[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op zondag 11 januari 2015 17:22 schreef Sucuk het volgende:
Dag mede-FOK!ers:

Ik heb een vraagje en hopelijk kan iemand mij hierbij helpen. Ik weet totaal niet hoe ik dit moet aanpakken. Super bedankt voor diegene die mij wil helpen.

De vraag uit mijn boek:

1. Assume that the rate of extraction u(t) from an oil well decreases exponentially over time, with
u(t) = u*e^-at

where u* and a are positive constants. Given the initial stock x(0) = K, find an expression x(t) for the remaining amount of oil at time t. Under what condition will the well never be exhausted?

Ik snap er eerlijk gezegd geen ruk van..

u is de snelheid waarmee de olie uit de grond wordt gehaald. Dit is dus de afgeleide van de hoeveelheid olie x(t). In dit geval neemt de hoeveelheid olie af, dus u = - dx/dt. Je moet deze differentiaalvergelijking oplossen voor x. Dat klinkt misschien heel eng, maar in dit geval valt het heel erg mee. (Dan ga ik nu de wiskundigen heel kwaad maken) Je kunt hier namelijk de 'dt' naar de andere kant halen en dan aan beide kanten integreren:

Dan moet je alleen nog even naar de integratie grenzen kijken. Probeer dit eerst zelf maar eens uit te vogelen.

quote:

Op zondag 11 januari 2015 17:30 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

u is de snelheid waarmee de olie uit de grond wordt gehaald. Dit is dus de afgeleide van de hoeveelheid olie x(t). In dit geval neemt de hoeveelheid olie af, dus u = - dx/dt. Je moet deze differentiaalvergelijking oplossen voor x. Dat klinkt misschien heel eng, maar in dit geval valt het heel erg mee. (Dan ga ik nu de wiskundigen heel kwaad maken) Je kunt hier namelijk de 'dt' naar de andere kant halen en dan aan beide kanten integreren:

Dan moet je alleen nog even naar de integratie grenzen kijken. Probeer dit eerst zelf maar eens uit te vogelen.

Ik ga ernaar kijken. Ik laat het nog weten hoe het verlopen is.

Één vraagje nog. Waarvoor dienen onbepaalde integralen en waarvoor dienen bepaalde integralen in jip en janneke taal? Wat kun je er mee zeg maar..? Kun je met bepaalde integralen alleen maar oppervlakten berekenen?

quote:

Op zondag 11 januari 2015 17:26 schreef Generalsupremo het volgende:

[..]

Ik hou van mijn docent, hij is een van de beste wiskunde leraren die ik ooit heb gehad. Helaas heeft hij mij het optimaliseren net niet genoeg uitgelegd, hij heeft het mij alleen uitgelegd bij oppervlakte, waar hoogte dus niet speelde. Ik snap 't met betrekking tot inhoud niet echt goed.

[..]

Dat maakt in principe niet uit, dus laat je daar ook niet door in de war brengen. Kern van het verhaal is dat je een minimum van een functie kan bepalen als je die differentieert en gelijk aan nul stelt. Of die functie over oppervlakte, inhoud of het aantal koeien gaat maakt niet zoveel uit.

quote:

Vergeef me, maar ik snap niet wat je hiermee bedoelt.

De materiaalkosten van dat doosje zijn niet afhankelijk van de inhoud, maar van de oppervlakte van de buitenkanten.
In de opgave staat dat de bodem van het doosje vierkant is, en dat je de lengte van de zijkant x moet noemen. De oppervlakte van de bodem is dus x*x = x². En de oppervlakte van het deksel natuurlijk ook.
De hoogte van het doosje moet je h noemen. De oppervlakte van een zijkant is dan x*h, en het doosje heeft 4 zijkanten.
De totale materiaalkosten zijn nu (kosten bodem) + (kosten deksel) + 4 * (kosten zijkant). Die mag je zelf even uitschrijven.
Nu heb je je totale materiaalkosten uitgedrukt in x en h. Wil je een minimum kunnen berekenen, dan moet je het gaan uitdrukken in één variabele. Gelukkig hebben we nog een gegeven over dat we niet hebben gebruikt: de inhoud van het doosje is 12 dm³. Wat hebben x, h en 12 met elkaar te maken?

quote:

[..]

Dat is makkelijk, gewoon de afgeleide bepalen en dan gelijk stellen aan 0.

Juist.

Hoe-o-hoe werk je haakjes weg?



Het is omdat hier 3 x'en tussen haakjes staan, met twee is het wel gewoon simpel.

Nadat de haakjes zijn weggewerkt moet ik de afgeleide berekenen, maar dat is allemaal vrij simpel =)

quote:

Op zondag 11 januari 2015 18:05 schreef Nelvalhil het volgende:
Hoe-o-hoe werk je haakjes weg?

