1^1=1
0.9^0.9=0.909532576
0.8^0.8=0.836511642
0.7^0.7=0.779055913
0.6^0.6=0.736021923
0.5^0.5=0.707106781
0.4^0.4=0.693144843
Omslagpunt: 0.3680.368 = 0.692200641 (Omslagpunt = (1 / e)(1 / e))
0.3^0.3=0.696845302
0.2^0.2=0.724779664
0.1^0.1=0.794328235
0.05^0.05=0.860891659
0.01^0.01=0.954992586
0.005^0.005=0.973856237
0.001^0.001=0.993116048
0.000005^0.000005=0.999938971
0.000001^0.000001=0.999986185
0.0000000001^0.0000000001=0.9999999998
Waarom!? En hoe!??
[ Bericht 2% gewijzigd door #ANONIEM op 11-04-2018 06:43:39 ]
ISCHH FLAUWELKUL!!!!11einz!!quote:
Op 
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 10-04-2018 21:14:45 ]
Kun je iets meer uitleg geven?quote:
Je moet begrijpen dat ik gewoon op mn rekenmachine aan het kutten was en ik hier ineens op uitkwam waar ik met mn verstand niet bij kan. Beetje in stapjes ofzo. Help.
Als je y heel groot maakt, en de macht dus heel klein, naderen zowel de teller als de noemer in deze breuk de 1, ongeacht de waarde voor x. En 1/1 = 1.
Dat is dan ook eigenlijk de reden. We hebben het gewoon zo afgesproken, omdat de rekenregels dan makkelijk blijven voor machtsverheffingen met iets anders dan nul.quote:
2 2 = 4quote:Op dinsdag 10 april 2018 21:18 schreef -mosrednA het volgende:
[..]
Kun je iets meer uitleg geven?
Je moet begrijpen dat ik gewoon op mn rekenmachine aan het kutten was en ik hier ineens op uitkwam waar ik met mn verstand niet bij kan. Beetje in stapjes ofzo. Help.
2 -2 = 1 / (2 2) = 1 / 4
Je kan x0 schrijven als x2 * x-2 en dat is gelijk aan 4 / 4 = 1
Oke oke.. snap ik redelijk. Maar dan, waarom zit het omslagpunt dan bijvoorbeeld op:quote:Op dinsdag 10 april 2018 21:24 schreef Jordy-B het volgende:
[..]
2 2 = 4
2 -2 = 1 / (2 2) = 1 / 4
Je kan x0 schrijven als x2 * x-2 en dat is gelijk aan 4 / 4 = 1
0.3680.368 = 0.692200641
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 10-04-2018 21:36:59 ]
0,368 is 1 / e.quote:Op dinsdag 10 april 2018 21:33 schreef -mosrednA het volgende:
[..]
Oke oke.. snap ik redelijk. Maar dan, waarom zit het omslagpunt dan bijvoorbeeld op:
0.3680.368 = 0.692200641
Ik heb me nooit gerealiseerd dat er zo'n omslagpunt was trouwens.
Ik ook niet, zojuist achtergekomenquote:Op dinsdag 10 april 2018 21:41 schreef Falco het volgende:
[..]
0,368 is 1 / e.
Ik heb me nooit gerealiseerd dat er zo'n omslagpunt was trouwens.
Wat is e?
Ik het geval van x1/y:quote:
[..]
Oke oke.. snap ik redelijk. Maar dan, waarom zit het omslagpunt dan bijvoorbeeld op:
0.3680.368 = 0.692200641
- leidt een afnemende x tot een lager resultaat.
- leidt een toenemende y tot een resultaat dichter bij 1 vanaf x, maar er nooit voorbij.
Die eerste regel is dominanter voor een lage y, daarna krijgt de tweede regel de overhand.
Getal van Eulerquote:Op dinsdag 10 april 2018 21:42 schreef -mosrednA het volgende:
[..]
Ik ook niet, zojuist achtergekomen
Wat is e?
. De geleerden van Wikipeudia hebben er uiteraard een artikel over geschreven: https://nl.wikipedia.org/wiki/E_(wiskunde)Jullie uitleg was helder bedankt!
