quote:
Op maandag 26 januari 2015 11:37 schreef Andijvie_ het volgende:Hallo,
Ik heb tweetal vragen:
Wat wordt er bedoeld met convergeren en divergeren en hoe kun je dat weten/berekenen, evenals het feit dat 1/x kleiner moet zijn dan 1 en x groter moet zijn dan 1? Daarnaast... waarom klapt het ongelijkheidsteken om, het is toch geen deling met een negatief getal?
[
afbeelding ]
Dezelfde vraag hier:
[
afbeelding ]
Waarom zou | x² | < 1 moeten zijn zodat het convergeert?
Het probleem is dat je kennelijk niet weet hoe je een meetkundige reeks met een eindig aantal termen
sommeert, en als gevolg daarvan begrijp je kennelijk ook niet dat een oneindige meetkundige reeks
convergeert dan en slechts dan als de absolute waarde van de reden van de meetkundige reeks kleiner is dan 1.
Trek nu eerst wat tijd uit om
deze post van mij eens goed te bestuderen, zodat je begrijpt hoe je de som bepaalt van een meetkundige reeks met een eindig aantal termen. Ga pas verder met het bestuderen van onderstaande tekst nadat je mijn oude post hebt doorgenomen.
Hebben we een meetkundige reeks met als eerste term a en als reden r ≠ 1, dan is de som S
n van de eerste n termen:
Is nu de absolute waarde van de reden r van de reeks kleiner dan 1, dus |r| < 1, dan zal r
n in bovenstaande uitdrukking voor S
n steeds dichter tot
nul naderen als we n steeds groter maken, dus als we steeds meer termen nemen en deze sommeren. Dat wil dus zeggen dat S
n dan steeds dichter zal naderen tot a/(1-r), oftewel, S
n nadert voor n → ∞ dan tot een
limiet die we aan kunnen duiden met S, in formulevorm:
We kunnen dan zeggen dat de meetkundige reeks
convergeert en dat S
de som is van deze oneindige meetkundige reeks met eerste term a en reden r,
mits |r| < 1.
Een eenvoudig voorbeeld is de meetkundige reeks die je krijgt door a = 1 te nemen als eerste term en r = ½ als reden:
Als je de som bepaalt van steeds meer termen van deze reeks dan zie je gemakkelijk dat je steeds dichter in de buurt van 2 komt, omdat immers de nog resterende afstand van de som van een aantal termen tot 2 steeds halveert wanneer je de eerstvolgende term erbij neemt. De som van een
eindig aantal termen van deze reeks wordt nooit exact 2, maar we kunnen wel
willekeurig dicht in de buurt van 2 komen als we maar
voldoende termen nemen. De
limiet van de deelsom S
n van de eerste n termen is dus 2 voor n → ∞ en we kunnen dit ook kortweg uitdrukken door te zeggen dat deze reeks
convergeert en dat
de som van deze oneindige reeks gelijk is aan 2. We noemen dit ook een
convergente reeks. Als je in bovenstaande formule S = a/(1-r) voor de som van een convergente oneindige meetkundige reeks a = 1 en r = ½ invult, dan vind je uiteraard ook S = 1/(1-½) = 2.
Is de absolute waarde van de reden r daarentegen
groter dan 1, dan zal r
n niet tot een bepaalde waarde naderen als we n steeds groter laten worden, en dan zal de som S
n van de eerste n termen van de reeks dus ook niet tot een bepaalde waarde naderen als we het aantal termen n dat we optellen steeds groter laten worden. We zeggen dan dat de reeks
divergeert. Een heel eenvoudig voorbeeld krijgen we door weer als eerste term a = 1 te nemen, maar nu als reden r = 2, dan hebben we:
Het is duidelijk dat de som van een aantal termen van deze reeks steeds groter wordt en bovendien
onbeperkt toeneemt als we het aantal termen onbeperkt toe laten nemen: we kunnen de som groter laten worden dan ieder willekeurig gekozen getal als we maar voldoende termen nemen. Het is dus duidelijk dat de som van de termen van deze meetkundige reeks
niet nadert tot een bepaalde waarde als we het aantal termen waarvan we de som nemen onbeperkt toe laten nemen. We zeggen dan dat deze reeks
divergeert oftewel dat we hier te maken hebben met een
divergente reeks.
Het zal nu hopelijk duidelijk zijn dat de reeks uit je eerste voorbeeld convergeert dan en slechts dan als
Vermenigvuldigen we beide leden van deze ongelijkheid met |x|, dan hebben we
en dit is weer equivalent met
De meetkundige reeks uit je tweede voorbeeld heeft als reden x², en deze reeks is dus convergent dan en slechts dan als
en deze voorwaarde is equivalent met
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-01-2015 18:25:17 ]