Daaruit nemen we mee de volgende nog openstaande puzzeltjes:
1) In het platte vlak kleuren we elk punt rood, blauw of geel. Bewijs dat er 2 punten van dezelfde kleur zijn die op afstand 1 van elkaar liggen.
2) Laat N een positief geheel getal zijn en bekijk een schaakbord van 4 bij N vakjes. Laat zien dat het niet mogelijk is om met een paard een springtocht te maken over dit schaakbord waarbij je elk vakje precies 1 keer bezoekt en je in hetzelfde vakje eindigt als waar je begonnen bent.
3) Je wilt een dildo kopen. Voor je liggen n dildo's: n-1 Echte en 1 neppe. De echte zijn even zwaar, maar de neppe die voor je ligt kan zwaarder of lichter zijn dat weet je niet. Je hebt een balans tot je beschikking. Een standaard balans. Bepaal het kleinste getal m zodanig dat je altijd met m keer wegen de foute dildo eruit kan pikken en kan bepalen of hij lichter dan wel zwaarder is dan de rest.
// Prints: July 1, 2000 is on a Saturday
echo "July 1, 2000 is on a " . date ("l", mktime(0,0,0,7,1,2000));
van www.php.net/date
quote:
Op dinsdag 12 augustus 2003 09:44 schreef kresjur het volgende:
Je vraagt naar de code van dat PHP-script maar ondertussen heb je 'm zelf al geschreven? Anyway, je doet iets met// Prints: July 1, 2000 is on a Saturday
echo "July 1, 2000 is on a " . date ("l", mktime(0,0,0,7,1,2000));van www.php.net/date
a) Laat zien dat elk zesvoud geschreven kan worden als de som van vier derdemachten van gehele getallen.
b) Laat zien dat elk geheel getal geschreven kan worden als de som van 5 derdemachten van gehele getallen.
Beschouw het schaakbord als een graaf. De punten zijn de vlakken op het schaakbord. Er is een kant tussen 2 punten als het paard tussen de overeenkomstige vlakken op het schaakbord kan springen. Noem de kanten die het paard gedurende zijn tocht, aannemende dat dat mogelijk is, rode kanten.
Noem de rijen van hoog naar laag A, B, C en D.
Het paard kan niet van rij A naar D springen, andersom natuurlijk ook niet. Beschouw nu de rode kanten tussen A, D en B + C (dit zijn de rijen B en C als een geheel gezien). Er lopen 2N rode kanten van A naar B + C (voor elk punt 2 rode kanten) en ook 2N rode kanten van D naar B + C. Er zijn echter maar 4N rode kanten die in B + C kunnen zitten. Deze moeten dan allemaal afkomstig zijn van A en D. Er lopen daarom geen rode kanten tussen B en C onderling.
Dit betekent dat de route die het paard af legt, al vast ligt op de zijkanten (links en rechts) van het schaakbord.
De linkerkant ziet er dan als volgt uit.
.
.Voor N = 4 kan je nu bewijzen dat er geen springtocht (Hamilton cykel zoals wiskundigen dat ook wel noemen) mogelijk is door ook aan de rechterkant die rode kanten te tekenen. Dan krijg je namelijk een rode ruit en dus kan het paard onmogelijk alle punten bezoeken.
Voor N willekeurig hoop ik dat je kunt bewijzen dat als er een springtocht voor N is, dat er dan ook een springtocht voor N - 1 is. Dit zou dan uiteindelijk betekenen dat voor N = 4 ook een springtocht mogelijk is en dit zou dan een tegenspraak zijn.
Stel dat er een springtocht mogelijk is voor N. Dan bevat deze tocht zeker niet allebei de groene kanten en ook niet allebei de gele kanten omdat je anders een tocht krijgt die niet door alle punten gaat. Als de springtocht voor N niet de groene of gele kanten bevat, dan krijg je volgens mij een springtocht voor N - 1 door de gele en groene kanten toe te voegen.
edit: dat er geen rode kanten tussen B en C kunnen lopen is zeer belangrijk, 't is veel handiger om daar iets mee te doen dan met een inductie-argument.
[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 12-08-2003 12:00]
quote:Bedankt ! Het is handig dit erbij te hebben. Deze werkt jammergenoeg pas vanaf 13-12-1901.
Op dinsdag 12 augustus 2003 09:52 schreef jurn het volgende:[..]
