Op een gegeven moment kwam ik tot de volgende ontdekking.
Ieder reëel getal a groter dan 0 kan je ook schrijven als Limx->∞ (1 + ln(a)/x)x
Dus a = Limx->∞ (1 + ln(a)/x)x
10 = Limx->∞ (1 + ln(10)/x)x
100 = Limx->∞ (1 + ln(100)/x)x
Just try it
0 kan je niet hiermee uitrekenen.
Ook getallen kleiner dan 0 niet.
Voor getallen kleiner dan 0 kan je het volgende doen:
- a = - Limx->∞ (1 + ln(a)/x)x
lager dan 0quote:
Delen door x geeft per definitie al 0.
Probeer het maar eens uit.quote:Op woensdag 26 juli 2017 16:52 schreef Nattekat het volgende:
Wat je ook invult voor a, het antwoord is altijd 1.
Delen door x geeft per definitie al 0.
Laten we het getal 100 uitrekenen hiermee. Pak er een scientific rekenmachine of Excel bij.
reken eerst ln(100) uit
vervolgens delen door 100.000
Vervolgens de uitkomst +1
Uiteindelijk deze uitkomst tot de macht 100.000
Wat komt er uit?
Hoezo delen door 100.000?quote:Op woensdag 26 juli 2017 17:14 schreef polderturk het volgende:
[..]
Probeer het maar eens uit.
Laten we het getal 100 uitrekenen hiermee. Pak er een scientific rekenmachine of Excel bij.
reken eerst ln(100) uit
vervolgens delen door 100.000
Vervolgens de uitkomst +1
Uiteindelijk deze uitkomst tot de macht 100.000
Wat komt er uit?
-edit
lim_{x --> oo} (1+k/x)^x = e^k , zie
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_limits
Jij neemt k=ln(a), en dan e^k = a.
[ Bericht 19% gewijzigd door Haushofer op 26-07-2017 21:06:51 ]
X is oneindig hè.quote:
[..]
Probeer het maar eens uit.
Laten we het getal 100 uitrekenen hiermee. Pak er een scientific rekenmachine of Excel bij.
reken eerst ln(100) uit
vervolgens delen door 100.000
Vervolgens de uitkomst +1
Uiteindelijk deze uitkomst tot de macht 100.000
Wat komt er uit?
Hij benadert die standaardlimiet met hoge, eindige waarden voor x. Daarin deel je door x.quote:
Dat klopt helemaal.quote:
Heb het niet gechecked, maar gebruik je hier niet gewoon een standaardlimiet omtrent e?
-edit
lim_{x --> oo} (1+k/x)^x = e^k , zie
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_limits
Jij neemt k=ln(a), en dan e^k = a.
Ik zie in jouw link dat
ln(a) = Limx-> 0 (ax-1)/x
In onderstaande vergelijking kan je dus ln(a) vervangen door deze limiet
a = Limx->∞ (1 + ln(a)/x)x
Je krijgt een limiet binnen een limiet. Dit kunnen we vereenvoudigen.
ln(a) = Limx-> 0 (ax-1)/x kan je herschrijven naar ln(a) = Limx-> ∞ (a1/x-1)*x
Een limiet van x->0 is nu omgezet naar een limiet van x->∞
Het noteren van de binnenste limiet is nu niet meer nodig. Ipv de binnenste limiet kan je nu gewoon schrijven (a1/x-1)*x
De vergelijking voor a wordt nu
a = Limx->∞ (1 + (a1/x-1)*x/x)x
Als we dit verder uitwerken krijgen we
a = Limx->∞ (1 + (a1/x-1))x
a = Limx->∞ (a1/x)x
a = Limx->∞ a
De uitkomst van deze limiet is altijd a.
Dus wat ik heb gedaan ...... slaat absoluut nergens op
Ik heb in ieder geval wat oefening gehad.
Ik had op Java nog wat berekeningen hiermee gedaan.
public class CalculateE2 {
public static void main(String[] args){
double x = 100000;
double a = 10;
double f = (Math.pow(a, 1/x)-1)*x;
double t = Math.pow(1+ (f/x), x);
double y = Math.pow(1+(1/x), x);
double g = Math.log(a);
System.out.println("this is the natural logarithm of " + a + " using the limit: " + f);
System.out.println("this is the natural logarithm of " + a + " using the Java function: " + g);
System.out.println("This is calculating a using the limit: " + t);
}
}
Wanneer ik het programma draai:
this is the natural logarithm of 10.0 using the limit: 2.302611602678084
this is the natural logarithm of 10.0 using the Java function: 2.302585092994046
This is calculating a using the limit: 9.999999999900172
Studeer je wiskunde?quote:
Nee hoor grapje. Ik was net aan het spelen in java met wiskundige berekeningen.
Op een gegeven moment kwam ik tot de volgende ontdekking.
Ieder reëel getal a groter dan 0 kan je ook schrijven als Limx->∞ (1 + ln(a)/x)x
Dus a = Limx->∞ (1 + ln(a)/x)x
10 = Limx->∞ (1 + ln(10)/x)x
100 = Limx->∞ (1 + ln(100)/x)x
Just try it
0 kan je niet hiermee uitrekenen.
Ook getallen kleiner dan 0 niet.
Voor getallen kleiner dan 0 kan je het volgende doen:
- a = - Limx->∞ (1 + ln(a)/x)x
Ik ga het niet uitpluizen, maar dit heeft alles te maken met het getal e (= ongeveer 2,718281828...)
En "ln" is de natuurlijke logaritme. Logaritme met het grondtal "e".
lim (1+1/x)^x gaat naar "e" naarmate x naar oneindig gaat.