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 10-04-2018 21:57:02 ]
lim x->0 x^0 = 1
lim x->0 0^x = 0
Officieel is er geen antwoord, volgens mij is hier ook wel een wikipediapagina over.
lim x->0 xx = 1quote:Op dinsdag 10 april 2018 23:42 schreef jatochneetoch het volgende:
Allemaal onzin hier boven, 0^0 bestaat gewoon niet.
lim x->0 x^0 = 1
lim x->0 0^x = 0
Officieel is er geen antwoord, volgens mij is hier ook wel een wikipediapagina over.
De TS geeft zelfs een uitwerking hiervan in de OP.
Hoe komen ze bij het getal van Euler eigenlijk op 2.718xxx? Ik heb er wat over gelezen maar begrijp het eigenlijk niet helemaal..quote:
[..]
Getal van Euler
+ Wat zégt het getal Euler precies? Wat betekent het getal?
En waarom zou het zijn dat (1 / e)(1 / e) toevallig precies het omslagpunt is?
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 11-04-2018 06:59:35 ]
Nu niet mobiel dus hierbij de wiki:quote:
[..]
lim x->0 xx = 1
De TS geeft zelfs een uitwerking hiervan in de OP.
https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero
De helling van de functie f(x)=ax blijkt in elk punt x evenredig met f(x) zelf te zijn. Je kunt je dan afvragen voor welk getal a deze evenredigheidsfactor 1 is, oftewel: voor welk getal a is de helling van de functie f(x)=ax gelijk aan de functiewaarde zelf? Dat getal definiëert e.quote:
[..]
Hoe komen ze bij het getal van Euler eigenlijk op 2.718xxx? Ik heb er wat over gelezen maar begrijp het eigenlijk niet helemaal..
+ Wat zégt het getal Euler precies? Wat betekent het getal?
Oftewel: de functie f(x)=ex met e=2,71... stijgt in elk punt x met een hoeveelheid f(x)=ex.
-edit: de specifieke waarde van e kun je met een machtreeks berekenen. Er blijkt namelijk dat
ex = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ... + x^n/n! + ...
met n --> oo.
Dus voor x = 1 krijg je e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + etc.etc.
[ Bericht 6% gewijzigd door Haushofer op 11-04-2018 08:51:36 ]
lim_{x --> 0} xx
bekijken. Deze limiet zou ik uitrekenen door te schrijven
xx = ex*ln(x),
gebruiken dat dit een continue functie is en
x*ln(x) = ln(x)/(1/x)
schrijven zodat je hier de regel van l'Hospital op los kunt laten. Daaruit volgt dan geloof ik
lim_{x --> 0+} xx = 1.
Als je de functie xx continu in het punt x=0 wilt maken, dan is de definitie 00=1 nodig.
Je kunt dit denk ik vergelijken met bijvoorbeeld de waarde van de sincfunctie
f(x)=sin(x)/x
in het punt x=0. Via l'Hospital vind je dat de limiet x-->0 hiervan gelijk is aan 1, en dus kun je definiëren dat
f(x)=1 voor x= 0.
zodat de functie continu is in x=0, maar ook dit is een definite. Dit volgt ook uit een reeksontwikkeling van f(x) (Ontwikkel de sinus als Taylorreeks waardoor de leidende term 1 wordt en de machten van x wegvallen in de limiet).
Ja, dat geldt voor constante machten. De subtiliteit hier is nu juist dat de macht ook x is en je dus niet meer zomaar x-en tegen elkaar kunt wegstrepen. Je zou dan krijgenquote:
xx = (y-y)y-y = (y-y)y/ (y-y)y en dat brengt je niks verder.
Maar hoe concludeer je dat uit je post? Je kunt toch niet zomaar de ene x invullen en de ander laten staan?quote:
Allemaal onzin hier boven, 0^0 bestaat gewoon niet.
lim x->0 x^0 = 1
lim x->0 0^x = 0
Officieel is er geen antwoord, volgens mij is hier ook wel een wikipediapagina over.
Waar je op lijkt te hinten, is dat als je een functie f(x,y) hebt, een limiet niet mag afhangen van het gekozen pad in R2 als deze wil bestaan. Maar hier hebben we een functie van 1 variabele. Dus ik snap je redenatie niet.
