Wiskundig probleem: driedeurenprobleem

quote:

---

Op woensdag 12 maart 2003 20:28 schreef HighLander het volgende:
Je hebt 2 deuren, waarbij achter 1 van de deuren de prijs zit.
Wat is de kans dat ie achter de eerste deur zit.
Ik heb dit altijd al een klote probleem gevonden, snap de redenaties, maar wil er nog steeds niet aan.

---

code:

---

/* Simulatie voor het 3-deuren probleem (Willem Ruijs selectie / Monty Python
 * probleem). Eigenlijk gegeneraliseerd naar n deuren.  Het probleem is als
 * volgt: Je staat voor een rij van 3 deuren. Achter een van deze deuren staat
 * een prijst. Je kiest een deur. Dan opent de quizmaster een deur met dien
 * verstande dat *niet* de deur wordt geopend waar jij voorstaat en dat *niet*
 * de deur wordt geopend waar de prijs achterstaat.  Daarna mag je wisselen. Is
 * dat wisselen gunstig of niet? Dat simuleert dit programma.
 *
 * Toelichting: Het antwoord is ja, het wisselen is gunstig. In het geval van 3
 * deuren loopt je kans op van 33.3% naar 66.7%. 
 *
 * Generalisatie: In het geval van n deuren zal de quizmaster weer alle deuren
 * openen op twee na. En weer niet die deur waar jij voorstaat of de prijs
 * achterstaat. Zijn er dus 100 deuren, dan worden er 98 geopend. Dan mag je
 * weer kiezen of je de deur neemt waar je voorstaat of de andere die nog
 * gesloten is.
 */

#include <err.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <unistd.h>

#define STANDAARD_POGINGEN       1000
#define STANDAARD_DEUREN      3
#define STANDAARD_WISSEL      0
void
gebruik(void)
{
      /* -d voor het aantal deuren
       * -p voor het aantal simulaties
       * -w om aan te geven of er wel of niet gewisseld wordt.
       */
      printf("gebruik: quiz [-d deuren] [-p pogingen] -w\n");
      exit(1);
}

int
main(int argc, char **argv)
{
      int ch;
      int pogingen, succes;
      int maxpoging, deuren;
      int wissel;
      float percentage;
      FILE *fd;
      
      maxpoging = STANDAARD_POGINGEN;
      deuren = STANDAARD_DEUREN;
      wissel = STANDAARD_WISSEL;
      percentage = 0;

      while ((ch = getopt(argc, argv, "d:p:w")) != -1) {
            switch(ch) {
            case 'd':
                  deuren = atoi(optarg);      
                  break;
            case 'p':
                  maxpoging = atoi(optarg);
                  break;
            case 'w':
                  wissel = 1;
                  break;
            case 'h':
            default:
                  gebruik();
            }
      }
      argc -= optind;
      argv += optind;

      if (deuren < 3)
            errx(1, "Aantal deuren moet groter dan twee zijn.");
      if (maxpoging < 1)
            errx(1, "Aantal pogingen moet groter dan nul zijn.");
      
      fd = fopen("/dev/random", "r");
      if (fd == NULL)
            errx(1, "Kon /dev/random niet openen.");

      /* Uitganspositie */
      pogingen = succes = 0;
      (void) printf("Druk op CTRL+C om eerder te stoppen.\n");
      (void) printf("Simulatie met %d deuren, %d pogingen en er wordt %s"
            "gewisseld.\n", deuren, maxpoging, wissel ? "wel" : "niet");
      while (pogingen < maxpoging) {
            int prijs, keuze, nietopen;

            if ((prijs = fgetc(fd)) == -1)
                  errx(1, "Huh? EOF op \"/dev/random\"...");
            if ((keuze = fgetc(fd)) == -1)
                  errx(1, "Huh? EOF op \"/dev/random\"...");
            prijs %= deuren;
            keuze %= deuren;

            /* De quizmaster mag niet de deur openen waar
             * wij achter staan en ook niet de deur waar
             * de auto achterstaat. 
             * Is de locatie van de prijs gelijk aan die
             * van de auto dan kan er dus een willekeurige
             * andere deur ongeopend blijven (en moet de
             * rest geopend worden). (Eerste geval).
             * Anders kunnen alleen onze deur en de deur
             * waar de prijs achterstaat gesloten blijven.
             */
            if (keuze == prijs)
                  nietopen = keuze + 1 % deuren;
            else
                  nietopen = prijs;

            if (wissel) 
                  keuze = nietopen;

            if (keuze == prijs)
                  succes++;

            pogingen++;
            percentage = (float) succes / (float) pogingen * 100;
            (void) printf("Pogingen: %d, succes: %d; percentage: %-3.3f%%\r",
                  pogingen, succes, percentage);
      }
      printf("Klaar! Na %d pogingen, waarvan %d succesvol; percentage was:"
            "%-3.3f%%\n", pogingen, succes, percentage);
      return 0;
}

---

Het programma heeft drie opties -d voor het aantal deuren, -p voor het aantal pogingen en als je -w opgeeft wordt er wel gewisseld, anders niet.

