Het grote bètastudententopic! #72

vrijdag 22 januari 2016 @ 13:46:59 #1

Anoonumos

Hallo, en welkom in het grote β-studenten topic van FOK!

Hier kan je praten over die ene proef die fout ging, die ene berekening die toch niet helemaal blijkt te kloppen, die gave ontdekking die net ergens is gedaan, of gewoon over andere β-topics.

Voor hulp bij wiskunde en overige bèta-problemen kan je in de volgende topics terecht:
- SES / [Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic
- SES / [Bèta overig] Huiswerk- en vragentopic
Maar je mag je vraag natuurlijk ook hier stellen, waarschijnlijk zijn er wel mensen hier die je kunnen en willen helpen.

Oh ja, wat verstaan we nou eigenlijk onder bèta hier?

quote:
Een ruime definitie omvat alle natuurwetenschappen en technische wetenschappen alsmede wiskunde en informatica.

Dat dus.

Wie doet wat en waar?

Universiteit Leiden:
- Rezania (Life Science & Technology)
- Nattekat (Informatica)
- Anoonumos (Wiskunde)
- GeorgeArArMartin (Wiskunde)

TU Delft:
- Rezania (Life Science & Technology)
- MrStalin (Lucht- & Ruimtevaarttechniek)
- Mitsu (Industrieel Ontwerpen)

Universiteit Utrecht:
- Lokasenna (Aardwetenschappen)
- Aardappeltaart (Wiskunde)

Rijksuniversiteit Groningen:
- Novermars (Econometrics & Operations Research, Theoretische Natuurkunde)
- Lilliesleaf (Scheikundige Technologie, Technische Bedrijfskunde)

TU Eindhoven:
- Amoeba (Technische Wiskunde)

Radboud Universiteit
- Ufopiloot12 (Kunstmatige Intelligentie)
- Tele6 (Scheikunde, Biologie)

Haagse Hogeschool
- Kutmanager (Werktuigbouwkunde)

Avans
- tailfox (Technische Informatica)

Degene die het topic opent mag een nieuw plaatje in de OP zetten.

I'm afraid we need to use MATH - Futurama

vrijdag 22 januari 2016 @ 14:05:21 #2

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 12:44 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ik ben naar mijn idee mechanica pas goed gaan begrijpen toen ik algemene relativiteit leerde, met name het begrip "schijnkracht"

Als ik het goed begrijp dan is een schijnkracht een echte kracht, (bijv. het in je stoel worden gedrukt bij het versnellen van een auto), maar dan een die ontstaat door de versnelling van een niet-inertiaal referentiestelsel (is dat juist vertaald?) in plaats van door de fysische interactie tussen twee objecten. Waarom dan de naam schijnkracht?

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

vrijdag 22 januari 2016 @ 14:20:08 #3

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op donderdag 21 januari 2016 20:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is nu wiskunde: zelf bedenken hoe je zo'n vraagstuk aanpakt en ook iedere stap in je aanpak kunnen verantwoorden.

[..]

Dat is geen vage formule, en bovendien moet dat niet, er zijn ook andere manieren.

[..]

Omdat je een (voorbereidend) wetenschappelijke opleiding volgt waar van je wordt verwacht dat je op een gegeven moment zelf oplossingen kunt gaan bedenken voor problemen die je nog niet eerder hebt gezien, en geen ambachtsschool waar een docent methoden en technieken uitlegt die door anderen zijn bedacht en waar de leerlingen zich alleen maar in moeten bekwamen zonder zich diepere vragen te stellen.

Maar goed, ik ga je op weg helpen ook al vind ik dat je de handdoek veel te snel in de ring gooit.

We hebben een cirkel met vergelijking

$x^2\,+\,y^2\,=\,10$

en een punt met coördinaten (4; 2) buiten deze cirkel. Het is duidelijk dat een raaklijn aan de cirkel door dit punt niet verticaal (i.e. evenwijdig aan de y-as) kan lopen, aangezien het middelpunt van de cirkel in de oorsprong ligt en de straal van de cirkel gelijk is aan √10, en dat is kleiner dan 4. We kunnen dus concluderen dat de beide raaklijnen in ieder geval elk een richtingscoëfficiënt hebben.

Welnu, de vergelijking van een rechte door een punt (x₀; y₀) met richtingscoëfficiënt m is

$y\,-\,y_0\,=\,m(x\,-\,x_0)$

zodat we als vergelijking van een rechte door het punt (4; 2) met richtingscoëfficiënt m hebben

$y\,-\,2\,=\,m(x\,-\,4)$

Om de coördinaten van eventuele gemeenschappelijke punten van deze rechte en de cirkel te bepalen lossen we hieruit y op en dat geeft

$y\,=\,mx\,-\,4m\,+\,2$

en substitueren we dit in de vergelijking van de cirkel zodat we als voorwaarde voor de x-coördinaat van eventuele gemeenschappelijke punten van de lijn en de cirkel krijgen

$x^2\,+\,(mx\,-\,4m\,+\,2)^2\,=\,10$

Uitwerken en het rechterlid van deze vierkantsvergelijking in x herleiden op nul geeft

$(m^2\,+\,1)x^2\,-\,(8m^2\,-\,4m)x\,+\,(16m^2\,-\,16m\,-\,6)\,=\,0$

Nu zijn er drie mogelijkheden, aangezien een rechte door het punt (4; 2) de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal √10 kan snijden in twee punten, kan raken in één punt, en geheel en al buiten de cirkel kan liggen zodat de rechte geen punten met de cirkel gemeen heeft.