[ Bericht 38% gewijzigd door Haushofer op 11-04-2018 08:59:26 ]
Tot en met boven de streep begrijp ik het nu! Bedankt voor je uitleg! Alles onder de streep echter gaat mn verstand echt te bovenquote:
[..]
De helling van de functie f(x)=ax blijkt in elk punt x evenredig met f(x) zelf te zijn. Je kunt je dan afvragen voor welk getal a deze evenredigheidsfactor 1 is, oftewel: voor welk getal a is de helling van de functie f(x)=ax gelijk aan de functiewaarde zelf? Dat getal definiëert e.
Oftewel: de functie f(x)=ex met e=2,71... stijgt in elk punt x met een hoeveelheid f(x)=ex.
--------------------------------------------
-edit: de specifieke waarde van e kun je met een machtreeks berekenen. Er blijkt namelijk dat
ex = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ... + x^n/n! + ...
met n --> oo.
Dus voor x = 1 krijg je e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + etc.etc.
kan ook zijn omdat ik nu op het werk ben en niet echt de tijd heb om het eens rustig door te lezen. Moet ik vanavond maar even doen dan Nogmaals bedankt voor je uitleg!
Dat onder de streep is ook niet zo eenvoudig te begrijpenquote:Op woensdag 11 april 2018 09:06 schreef -mosrednA het volgende:
[..]
Tot en met boven de streep begrijp ik het nu! Bedankt voor je uitleg! Alles onder de streep echter gaat mn verstand echt te boven
Nogmaals bedankt voor je uitleg!
Het principe is, dat elke functie die zich "netjes gedraagt rond een punt x=a" kunt schrijven als een machtreeks rond dat punt. Machtreeksen zijn reeksen van de vorma0 + a1x + a2x2 + ... + an xn + ....
met constante coefficienten an. Dat is fijn, want machtreeksen hebben allerlei aardige eigenschappen en zijn in het algemeen makkelijk uit te rekenen. Het nadeel is, dat deze machtreeksen oneindig veel termen bevatten.
Je kunt voor jezelf bijvoorbeeld eens de functie
f(x) = ex
en het polynoom
1 + x + x2/2 + x3/6
plotten. Voor kleine x zul je zien dat beide grafieken vrijwel samenvallen. Hetzelfde kun je b.v. doen voor de functie
g(x) = sin(x)
en het polynoom
x - x3/6 + x5/120
Ook hier zullen voor kleine x beide grafieken samenvallen. Dat betekent dat voor kleine hoeken x je de sinus kunt benaderen met de uitdrukking x - x3/6 + x5/120. Voor erg kleine x kun je zelfs de laatste twee termen verwaarlozen en zal gelden dat sin(x) ongeveer gelijk is aan x zelf. Probeer maar eens voor bijvoorbeeld x=0,001.
Een functie bereikt een maximum of minimum als de afgeleide ervan nul wordt (de afgeleide geeft de helling aan)quote:
[..]
Hoe komen ze bij het getal van Euler eigenlijk op 2.718xxx? Ik heb er wat over gelezen maar begrijp het eigenlijk niet helemaal..
+ Wat zégt het getal Euler precies? Wat betekent het getal?
En waarom zou het zijn dat (1 / e)(1 / e) toevallig precies het omslagpunt is?
De afgeleide van xx is xx(1+ln(x)) (zie spoiler voor berekening)
Dat wordt nul wanneer (1+ln(x)) nul wordt, maw wanneer ln(x) = -1
Dat geeft x=1/e (want ln(ey)=y, dus ln(e-1)=-1 en e-1=1/e)
SPOILERxx=ex.ln(x); met de kettingregel en produktregel kan je de afgeleide bepalen:
Als we de notatie f' voor afgeleide van f gebruiken:
kettingregel: als f(x)=g(h(x)), dan is f'(x)=g'(h(x)).h'(x)
f(x)=xx=ex.ln(x). Kettingregel met g(h)=eh en h(x)= x.ln(x):
afgeleide van de exponentiele functie is gelijk aan zichzelf, dus g'(h)=g(h)
f'(x)= g'(h).h'(x)=g(h).h'(x)=ex.ln(x).h'(x)
h'(x) volgt uit produktregel: als h(x)= m(x).n(x), dan is h'(x)=m'(x).n(x)+m(x).n'(x)
afgeleide van x is 1, afgeleide van ln(x) is 1/x: afgeleide van x.ln(x) wordt 1.ln(x)+x.1/x=ln(x)+1
Dus f'(x)= ex.ln(x).(ln(x)+1) = xx.(ln(x)+1)
quote:
[..]