En de resultaten kloppen met de theorie.

[edit]
De string "/dev/random" moet wel vervangen worden door b.v. "/dev/srandom" of wellicht nog iets anders afhankelijk van je OS.

[Dit bericht is gewijzigd door Nem0 op 16-03-2003 20:29]

quote:

---

Op zondag 16 maart 2003 18:01 schreef thiamat het volgende:
stel je hebt 100 deuren, jij zegt deur 2 staat de auto achter, hij opent 98 andere deuren, dan laat ie toch expres jouw deur nog dicht om het spannend te houden, en zit ie waarschijnlijk in de andere deur...

dit is vanuit de quizmaster (en crew ) bekeken.. absoluut niet wiskundig, maar ook leuk

---

quote:

---

Op zondag 16 maart 2003 23:42 schreef Desdinova het volgende:

[..]

Mja als je hem zo uitlegt snap ik het.. Maar dit is bij meerdere deuren.. Hij opent er meerdere deuren.. Dus naar mijn idee staat dit voorbeeld los van de 3 deuren.. Bij de 100 deuren zie ik de logica er van in.. maar bij 3 niet..

---

Stel jij kiest in het begin een foute deur. Dan moet de quizmaster alle deuren op twee na gaan openen (of het er nou 100 of 3 zijn), dan is hiervoor nog maar een mogelijkheid, aangezien jouw deur en de deur met de prijs dicht moeten blijven (hetgeen dus verschillende deuren zijn). Hoe dan ook, als je wisselt na dit openen heb je gewonnen.

Wat is nu de kans dat je in het begin bij een foute deur gaat staan, die is bij 3 deuren 2/3 en bij 100 deuren 99/100. Ofwel, de kans dat je fout staat is groter dan de kans dat je goed staat. Als je fout staat heb je na het wisselen echter gegarandeerd prijs.

Echter: Als je goed stond (wat bij 100 deuren maar een kans van 1/100) is dan wissel je en verlies je dus (bij 3 deuren evenzo, alleen is de kans dat je daar goed staat 1/e).

Kortom de kans dat je in het begin goed staat is de kans dat je na het wisselen fout bent en de kans dat je in het begin fout staat is de kans dat je na het wisselen goed staat.

Dit is echter al vaak uitgelegd, maar goed, soms helpt het opeens om iemand toch het licht te laten zien.

Dat met dattie jouw deur niet mag openen deed t m

ik ga het niet nog een keer voor je uitleggen, ik zie dat de uitleg ook nog velen malen in dit topic staat.

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 14:20 schreef BlackJack het volgende:
nadat mijn topic gesloten werd: Het Quizmaster raadsel moet ik nog een ding doen voor sjummi:

ik ga het niet nog een keer voor je uitleggen, ik zie dat de uitleg ook nog velen malen in dit topic staat.

---

Zulke mooie berekeningen, zulke mooie grafieken, zulke mooie programma's, en dan de basis van kansrekening niet begrijpen...

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 14:09 schreef Sjummie het volgende:
Op het moment dat de kwismaster een fout deurtje openmaakt, wordt de 33,33% kans van dit deurtje verdeeld over de andere 2 deurtjes.

---

Jij beweert in dat andere topic dat keuze uit twee deuren impliceert dat de kans altijd 50% is. Dat is bullshit.

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 14:41 schreef Sjummie het volgende:
Zulke mooie berekeningen, zulke mooie grafieken, zulke mooie programma's, en dan de basis van kansrekening niet begrijpen...

---

niet moeilijk doen, gewoon simpel denken, dat is de basis van de kansrekening.

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 16:34 schreef Metamorphozis het volgende:
Als ik vijf personen heb, genaamd A, B, C, D en E.. en die zet ik achter twee deuren, waarvan gegeven is dat er bij de eerste deur 1 persoon achter staat en bij de andere 4.. wat is dan de kans dat persoon C achter deur 1 staat? 50% want er zijn twee deuren

niet moeilijk doen, gewoon simpel denken, dat is de basis van de kansrekening.

