[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:08 schreef Janneke141 het volgende:

[..]



Noem mij eens een getal x waarvoor x² < 0 ?

Ohja...

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Yep, dat snap ik. Eigenlijk zijn dus alle bewerkingen toegestaan, zolang je dat maar op beide kanten doet (en niet deelt door nul)?

Inderdaad

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Yep, dat snap ik. Eigenlijk zijn dus alle bewerkingen toegestaan, zolang je dat maar op beide kanten doet (en niet deelt door nul)?

Er zijn wel wat meer uitzonderingen. Het is ook niet zomaar toegestaan om links en rechts te kwadrateren (iets met mintekens) of links en rechts de wortel te trekken (kan ook niet als een van beide kanten wel eens negatief zou kunnen worden).
Volgens mij is het zo dat het mag zo lang de bewerking die je wil uitvoeren een bijectie R --> R is, maar dat doe ik uit mijn hoofd. Er zijn vast wel mensen hier die dat beter weten.

Ik dacht toch echt dat de teller geen 'infinite'' zou geven, maar niet gedefinieerd, met name omdat er een - teken staat binnen de ln plus dat de limiet nadert naar 0 en ln(0) kan niet.

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:04 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja ik weet wat een zadelpunt is. Dat heb je meestal bij 3d grafieken.

Stel je hebt de functie gedefinieerd door f(x) = x^3. Dan heb je f'(x)=0 => x=0 met als functiewaarde f(0)=0. Met andere woorden, x=0 is een stationair punt. Zij gegeven. Dan heb je en . Omdat willekeurig gegeven was, concludeer je dat in elke (arbitrair kleine) omgeving van (0,0) er punten zijn die groter resp. kleiner zijn dan het zogenoemde minima of maxima. Hence, het is een zadelpunt.

Kan je deze logica ook toepassen op f(x,y) = x^3 + y^3?

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:27 schreef netchip het volgende:

[..]

Wat bedoelen ze meestal met de ε? Een willekeurige letter voor een variabele? Of moet ik er wat achter zoeken?

Meestal een afstand. Lastig om uit te leggen, dit kan Riparius waarschijnlijk perfect uitleggen.

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:27 schreef netchip het volgende:

[..]

Wat bedoelen ze meestal met de ε? Een willekeurige letter voor een variabele? Of moet ik er wat achter zoeken?

Laat maar, het is een letter voor een variabele met een willekeurig kleine waarde.

Niet willekeurig klein. Enkel willekeurig. Het ene impliceert het andere, maar de andere niet de ene om het maar super vaag te zeggen.

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:37 schreef netchip het volgende:

[..]

Wikipedia zei dit er over (http://nl.wikipedia.org/wiki/Epsilon#Wiskunde): "In de wiskunde wordt de epsilon gebruikt om willekeurig kleine getallen aan te geven, bijvoorbeeld bij limieten." Ik geloof je best hoor, alleen ik ging hier op af.

Dan heeft Wikipedia (zoals wel vaker) het fout.

Het wordt (bijna) altijd in de context gebruikt van: Zij ε>0 gegeven. Zie jij iets dat willekeurig klein zou moeten aanduiden?

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:18 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Ik dacht toch echt dat de teller geen 'infinite'' zou geven, maar niet gedefinieerd, met name omdat er een - teken staat binnen de ln plus dat de limiet nadert naar 0 en ln(0) kan niet.

[ afbeelding ]

Bij een limiet is het onbelangrijk wat er gebeurt op het punt zelf. Je moet alleen kijken naar waar het heel dicht nadert.

Wat ik zelf bedenk bij zoiets: x gaat naar 0 vanaf onder. Dus uiteindelijk krijg je iets als -.0000000001 voor x. Wanneer je dat invult voor x krijg je in de teller dus -ln(0.00000001). Wat dus wel gedefinieerd is! Als je dan de grafiek van ln(x) bedenkt moet je je realiseren dat ln(0,000001) dus nadert naar -oneindig, omdat er nu nog een minteken voor de ln staat wordt dat dus een + oneindig. De noemer wordt 2. Dus limiet = oneindig.

Een snelle theorie vraag, conjugatie van een pure quaternion beeldt deze opnieuw af op een pure quaternion, en dit moet een rotatie in R³ simuleren. Maar wat is de groepsoperatie, en wat is dan de bijbehorende inverse? Standaard vermenigvuldiging?

Een vraagje:

Bepaal de volgende limiet: lim_x->0 (ln(1+x))/(ln(1-x))

zonder gebruik te maken van l'hopital.

quote:

Op woensdag 22 oktober 2014 14:36 schreef Frootlup het volgende:
Een vraagje:

Bepaal de volgende limiet: lim_x->0 (ln(1+x))/(ln(1-x))

zonder gebruik te maken van l'hopital.

Met behulp van taylorseries voor ln(1+x) en ln(1-x) is een manier.

quote:

Met behulp van taylorseries voor ln(1+x) en ln(1-x) is een manier.

Dat deed Wolfram ook. Maar het kwam op een tentamen basiswiskunde (econometrie, 1e jaars vak). Taylor series zijn bij ons nog niet behandeld.

Je moet de volgende standaardlimieten gebruiken:
1) lim_x->0 ln(1+x) / x = 1
2) lim_x->1 ln(x) / (x-1) = 1

quote:

Op woensdag 22 oktober 2014 15:07 schreef Frootlup het volgende:

[..]