[ afbeelding ]

Het is omdat hier 3 x'en tussen haakjes staan, met twee is het wel gewoon simpel.

Nadat de haakjes zijn weggewerkt moet ik de afgeleide berekenen, maar dat is allemaal vrij simpel =)

Het kan in twee stappen: eerst de eerste twee termen uitwerken, en daarna de derde erbij nemen.

Je kan er ook anders naar kijken: iets van de vorm (x+a)(x+b)(x+c) levert uitgewerkt het volgende op:
x³+px²+qx+r, waarbij
p = a+b+c en q = ab+ac+bc en r = abc.

quote:

Op zondag 11 januari 2015 17:37 schreef Janneke141 het volgende:
De materiaalkosten van dat doosje zijn niet afhankelijk van de inhoud, maar van de oppervlakte van de buitenkanten.
In de opgave staat dat de bodem van het doosje vierkant is, en dat je de lengte van de zijkant x moet noemen. De oppervlakte van de bodem is dus x*x = x2. En de oppervlakte van het deksel natuurlijk ook.
De hoogte van het doosje moet je h noemen. De oppervlakte van een zijkant is dan x*h, en het doosje heeft 4 zijkanten.
De totale materiaalkosten zijn nu (kosten bodem) + (kosten deksel) + 4 * (kosten zijkant). Die mag je zelf even uitschrijven.
Nu heb je je totale materiaalkosten uitgedrukt in x en h. Wil je een minimum kunnen berekenen, dan moet je het gaan uitdrukken in één variabele. Gelukkig hebben we nog een gegeven over dat we niet hebben gebruikt: de inhoud van het doosje is 12 dm3. Wat hebben x, h en 12 met elkaar te maken?

Ah, dus wat ik zou moeten doen is: Lengte x breedte x hoogte, dus x^2 * 0.25 + 4h*0.25 + x^2 *0.5 = Inhoud, ben ik goed aan het redeneren?

Trouwens, even over vraag 40: in het antwoordenboek staat dat je ook de hoogte moet gebruiken bij het berekenen van de oppervlakte, maar de oppervlakte is toch juist lengte x breedte en heeft niks te maken met hoogte?



Super bedankt trouwens voor je uitleg.

quote:

Op zondag 11 januari 2015 19:17 schreef Generalsupremo het volgende:

[..]

Ah, dus wat ik zou moeten doen is: Lengte x breedte x hoogte, dus x^2 * 0.25 + 4h*0.25 + x^2 *0.5 = Inhoud, ben ik goed aan het redeneren?

Trouwens, even over vraag 40: in het antwoordenboek staat dat je ook de hoogte moet gebruiken bij het berekenen van de oppervlakte, maar de oppervlakte is toch juist lengte x breedte en heeft niks te maken met hoogte?

[ afbeelding ]

Super bedankt trouwens voor je uitleg.

Je maakt twee keer dezelfde denkfout, waarbij je in de war raakt met oppervlakte en inhoud. De oppervlakte van de zijkant van een doosje is wel degelijk afhankelijk van de hoogte van het doosje.

In de eerste regel van je post ben je in het dikgedrukte stukje dus een x vergeten. Als je die toevoegt, is wat je gevonden hebt een uitdrukking voor de totale materiaalkosten van het doosje. En dus helemaal niet gelijk aan de inhoud, want dat is lengte x breedte x hoogte.

Hoe moet ik:

Als p(t) = 1 + 1/(t+1) en g(t) = t³ - 20t² + 100t

Hoe moet ik het integraal nemen van p(t)g(t) dt

Moet ik dan eerst de twee functies vermenigvuldigen met elkaar?

quote:

Op zondag 11 januari 2015 19:33 schreef GeschiktX het volgende:
Hoe moet ik:

Als p(t) = 1 + 1/(t+1) en g(t) = t³ - 20t² + 100t

Hoe moet ik het integraal nemen van p(t)g(t) dt

Moet ik dan eerst de twee functies vermenigvuldigen met elkaar?

Ik moet uitkomen op

integraal: -t³ + 9t² + 11t - 11 + 11/(t+1) dt

maar ik heb dat dus niet.. Ik kwam uit op:

integraal: 10t² + 10t - 2t³ dt

quote:

Op zondag 11 januari 2015 19:33 schreef GeschiktX het volgende:
Hoe moet ik:

Als p(t) = 1 + 1/(t+1) en g(t) = t³ - 20t² + 100t

Hoe moet ik het integraal nemen van p(t)g(t) dt

Moet ik dan eerst de twee functies vermenigvuldigen met elkaar?

Ik zou een staartdeling toepassen.

quote:

Op zondag 11 januari 2015 20:02 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik zou een staartdeling toepassen.

Snap het niet... wat je bedoelt..

quote:

Op zondag 11 januari 2015 20:09 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Snap het niet... wat je bedoelt..