---

Stel je kies 1 deur. je winstkans is 1/3 je verlieskans 2/3.

De laatste kans ligt verdeeld over twee deuren. Als 1 van deze deuren dus opengaat en je blijft bij je oude deur, dan ligt er nog steeds 2/3 verlieskans, maar nu op 1 deur. Als je dus wisselt, draai je de kansen dus om in 2/3 winst- en 1/3 verlieskans

[Dit bericht is gewijzigd door AlonzoD op 31-07-2003 17:11]

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 16:27 schreef Metamorphozis het volgende:

[..]

Waarom? Dat leg je niet uit.

Jij beweert in dat andere topic dat keuze uit twee deuren impliceert dat de kans altijd 50% is. Dat is bullshit.

---

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 18:07 schreef Sjummie het volgende:

[..]

Stel, je bent kandidaat in een quiz, je mag kiezen uit 2 deuren, achter 1 staat een auto. Hoe groot is de kans dat je de auto wint ?

---

maar wat je niet meeneemt is dat je door de keuze van de presentator al informatie hebt over de deur waar je niet voorstaat

* BlackJack wijst naar sig.

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 18:17 schreef BlackJack het volgende:

[..]

in dit geval: 50-50

maar wat je niet meeneemt is dat je door de keuze van de presentator al informatie hebt over de deur waar je niet voorstaat

* Sjummie wijst naar sig.

---

Je weet niks, noppes over de deur die de kandidaat gekozen heeft en ook niks, noppes over de overgebleven deur. Achter 1 van de 2 zit een auto ! Ofwel 50 %

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 18:29 schreef BlackJack het volgende:
de keuze van de presentator is niet altijd een keuze. in 2 van de 3 gevallen zal hij geen keus hebben, dan bevat 1 van zijn twee deuren de prijs. Daaruit volgt direct dat in 2 van de 3 gevallen de prijs achter de andere deur zal zitten.

---

Feit blijft dat de presentator een LEEG deurtje opent. Voor de kandidaat blijven er 2 deurtjes over: 1 leeg deurtje en 1 vol deurtje. Onze lieve kandidaat moet er eentje kiezen, met een kans van 50%

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 18:46 schreef Sjummie het volgende:
De quizmaster heeft voorkennis en heeft inderdaad in sommige gevallen geen keus. Onze lieve kandidaat heeft echter geen flauw benul van deze voorkennis.

---

Als de presentator dat zelf bedenkt, zonder de kandidaat te vertellen of dat standaard procedure is of niet, is het idd een gok van 50-50.

Casper het spookje zwerft rond door Nederland.. elke nacht kiest hij een willekeurig bed van één van 16 miljoen nederlanders uit en gaat daar onder liggen slapen. Casper is bij de tijd, dus met zn nieuwste mobieltje sms't ie elke nacht voor het slapen gaan naar het NOS journaal onder welk bed hij verblijft.

Een persoon genaamd Sjummie vraagt zich af of Casper soms onder zijn bed gaat slapen. De kans is maar verwaarloosbaar klein dat dit gebeurt, slechts één op de 16 miljoen!
Dankzij een speciale actie van mensen op Fok! is de redactie van het Journaal bereid gevonden om dagelijks informatie te geven over de locatie van Casper. Sacha de Boer weet precies onder welk bed Casper zit. Casper zit vrijwel zeker niet onder Sjummie's bed, hij zit onder één van die andere 15.999.999 bedden.

De eerste dag, zit Casper onder het bed van Sjaak de Vries uit Rotterdam. Benieuwd wat ze dan gaan vertellen... Sacha de Boer meldt: Casper bevindt zich vandaag onder het bed van één van beide personen: Sjummie of Sjaak de Vries uit Rotterdam. Er worden maar twee personen genoemd, dus volgens Sjummie is de kans wel 50% dus Sjummie gaat snel onder zijn bed kijken!

De dag erna meldt Sacha: Casper bevindt zich vandaag onder het bed van één van beide personen: Sjummie of Vera Vleermuis uit Haarlem.

3e dag zegt Sacha: Casper bevindt zich vandaag onder het bed van één van beide personen: Sjummie of Hendrik Hoffman uit Den Burg.

Zo gaat het een jaar door... een jaar lang heeft Sjummie trouw het nieuws gevolgd en elke dag geconcludeerd dat hij een kans van een half had dat Casper onder zijn bed zou zitten. Het verwachtte aantal bezoeken van Casper is dus 50% van 365 is ong. 183. En dat terwijl Casper elke dag uit 16 miljoen verschillende bedden koos!! Puur vanwege het feit dat Sacha de Boer van Casper te horen kreeg waar hij zat heeft er toe geleid dat Sjummie onwaarschijnlijk vaak bezocht is door een spook!