Het is duidelijk dat een raaklijn aan de cirkel precies één punt met de cirkel gemeen heeft, en als dat het geval is, dan moet bovenstaande vierkantsvergelijking in x dus precies één (reële) oplossing hebben, en dat is het geval als de discriminant van deze vierkantsvergelijking gelijk is aan nul. Zo vinden we dus als voorwaarde voor de richtingscoëfficiënt m van de raaklijnen aan de cirkel

$(8m^2\,-\,4m)^2\,-\,4(m^2\,+\,1)(16m^2\,-\,16m\,-\,6)\,=\,0$

Deze vergelijking in m ziet er lastig uit, maar bij uitwerken blijken de vierde en derde machten van m weg te vallen en houden we over

$3m^2\,-\,8m\,-\,3\,=\,0$

en dit is een vierkantsvergelijking in m met een positieve discriminant en dus inderdaad twee verschillende (reële) oplossingen. De coëfficiënten zijn geheel en de discriminant (−8)² − 4·3·(−3) = 100 is een volkomen kwadraat zodat de beide oplossingen rationaal zijn en we kunnen ontbinden in factoren. Daarvoor zoeken we twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan 3·(−3) = −9 terwijl de som gelijk is aan −8, en die getallen zijn uiteraard −9 en +1. We schrijven de lineaire term −8m nu even als de som van −9m en m, dus

$3m^2\,-\,9m\,+\,m\,-\,3\,=\,0$

en nu kunnen we bij de eerste twee termen een factor 3m buiten haakjes halen, en dit geeft

$3m(m\,-\,3)\,+\,(m\,-\,3)\,=\,0$

en dus

$(3m\,+\,1)(m\,-\,3)\,=\,0$

zodat

$m\,=\,-\frac{1}{3}\quad\vee\quad m\,=\,3$

De gevraagde vergelijkingen van de raaklijnen zijn dus

$y\,-\,2\,=\,-\frac{1}{3}(x\,-\,4)$

en

$y\,-\,2\,=\,3(x\,-\,4)$

Deze vergelijkingen kun je uiteraard nog herleiden tot

$x\,+\,3y\,=\,10$

resp.

$3x\,-\,y\,=\,10$

Nu valt je wellicht op dat we in deze beide vergelijkingen in het rechterlid de constante 10 hebben, die we ook hebben in de vergelijking van onze cirkel. Dit is niet toevallig.

We zijn uitgegaan van een vergelijking van een rechte door het punt met coördinaten (4; 2) en hebben vervolgens bepaald wat de richtingscoëfficiënt van deze rechte moest zijn opdat de rechte een raaklijn zou zijn aan de cirkel met vergelijking x² + y² = 10, maar we kunnen ook omgekeerd te werk gaan: als we eerst een algemene vergelijking opstellen voor een raaklijn aan de cirkel in een punt (x₀; y₀) op de cirkel, dan zouden we vervolgens kunnen bekijken onder welke voorwaarde(n) deze raaklijn door het punt met coördinaten (4; 2) gaat.

Zoals hier al is opgemerkt staat een raaklijn aan een cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt, en daarvan kunnen we gebruik maken om een vergelijking op te stellen voor een raaklijn aan een cirkel met middelpunt in de oorsprong.

Hebben we een punt (x₀; y₀) op een cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal r, dan staat de vector v₀ = (x₀, y₀) loodrecht op de raaklijn aan deze cirkel in het punt (x₀; y₀) zodat v₀ een normaalvector is van deze raaklijn. Beschouwen we nu een willekeurig tweede punt met coördinaten (x; y) op deze raaklijn, en bekijken we de vector v = (x, y), dan is de verschilvector v − v₀ evenwijdig aan de raaklijn, zodat de vectoren v₀ en v − v₀ loodrecht op elkaar staan en hun inproduct dus gelijk is aan nul, oftewel we hebben

$\bf{v_0}\cdot(\bf{v\,-\,v_0})\,=\,0$

en dus

$\bf{v_0\cdot v\,=\,v_0\cdot v_0}$

en daarmee

$x_0\cdot x\,+\,y_0\cdot y\,=\,x_0^2\,+\,y_0^2$

en aangezien het punt (x₀; y₀) op de cirkel ligt hebben we x₀² + y₀² = r² zodat we als vergelijking van de raaklijn aan de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal r eenvoudig krijgen

