SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik plot altijd met gnuplot, en daar is kennelijk ook een python package voor.quote:Op zaterdag 16 januari 2016 20:30 schreef obsama het volgende:
Weet iemand een goede (grafische) module voor het plotten van data in python?
import matplotlib as pltquote:
Weet iemand een goede (grafische) module voor het plotten van data in python?
plt.figure()
plt. xxx , t, x, 'b-') en dan was ik het even vergeten, maar erg simpel
plt.show()
Maar eigenlijk denk ik dat elke keer, en elke keer heb ik weer een goed cijfer. 
Maar dit keer is het wel lastig enzo, formules moeten onthouden.
Maar dit keer is het wel lastig enzo, formules moeten onthouden.
"Gegeven is de cirkel c: x2+y2 = 10. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt (4, 2) die c raken."
Hoe dan?!
Ik dacht ax+by=c dus 4a + 2b = c maar daar heb je niet zoveel aan. Je moet blijkbaar een of andere vage formule gebruiken voor een lijn door een punt... Waarom leggen ze niet gewoon het abstracte concept erachter uit, i.p.v. dat ik het zelf moet gaan bedenken omdat zij denken dat dit makkelijker voor ons is?
Hoe dan?!
Ik dacht ax+by=c dus 4a + 2b = c maar daar heb je niet zoveel aan. Je moet blijkbaar een of andere vage formule gebruiken voor een lijn door een punt... Waarom leggen ze niet gewoon het abstracte concept erachter uit, i.p.v. dat ik het zelf moet gaan bedenken omdat zij denken dat dit makkelijker voor ons is?
Deal je hier nu serieus nog mee?quote:
"Gegeven is de cirkel c: x2+y2 = 10. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt (4, 2) die c raken."
Hoe dan?!
Ik dacht ax+by=c dus 4a + 2b = c maar daar heb je niet zoveel aan. Je moet blijkbaar een of andere vage formule gebruiken voor een lijn door een punt... Waarom leggen ze niet gewoon het abstracte concept erachter uit, i.p.v. dat ik het zelf moet gaan bedenken omdat zij denken dat dit makkelijker voor ons is?
Je doet nu al zolang je vragen hier stellen dat je het onderhand toch wel eens begrepen moet hebben.
Stel dat (x_c, y_c) het raakpunt aan de cirkel is. Wat kun je dan over de afgeleide van de functie die dat stuk van c beschrijft zeggen?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Omdat het wiskundeondwrwijs is gebaseerd op een leertechnische filosofie die achterhaald is misschien?quote:
Waarom leggen ze niet gewoon het abstracte concept erachter uit, i.p.v. dat ik het zelf moet gaan bedenken omdat zij denken dat dit makkelijker voor ons is?
Men gaat er van uit dat jij de stof beter doorgrondt als je zelf de oplossing uitvogelt. Die filosofie zou best wel eens kunnen werken voor studenten die verliefd zijn op wiskunde, of die een natuurtalent voor het doorzien van abstracte concepten hebben, of die enorm veel zelfvertrouwen hebben, maar een groot deel van de studenten wil gewoon wiskunde toe kunnen passen, en het is me een raadsel waarom we voor de moeilijke weg kiezen, als het ook gemakkelijk kan.
Want laten we wel wezen, de keren dat je in de praktijk dit soort kennis nodig hebt, ligt erg dicht bij nul.
Alhoewel ik je frustratie deel, heb ik geen goed antwoord. Amerikaanse boeken willen nog wel eens helpen, en wiskunde "snappen" komt voor ons toch neer op veel oefenen. De Schaum methode is mij wat dat betreft wel goed bevallen.
Good intentions and tender feelings may do credit to those who possess them, but they often lead to ineffective — or positively destructive — policies ... Kevin D. Williamson
Afgeleiden mogen we niet gebruiken, anders was het me wel gelukt...quote:Op donderdag 21 januari 2016 01:10 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Deal je hier nu serieus nog mee?
Je doet nu al zolang je vragen hier stellen dat je het onderhand toch wel eens begrepen moet hebben.
Stel dat (x_c, y_c) het raakpunt aan de cirkel is. Wat kun je dan over de afgeleide van de functie die dat stuk van c beschrijft zeggen?
maar de rico van die raaklijn zou a = ∆y/∆x zijn, en dat is de afgeleide in het punt c.
[ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 21-01-2016 08:24:47 ]
De raaklijn staat loodrecht op de lijn van het middelpunt van de cirkel naar het punt op de cirkel.
Kun je daar wat mee?
Ik neem tenminste aan dat je de vergelijking van een loodrechte lijn hebt leren opstellen.
Kun je daar wat mee?
Ik neem tenminste aan dat je de vergelijking van een loodrechte lijn hebt leren opstellen.
De raaklijn hoeft niet per se, gewoon een lijn die de cirkel raakt in een punt... En uiteindelijk snapte ik het gelukkig wel, maar ja. M'n wiskunde D docenten stoppen altijd van die vragen in het proefwerk die niemand goed heeft/beantwoord heeft. Vinden ze leuk. Daarom is het hoogste cijfer vaak maar ook ongeveer een 7,5.quote:
De raaklijn staat loodrecht op de lijn van het middelpunt van de cirkel naar het punt op de cirkel.
Kun je daar wat mee?
Ik neem tenminste aan dat je de vergelijking van een loodrechte lijn hebt leren opstellen.
Maar snap je wat voor principe ik bedoel? Je kunt daar dan een algemene formule voor opstellen als je de vergelijking van de cirkel kent, een verzameling van alle raaklijnen aan de cirkel. Vind het niet zo'n heel gekke vraag voor een wiskunde D klas eigenlijk.quote:
[..]
De raaklijn hoeft niet per se, gewoon een lijn die de cirkel raakt in een punt... En uiteindelijk snapte ik het gelukkig wel, maar ja. M'n wiskunde D docenten stoppen altijd van die vragen in het proefwerk die niemand goed heeft/beantwoord heeft. Vinden ze leuk.
Bedoel je:quote:
[..]
Maar snap je wat voor principe ik bedoel? Je kunt daar dan een algemene formule voor opstellen als je de vergelijking van de cirkel kent, een verzameling van alle raaklijnen aan de cirkel. Vind het niet zo'n heel gekke vraag voor een wiskunde D klas eigenlijk.
En dan voor een (x, y) die aan de cirkelvergelijking voldoet, y' bepalen en dus de rico, om deze dan in te vullen in y = ax+b en dan de b uit te rekenen voor de raaklijn?
Nee ik bedoel niet met differentieren.quote:
[..]
Bedoel je:
En dan voor een (x, y) die aan de cirkelvergelijking voldoet, y' bepalen en dus de rico, om deze dan in te vullen in y = ax+b en dan de b uit te rekenen voor de raaklijn?
Je moet je bedenken dat de lijn van het middelpunt van de cirkel naar een willekeurig punt op de cirkel loodrecht op de cirkel staat. Dus loodrecht daarop staat de raaklijn aan de cirkel.
Dus eerst lijn opstellen door je twee punten, middelpunt en arbitrair gekozen punt op de cirkel. Richtingscoefficient uitdrukken en daaruit richtingscoefficient van de raaklijn halen. En dan de lijn opstellen met die richtingscoefficient en het gemeenschappelijk punt met de cirkel.
http://www.hhofstede.nl/modules/raaklijncirkel.htm
Deze pagina geeft een voorbeeldje met getallen van het principe. Methode 2 dus. Methode 3 is wat jij voorstelde maar wat blijkbaar niet mocht ofzo?
Deze pagina geeft een voorbeeldje met getallen van het principe. Methode 2 dus. Methode 3 is wat jij voorstelde maar wat blijkbaar niet mocht ofzo?
Aha. zo heb ik het geleerd: neem een punt op de cirkel, stel de normaalvector daarvan op, daarmee de vergelijking ax + by = c opstellen, en dan heb je de raaklijn.quote:
[..]
Nee ik bedoel niet met differentieren.
Je moet je bedenken dat de lijn van het middelpunt van de cirkel naar een willekeurig punt op de cirkel loodrecht op de cirkel staat. Dus loodrecht daarop staat de raaklijn aan de cirkel.
Dus eerst lijn opstellen door je twee punten, middelpunt en arbitrair gekozen punt op de cirkel. Richtingscoefficient uitdrukken en daaruit richtingscoefficient van de raaklijn halen. En dan de lijn opstellen met die richtingscoefficient en het gemeenschappelijk punt met de cirkel.
