[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

Wilt er aub iemand mij zeggen of ik het juist oplos?

GT=gesprekstherapie, PS= psychotische stoornissen, NS = neurotische stoornis

Oplossing voor de eerste vraag : P(PS\GT) = (0,8* 0,4) / (0.8*0.4) + (0.3*0.6) = 0,64

Stoornissen:
NS= 0.6%
-GT =0.8%
-Niet GT = 0.2%

PS= 0.4%
-Gedrags & Med = 0.7%
- Niet Gedrags & Med = 0.3%

Hoe kan ik bij de vraag 2 die 3 cliënten selecteren? Hoe moet ik het opschrijven? P(..)

de primitieve van 2(1-x)^-(1/2) geeft -4(1-x)^(1/2)

is het niet 4? waar komt die -4 vandaan?

quote:

Op zaterdag 6 juni 2015 13:22 schreef rareziekte het volgende:
de primitieve van 2(1-x)^-(1/2) geeft -4(1-x)^(1/2) + c

is het niet 4?

Nee, dit had je gemakkelijk zelf kunnen inzien door jouw vermeende primitieve functie te differentiëren.

quote:

Op zaterdag 6 juni 2015 13:22 schreef rareziekte het volgende:
waar komt die -4 vandaan?

Door juist te primitiveren. Tip: merk op dat er een coëfficiënt -1 voor x staat en ga dan nadenken over de kettingregel der differentiaalrekening.

quote:

Op zaterdag 6 juni 2015 14:16 schreef jungiaan het volgende:

[..]

Nee, dit had je gemakkelijk zelf kunnen inzien door jouw vermeende primitieve functie te differentiëren.

[..]

Door juist te primitiveren. Tip: merk op dat er een coëfficiënt -1 voor x staat en ga dan nadenken over de kettingregel der differentiaalrekening.

Ok, had die -x over het hoofd gezien, dank

quote:

Op vrijdag 5 juni 2015 22:58 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Waar je 0.8 het moet 0.3 staan (2 keer) en waar je 0.3 hebt moet 0.8 staan

P (PS | GT) = P (GT | PS) P (PS) / (P (GT | PS) P (PS) + P (GT | NS) P (NS)) = 0.3 * 0.4 / (0.3 * 0.4 + 0.8 * 0.6) = 0.2

Antwoord op B is dan het product van 3 keer de kans van antwoord A dus 0.2³ = 0.008

Bedankt, nu snap ik wat ik fout deed...

Ik probeer te bewijzen f(x)=1/sqrt(1-x²) geeft F(x)=arcsin(x)

Substitutie van x=sin(x) in f(x)dx geeft

1/sqrt(1-sin^2(t))dsin(t) = cos(t)/sqrt(1-sin^2(t))dt

Het boek neemt de noemer als sqrt cos^2(t)

Hoezo is 1-sin^2(t)=cos^2(t) ? Met de verdubbelingsformules kom ik er niet uit

[ Bericht 0% gewijzigd door rareziekte op 09-06-2015 19:00:31 ]

quote:

Op dinsdag 9 juni 2015 17:04 schreef rareziekte het volgende:
Ik probeer te bewijzen f(x)=1/sqrt(1-x²) geeft F(x)=arcsin(x)

Substitutie van x=sin(x) in f(x)dx geeft

1/sqrt(1-sin^2(t))dsin(t) = cos(t)/sqrt(1-sin^2(t))dt

Het boek neemt de noemer als sqrt cos^2(t)

Hoezo is 1-sin^(t)=cos^2(t) ? Met de verdubbelingsformules kom ik er niet uit

cos^2(t) + sin^2(t) = 1 (eenheidscirkel en Pythagoras)

Dus het volgt direct dat 1 - sin^2(t)=cos^2(t).

Aangenomen dat je dat bedoelt (de typo).

quote:

Op dinsdag 9 juni 2015 17:20 schreef Arthos het volgende:

[..]

cos^2(t) + sin^2(t) = 1 (eenheidscirkel en Pythagoras)

Dus het volgt direct dat 1 - sin^2(t)=cos^2(t).

Aangenomen dat je dat bedoelt (de typo).

