dan geldt uiteraard:quote:Op maandag 27 oktober 2008 19:43 schreef JOO het volgende:
Een brommer trekt eenparig versneld op waardoor hij in 4 sec een afstand van 24 m aflegt. Bereken zijn versnelling.
(1) v(t) = s'(t)
De versnelling (acceleratio) a is constant, en we mogen aannemen dat geldt v=0 op tijdstip t=0, zodat geldt
(2) v(t) = a∙t
Uit (1) en (2) en de beginwaarde s(0) = 0 kun je nu een formule voor s(t) afleiden, waarmee het gevraagde is te berekenen. Maar nu mag je zelf weer even nadenken.
En als het middelbare school is, dan moet je simpelweg de ‘bekende formule‘ die afstand, beginsnelheid, snelheid en versnelling relateert invullen door je af te vragen: Wat is elk van die waarden. Als het goed is houd je alleen de afstand als onbekende over en kun je dit uitrekenen.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Didactisch vind ik het nooit zo'n goed idee om klakkeloos een 'bekende' formule te laten gebruiken, daarmee creëer je geen inzicht. Overigens is de opgave ook zonder formules met het 'gezonde' verstand op te lossen.quote:Op maandag 27 oktober 2008 22:11 schreef Iblis het volgende:
En als het middelbare school is, dan moet je simpelweg de ‘bekende formule‘ die afstand, beginsnelheid, snelheid en versnelling relateert invullen door je af te vragen: Wat is elk van die waarden. Als het goed is houd je alleen de afstand als onbekende over en kun je dit uitrekenen.
Daar heb je helemaal gelijk in, deze formule is een prachtige om het concept van differentiëren tastbaarheid te geven aan de hand van een duidelijk fysisch voorbeeld. Maar het wordt meestal niet zo gedaan.quote:Op maandag 27 oktober 2008 22:31 schreef Riparius het volgende:
Didactisch vind ik het nooit zo'n goed idee om klakkeloos een 'bekende' formule te laten gebruiken, daarmee creëer je geen inzicht. Overigens is de opgave ook zonder formules met het 'gezonde' verstand op te lossen.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als het middelbare school is kan je simpelwegquote:Op maandag 27 oktober 2008 19:43 schreef JOO het volgende:
Een brommer trekt eenparig versneld op waardoor hij in 4 sec een afstand van 24 m aflegt. Bereken zijn versnelling.
s= 1/2 * a * t^2 gebruiken
Dit mag alleen als de beginsnelheid/eindsnelheid nul is. Dat is het geval dus je krijgt dan 1 onbekende (a)
Moet lukken
Dat weet ik natuurlijk ook wel, en dat is precies waar mijn betoog hierboven op aanstuurt, want uit s'(t) = a∙t en s(0) = 0 volgt s(t) = ½∙a∙t2. Maar door domweg een formuletje toe te passen leert de vragensteller niks. Dan kun je nog beter een uitleg geven zonder formules die zelfs ieder kind op de basisschool kan snappen, als volgt:quote:Op maandag 3 november 2008 19:07 schreef Viezze het volgende:
[..]
Als het middelbare school is kan je simpelweg
s= 1/2 * a * t^2 gebruiken
Dit mag alleen als de beginsnelheid/eindsnelheid nul is. Dat is het geval dus je krijgt dan 1 onbekende (a)
Moet lukken.
De brommer legt in 4 seconden een afstand af van 24 meter, dus de gemiddelde snelheid was 24 : 4 = 6 meter per seconde. De brommer versnelt eenparig vanuit stilstand, dus die gemiddelde snelheid werd bereikt na de helft van de tijd, ofwel na 2 seconden. Welnu, als de brommer in twee seconden accelereert van 0 naar 6 meter per seconde, dan is de versnelling dus 6 : 2 = 3 meter per seconde per seconde, ofwel 3 m/sec2.