Voorbeeld: x2+y2 = 18
Neem (3, 3). De normaalvector is dan r = <3, 3> en dus 3x + 3y = c, invullen (3, 3) geeft c = 9+9 = 18 en dus 3x + 3y = 18.
Maar ik snap wat je bedoelt, ook een handige methode.
Godver wat is dynamica toch een moeilijk vak... Heb nog precies een week, maar ik betwijfel of ik het ga halen 
leef de leven
Dat is nu wiskunde: zelf bedenken hoe je zo'n vraagstuk aanpakt en ook iedere stap in je aanpak kunnen verantwoorden.quote:
"Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 = 10. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt (4, 2) die c raken."
Hoe dan?!
Dat is geen vage formule, en bovendien moet dat niet, er zijn ook andere manieren.quote:Ik dacht ax + by = c dus 4a + 2b = c maar daar heb je niet zoveel aan. Je moet blijkbaar een of andere vage formule gebruiken voor een lijn door een punt...
Omdat je een (voorbereidend) wetenschappelijke opleiding volgt waar van je wordt verwacht dat je op een gegeven moment zelf oplossingen kunt gaan bedenken voor problemen die je nog niet eerder hebt gezien, en geen ambachtsschool waar een docent methoden en technieken uitlegt die door anderen zijn bedacht en waar de leerlingen zich alleen maar in moeten bekwamen zonder zich diepere vragen te stellen.quote:Waarom leggen ze niet gewoon het abstracte concept erachter uit, i.p.v. dat ik het zelf moet gaan bedenken omdat zij denken dat dit makkelijker voor ons is?
Maar goed, ik ga je op weg helpen ook al vind ik dat je de handdoek veel te snel in de ring gooit.
We hebben een cirkel met vergelijking
en een punt met coördinaten (4; 2) buiten deze cirkel. Het is duidelijk dat een raaklijn aan de cirkel door dit punt niet verticaal (i.e. evenwijdig aan de y-as) kan lopen, aangezien het middelpunt van de cirkel in de oorsprong ligt en de straal van de cirkel gelijk is aan √10, en dat is kleiner dan 4. We kunnen dus concluderen dat de beide raaklijnen in ieder geval elk een richtingscoëfficiënt hebben.
Welnu, de vergelijking van een rechte door een punt (x0; y0) met richtingscoëfficiënt m is
zodat we als vergelijking van een rechte door het punt (4; 2) met richtingscoëfficiënt m hebben
Om de coördinaten van eventuele gemeenschappelijke punten van deze rechte en de cirkel te bepalen lossen we hieruit y op en dat geeft
en substitueren we dit in de vergelijking van de cirkel zodat we als voorwaarde voor de x-coördinaat van eventuele gemeenschappelijke punten van de lijn en de cirkel krijgen
Uitwerken en het rechterlid van deze vierkantsvergelijking in x herleiden op nul geeft
Nu zijn er drie mogelijkheden, aangezien een rechte door het punt (4; 2) de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal √10 kan snijden in twee punten, kan raken in één punt, en geheel en al buiten de cirkel kan liggen zodat de rechte geen punten met de cirkel gemeen heeft.
Het is duidelijk dat een raaklijn aan de cirkel precies één punt met de cirkel gemeen heeft, en als dat het geval is, dan moet bovenstaande vierkantsvergelijking in x dus precies één (reële) oplossing hebben, en dat is het geval als de discriminant van deze vierkantsvergelijking gelijk is aan nul. Zo vinden we dus als voorwaarde voor de richtingscoëfficiënt m van de raaklijnen aan de cirkel
Deze vergelijking in m ziet er lastig uit, maar bij uitwerken blijken de vierde en derde machten van m weg te vallen en houden we over
en dit is een vierkantsvergelijking in m met een positieve discriminant en dus inderdaad twee verschillende (reële) oplossingen. De coëfficiënten zijn geheel en de discriminant (−8)² − 4·3·(−3) = 100 is een volkomen kwadraat zodat de beide oplossingen rationaal zijn en we kunnen ontbinden in factoren. Daarvoor zoeken we twee gehele getallen waarvan het product gelijk is aan 3·(−3) = −9 terwijl de som gelijk is aan −8, en die getallen zijn uiteraard −9 en +1. We schrijven de lineaire term −8m nu even als de som van −9m en m, dus
en nu kunnen we bij de eerste twee termen een factor 3m buiten haakjes halen, en dit geeft
en dus
zodat
De gevraagde vergelijkingen van de raaklijnen zijn dus
en
Deze vergelijkingen kun je uiteraard nog herleiden tot
resp.