Ah, dank. Stom. Jup, dat bedoelde ik

Bij het berekenen van de oplossingen van een functie f(x) kom ik uiteindelijk uit op

-2x=-(1/2)pi + k2pi v 6x=-(1/2)pi+k2pi

Vervolgens geeft het boek

x= (1/4)pi + kpi v x=-(1/12)pi+k(1/3)pi

Waarom is het niet (1/4)pi - kpi?

quote:

Op dinsdag 9 juni 2015 19:10 schreef rareziekte het volgende:

[..]

Ah, dank. Stom. Jup, dat bedoelde ik

Bij het berekenen van de oplossingen van een functie f(x) kom ik uiteindelijk uit op

-2x=-(1/2)pi + k2pi v 6x=-(1/2)pi+k2pi

Vervolgens geeft het boek

x= (1/4)pi + kpi v x=-(1/12)pi+k(1/3)pi

Waarom is het niet (1/4)pi - kpi?

k ranged over alle gehele getallen. In die context, is -kpi hetzelfde als +kpi.

Immers, als x= (1/4)pi + kpi voor k=n, dan x= (1/4)pi - kpi voor k=-n. Als n een geheel getal is, is -n ook een geheel getal.

EDIT: Wauw, ik wist niet dat je kon TeXen hier. Maakt het leven makkelijker. Dus:



[ Bericht 8% gewijzigd door Arthos op 09-06-2015 21:58:48 ]

quote:

Op dinsdag 9 juni 2015 19:29 schreef Arthos het volgende:

[..]

k ranged over alle gehele getallen. In die context, is -kpi hetzelfde als +kpi.

Immers, als x= (1/4)pi + kpi voor k=n, dan x= (1/4)pi - kpi voor k=-n. Als n een geheel getal is, is -n ook een geheel getal.

EDIT: Wauw, ik wist niet dat je kon TeXen hier. Maakt het leven makkelijker. Dus:

Als je vervolgens de oplossingen van die functie op domein [0,3pi] wilt geven neem je dus

x=1/4 pi v x= (1/4pi) - -2*pi= 2 (1/4)pi ? Dan snap ik dat -kpi hier gelijk is aan +kpi

Bedankt.

quote:

Op woensdag 10 juni 2015 10:37 schreef rareziekte het volgende:

[..]

Als je vervolgens de oplossingen van die functie op domein [0,3pi] wilt geven neem je dus

x=1/4 pi v x= (1/4pi) - -2*pi= 2 (1/4)pi ? Dan snap ik dat -kpi hier gelijk is aan +kpi

Bedankt.

Ik heb het idee dat je het nog niet begrijpt. Om te beginnen heeft een functie geen oplossingen. Je bedoelt waarschijnlijk de nulpunten van een functie f: [0, 3π] → R oftewel de oplossingen van een vergelijking f(x) = 0 op het interval [0, 3π]. Maar dan zijn er meer dan twee nulpunten van je functie f resp. oplossingen van je vergelijking f(x) = 0 op het interval [0, 3π].

Kan iemand me helpen met de volgende opgave? X,Y onafhankelijk en standaard normaal verdeeld (dus gemiddelde 0, standaarddeviatie 1). We zoeken de kansdichtheid van .

Als ik erop Google vind ik dingen over dat dit Chikwadraat verdeeld is ofzoiets, maar dat hebben we nog niet gehad. Hoe bepaal ik de kansdichtheid van Z? Alvast bedankt.

Verder loop ik vast op de marginale kansdichtheid fx van X bepalen, als X en Y gemeenschappelijk verdeeld zijn met:


Dit komt neer op dit integreren over alle y. Ik krijg de volgende substitutie als hint:


Als iemand me kan helpen met beide vragen, heel erg bedankt! Ik ben zo klaar met deze inleveropgave dat die integraal me niet lukt en bij die normale verdeling heb ik niet echt een idee hoe 't moet, vooral niet hoe ik moet beginnen.

[ Bericht 67% gewijzigd door Aardappeltaart op 10-06-2015 19:37:34 ]

quote:

Op woensdag 10 juni 2015 17:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb het idee dat je het nog niet begrijpt. Om te beginnen heeft een functie geen oplossingen. Je bedoelt waarschijnlijk de nulpunten van een functie f: [0, 3π] → R oftewel de oplossingen van een vergelijking f(x) = 0 op het interval [0, 3π]. Maar dan zijn er meer dan twee nulpunten van je functie f resp. oplossingen van je vergelijking f(x) = 0 op het interval [0, 3π].