Dat onder de streep is ook niet zo eenvoudig te begrijpen
a0 + a1x + a2x2 + ... + an xn + ....
met constante coefficienten an. Dat is fijn, want machtreeksen hebben allerlei aardige eigenschappen en zijn in het algemeen makkelijk uit te rekenen. Het nadeel is, dat deze machtreeksen oneindig veel termen bevatten.
Je kunt voor jezelf bijvoorbeeld eens de functie
f(x) = ex
en het polynoom
1 + x + x2/2 + x3/6
plotten. Voor kleine x zul je zien dat beide grafieken vrijwel samenvallen. Hetzelfde kun je b.v. doen voor de functie
g(x) = sin(x)
en het polynoom
x - x3/6 + x5/120
Ook hier zullen voor kleine x beide grafieken samenvallen. Dat betekent dat voor kleine hoeken x je de sinus kunt benaderen met de uitdrukking x - x3/6 + x5/120. Voor erg kleine x kun je zelfs de laatste twee termen verwaarlozen en zal gelden dat sin(x) ongeveer gelijk is aan x zelf. Probeer maar eens voor bijvoorbeeld x=0,001.
Als ik straks thuis ben zal ik de GR er even bijpakken en chocola proberen te maken van de info die jullie hebben gegeven.quote:
[..]
Een functie bereikt een maximum of minimum als de afgeleide ervan nul wordt (de afgeleide geeft de helling aan)
De afgeleide van xx is xx(1+ln(x)) (zie spoiler voor berekening)
Dat wordt nul wanneer (1+ln(x)) nul wordt, maw wanneer ln(x) = -1
Dat geeft x=1/e (want ln(ey)=y, dus ln(e-1)=-1 en e-1=1/e)
SPOILERxx=ex.ln(x); met de kettingregel en produktregel kan je de afgeleide bepalen:
Als we de notatie f' voor afgeleide van f gebruiken:
kettingregel: als f(x)=g(h(x)), dan is f'(x)=g'(h(x)).h'(x)
f(x)=xx=ex.ln(x). Kettingregel met g(h)=eh en h(x)= x.ln(x):
afgeleide van de exponentiele functie is gelijk aan zichzelf, dus g'(h)=g(h)
f'(x)= g'(h).h'(x)=g(h).h'(x)=ex.ln(x).h'(x)
h'(x) volgt uit produktregel: als h(x)= m(x).n(x), dan is h'(x)=m'(x).n(x)+m(x).n'(x)
afgeleide van x is 1, afgeleide van ln(x) is 1/x: afgeleide van x.ln(x) wordt 1.ln(x)+x.1/x=ln(x)+1
Dus f'(x)= ex.ln(x).(ln(x)+1) = xx.(ln(x)+1)
Bedankt in ieder geval!
Groen: de afgeleide van xx
Waarom nokt ie ermee bij 0?quote:
Blauw: xx
Groen: de afgeleide van xx
[ afbeelding ]
-1-1 is ook een ding.
quote:
[..]
Waarom nokt ie ermee bij 0?
-1-1 is ook een ding.
you know why!Voor de meeste getallen is het niet eenduidig bepaald en complex
3!=3*2*1 = 6
2!=2*1 = 2
1!=1
0!=0
bekijkt zou 0!=0 ook verdedigbaar zijn.
In de praktijk nemen we meestal 00=1 maar dat is slordigheid en gemakzucht.
Als we dan uit slordigheid en gemakzucht een waarde aan 00 toekennen, is dat inderdaad vaker 1 dan 0. Dat is omdat als x dicht bij nul ligt, alleen 0x=0 terwijl x0=1 en xx=1. En in het algemeen xy=1 als x en y allebei dichtbij nul liggen.