Volgens mij ziet Sjummie spoken!!!!!

Ik heb de buren er bij gehaald.
Na verhitte discussies zijn we eruit:

Ondanks dat de kans 50% is, is het beter om de andere deur te kiezen

Ik ga d'r 'ns een weekendje over nadenken denk ik...

Sjummie, BlackJack en Metamorphozis doen allemaal mee aan het drie deuren spel.

Omdat er dit keer drie spelers zijn, krijgen ze alledrie een koptelefoon.

Sjummie kiest deur 1, BlackJack deur 2 en Metamorphozis deur 3.

De presentator vertelt Sjummie dat de prijs niet achter deur Xa zit, waarbij Xa is 2 of 3. Ya is dan de overgebleven deur. Sjummie mag kiezen tussen deur 1 of Ya, beiden hebben 50% kans op winst.
De presentator vertelt BlackJack dat de prijs niet achter deur Xb zit, waarbij Xb is 1 of 3. Yb is dan de overgebleven deur. BlackJack mag kiezen tussen deur 2 of Yb, beiden hebben 50% kans op winst.
De presentator vertelt Metamorphozis dat de prijs niet achter deur Xc zit, waarbij Xc is 1 of 2. Yc is dan de overgebleven deur. Metamorphozis mag kiezen tussen deur 3 of Yb, beiden hebben 50% kans op winst.

De kans dat deur 1 de goede is, is 50%.
De kans dat deur 2 de goede is, is 50%.
De kans dat deur 3 de goede is, is 50%.
Totaal is er dus 150% kans!

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 18:46 schreef Sjummie het volgende:

[..]

Onze lieve kandidaat heeft echter geen flauw benul van deze voorkennis.

---

De presentator weet welke van de 9999 de goede is, en opent de 9998 deuren die niet door de kandidaat gekozen waren en waar niet de prijs achter ligt.
In slechts 1 op de 10000 keren, zal de kandidaat gelijk al in de eerste instantie de winnende deur hebben gekozen. In slechts 1 op de 10000 keren zal de presentator dus een willekeurige deur dicht laten, in plaats van de winnende deur dicht te laten. In alle ander gevallen, dus 9999 van de 10000 zal de host de winnende deur van de 9999 overige deuren dichtlaten en de rest open. In 9999 van de 10000 gevallen zal dus de "andere" deur de winnende zijn.

Stel dat dat niet zo zou zijn, dan zou je voor elke deur het volgende kunnen redeneren;

We spelen het spel tientallen keren, zeg 30.
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 1 en 378 dicht. Je blijft bij deur 1 want 50% kans.
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 1 en 2599 dicht. Je blijft bij deur 1 want 50% kans.
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 1 en 7412 dicht. Je blijft bij deur 1 want 50% kans.
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 1 en 8879 dicht. Je blijft bij deur 1 want 50% kans.
etc. etc.

Na 30 keer 50% kans te hebben gehad, verwacht je dat je ongeveer 15 keer gewonnen hebt. Hoe is dit mogelijk? Je kiest elke keer deur 1 en je wint 15 keer! Terwijl de kans op winst per beurt slecht 0.01% is!

Wat was er gebeurd als je niet deur 1 had gekozen, maar deur 2?
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 2 en 378 dicht. Je blijft bij deur 2 want 50% kans.
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 2 en 2599 dicht. Je blijft bij deur 2 want 50% kans.
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 2 en 7412 dicht. Je blijft bij deur 2 want 50% kans.
Je kiest deur 1. Presentator laat deur 2 en 8879 dicht. Je blijft bij deur 2 want 50% kans.
etc. etc.
Na 30 keer verwacht je weer 15 keer winst!

Kies dus een willekeurig getal uit 1 tot 10000, laat de host (met voorkennis) 9998 deuren open gooien, en je kunt elke keer verwachten dat je na 30 keer ongeveer 15 keer gewonnen hebt!

quote:

---

Op donderdag 31 juli 2003 20:06 schreef Sjummie het volgende:
Blackjack en anderen.

Ik heb de buren er bij gehaald.
Na verhitte discussies zijn we eruit:

Ondanks dat de kans 50% is, is het beter om de andere deur te kiezen

Ik ga d'r 'ns een weekendje over nadenken denk ik...

---