Sorry, ik bedoel een vergelijking in de vorm van cos(A)=cos(B), dat is geen functie idd. Er zijn dan twee oplossingen, maar ik wilde eigenlijk alleen zeker weten of bovenstaande oplossingen goed waren.

quote:

Op woensdag 10 juni 2015 20:33 schreef rareziekte het volgende:

[..]

Sorry, ik bedoel een vergelijking in de vorm van cos(A)=cos(B), dat is geen functie idd. Er zijn dan twee oplossingen, maar ik wilde eigenlijk alleen zeker weten of bovenstaande oplossingen goed waren.

Als je wil weten of een bepaalde uitwerking of oplossing correct is, dan moet je wel het volledige vraagstuk posten, anders is je vraag onmogelijk te beantwoorden.

Het is ook niet juist dat een vergelijking van de gedaante cos(A) = cos(B), waarin A en of B dan uitdrukkingen zijn in een onbekende, steeds twee oplossingen zou hebben. In het algemeen geldt wel het volgende:

Twee cosinussen zijn gelijk als de (rotatie)hoeken óf gelijk zijn óf tegengesteld, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus

cos α = cos β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = −β + k·2π, k ∈ Z

En ook geldt:

Twee sinussen zijn gelijk als de (rotatie)hoeken óf gelijk zijn óf supplementair, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus

sin α = sin β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = π − β + k·2π, k ∈ Z

Hoe kun je een dergelijke omschrijving uitvoeren?

Overigens is de tweede vraag ondertussen gelukt. Die met die som van kwadraten van normale verdeling helaas niet. Kan iemand helpen? Heel erg bedankt!!

Klopt dit qua conventies?:

• Als a = onsplitsbaar/atomair/geen verzameling (bijv a = integer 5), dan schrijf je a ∊ b

• Als a = (deel)verzameling (bijv. a = {2,4,9}), dan schrijf je a ⊆ b

quote:

Op donderdag 11 juni 2015 18:27 schreef topdeck het volgende:
Klopt dit qua conventies?:

• Als a = onsplitsbaar/atomair/geen verzameling (bijv a = integer 5), dan schrijf je a ∊ b

• Als a = (deel)verzameling (bijv. a = {2,4,9}), dan schrijf je a ⊆ b

Het verschil is idd of je het over een element hebt of over een deelverzameling.

Als



schrijven we:



en

quote:

Op donderdag 11 juni 2015 13:38 schreef GeorgeArArMartin het volgende:
[ afbeelding ]

Hoe kun je een dergelijke omschrijving uitvoeren?

Om te beginnen: ik ben tegen het gebruik van de notaties sin⁻¹ en cos⁻¹ voor arcsin resp. arccos, dus zal ik deze laatste notaties gebruiken. Als je wil weten waarom, dan moet je dit maar eens lezen.

Laten we zeggen dat



Dit impliceert dat



waarbij



Laten we tevens zeggen dat



Dit impliceert dat



waarbij



Goed, nu hebben we dus



waarbij uit (3) 0 ≤ α ≤ ½π en tevens (6) 0 ≤ β ≤ ½π volgt dat



Aangezien het domein van de arccos functie het interval [−1, 1] is en het bereik het interval [0, π] en deze functie strict monotoon dalend is, betekent dit dat er een unieke x ∈ [−1, 1] is zodanig dat



mits α ≥ β zodat α − β ≥ 0. Dan is ook



Om nu cos(α − β) en daarmee x te bepalen, maken we gebruik van de identiteit



Welnu, (2) sin α = 4/5 en (5) cos β = 12/13 kennen we al, dus nu moeten we alleen cos α en sin β nog bepalen. Dit is eenvoudig met behulp van de identiteit



Aangezien (3) 0 ≤ α ≤ ½π en tevens (6) 0 ≤ β ≤ ½π weten we dat cos α en sin β beiden niet negatief moeten zijn, en met behulp van (12) vinden we dan



en



Merk nu op dat sin α > sin β zodat inderdaad α > β waarmee α − β op het interval [0, ½π] ligt en daarmee binnen het bereik van de arccos functie.