Ik schaam me voor het vragen, maar doe het toch.
Iemand vraagt me op msn om een functie te vereenvoudigen. Het is een eerstejaars wiskundevak en ik moet dit makkelijk kunnen. Ik kom er alleen niet uit?
(x3+ x - 2) / (x2 - 1)
Ik weet dat (x2 - 1) gelijk is aan (x-1)(x+1)....
Iemand vraagt me op msn om een functie te vereenvoudigen. Het is een eerstejaars wiskundevak en ik moet dit makkelijk kunnen. Ik kom er alleen niet uit?
(x3+ x - 2) / (x2 - 1)
Ik weet dat (x2 - 1) gelijk is aan (x-1)(x+1)....
In de teller zie je dat 1 een nulpunt is, dus kun je (x-1) buiten haakjes halen. Je hebt x³+x-2 = (x-1)(x²+x+2). Volgende keer in het wiskundetopic.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ja, dus het zou gemakkelijk zijn wanneer je iets zou kunnen vinden zodat: <iets>(x - 1) = x3 + x - 2, of <iets>(x + 1) dat zou zijn. Gezien het feit dat je met x vermenigvuldigt verwacht je dat iets een tweedegraads vergelijking wordt, en dan moet je zorgen dat je niet met die x2 blijft zitten; het ligt dus voor de hand om (x - 1) te proberen, want dan krijg je in ieder geval een -x2, poging (alternatief, als (x - 1) een factor is, moet 1 een nulpunt zijn, en dat klopt inderdaad):
(x2 + ....)(x - 1)=x3 + x - 2
Dat geeft direct:
(x2 + ....+ 2)(x - 1)=x3 + x - 2
Dat geeft echter ook + 2x, terwijl we +x moeten hebben, maar met +x invullen op de puntjes valt er een x weg tegen -1:
(x2 + x + 2)(x - 1)=x3 + x - 2
Nu eens kijken of dat inderdaad klopt. ja, dat doet het, de x2 valt mooi weg tegen de -x2. Nou, dat maakt dus al:
(x^2 + x + 2)/(x + 1)
Kun je nu nog zoiets doen? Nee, dan zou -1 een oplossing moeten zijn van de kwadratische vergelijking, en dat is het niet.
Te laat…
(x2 + ....)(x - 1)=x3 + x - 2
Dat geeft direct:
(x2 + ....+ 2)(x - 1)=x3 + x - 2
Dat geeft echter ook + 2x, terwijl we +x moeten hebben, maar met +x invullen op de puntjes valt er een x weg tegen -1:
(x2 + x + 2)(x - 1)=x3 + x - 2
Nu eens kijken of dat inderdaad klopt. ja, dat doet het, de x2 valt mooi weg tegen de -x2. Nou, dat maakt dus al:
(x^2 + x + 2)/(x + 1)
Kun je nu nog zoiets doen? Nee, dan zou -1 een oplossing moeten zijn van de kwadratische vergelijking, en dat is het niet.
Te laat…
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Je ziet gemakkelijk dat de teller x3 + x - 2 gelijk is aan 0 voor x = 1 (want 1 + 1 - 2 = 0), en dus is de teller deelbaar door (x - 1). De noemer x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) is ook deelbaar door (x - 1) en dus kun je de breuk vereenvoudigen door teller en noemer te delen door (x - 1). Voer een polynoomstaartdeling uit om (x3 + x - 2)/(x - 1) te bepalen.quote:Op maandag 3 november 2008 23:21 schreef Zwansen het volgende:
Ik schaam me voor het vragen, maar doe het toch.
Iemand vraagt me op msn om een functie te vereenvoudigen. Het is een eerstejaars wiskundevak en ik moet dit makkelijk kunnen. Ik kom er alleen niet uit?
(x3+ x - 2) / (x2 - 1)
Ik weet dat (x2 - 1) gelijk is aan (x-1)(x+1)....