Nu kan ik makkelijk testen of er geen fouten in zitten en welk script sneller is
[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 14:01]
quote:Een willekeurig zesvoud kan geschreven worden als 6k, k E Z.
Op dinsdag 12 augustus 2003 09:53 schreef thabit het volgende:
Puzzeltje erbij:
a) Laat zien dat elk zesvoud geschreven kan worden als de som van vier derdemachten van gehele getallen.
Kies als derdemachten:
(k+1)3
(k-1)3
k3
k3
De som hiervan is:
(k+1)3+(k-1)3+k3+k3=
k3+3k2+3k+1+k3-3k2+3k-1-k3-k3=
6k
De som van deze 4 derdemachten is dus 6k voor willekeurige k.
Netjes opschrijven en klaar! 
quote:Dit is mogelijk omdat het verschil met de dichtsbijgelegen derde macht te creeren is met de overgebleven 4 machten, dit verschil met de 3, de 2 en het uiteindelijke verschil is te creeren met die laatste macht.
Op dinsdag 12 augustus 2003 09:53 schreef thabit het volgende:
Puzzeltje erbij:
a) Laat zien dat elk zesvoud geschreven kan worden als de som van vier derdemachten van gehele getallen.
b) Laat zien dat elk geheel getal geschreven kan worden als de som van 5 derdemachten van gehele getallen.
GetalGetal^3verschilverschilverschilverschil
11
287
3271912
46437186
5125612460
6216913060
73431273660
85121694260
97292174860
1010002715460
1113313316060
1217283976660
1321974697260
[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 17:05]
quote:edit: verkeerde smiley, ik bedoelde
Op dinsdag 12 augustus 2003 16:56 schreef vincent23 het volgende:[..]
Dit is mogelijk omdat het verschil met de dichtsbijgelegen derde macht te creeren is met de overgebleven 4 machten, dit verschil met de 3, de 2 en het uiteindelijke verschil is te creeren met die laatste macht.
.[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 12-08-2003 17:26]
quote:Het komt niet helemaal goed over die tabel
Op dinsdag 12 augustus 2003 17:05 schreef thabit het volgende:[..]
.
GetalGetal^3verschilverschilverschilverschil
1 1
2 8 7
3 27 1912
4 64 37186
5 125 612460
6 216 913060
7 343 1273660
8 512 1694260
9 729 2174860
10 1000 2715460
11 1331 3316060
12 1728 3976660
13 2197 469 72v 6 0
Ga naar edit bericht en dan kan je zien hoe de tabel moet zijn . Maar het gaat om het idee dat het verschil eindelijk nul is.
Dit kan ook wiskundig worden opgeschreven
ALs je op een rij nullen stuit ben je klaar. Dit is logisch te verklaren.
Dus:
MAX-veschil1-verschil5 Dus 5
5-125-61-24-6-0
[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 17:13]
quote:Volgens mij is dit waar voor iedere rij nullen waarvoor het verschil 0 is en dit verschil gelijk is aan het verschil met het te creeren getal. Ik zal nog over de wiskundige uitwerking nadenken.
Op dinsdag 12 augustus 2003 17:29 schreef thabit het volgende:
En waarom is dan elk getal te schrijven als de som van 5 derdemachten?
Ik ben er bijna uit . .
[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 18:50]
quote:Met inducie is dit gemakkelijk, maar ik zou wel graag een ander bewijs zien [ik weet er ook geen]. Je neemt een kubus, je haalt er een rij blokken uit weg en spontaan is het deelbaar door 6, ik heb geen idee.
Op dinsdag 12 augustus 2003 17:23 schreef vincent23 het volgende:
Bewijs dat n^3 - n deelbaar is door 6 voor n => 0.
quote:Wat is spontaan deelbaar door 6??
Op dinsdag 12 augustus 2003 18:27 schreef kresjur het volgende:[..]
Met inducie is dit gemakkelijk, maar ik zou wel graag een ander bewijs zien [ik weet er ook geen]. Je neemt een kubus, je haalt er een rij blokken uit weg en spontaan is het deelbaar door 6, ik heb geen idee.
N*N --> (N-1)*N
Even Even --> Even oneven
Oneven Oneven --> Even Oneven
N*(N+1) is altijd even.
Een even getal is mogelijk deelbaar door 6, maar niet nooddwingend. Dit alleen als A=6*K met k = 1, 2, ... , m.