$x_0\cdot x\,+\,y_0\cdot y\,=\,r^2$

Nu heeft onze cirkel met middelpunt in de oorsprong een straal √10 zodat we als vergelijking van de raaklijn aan deze cirkel in een punt (x₀; y₀) dus krijgen

$x_0\cdot x\,+\,y_0\cdot y\,=\,10$

Wil deze raaklijn aan de cirkel door het punt met coördinaten (4; 2) gaan, dan moeten de coördinaten van dit punt uiteraard aan deze vergelijking voldoen, zodat we als voorwaarde voor de coördinaten (x₀; y₀) van het raakpunt krijgen

$4x_0\,+\,2y_0\,=\,10$

Nu hebben we één voorwaarde voor de coördinaten (x₀; y₀) van het raakpunt, maar we hebben nog een tweede voorwaarde nodig om x₀ en y₀ te bepalen. En die tweede voorwaarde kennen we uiteraard omdat het punt met coördinaten (x₀; y₀) op onze cirkel ligt, zodat tevens geldt

$x_0^2\,+\,y_0^2\,=\,10$

Uit de eerste voorwaarde voor het raakpunt (x₀; y₀) krijgen we

$y_0\,=\,5\,-\,2x_0$

en substitutie hiervan in de tweede voorwaarde geeft voor de x-coördinaat x₀ van het raakpunt

$x_0^2\,+\,(5\,-\,2x_0)^2\,=\,10$

Uitwerken en herleiden van het rechterlid op nul geeft

$x_0^2\,-\,4x_0\,+\,3\,=\,0$

en dus

$(x_0\,-\,1)(x_0\,-\,3)\,=\,0$

zodat

$x_0\,=\,1 \quad\vee\quad x_0\,=\,3$

Hiermee zijn de x-coördinaten van de raakpunten van de beide raaklijnen aan de cirkel die door het punt met coördinaten (4; 2) gaan gevonden, en door invullen in y₀ = 5 − 2x₀ vinden we ook de bijbehorende y-coördinaten: de raakpunten hebben de coördinaten (1; 3) en (3; −1). Nu moeten we nog de vergelijkingen opstellen van de rechte door de punten (1; 3) en (4; 2) en van de rechte door de punten (3; − 1) en (4; 2). Dat is hier heel eenvoudig, want we weten immers dat de vergelijking van een raaklijn aan onze cirkel in het punt (x₀; y₀) luidt

$x_0\cdot x\,+\,y_0\cdot y\,=\,10$

en invullen van de coördinaten van de raakpunten (1; 3) en (3; −1) geeft dan direct

$x\,+\,3y\,=\,10$

resp.

$3x\,-\,y\,=\,10$

en dit zijn uiteraard dezelfde vergelijkingen als die we eerder vonden met de methode met behulp van de discriminant van een vierkantsvergelijking. Je ziet echter ook dat deze tweede methode aanzienlijk minder rekenwerk vergt.

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 05:22 schreef Lyrebird het volgende:

[..]

Dan zijn we het niet met elkaar eens.

Alhoewel in een ideale wereld mensen op een heel abstract niveau met wiskunde bezig zouden moeten zijn, omdat ze hier inderdaad later in hun loopbaan veel profijt van kunnen hebben, is dit voor de meeste mensen onder ons niet weggelegd. We zijn niet allemaal zo ge-hardwired dat we dit wel even doen.

Dit vraagt om een bepaald talent, dat maar dun gezaaid is. Mijn broer heeft dat. Die hoeft zoiets maar een keer te zien, en hij kan het dan wel dromen (ik heb dat gelukkig wel voor natuurkunde). Hij snapte wiskunde indertijd beter dan de leraar. Ik mis boven de infrastructuur om zoiets in een keer te doorzien, en dat zorgt voor frustratie.

In de VS ben ik er achtergekomen dat ze daar studenten klaarstomen voor een examen door ze alle (alle? ja, alle) problemen stapje voor stapje uit te leggen - zonder dat er van de student verwacht wordt dat ze er zelf over na gaan denken - en op die manier kon iedere boerelul met wat inzet slagen voor z'n examen. Er is geen frustratie. Bleek dat ik toch wel "slim" genoeg was om die stof te begrijpen.

Want het is allemaal niet zo moeilijk, als je het een paar keer gezien hebt.

Wat me aan de Nederlandse aanpak irriteert, is dat men de stof aanbiedt op zo'n manier dat mensen met talent er met minimale inspanning voor slagen, terwijl de grote groep die het met minder moet doen, zich afvraagt wat ze op het VWO doen.

Terwijl er tijdens je loopbaan wel meer van je gevraagd wordt dan een cirkel met raaklijnen.