Invullen van (2), (5), (13) en (14) in (11) geeft nu



en dus hebben we



zodat uit (7) en (16) inderdaad volgt dat



QED

Toegift: in de waarden cos α = 3/5, sin α = 4/5 en cos β = 12/13, sin β = 5/13 herkennen we de Pythagoreïsche tripletten (3, 4, 5) en (5, 12, 13). Nu is het zo dat het product van twee sommen van twee kwadraten van twee positieve gehele getallen steeds weer is te schrijven als een som van twee kwadraten van twee positieve gehele getallen, en wel op twee verschillende manieren, want we hebben



Vullen we nu in (18) en (19) a = 3, b = 4, c = 5, d = 12 in, dan krijgen we uit de Pythagoreïsche tripletten (3, 4, 5) en (5, 12, 13) twee nieuwe Pythagoreïsche tripletten (33, 56, 65) en (16, 63, 65), en nu herken je in het eerste van deze nieuwe tripletten de teller 56 en de noemer 65 van het quotiënt 56/65 in (17). De verklaring is dat de beide scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek waarvan de zijden zich verhouden als (33, 56, 65) elk gelijk zijn aan een som resp. een verschil van twee scherpe hoeken van de rechthoekige driehoeken waarvan de zijden zich verhouden als (3, 4, 5) en (5, 12, 13), en datzelfde geldt voor een rechthoekige driehoek waarvan de zijden zich verhouden als (16, 63, 65).

Merk nog op dat we bij bovenstaande herleiding wegens (8) −½π ≤ α − β ≤ ½π ook hadden kunnen kiezen voor een herleiding tot een arcus sinus zonder daarbij te hoeven nagaan of werd voldaan aan α − β ≥ 0 aangezien de arcsin functie het interval [−½π, ½π] als bereik heeft. Daarvoor maken we gebruik van de identiteit voor sin(α − β) en dan vinden we sin(α − β) = 33/65 en dus



Hier zie je in de teller van het quotiënt 33/65 het getal 33 uit het Pythagoreïsche triplet (33, 56, 65) tevoorschijn komen, en dat is ook begrijpelijk, want uit (12) cos²φ + sin²φ = 1 volgt voor 0 ≤ φ ≤ ½π en als we cos φ = x stellen dat sin φ = √(1 − x²) en daarmee arccos(x) = arcsin(√(1 − x²)) voor 0 ≤ x ≤ 1. Zodoende is dus arccos(56/65) = arcsin(33/65) aangezien (56/65)² + (33/65)² = 1.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-06-2015 05:18:06 ]

Wat is een handig geheugensteuntje om te onthouden:
sin(0π) = 0
sin(⅙π) = ½√1 = ½
sin(¼π) = ½√2
sin(⅓π) = ½√3

En nog een vraag: hoe kan je gemakkelijk inzien dat x = k*2π, x = ⅔π + k*2π, en x = -⅔π + k*2π herleid kunnen worden tot x = k*⅔π?

[ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 11-06-2015 22:36:15 (typo) ]

quote:

Op donderdag 11 juni 2015 22:07 schreef netchip het volgende:
Wat is een handig geheigensteuntje om te onthouden:
sin(0π) = 0
sin(⅙π) = ½√1 = ½
sin(¼π) = ½√2
sin(⅓π) = ½√3

Het is eenvoudiger om dit te onthouden als je de hoeken in graden uitdrukt, namelijk 0, 30, 45, 60 en 90 graden. Uiteraard moet je dan ook nog weten dat een gestrekte hoek, oftewel 180 graden, overeenkomt met π radialen. Een eenvoudig ezelsbruggetje: de sinus van de genoemde hoeken is nu achtereenvolgens

½√0, ½√1, ½√2, ½√3, ½√4

en dus

0, ½, ½√2, ½√3, 1

en de cosinus van de genoemde hoeken krijg je achtereenvolgens door hetzelfde rijtje van rechts naar links op te schrijven.

quote:

En nog een vraag: hoe kan je gemakkelijk inzien dat x = k*2π, x = ⅔π + k*2π, en x = -⅔π + k*2π herleid kunnen worden tot x = k*⅔π?

Schets even een eenheidscirkel in een cartesisch assenstelsel en geef op de eenheidscirkel het punt aan dat je krijgt door het startpunt met coördinaten (1; 0) om de oorsprong te roteren over een hoek van +⅔π rad (positieve zin, dus tegen de klok in) en geef op de eenheidscirkel tevens het punt aan dat je krijgt door het startpunt met coördinaten (1; 0) om de oorsprong te roteren over een hoek van -⅔π rad (negatieve zin, dus met de klok mee).