Bijvoorbeeld een kubus van 5*5. Waarom is een kubus van 5*4 deelbaar door 6?
quote:Kubussen bestaan natuurlijk uit 3 dimensies. dus NxNxN. Dat zijn dus N^3 elementen. Als je daar een rij uit halt (N blokjes), krijg je er N^3-N. Dat is de opgave die je zelf gepost hebt
Op dinsdag 12 augustus 2003 18:31 schreef vincent23 het volgende:
Wat is spontaan deelbaar door 6??N*N --> (N-1)*N
Even Even --> Even oneven
Oneven Oneven --> Even Oneven
N*(N+1) is altijd even.Een even getal is mogelijk deelbaar door 6, maar niet nooddwingend. Dit alleen als A=6*K met k = 1, 2, ... , m.
Bijvoorbeeld een kubus van 5*5. Waarom is een kubus van 5*4 deelbaar door 6?
quote:Ik las dus vierkant . . . . . . Maar zoiets zou ik geen rij noemen . . ..
Op dinsdag 12 augustus 2003 19:29 schreef shift het volgende:[..]
Kubussen bestaan natuurlijk uit 3 dimensies. dus NxNxN. Dat zijn dus N^3 elementen. Als je daar een rij uit halt (N blokjes), krijg je er N^3-N. Dat is de opgave die je zelf gepost hebt
Is dit een hint tot de oplossing van het door mij geposte ?
[Dit bericht is gewijzigd door vincent23 op 12-08-2003 19:49]
N^3-N = (N+1)(N)(N-1)
N of N-1, een van twee is even, de ander is oneven. Dus het product is altijd deelbaar door twee. Dus N^3-N is altijd deelbaar door 2.
Nu hoeven we alleen nog maar aan te tonen dat N^3-N ook altijd deelbaar is door 3. N^3-N is ook te schrijven als N*(N-1)*(N+1). Een van deze drie is altijd deelbaar door 3 (omdat een op de 3 getallen deelbaar is door drie).
Dus is het geheel altijd deelbaar door 6. 
edit: tikfout
[Dit bericht is gewijzigd door shift op 12-08-2003 20:27]
quote:
Op dinsdag 12 augustus 2003 19:38 schreef shift het volgende:
N^3-N deelbaar door 6 voor N>=1N^3-N = N^2(N-1) = N * N * (N-1).
N of N-1, een van twee is even, de ander is oneven. Dus het product is altijd deelbaar door twee. Dus N^3-N is altijd deelbaar door 2.
Nu hoeven we alleen nog maar aan te tonen dat N^3-N ook altijd deelbaar is door 3. N^3-N is ook te schrijven als N*(N-1)*(N+1). Een van deze drie is altijd deelbaar door 3 (omdat een op de 3 getallen deelbaar is door drie).
Dus is het geheel altijd deelbaar door 6.
N*N*(N-1) = N^3-N^2 . Leuk dat je het hier ook voor bewezen hebt
quote:Nou, eigenlijk was dat een tikfout! Daarvoor overigens alleen maar bewezen dat dat deelbaar is door 2, maar dat is niet zo spannend.
Op dinsdag 12 augustus 2003 19:43 schreef vincent23 het volgende:
[..]
N*N*(N-1) = N^3-N^2 . Leuk dat je het hier ook voor bewezen hebt
quote:[edit] de typefouten er effe uitgehaald
Op dinsdag 12 augustus 2003 13:20 schreef ks_choice het volgende:[..]
Een willekeurig zesvoud kan geschreven worden als 6k, k E Z.
Kies als derdemachten:
(k+1)3
(k-1)3
-k3
-k3
De som hiervan is:
(k+1)3+(k-1)3-k3-k3=
k3+3k2+3k+1+k3-3k2+3k-1-k3-k3=
6kDe som van deze 4 derdemachten is dus 6k voor willekeurige k.
Netjes opschrijven en klaar!
[/edit][ hehe, per ongeluk gequote ipv ge-edit
)[Dit bericht is gewijzigd door ks_choice op 12-08-2003 20:44]
quote:En de conclusie die we hieruit kunnen trekken is?
Op dinsdag 12 augustus 2003 17:23 schreef vincent23 het volgende:
Bewijs dat n^3 - n deelbaar is door 6 voor n => 0.