Ik ben het met jullie allebei eens, hoe tegenstrijdig dat misschien ook klinkt. Riparius heeft natuurlijk gelijk dat je het meest leert door wat dieper na te denken en dat je dat het best doet door zelf eens een oplossing te zoeken voor een 'nieuw' probleem. Practisch gezien heeft maar een zeer klein deel van de leerlingen (of studenten) op dat moment voldoende talent, kennis en voldoende ontwikkelde vaardigheden - misschien moet ik er ook nog zelfvertrouwen aan toevoegen - om dit volledig zelfstandig te kunnen uitvoeren. De meeste leerlingen hebben dus een leraar nodig die hen een handje op weg helpt: een hint geven, zien wat wel en niet bij de leerling aankomt en heel dat iteratieve proces. Zoals we allemaal weten is die tijd en ruimte er weinig in een klassikale situatie met 30 leerlingen voor 1 leraar.
Verder kan je pas verwachten dat leerlingen zelfstandig nieuwe problemen kunnen oplossen wanneer ze de basistechnieken voldoende beheersen. We kunnen hier een lang verhaal houden over de oorzaken maar dat veel leerlingen in Nederland pas relatief bepaalde basistechnieken van wiskunde goed onder de knie krijgen of überhaupt aangeleerd krijgen (wat mij betreft mag er best wat eerder worden gestart met het aanleren van allerlei technieken), daar zijn we het volgens met zijn drieën over eens, je hoeft maar naar de inhoud van de lesboekjes te kijken om dat waar te nemen.

Wat is beter? Garanderen dat alle leerlingen de technieken goed leren en kunnen werken met situaties waarvoor die geoefend zijn (zoals in de USA, ik herken heel erg duidelijk wat Lyrebird omschrijft) of meer inzetten op het ontwikkelen van inzicht en aanvaarden dat dit slechts bij een kleine minderheid van de leerlingen goed werkt en dat de rest minder goed beslagen ten ijs komt? Ik weet het niet, ik zoek liever de oplossing in een poging om de beide idealen te combineren. Heel erg veel uitgewerkte voorbeelden, veel oefenen van de basis maar ook prikkelende vragen waar je zelf eerst over nadenkt en waarbij de leraar je een helpende hand geeft op het moment dat je vast blijkt te zitten. Alleen is er voor dat laatste te weinig tijd zolang we niet meer willen investeren in dat onderwijs en zolang we niet willen inzien dat voor goed bèta-onderwijs de leerling/leraar-ratio en student/docent-ratio (naar mijn mening is dit op de universiteit een veel groter probleem dan op het VWO aangezien je op het VWO per vak vrij weinig stof hebt en de stof niet al te moeilijk is) niet al te hoog mag zijn.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

vrijdag 22 januari 2016 @ 14:24:23 #4

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 05:22 schreef Lyrebird het volgende:
Wat me aan de Nederlandse aanpak irriteert, is dat men de stof aanbiedt op zo'n manier dat mensen met talent er met minimale inspanning voor slagen, terwijl de grote groep die het met minder moet doen, zich afvraagt wat ze op het VWO doen.

Ik weet een goede oplossing om de talentvollere VWO-leerlingen wat harder te laten werken: laat hen drie vreemde talen behouden met hun NT-profiel, of maak het in ieder geval roostertechnisch mogelijk.

Verander de huidige opzet met de wiskundevakken zodat talentvollere leerlingen in een hoger tempo kunnen werken en ze de stof beter onder de knie moeten krijgen ('moeilijkere' vragen). Ik zou van wiskunde D een moeilijker volwaardig vervangend vak maken in plaats van een supplementair vak (een pleister op de wonde) en leerlingen vanaf het vierde leerjaar wiskunde D laten volgen in plaats van wiskunde B. Het is maar een start maar in ieder geval zou het een goede stap vooruit zijn voor deze groep leerlingen.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

vrijdag 22 januari 2016 @ 19:13:18 #5

netchip

quote:
Op donderdag 21 januari 2016 20:13 schreef Riparius het volgende:
lokquote

Heb jij misschien nog een paar problemen uit de analytische meetkunde die met mijn kennis (assenvergelijking, cirkelvergelijking, normaalvector, richtingsvector, steunvector, maar daar stopt mijn kennis van lineaire algebra) op te lossen zouden moeten zijn?

vrijdag 22 januari 2016 @ 19:19:10 #6

Haushofer

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 14:05 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Als ik het goed begrijp dan is een schijnkracht een echte kracht, (bijv. het in je stoel worden gedrukt bij het versnellen van een auto), maar dan een die ontstaat door de versnelling van een niet-inertiaal referentiestelsel (is dat juist vertaald?) in plaats van door de fysische interactie tussen twee objecten. Waarom dan de naam schijnkracht?

Omdat de oorzaak idd geen bekende interactie is, maar traagheid (muv zwaartekracht, wat ook een 'schijnkracht' is vanwege het equivalentieprincipe) 'Traagheidskracht' is imo een betere naam. Wiskundig zijn deze krachten niet-tensoriele termen die in Newtons tweede wet opduiken als je naar accelererende waarnemers gaat.

De effecten zijn in elk geval alles behalve schijn

-

vrijdag 22 januari 2016 @ 19:32:37 #7

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 19:19 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Omdat de oorzaak idd geen bekende interactie is, maar traagheid (muv zwaartekracht, wat ook een 'schijnkracht' is vanwege het equivalentieprincipe) 'Traagheidskracht' is imo een betere naam. Wiskundig zijn deze krachten niet-tensoriele termen die in Newtons tweede wet opduiken als je naar accelererende waarnemers gaat.