Polynomial Long Division, google maar.

quote:

Op zondag 11 januari 2015 20:17 schreef Novermars het volgende:

[..]

Polynomial Long Division, google maar.

Ohja.. duidelijk. Moet ik g(t) en p(t) eerst met elkaar vermenigvuldigen en er een breuk van maken? Ik ga ervan uit dat het 1 + (1/(t+1)) is..

Of is het 2/(t+1) ?

Ik snap de beginstap niet. Eerst g(t) vermenigvuldigen met 1 en daarna met 1/t+1 ? Zo ja, wat daarna..?

quote:

Op zondag 11 januari 2015 20:25 schreef GeschiktX het volgende:
Ik snap de beginstap niet. Eerst g(t) vermenigvuldigen met 1

ja

quote:

en daarna met 1/t+1 ? Zo ja, wat daarna..?

Ja, en dus moet je een staartdeling maken van g(t)/(t+1).

quote:

Op donderdag 8 januari 2015 22:21 schreef spacer730 het volgende:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Iemand die me kan helpen met het parametriseren van het oppervlak S? (gebied op de bol met als rand K U K') Ik dacht dat het invoeren van bolcoördinaten handig zou zijn, want dan zou theta gewoon van 0 tot pi/2 lopen alleen heb ik geen idee hoe ik phi moet laten lopen. Waarschijnlijk als ondergrens een functie van theta tot pi/2, maar hoe vind ik de functie? Overigens gebruik de wiskundige conventie van theta en phi bij bolcoördinaten.

Iemand?

Waarvoor dienen onbepaalde integralen en waarvoor dienen bepaalde integralen in jip en janneke taal? Wat kun je er mee zeg maar..? Kun je met bepaalde integralen alleen maar oppervlakten berekenen?

quote:

Op zondag 11 januari 2015 22:25 schreef Sucuk het volgende:
Waarvoor dienen onbepaalde integralen en waarvoor dienen bepaalde integralen in jip en janneke taal?

Begin maar even met dit artikel in Wikipedia. Verwacht niet dat iemand je eventjes alles kan uitleggen in jip-en-janneketaal en dat je het dan ook begrijpt, daarvoor zul je echt zelf moeite moeten doen.

Een onbepaalde integraal is in wezen niet meer dan een notatie voor de verzameling van alle primitieven van een gegeven functie. Een primitieve van een functie is een functie die de gegeven functie als afgeleide functie heeft. Omdat de afgeleide van een constante functie identiek gelijk is aan nul en de afgeleide van een som gelijk is aan de som van de afgeleiden, is het duidelijk dat een functie niet één primitieve heeft, maar oneindig veel primitieven, waarbij elk tweetal primitieven een constante van elkaar verschilt. Daarom mag je ook niet spreken van de primitieve van een functie maar moet je altijd spreken van de primitieven (meervoud) van een functie of van een primitieve van een functie.

Een bepaalde integraal daarentegen is iets heel anders en in wezen een notatie voor een limiet van een zekere som van producten. Dit (bepaalde) integraalbegrip is ontstaan uit de gedachte dat je de oppervlakte van een vlakdeel begrensd door een kromme lijn kunt benaderen door het vlakdeel te verdelen in smalle reepjes die je elk bij benadering als een rechthoek kunt opvatten. De oppervlakte van een rechthoek is eenvoudig te bepalen door lengte en breedte met elkaar te vermenigvuldigen, en door al die producten op te tellen krijg je dan een benadering van de oppervlakte van het vlakdeel. Deze benadering wordt beter naarmate je de reepjes smaller maakt, en zo kun je dus inzien dat je voor de exacte bepaling van de oppervlakte van het vlakdeel eigenlijk een limiet moet bepalen van de som van al die producten als je de breedte van de individuele reepjes tot nul laat naderen.

Het interessante is nu echter dat je zo'n limiet niet daadwerkelijk hoeft te bepalen omdat de zogeheten hoofdstelling van de integraalrekening een verband geeft tussen die limiet van een som van producten en een afgeleide, die je op kunt vatten als een limiet van een quotiënt van verschillen. Voor een eenvoudige uitleg van de hoofdstelling van de integraalrekening alsmede voor de origine van onze notaties voor onbepaalde en bepaalde integralen kan ik je aanbevelen deze post van mij eens goed te bestuderen.

quote:

Wat kun je er mee zeg maar..? Kun je met bepaalde integralen alleen maar oppervlakten berekenen?

De integraalrekening is ontstaan uit vraagstukken met betrekking tot de bepaling van oppervlaktes en volumes alsmede bepalingen van de lengte van (delen van) curves, maar dit is zeker niet het enige toepassingsgebied.

quote:

Op zondag 11 januari 2015 22:25 schreef Sucuk het volgende:
Waarvoor dienen onbepaalde integralen en waarvoor dienen bepaalde integralen in jip en janneke taal? Wat kun je er mee zeg maar..? Kun je met bepaalde integralen alleen maar oppervlakten berekenen?