Nu valt je wellicht op dat we in deze beide vergelijkingen in het rechterlid de constante 10 hebben, die we ook hebben in de vergelijking van onze cirkel. Dit is niet toevallig.
We zijn uitgegaan van een vergelijking van een rechte door het punt met coördinaten (4; 2) en hebben vervolgens bepaald wat de richtingscoëfficiënt van deze rechte moest zijn opdat de rechte een raaklijn zou zijn aan de cirkel met vergelijking x² + y² = 10, maar we kunnen ook omgekeerd te werk gaan: als we eerst een algemene vergelijking opstellen voor een raaklijn aan de cirkel in een punt (x0; y0) op de cirkel, dan zouden we vervolgens kunnen bekijken onder welke voorwaarde(n) deze raaklijn door het punt met coördinaten (4; 2) gaat.
Zoals hier al is opgemerkt staat een raaklijn aan een cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt, en daarvan kunnen we gebruik maken om een vergelijking op te stellen voor een raaklijn aan een cirkel met middelpunt in de oorsprong.
Hebben we een punt (x0; y0) op een cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal r, dan staat de vector v0 = (x0, y0) loodrecht op de raaklijn aan deze cirkel in het punt (x0; y0) zodat v0 een normaalvector is van deze raaklijn. Beschouwen we nu een willekeurig tweede punt met coördinaten (x; y) op deze raaklijn, en bekijken we de vector v = (x, y), dan is de verschilvector v − v0 evenwijdig aan de raaklijn, zodat de vectoren v0 en v − v0 loodrecht op elkaar staan en hun inproduct dus gelijk is aan nul, oftewel we hebben
en dus
en daarmee
en aangezien het punt (x0; y0) op de cirkel ligt hebben we x0² + y0² = r² zodat we als vergelijking van de raaklijn aan de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal r eenvoudig krijgen
Nu heeft onze cirkel met middelpunt in de oorsprong een straal √10 zodat we als vergelijking van de raaklijn aan deze cirkel in een punt (x0; y0) dus krijgen
Wil deze raaklijn aan de cirkel door het punt met coördinaten (4; 2) gaan, dan moeten de coördinaten van dit punt uiteraard aan deze vergelijking voldoen, zodat we als voorwaarde voor de coördinaten (x0; y0) van het raakpunt krijgen
Nu hebben we één voorwaarde voor de coördinaten (x0; y0) van het raakpunt, maar we hebben nog een tweede voorwaarde nodig om x0 en y0 te bepalen. En die tweede voorwaarde kennen we uiteraard omdat het punt met coördinaten (x0; y0) op onze cirkel ligt, zodat tevens geldt
Uit de eerste voorwaarde voor het raakpunt (x0; y0) krijgen we
en substitutie hiervan in de tweede voorwaarde geeft voor de x-coördinaat x0 van het raakpunt
Uitwerken en herleiden van het rechterlid op nul geeft
en dus
zodat
Hiermee zijn de x-coördinaten van de raakpunten van de beide raaklijnen aan de cirkel die door het punt met coördinaten (4; 2) gaan gevonden, en door invullen in y0 = 5 − 2x0 vinden we ook de bijbehorende y-coördinaten: de raakpunten hebben de coördinaten (1; 3) en (3; −1). Nu moeten we nog de vergelijkingen opstellen van de rechte door de punten (1; 3) en (4; 2) en van de rechte door de punten (3; − 1) en (4; 2). Dat is hier heel eenvoudig, want we weten immers dat de vergelijking van een raaklijn aan onze cirkel in het punt (x0; y0) luidt
en invullen van de coördinaten van de raakpunten (1; 3) en (3; −1) geeft dan direct
resp.
en dit zijn uiteraard dezelfde vergelijkingen als die we eerder vonden met de methode met behulp van de discriminant van een vierkantsvergelijking. Je ziet echter ook dat deze tweede methode aanzienlijk minder rekenwerk vergt.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-01-2016 23:11:18 ]
Dat vind ik moeilijk, maar dat komt misschien omdat ik ook niet genoeg oefen.quote:
[..]