De effecten zijn in elk geval alles behalve schijn

Niet-tensoriëel? Wat dan wel?

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

vrijdag 22 januari 2016 @ 19:34:39 #8

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 19:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Heb jij misschien nog een paar problemen uit de analytische meetkunde die met mijn kennis (assenvergelijking, cirkelvergelijking, normaalvector, richtingsvector, steunvector, maar daar stopt mijn kennis van lineaire algebra) op te lossen zouden moeten zijn?

Het lijkt me handiger als je hem om een goed boek vraagt. Er zijn hele mooie boeken, zowel in het Nederlands als in het Engels, waar geen copyright op zit en die je kan downloaden van websites die ze verzamelen (en via torrents van een betrouwbare bron).

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

vrijdag 22 januari 2016 @ 20:48:06 #9

Riparius

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 19:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Heb jij misschien nog een paar problemen uit de analytische meetkunde die met mijn kennis (assenvergelijking, cirkelvergelijking, normaalvector, richtingsvector, steunvector, maar daar stopt mijn kennis van lineaire algebra) op te lossen zouden moeten zijn?

Tja, het wemelt van dit soort vraagstukken in oude leerboeken analytische meetkunde. Het vraagstukje waar jij niet uitkwam en waar Lyrebird zo moeilijk over meende te moeten doen behoorde vroeger tot de normale stof van de H.B.S. en het Gymnasium die iedereen die de β-richting deed gewoon moest kennen. Bekijk bijvoorbeeld dit Nederlandse boekje uit 1890 maar eens (dat overigens uitsluitend voor Gymnasia was bedoeld).

Als je een recenter Nederlands boekje met een goed overzicht van de vroegere stof analytische meetkunde van het middelbaar inclusief het gebruik van vectoren in de analytische meetkunde, homogene coördinaten en de theorie van pool en poollijn wil zien dan zou je moeten proberen een exemplaar van het Prisma Compendium Analytische meetkunde van C. van der Linden uit 1964 op de kop te tikken. Ook in het archief van oude jaargangen van Euclides kun je soms intrigerende vraagstukjes over analytische meetkunde (en andere schoolwiskunde) vinden.

Een oud maar nog steeds uitstekend leesbaar Amerikaans schoolboek uit het begin van de 20e eeuw vind je hier en uiteraard is er ook op archive.org het nodige te vinden aan Engelstalige oude (school)boeken over analytische meetkunde.

Maar goed, hier is nog een vergelijkbaar (maar moeilijker) vraagstukje om te testen of je het nu echt begrijpt.

Gegeven is een cirkel C met als vergelijking x² + y² − 10x − 12y + 45 = 0 en het punt P met coördinaten (1; 0). Bepaal langs algebraïsche weg de vergelijkingen van de beide raaklijnen door punt P aan cirkel C.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-01-2016 15:01:02 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

vrijdag 22 januari 2016 @ 22:13:42 #10

netchip

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 20:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, het wemelt van dit soort vraagstukken in oude leerboeken analytische meetkunde. Het vraagstukje waar jij niet uitkwam en waar Lyrebird zo moeilijk over meende te moeten doen behoorde vroeger tot de normale stof van de H.B.S. en het Gymnasium die iedereen die de β-richting deed gewoon moest kennen. Bekijk bijvoorbeeld dit Nederlandse boekje uit 1890 maar eens (dat overigens uitsluitend voor Gymnasia was bedoeld).

Als je een recenter Nederlands boekje met een goed overzicht van de vroegere stof analytische meetkunde van het middelbaar inclusief het gebruik van vectoren in de analytische meetkunde, homogene coördinaten en de theorie van pool en poollijn wil zien dan zou je moeten proberen een exemplaar van het Prisma Compendium Analytische meetkunde van C. van der Linden uit 1964 op de kop te tikken. Ook in het archief van oude jaargangen van Euclides kun je soms intrigerende vraagstukjes over analytische meetkunde (en andere schoolwiskunde) vinden.

Een oud maar nog steeds uitstekend leesbaar Amerikaans schoolboek uit het begin van de 20e eeuw vind je hier en uiteraard is er ook op archive.org het nodige te vinden aan Engelstalige oude (schoolboeken) over analytische meetkunde.

Maar goed, hier is nog een vergelijkbaar (maar moeilijker) vraagstukje om te testen of je het nu echt begrijpt.

Gegeven is een cirkel C met als vergelijking x² + y² − 10x − 12y + 45 = 0 en het punt P met coördinaten (1; 0). Bepaal langs algebraïsche weg de vergelijkingen van de beide raaklijnen door punt P aan cirkel C.