Dat deed Wolfram ook. Maar het kwam op een tentamen basiswiskunde (econometrie, 1e jaars vak). Taylor series zijn bij ons nog niet behandeld.

Je moet de volgende standaardlimieten gebruiken:
1) lim_x->0 ln(1+x) / x = 1
2) lim_x->1 ln(x) / (x-1) = 1

Je kunt je limiet opvatten als het quotiënt van de limieten



en



waarbij de eerste volgt uit de definitie van de afgeleide en de tweede volgt uit de eerste door x te vervangen door −x. Zo vind je direct dat

Zéér basic dit maar ik kom er niet uit?

Wortel N = 5-4N
kwadrateren dus want wortel.
Dus krijg je; N =(5-4N)kwadraat
Dan vereenvoudig je, dus

N = 25-16N, toch?

Het antwoordenboekje zegt dat er bij N =(5-4N)kwadraat N= 25-40N + 16N kwadraat moet uitkomen, hoe dan?

quote:

Op dinsdag 21 oktober 2014 22:40 schreef Novermars het volgende:

[..]

Dan heeft Wikipedia (zoals wel vaker) het fout.

Het wordt (bijna) altijd in de context gebruikt van: Zij ε>0 gegeven. Zie jij iets dat willekeurig klein zou moeten aanduiden?

Wikipedia heeft het niet echt fout, alleen is het citaat dat Netchip aanhaalt afkomstig uit het artikel over de Griekse letter ε en niet over een wiskundig onderwerp en om deze reden informeel geformuleerd. We zeggen dat



als er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat



voor elke x zodanig dat



Welnu, als er voor een zekere ε₀ > 0 een δ₀ bestaat die aan het in de definitie gestelde voldoet, dan zal voor elke willekeurige ε > ε₀ dezelfde δ₀ eveneens aan het in de definitie gestelde voldoen, aangezien uit | f(x) − L | < ε₀ en tevens ε₀ < ε volgt dat | f(x) − L | < ε. We zien dus dat 'grote' waarden van ε helemaal niet relevant of interessant zijn voor de definitie van de limiet, maar dat het er de facto om gaat dat er voor elke willekeurige kleine positieve waarde van ε een δ > 0 bestaat die aan het gestelde voldoet. De definitie van de limiet komt er dus op neer dat we de afstand tussen f(x) en L willekeurig klein kunnen maken als we de afstand tussen x en a maar voldoende klein maken. Het gebruik van de letters ε en δ in wat de ε,δ-definitie van de limiet is gaan heten gaat terug op Cauchy, die deze letters kennelijk koos omdat de overeenkomstige Latijnse letters e en d de eerste letters zijn van de Franse woorden erreur en différence. De definitie houdt immers in dat we de afwijking (: erreur) van f(x) met L kleiner kunnen maken dan ε door het verschil (: différence) van x met a kleiner te maken dan δ. De huidige precieze vorm van de definitie van een limiet is overigens pas later gegeven door Weierstraß, die daarvoor ook de absoluutstrepen introduceerde om de definitie compact op te kunnen schrijven.

quote:

Op woensdag 22 oktober 2014 16:11 schreef Nelvalhil het volgende:
Zéér basic dit maar ik kom er niet uit?

Wortel N = 5-4N
kwadrateren dus want wortel.
Dus krijg je; N =(5-4N)kwadraat
Dan vereenvoudig je, dus

N = 25-16N, toch?

Het antwoordenboekje zegt dat er bij N =(5-4N)kwadraat N= 25-40N + 16N kwadraat moet uitkomen, hoe dan?

N = (5-4N)²

N = (5-4N)(5-4N)

N = 25 - 20N - 20N + 16N²

16N² - 41N + 25 = 0

(N-1)(16N-25) = 0,

Dus N=1. Ook N = 25/16 zou een oplossing kunnen zijn, ware het niet dat die niet in het domein van de oorspronkelijke wortel zit.

quote:

Op woensdag 22 oktober 2014 16:15 schreef Janneke141 het volgende:
N = (5-4N)²

N = (5-4N)(5-4N)

N = 25 - 20N - 20N + 16N²

16N² - 41N + 25 = 0

(N-1)(16N-25) = 0,

Dus N=1 of N = 25/16.

Godverdomme tuurlijk.. Dank je wel

quote:

Op woensdag 22 oktober 2014 16:11 schreef Nelvalhil het volgende:
Zéér basic dit maar ik kom er niet uit?

Wortel N = 5-4N
kwadrateren dus want wortel.
Dus krijg je; N =(5-4N)kwadraat
Dan vereenvoudig je, dus

N = 25-16N, toch?

NEE. Shame on you. Leer je merkwaardige producten. Het kwadraat van een verschil van twee grootheden is niet gelijk aan het verschil van de kwadraten van die grootheden.

quote:

Op woensdag 22 oktober 2014 16:15 schreef Janneke141 het volgende:
N = (5-4N)²

N = (5-4N)(5-4N)

N = 25 - 20N - 20N + 16N²

16N² - 41N + 25 = 0

(N-1)(16N-25) = 0,

Dus N=1 of N = 25/16.

Volgens mij maak je nog een foutje, want er is maar één oplossing.

quote:

Op woensdag 22 oktober 2014 16:19 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Volgens mij maak je nog een foutje, want er is maar één oplossing.

Goed punt, de wortel van (5-100/16) bestaat natuurlijk niet.