Dat is nu wiskunde: zelf bedenken hoe je zo'n vraagstuk aanpakt en ook iedere stap in je aanpak kunnen verantwoorden.
Dat is wel iets wat ik ga veranderen, een goede werkhouding schijnt voor wiskunde erg belangrijk te zijn.De formule die ik bedoelde, is y - y_0 = a(x-x_0), maar bij nader inzien blijkt die toch erg logisch te zijn aangezien a = Δy/Δx = (y - y_0)/(x-x_0), en dus y - y_0 = a(x-x_0)... Stom.quote:[..]
Dat is geen vage formule, en bovendien moet dat niet, er zijn ook andere manieren.
Hartstikke bedankt voor je uitleg!quote:<uitleg>
De uitleg in het boek is niet zo duidelijk, en deze uitleg is super duidelijk en stap voor stap uitgelegd. Die tweede methode met vectoren stond niet in het boek, alhoewel die inderdaad beduidend sneller is.
Morgen Her, snap er nog steeds geen kut van. Dus gaat hem niet worden. En volgende week ook Dynamica, waar ik de hoop na de eerste paar colleges al voor op heb gegeven.
Met 20 puntjes het 3e kwartaal maar in gaan dan
Met 20 puntjes het 3e kwartaal maar in gaan dan
Her van welk vak?quote:Op donderdag 21 januari 2016 21:54 schreef PizzametKebab het volgende:
Morgen Her, snap er nog steeds geen kut van. Dus gaat hem niet worden. En volgende week ook Dynamica, waar ik de hoop na de eerste paar colleges al voor op heb gegeven.
Met 20 puntjes het 3e kwartaal maar in gaan dan
leef de leven
Dan zijn we het niet met elkaar eens.quote:
Omdat je een (voorbereidend) wetenschappelijke opleiding volgt waar van je wordt verwacht dat je op een gegeven moment zelf oplossingen kunt gaan bedenken voor problemen die je nog niet eerder hebt gezien, en geen ambachtsschool waar een docent methoden en technieken uitlegt die door anderen zijn bedacht en waar de leerlingen zich alleen maar in moeten bekwamen zonder zich diepere vragen te stellen.
Alhoewel in een ideale wereld mensen op een heel abstract niveau met wiskunde bezig zouden moeten zijn, omdat ze hier inderdaad later in hun loopbaan veel profijt van kunnen hebben, is dit voor de meeste mensen onder ons niet weggelegd. We zijn niet allemaal zo ge-hardwired dat we dit wel even doen.
Dit vraagt om een bepaald talent, dat maar dun gezaaid is. Mijn broer heeft dat. Die hoeft zoiets maar een keer te zien, en hij kan het dan wel dromen (ik heb dat gelukkig wel voor natuurkunde). Hij snapte wiskunde indertijd beter dan de leraar. Ik mis boven de infrastructuur om zoiets in een keer te doorzien, en dat zorgt voor frustratie.
In de VS ben ik er achtergekomen dat ze daar studenten klaarstomen voor een examen door ze alle (alle? ja, alle) problemen stapje voor stapje uit te leggen - zonder dat er van de student verwacht wordt dat ze er zelf over na gaan denken - en op die manier kon iedere boerelul met wat inzet slagen voor z'n examen. Er is geen frustratie. Bleek dat ik toch wel "slim" genoeg was om die stof te begrijpen.
Want het is allemaal niet zo moeilijk, als je het een paar keer gezien hebt.
Wat me aan de Nederlandse aanpak irriteert, is dat men de stof aanbiedt op zo'n manier dat mensen met talent er met minimale inspanning voor slagen, terwijl de grote groep die het met minder moet doen, zich afvraagt wat ze op het VWO doen.
Terwijl er tijdens je loopbaan wel meer van je gevraagd wordt dan een cirkel met raaklijnen.
Good intentions and tender feelings may do credit to those who possess them, but they often lead to ineffective — or positively destructive — policies ... Kevin D. Williamson
Ik ben naar mijn idee mechanica pas goed gaan begrijpen toen ik algemene relativiteit leerde, met name het begrip "schijnkracht"quote:
Morgen Her, snap er nog steeds geen kut van. Dus gaat hem niet worden. En volgende week ook Dynamica, waar ik de hoop na de eerste paar colleges al voor op heb gegeven.
Met 20 puntjes het 3e kwartaal maar in gaan dan
-