Dank je! Analytische meetkunde is nu geïntegreerd in wiskunde D, maar de Getal en Ruimte boeken zijn nooit zo duidelijk. Ik snap dan ook niet waarom de wiskunde docenten die boeken blijven kopen, regel een paar goede calculus boeken, een boek over (analytische) meetkunde en lineaire algebra, en dan ben je al veel beter voorbereid voor het examen dan met de Getal en Ruimte boeken. Maar goed.

Bij het kwadraatafsplitsen van x² + y² − 10x − 12y + 45 = 0, krijg je (x-5)²+(y-6)² = 16. Dit betekent dat het middelpunt M van de cirkel de coördinaten (5, 6) heeft met straal 4.
Toen dacht ik de methode zoals die uitgelegd wordt in het boek te gebruiken, dit houdt in dat d(M, l) = 4, waarbij l de raaklijn is. De vergelijking voor l: y - 0 = a(x-1) <=> y = ax - a.
Vervolgens geeft d(M, l) = 4
|5a - 6 + a|/√(a² + 1) = 4
|6a - 6| = 4√(a² + 1)
Kwadrateren: 36a² - 72a + 36 = 16a² + 16
Herleiden op nul: 20a² - 72a + 20 = 0
Delen door 4: 5a² - 18a + 5 = 0
Discriminant: D = 18²-4*5*5 = 224
Dit geeft a = (9 ± 2√14)/5 en dus l: y = ((9 - 2√14)/5)x - (9 - 2√14)/5) of y = ((9 + 2√14)/5)x - (9 + 2√14)/5).
Nu is √224 net geen 15, is dit intentioneel? Of heb ik ergens een rekenfout gemaakt? De discriminant methode heb ik ook geprobeerd, maar dan zit ik al snel met te veel termen om nog handig op te kunnen schrijven...

[ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 22-01-2016 22:23:21 ]

vrijdag 22 januari 2016 @ 22:44:00 #11

Riparius

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 22:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Dank je! Analytische meetkunde is nu geïntegreerd in wiskunde D, maar de Getal en Ruimte boeken zijn nooit zo duidelijk. Ik snap dan ook niet waarom de wiskunde docenten die boeken blijven kopen, regel een paar goede calculus boeken, een boek over (analytische) meetkunde en lineaire algebra, en dan ben je al veel beter voorbereid voor het examen dan met de Getal en Ruimte boeken. Maar goed.

Bij het kwadraatafsplitsen van x² + y² − 10x − 12y + 45 = 0, krijg je (x-5)²+(y-6)² = 16. Dit betekent dat het middelpunt M van de cirkel de coördinaten (5, 6) heeft met straal 4.

Dit is correct.

quote:
Toen dacht ik de methode zoals die uitgelegd wordt in het boek te gebruiken, dit houdt in dat d(M, l) = 4, waarbij l de raaklijn is. De vergelijking voor l: y - 0 = a(x-1) <=> y = ax - a.
Vervolgens geeft d(M, l) = 4

Dit is inderdaad een (bekende) andere methode, die echter niet zo handig is als werken met een vergelijking voor de raaklijn aan een willekeurig punt op de cirkel omdat de uitdrukking voor d(M, l) niet zo handig is. Maar ik vermoed dat je dit doet omdat je het lastig vindt een algemene vergelijking af te leiden voor de raaklijn aan een cirkel waarvan het middelpunt niet in de oorsprong ligt. Bovendien is er bij deze opgave nog een ander probleem als je deze methode wil gebruiken ...

quote:
|5a - 6 + a|/√(a² + 1) = 4

Hier gaat het fout.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

vrijdag 22 januari 2016 @ 23:18:37 #12

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 20:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, het wemelt van dit soort vraagstukken in oude leerboeken analytische meetkunde. Het vraagstukje waar jij niet uitkwam en waar Lyrebird zo moeilijk over meende te moeten doen behoorde vroeger tot de normale stof van de H.B.S. en het Gymnasium die iedereen die de β-richting deed gewoon moest kennen.

Ik denk dat de meeste mensen die de afgelopen jaren van het VWO kwamen en die een beetje goed zijn in wiskunde hier ook nog wel uitkomen hoor: raaklijn dus 1 uitkomst voor de discriminant, begrijpen hoe een tweedegraadsvergelijking in elkaar steekt, dat lukt nog wel. De tweede methode die jij gebruikte valt af als je nog nooit van het inwendig product (wiskunde D

) hebt gehoord. Dat mag je die (oud-)leerlingen niet verwijten, dat ligt aan de leraren.

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

zaterdag 23 januari 2016 @ 00:31:34 #13

Riparius

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 23:18 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Ik denk dat de meeste mensen die de afgelopen jaren van het VWO kwamen en die een beetje goed zijn in wiskunde hier ook nog wel uitkomen hoor: raaklijn dus 1 uitkomst voor de discriminant, begrijpen hoe een tweedegraadsvergelijking in elkaar steekt, dat lukt nog wel.

Bij de opgave die ik vanavond aan netchip gaf zit een addertje onder het gras. Zeg eens eerlijk: zie jij het probleem?

quote:
De tweede methode die jij gebruikte valt af als je nog nooit van het inwendig product (wiskunde D ) hebt gehoord.