Oké, ik zal het in jip-en-janneke-natuurkunde-taal uitleggen.

,
.

Hetzelfde gaat ook op voor snelheid v en afstand s uitgedrukt in tijd t.

Hoi wiskundigen, ik zit met de gebakken peren en hoop hier hulp te krijgen van jullie:

Het vraagstuk luidt:



Klopt het dat het dan om dit gebied gaat wat ik moet uitrekenen?


Zo ja...; waarom zou ik dit verschil dan moeten nemen? Dan trek ik beide gearceerde oppervlakten van elkaar af.. Terwijl ik het totaal moet weten.... (dus allebei samen..)

Tenslotte:

WAAROM moet ik dit doen?:

quote:

Op maandag 12 januari 2015 13:14 schreef Andijvie_ het volgende:
Hoi wiskundigen, ik zit met de gebakken peren en hoop hier hulp te krijgen van jullie:

Het vraagstuk luidt:

[ afbeelding ]

Klopt het dat het dan om dit gebied gaat wat ik moet uitrekenen?
[ afbeelding ]

Zo ja...; waarom zou ik dit verschil dan moeten nemen? Dan trek ik beide gearceerde oppervlakten van elkaar af.. Terwijl ik het totaal moet weten.... (dus allebei samen..)

Tenslotte:

WAAROM moet ik dit doen?:

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Je schets klopt - je wil inderdaad de oppervlakte van het rode gebied weten. Als je de integraal uitrekent over het gedeelte onder de x-as, krijg je een negatief getal als uitkomst terwijl we voor een oppervlakte in de regel toch echt een positieve waarde gebruiken. Het gevolg hiervan is dat je je integraal in twee gedeeltes moet uitrekenen. Waarom? Nou, de integraal op het hele interval 'telt' het oppervlak van het gedeelte boven de x-as als positief, en daarna het gedeelte onder de x-as als negatief. De uitkomst van de integraal op het interval [0,3] is dus het verschil van die twee oppervlaktes, en dat wil je niet.

Je moet dus twee integralen uitrekenen, zodat je de oppervlaktes van beide stukjes weet en bij elkaar op kan tellen. (Over optellen of aftrekken: de tweede integraal levert een negatieve uitkomst, omdat het gebied onder de x-as ligt. Vandaar de verwarring over som en verschil, maar daar kom je intuïtief wel uit).

Dus bereken het snijpunt (makkelijk te zien, trouwens), vind een primitieve en reken daarna op de twee gevonden intervallen de integraal uit.

quote:

Op maandag 12 januari 2015 13:23 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Je schets klopt - je wil inderdaad de oppervlakte van het rode gebied weten. Als je de integraal uitrekent over het gedeelte onder de x-as, krijg je een negatief getal als uitkomst terwijl we voor een oppervlakte in de regel toch echt een positieve waarde gebruiken. Het gevolg hiervan is dat je je integraal in twee gedeeltes moet uitrekenen. Waarom? Nou, de integraal op het hele interval 'telt' het oppervlak van het gedeelte boven de x-as als positief, en daarna het gedeelte onder de x-as als negatief. De uitkomst van de integraal op het interval [0,3] is dus het verschil van die twee oppervlaktes, en dat wil je niet.

Je moet dus twee integralen uitrekenen, zodat je de oppervlaktes van beide stukjes weet en bij elkaar op kan tellen. (Over optellen of aftrekken: de tweede integraal levert een negatieve uitkomst, omdat het gebied onder de x-as ligt. Vandaar de verwarring over som en verschil, maar daar kom je intuïtief wel uit).

Dus bereken het snijpunt (makkelijk te zien, trouwens), vind een primitieve en reken daarna op de twee gevonden intervallen de integraal uit.

Enorm bedankt.

Ik was vergeten om dit toe te voegen:



Dus die - is ervoor om het weer positief te krijgen?

quote:

Op maandag 12 januari 2015 13:48 schreef Andijvie_ het volgende:

[..]

Enorm bedankt.

Ik was vergeten om dit toe te voegen:

[ afbeelding ]

Dus die - is ervoor om het weer positief te krijgen?

Ja, inderdaad.

Een snel, eenvoudig sommetje;

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Als ik dit dan weer in de oorspronkelijke functie invul komt er geen 6 uit, hoe dat zo? Wat doe ik hier fout?

quote:

Op maandag 12 januari 2015 17:57 schreef Nelvalhil het volgende:
3*4^x+2 = 6

:3

4^x+2 = 2

2^x+2+2 = 2^1

x+2+2 = 1

x+3 = 0

x=-3

Onder andere.