Dat is niet waar. Ik maakte hier alleen gebruik van vectoren om op een elegante en simpele wijze aan te tonen dat bij een cirkel met vergelijking

x² + y² = r²

de vergelijking voor de raaklijn in een punt (x₀; y₀) op die cirkel wordt gegeven door

x₀x + y₀y = r²

Maar dit is een klassiek resultaat dat vroeger zonder gebruik van vectoren werd aangetoond, zie bijvoorbeeld p. 96 in dit Amerikaanse schoolboek of hier.

Overigens stelt deze zelfde vergelijking voor een punt (x₀; y₀) buiten de cirkel de poollijn voor van dat punt ten opzichte van de cirkel, en dat geeft de mogelijkheid om de eerdere opgave van netchip nóg eenvoudiger op te lossen: je hoeft namelijk alleen maar de snijpunten te bepalen van de cirkel x² + y² = 10 en de rechte 4x + 2y = 10 om de coördinaten te vinden van de beide raakpunten van de raaklijnen aan de cirkel door het punt (4; 2) en dan kun je de vergelijkingen van die raaklijnen direct opschrijven.

Dit is veruit de snelste en eenvoudigste manier om het vraagstuk op te lossen, maar nee, in plaats daarvan wordt een omslachtige methode geleerd die gebruik maakt van de lastig te hanteren formule voor de loodrechte afstand van een rechte tot een punt ...

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 23-01-2016 16:41:37 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 23 januari 2016 @ 09:41:02 #14

Haushofer

quote:
Op vrijdag 22 januari 2016 19:32 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Niet-tensoriëel? Wat dan wel?

Geen idee hoe je dat noemt

Inhomogeen oid, net zoals bv een connectie op een varieteit.

-

zaterdag 23 januari 2016 @ 16:34:58 #15

RondeKoe

Ik doe nu een master (theoretische) natuurkunde, maar wil na mijn studie niet meer de natuurkunde in.

Bij een consultancy (of iets dergelijks) werken lijkt me wel leuk.

Hoe belangrijk denken jullie nu dat individuele cijfers nu zijn?

Ik heb laatst een 7 gehaald. Woensdag is de herkansing en ik weet niet zeker of ik dit nu zou moeten herkansen voor een hoger cijfer (ik sta nog wel een 8 gemiddeld, maar een 7 is niet heel erg mooi)

wat denken jullie?

zaterdag 23 januari 2016 @ 16:45:54 #16

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op zaterdag 23 januari 2016 16:34 schreef RondeKoe het volgende:
Ik doe nu een master (theoretische) natuurkunde, maar wil na mijn studie niet meer de natuurkunde in.

Bij een consultancy (of iets dergelijks) werken lijkt me wel leuk.

Hoe belangrijk denken jullie nu dat individuele cijfers nu zijn?

Dat kan je beter vragen in de draad over inversteringsbankieren, daar zitten de jongens die hier interesse in hebben. Wat ik ervan begrepen heb: er wordt gekeken naar de cijfers, normaal gesproken helpt het als je minstens een 8 gemiddeld staat maar met natuurkunde, wiskunde en techniek heb je een streepje voor en hoef je iets minder hoge cijfers te halen. Het is natuurlijk maar net wie er nog meer solliciteren.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

zaterdag 23 januari 2016 @ 16:50:24 #17

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op zaterdag 23 januari 2016 00:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bij de opgave die ik vanavond aan netchip gaf zit een addertje onder het gras. Zeg eens eerlijk: zie jij het probleem?

Ik zal er morgen eens naar kijken, ik ben nu een beetje moe.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

zaterdag 23 januari 2016 @ 21:42:37 #18

Haushofer

quote:
Op zaterdag 23 januari 2016 16:34 schreef RondeKoe het volgende:
Ik doe nu een master (theoretische) natuurkunde, maar wil na mijn studie niet meer de natuurkunde in.

Bij een consultancy (of iets dergelijks) werken lijkt me wel leuk.

Hoe belangrijk denken jullie nu dat individuele cijfers nu zijn?

Ik heb laatst een 7 gehaald. Woensdag is de herkansing en ik weet niet zeker of ik dit nu zou moeten herkansen voor een hoger cijfer (ik sta nog wel een 8 gemiddeld, maar een 7 is niet heel erg mooi)

wat denken jullie?

Nauwelijks.

-

zaterdag 23 januari 2016 @ 21:45:05 #19

Bravebart

København er på plads ja

quote:
Op zaterdag 23 januari 2016 16:34 schreef RondeKoe het volgende:
Ik doe nu een master (theoretische) natuurkunde, maar wil na mijn studie niet meer de natuurkunde in.

Bij een consultancy (of iets dergelijks) werken lijkt me wel leuk.

Hoe belangrijk denken jullie nu dat individuele cijfers nu zijn?

Ik heb laatst een 7 gehaald. Woensdag is de herkansing en ik weet niet zeker of ik dit nu zou moeten herkansen voor een hoger cijfer (ik sta nog wel een 8 gemiddeld, maar een 7 is niet heel erg mooi)

wat denken jullie?

8 of hoger voor wiskunde op middelbare school

Op donderdag 22 november 2012 00:14 schreef ondeugend het volgende:
liefdevolle gevoelens voor de duisternis

zaterdag 23 januari 2016 @ 22:07:20 #20

Anoonumos

quote:
Op zaterdag 23 januari 2016 16:50 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Ik zal er morgen eens naar kijken, ik ben nu een beetje moe.

Mietje

zondag 24 januari 2016 @ 09:59:06 #21

Haushofer

quote:
Op zaterdag 23 januari 2016 21:45 schreef Bravebart het volgende:

[..]

8 of hoger voor wiskunde op middelbare school

Ik had een 5,5 voor wiskunde en m'n cv is met tien anderen uit een stapel van zo'n 200 getrokken van alleen technische studenten voor een workshop bij McKenzie. Dus cijfers alleen zijn in mijn ervaring niet zo belangrijk, en al helemaal niet middelbare school-cijfers.

Wat mij hielp was denk ik een aardig gemiddelde voor m'n master, en wat dingetjes buiten de natuurkundestudie om om te laten zien dat je ook nog wat andere kwaliteiten bezit.

-

zondag 24 januari 2016 @ 11:43:31 #22

RondeKoe

quote:
Op zondag 24 januari 2016 09:59 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ik had een 5,5 voor wiskunde en m'n cv is met tien anderen uit een stapel van zo'n 200 getrokken van alleen technische studenten voor een workshop bij McKenzie. Dus cijfers alleen zijn in mijn ervaring niet zo belangrijk, en al helemaal niet middelbare school-cijfers.

Wat mij hielp was denk ik een aardig gemiddelde voor m'n master, en wat dingetjes buiten de natuurkundestudie om om te laten zien dat je ook nog wat andere kwaliteiten bezit.

Wat had je voor dingen gedaan buiten je studie? En wat was je gemiddelde als ik vragen mag?

zondag 24 januari 2016 @ 12:34:52 #23

Haushofer

quote:
Op zondag 24 januari 2016 11:43 schreef RondeKoe het volgende:

[..]

Wat had je voor dingen gedaan buiten je studie? En wat was je gemiddelde als ik vragen mag?

M'n gemiddelde voor m'n master lag rond de 8, ook omdat ik met een 8,5 was afgestudeerd. Buiten de studie om had ik ook b.v. een jaar (bijbels&modern) Hebreeuws gestudeerd, activiteiten/cursussen georganiseerd op een levensbeschouwelijk studentenplatform, een tijdlang rondleidingen gegeven door en over de Martinikerk voor toeristen, dat soort dingetjes. Blijkbaar vonden ze dat wel een aantrekkelijke combi. Ook het feit dat ik een promotie deed (theoretische natuurkunde) zal meegeholpen hebben.

Was een leuke middag, trouwens.

-

zondag 24 januari 2016 @ 12:50:27 #24

Bravebart

København er på plads ja

quote:
Op zondag 24 januari 2016 09:59 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ik had een 5,5 voor wiskunde en m'n cv is met tien anderen uit een stapel van zo'n 200 getrokken van alleen technische studenten voor een workshop bij McKenzie. Dus cijfers alleen zijn in mijn ervaring niet zo belangrijk, en al helemaal niet middelbare school-cijfers.

Wat mij hielp was denk ik een aardig gemiddelde voor m'n master, en wat dingetjes buiten de natuurkundestudie om om te laten zien dat je ook nog wat andere kwaliteiten bezit.

Dat wordt/werd als harde eis gebruikt bij oa McKinsey, zonder die 8 of hoger hoefde je niet eens te komen solliciteren

Maar wellicht gebruiken ze die eis niet continu, dat kan natuurlijk.

Op donderdag 22 november 2012 00:14 schreef ondeugend het volgende:
liefdevolle gevoelens voor de duisternis

zondag 24 januari 2016 @ 12:59:03 #25

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op zondag 24 januari 2016 12:50 schreef Bravebart het volgende:

[..]

Dat wordt/werd als harde eis gebruikt bij oa McKinsey, zonder die 8 of hoger hoefde je niet eens te komen solliciteren Maar wellicht gebruiken ze die eis niet continu, dat kan natuurlijk.

Bij wiskundigen, natuurkundigen en ingenieurs zijn ze daar naar wat ik heb begrepen wat minder streng in aangezien die ook met zevens wel aardig hebben bewezen over de kwaliteiten te beschikken die ze zoeken. Het is natuurlijk maar net een kwestie van wie je concurrenten zijn, ze hebben graag voldoende mensen met een dergelijke achtergrond dus als ze enkel voldoende mensen met zo'n achtergrond kunnen aantrekken door de lat wat lager te leggen dan doen ze dat, net zoals ze de lat verhogen bij mensen die rechten of psychologie of zo hebben gestudeerd, simpelweg omdat het kan.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs