abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_145625217
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

OP

Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
pi_145630541
Gegeven is:

max w(K,L) = 12K -1/2 L 1/4 - 1,2K - 0,6L

En ik moet de 'mogelijke oplossing vinden voor de volgende speciale case''.

Partieel afgeleide naar k is 6K -1/2 L 1/4 - 1,2 = 0 en partieel afgeleide naar L is:

3K 1/2 L -3/4 - 0,6 = 0

Dus:

K -1/2 L 1/4 = K 1/2 L -3/4 = 1/5 = 0,2

Maar wat moet ik daarna doen?
pi_145633193
Ik heb de volgende winstfunctie:

-2x² - 4y² + 4xy + 64x + 32y - 514 en ik moet de stationaire punten berekenen en dat doe ik door de afgeleide van de twee variabelen te nemen en te kijken wanneer deze 0 is:

f'x = -4x + 4y + 64

f'y = -8y + 4x + 32

Hoe kan ik dan de stationaire punten bepalen (kijken wanneer f'x = 0 en f'y = 0) als er twee variabelen zitten in beide afgeleiden?
pi_145636860
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 12:01 schreef Super-B het volgende:
Ik heb de volgende winstfunctie:

-2x² - 4y² + 4xy + 64x + 32y - 514 en ik moet de stationaire punten berekenen en dat doe ik door de afgeleide van de twee variabelen te nemen en te kijken wanneer deze 0 is:

f'x = -4x + 4y + 64

f'y = -8y + 4x + 32

Hoe kan ik dan de stationaire punten bepalen (kijken wanneer f'x = 0 en f'y = 0) als er twee variabelen zitten in beide afgeleiden?
Je hebt hier een uitdrukking die afhangt van twee variabelen x en y en daarmee een functie

f(x,\,y)\,=\,-2x^2\,-\,4y^2\,+\,4xy\,+\,64x\,+\,32y\,-\,514

Als we nu de afhankelijke variabele, oftewel de functiewaarde, even z noemen, dus

z\,=\,f(x,\,y)

dan is dus

z\,=\,-2x^2\,-\,4y^2\,+\,4xy\,+\,64x\,+\,32y\,-\,514

In een driedimensionaal cartesisch assenstelsel is dit een vergelijking van een gekromd oppervlak dat een hoogste punt bezit zoals je hier kunt zien, en het gaat nu om de bepaling van de coördinaten van het hoogste punt op dit gekromde oppervlak.

Als we dit gekromde oppervlak snijden met een plat vlak loodrecht op de x-as, dus een vlak met de vergelijking x = a, waarin a een constante is, dan krijgen we in dat platte vlak een curve als snijlijn met ons gekromde vlak, en datzelfde geldt uiteraard wanneer we het gekromde oppervlak snijden met een plat vlak loodrecht op de y-as, dus een vlak met vergelijking y = b, waarin b weer een constante is. Als we nu die constantes a en b zo weten te kiezen dat het hoogste punt op het gekromde oppervlak in beide snijvlakken ligt, dan is het hoogste punt van het gekromde oppervlak dus ook het hoogste punt op elk van deze beide snijcurves. En dat betekent dat de afgeleide van f(x, y) naar x als we y constant houden nul moet zijn en tevens dat de afgeleide van f(x, y) naar y als we x constant houden nul moet zijn. We krijgen als voorwaarden dus

f_{x}(x,\,y)\,=\,0,\,\ f_{y}(x,\,y)\,=\,0

Of, omdat we de afhankelijke variabele z hebben genoemd

\frac{\partial z}{\partial x}\,=\,0,\,\,\frac{\partial z}{\partial y}\,=\,0

De gekrulde ∂ (in het Engels: curly dee) wordt hier gebruikt om aan te geven dat we met partiële afgeleiden te doen hebben, waarbij we dus kijken hoe een afhankelijke variabele (hier: z) die afhangt van meerdere onafhankelijke variabelen (hier: x en y) varieert als we slechts één variabele laten veranderen en de overige variabelen even constant houden. De partiële afgeleiden van je functie had je al correct bepaald, en de voorwaarden dat deze beide gelijktijdig nul moeten zijn geven dus het volgende stelsel vergelijkingen in x en y:

\begin{array}{rcl} -4x&+&4y&+&64&=&0 \\ 4x&-&8y&+&32&=&0\end{array}

Nu moet je dit stelsel oplossen. Het is een lineair stelsel, en je hebt al eerder lineaire stelsels opgelost, dus dit zou geen probleem meer mogen zijn. Als we de linkerleden en de rechterleden van deze twee vergelijkingen bij elkaar optellen, dan krijgen we

-4y\,+\,96\,=\,0

en dus

y\,=\,24

en invullen van deze waarde van y in één van de beide oorspronkelijke vergelijkingen geeft dan

x\,=\,40

en het maximum van de functie is dus

f(40,\, 24)\,=\,1150

De coördinaten van het hoogste punt op het gekromde oppervlak met als vergelijking z = f(x, y) zijn dus (40, 24, 1150).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-10-2014 18:04:34 ]
pi_145638157
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 13:54 schreef Riparius het volgende:
En dat betekent dat de afgeleide van f(x, y) naar x als we y constant houden nul moet zijn en tevens dat de afgeleide van f(x, y) naar y als we x constant houden nul moet zijn. We krijgen als voorwaarden dus
''En dat betekent dat de afgeleide van f(x, y) naar x als we y constant houden nul moet zijn en tevens dat de afgeleide van f(x, y) naar y als we x constant houden nul moet zijn.''

Scherp. Bedankt. _O_
pi_145638853
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 13:54 schreef Riparius het volgende:

[..]


Hoi Riparius, ik heb nog één vraagje:

g(x,y) = xye4x² -5xy + y²

Dit is de methode die er gebruikt wordt om de stationaire punten te bepalen:



Echter vraag ik mij af hoe ze tot √2 en -√2 komen als y coördinaat op het einde.. en hoe je dat zonder rekenmachine kunt uitrekenen... (?)

Alvast enorm bedankt. :)
pi_145639305
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 14:51 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoi Riparius, ik heb nog één vraagje:

g(x,y) = xye4x² -5xy + y²

Dit is de methode die er gebruikt wordt om de stationaire punten te bepalen:

[ afbeelding ]

Echter vraag ik mij af hoe ze tot √2 en -√2 komen als y coördinaat op het einde.. en hoe je dat zonder rekenmachine kunt uitrekenen... (?)

Alvast enorm bedankt. :)
Wel, ze vinden

-2x^2\,+\,1\,=\,0

en dit geeft

x^2\,=\,\frac{1}{2}

en dus

x\,=\,\sqrt{\frac{1}{2}}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\sqrt{\frac{1}{2}}

Maar nu is

\sqrt{\frac{1}{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{\2}\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

zodat we hebben

x\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

en dit mag je verder zo laten staan. Er zijn manieren om vierkantswortels met pen en papier te berekenen (benaderen) in ieder gewenst aantal decimalen, maar dat wordt hier niet gevraagd.
pi_145639374
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wel, ze vinden

-2x^2\,+\,1\,=\,0

en dit geeft

x^2\,=\,\frac{1}{2}

en dus

x\,=\,\sqrt{\frac{1}{2}}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\sqrt{\frac{1}{2}}

Maar nu is

\sqrt{\frac{1}{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{\2}\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

zodat we hebben

x\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

en dit mag je verder zo laten staan. Er zijn manieren om vierkantswortels met pen en papier te berekenen (benaderen) in ieder gewenst aantal decimalen, maar dat wordt hier niet gevraagd.
Ja dat klopt. Bedankt. :)

Maar ik bedoelde het y-coördinaat. ;)
pi_145639448
Weet iemand hoe

(ex+y + ex-y )² - (ex+y + ex-y

te calculeren is?

Moet ik het eerst helemaal uitschrijven? Zo ja, hoe moet ik dat doen? Ik zou dan eerst het linkerterm moeten vermenigvuldigen:

(ex+y + ex-y ) * (ex+y + ex-y )

Maar hoe moet ik dit vermenigvuldigen?

Bij voorbaat dank.
pi_145639580
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja dat klopt. Bedankt. :)

Maar ik bedoelde de y-coördinaat. ;)
Dat is heel eenvoudig: ze hadden namelijk ook gevonden dat y = 2x, dus de bijbehorende y-coördinaten worden dan √2 resp. −√2.
pi_145639696
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:09 schreef RustCohle het volgende:
Weet iemand hoe

(ex+y + ex-y )² - (ex+y + ex-y

te calculeren is?

Moet ik het eerst helemaal uitschrijven? Zo ja, hoe moet ik dat doen? Ik zou dan eerst het linkerterm moeten vermenigvuldigen:

(ex+y + ex-y ) * (ex+y + ex-y )

Maar hoe moet ik dit vermenigvuldigen?

Bij voorbaat dank.
Sleutelwoord: merkwaardige producten. Hoe vaak heb ik je al gezegd dat je deze van buiten moet kennen én ook altijd moet herkennen?

Hier heb je een verschil van twee kwadraten, dus maak je gebruik van

a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,+\,b)

Ik zou trouwens als ik jou was eerst eens even goed kijken of je de opgave wel correct hebt overgenomen. Zie je ook waarom?
pi_145639794
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Sleutelwoord: merkwaardige producten. Hoe vaak heb ik je al gezegd dat je deze van buiten moet kennen én ook altijd moet herkennen?

Hier heb je een verschil van twee kwadraten, dus maak je gebruik van

a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,+\,b)
Maar dan zit ik er alsnog mee hoe ik het moet vermenigvuldigen omdat er al exponenten staan e.d....


(ex+y - ex-y ) * (ex+y + ex-y )
pi_145639841
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Sleutelwoord: merkwaardige producten. Hoe vaak heb ik je al gezegd dat je deze van buiten moet kennen én ook altijd moet herkennen?

Hier heb je een verschil van twee kwadraten, dus maak je gebruik van

a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,+\,b)

Ik zou trouwens als ik jou was eerst eens even goed kijken of je de opgave wel correct hebt overgenomen. Zie je ook waarom?

Is hier overigens geen sprake van a² - a², aangezien er hetzelfde staat tussen beide haakjes?
pi_145639853
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:19 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Maar dan zit ik er alsnog mee hoe ik het moet vermenigvuldigen omdat er al exponenten staan e.d....

(ex+y - ex-y ) * (ex+y + ex-y )
Ga nu eerst die opgave nog eens heel goed controleren, want de uitdrukking die je geeft is gewoon gelijk aan nul, en dat lijkt me niet de bedoeling.
pi_145639885
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:21 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Is hier overigens geen sprake van a² - a², aangezien er hetzelfde staat tussen beide haakjes?
Exact. En daarom staat er gewoon nul. Maar controleer de opgave.
pi_145640122
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Exact. En daarom staat er gewoon nul. Maar controleer de opgave.
In het antwoordenboek staat er: 4ex+y e x-y
pi_145640272
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is heel eenvoudig: ze hadden namelijk ook gevonden dat y = 2x, dus de bijbehorende y-coördinaten worden dan √2 resp. −√2.
Duidelijk. Hartstikke bedankt. :)

Hier heb ik nog een vreselijke opgave:

f(x,y) = x² - y² - xy - x³

''find the domain S where f is concave and find the largest value f in S''



Ik kwam inderdaad uit op x > 1/3, maar ik heb geen flauw benul hoe ze op x > 5/12 komen.
Ik weet natuurlijk wel dat als je x > 1/3 en x > 5/12 hebt, dat uiteindelijk x > 5/12 gewoon geldt.
pi_145640619
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:30 schreef RustCohle het volgende:

[..]

In het antwoordenboek staat er: 4ex+y e x-y
En nu wil je dat ik in mijn glazen bol kijk om te zien wat de correcte bijbehorende opgave moet zijn?

Nou je boft, want mijn glazen bol doet het. Je opgave is

(e^{x+y}\,+\,e^{x-y})^2\,-\,(e^{x+y}\,-\,e^{x-y})^2

Zie je het verschil met wat je zelf hebt gepost?
pi_145640777
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:47 schreef Riparius het volgende:

[..]

En nu wil je dat ik in mijn glazen bol kijk om te zien wat de correcte bijbehorende opgave moet zijn?

Nou je boft, want mijn glazen bol doet het. Je opgave is

(e^{x+y}\,+\,e^{x-y})^2\,-\,(e^{x+y}\,-\,e^{x-y})^2

Zie je het verschil met wat je zelf hebt gepost?
Dom en stom van me. :')

Dan zou ik zeggen dat e x + y = a

e x - y = b

dus:

(a + b)² - (a - b)²

en dan dus:

a² + b² - a² - b²

a² - a² + b² + b²

0 + 2b² ?
pi_145640885
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

Duidelijk. Hartstikke bedankt. :)

Hier heb ik nog een vreselijke opgave:

f(x,y) = x² - y² - xy - x³

''find the domain S where f is concave and find the largest value f in S''

[ afbeelding ]

Ik kwam inderdaad uit op x > 1/3, maar ik heb geen flauw benul hoe ze op x > 5/12 komen.
Ik weet natuurlijk wel dat als je x > 1/3 en x > 5/12 hebt, dat uiteindelijk x > 5/12 gewoon geldt.
Niet x > 5/12 maar x ≥ 5/12. Dit is heel eenvoudig: de tweede ongelijkheid in x die ze vinden geeft

−4 + 12x − 1 ≥ 0
12x ≥ 5
x ≥ 5/12
pi_145641085
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:52 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Dom en stom van me. :')

Dan zou ik zeggen dat e x + y = a

e x - y = b

dus:

(a + b)² - (a - b)²

en dan dus:

a² + b² - a² - b²

a² - a² + b² + b²

0 + 2b² ?
Nee. Wat jij wil kan ook, maar dan moet je gebruik maken van de identiteit

(a\,+\,b)^2\,-\,(a\,-\,b)^2\,=\,4ab

die in Frankrijk wel de identiteit van Legendre wordt genoemd maar die in de rest van de wereld geen aparte naam heeft.

Wat ik bedoelde was dat je de eerste uitdrukking tussen haakjes gelijk stelt aan a en de tweede uitdrukking tussen haakjes gelijk stelt aan b.

En leer nu eens die merkwaardige producten. Het kwadraat van een som of verschil van twee grootheden is niet gelijk aan de som resp. het verschil van de kwadraten van die grootheden, want we hebben

\begin{array}{rcl}&(a&+&b)^2&=& &a^2&+&2ab&+&b^2& \\ &(a&-&b)^2&=& &a^2&-&2ab&+&b^2&\end{array}

Als je de leden van de tweede van deze identiteiten aftrekt van de leden van de eerste van deze identiteiten dan krijg je bovenstaande identiteit

(a\,+\,b)^2\,-\,(a\,-\,b)^2\,=\,4ab

Deze identiteit kunnen we ook heel fraai visualiseren. Veronderstel dat a en b positieve getallen zijn met a > b, dan is (a+b)² de oppervlakte van een vierkant met zijde a+b terwijl (a−b)² dan de oppervlakte is van een kleiner vierkant met zijde a−b. Het verschil van de oppervlaktes van deze vierkanten is gelijk aan de oppervlakte van vier rechthoeken met lengte a en breedte b, en dat betekent dat we met deze vier rechthoeken en het vierkant met zijde a−b een groter vierkant met zijde a+b kunnen vormen:



Je ziet nu waarom jouw herleiding niet klopt.

[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 17-10-2014 20:35:55 ]
pi_145642180
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Niet x > 5/12 maar x ≥ 5/12. Dit is heel eenvoudig: de tweede ongelijkheid in x die ze vinden geeft

−4 + 12x − 1 ≥ 0
12x ≥ 5
x ≥ 5/12
Top!

[ Bericht 8% gewijzigd door Super-B op 17-10-2014 17:03:01 ]
pi_145643156
max 10x1/2 y 1/3 subject to 2x + 4y = m

Ik kom hier echt helemaal niet uit met de lagrange functie door de exponenten..

Ik heb:

L = 10x1/2 y 1/3 - T(2x + 4y - m)

L'x = 5x-1/2 y 1/3 - 2T

L'y = 10/3-1/3 - 4T

En dan loop ik vast.. Kan iemand mij alsjeblieft helpen?
pi_145643431
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 17:09 schreef Super-B het volgende:
max 10x1/2 y 1/3 subject to 2x + 4y = m

Ik kom hier echt helemaal niet uit met de lagrange functie door de exponenten..

Ik heb:

L = 10x1/2 y 1/3 - T(2x + 4y - m)

L'x = 5x-1/2 y 1/3 - 2T

L'y = 10/3-1/3 - 4T

En dan loop ik vast.. Kan iemand mij alsjeblieft helpen?
Er zit een fout in je uitdrukking voor ∂L/∂y. Je moet ook L nog naar T differentiëren en dan heb je ∂L/∂T = 2x + 4y − m. Alle drie de partiële afgeleiden stel je gelijk aan nul, en dat geeft een stelsel van drie vergelijkingen in de drie onbekenden x, y, T terwijl m een parameter is. Dit stelsel ga je dan oplossen.
pi_145643671
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 17:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zit een fout in je uitdrukking voor ∂L/∂y. Je moet ook L nog naar T differentiëren en dan heb je ∂L/∂T = 2x + 4y − m. Alle drie de partiële afgeleiden stel je gelijk aan nul, en dat geeft een stelsel van drie vergelijkingen in de drie onbekenden x, y, T terwijl m een parameter is. Dit stelsel ga je dan oplossen.
Oeps sorry. Ik was er vergeten bij te zetten dat T = lambda.


Ik vind het lastig, omdat dit een cobb-douglas functie is met ook nog eens met exponenten met een deling.
pi_145646665
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

Duidelijk. Hartstikke bedankt. :)

Hier heb ik nog een vreselijke opgave:

f(x,y) = x² - y² - xy - x³

''find the domain S where f is concave and find the largest value f in S''

[ afbeelding ]

Ik kwam inderdaad uit op x > 1/3, maar ik heb geen flauw benul hoe ze op x > 5/12 komen.
Ik weet natuurlijk wel dat als je x > 1/3 en x > 5/12 hebt, dat uiteindelijk x > 5/12 gewoon geldt.
Die voorwaarden kloppen niet helemaal die in dat modelantwoord staan.
In plaats van f_{11}^{\prime\prime}\leq 0, f_{22}^{\prime\prime}\leq 0 moet er f_{11}^{\prime\prime}+f_{22}^{\prime\prime}\leq 0 staan: de tweede-afgeleide-matrix moet negatief semidefiniet zijn, wat wil zeggen dat de eigenwaarden <=0 moeten zijn. Maar dit betekent spoor <=0, determinant >=0.

Edit: dat maakt in dit specifieke geval niet uit zie ik, als det >= 0, dan is het equivalent.
pi_145648553
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 17:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zit een fout in je uitdrukking voor ∂L/∂y. Je moet ook L nog naar T differentiëren en dan heb je ∂L/∂T = 2x + 4y − m. Alle drie de partiële afgeleiden stel je gelijk aan nul, en dat geeft een stelsel van drie vergelijkingen in de drie onbekenden x, y, T terwijl m een parameter is. Dit stelsel ga je dan oplossen.
Die T moet een lambda zijn he..

Ben er overigens nog steeds niet uitgekomen. :P
pi_145648967
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 20:22 schreef Super-B het volgende:

[..]

Die T moet een lambda zijn he..
Dan moet je een λ schrijven. Die kun je (bijvoorbeeld) krijgen door

\rm{λ}

te typen.
quote:
Ben er overigens nog steeds niet uitgekomen. :P
Ga het nu toch maar zelf proberen. Als je die m lastig vindt, werk het dan eerst eens uit met een concrete waarde voor m, bijvoorbeeld m = 10, dan heb je dit.
pi_145651710
Hello,

''2y = [2x / (2x+ y) ] * (x + 2y)

ook wel y² = x² ''

Hoe kun je het in der mate 'oplossen' dat er y² = x² uitrolt?
pi_145652213
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 21:40 schreef GoldenHeart het volgende:
Hello,

''2y = [2x / (2x+ y) ] * (x + 2y)

ook wel y² = x² ''

Hoe kun je het in der mate 'oplossen' dat er y² = x² uitrolt?
Vermenigvuldig beide leden met (2x + y) en je hebt

2y(2x + y) = 2x(x + 2y)

Zie je het nu?
pi_145652390
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Vermenigvuldig beide leden met (2x + y) en je hebt

2y(2x + y) = 2x(x + 2y)

Zie je het nu?
Yes. Thankyou. :)
pi_145653809
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Vermenigvuldig beide leden met (2x + y) en je hebt

2y(2x + y) = 2x(x + 2y)

Zie je het nu?
Kan je mij met nog iets helpen?

max(min) 3xy subject to x² + y² = 8:



Ik kom op dezelfde x-coordinaten uit, maar hoe worden de y coördinaten en lambda berekend??
pi_145655248
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 22:34 schreef GoldenHeart het volgende:

[..]

Kan je mij met nog iets helpen?

max(min) 3xy subject to x² + y² = 8:

[ afbeelding ]

Ik kom op dezelfde x-coordinaten uit, maar hoe worden de y coördinaten en lambda berekend??
Je komt uit op het stelsel

x² + y² = 8
x² = y²

en dit heeft de vier geordende paren (2, 2), (−2, −2), (2, −2), (−2, 2) als oplossingen aangezien x en y elk zowel +2 als −2 kunnen zijn. Dan substitueer je elk van deze vier paren in één van de betrekkingen ( i ) 3y = 2λx of ( ii ) 3x = 2λy en dan vind je λ = 3/2 voor de geordende paren (2, 2) en (−2, −2) en λ = −3/2 voor de geordende paren (2, −2) en (−2, 2).
pi_145661682
Hoe kan ik y vinden als ik

1/(2+x^2) wil invullen in x^2 + 2y = 2

Na het invullen kan ik de x niet wegwerken, doordat er een 2 + in de noemer staat..
pi_145662591
Hoe komen ze hier op de x = 3y ? Ik weet wel hoe ze op die breuk met lambda komen. Daarnaast vraag ik mij af hoe je die lambda elimineert? Want er staat ''Eliminating λ from ( i ) and (ii) we get...''

Hoe doe je dat?



|:( 8)7
pi_145663312
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 10:13 schreef Super-B het volgende:
Hoe kan ik y vinden als ik

1/(2+x^2) wil invullen in x^2 + 2y = 2

Na het invullen kan ik de x niet wegwerken, doordat er een 2 + in de noemer staat..
Waar wil je het invullen dan?
1/(2+x^2), is geen vergelijking.
pi_145663495
x

[ Bericht 99% gewijzigd door Super-B op 18-10-2014 12:24:03 ]
pi_145663518
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:11 schreef Super-B het volgende:

[..]

[ afbeelding ]
Echt hoe vaak is er nou gezegd dat je niet zomaar een = moet weg laten?
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 12:14:22 #39
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145663553
-

[ Bericht 99% gewijzigd door Janneke141 op 18-10-2014 12:15:28 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145663596
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:12 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Echt hoe vaak is er nou gezegd dat je niet zomaar een = moet weg laten?
Excuus. Ik tikte het snel via mijn mobiel en was het vergeten.
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 12:18:14 #41
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145663617
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:16 schreef Super-B het volgende:

[..]

Excuus. Ik tikte het snel via mijn mobiel en was het vergeten.
Wat wil je nu precies weten? De substitutie is niet bar ingewikkeld. De vraag die je eerder stelde 'hoe vind je y' is hier niet van toepassing - dus waar zit je probleem?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145663692
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:18 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Wat wil je nu precies weten? De substitutie is niet bar ingewikkeld. De vraag die je eerder stelde 'hoe vind je y' is hier niet van toepassing - dus waar zit je probleem?
Verkeerde plaatje gekopieerd via puush...
pi_145663702
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:16 schreef Super-B het volgende:

[..]

Excuus. Ik tikte het snel via mijn mobiel en was het vergeten.
Op het moment dat jij de tijd er niet voor neemt om het probleem goed op te schrijven, waarom denk je dat wij er dan wel de tijd voor nemen om de vraag goed op te lossen?
pi_145663724
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:23 schreef Novermars het volgende:

[..]

Op het moment dat jij de tijd er niet voor neemt om het probleem goed op te schrijven, waarom denk je dat wij er dan wel de tijd voor nemen om de vraag goed op te lossen?
Het probleem van het volgende probleem zit hem in het invullen van y.. Met name omdat het letters zijn, zie ik door de bomen het bos niet meer.. Ik weet hoe ik op y moet komen, dat is mij gelukt, maar ik weet niet waar ik het moet invullen en hoe ik het moet doen, want door al die breuken en letters.... zie ik de bomen niet meer. :@

  zaterdag 18 oktober 2014 @ 12:34:11 #45
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145663913
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:24 schreef Super-B het volgende:

[..]

Het probleem van het volgende probleem zit hem in het invullen van y.. Met name omdat het letters zijn, zie ik door de bomen het bos niet meer.. Ik weet hoe ik op y moet komen, dat is mij gelukt, maar ik weet niet waar ik het moet invullen en hoe ik het moet doen, want door al die breuken en letters.... zie ik de bomen niet meer. :@

[ afbeelding ]
Je zoekt de locatie (x- en y-coördinaat) van de top van een of ander gebergte, een gebergte dat is gegeven een functievoorschrift. In dat functievoorschrift zijn x en y de variabelen, en p en q constanten, gewoon getalletjes dus.
Tot zo ver helder?

Dan ga je, om het maximum te vinden, differentiëren naar x en naar y en beide partiële afgeleiden stel je gelijk aan 0; immers - zo bepaal je een maximum. Beide vergelijkingen leveren een verzameling oplossingen voor x die afhangen van y, in dit geval twee rechte lijnen. Als die beide verzamelingen een of meer gemeenschappelijke punten hebben, dan liggen daar bergtoppen in ons gebergte.
Om dat na te gaan wordt de y-waarde van het snijpunt van die twee lijnen bepaald door de x-waarden aan elkaar gelijk te stellen (Je weet dat, op het punt dat we zoeken, x = ½p-½y-½ én x = q-2y-1, dus er moet wel gelden dat ½p-½y-½ = q-2y-1)
Het oplossen van die vergelijking levert een y-waarde op van dat snijpunt. Als je dat goed hebt gedaan, dan moet wel gelden dat invullen in eender welke vergelijking, dezelfde waarde van x oplevert. We hadden immers het snijpunt gevonden!
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 12:37:32 #46
363995 Reemi
Zeg maar Remi.
pi_145663974

Hoe los ik dit verder op? Ik heb werkelijk geen idee wat ik moet doen. Het eindantwoord moet dit zijn:



Gaat om de time evolution van een netwerk. t is de tijd, k is een node en m is het aantal nieuwe links tussen een nieuwe node en het bestaande netwerk.

Hulp zou erg welkom zijn. :)
Smile like you mean it
www.wefut.com
pi_145664037
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:37 schreef Reemi het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe los ik dit verder op? Ik heb werkelijk geen idee wat ik moet doen. Het eindantwoord moet dit zijn:

[ afbeelding ]

Gaat om de time evolution van een netwerk. t is de tijd, k is een node en m is het aantal nieuwe links tussen een nieuwe node en het bestaande netwerk.

Hulp zou erg welkom zijn. :)
Is die i een index?
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 12:42:12 #48
363995 Reemi
Zeg maar Remi.
pi_145664061
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:41 schreef Novermars het volgende:

[..]

Is die i een index?
Ja :P
Smile like you mean it
www.wefut.com
pi_145664111
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:37 schreef Reemi het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe los ik dit verder op? Ik heb werkelijk geen idee wat ik moet doen. Het eindantwoord moet dit zijn:

[ afbeelding ]

Gaat om de time evolution van een netwerk. t is de tijd, k is een node en m is het aantal nieuwe links tussen een nieuwe node en het bestaande netwerk.

Hulp zou erg welkom zijn. :)
Ik zou beginnen door links en rechts te integreren.
pi_145664114
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:34 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Je zoekt de locatie (x- en y-coördinaat) van de top van een of ander gebergte, een gebergte dat is gegeven een functievoorschrift. In dat functievoorschrift zijn x en y de variabelen, en p en q constanten, gewoon getalletjes dus.
Tot zo ver helder?

Dan ga je, om het maximum te vinden, differentiëren naar x en naar y en beide partiële afgeleiden stel je gelijk aan 0; immers - zo bepaal je een maximum. Beide vergelijkingen leveren een verzameling oplossingen voor x die afhangen van y, in dit geval twee rechte lijnen. Als die beide verzamelingen een of meer gemeenschappelijke punten hebben, dan liggen daar bergtoppen in ons gebergte.
Om dat na te gaan wordt de y-waarde van het snijpunt van die twee lijnen bepaald door de x-waarden aan elkaar gelijk te stellen (Je weet dat, op het punt dat we zoeken, x = ½p-½y-½ én x = q-2y-1, dus er moet wel gelden dat ½p-½y-½ = q-2y-1)
Het oplossen van die vergelijking levert een y-waarde op van dat snijpunt. Als je dat goed hebt gedaan, dan moet wel gelden dat invullen in eender welke vergelijking, dezelfde waarde van x oplevert. We hadden immers het snijpunt gevonden!
Dankje. Het zijn echt van die kleine dingen waar ik de fout in ga...

Zoals het volgende:

x² = 81 --> x = 9 of -9

Dat snap ik maar dan staat er:

Since the Lagrangian is concave, the solution is at x = 9 , y = 12 with lambda = 1/6

De formule is:

max f(x,y) = 3x + 4y subject to g(x,y) = x² + y² = 225

Omdat er een max staat is het concave volgens mij (?), maar hoezo is de oplossing alleen bij x = 9? Bij x = -9 rolt er toch ook gewoon y = 12 uit..?

-9² + y² = 225

y² = 225 - 81
y² = 144
y = 12.
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 12:45:49 #51
363995 Reemi
Zeg maar Remi.
pi_145664125
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:44 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik zou beginnen door links en rechts te integreren.
Ja, zo ver kwam ik ook. Maar ik weet dus al niet hoe dat moet. :+ Vandaar mijn roep om hulp.
Smile like you mean it
www.wefut.com
pi_145664133
 \dfrac{\mathrm{d}k_i}{k_i}=\dfrac{\mathrm{d}t}{2t}\Longrightarrow \dfrac{1}{k_i}\dfrac{\mathrm{d}k_i}{\mathrm{d}t}=\dfrac{k_i'}{k_i}=\dfrac{1}{2t}
Kan je hier wat mee?
pi_145664154
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:45 schreef Reemi het volgende:

[..]

Ja, zo ver kwam ik ook. Maar ik weet dus al niet hoe dat moet. :+ Vandaar mijn roep om hulp.
Je weet niet hoe je dx/x, ofwel (1/x)dx moet integreren?
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 12:53:32 #54
363995 Reemi
Zeg maar Remi.
pi_145664262
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:47 schreef thabit het volgende:

[..]

Je weet niet hoe je dx/x, ofwel (1/x)dx moet integreren?
Ik moet erkennen dat dat inderdaad aardig ver is weggezakt. Al kan ik mij ook alleen maar heugen dat ik geïntegreerd heb met de GR. :P

quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:46 schreef Novermars het volgende:
 \dfrac{\mathrm{d}k_i}{k_i}=\dfrac{\mathrm{d}t}{2t}\Longrightarrow \dfrac{1}{k_i}\dfrac{\mathrm{d}k_i}{\mathrm{d}t}=\dfrac{k_i'}{k_i}=\dfrac{1}{2t}
Kan je hier wat mee?
Zeker, al weet ik dan nog niet echt hoe ik tot het eindantwoord kom. Dat is overigens van deze vorm (klopte niet helemaal in mijn originele post):

Wat is nu mijn vervolgstap?
Smile like you mean it
www.wefut.com
pi_145664378
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:53 schreef Reemi het volgende:

[..]

Ik moet erkennen dat dat inderdaad aardig ver is weggezakt. Al kan ik mij ook alleen maar heugen dat ik geïntegreerd heb met de GR. :P
Dan raad ik je aan om dat eerst eens goed te bestuderen alvorens met dit probleem verder te gaan.
pi_145664854
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:37 schreef Reemi het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe los ik dit verder op? Ik heb werkelijk geen idee wat ik moet doen. Het eindantwoord moet dit zijn:

[ afbeelding ]
Zoals al vaker hier is gezegd...

Dit is geen vergelijking, wat stelt het voor?
Als iets een vergelijking is, laat dan niet zomaar de ene helft weg. Wat daar kan je dan niks meer mee.
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 13:51:21 #57
363995 Reemi
Zeg maar Remi.
pi_145665491
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 13:23 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Zoals al vaker hier is gezegd...
[ afbeelding ]
Dit is geen vergelijking, wat stelt het voor?
Als iets een vergelijking is, laat dan niet zomaar de ene helft weg. Wat daar kan je dan niks meer mee.
Ik had mezelf al hersteld. :P Zie twee posts hierboven ;)

Smile like you mean it
www.wefut.com
pi_145665578
''Beschouw het probleem:

max xy + 3x subject 2ln(2x+y) = 0

uit g(x) = 2ln(2x+y) is het volgende af te leiden:

2ln(2x+y) = 0
ln ( 2x + y) = 0
2x + y = e0
2x + y = 1

Weet iemand waarom die 2 van 2ln weg mag?
pi_145665623
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 13:23 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Zoals al vaker hier is gezegd...
[ afbeelding ]
Dit is geen vergelijking, wat stelt het voor?
Als iets een vergelijking is, laat dan niet zomaar de ene helft weg. Wat daar kan je dan niks meer mee.
Hij heeft net hierboven al een verbeterde uitdrukking gepost als oplossing van zijn DV. En die oplossing staat kennelijk in zijn antwoordenboekje. Dan ga je je inderdaad afvragen hoe het toch mogelijk is dat iemand die hulp verwacht bij een vraagstuk vaak in eerste instantie niet eens de moeite neemt om een vraagstuk correct over te nemen of correct in eigen bewoordingen te presenteren. Los daarvan valt het mij vaak op dat de proliferatie van antwoordenboekjes ertoe heeft geleid dat veel vragenstellers zo geobsedeerd zijn met 'het antwoord' dat ze vergeten dat daar ook nog een correcte vraagstelling bij hoort. Het is sowieso bevreemdend dat doorgaans 'het antwoord' gelijk wordt meegepost. Dat is alsof de vragenstellers in de waan verkeren dat het vraagstuk niet is op te lossen zonder op voorhand het antwoord te kennen. En niet zelden zijn de geposte antwoorden c.q. de in die antwoordenboekjes afgedrukte antwoorden ook nog eens fout, wat dan steevast aanleiding geeft tot een hoop heen en weer gepraat, wantrouwen bij de vragensteller inzake de competentie van de beantwoorder, en tijdverlies door pogingen van de vragensteller om foutieve antwoorden te reproduceren, tijd die veel nuttiger had kunnen worden besteed door echt iets te leren.
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 13:57:15 #60
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145665645
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 13:54 schreef RustCohle het volgende:
Weet iemand waarom die 2 van 2ln weg mag?
Omdat je in een vergelijking links en rechts door 2 mag delen?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145665906
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 13:57 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Omdat je in een vergelijking links en rechts door 2 mag delen?
Ja omdat er een 0 staat na de = teken, vandaar dat ik dacht dat dat niet mocht.
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 14:10:01 #62
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145666026
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:05 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ja omdat er een 0 staat na de = teken, vandaar dat ik dacht dat dat niet mocht.
Au. Kun je uitleggen waarom je dat dacht?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145666577
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:10 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Au. Kun je uitleggen waarom je dat dacht?
Opzich begrijp ik zijn denkstap wel: het is ook niet mogelijk om beide kanten door 2ln(2x+y) te delen, want dan krijg je 1 = 0. Waarom dit niet mag, vraag ik me eigenlijk ook af. :X
pi_145666642
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:30 schreef netchip het volgende:

[..]

Opzich begrijp ik zijn denkstap wel: het is ook niet mogelijk om beide kanten door 2ln(2x+y) te delen, want dan krijg je 1 = 0. Waarom dit niet mag, vraag ik me eigenlijk ook af. :X
Als je die vergelijking hebt, wat weet je dan van de waarde van ln(2x+y)? Waarom krijg je dan 1=0 als je door ln(2x+y) deelt?
pi_145666648
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:30 schreef netchip het volgende:

[..]

Opzich begrijp ik zijn denkstap wel: het is ook niet mogelijk om beide kanten door 2ln(2x+y) te delen, want dan krijg je 1 = 0. Waarom dit niet mag, vraag ik me eigenlijk ook af. :X
Er is maar één voorwaarde voor het aan beide kanten delen. Die voorwaarde is dat de noemer niet nul mag zijn. Aangezien 2 niet gelijk aan 0 is, mag je hier altijd door delen. Bij ln(2x+y) ligt dit net iets anders. Je zoekt hier namelijk precies de waarden voor x en y waarvoor ln(2x+y) nul is. Als je hier vervolgens door deelt krijg je 0/0. Dat is niet 1, maar het is ongedefinieerd.
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 14:39:21 #66
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145666786
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:30 schreef netchip het volgende:

[..]

Opzich begrijp ik zijn denkstap wel: het is ook niet mogelijk om beide kanten door 2ln(2x+y) te delen, want dan krijg je 1 = 0. Waarom dit niet mag, vraag ik me eigenlijk ook af. :X
Omdat, in tegenstelling tot een getal ongelijk aan 0, 2ln(2x+y) best wel eens 0 zou kunnen zijn. En delen door nul is flauwekul, zo is mij verteld.

Om het even in een eenvoudiger voorbeeldje te vangen kijken we naar de vergelijking 2x - 6 = 0
Als we de denkfout van Rust zouden volgen, dan mogen we niet links en rechts delen door 2. Ik hoop maar dat ik wel links en rechts 6 mag optellen, en dan staat er 2x = 6. Mag ik nu wel door 2 delen links en rechts? Dan staat er namelijk x = 3, wat precies hetzelfde is als x - 3 = 0.

Waar het op neerkomt is dit: Ik weet dat twee maal "iets" gelijk is aan 0. Het kan dus niet anders, of "iets" moet zelf gelijk aan nul zijn.
Mijn advies is om daarom niet te onthouden wat er wel of niet zou mogen, maar te beredeneren of het mag. Uit het regeltje hierboven, of het triviale voorbeeld, zie je meteen dat het moet mogen. Dit gaat op voor veel meer rekenregels.

En dan naar de 'denkfout' van netchip: als ik in hetzelfde voorbeeld van hierboven op wil lossen 2x - 6 = 0 en ik zou links en rechts mogen delen door 2x-6, dan staat er inderdaad 1 = 0, oftewel een vergelijking zonder oplossingen. Ik heb gedeeld door iets dat wel eens gelijk aan 0 kan zijn, namelijk als x=3. Laat dat nu precies de oplossing van mijn oorspronkelijke vergelijking zijn...
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145666795
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:33 schreef Novermars het volgende:

[..]

Als je die vergelijking hebt, wat weet je dan van de waarde van ln(2x+y)? Waarom krijg je dan 1=0 als je door ln(2x+y) deelt?
2ln(2x+y) moet gelijk aan nul zijn. Ik bedoelde eigenlijk \frac{2\ln(2x+y)}{2\ln(2x+y)} = \frac{0}{2\ln(2x+y)} Het linkerlid levert 1, het rechterlid 0.
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:33 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Er is maar één voorwaarde voor het aan beide kanten delen. Die voorwaarde is dat de noemer niet nul mag zijn. Aangezien 2 niet gelijk aan 0 is, mag je hier altijd door delen. Bij ln(2x+y) ligt dit net iets anders. Je zoekt hier namelijk precies de waarden voor x en y waarvoor ln(2x+y) nul is. Als je hier vervolgens door deelt krijg je 0/0. Dat is niet 1, maar het is ongedefinieerd.
Waarom krijg je dan 0/0? :@
pi_145666862
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:39 schreef netchip het volgende:

[..]

2ln(2x+y) moet gelijk aan nul zijn. Ik bedoelde eigenlijk \frac{2\ln(2x+y)}{2\ln(2x+y)} = \frac{0}{2\ln(2x+y)} Het linkerlid levert 1, het rechterlid 0.
In deze vergelijking, substitueer eens  2\ln(2x+y) = 0. Snap je het dan?
pi_145666869
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:39 schreef netchip het volgende:

[..]

2ln(2x+y) moet gelijk aan nul zijn. Ik bedoelde eigenlijk \frac{2\ln(2x+y)}{2\ln(2x+y)} = \frac{0}{2\ln(2x+y)} Het linkerlid levert 1, het rechterlid 0.

[..]

Waarom krijg je dan 0/0? :@
Je weet uit je vergelijking dat 2ln(2x+y)=0. Als je dit zowel links als rechts invult krijg je aan beide kanten 0/0. Je mag dingen alleen wegdelen als je zeker weet dat ze niet gelijk aan 0 zijn.
pi_145666902
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:43 schreef Novermars het volgende:

[..]

In deze vergelijking, substitueer eens  2\ln(2x+y) = 0. Snap je het dan?
Ja, dan zie ik dat dit niet kan. Maar als we  2\ln(2x+y) = 0 substitueren met 5, dan krijgen we 5/5 = 0/5. Waarom substitueren we met 0? Omdat we weten dat 2ln(2x+y) gelijk aan 0 moet zijn?
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 14:46:30 #71
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145666928
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:45 schreef netchip het volgende:

[..]

Ja, dan zie ik dat dit niet kan. Maar als we  2\ln(2x+y) = 0 substitueren met 5, dan krijgen we 5/5 = 0/5. Waarom substitueren we met 0? Omdat we weten dat 2ln(2x+y) gelijk aan 0 moet zijn?
Omdat  2\ln(2x+y) = 0 en niet  2\ln(2x+y) = 5

Want welke vergelijking waren we ook weer aan het oplossen?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145666979
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:45 schreef netchip het volgende:

[..]

Ja, dan zie ik dat dit niet kan. Maar als we  2\ln(2x+y) = 0 substitueren met 5, dan krijgen we 5/5 = 0/5. Waarom substitueren we met 0? Omdat we weten dat 2ln(2x+y) gelijk aan 0 moet zijn?
Hoe zou je een vergelijking willen substitueren? Jij zegt nu in feite dat:  2\ln(2x+y) = 0 \Longrightarrow 5
Wat natuurlijk nergens op slaat.
pi_145667016
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:46 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Omdat  2\ln(2x+y) = 0 en niet  2\ln(2x+y) = 5

Want welke vergelijking waren we ook weer aan het oplossen?
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:48 schreef Novermars het volgende:

[..]

Hoe zou je een vergelijking willen substitueren? Jij zegt nu in feite dat:  2\ln(2x+y) = 0 \Longrightarrow 5
Wat natuurlijk nergens op slaat.
Ik denk dat ik 'm snap. Omdat 2ln(2x+y) gelijk aan nul is, kunnen we 2ln(2x+y) vervangen door 0 (ze zijn immers gelijk), en dat levert 0/0 = 0/0, en dat kan niet. Klopt deze beredenering?
pi_145667034
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:39 schreef Janneke141 het volgende:

Om het even in een eenvoudiger voorbeeldje te vangen kijken we naar de vergelijking 2x - 6 = 0
Als we de denkfout van Rust zouden volgen, dan mogen we niet links en rechts delen door 2. Ik hoop maar dat ik wel links en rechts 6 mag optellen, en dan staat er 2x = 6. Mag ik nu wel door 2 delen links en rechts? Dan staat er namelijk x = 3, wat precies hetzelfde is als x - 3 = 0.

Waar het op neerkomt is dit: Ik weet dat twee maal "iets" gelijk is aan 0. Het kan dus niet anders, of "iets" moet zelf gelijk aan nul zijn.
Mijn advies is om daarom niet te onthouden wat er wel of niet zou mogen, maar te beredeneren of het mag. Uit het regeltje hierboven, of het triviale voorbeeld, zie je meteen dat het moet mogen. Dit gaat op voor veel meer rekenregels.

Ik had de indruk dat hij het onderscheid nog niet kan maken tussen delen door nul en nul delen door.
pi_145667053
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:50 schreef netchip het volgende:

[..]

[..]

Ik denk dat ik 'm snap. Omdat 2ln(2x+y) gelijk aan nul is, kunnen we 2ln(2x+y) vervangen door 0 (ze zijn immers gelijk), en dat levert 0/0 = 0/0, en dat kan niet. Klopt deze beredenering?
Ja.
pi_145667077
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:52 schreef Novermars het volgende:

[..]

Ja.
Kunnen we dan ook niet zeggen dat 0 gelijk is aan 2ln(2x+y) (in deze vergelijking), en dat we krijgen 2ln(2x+y) = 2ln(2x+y) krijgen, wat we dan wel weer door 2ln(2x+y) kunnen delen? 't Blijft verwarrend voor me.
  zaterdag 18 oktober 2014 @ 15:03:47 #77
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145667278
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:53 schreef netchip het volgende:

[..]

Kunnen we dan ook niet zeggen dat 0 gelijk is aan 2ln(2x+y) (in deze vergelijking), en dat we krijgen 2ln(2x+y) = 2ln(2x+y) krijgen, wat we dan wel weer door 2ln(2x+y) kunnen delen? 't Blijft verwarrend voor me.
Tja, het is niet eens zo zeer dat dat niet mag, maar je hebt er niets aan. Je houdt namelijk een triviale vergelijking over, (na aftrekken) 0=0. Een waarheid als een koe, maar je schiet er niets mee op.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145667393
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 15:03 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Tja, het is niet eens zo zeer dat dat niet mag, maar je hebt er niets aan. Je houdt namelijk een triviale vergelijking over, (na aftrekken) 0=0. Een waarheid als een koe, maar je schiet er niets mee op.
Ah oké, duidelijk. :)

Dit soort dingen vind ik het lastigst...
pi_145667969
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:45 schreef netchip het volgende:

[..]

Ja, dan zie ik dat dit niet kan. Maar als we  2\ln(2x+y) = 0 substitueren met 5, dan krijgen we 5/5 = 0/5. Waarom substitueren we met 0? Omdat we weten dat 2ln(2x+y) gelijk aan 0 moet zijn?
Ik heb je al vaker betrapt op kromme redeneringen, maar dit slaat alles.

Bekijk het eens zo. Als een product van twee (reële of complexe) grootheden gelijk is aan nul, dan kan dat alleen als (tenminste) één van die beide grootheden zelf gelijk is aan nul. Dus

AB = 0

is equivalent met

A = 0 ∨ B = 0

Als nu het product van 2 en ln(2x+y) gelijk is aan 0, dan zul je het met me eens moeten zijn dat ln(2x+y) gelijk is aan 0 aangezien tenminste één van de beide grootheden 2 en ln(x+2y) gelijk moet zijn aan nul en 2 evident niet gelijk is aan 0. In het algemeen volgt zo uit

AB = 0 ∧ A ≠ 0

dat

B = 0

hoewel je dit laatste niet om mag keren, aangezien het product van nul met zichzelf ook nul is. Je mag echter wel zeggen dat B = 0 equivalent is met AB = 0 onder de voorwaarde dat A ≠ 0.

Hebben we nu

AB = AC

dan is dit equivalent met

AB − AC = 0

en dit is weer equivalent met

A(B − C) = 0

en dit is weer equivalent met

A = 0 ∨ B − C = 0

en dit is weer equivalent met

A = 0 ∨ B = C

Dit betekent dat AB = AC equivalent is met B = C onder de voorwaarde dat A ≠ 0. Je mag dus beide leden van een vergelijking delen door eenzelfde grootheid om een equivalente vergelijking te bekomen onder de voorwaarde dat de grootheid waardoor je deelt ongelijk is aan nul. Dit geldt evenzeer als het rechterlid van de vergelijking gelijk is aan nul, want in AB = AC kan C best gelijk zijn aan nul. Anders gezegd, we kunnen het rechterlid van een vergelijking herleid op nul opvatten als het product van een grootheid ongelijk aan nul en nul, zodat we beide leden van die vergelijking door die grootheid ongelijk aan nul kunnen delen om een equivalente vergelijking te krijgen.
pi_145672802
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 15:29 schreef Riparius het volgende:
Ik heb je al vaker betrapt op kromme redeneringen, maar dit slaat alles.
Klopt, als ik het zo opnieuw lees, slaat het nergens op. 2ln(2x+y) is namelijk niet gelijk aan 5.

Dank je voor je uitleg. :) De uitleg is zeer duidelijk, en makkelijk te begrijpen. Ik waardeer het zeer dat je bereid bent om jouw tijd en moeite te steken in het schrijven van dit soort posts, met als doel om een ander iets te leren. Dat vind ik echt erg tof van je! :)
pi_145679521
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 12:45 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dankje. Het zijn echt van die kleine dingen waar ik de fout in ga...

Zoals het volgende:

x² = 81 --> x = 9 of -9

Dat snap ik maar dan staat er:

Since the Lagrangian is concave, the solution is at x = 9 , y = 12 with lambda = 1/6

De formule is:

max f(x,y) = 3x + 4y subject to g(x,y) = x² + y² = 225

Omdat er een max staat is het concave volgens mij (?), maar hoezo is de oplossing alleen bij x = 9? Bij x = -9 rolt er toch ook gewoon y = 12 uit..?

-9² + y² = 225

y² = 225 - 81
y² = 144
y = 12.
Hoe kun je weten dat de Lagrangian concaaf is en hoe weet je waarom het x = 9 of x = - 9 moet zijn..?!

[ Bericht 2% gewijzigd door Super-B op 18-10-2014 21:44:07 ]
pi_145681271
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 14:53 schreef netchip het volgende:

[..]

Kunnen we dan ook niet zeggen dat 0 gelijk is aan 2ln(2x+y) (in deze vergelijking), en dat we krijgen 2ln(2x+y) = 2ln(2x+y) krijgen, wat we dan wel weer door 2ln(2x+y) kunnen delen? 't Blijft verwarrend voor me.
Dus je zegt eerst A = 0, om dan vervolgens te zeggen: A = A. Wat is A/A dan?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_145684370
quote:
14s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 22:14 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dus je zegt eerst A = 0, om dan vervolgens te zeggen: A = A. Wat is A/A dan?
A = 0
A = A
A/A = 0/0 = niet gedefinieerd
  zondag 19 oktober 2014 @ 14:48:37 #84
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_145699756
quote:
0s.gif Op zaterdag 18 oktober 2014 23:24 schreef netchip het volgende:

[..]

A = 0
A = A
A/A = 0/0 = niet gedefinieerd
Dus, is het zinnig om zoiets te zeggen?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_145705037
quote:
14s.gif Op zondag 19 oktober 2014 14:48 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dus, is het zinnig om zoiets te zeggen?
Nee. Ik heb nooit geleerd wat een vergelijking eigenlijk letterlijk inhoudt, dit is de eerste keer dat ik me dit realiseer.
pi_145717534
Zou iemand mij kunnen helpen met iets kleins?

Ln | x - 2 | kun je splitsen in

ln ( x - 2) en ln ( 2 - x ). Echter vraag ik mij af wanneer de één geldt en wanneer de ander. Weet iemand dit?
pi_145717613
quote:
0s.gif Op zondag 19 oktober 2014 23:00 schreef -Spaghetti- het volgende:
Zou iemand mij kunnen helpen met iets kleins?

Ln | x - 2 | kun je splitsen in

ln ( x - 2) en ln ( 2 - x ). Echter vraag ik mij af wanneer de één geldt en wanneer de ander. Weet iemand dit?
Weet je wat |x| betekent?
pi_145742987
Ik heb waarschijnlijk voor dit topic een relatief domme vraag, maar ik kan er zelf echt niet uitkomen aangezien ik al jaren geen wiskunde meer heb gehad.

A*44800000/(800000 + A) = 4000000

De uitkomst is 78431, maar ik heb geen flauw benul van hoe je hier op kan komen.
  maandag 20 oktober 2014 @ 18:47:52 #89
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145743617
quote:
0s.gif Op maandag 20 oktober 2014 18:31 schreef WaTeRaQua het volgende:
Ik heb waarschijnlijk voor dit topic een relatief domme vraag, maar ik kan er zelf echt niet uitkomen aangezien ik al jaren geen wiskunde meer heb gehad.

A*44800000/(800000 + A) = 4000000

De uitkomst is 78431, maar ik heb geen flauw benul van hoe je hier op kan komen.
Vergeef me dat ik even wat nullen weglaat (5)

A*448/(8 + A) = 40
448A = 40(8+A)
448A = 320 + 40A
408A = 320
A = 320/408 = 0,784314..
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145746007
quote:
0s.gif Op maandag 20 oktober 2014 18:47 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Vergeef me dat ik even wat nullen weglaat (5)

A*448/(8 + A) = 40
448A = 40(8+A)
448A = 320 + 40A
408A = 320
A = 320/408 = 0,784314..
Dankjewel!
Misschien nu een hele domme vraag, maar waarom 'kan' die (8 + A) ineens naar de andere kant worden gehaald? Of heeft dat te maken met het opheffen van het delen door teken?
  maandag 20 oktober 2014 @ 19:37:37 #91
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145746048
quote:
0s.gif Op maandag 20 oktober 2014 19:36 schreef WaTeRaQua het volgende:

[..]

Dankjewel!
Misschien nu een hele domme vraag, maar waarom 'kan' die (8 + A) ineens naar de andere kant worden gehaald? Of heeft dat te maken met het opheffen van het delen door teken?
Vermenigvuldig de vergelijking links en rechts met (8 + A).
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145756904
Vrijdag is het wiskunde tentamen. Donderdag heb ik nog een tentamen voor een ander vak, dus ik ga mij daar morgen en overmogen voor voorbereiden.

Ik had vandaag twee tentamens van vorig jaar gemaakt en heb voor de eerste een 6.5 a 7.0 en voor de tweede daarna een 7.5 a 8.5.

Hopelijk komt het goed. Heb mij erg goed voorbereid en ik vind alles gelukkig makkelijk. Alleen nog een paar lastige opgaven uit het boek waar ik nog naar ga kijken. Tentamenvragen daarentegen zijn gelukkig makkelijk.

Ik wil bij deze iedereen bedanken voor de aangeboden hulp in de afgelopen weken! ^O^
  maandag 20 oktober 2014 @ 23:43:38 #93
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145759445
quote:
0s.gif Op maandag 20 oktober 2014 22:49 schreef Super-B het volgende:
Vrijdag is het wiskunde tentamen. Donderdag heb ik nog een tentamen voor een ander vak, dus ik ga mij daar morgen en overmogen voor voorbereiden.

Ik had vandaag twee tentamens van vorig jaar gemaakt en heb voor de eerste een 6.5 a 7.0 en voor de tweede daarna een 7.5 a 8.5.

Hopelijk komt het goed. Heb mij erg goed voorbereid en ik vind alles gelukkig makkelijk. Alleen nog een paar lastige opgaven uit het boek waar ik nog naar ga kijken. Tentamenvragen daarentegen zijn gelukkig makkelijk.

Ik wil bij deze iedereen bedanken voor de aangeboden hulp in de afgelopen weken! ^O^
Veel succes! ^O^
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145767650


Moet het niet x = (5ey) / (1 + ey) zijn ?


ey (5-x) = x

5ey - ey) x = x

5ey = x + xey

5ey = x ( 1 + ey)

x = 5ey / (1 + ey)
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 10:45:42 #95
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145768072
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 10:29 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

Moet het niet x = (5ey) / (1 + ey) zijn ?

ey (5-x) = x

5ey - ey) x = x

5ey = x + xey

5ey = x ( 1 + ey)

x = 5ey / (1 + ey)
Goed gezien.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145768142
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 10:29 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

Moet het niet x = (5ey) / (1 + ey) zijn ?

Ja, goed gezien. Check.
pi_145770705




Moet het niet gewoon y zijn i.p.v. y² ?
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 12:17:45 #98
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145770799
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:14 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Moet het niet gewoon y zijn i.p.v. y² ?
Ook hier heb je gelijk. Lekker antwoordenboekje heb je gekregen. Of is dit een opdracht 'zoek de fout'?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145770866
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:17 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Nee, nu heb je het niet goed gezien.

Kijk nog eens goed naar het gebruik van de kettingregel bij het (naar x) differentiëren van ln (yx+1)
Ik zou zeggen:

d f(x,y) / du

u = yx + 1

f(x,y) = ln ( u)

f'x(x,y) = 1/u * u'

1 / (yx + 1) * y

y / (yx + 1)
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 12:22:08 #100
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145770915
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik zou zeggen:

d f(x,y) / du

u = yx + 1

f(x,y) = ln ( u)

f'x(x,y) = 1/u * u'

1 / (yx + 1) * y

y / (yx + 1)
Zie edit. Ik keek zelf even verkeerd, maar je afleiding klopt.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145771241
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:22 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Zie edit. Ik keek zelf even verkeerd, maar je afleiding klopt.
Nog één vraagje hoor:






Volgens mij is de teller van f'xx altijd negatief, evenals de teller van f'yy. Bovendien zijn van beide (tweede ) afgeleide functies de hele breuk altijd positief. Dus hoe kan het zowel concaaf als convex zijn op het domein...? Volgens mij kan het alleen maar convex zijn...
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 12:41:04 #102
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145771481
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:33 schreef Super-B het volgende:

[..]

Nog één vraagje hoor:
[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Volgens mij is de teller van f'xx altijd negatief, evenals de teller van f'yy. Bovendien zijn van beide (tweede ) afgeleide functies de hele breuk altijd positief. Dus hoe kan het zowel concaaf als convex zijn op het domein...? Volgens mij kan het alleen maar convex zijn...
x2y2 - 1 = (xy+1)(xy-1).

Aangezien (xy+1) altijd positief is, en (xy-1) zowel positief als negatief kan zijn*, kan de teller van de uitdrukking positief of negatief zijn. De noemer is uiteraard altijd positief.

* Uiteraard onder de hier geldende voorwaarde xy>-1.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145771615
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:41 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

x2y2 - 1 = (xy+1)(xy-1).

Aangezien (xy+1) altijd positief is, en (xy-1) zowel positief als negatief kan zijn*, kan de teller van de uitdrukking positief of negatief zijn. De noemer is uiteraard altijd positief.

* Uiteraard onder de hier geldende voorwaarde xy>-1.



Volgens mij is de teller van f'xx altijd negatief, evenals de teller van f'yy. Bovendien zijn van beide (tweede ) afgeleide functies de hele breuk altijd positief. Dus hoe kan het zowel concaaf als convex zijn op het domein...? Volgens mij kan het alleen maar convex zijn...

En om concaaf te kunnen zijn moet f'xx en f'yy ook <0 zijn, maar het is altijd > 0 in tegenstelling tot f''xx * f''yy - (f''xy)²
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 12:48:33 #104
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145771696
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:45 schreef Super-B het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Volgens mij is de teller van f'xx altijd negatief, evenals de teller van f'yy. Bovendien zijn van beide (tweede ) afgeleide functies de hele breuk altijd positief. Dus hoe kan het zowel concaaf als convex zijn op het domein...? Volgens mij kan het alleen maar convex zijn...

En om concaaf te kunnen zijn moet f'xx en f'yy ook <0 zijn, maar het is altijd > 0 in tegenstelling tot f''xx * f''yy - (f''xy)²
Lees nog eens goed wat er staat in het plaatje dat je post:

We kunnen dus niet concluderen op basis van de voldoende voorwaarden dat de functie convex of concaaf is.

Er wordt dus niet gezegd dat het het een of het ander is, er wordt gezegd dat het beide niet aantoonbaar is. En die bewering klopt.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145771904
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 12:48 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Lees nog eens goed wat er staat in het plaatje dat je post:

We kunnen dus niet concluderen op basis van de voldoende voorwaarden dat de functie convex of concaaf is.

Er wordt dus niet gezegd dat het het een of het ander is, er wordt gezegd dat het beide niet aantoonbaar is. En die bewering klopt.
ohhh ok thanks. :)
pi_145789049
Hoe kun je zoiets weten?



Ik weet dat de voorwaarde voor een zadelpunt het volgende is:

pi_145789828
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 20:26 schreef Super-B het volgende:
Hoe kun je zoiets weten?

[ afbeelding ]

Ik weet dat de voorwaarde voor een zadelpunt het volgende is:

[ afbeelding ]
Ervaring en inzicht. Je weet bijvoorbeeld dat f(x)=x^3 een zadelpunt heeft op x=0, dus een makkelijk voorbeeld zou f(x,y) = x^3 + y^3 zijn.
pi_145790156
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 20:40 schreef Novermars het volgende:

[..]

Ervaring en inzicht. Je weet bijvoorbeeld dat f(x)=x^3 een zadelpunt heeft op x=0, dus een makkelijk voorbeeld zou f(x,y) = x^3 + y^3 zijn.
Hoe kun je het zadelpunt berekenen van een functie met 1 variabele? Daarnaast... Dus x² heeft een minimum, dus een convexe functie zou x² of x² + y² kunnen zijn?
pi_145790430
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 20:47 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoe kun je het zadelpunt berekenen van een functie met 1 variabele? Daarnaast... Dus x² heeft een minimum, dus een convexe functie zou x² of x² + y² kunnen zijn?
Heb je enig idee wat een zadelpunt is? En, ik heb het over de derdemacht van x...
pi_145791046
Hoe los ik dit op?



Beetje verwarrend door de noemers... Ik had zelf eerst de noemers gelijkgemaakt, maar ja dan kan ik gaan lopen wegstrepen en kom ik weer op hetzelfde uit..
pi_145791164
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 20:58 schreef RustCohle het volgende:
Hoe los ik dit op?

[ afbeelding ]

Beetje verwarrend door de noemers... Ik had zelf eerst de noemers gelijkgemaakt, maar ja dan kan ik gaan lopen wegstrepen en kom ik weer op hetzelfde uit..
2/(x+1) naar de rechterkant halen en dan kruislings vermenigvuldigen.
pi_145791250
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 21:00 schreef Novermars het volgende:

[..]

2/(x+1) naar de rechterkant halen en dan kruislings vermenigvuldigen.
Waarom mag je kruislings vermenigvuldigen? Ik hoor dit voor het eerst. :')
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 21:01:36 #113
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145791257
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 20:58 schreef RustCohle het volgende:
Hoe los ik dit op?

[ afbeelding ]

Beetje verwarrend door de noemers... Ik had zelf eerst de noemers gelijkgemaakt, maar ja dan kan ik gaan lopen wegstrepen en kom ik weer op hetzelfde uit..
Toch zit daar wel de oplossing.
Als je er één breuk van maakt staat er
\frac{x(x+1) - 2(x+3)}{(x+1)(x+3)} =0
Die vergelijking kun je oplossen door de teller gelijk aan nul te stellen, en dat is niet zo moeilijk.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145791308
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 21:01 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Waarom mag je kruislings vermenigvuldigen? Ik hoor dit voor het eerst. :')
Waar heb jij gezeten tijdens de onderbouw :')
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 21:03:57 #115
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145791440
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 21:01 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Waarom mag je kruislings vermenigvuldigen? Ik hoor dit voor het eerst. :')
Kruislings vermenigvuldigen is iets dat je kan toepassen als je twee breuken aan elkaar gelijkstelt.

Bijvoorbeeld

a/b = c/d, dan ad = bc.

Afleiding:
a/b = c/d
vermenigvuldig links en rechts met b
a = bc/d
vermenigvuldig links en rechts met d
ad = bc.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145791582
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 21:03 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Kruislings vermenigvuldigen is iets dat je kan toepassen als je twee breuken aan elkaar gelijkstelt.

Bijvoorbeeld

a/b = c/d, dan ad = bc.

Afleiding:
a/b = c/d
vermenigvuldig links en rechts met b
a = bc/d
vermenigvuldig links en rechts met d
ad = bc.
Natuurlijk onder de voorwaarde dat b \neq 0, \: \: d \neq 0
pi_145795446
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 21:01 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Toch zit daar wel de oplossing.
Als je er één breuk van maakt staat er
\frac{x(x+1) - 2(x+3)}{(x+1)(x+3)} =0
Die vergelijking kun je oplossen door de teller gelijk aan nul te stellen, en dat is niet zo moeilijk.
Mag je hier wel gewoon vermenigvuldigen met (x+1)(x+3) (ik heb geleerd van wel)? Feitelijk verander je dan alleen iets aan de linkerkant, en dat brengt me in verwarring.
pi_145795552
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 21:57 schreef netchip het volgende:

[..]

Mag je hier wel gewoon vermenigvuldigen met (x+1)(x+3) (ik heb geleerd van wel)? Feitelijk verander je dan alleen iets aan de linkerkant, en dat brengt me in verwarring.
Wat krijg je aan de rechterkant als je met (x+1)(x+3) vermenigvuldigt?
pi_145795820
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 21:59 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Wat krijg je aan de rechterkant als je met (x+1)(x+3) vermenigvuldigt?
Nog steeds 0. 0 maal iets is nul.
pi_145795930
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 20:51 schreef Novermars het volgende:

[..]

Heb je enig idee wat een zadelpunt is? En, ik heb het over de derdemacht van x...
Ja ik weet wat een zadelpunt is. Dat heb je meestal bij 3d grafieken.
pi_145796001




Ik snap dus die x² > 0 niet... want hoe weet je dat dan? :

pi_145796097
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:04 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja ik weet wat een zadelpunt is. Dat heb je meestal bij 3d grafieken.
Met andere woorden, je hebt geen flauw idee wat een zadelpunt geometrisch is.
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 22:08:55 #123
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145796230
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:05 schreef Super-B het volgende:
Ik snap dus die x² > 0 niet... want hoe weet je dat dan? :

:'(

Noem mij eens een getal x waarvoor x2 < 0 ?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145796255
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:03 schreef netchip het volgende:

[..]

Nog steeds 0. 0 maal iets is nul.
Precies. Dus als je aan beide kanten met (x+1)(x+3) vermenigvuldigt, krijg je:
x(x+1) -2(x+3) = 0.

Je hebt dan aan beide kanten dezelfde bewerking toegepast. Dit mag dus gewoon. Je moet alleen oppassen als je x=-3 of x=-1 als oplossing krijgt. Deze oplossing zijn namelijk niet toegestaan, omdat dan de noemer 0 wordt.

Een andere manier om hier naar te kijken is door te stellen dat als geldt:

a/b = 0

Dan moet gelden: a=0. Voor a ongelijk aan 0 is er namelijk geen enkele waarde b waarvoor a/b=0
pi_145796474
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:09 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Precies. Dus als je aan beide kanten met (x+1)(x+3) vermenigvuldigt, krijg je:
x(x+1) -2(x+3) = 0.

Je hebt dan aan beide kanten dezelfde bewerking toegepast. Dit mag dus gewoon. Je moet alleen oppassen als je x=-3 of x=-1 als oplossing krijgt. Deze oplossing zijn namelijk niet toegestaan, omdat dan de noemer 0 wordt.

Een andere manier om hier naar te kijken is door te stellen dat als geldt:

a/b = 0

Dan moet gelden: a=0. Voor a ongelijk aan 0 is er namelijk geen enkele waarde b waarvoor a/b=0
Yep, dat snap ik. ;) Eigenlijk zijn dus alle bewerkingen toegestaan, zolang je dat maar op beide kanten doet (en niet deelt door nul)?
pi_145796482
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:08 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

:'(

Noem mij eens een getal x waarvoor x2 < 0 ?
Ohja...
pi_145796531
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Yep, dat snap ik. ;) Eigenlijk zijn dus alle bewerkingen toegestaan, zolang je dat maar op beide kanten doet (en niet deelt door nul)?
Inderdaad
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 22:16:50 #128
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145796700
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Yep, dat snap ik. ;) Eigenlijk zijn dus alle bewerkingen toegestaan, zolang je dat maar op beide kanten doet (en niet deelt door nul)?
Er zijn wel wat meer uitzonderingen. Het is ook niet zomaar toegestaan om links en rechts te kwadrateren (iets met mintekens) of links en rechts de wortel te trekken (kan ook niet als een van beide kanten wel eens negatief zou kunnen worden).
Volgens mij is het zo dat het mag zo lang de bewerking die je wil uitvoeren een bijectie R --> R is, maar dat doe ik uit mijn hoofd. Er zijn vast wel mensen hier die dat beter weten.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145796787




Ik dacht toch echt dat de teller geen 'infinite'' zou geven, maar niet gedefinieerd, met name omdat er een - teken staat binnen de ln plus dat de limiet nadert naar 0 en ln(0) kan niet.

pi_145796898
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:04 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja ik weet wat een zadelpunt is. Dat heb je meestal bij 3d grafieken.
Stel je hebt de functie gedefinieerd door f(x) = x^3. Dan heb je f'(x)=0 => x=0 met als functiewaarde f(0)=0. Met andere woorden, x=0 is een stationair punt. Zij  \varepsilon > 0 gegeven. Dan heb je  f(\varepsilon) = \varepsilon^3>0 en  f(-\varepsilon) = -\varepsilon^3<0 . Omdat  \varepsilon > 0 willekeurig gegeven was, concludeer je dat in elke (arbitrair kleine) omgeving van (0,0) er punten zijn die groter resp. kleiner zijn dan het zogenoemde minima of maxima. Hence, het is een zadelpunt.

Kan je deze logica ook toepassen op f(x,y) = x^3 + y^3?
pi_145797371
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:20 schreef Novermars het volgende:

[..]

Stel je hebt de functie gedefinieerd door f(x) = x^3. Dan heb je f'(x)=0 => x=0 met als functiewaarde f(0)=0. Met andere woorden, x=0 is een stationair punt. Zij  \varepsilon > 0 gegeven. Dan heb je  f(\varepsilon) = \varepsilon^3>0 en  f(-\varepsilon) = -\varepsilon^3<0 . Omdat  \varepsilon > 0 willekeurig gegeven was, concludeer je dat in elke (arbitrair kleine) omgeving van (0,0) er punten zijn die groter resp. kleiner zijn dan het zogenoemde minima of maxima. Hence, het is een zadelpunt.

Kan je deze logica ook toepassen op f(x,y) = x^3 + y^3?
Wat bedoelen ze meestal met de ε? Een willekeurige letter voor een variabele? Of moet ik er wat achter zoeken?

Laat maar, het is een letter voor een variabele met een willekeurig kleine waarde.

[ Bericht 2% gewijzigd door netchip op 21-10-2014 22:33:53 ]
pi_145797950
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:27 schreef netchip het volgende:

[..]

Wat bedoelen ze meestal met de ε? Een willekeurige letter voor een variabele? Of moet ik er wat achter zoeken?
Meestal een afstand. Lastig om uit te leggen, dit kan Riparius waarschijnlijk perfect uitleggen.
pi_145798049
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:27 schreef netchip het volgende:

[..]

Wat bedoelen ze meestal met de ε? Een willekeurige letter voor een variabele? Of moet ik er wat achter zoeken?

Laat maar, het is een letter voor een variabele met een willekeurig kleine waarde.
Niet willekeurig klein. Enkel willekeurig. Het ene impliceert het andere, maar de andere niet de ene om het maar super vaag te zeggen.
pi_145798192
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:35 schreef Novermars het volgende:

[..]

Niet willekeurig klein. Enkel willekeurig. Het ene impliceert het andere, maar de andere niet de ene om het maar super vaag te zeggen.
Wikipedia zei dit er over (http://nl.wikipedia.org/wiki/Epsilon#Wiskunde): "In de wiskunde wordt de epsilon gebruikt om willekeurig kleine getallen aan te geven, bijvoorbeeld bij limieten." Ik geloof je best hoor, alleen ik ging hier op af. ;)
pi_145798414
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:37 schreef netchip het volgende:

[..]

Wikipedia zei dit er over (http://nl.wikipedia.org/wiki/Epsilon#Wiskunde): "In de wiskunde wordt de epsilon gebruikt om willekeurig kleine getallen aan te geven, bijvoorbeeld bij limieten." Ik geloof je best hoor, alleen ik ging hier op af. ;)
Dan heeft Wikipedia (zoals wel vaker) het fout.

Het wordt (bijna) altijd in de context gebruikt van: Zij ε>0 gegeven. Zie jij iets dat willekeurig klein zou moeten aanduiden?
pi_145798709
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:40 schreef Novermars het volgende:

[..]

Dan heeft Wikipedia (zoals wel vaker) het fout.

Het wordt (bijna) altijd in de context gebruikt van: Zij ε>0 gegeven. Zie jij iets dat willekeurig klein zou moeten aanduiden?
Nope... :)
  dinsdag 21 oktober 2014 @ 23:45:33 #137
383325 nodig
ZOEEEEEFF
pi_145801739
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:18 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Ik dacht toch echt dat de teller geen 'infinite'' zou geven, maar niet gedefinieerd, met name omdat er een - teken staat binnen de ln plus dat de limiet nadert naar 0 en ln(0) kan niet.

[ afbeelding ]
Bij een limiet is het onbelangrijk wat er gebeurt op het punt zelf. Je moet alleen kijken naar waar het heel dicht nadert.

Wat ik zelf bedenk bij zoiets: x gaat naar 0 vanaf onder. Dus uiteindelijk krijg je iets als -.0000000001 voor x. Wanneer je dat invult voor x krijg je in de teller dus -ln(0.00000001). Wat dus wel gedefinieerd is! Als je dan de grafiek van ln(x) bedenkt moet je je realiseren dat ln(0,000001) dus nadert naar -oneindig, omdat er nu nog een minteken voor de ln staat wordt dat dus een + oneindig. De noemer wordt 2. Dus limiet = oneindig.
pi_145802303
Een snelle theorie vraag, conjugatie van een pure quaternion beeldt deze opnieuw af op een pure quaternion, en dit moet een rotatie in R3 simuleren. Maar wat is de groepsoperatie, en wat is dan de bijbehorende inverse? Standaard vermenigvuldiging?
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparet
pi_145816269
Een vraagje:

Bepaal de volgende limiet: limx->0 (ln(1+x))/(ln(1-x))

zonder gebruik te maken van l'hopital.
hallo
pi_145816455


[ Bericht 34% gewijzigd door netchip op 22-10-2014 14:49:06 ]
pi_145817050
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 14:36 schreef Frootlup het volgende:
Een vraagje:

Bepaal de volgende limiet: limx->0 (ln(1+x))/(ln(1-x))

zonder gebruik te maken van l'hopital.
Met behulp van taylorseries voor ln(1+x) en ln(1-x) is een manier.
pi_145817510
quote:
Met behulp van taylorseries voor ln(1+x) en ln(1-x) is een manier.
Dat deed Wolfram ook. Maar het kwam op een tentamen basiswiskunde (econometrie, 1e jaars vak). Taylor series zijn bij ons nog niet behandeld.

Je moet de volgende standaardlimieten gebruiken:
1) limx->0 ln(1+x) / x = 1
2) limx->1 ln(x) / (x-1) = 1
hallo
pi_145817986
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 15:07 schreef Frootlup het volgende:

[..]

Dat deed Wolfram ook. Maar het kwam op een tentamen basiswiskunde (econometrie, 1e jaars vak). Taylor series zijn bij ons nog niet behandeld.

Je moet de volgende standaardlimieten gebruiken:
1) limx->0 ln(1+x) / x = 1
2) limx->1 ln(x) / (x-1) = 1
Je kunt je limiet opvatten als het quotiënt van de limieten

\lim_{x \to 0}\,\frac{\ln(1\,+\,x)}{x}\,=\,1

en

\lim_{x \to 0}\,\frac{\ln(1\,-\,x)}{x}\,=\,-1

waarbij de eerste volgt uit de definitie van de afgeleide en de tweede volgt uit de eerste door x te vervangen door −x. Zo vind je direct dat

\lim_{x \to 0}\,\frac{\ln(1\,+\,x)}{\ln(1\,-\,x)}\,=\,-1
pi_145820037
Zéér basic dit maar ik kom er niet uit? :')

Wortel N = 5-4N
kwadrateren dus want wortel.
Dus krijg je; N =(5-4N)kwadraat
Dan vereenvoudig je, dus

N = 25-16N, toch?

Het antwoordenboekje zegt dat er bij N =(5-4N)kwadraat N= 25-40N + 16N kwadraat moet uitkomen, hoe dan? :')
1 op de 6 mensen heeft 5 anderen om zich heen
-Harry Jekkers
pi_145820203
quote:
0s.gif Op dinsdag 21 oktober 2014 22:40 schreef Novermars het volgende:

[..]

Dan heeft Wikipedia (zoals wel vaker) het fout.

Het wordt (bijna) altijd in de context gebruikt van: Zij ε>0 gegeven. Zie jij iets dat willekeurig klein zou moeten aanduiden?
Wikipedia heeft het niet echt fout, alleen is het citaat dat Netchip aanhaalt afkomstig uit het artikel over de Griekse letter ε en niet over een wiskundig onderwerp en om deze reden informeel geformuleerd. We zeggen dat

\lim_{x\to a}f(x)\,=\,L

als er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat

|\,f(x)\,-\,L\,|\,\lt\,\epsilon

voor elke x zodanig dat

0\,\lt\,|\,x\,-\,a\,|\,\lt\,\delta

Welnu, als er voor een zekere ε0 > 0 een δ0 bestaat die aan het in de definitie gestelde voldoet, dan zal voor elke willekeurige ε > ε0 dezelfde δ0 eveneens aan het in de definitie gestelde voldoen, aangezien uit | f(x) − L | < ε0 en tevens ε0 < ε volgt dat | f(x) − L | < ε. We zien dus dat 'grote' waarden van ε helemaal niet relevant of interessant zijn voor de definitie van de limiet, maar dat het er de facto om gaat dat er voor elke willekeurige kleine positieve waarde van ε een δ > 0 bestaat die aan het gestelde voldoet. De definitie van de limiet komt er dus op neer dat we de afstand tussen f(x) en L willekeurig klein kunnen maken als we de afstand tussen x en a maar voldoende klein maken. Het gebruik van de letters ε en δ in wat de ε,δ-definitie van de limiet is gaan heten gaat terug op Cauchy, die deze letters kennelijk koos omdat de overeenkomstige Latijnse letters e en d de eerste letters zijn van de Franse woorden erreur en différence. De definitie houdt immers in dat we de afwijking (: erreur) van f(x) met L kleiner kunnen maken dan ε door het verschil (: différence) van x met a kleiner te maken dan δ. De huidige precieze vorm van de definitie van een limiet is overigens pas later gegeven door Weierstraß, die daarvoor ook de absoluutstrepen introduceerde om de definitie compact op te kunnen schrijven.
  woensdag 22 oktober 2014 @ 16:15:47 #146
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145820226
quote:
1s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:11 schreef Nelvalhil het volgende:
Zéér basic dit maar ik kom er niet uit? :')

Wortel N = 5-4N
kwadrateren dus want wortel.
Dus krijg je; N =(5-4N)kwadraat
Dan vereenvoudig je, dus

N = 25-16N, toch?

Het antwoordenboekje zegt dat er bij N =(5-4N)kwadraat N= 25-40N + 16N kwadraat moet uitkomen, hoe dan? :')
N = (5-4N)2

N = (5-4N)(5-4N)

N = 25 - 20N - 20N + 16N2

16N2 - 41N + 25 = 0

(N-1)(16N-25) = 0,

Dus N=1. Ook N = 25/16 zou een oplossing kunnen zijn, ware het niet dat die niet in het domein van de oorspronkelijke wortel zit.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145820340
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:15 schreef Janneke141 het volgende:
N = (5-4N)2

N = (5-4N)(5-4N)

N = 25 - 20N - 20N + 16N2

16N2 - 41N + 25 = 0

(N-1)(16N-25) = 0,

Dus N=1 of N = 25/16.
Godverdomme :') tuurlijk.. Dank je wel :*
1 op de 6 mensen heeft 5 anderen om zich heen
-Harry Jekkers
pi_145820342
quote:
1s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:11 schreef Nelvalhil het volgende:
Zéér basic dit maar ik kom er niet uit? :')

Wortel N = 5-4N
kwadrateren dus want wortel.
Dus krijg je; N =(5-4N)kwadraat
Dan vereenvoudig je, dus

N = 25-16N, toch?

NEE. Shame on you. Leer je merkwaardige producten. Het kwadraat van een verschil van twee grootheden is niet gelijk aan het verschil van de kwadraten van die grootheden.
pi_145820357
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:15 schreef Janneke141 het volgende:
N = (5-4N)2

N = (5-4N)(5-4N)

N = 25 - 20N - 20N + 16N2

16N2 - 41N + 25 = 0

(N-1)(16N-25) = 0,

Dus N=1 of N = 25/16.
Volgens mij maak je nog een foutje, want er is maar één oplossing. :)
  woensdag 22 oktober 2014 @ 16:21:07 #150
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145820448
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:19 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Volgens mij maak je nog een foutje, want er is maar één oplossing. :)
Goed punt, de wortel van (5-100/16) bestaat natuurlijk niet.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145820459
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:19 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Volgens mij maak je nog een foutje, want er is maar één oplossing. :)
Nee. Het klopt, volgens mij
1 op de 6 mensen heeft 5 anderen om zich heen
-Harry Jekkers
pi_145820517
Hoezo zou het niet kloppen? N = 1 v N= 1 9/16
1 op de 6 mensen heeft 5 anderen om zich heen
-Harry Jekkers
pi_145820637
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:21 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Goed punt, de wortel van (5-100/16) bestaat natuurlijk niet.
Is het daarom niet handiger gelijk na het kwadrateren het domein aan te geven voor die vergelijking?
Op de middelbare school moesten we de oplossing weer terug invullen in de vergelijking om te controleren of hij klopt.
Maar als je gewoon gelijk het domein aangeeft hoef je dat helemaal niet te doen.

quote:
1s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:23 schreef Nelvalhil het volgende:
Hoezo zou het niet kloppen? N = 1 v N= 1 9/16
Na het kwadraten krijg je twee vergelijkingen de ene voor het domein x =< 5/4 en de andere x > 5/4.
De oplossing van de vergelijking die zij opgelost heeft zit niet in dat domein (19/16 > 5/4). Daarnaast heeft de andere vergelijking geen enkele oplossing in het domein.
Er is dus maar één oplossing.
pi_145820758
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:21 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Goed punt, de wortel van (5-100/16) bestaat natuurlijk niet.
Nee, maar daar gaat het hier niet om. De beide oplossingen van de vierkantsvergelijking in N zijn positief, dus √N bestaat voor elk van beide waarden van N die je vindt. Alleen is een vierkantswortel niet negatief waardoor de oplossing N = 25/16 komt te vervallen, maar dat is wat anders.
  woensdag 22 oktober 2014 @ 16:32:04 #155
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145820852
Ik heb mijzelf inderdaad wat slordig verwoord. Excuus.

Want
quote:
Is het daarom niet handiger gelijk na het kwadrateren het domein aan te geven voor die vergelijking?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145820899
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 16:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, maar daar gaat het hier niet om. De beide oplossingen van de vierkantsvergelijking in N zijn positief, dus √N bestaat voor elk van beide waarden van N die je vindt. Alleen is een vierkantswortel niet negatief waardoor de oplossing N = 25/16 komt te vervallen, maar dat is wat anders.
^O^ Dit ja :)
1 op de 6 mensen heeft 5 anderen om zich heen
-Harry Jekkers
pi_145827361
Differentiëren lukt me nu wel aardig, al heb ik met dit (post van Riparius over de notatie van Leibniz) nog wel moeite, maar ook daar begint het kwartje te vallen.

Ik ben nu dus aan het kijken naar het integreren van een functie. Als je hebt \int x^7 dx = \frac{x^8}{8}, dan klinkt dat totaal logisch. De afgeleide van x8/8 zou gewoon x7 zijn. Maar nu ben ik dus aan het kijken naar integreren door substitutie, en dat ziet er voor mij een beetje als goochelen uit. Wanneer kan ik deze methode toepassen, en hoe werkt deze? Ik weet dat het het tegenovergestelde van de kettingregel is. Stel \int (10x-8)^7 dx, dan doe je de substitutie u = 10x-8. Oké, maar wat gebeurt er met de differentiaal dx? Zou iemand daar uitleg over kunnen geven? :)
pi_145827738
Als je u = 10x-8 hebt, dan heb je du/dx = 10 en "dus" du = 10dx. Dan heb je dus de integraal
 \int \dfrac{u^7}{10} du
Ik ben vergeten hoe je dit rigoureus opschrijft, maar dit is genoeg om te weten hoe je het kan toepassen.
pi_145828037
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 19:41 schreef Novermars het volgende:
Als je u = 10x-8 hebt, dan heb je du/dx = 10 en "dus" du = 10dx. Dan heb je dus de integraal
 \int \dfrac{u^7}{10} du
Ik ben vergeten hoe je dit rigoureus opschrijft, maar dit is genoeg om te weten hoe je het kan toepassen.
En dat wordt du, omdat je gaat integreren naar u? En... Je krijgt daar een deling door 10 omdat dx = du/10 = du * 1/10?

Als je dan \int \dfrac{u^8}{80}du hebt, en je wilt dit weer substitueren met de waardes van u, krijg je dan \int \dfrac{(10x-8)^8}{80}dx? Waarom kan hier de du weer vervangen worden door dx zonder te delen door 10 (want dx = du/10)?
  woensdag 22 oktober 2014 @ 19:55:52 #160
417219 zerak
Exile Vilify
pi_145828355
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 19:47 schreef netchip het volgende:

[..]

En dat wordt du, omdat je gaat integreren naar u? En... Je krijgt daar een deling door 10 omdat dx = du/10 = du * 1/10?

Als je dan \int \dfrac{u^8}{80}du hebt, en je wilt dit weer substitueren met de waardes van u, krijg je dan \int \dfrac{(10x-8)^8}{80}dx? Waarom kan hier de du weer vervangen worden door dx zonder te delen door 10 (want dx = du/10)?
Nee, er volgt direct dat

\int \frac{u^7}{10}du = \frac{u^8}{80} + C

Nu kun je weer substitueren.
pi_145828378
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 19:47 schreef netchip het volgende:

[..]

En dat wordt du, omdat je gaat integreren naar u? En... Je krijgt daar een deling door 10 omdat dx = du/10 = du * 1/10?

Als je dan \int \dfrac{u^8}{80}du hebt, en je wilt dit weer substitueren met de waardes van u, krijg je dan \int \dfrac{(10x-8)^8}{80}dx? Waarom kan hier de du weer vervangen worden door dx zonder te delen door 10 (want dx = du/10)?
Je hebt:  \int (10x-8)^7 dx \overset{\small u=10x-8}{=} \int \dfrac{u^7}{10}du = \dfrac{u^8}{80}+C \overset{\small u=10x-8}{=}\:\: \dfrac{(10x-8)^8}{80}+C
pi_145828388
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 19:55 schreef zerak het volgende:

[..]

Nee, er volgt direct dat

\int \frac{u^7}{10}du = \frac{u^8}{80} + C

Nu kun je weer substitueren.
Waarom mag je de differentiaal du hier vervangen door de integratieconstante?
  woensdag 22 oktober 2014 @ 20:05:04 #163
417219 zerak
Exile Vilify
pi_145828669
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 19:56 schreef netchip het volgende:

[..]

Waarom mag je de differentiaal du hier vervangen door de integratieconstante?
Dat doe ik niet, ik evalueer hier gewoon de integraal. Overigens:

\int x^7 dx \neq \frac{x^8}{8}

Je vergeet hier de integratieconstante.

Ik raad je aan je eerst even wat beter te verdiepen in de zogenaamde 'u-substitution', want volgensmij is het nu nog abacadabra voor je. Hier alvast een link.
pi_145831570
Even wat anders,

"De top van de grafiek van f(x) = x2+px+3 ligt op de lijn y = x+1."
Wat ik deed is xtop = -b/2a = -p/2, en dan zeggen f(-p/2) = x+1. Dit ging natuurlijk fout omdat ik dan twee variabelen heb, en in het uitwerkingenboek zeggen ze dat je de ytop moet invullen in y = x+1. Dit lijkt me sterk, want waarom vul je de y-coördinaat van een top van een parabool in in een formule voor een y-coödinaat?!
pi_145833717
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 19:33 schreef netchip het volgende:
Differentiëren lukt me nu wel aardig, al heb ik met dit (post van Riparius over de notatie van Leibniz) nog wel moeite, maar ook daar begint het kwartje te vallen.

Ik ben nu aan het kijken naar het integreren van een functie. Als je hebt \int x^7 dx = \frac{x^8}{8}, dan klinkt dat totaal logisch. De afgeleide van x8/8 zou gewoon x7 zijn. Maar nu ben ik aan het kijken naar integreren door substitutie, en dat ziet er voor mij een beetje als goochelen uit. Wanneer kan ik deze methode toepassen, en hoe werkt deze? Ik weet dat het het tegenovergestelde van de kettingregel is. Stel \int (10x-8)^7 dx, dan doe je de substitutie u = 10x-8. Oké, maar wat gebeurt er met de differentiaal dx? Zou iemand daar uitleg over kunnen geven?
Je geeft al aan dat de substitutieregel bij het integreren (c.q. primitiveren) de tegenhanger is van de kettingregel bij het differentiëren, en daarmee zou je antwoord kunnen geven op je eigen vraag. Als F een primitieve is van een reële functie f van een reële variabele x, dan hebben we

\int f(x)\rm{d}x\,=\,F(x)\,+\,C

waarbij C een willekeurige (reële) constante is. Een onbepaalde integraal van een functie is zo niets anders dan een notatie voor de verzameling van alle primitieven van de gegeven functie aangezien elk tweetal primitieven van een functie slechts een constante van elkaar verschilt. Deze notatie moet niet worden verward met de hoofdstelling van de integraalrekening die betrekking heeft op een bepaalde integraal en die zegt dat als f: [a,b] → R een continue functie is en F een primitieve van f, dat dan geldt

\int_a^b f(x)\rm{d}x\,=\,F(b)\,-\,F(a)

Kijk hier voor een eenvoudige uitleg van de hoofdstelling van de integraalrekening en de origine van deze notaties.

Substitueren we nu x = φ(u) waarbij φ een differentieerbare functie is, dan is de afgeleide van F(φ(u)) naar u volgens de kettingregel gelijk aan F'(φ(u))φ'(u) = f(φ(u))φ'(u), zodat omgekeerd F(φ(u)) een primitieve is van f(φ(u))φ'(u) en we dus hebben

\int f(\varphi(u))\varphi'(u)\rm{d}u\,=\,F(\varphi(u))\,+\,C\,=\, F(x)\,+\,C

en daarmee

\int f(x)\rm{d}x\,=\,\int f(\varphi(u))\varphi'(u)\rm{d}u

Is φ: [α,β] → [a,b] een differentieerbare functie met a = φ(α), b = φ(β) dan is F(b) − F(a) = F(φ(β)) − F(φ(α)) zodat we volgens de hoofdstelling van de integraalrekening ook hebben

\int_a^b f(x)\rm{d}x\,=\,\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u))\varphi'(u)\rm{d}u

De notatie en de symboliek van Leibniz maken het, evenals bij de kettingregel, weer gemakkelijk om de substitutieregel te onthouden en te gebruiken. Substitueren we

x\,=\,\varphi(u)

dan is

\frac{\rm{d}x}{\rm{d}u}\,=\,\varphi'(u)

en daarmee (symbolisch)

\rm{d}x\,=\,\varphi'(u)\rm{d}u

zodat je gemakkelijk onthoudt dat je dx door φ'(u)du moet vervangen als je x door φ(u) vervangt, zie ook hier.

In de praktijk gebruik je bovenstaande substitutieregel ook vaak van rechts naar links, en dan heb je als we de rollen van x en u verwisselen

\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\rm{d}x\,=\,\int f(u)\rm{d}u\,=\,F(u)\,+\,C\,=\,F(\varphi(x))\,+\,C

Hier substitueren we

u\,=\,\varphi(x)

zodat

\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}\,=\,\varphi'(x)

en daarmee

\rm{d}u\,=\,\varphi'(x)\rm{d}x

zodat we weer gemakkelijk zien dat we φ'(x)dx moeten vervangen door du als we φ(x) vervangen door u. Is φ: [α,β] → [a,b] een differentieerbare functie met φ(α) = a, φ(β) = b, dan is F(φ(β)) − F(φ(α)) = F(b) − F(a) en hebben we dus volgens de hoofdstelling van de integraalrekening ook

\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(x))\varphi'(x)\rm{d}x\,=\,\int_a^b f(u)\rm{d}u

Tot slot, aangezien we ook kunnen schrijven

\frac{\rm{d}(\varphi(x))}{\rm{d}x}\,=\,\varphi'(x)

en daarmee

\rm{d}(\varphi(x))\,=\,\varphi'(x)\rm{d}x

kunnen we ook schrijven

\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\rm{d}x\,=\,\int f(\varphi(x))\rm{d}(\varphi(x))\,=\,F(\varphi(x))\,+\,C

hetgeen neerkomt op een impliciete substitutie. Immers, substitueren we u = φ(x) in

\int f(\varphi(x))\rm{d}(\varphi(x))\,=\,F(\varphi(x))\,+\,C

dan staat er niets anders dan

\int f(u)\rm{d}u\,=\,F(u)\,+\,C

Hebben we nu bijvoorbeeld

\int (10x\,-\,8)^7\rm{d}x

dan kunnen we bedenken dat

\frac{\rm{d}(10x\,-\,8)}{\rm{d}x}\,=\,10

en daarmee

\rm{d}(10x\,-\,8)\,=\,10\cdot\rm{d}x

oftewel

\rm{d}x\,=\,\frac{1}{10}\cdot \rm{d}(10x\,-\,8)

zodat

\int (10x\,-\,8)^7\rm{d}x\,=\,\frac{1}{10}\int (10x\,-\,8)^7\rm{d}(10x\,-\,8)\,=\,\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{8}\cdot(10x\,-\,8)^8\,+\,C\,=\,\frac{1}{80}(10x\,-\,8)^8\,+\,C

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-10-2014 12:42:18 ]
pi_145834645
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 21:11 schreef netchip het volgende:
Even wat anders,

"De top van de grafiek van f(x) = x2+px+3 ligt op de lijn y = x+1."
Wat ik deed is xtop = -b/2a = -p/2, en dan zeggen f(-p/2) = x+1. Dit ging natuurlijk fout omdat ik dan twee variabelen heb, en in het uitwerkingenboek zeggen ze dat je de ytop moet invullen in y = x+1. Dit lijkt me sterk, want waarom vul je de y-coördinaat van een top van een parabool in in een formule voor een y-coördinaat?!
Je begrijpt de opgave duidelijk niet. De top van de grafiek van f(x) = x2 + px + 3 moet op de lijn met vergelijking y = x + 1 liggen, dus als de top van de grafiek van f de coördinaten (xtop; ytop) heeft, dan moeten deze coördinaten voldoen aan de betrekking

ytop = xtop + 1

Je bent er dus niet door alleen xtop uit te drukken in p, maar je moet ook ytop uitdrukken in p en dan beide uitdrukkingen invullen in deze betrekking, zodat je een vergelijking in p krijgt die je vervolgens op kunt lossen.
pi_145835720
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 22:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je begrijpt de opgave duidelijk niet. De top van de grafiek van f(x) = x2 + px + 3 moet op de lijn met vergelijking y = x + 1 liggen, dus als de top van de grafiek van f de coördinaten (xtop; ytop) heeft, dan moeten deze coördinaten voldoen aan de betrekking

ytop = xtop + 1

Je bent er dus niet door alleen xtop uit te drukken in p, maar je moet ook ytop uitdrukken in p en dan beide uitdrukkingen invullen in deze betrekking, zodat je een vergelijking in p krijgt die je vervolgens op kunt lossen.
Ik ging er van uit dat de waarde van ytop gelijk moest zijn aan x+1, omdat de lijn x+1 en de top elkaar moesten snijden. Ik snap nog steeds niet waarom ik de x- en y-coördinaten moet invullen, maar ik zal er nog even over nadenken. :)
pi_145836479
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 22:31 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik ging er van uit dat de waarde van ytop gelijk moest zijn aan x+1, omdat de lijn x+1 en de top elkaar moesten snijden.
Dit is niet nauwkeurig genoeg, en dat is precies je probleem. Bedenk eens wat je hier bedoelt met x. En er is niet zoiets als een lijn x + 1. Je hebt een lijn met als vergelijking y = x + 1.
quote:
Ik snap nog steeds niet waarom ik de x- en y-coördinaten moet invullen, maar ik zal er nog even over nadenken. :)
De top van de parabool die de grafiek is van je kwadratische functie heeft de coördinaten (xtop; ytop) en gevraagd wordt nu p zo te bepalen dat deze top op de rechte met vergelijking y = x + 1 ligt, zodat geldt

ytop = xtop + 1

Nu had je al bedacht dat

xtop = −p/2

zodat je dus hebt

(1) ytop = −p/2 + 1

Maar je hebt ook

(2) ytop = f(xtop)

en uit (1) en (2) volgt

(3) f(xtop) = −p/2 + 1

oftewel

(4) f(−p/2) = −p/2 + 1

Wat denk je hiervan?
pi_145836941
quote:
0s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 22:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is niet nauwkeurig genoeg, en dat is precies je probleem. Bedenk eens wat je hier bedoelt met x. En er is niet zoiets als een lijn x + 1. Je hebt een lijn met als vergelijking y = x + 1.

[..]

De top van de parabool die de grafiek is van je kwadratische functie heeft de coördinaten (xtop; ytop) en gevraagd wordt nu p zo te bepalen dat deze top op de rechte met vergelijking y = x + 1 ligt, zodat geldt

ytop = xtop + 1

Nu had je al bedacht dat

xtop = −p/2

zodat je dus hebt

(1) ytop = −p/2 + 1

Maar je hebt ook

(2) ytop = f(xtop)

en uit (1) en (2) volgt

(3) f(xtop) = −p/2 + 1

oftewel

(4) f(−p/2) = −p/2 + 1

Wat denk je hiervan?
Ah, je hebt twee vergelijkingen voor lijnen, f(x) en y = x + 1. In beide moet je de xtop invullen, en dan gelijk stellen aan elkaar, omdat de waarde van f(xtop) gelijk moet zijn aan de waarde van xtop + 1. Dank je! :)
  donderdag 23 oktober 2014 @ 08:41:39 #170
105018 Borizzz
Thich Nhat Hanh
pi_145843061
Leuke inzichtsvraag is dit trouwens. Ga ik onthouden :P
kloep kloep
pi_145846344
Wellicht is mijn vraag iets te simpel voor dit topic, maar goed :)

Ik heb moeite met het bewijzen van verzamelingen en het venndiagram die hierbij hoort.

Ik loop bijvoorbeeld vast als ik het venndiagram moet maken voor A ∩ ( B ∪ A ). Wat moet worden gearceerd, waar kruist A en B met elkaar

En het bewijzen van A ∩ ( B ∪ A ) = A

Voor mijzelf is bovenstaande logisch, het bewijzen hiervan blijkt echter lastiger dan gedacht

Poging tot bewijzen:
x ∈ A

x ∈ B ∪ A

Als x ∈ B ∪ A en x ∈ A dan is A ⊂ (B ∪ A)

Hier loop ik vast. Hoe werk ik dit verder uit?
pi_145846539
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:21 schreef Stickers het volgende:
Wellicht is mijn vraag iets te simpel voor dit topic, maar goed :)

Ik heb moeite met het bewijzen van verzamelingen en het venndiagram die hierbij hoort.

Ik loop bijvoorbeeld vast als ik het venndiagram moet maken voor A ∩ ( B ∪ A ). Wat moet worden gearceerd, waar kruist A en B met elkaar
Teken twee cirkels die elkaar kruisen, de ene is A en de andere is B.
Wat is dan B ∪ A ?
  donderdag 23 oktober 2014 @ 11:40:36 #173
105018 Borizzz
Thich Nhat Hanh
pi_145846807
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:29 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Teken twee cirkels die elkaar kruisen, de ene is A en de andere is B.
Wat is dan B ∪ A ?
SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
kloep kloep
pi_145846844
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:29 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Teken twee cirkels die elkaar kruisen, de ene is A en de andere is B.
Wat is dan B ∪ A ?


Aangezien A wordt verenigd met B, is het resultaat een venndiagram die alle elementen bevat van zowel A als B. Vandaar dezelfde kleur
pi_145847067
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:42 schreef Stickers het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Aangezien A wordt verenigd met B, is het resultaat een venndiagram die alle elementen bevat van zowel A als B. Vandaar dezelfde kleur
Oké, noemen we die set C, wat is dan A ∩ C?
pi_145847256
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:50 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Oké, noemen we die set C, wat is dan A ∩ C?
pi_145847295
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:58 schreef Stickers het volgende:

[..]

[ afbeelding ]
Nee dat is A ∩ B
pi_145847542
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:59 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Nee dat is A ∩ B


Het kwartje begint enigszins te vallen :) (denk ik)

Wat ik hier overigens niet helemaal begrijp: waarom wordt een deel van B ook meegenomen in A ∩ C

[ Bericht 3% gewijzigd door Stickers op 23-10-2014 12:43:00 ]
pi_145848865
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 12:08 schreef Stickers het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Het kwartje begint enigszins te vallen :) (denk ik)

Wat ik hier overigens niet helemaal begrijp: waarom wordt een deel van B ook meegenomen in A ∩ C
wow nvm foutje

C = A v B, dus A ^ C = A ^ ( A v B)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_145851848
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 11:21 schreef Stickers het volgende:
Wellicht is mijn vraag iets te simpel voor dit topic, maar goed :)

Ik heb moeite met het bewijzen van verzamelingen en het venndiagram die hierbij hoort.

Ik loop bijvoorbeeld vast als ik het venndiagram moet maken voor A ∩ ( B ∪ A ). Wat moet worden gearceerd, waar kruist A en B met elkaar

En het bewijzen van A ∩ ( B ∪ A ) = A

Voor mijzelf is bovenstaande logisch, het bewijzen hiervan blijkt echter lastiger dan gedacht

Poging tot bewijzen:
x ∈ A

x ∈ B ∪ A

Als x ∈ B ∪ A en x ∈ A dan is A ⊂ (B ∪ A)

Hier loop ik vast. Hoe werk ik dit verder uit?
Gewoon definities van doorsnee en vereniging uitschrijven.
Een willekeurig element x uit A^(BvA) zit in A en in (BvA).
(BvA) kun je dan weer schrijven als x zit in B of x zit in A.
Nu is het jou beurt.
pi_145856890
Weet iemand wat de afgeleide is van

f(x)= xyx-1

?
pi_145857410
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 17:24 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand wat de afgeleide is van

f(x)= xyx-1

?
Volgens mij moet je de productregel gebruiken.
pi_145858191
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 17:24 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand wat de afgeleide is van

f(x)= xyx-1

?
Echt doe nou even moeite.
Dit probleem zou je nu wel moeten kunnen oplossen.

Welke regels ken je allemaal? Welke kan je toepassen, waar loop je vast?

Ik kan je wel een antwoord geven, maar dan kan je net zo goed Wolfram Alpha/Mathematica gebruiken.
pi_145860001
quote:
1s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 18:05 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Echt doe nou even moeite.
Dit probleem zou je nu wel moeten kunnen oplossen.

Welke regels ken je allemaal? Welke kan je toepassen, waar loop je vast?

Ik kan je wel een antwoord geven, maar dan kan je net zo goed Wolfram Alpha/Mathematica gebruiken.
Ik kom er niet uit.. :')

Een uitwerking zou super zijn.
pi_145860113
quote:
11s.gif Op woensdag 22 oktober 2014 00:03 schreef Diacetylmorfine het volgende:
Een snelle theorie vraag, conjugatie van een pure quaternion beeldt deze opnieuw af op een pure quaternion, en dit moet een rotatie in R3 simuleren. Maar wat is de groepsoperatie, en wat is dan de bijbehorende inverse? Standaard vermenigvuldiging?
Oriëntatie behoudende rotaties van R3 worden gegeven door SO(3). Je hebt zoals je weet een conjugatie norm op de quaternionen. En daarmee kun je laten zien dat de quaternionen met norm 1 onder de standaard vermenigvuldiging van de quaternionen een groep vormen en isomorf zijn aan SU(2) als groep. Iets soort gelijk kun je ook doen met de pure quaternionen en SO(3). Hint, laat zien dat de generende elementen van beide groepen hetzelfde gedragen onder hun eigen operatie.
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
pi_145860953
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 19:04 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik kom er niet uit.. :')

Een uitwerking zou super zijn.
Je weet dat je (voor a > 0) hebt

\frac{\rm{d}(a^x)}{\rm{d}x}\,=\,a^x\,\cdot\,\ln\,a

en zo hebben we dus (voor y > 0) ook

\frac{\rm{d}(y^x)}{\rm{d}x}\,=\,y^x\,\cdot\,\ln\,y

Nu is verder

y^{x-1}\,=\,y^{-1}\,\cdot\,y^x

en daarmee ook

\frac{\rm{d}(y^{x-1})}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}(y^{-1}\,\cdot\,y^x)}{\rm{d}x}\,=\,y^{-1}\,\cdot\,\frac{\rm{d}(y^x)}{\rm{d}x}\,=\,y^{-1}\,\cdot\,y^x\,\cdot\,\ln\,y\,=\,y^{x-1}\,\cdot\,\ln\,y

Nu heb je verder volgens de productregel

\frac{\rm{d}(x\,\cdot\,y^{x-1})}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}x}{\rm{d}x}\,\cdot\,y^{x-1}\,+\,x\,\cdot\,\frac{\rm{d}(y^{x-1})}{\rm{d}x}

De rest kun je nu zelf wel bedenken.
pi_145863640
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 14:33 schreef Wouterw17 het volgende:

[..]

Gewoon definities van doorsnee en vereniging uitschrijven.
Een willekeurig element x uit A^(BvA) zit in A en in (BvA).
(BvA) kun je dan weer schrijven als x zit in B of x zit in A.
Nu is het jou beurt.
Daar kom ik dus niet uit. Het bewijzen van dergelijke stellingen. Hoe bewijs ik A ∩ ( B ∪ A ) = A ?
pi_145864108
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 20:31 schreef Stickers het volgende:

[..]

Daar kom ik dus niet uit. Het bewijzen van dergelijke stellingen. Hoe bewijs ik A ∩ ( B ∪ A ) = A ?
Bijv.: neem een willekeurige x uit A^(BvA) <=> x∈ A en x∈ (BvA) <=> x∈ A en x ∈ (B of A) <=> x ∈ (A en B) of x∈ (A en A) <=> x ∈ A.
Gewoon veel oefenen dan lukt het wel. Daarnaast kun je ook een Venn-diagram tekenen om het voor jezelf helder te hebben.
  donderdag 23 oktober 2014 @ 20:45:59 #189
417219 zerak
Exile Vilify
pi_145864456
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 20:31 schreef Stickers het volgende:

[..]

Daar kom ik dus niet uit. Het bewijzen van dergelijke stellingen. Hoe bewijs ik A ∩ ( B ∪ A ) = A ?
Je moet bewijzen dat A ∩ (B ∪ A) ⊆ A en dat A ⊆ A ∩ (B ∪ A).

Eerst maar eens bewijzen dat A ⊆ A ∩ (B ∪ A).
Laat x ∈ A. Nu volgt (uit de definitie voor vereniging/union) x ∈ (B ∪ A).
Dan hebben we x ∈ A en x ∈ (B ∪ A), dus (wederom volgens definitie) x ∈ A ∩ (B ∪ A).

Kan jij nu bewijzen dat A ∩ (B ∪ A) ⊆ A?

[ Bericht 1% gewijzigd door zerak op 24-10-2014 00:08:16 ]
pi_145865568
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 20:39 schreef Wouterw17 het volgende:

[..]

Bijv.: neem een willekeurige x uit A^(BvA) <=> x∈ A en x∈ (BvA) <=> x∈ A en x ∈ (B of A) <=> x ∈ (A en B) of x∈ (A en A) <=> x ∈ A.
Gewoon veel oefenen dan lukt het wel. Daarnaast kun je ook een Venn-diagram tekenen om het voor jezelf helder te hebben.
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 20:45 schreef zerak het volgende:

[..]

Je moet bewijzen dat A ∩ (B ∪ A) ⊆ A en dat A ⊆ A ∩ (B ∪ A).

Eerst maar eens bewijzen dat A ⊆ A ∩ (B ∪ A).
Laat x ∈ A. Nu volgt (uit de definitie voor vereniging/union) x ∈ (B ∪ A).
Dan hebben we x ∈ A en x ∈ (B ∪ A), dus (wederom volgens definitie) x ∈ A ∩ (B ∪ A).

Kan jij nu bewijzen dat A ∩ (B ∪ A) ⊆ A?
Edit, maar verwijderde blijkbaar alles...

Het bewijzen van A ⊂ A ∩ (B ∪ A) is geen probleem. Het omgekeerde A ∩ (B ∪ A) ⊂ A bewijzen lukt mij juist niet

[ Bericht 100% gewijzigd door Stickers op 23-10-2014 22:28:45 ]
pi_145867114
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 20:31 schreef Stickers het volgende:

[..]

Daar kom ik dus niet uit. Het bewijzen van dergelijke stellingen. Hoe bewijs ik A ∩ ( B ∪ A ) = A ?
Je moet twee dingen laten zien: de eerste is bevat in de tweede en dat de twee bevat is in de eerste. Dat doe je door een element te pakken bijvoorbeeld in de tweede en dan te laten zien dat het ook in de eerste zit.
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
pi_145870716
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 19:04 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik kom er niet uit.. :')

Een uitwerking zou super zijn.
LAAT DAN ZIEN WAAR JE VAST ZIT!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
echt...

Maar nu heeft Riparius je al weer het antwoord gegeven en kijk je niet meer naar de vraag om.
pi_145871288
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 22:46 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

LAAT DAN ZIEN WAAR JE VAST ZIT!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
echt...

Maar nu heeft Riparius je al weer het antwoord gegeven en kijk je niet meer naar de vraag om.
Hoog tijd voor een "geen uitwerkingen"-regel. Ik heb iets te vaak het idee dat ik andermans huiswerk aan het maken ben.
pi_145872822
Hoi,

Iemand bekend met wat ik hier moet doen om deze vergelijking op te lossen?:

pi_145872935
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 23:24 schreef Andijvie_ het volgende:
Hoi,

Iemand bekend met wat ik hier moet doen om deze vergelijking op te lossen?:

[ afbeelding ]
Een paar berichten terug lezen.

Of is dit een déjà vu?
Nee, dinsdag is precies dezelfde vraag langs gekomen.

Maar wat dacht je van vermenigvuldigen met (x+1)(x+3)?
  vrijdag 24 oktober 2014 @ 00:11:04 #196
417219 zerak
Exile Vilify
pi_145874578
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 21:06 schreef Stickers het volgende:

[..]

[..]

Edit, maar verwijderde blijkbaar alles...

Het bewijzen van A ⊂ A ∩ (B ∪ A) is geen probleem. Het omgekeerde A ∩ (B ∪ A) ⊂ A bewijzen lukt mij juist niet
A ∩ (B ∪ A) ⊆ A.
Laat x ∈ A ∩ (B ∪ A).
Nu hebben we (volgens definities) twee gevallen;
(1) x ∈ A en x ∈ B.
(2) x ∈ A (en x ∈ A).
En zo zien we dat in beide gevallen x ∈ A.
  vrijdag 24 oktober 2014 @ 00:12:47 #197
417219 zerak
Exile Vilify
pi_145874631
quote:
0s.gif Op donderdag 23 oktober 2014 23:24 schreef Andijvie_ het volgende:
Hoi,

Iemand bekend met wat ik hier moet doen om deze vergelijking op te lossen?:

[ afbeelding ]
Misschien begint er een belletje te rinkelen als je het eens schrijft als

\frac{x}{x+3} = \frac{2}{x+1}
pi_145878945
quote:
0s.gif Op vrijdag 24 oktober 2014 00:11 schreef zerak het volgende:

[..]

A ∩ (B ∪ A) ⊆ A.
Laat x ∈ A ∩ (B ∪ A).
Nu hebben we (volgens definities) twee gevallen;
(1) x ∈ A en x ∈ B.
(2) x ∈ A (en x ∈ A).
En zo zien we dat in beide gevallen x ∈ A.
Dus je keert het bewijs simpelweg om?

Volledige uitwerking:

Als x ∈ A dan is ook x ∈ A ∪ B

Uit bovenstaande volgt dat x ∈ A ∩ (B ∪ A)
Hiermee is bewezen dat A ⊂ A ∩ (B ∪ A)

Neem x ∈ A ∩ (B ∪ A) ⊂ A

Hieruit volgt:
x ∈ A ∩ (B ∪ A)
x ∈ A ∪ B
x ∈ A

Hier mee is bewezen dat A ∩ (B ∪ A) ⊂ A

Omdat A ∩ (B ∪ A) ⊂ A en A ⊂ A ∩ (B ∪ A) is A ∩ (B ∪ A) = A
pi_145906858
Wiskunde tentamen achter de rug! Het was echt heel makkelijk, met name omdat ik enorm goed voorbereid was t.o.v. de rest. Sowieso een voldoende. Ik verwacht een minstens een 6,5/7.0

Dank jullie allen voor de tijd en moeite om mij te helpen! :)

Waar ik het meest tevreden over ben, is dat ik de stof onder de knie heb! :)
pi_145910793
quote:
1s.gif Op vrijdag 24 oktober 2014 22:19 schreef Super-B het volgende:
Wiskunde tentamen achter de rug! Het was echt heel makkelijk, met name omdat ik enorm goed voorbereid was t.o.v. de rest. Sowieso een voldoende. Ik verwacht een minstens een 6,5/7.0

Dank jullie allen voor de tijd en moeite om mij te helpen! :)

Waar ik het meest tevreden over ben, is dat ik de stof onder de knie heb! :)
Uit je postgeschiedenis blijkt iig alles behalve, maar wie weet
  vrijdag 24 oktober 2014 @ 23:41:46 #201
383325 nodig
ZOEEEEEFF
pi_145910933
quote:
0s.gif Op vrijdag 24 oktober 2014 23:38 schreef tacos049 het volgende:

[..]

Uit je postgeschiedenis blijkt iig alles behalve, maar wie weet
:P

Ik heb vandaag hetzelfde tentamen afgelegd. Ging een beetje zoals verwacht, vergelijkingen en makkelijke dingen gingen prima, de paar vragen die ''de topstudent onderscheid van de rest'' snapte ik weinig van. Ik hoop op een voldoende.
pi_145922625
quote:
0s.gif Op vrijdag 24 oktober 2014 23:41 schreef nodig het volgende:

[..]

:P

Ik heb vandaag hetzelfde tentamen afgelegd. Ging een beetje zoals verwacht, vergelijkingen en makkelijke dingen gingen prima, de paar vragen die ''de topstudent onderscheid van de rest'' snapte ik weinig van. Ik hoop op een voldoende.
Welke studie doen jullie?
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
pi_145922891
quote:
0s.gif Op zaterdag 25 oktober 2014 14:13 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Welke studie doen jullie?
Bedrijfseconomie als ik mij niet vergis.
pi_145924235
quote:
0s.gif Op zaterdag 25 oktober 2014 14:13 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Welke studie doen jullie?
Economie & Bedrijfseconomie aan de EUR inderdaad!
pi_145926849
quote:
0s.gif Op vrijdag 24 oktober 2014 23:41 schreef nodig het volgende:

[..]

:P

Ik heb vandaag hetzelfde tentamen afgelegd. Ging een beetje zoals verwacht, vergelijkingen en makkelijke dingen gingen prima, de paar vragen die ''de topstudent onderscheid van de rest'' snapte ik weinig van. Ik hoop op een voldoende.
Het was kinderlijk makkelijk. _O-

Ben enorm teleurgesteld dat ik waarschijnlijk geen 9 of 10 heb. :{w Want ik zou graag gebruik willen maken van de mogelijkheid om deel te nemen aan de Honours Class.
pi_145930560
quote:
0s.gif Op zaterdag 25 oktober 2014 15:12 schreef nodig het volgende:

[..]

Economie & Bedrijfseconomie aan de EUR inderdaad!
Daar had ik al flink wat geld op in durven te zetten. Typisch wanneer het om gemakkelijke toegepaste wiskunde gaat, daar zijn ze al blij als je uit de voeten kunt met de meest elementaire toepassingen (veel studenten met een zwakkere wiskunde-achtergrond die aan zo'n opleiding beginnen). ;)
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
  zaterdag 25 oktober 2014 @ 18:52:57 #207
376125 CapnIzzy
Geef aye voor de kapitein
pi_145931162
quote:
0s.gif Op zaterdag 25 oktober 2014 16:46 schreef Super-B het volgende:

[..]

Het was kinderlijk makkelijk. _O-

Ben enorm teleurgesteld dat ik waarschijnlijk geen 9 of 10 heb. :{w Want ik zou graag gebruik willen maken van de mogelijkheid om deel te nemen aan de Honours Class.
Gewoon zorgen dat je over bachelor-1 rond de 8 staat, kan je in jaar 2 er wellicht bij.
Onoverwinnelijk/Rotterdam/Zeerover
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
pi_145931772
quote:
0s.gif Op zaterdag 25 oktober 2014 18:36 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Daar had ik al flink wat geld op in durven te zetten. Typisch wanneer het om gemakkelijke toegepaste wiskunde gaat, daar zijn ze al blij als je uit de voeten kunt met de meest elementaire toepassingen (veel studenten met een zwakkere wiskunde-achtergrond die aan zo'n opleiding beginnen). ;)
Die studenten hebben waarschijnlijk dan ook geen geavanceerdere wiskunde nodig dan dit. ;)
pi_145931866
quote:
0s.gif Op zaterdag 25 oktober 2014 19:09 schreef netchip het volgende:

[..]

Die studenten hebben waarschijnlijk dan ook geen geavanceerdere wiskunde nodig dan dit. ;)
Niet voor het standaardprogramma.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
pi_145936472
quote:
0s.gif Op zaterdag 25 oktober 2014 18:36 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Daar had ik al flink wat geld op in durven te zetten. Typisch wanneer het om gemakkelijke toegepaste wiskunde gaat, daar zijn ze al blij als je uit de voeten kunt met de meest elementaire toepassingen (veel studenten met een zwakkere wiskunde-achtergrond die aan zo'n opleiding beginnen). ;)
Wanneer je het bijhoudt is het inderdaad heel goed te doen. Ik had meer moeite met de eerste twee weken dan met de latere weken doordat de 'echte' basis er in de eerste twee weken doorheen geramd werd, en mijn wiskundeachtergrond zwak is.

Wel heb ik een hoop opgestoken. Sommetjes waar je een beetje inzicht voor nodig hebt of moet puzzelen vind ik erg leuk.
pi_145954494
Hmm, ik moet nu de kromme door toppen van parabolen bepalen. Allereerst moet de xtop worden bepaald, daarna omgeschreven worden naar p = ..., en dan moet de p in de functie worden gesubstitueerd. Dit lukt wel, maar ik wil graag de achterliggende reden snappen.

Stel y = px2 + 4x -3. Ik weet dat de parameter p de steilheid van de parabool aangeeft (elke waarde van x2 wordt vermenigvuldigd met p). Ik snap er niets van, elke lijn die door de xtop gaat is toch valide?

Oh, ik denk dat ik het nu snap. De parameter p bepaalt feitelijk de parabool zelf. Omdat de parameter p in dit geval afhangt van de xtop, substitueren we p met de xtop. Klopt deze beredenering?

Soms helpt een vraag typen wel, het organiseert je gedachten waardoor je tot nieuwe inzichten komt.
pi_145957604
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 12:53 schreef netchip het volgende:
Hmm, ik moet nu de kromme door toppen van parabolen bepalen. Allereerst moet de xtop worden bepaald, daarna omgeschreven worden naar p = ..., en dan moet de p in de functie worden gesubstitueerd. Dit lukt wel, maar ik wil graag de achterliggende reden snappen.

Stel y = px2 + 4x -3. Ik weet dat de parameter p de steilheid van de parabool aangeeft (elke waarde van x2 wordt vermenigvuldigd met p).
Een parabool heeft geen steilheid. Je kunt wel zeggen dat de raaklijn in ieder punt van de parabool die de grafiek is van

y\,=\,px^2\,+\,4x\,-\,3

een zekere steilheid heeft, en die steilheid wordt gegeven door

\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\,=\,2px\,+\,4

quote:
Ik snap er niets van, elke lijn die door de xtop gaat is toch valide?

Oh, ik denk dat ik het nu snap. De parameter p bepaalt feitelijk de parabool zelf. Omdat de parameter p in dit geval afhangt van de xtop, substitueren we p met de xtop. Klopt deze beredenering?
Nee, je zit hier weer achterstevoren te redeneren. De coördinaten (xt; yt) van de top van de parabool worden bepaald door de waarde van de parameter p.
quote:
Soms helpt een vraag typen wel, het organiseert je gedachten waardoor je tot nieuwe inzichten komt.
Voor de x-coördinaat xt van de top van de parabool met als vergelijking y = px2 + 4x − 3 geldt

x_t\,=\,-\,\frac{2}{p}

en door dit in te vullen in de vergelijking van de parabool vinden we voor de bijbehorende y-coördinaat yt van de top van de parabool na wat herleiding

y_t\,=\,-\,\frac{4}{p}\,-\,3

zodat dus geldt

y_t\,=\,2x_t\,-\,3

en we dus zien dat de toppen van alle parabolen met vergelijking y = px2 + 4x − 3 op een rechte lijn liggen met als vergelijking

y\,=\,2x\,-\,3

Je mag dit echter niet omkeren, niet elk punt op deze rechte lijn is een top van een parabool met als vergelijking y = px2 + 4x − 3 voor een zekere waarde van p, aangezien xt = −2/p niet de waarde 0 aan kan nemen en het punt (0; − 3) dus niet een top is van een parabool met als vergelijking y = px2 + 4x − 3 voor enige waarde van p. Merk tenslotte nog op dat p ≠ 0 moet zijn, immers voor p = 0 ontaardt de parabool in een rechte lijn met als vergelijking y = 4x − 3. Deze rechte snijdt de rechte met als vergelijking y = 2x − 3 in het punt (0; −3), en dat is precies het enige punt op de rechte met als vergelijking y = 2x − 3 dat niet de top is van een parabool met als vergelijking y = px2 + 4x − 3 voor enige waarde van p.
pi_145958980
Wie kan mij helpen met Partial Fractions? Moet voor de Laplacetransformatie.

(4). Express in partial fractions:

(2x+1) / ((x-2)(x+1)(x-3)

En nog wat anders:

Show
Sin(3A)/Sin(2A) = 2CosA - ((1)/(2CosA))

Thanks :)

[ Bericht 14% gewijzigd door #ANONIEM op 26-10-2014 15:07:52 ]
pi_145959323
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 15:05 schreef Thommez het volgende:
Wie kan mij helpen met Partial Fractions? Moet voor de Laplacetransformatie.

(4). Express in partial fractions:

(2x+1) / ((x-2)(x+1)(x-3)

En nog wat anders:

Show
Sin(3A)/Sin(2A) = 2CosA - ((1)/(2CosA))

Thanks :)
Je wil de breuk in 3 losse breuken splitsen. Je krijgt dus:
\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-3}

Waarbij je de waardes voor A, B en C moet bepalen.
Dit doe je door de rechterkant van deze vergelijking weer naar één breuk terug te schrijven en vervolgens de twee tellers gelijk te stellen:

\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-3} = \frac{A(x+1)(x-3)+B(x-2)(x-3)+C(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)(x-3)} = \frac{2x+1}{(x-2)(x+1)(x-3)}

Hierna moet je de haakjes in de teller uitwerken en vervolgens alle termen met gelijke macht van x samenvoegen. Je weet dat alle termen die met x2 gaan moeten optellen tot 0, de termen met x moeten opgeteld 2 zijn en de constante termen moeten samen 1 zijn. Je hebt dan 3 vergelijkingen met 3 onbekenden die je kunt oplossen. Kom je er dan uit?
pi_145959643
quote:
14s.gif Op zondag 26 oktober 2014 15:15 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Je wil de breuk in 3 losse breuken splitsen. Je krijgt dus:
\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-3}

Waarbij je de waardes voor A, B en C moet bepalen.
Dit doe je door de rechterkant van deze vergelijking weer naar één breuk terug te schrijven en vervolgens de twee tellers gelijk te stellen:

\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-3} = \frac{A(x+1)(x-3)+B(x-2)(x-3)+C(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)(x-3)} = \frac{2x+1}{(x-2)(x+1)(x-3)}

Hierna moet je de haakjes in de teller uitwerken en vervolgens alle termen met gelijke macht van x samenvoegen. Je weet dat alle termen die met x2 gaan moeten optellen tot 0, de termen met x moeten opgeteld 2 zijn en de constante termen moeten samen 1 zijn. Je hebt dan 3 vergelijkingen met 3 onbekenden die je kunt oplossen. Kom je er dan uit?
Jup, thanks man! Uitgewerkt komt er voor A=-5, B=-1 en C=7 uit :)

Nog een andere vraag: (x^3-2x^2+x)/(x^2-25)
d) Bereken de vergelijking van de asymptoot wanneer x-> ±(oneindig) (gebruik limieten)
pi_145960121
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 15:25 schreef Thommez het volgende:

[..]

Jup, thanks man! Uitgewerkt komt er voor A=-5, B=-1 en C=7 uit :)

Nog een andere vraag: (x^3-2x^2+x)/(x^2-25)
d) Bereken de vergelijking van de asymptoot wanneer x-> ±(oneindig) (gebruik limieten)
Sorry, daar kan ik je niet mee helpen. Maar mijn wiskunde kennis is ook maar heel beperkt. Er zal zo wel iemand langskomen die je hier mee kan helpen.
pi_145960855
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 15:25 schreef Thommez het volgende:

[..]

Nog een andere vraag: (x^3-2x^2+x)/(x^2-25)
d) Bereken de vergelijking van de asymptoot wanneer x-> ±(oneindig) (gebruik limieten)
Als je nu eens zou beginnen je vraag correct te formuleren. Een uitdrukking heeft geen asymptoot.

We hebben de functie

f(x)\,=\,\frac{x^3\,-\,2x^2\,+\,x}{x^2\,-\,25}

Om het gedrag van deze functie voor x → ∞ en x → −∞ te zien, delen we teller en noemer van het quotiënt door x2, dan krijgen we

f(x)\,=\,\frac{x\,-\,2\,+\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{25}{x^2}

Definiëren we nu

g(x)\,=\,x\,-\,2

dan hebben we voor x ∈ Df\{0}

f(x)\,-\,g(x)\,=\,\frac{\frac{1}{x}\,+\,\frac{25}{x}\,-\,\frac{50}{x^2}}{1\,-\,\frac{25}{x^2}

zodat

\lim_{x\to\infty}(f(x)\,-\,g(x))\,=\,\lim_{x\to-\infty}(f(x)\,-\,g(x))\,=\,0

De grafiek van g, oftewel de rechte met vergelijking y = x − 2, is dus een scheve asymptoot van de grafiek van f.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-10-2014 00:26:31 ]
  zondag 26 oktober 2014 @ 16:19:21 #218
405279 droommoord
houdt van palindromen
pi_145961371
tentamenweek *O*
Hoe doen we dit ook alweer snel uitrekenen?

-35 + 7.5/1.07 + 7.5/1.07^2 + 7.5/1.07^3 + ........ + 7.5/1.07^8

ik vergeet altijd die standaard regeltjes met procenten :')
"I never sleep, cause sleep is the cousin of death"
pi_145961495
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:19 schreef droommoord het volgende:
tentamenweek *O*
Hoe doen we dit ook alweer snel uitrekenen?

-35 + 7.5/1.07 + 7.5/1.07^2 + 7.5/1.07^3 + ........ + 7.5/1.07^8

ik vergeet altijd die standaard regeltjes met procenten :')
Zegt het begrip meetkundige reeks je iets? En weet je hoe je zo'n reeks sommeert?
  zondag 26 oktober 2014 @ 16:26:00 #220
405279 droommoord
houdt van palindromen
pi_145961584
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Zegt het begrip meetkundige reeks je iets? En weet je hoe je zo'n reeks sommeert?
Ik ben bij wiskunde heel slecht in benamingen, ik weet dat ik het heb gekund en dat ik het zowel in het eerste jaar van mijn studie heb gehad als op de middelbare school. Ze gaan er nu vanuit dat ik dit soort dingen weet, maar ik vergeet ze altijd weer. De moeilijkere formules staan gewoon in het boek maar de simpele dingetjes niet meer :'( daarom hier hulp van jullie slimme wiskunde fokkers :)
"I never sleep, cause sleep is the cousin of death"
pi_145961620
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 15:05 schreef Thommez het volgende:
Wie kan mij helpen met Partial Fractions? Moet voor de Laplacetransformatie.

(4). Express in partial fractions:
(2x+1) / ((x-2)(x+1)(x-3)
Partial fraction decomposition kan je vrij makkelijk doen door gebruik te maken van de residu theorema.
En omdat je alleen maar roots hebt met een multipliciteit van 1 is ie nog makkelijker.

Stel je hebt de functie f(x) met roots x_i van multipliciteit 1 dan is de partial fraction decomposition
f(x)=\sum_{i} \frac{a_i}{x-x_i}
Waarin a_i gegeven is door
a_i = \lim_{x\rightarrow x_i} (x-x_i)f(x)
pi_145961660
Kan iemand mij uitleggen waarom 4√-16/81 niet -2/3 is zoals ik dacht?
No citizen has a right to be an amateur in the matter of physical training...what a disgrace it is for a man to grow old without ever seeing the beauty and strength of which his body is capable.
pi_145961696
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:28 schreef esv7 het volgende:
Kan iemand mij uitleggen waarom 4√-16/81 niet -2/3 is zoals ik dacht?
Als je -2/3 tot de 4e macht doet, welk getal krijg je dan?
pi_145961701
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:28 schreef esv7 het volgende:
Kan iemand mij uitleggen waarom 4√-16/81 niet -2/3 is zoals ik dacht?
Omdat (-2/3)4 niet gelijk is aan -16/81
pi_145961743
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:29 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Als je -2/3 tot de 4e macht doet, welk getal krijg je dan?
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:29 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Omdat (-2/3)4 niet gelijk is aan -16/81
:@ Oo ja tuurlijk, dankjewel.
No citizen has a right to be an amateur in the matter of physical training...what a disgrace it is for a man to grow old without ever seeing the beauty and strength of which his body is capable.
pi_145961768
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:28 schreef esv7 het volgende:
Kan iemand mij uitleggen waarom 4√-16/81 niet -2/3 is zoals ik dacht?
Min maal min geeft plus, dus een even macht van een negatief getal is positief.
pi_145962158
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:26 schreef droommoord het volgende:

[..]

Ik ben bij wiskunde heel slecht in benamingen,
Dat vind ik een zwak excuus. Je houdt van palindromen, dus je hebt iets met taal. Daarom geloof ik er niets van dat je zoiets vergeet.
quote:
ik weet dat ik het heb gekund en dat ik het zowel in het eerste jaar van mijn studie heb gehad als op de middelbare school.
Je weet dus wel degelijk waarover het gaat, je hebt het tweemaal gehad en bent het ook tweemaal weer even snel vergeten. Zo werkt het natuurlijk niet, dan kun je net zo goed stoppen met studeren.
quote:
Ze gaan er nu vanuit dat ik dit soort dingen weet, maar ik vergeet ze altijd weer. De moeilijkere formules staan gewoon in het boek maar de simpele dingetjes niet meer :'( daarom hier hulp van jullie slimme wiskunde fokkers :)
Je moet je niet vastbijten in formules, want dat is een beruchte bron van fouten. Je moet begrijpen wat je doet en waarom je het doet, dan belast je je geheugen niet met formules die je (nog) niet begrijpt en daardoor ook niet onthoudt. Begin hier maar even mee.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-10-2014 06:11:18 ]
  zondag 26 oktober 2014 @ 16:48:59 #228
405279 droommoord
houdt van palindromen
pi_145962281
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:19 schreef droommoord het volgende:
tentamenweek *O*
Hoe doen we dit ook alweer snel uitrekenen?

-35 + 7.5/1.07 + 7.5/1.07^2 + 7.5/1.07^3 + ........ + 7.5/1.07^8

ik vergeet altijd die standaard regeltjes met procenten :')
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:45 schreef Riparius het volgende:

Dat vind ik een zwak excuus. Je houdt van palindromen, dus je hebt iets met taal. Daarom geloof ik er niets van dat je zoiets vergeet.

heb niets met taal :( maar volgens mij ben ik er al achter. Beetje logisch redeneren en nadenken was volgens mij genoeg.

-35 + 7.5(1/0.07 - 1/0.07(1.07)^8)

klopt dit?
"I never sleep, cause sleep is the cousin of death"
  zondag 26 oktober 2014 @ 17:07:14 #230
405279 droommoord
houdt van palindromen
pi_145962859
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 16:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee.
?
"I never sleep, cause sleep is the cousin of death"
pi_145963034
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 17:07 schreef droommoord het volgende:

[..]

?
Post je complete uitwerking als je wil weten wat er fout gaat, ik ben geen helderziende.
pi_145984533
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 15:25 schreef Thommez het volgende:

[..]

Jup, thanks man! Uitgewerkt komt er voor A=-5, B=-1 en C=7 uit :)

Dit klopt niet, kijk maar. Voer de berekening nogmaals uit, maar nu goed.
pi_145984537
quote:
0s.gif Op zondag 26 oktober 2014 15:05 schreef Thommez het volgende:

Show
Sin(3A)/Sin(2A) = 2CosA - ((1)/(2CosA))

Dit kun je gemakkelijk met standaard goniometrische identiteiten aantonen. Laat eerst eens zien wat je hebt gedaan.
pi_145991367
Hallo allemaal,

Ik zit even met een algebraïsch probleem. Ik begrijp de volgende manier van "makkelijker opschrijven/ herschrijven" niet.



Thanks!
pi_145991382
Wie kan het me even uitleggen?
  maandag 27 oktober 2014 @ 12:39:49 #236
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145991424
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 12:38 schreef wdvanoyen het volgende:
Wie kan het me even uitleggen?
Vermenigvuldig je vergelijking links en rechts eens met ρg?

[ Bericht 0% gewijzigd door Janneke141 op 27-10-2014 13:00:02 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145991566
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 12:38 schreef wdvanoyen het volgende:
Wie kan het me even uitleggen?
Je kon niet nog eens 27 seconden wachten?
pi_145991970
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 12:39 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Vermenigvuldig je vergelijking links en rechts eens met pg?
Ik zou het advies geven om beide leden met ρg te vermenigvuldigen ...
  maandag 27 oktober 2014 @ 12:59:30 #239
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145991995
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 12:58 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zou het advies geven om beide leden met ρg te vermenigvuldigen ...
Euhm, inderdaad...
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145992795
Vast algemene kennis voor de wiskundigen hier, maar niet voor mij. De vraag is simpel: hoe bereken ik Wx en Wy, gegeven het volgende:

Wx(0,14) + Wy(0,105) = 0,124

Ik weet zeker dat het heel makkelijk en logisch is, maar de logica laat mij even in de steek. :@

Context: ik heb ¤10.000 die ik kan moet verdelen over investering X en investering Y. X heeft een 'expected return' van 14% en Y van 10,5%. De vraag luidt hoe ik de bedragen moet verdelen als ik doel op een 'expected porftolio return' van 12,4%.

Natuurlijk kan ik hier werken met trial & error, maar er moet volgens mij een makkelijkere manier zijn.
Nederlander in München, met voorliefde voor Taiwan en auti's gonna aut.
  maandag 27 oktober 2014 @ 13:29:23 #241
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145992864
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 13:26 schreef Hojdhopper het volgende:
Vast algemene kennis voor de wiskundigen hier, maar niet voor mij. De vraag is simpel: hoe bereken ik Wx en Wy, gegeven het volgende:

Wx(0,14) + Wy(0,105) = 0,124

Ik weet zeker dat het heel makkelijk en logisch is, maar de logica laat mij even in de steek. :@
Als je niet meer gegevens hebt dan dit dan is het antwoord 'niet', aangezien één vergelijking met twee onbekenden niet één unieke oplossing heeft. Wat wel kan is Wx in Wy uitdrukken, of andersom, maar dat hangt van je opgave af.

OK, nu je de context hebt toegevoegd kun je daaruit ook je tweede vergelijking halen. Welk gegeven heb je nog niet gebruikt?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145992872
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 13:26 schreef Hojdhopper het volgende:
Vast algemene kennis voor de wiskundigen hier, maar niet voor mij. De vraag is simpel: hoe bereken ik Wx en Wy, gegeven het volgende:

Wx(0,14) + Wy(0,105) = 0,124
Dat systeem is onder gedetermineerd.
pi_145993063
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 13:29 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Als je niet meer gegevens hebt dan dit dan is het antwoord 'niet', aangezien één vergelijking met twee onbekenden niet één unieke oplossing heeft. Wat wel kan is Wx in Wy uitdrukken, of andersom, maar dat hangt van je opgave af.

OK, nu je de context hebt toegevoegd kun je daaruit ook je tweede vergelijking halen. Welk gegeven heb je nog niet gebruikt?

En daarnaast (maar ik ben geen econoom) twijfel ik ook nogal of je de rendement wel op de goede manier in je eerste vergelijking hebt gebruikt.
Klopt, ik was dus wat context vergeten. Maar in dezen is het dus zo dat ik een portfolio heb met daarin twee investeringen: X en Y.

Gegeven zijn de verwachte opbrengsten per investering. De vraag luidt wat de verwachte opbrengst is voor het portfolio. Dat doe je dus met de volgende berekening:

E(Rp)= W1 x E(R1) + W2 x E(R2) + ....enzovoort

Waar W staat voor weight (logisch) en E(Rx) voor de verwachte opbrengst van een individuele investering.
Nederlander in München, met voorliefde voor Taiwan en auti's gonna aut.
pi_145993080
Wx + Wy = 1 dus
pi_145993100
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 13:37 schreef Anoonumos het volgende:
Wx + Wy = 1 dus
Ja, sorry... vergeten er expliciet bij te zetten.
Nederlander in München, met voorliefde voor Taiwan en auti's gonna aut.
  maandag 27 oktober 2014 @ 13:40:25 #246
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145993175
quote:
11s.gif Op maandag 27 oktober 2014 13:37 schreef Hojdhopper het volgende:

[..]

Ja, sorry... vergeten er expliciet bij te zetten.
En dat is het tweede gegeven dat er nodig is. Daarmee heb je twee vergelijkingen met twee onbekenden, die bijvoorbeeld zijn op te lossen door
Wx = 1 - Wy in te vullen in je eerste vergelijking.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145993243
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 13:40 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

En dat is het tweede gegeven dat er nodig is. Daarmee heb je twee vergelijkingen met twee onbekenden, die bijvoorbeeld zijn op te lossen door
Wx = 1 - Wy in te vullen in je eerste vergelijking.
Dankje! Ik ga er even mee aan de slag! :)
Nederlander in München, met voorliefde voor Taiwan en auti's gonna aut.
pi_145994637
Yes, gelukt. Wx = 0,543 en Wy = 0,457

Bedankt allemaal! :s)
Nederlander in München, met voorliefde voor Taiwan en auti's gonna aut.
pi_146001541
Hoe reset je je Grafische rekenmachine (TI-84) compleet?
Als ik reset default uitvoer verwijdert hij niet alles volledig.
Ik wil namelijk mijn programma's namelijk allemaal verwijderd hebben.
pi_146002353
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 17:35 schreef ibri het volgende:
Hoe reset je je Grafische rekenmachine (TI-84) compleet?
Als ik reset default uitvoer verwijdert hij niet alles volledig.
Ik wil namelijk mijn programma's namelijk allemaal verwijderd hebben.
[2nd][+][7]

Dan ga je naar rechts naar de tab ALL en wat je dan moest doen weet ik niet meer.
Maar waarschijnlijk op enter drukken.

Heb je ook nog een wiskundige vraag?

[ Bericht 3% gewijzigd door t4rt4rus op 27-10-2014 18:06:15 ]
pi_146003549
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 17:59 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

[2nd][+][7]

Dan ga je naar rechts naar de tab ALL en wat je dan moest doen weet ik niet meer.
Maar waarschijnlijk op enter drukken.

Heb je ook nog een wiskundige vraag?
Ben er uiteindelijk achter second + 2 7 en dan aanvinken en del knopje.

Ja ik heb nog wel een vraag,
Ik moet bewijzen of deze functie convergent of divergent is
integraal (5x^-1 . E^2-2x)
Echter kan ik nu niet integration by parts gebruiken omdat je oneindig door gaat met deze functie.
Heeft iemand een tip voor dit probleem?
pi_146003726
quote:
1s.gif Op maandag 27 oktober 2014 18:39 schreef ibri het volgende:

[..]

Ben er uiteindelijk achter second + 2 7 en dan aanvinken en del knopje.

Ja ik heb nog wel een vraag,
Ik moet bewijzen of deze functie convergent of divergent is
integraal (5x^-1 . E^2-2x)
Echter kan ik nu niet integration by parts gebruiken omdat je oneindig door gaat met deze functie.
Heeft iemand een tip voor dit probleem?
Majorant Theorem. Staat ergens in je lecture notes en anders achteraan in het gele boekje.
pi_146004219
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 18:44 schreef Novermars het volgende:

[..]

Majorant Theorem. Staat ergens in je lecture notes en anders achteraan in het gele boekje.
Danku novermars,
Normaal bewijs ik het door dat er een oppervlakte bestaat, bijvoorbeeld lim e^-x wordt dan 0 en houd je vaak een bestaande oppervlakte over.
Ik zou er even naar kijken
Bij de sin en cos doen ze het tussen absolut value haken wat ik wel snap omdat het maximaal 1 is bij een sin of cos binnen absolut value haken.
5^-x wordt ook bijna 0 dus zal hij wel convergent zijn?
pi_146004515
quote:
1s.gif Op maandag 27 oktober 2014 18:55 schreef ibri het volgende:

[..]

Danku novermars,
Normaal bewijs ik het door dat er een oppervlakte bestaat, bijvoorbeeld lim e^-x wordt dan 0 en houd je vaak een bestaande oppervlakte over.
Ik zou er even naar kijken
Bij de sin en cos doen ze het tussen absolut value haken wat ik wel snap omdat het maximaal 1 is bij een sin of cos binnen absolut value haken.
5^-x wordt ook bijna 0 dus zal hij wel convergent zijn?
Wat zijn eigenlijk de integratiegrenzen? Vanaf x=1 neem ik aan...?
pi_146004704
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 19:01 schreef Novermars het volgende:

[..]

Wat zijn eigenlijk de integratiegrenzen? Vanaf x=1 neem ik aan...?
de grenzen zijn van 7 tot infinity
pi_146007664
quote:
0s.gif Op maandag 27 oktober 2014 19:04 schreef ibri het volgende:

[..]

de grenzen zijn van 7 tot infinity
Ik was rustig aan het avondeten, als het iets langer duurt hoef je niet meteen een pm te sturen hoor.
Maar wat je stuurde klopt.
pi_146013371
Had een vraagje over wiskundige economie, bereken the elasticity of substitution between y and x for F(x, y) = 10x2 + 15y2 .

Nu heb ik eerst de marginal rate of substitution berekend = Ryx = 2x/3y .
Maar zie niet in hoe ik dit kan gebruiken om the elasticity of substitution te berekenen.
pi_146045179
quote:
3s.gif Op maandag 27 oktober 2014 21:44 schreef uvastudentje het volgende:
Had een vraagje over wiskundige economie, bereken the elasticity of substitution between y and x for F(x, y) = 10x2 + 15y2 .

Nu heb ik eerst de marginal rate of substitution berekend = Ryx = 2x/3y .
Maar zie niet in hoe ik dit kan gebruiken om the elasticity of substitution te berekenen.
Kom eens met de definities van MRS en EOS.
Ik kan er zo niet een goede wiskundige definitie van vinden.

Oh hier staat iets over dat het de elasticity is van de ratio van a en b naar RMS.

Dus hoe is het lees
\epsilon f(x,y) = \frac{d\ln\frac{x}{y}}{d \ln{R f(x,y)}}
Waarin
R f(x,y) =- \frac{(\frac{\partial f}{\partial x})}{(\frac{\partial f}{\partial y})}

[ Bericht 10% gewijzigd door t4rt4rus op 28-10-2014 19:59:20 ]
pi_146046058
quote:
0s.gif Op dinsdag 28 oktober 2014 19:26 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Kom eens met de definities van MRS en EOS.
Ik kan er zo niet een goede wiskundige definitie van vinden.

Oh hier staat iets over dat het de elasticity is van de ratio van a en b naar RMS.

Dus hoe is het lees
\epsilon = \frac{d\ln\frac{a}{b}}{d \ln{RMS}}
Waarin RMS van f(x, y) gelijk is aan
RMS = \frac{(\frac{d f}{dx})}{(\frac{d f}{dy})}
Je mist een min bij de MRS. MRS is een verkapte toepassing van de Implicit Function Theorem.
pi_146050852
Hoe los ik het volgende vraagstuk op?

Mij wordt gevraagd om de volgende integraal te berekenen:

\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+\sin(\phi)}{\sin(\phi)}d\phi}

De hint die wordt gegeven is om deze integraal te berekenen via:

\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi)}{\sin(\phi)}d\phi}

Tevens wordt als hint gegegeven om te differentiëren onder het integraalteken en om enkele substituties van trigonometrische functies te gebruiken.

Welnu, ik laat:

P(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi)}{\sin(\phi)}d\phi}

Zodat:
 \frac{dP}{da} = P'(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{1}{1+a\sin(\phi)}d\phi}

Mijn plan van aanpak is nu om hieruit een integreerbare functie te vinden, deze te integreren zodat ik P(a) heb gevonden en dan P(1) te berekenen.
Deze laatste integraal kan ik echter niet oplossen, ik zie niet in welke substitutie ik hiervoor moet gebruiken.

Zou iemand me kunnen helpen?
pi_146055440
quote:
0s.gif Op dinsdag 28 oktober 2014 21:17 schreef Hahatsjoe het volgende:
Hoe los ik het volgende vraagstuk op?

Mij wordt gevraagd om de volgende integraal te berekenen:

\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+\sin(\phi))}{\sin(\phi)}d\phi}

De hint die wordt gegeven is om deze integraal te berekenen via:

\int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi))}{\sin(\phi)}d\phi}

Tevens wordt als hint gegegeven om te differentiëren onder het integraalteken en om enkele substituties van trigonometrische functies te gebruiken.

Welnu, ik laat:

P(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{\log(1+a\sin(\phi))}{\sin(\phi)}d\phi}

Zodat:
 \frac{dP}{da} = P'(a) = \int_0^{\pi/2} {\frac{1}{1+a\sin(\phi)}d\phi}

Mijn plan van aanpak is nu om hieruit een integreerbare functie te vinden, deze te integreren zodat ik P(a) heb gevonden en dan P(1) te berekenen.
Deze laatste integraal kan ik echter niet oplossen, ik zie niet in welke substitutie ik hiervoor moet gebruiken.

Zou iemand me kunnen helpen?
Je kunt de Weierstraß substitutie gebruiken. Stel

t\,=\,\tan\,\frac{1}{2}\varphi

dan is

\sin\,\varphi\,=\,\frac{2t}{1\,+\,t^2}

en

\frac{\rm{d}t}{\rm{d}\varphi}\,=\,\frac{1}{2}(1\,+\,t^2)

zodat

\rm{d}\varphi\,=\,\frac{2\rm{d}t}{1\,+\,t^2}

Je integraal wordt dan

\int_0^1 \frac{2\rm{d}t}{(t\,+\,a)^2\,+\,(1\,-\,a^2)}

en deze integraal kun je in ieder geval voor 0 ≤ a < 1 gemakkelijk bepalen. Voor |a| < 1 hebben we namelijk (1 − a²) = (√(1 − a²))² zodat

\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\arctan\left(\frac{t\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)

een primitieve is met betrekking tot t van

\frac{2}{(t\,+\,a)^2\,+\,(1\,-\,a^2)}

en zo vinden we

P'(a)\,=\,\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\left(\arctan\left(\frac{1\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\,-\,\arctan\left(\frac{a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\right)

Nu kunnen we deze uitdrukking voor P'(a) nog sterk vereenvoudigen door gebruik te maken van wat goniometrische identiteiten. Stellen we namelijk a = sin θ met −½π < θ < ½π, dan is

\frac{a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,=\,\frac{\sin\,\theta}{\cos\,\theta}\,=\,\tan\,\theta

en aangezien −½π < θ < ½π is dan

\arctan\left(\frac{a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\,=\,\arctan(\tan\,\theta)\,=\,\theta\,=\,\arcsin\,a

Stellen we anderzijds a = cos θ met 0 < θ < π, dan is

\frac{1\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,=\,\frac{1\,+\,cos\,\theta}{\sin\,\theta}\,=\,\frac{1}{\tan\,\frac{1}{2}\theta}\,=\,\cot\,\frac{1}{2}\theta\,=\,\tan\,(\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\theta)

omdat immers

\frac{\sin\,\theta}{1\,+\,\cos\,\theta}\,=\,\frac{2\,\cdot\,\sin\,\frac{1}{2}\theta\,\cdot\,\cos\,\frac{1}{2}\theta}{2\,\cdot\,\cos^2\,\frac{1}{2}\theta}\,=\,\frac{\sin\,\frac{1}{2}\theta}{\cos\,\frac{1}{2}\theta}\,=\,\tan\,\frac{1}{2}\theta

en aangezien 0 < ½π − ½θ < ½π voor 0 < θ < π is dan

\arctan\left(\frac{1\,+\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}\right)\,=\,\arctan(\tan(\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\theta))\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\theta\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\arccos\,a

Nu hebben we dus

P'(a)\,=\,\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\left(\frac{1}{2}\pi\,-\,\frac{1}{2}\arccos\,a\,-\,\arcsin\,a\right)

en omdat

\arccos\,a\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\arcsin\,a

geeft dit

P'(a)\,=\,\frac{2}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,\cdot\,\left(\frac{1}{4}\pi\,-\,\frac{1}{2}\arcsin\,a\right)

en daarmee

P'(a)\,=\,\frac{1}{2}\pi\,\cdot\,\frac{1}{\sqrt{1\,-\,a^2}}\,-\,\frac{\arcsin\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}

Primitiveren geeft nu

P(a)\,=\,\frac{1}{2}\pi\,\cdot\,\arcsin\,a\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(\arcsin\,a)^2\,+\,C

waarmee P(0) = C terwijl we weten dat P(0) = 0 zodat C = 0 en we dus uiteindelijk krijgen

P(a)\,=\,\frac{1}{2}\pi\,\cdot\,\arcsin\,a\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(\arcsin\,a)^2

Overigens, aangezien

\arcsin\,a\,=\,\frac{1}{2}\pi\,-\,\arccos\,a

kunnen we ook schrijven

P'(a)\,=\,\frac{\arccos\,a}{\sqrt{1\,-\,a^2}}

zodat ook

P(a)\,=\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(\arccos\,a)^2\,+\,\frac{\pi^2}{8}

Nu is P(a) alleen gedefinieerd voor |a| < 1, maar we kunnen hier voor P(1) de limiet nemen van P(a) voor a ↑ 1 en dan hebben we P(1) = π²/8 en dus

\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\log(1\,+\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\rm{d}\varphi\,=\,\frac{\pi^2}{8}

Strict genomen moeten we nog bewijzen dat

\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\log(1\,+\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\rm{d}\varphi\,=\,\lim_{a\uparrow 1}\,\int_0^{\frac{1}{2}\pi}\frac{\log(1\,+\,a\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\rm{d}\varphi

maar dit is niet moeilijk. Met behulp van de bekende ongelijkheid 0 ≤ log(1 + x) ≤ x voor x ≥ 0 is gemakkelijk af te leiden dat we voor 0 ≤ a < 1 en 0 < φ ≤ ½π hebben

0\,\le\,\frac{\log(1\,+\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\,-\,\frac{\log(1\,+\,a\,\sin\,\varphi)}{\sin\,\varphi}\,\le\,\frac{1\,-\,a}{1\,+\,a\,\sin\,\varphi}\,\le\,1\,-\,a

zodat het verschil tussen de integralen van log(1 + sin φ)/sinφ en log(1 + a·sin φ)/sinφ over het interval [0, ½π] niet meer bedraagt dan ½π(1 − a) en daarmee kleiner is dan een willekeurige ε > 0 voor 1 − δ < a < 1 met δ = min(2ε/π,1), QED.

[ Bericht 25% gewijzigd door Riparius op 30-10-2014 13:40:14 ]
pi_146109161
''Elke professionele wiskundige gebruikt LaTeX'', besloot de docent zijn laatste college. Voortaan zou het handiger zijn als we onze inleveropgaves in LaTeX maken. Ik heb TeXStudio geïnstalleerd want dat raadt de studievereniging aan op haar pagina. Hun introductiecursus mis ik misschien, helaas. Waar kan ik het beste beginnen? De link in de OP is overleden.
pi_146109634
quote:
0s.gif Op donderdag 30 oktober 2014 12:16 schreef Aardappeltaart het volgende:
''Elke professionele wiskundige gebruikt LaTeX'', besloot de docent zijn laatste college. Voortaan zou het handiger zijn als we onze inleveropgaves in LaTeX maken. Ik heb TeXStudio geïnstalleerd want dat raadt de studievereniging aan op haar pagina. Hun introductiecursus mis ik misschien, helaas. Waar kan ik het beste beginnen? De link in de OP is overleden.
De dingen die ik ervan weet zijn zeer beperkt. Wat ik je kan aanraden is gewoon een voorbeelddocument opzoeken. De belangrijkste dingen die je moet weten is hoe de structuur van een document in elkaar zit. Het is vooral veel googelen als je weer eens een nieuw symbool wil gebruiken. Riparius had al meer dan eens een handige site om uit te zoeken welk symbool je moet hebben gepost (als je hem zoals ik vaak gebruikt dan hoef je alleen de naam detexify in te typen en komt je browser al met de site).

Hier een klein voorbeelddocument, ik neem aan dat het meeste wel te begrijpen is. Je kan het document opslaan als .tex-bestand, en kijken of je al een editor hebt (texworks staat geloof ik tegenwoordig vaak al standaaard op windows-computers).

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Toelichting:
Commando's in latex herken je door de backslash. De backslash is een zogenaamd escape-karakter. Dit betekent dat het woord achter de backslash een speciale betekenis krijgt.

In een latex-document begin je niet zomaar met de tekst die je in het document wil te typen. Je moet eerst verschillende dingen aangeven met commando's, bijvoorbeeld in welke stijl je het document wil hebben:

De bovenkant van het document is de plek om je documentclass te declareren (ik gebruik altijd article, ik weet eigenlijk niet echt alternatieven: als ik iets anders nodig heb wordt dat meestal gegeven door de docent of google ik het).

Vlak daaronder geef je door middel van het commando usepackage aan welke packages je wil gebruiken. In het voorbeeld heb ik amsfonts gebruikt. Hierin staan de N met dubbele strepen, die vaak gebruikt wordt om de verzameling natuurlijke getallen aan te geven.

Dan geef je de schrijven(author) en titel op. (Dit is geloof ik niet verplicht, maar wel zo makkelijk, omdat je dan het commando maketitle in je document kan gebruiken om zo automatisch een titel met je naam eronder te genereren).

Pas na al die dingen (Het zijn er nog veel meer als je wat beter met latex bent en wat mooiere dingen probeert te maken) kan je je daadwerkelijke document beginnen, tussen de commando's:

\begin{document} en \end{document}

Dit is overigens een vorm voor commando's die vaker voorkomt: de 'curly brackets' hebben ook een speciale betekenis: een beetje wat haakjes doen in de wiskunde: ze geven de grenzen aan waar het commando daarvoor op werkt:
a^-1 wordt a-1, a^{-1} wordt a-1 (in een formule).

Eenmaal in het document kan je section, subsection en subsubsection-commando's gebruiken om titels van de (sub)(sub)secties aan te geven. Als je geen nummer ervoor wil, kan je een aterisk gebruiken om de nummering te verbergen.

Formules zet je tussen $'s (voor inline formules) of tussen \[ en \] (voor mooie, grote, gecentreerde formules). Als je een karakter met een speciale betekenis wil gebruiken, kan je dat vaak doen door hem te escapen door er een backslash voor te zetten. (een backslash krijg je bijvoorbeeld door \\, curly brackets door \{ te gebruiken).

Voor matrix- en vectornotatie, afbeeldingen, grafen en weet ik veel wat moet je maar googelen: er is een enorm aantal mogelijkheden met latex.

[ Bericht 17% gewijzigd door defineaz op 30-10-2014 12:55:14 ]
pi_146112914
quote:
0s.gif Op donderdag 30 oktober 2014 12:16 schreef Aardappeltaart het volgende:
''Elke professionele wiskundige gebruikt LaTeX'', besloot de docent zijn laatste college. Voortaan zou het handiger zijn als we onze inleveropgaves in LaTeX maken. Ik heb TeXStudio geïnstalleerd want dat raadt de studievereniging aan op haar pagina. Hun introductiecursus mis ik misschien, helaas. Waar kan ik het beste beginnen? De link in de OP is overleden.
http://ftp.snt.utwente.nl(...)/latexcourse-rug.pdf

Veel plezier! Ik gebruik zelf Texmaker (en Miktex) als IDE en vind dat erg prettig werken, maar wat voor jou het beste werkt moet je zelf achter komen.
pi_146115505
Dankjulliewel! Ik zal er de komende dagen naar kijken.
pi_146145305
Beste iederen: Vraagje over de normale verdeling..





Hoe komen ze op het eind nu in één keer aan die Z waarde en die 21 kranten. Tot het eind snap ik alles maar dan gaat het te snel voor me.
Rossoneri siamo noi.
pi_146150631
quote:
0s.gif Op dinsdag 28 oktober 2014 22:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wauw! Ik ben helemaal overdonderd door je fantastische uitwerking! Ik heb zojuist het vraagstuk zelf nogmaals opgelost en gebruikmakend van de Weierstrass-substitutie kom je inderdaad goed uit.

Nu heb ik nog een lastig vraagstuk waar ik me de afgelopen dagen ook al op heb stukgebeten, en ik zou het waanzinnig appreciëren als iemand hier een sluitend bewijs voor kan vinden:

Wat kun je zeggen over de convergentie voor p \in \mathbb{R} van
\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x^p}dx}

Welnu mijn eerste observatie is dat p sowieso niet negatief is, anders explodeert de integrand.

Ten tweede weet ik dat ik \sin x kan afschatten namelijk
| \sin x | \leq 1
En dus
 \frac{| \sin x |}{x} \leq \frac{1}{x}

Welnu wat ik deed is het volgende

\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x^p}dx} \ \ \text{cf.} \ \ \int_0^{\infty} {\frac{1}{x^{p-1}}dx}

Intuïtief zou ik zeggen dat deze convergeert slechts dan als | p-1 | < 1 oftewel dat p \in (0,2). Dit laatste kan ik echter niet wiskundig hard maken, heeft iemand hier een verlichtende opmerking over?
pi_146160407
quote:
0s.gif Op vrijdag 31 oktober 2014 14:02 schreef Hahatsjoe het volgende:

[..]

Wauw! Ik ben helemaal overdonderd door je fantastische uitwerking! Ik heb zojuist het vraagstuk zelf nogmaals opgelost en gebruikmakend van de Weierstrass-substitutie kom je inderdaad goed uit.

Nu heb ik nog een lastig vraagstuk waar ik me de afgelopen dagen ook al op heb stukgebeten, en ik zou het waanzinnig appreciëren als iemand hier een sluitend bewijs voor kan vinden:

Wat kun je zeggen over de convergentie voor p \in \mathbb{R} van
\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x^p}dx}
Je integraal convergeert inderdaad voor 0 < p < 2, maar je argumentatie is niet deugdelijk. De clou is hier om het interval waarover je integreert op te splitsen in de intervallen [0, 1] en [1, ∞) en de convergentie over deze deelintervallen apart te bekijken. Deze vraag is al vaker voorbij gekomen op stackexchange, dus neem daar eens een kijkje.
pi_146161254
quote:
0s.gif Op vrijdag 31 oktober 2014 11:23 schreef ForzaMilan het volgende:
Beste iederen: Vraagje over de normale verdeling..

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Hoe komen ze op het eind nu in één keer aan die Z waarde en die 21 kranten. Tot het eind snap ik alles maar dan gaat het te snel voor me.
We zoeken een c zodat
 P(X \leq c)  = 0.75
waar X normaal verdeeld is met mu = 25 en sigma = 5

Dit omschrijven geeft
 P(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) =P(Z\leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) = 0.75
Z = (X - mu) / sigma is standaard normaal verdeeld.

In een tabel voor de cumulative verdeling van een standaard normaalverdeling vinden we dat
 P(Z\leq -0.67 ) = 0.75

Dus
 \frac{c - \mu}{\sigma} = - 0.67 \Rightarrow c = \mu - 0.67 \sigma = 21.65
pi_146162532
quote:
0s.gif Op vrijdag 31 oktober 2014 19:12 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

We zoeken een c zodat
 P(X \leq c)  = 0.75
waar X normaal verdeeld is met mu = 25 en sigma = 5

Dit omschrijven geeft
 P(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) =P(Z\leq \frac{c - \mu}{\sigma} ) = 0.75
Z = (X - mu) / sigma is standaard normaal verdeeld.

In een tabel voor de cumulative verdeling van een standaard normaalverdeling vinden we dat
 P(Z\leq -0.67 ) = 0.75

Dus
 \frac{c - \mu}{\sigma} = - 0.67 \Rightarrow c = \mu - 0.67 \sigma = 21.65
Thanks!
Rossoneri siamo noi.
pi_146199918
quote:
0s.gif Op vrijdag 31 oktober 2014 18:47 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je integraal convergeert inderdaad voor 0 < p < 2, maar je argumentatie is niet deugdelijk. De clou is hier om het interval waarover je integreert op te splitsen in de intervallen [0, 1] en [1, ∞) en de convergentie over deze deelintervallen apart te bekijken. Deze vraag is al vaker voorbij gekomen op stackexchange, dus neem daar eens een kijkje.
Bedankt voor je antwoord, ik zal die website onthouden!
Ik snap het echter nog niet helemaal, zou je je uitleg iets kunnen uitbreiden?
We zeggen dus:
 \int_0^{\infty} \frac{\sin x }{x^p} dx = \int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} dx + \int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx
En  \int_0^{\infty} \frac{\sin x }{x^p} dx convergeert voor p dan en slechts dan als zowel \int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} dx als  \int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx convergeren, juist?

Welke afschattingen kan ik het beste gebruiken voor deze integralen? Ik neem aan dat ik aantoon dat één van deze integralen divergeert als p \geq 2 en dat beide integralen eindig zijn voor  p \in (0,2) ?
pi_146200422
Voor  x \approx 0,  sin x \approx x , en dus  \int_0^1 \dfrac{\sin x}{x^p} \mathrm{d}x \approx \int_0^1 \dfrac{1}{x^{p-1}} \mathrm{d}x \to \infty voor  p \geq 1
pi_146207937
quote:
0s.gif Op zaterdag 1 november 2014 23:07 schreef Novermars het volgende:
Voor  x \approx 0,  sin x \approx x , en dus  \int_0^1 \dfrac{\sin x}{x^p} \mathrm{d}x \approx \int_0^1 \dfrac{1}{x^{p-1}} \mathrm{d}x \to \infty voor  p \geq 1

Voor je laatste ongelijkheid, bedoel je niet hij divergeert als  p-1 \geq 1 en dus  p \geq 2 (i.p.v.  p \geq 1 ?
En die integraal divergeert omdat de integrand explodeert wanneer ik x=0 invul in de primitieve?

Hoe toon ik dan aan dat voor  p \in (0,2) beide integralen eindig zijn?
pi_146211781
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 08:38 schreef Hahatsjoe het volgende:
Hoe toon ik dan aan dat voor  p \in (0,2) beide integralen eindig zijn?
\int_0^{\infty} \, \frac{\sin x}{x^p} \, \mathrm{d}x = \left( \int_0^{\pi} + \int_{\pi}^{\infty} \right) \, \frac{\sin x}{x^p} \, \mathrm{d}x ,

De linker helft heeft een singulariteit op x = 0.
Zoals hier boven ook al staat, convergeert deze integraal voor p < 2.

De rechter helft kan je schrijven als een alternerende serie van integralen
\sum_{n=1}^{\infty} \,(-1)^n \int_{n \pi}^{(n+1)\pi} \, \frac{|\sin x|}{x^p} \, \mathrm{d}x
Met de alternerende serie test kan je dan aantonen dat deze serie convergeert voor p > 0.
http://math.stackexchange(...)nfty-frac-sinaxbxp-m

En dan krijg je als antwoord dat het integraal convergeert voor p \in (0,2)

[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 02-11-2014 13:13:49 ]
pi_146212061
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 13:01 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

De rechter helft kan je schrijven als een alternerende serie van integralen
\sum_{n=1}^{\infty} \,(-1)^n \int_{n \pi}^{(n+1)\pi} \, \frac{|\sin x|}{x^p} \, \mathrm{d}x
Met de alternerende serie test kan je dan aantonen dat deze serie convergeert voor p > 0.
Het is makkelijker om dat met partieel integreren te doen in plaats van met een alternerende reeks te pielen.
pi_146213027
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 13:13 schreef thabit het volgende:

[..]

Het is makkelijker om dat met partieel integreren te doen in plaats van met een alternerende reeks te pielen.
Hier is het pielen met een alternerende serie toch heel makkelijk?

Oké \LaTeX hier werkt niet mee.
-edit-


[ Bericht 42% gewijzigd door t4rt4rus op 02-11-2014 13:59:44 ]
pi_146213475
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 13:54 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Hier is het pielen met een alternerende serie toch heel makkelijk?

Oké \LaTeX hier werkt niet mee.
-edit-
[ afbeelding ]
Het is hier inderdaad niet supermoelijk, maar het vereist meer stappen en is minder algemeen dan partieel integreren.

Ter illustratie zal ik die manier hier tonen. Het punt van deze opgave is dat de integraal voor p≤1 niet absoluut convergeert. Voor p>1 doet-ie dat wel, en dat gaan we ook gebruiken.

\int_1^a \sin x \cdot x^{-p} dx \,=\, [-cos x\cdot x^{-p}]_1^a \,-\, \int_1^a (-cos x)\cdot(-p x^{-(p+1)})dx.
In de limiet voor a naar oneindig convergeren beide termen aan de rechterkant: omdat p+1 > 1 en |cos x| ≤ 1, zal de rechterintegraal absoluut convergeren.
pi_146223100
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 13:54 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Hier is het pielen met een alternerende serie toch heel makkelijk?

Oké \LaTeX hier werkt niet mee.
-edit-
[ afbeelding ]
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 14:12 schreef thabit het volgende:

[..]

Het is hier inderdaad niet supermoelijk, maar het vereist meer stappen en is minder algemeen dan partieel integreren.

Ter illustratie zal ik die manier hier tonen. Het punt van deze opgave is dat de integraal voor p≤1 niet absoluut convergeert. Voor p>1 doet-ie dat wel, en dat gaan we ook gebruiken.

\int_1^a \sin x \cdot x^{-p} dx \,=\, [-cos x\cdot x^{-p}]_1^a \,-\, \int_1^a (-cos x)\cdot(-p x^{-(p+1)})dx.
In de limiet voor a naar oneindig convergeren beide termen aan de rechterkant: omdat p+1 > 1 en |cos x| ≤ 1, zal de rechterintegraal absoluut convergeren.
Bedankt voor jullie reacties, dat waardeer ik erg!
Om de integraal als alternerende serie te schrijven vind ik een verrassende truuk, en ik zal dat straks in detail bestuderen.
Wat betreft thabits uitwerking, hoe weet je nu zeker dat
 \int_1^a \cos(x) p x^{-p-1} dx \ <\  \infty
Je kunt inderdaad naar de absolute convergentie kijken en dan de cosinus met 1 afschatten, maar ben je er dan? In dit geval heb je dat 0<p<2, ik zie niet in hoe dit convergentie impliceert...
pi_146224502
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 18:48 schreef Hahatsjoe het volgende:

[..]

[..]

Bedankt voor jullie reacties, dat waardeer ik erg!
Om de integraal als alternerende serie te schrijven vind ik een verrassende truuk, en ik zal dat straks in detail bestuderen.
Wat betreft thabits uitwerking, hoe weet je nu zeker dat
 \int_1^a \cos(x) p x^{-p-1} dx \ <\  \infty
Je kunt inderdaad naar de absolute convergentie kijken en dan de cosinus met 1 afschatten, maar ben je er dan? In dit geval heb je dat 0<p<2, ik zie niet in hoe dit convergentie impliceert...
Wel,
|\int_a^b \cos(x) p x^{-p-1} dx| \leq \int_a^b px^{-p-1}dx = \frac{1}{a^p}-\frac{1}{b^p}
Die integraal rechts convergeert, juist omdat de integrand (minus) de afgeleide is van x-p, en x-p gaat naar 0 als x naar oneindig gaat.

Deze methode is algemeen toepasbaar op integralen van de vorm ∫f(x)g(x)dx, waarbij f(x)dx een begrensde primitieve heeft, en g(x) positief en dalend is en naar 0 convergeert. In dit voorbeeld heb je f(x)=sin(x) en g(x)=x-p.

[ Bericht 0% gewijzigd door thabit op 02-11-2014 21:13:42 ]
pi_146229004
Goedenavond,

Ik moet het minimum en maximum van een functie bepalen gerestricteerd aan een andere functie.
E: x^2 + xy + y^2, gestricteerd aan functie G: x+y = 9. Ik denk dat ik hierbij de Extreme Value Theorem niet kan gebruiken omdat het een closed, unbounded interval is. Ik weet niet welke stap ik dan wel zou kunnen nemen om het minimum en maximum te bepalen?

Door even nadenken denk ik te kunnen zien dat het minimum 0 is, maar dat is natuurlijk niet zoals je dit probleem moet oplossen. De eerste afgeleiden helpen mij ook niet heel veel verder in deze kwestie?

Bij voorbaat dank.

Edit:
Of is het zo dat ik dan de tweede-afgeleide test voor lokale extremen moet gebruiken? Alhoewel ik dan nog met het punt zit of de waarden voor x en y in de 'interior' van het domein liggen, ik weet dus niet of de functie convex is in het gerestricteerde domein?

[ Bericht 2% gewijzigd door GivanildoVieiraDeSouza op 02-11-2014 21:12:29 ]
pi_146230008
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 20:58 schreef GivanildoVieiraDeSouza het volgende:
Goedenavond,

Ik moet het minimum en maximum van een functie bepalen gerestricteerd aan een andere functie.
E: x^2 + xy + y^2, gestricteerd aan functie G: x+y = 9. Ik denk dat ik hierbij de Extreme Value Theorem niet kan gebruiken omdat het een closed, unbounded interval is. Ik weet niet welke stap ik dan wel zou kunnen nemen om het minimum en maximum te bepalen?

Door even nadenken denk ik te kunnen zien dat het minimum 0 is, maar dat is natuurlijk niet zoals je dit probleem moet oplossen. De eerste afgeleiden helpen mij ook niet heel veel verder in deze kwestie?

Bij voorbaat dank.

Edit:
Of is het zo dat ik dan de tweede-afgeleide test voor lokale extremen moet gebruiken? Alhoewel ik dan nog met het punt zit of de waarden voor x en y in de 'interior' van het domein liggen, ik weet dus niet of de functie convex is in het gerestricteerde domein?

In dit specifieke voorbeeld kun je gewoon y=9-x invullen.
pi_146231191
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 21:14 schreef thabit het volgende:

[..]

In dit specifieke voorbeeld kun je gewoon y=9-x invullen.
Als ik dit uitwerk kom ik uit op -x^2 + 9x + 81.
De eerste afgeleide (-2x+9=0) geeft als uitkomst x=4,5 (en y is dus ook 4,5)
het punt (4,5. 4,5) is dus een globaal maximum?
En ik ben even vergeten hoe ik dan het minimum bepaal (en deze classificeer) :o

Bij voorbaat dank!
pi_146231825
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 21:32 schreef GivanildoVieiraDeSouza het volgende:

[..]

Als ik dit uitwerk kom ik uit op -x^2 + 9x + 81.
De eerste afgeleide (-2x+9=0) geeft als uitkomst x=4,5 (en y is dus ook 4,5)
het punt (4,5. 4,5) is dus een globaal maximum?
En ik ben even vergeten hoe ik dan het minimum bepaal (en deze classificeer) :o

Bij voorbaat dank!
Als dat eruit komt en er geen verdere voorwaarden op x en y zijn (zoals x,y ≥ 0), dan zal er in dit geval geen minimum zijn.
pi_146231910
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 21:32 schreef GivanildoVieiraDeSouza het volgende:

[..]

Als ik dit uitwerk kom ik uit op -x^2 + 9x + 81.
De eerste afgeleide (-2x+9=0) geeft als uitkomst x=4,5 (en y is dus ook 4,5)
het punt (4,5. 4,5) is dus een globaal maximum?
En ik ben even vergeten hoe ik dan het minimum bepaal (en deze classificeer) :o

Bij voorbaat dank!
Je gaat hier een beetje de mist in met plusjes en minnetjes (of ik, dat kan ook). Hoe dan ook, het punt 4.5, 4.5 klopt wel weer met mijn berekeningen. Het slimste om te doen is even na te denken over hoe de grafiek eruit ziet, en dan is het wel degelijk van belang dat je de goede functie hebt.

Een simpele test om fouten te ontdekken is om de waarden te vergelijken (het kan zijn dat hier toevallig hetzelfde uitkomt, maar de meeste fouten zal je hier wel mee ontdekken). Als je bijvoorbeeld x=1 (dus y=8) neemt, geeft jouw functie 89, terwijl de oorspronkelijke functie 73 geeft. Je bent dus ergens de fout ingegaan.
pi_146233388
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 21:43 schreef defineaz het volgende:

[..]

Je gaat hier een beetje de mist in met plusjes en minnetjes (of ik, dat kan ook). Hoe dan ook, het punt 4.5, 4.5 klopt wel weer met mijn berekeningen. Het slimste om te doen is even na te denken over hoe de grafiek eruit ziet, en dan is het wel degelijk van belang dat je de goede functie hebt.

Een simpele test om fouten te ontdekken is om de waarden te vergelijken (het kan zijn dat hier toevallig hetzelfde uitkomt, maar de meeste fouten zal je hier wel mee ontdekken). Als je bijvoorbeeld x=1 (dus y=8) neemt, geeft jouw functie 89, terwijl de oorspronkelijke functie 73 geeft. Je bent dus ergens de fout ingegaan.
Je hebt gelijk, het is x^2 - 9x + 81. Slordige fout.
Verder heb ik nog één vraag met betrekking tot dit onderwerp:
Ik moet het minimum en maximum van de functie f(x,y) = x^3 - xy^2 + 2y^2 -3x bepalen gerestricteerd aan de voorwaarden, H = {(x,y): x^2 + y^2 ≤ 13, x ≥ 0 en y ≥ 0. Doordat dit wel een closed, bounded interval in een continuous function is weet ik door de Extreme Value Theorem dat er een maximum en een minimum bestaat, de kandidaten hiervoor zijn stationaire punten, grenspunten en punten waarin de afgeleide niet bestaat (zijn er in deze functie niet).
De eerste afgeleide naar f'x(x,y) = 3x^2 + y^2 -3
De eerste afgeleide naar f'y(x,y) = 2yx + 4y
Ik zit vervolgens vast omdat ik niet weet hoe ik de stationaire punt(en)? moet bepalen. (Ik weet wel dat f'x(x,y) en f'y(x,y) de waarde 0 zal moeten aannemen.

Voor het bepalen van de grenspunten moet ik y^2 = 13 - x^2 in de functie invullen. Waarbij x door het interval [-√13, 13] loopt. Of maak ik hierbij ook een fout? Na dit vraagstuk zal ik jullie niet meer lastigvallen maar, alvast mijn hartelijke dank!
pi_146234024
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 22:07 schreef GivanildoVieiraDeSouza het volgende:

[..]

Je hebt gelijk, het is x^2 - 9x + 81. Slordige fout.
Verder heb ik nog één vraag met betrekking tot dit onderwerp:
Ik moet het minimum en maximum van de functie f(x,y) = x^3 - xy^2 + 2y^2 -3x bepalen gerestricteerd aan de voorwaarden, H = {(x,y): x^2 + y^2 ≤ 13, x ≥ 0 en y ≥ 0. Doordat dit wel een closed, bounded interval in een continuous function is weet ik door de Extreme Value Theorem dat er een maximum en een minimum bestaat, de kandidaten hiervoor zijn stationaire punten, grenspunten en punten waarin de afgeleide niet bestaat (zijn er in deze functie niet).
De eerste afgeleide naar f'x(x,y) = 3x^2 + y^2 -3
De eerste afgeleide naar f'y(x,y) = 2yx + 4y
Ik zit vervolgens vast omdat ik niet weet hoe ik de stationaire punt(en)? moet bepalen. (Ik weet wel dat f'x(x,y) en f'y(x,y) de waarde 0 zal moeten aannemen.
Wel, die twee afgeleiden gelijkstellen aan 0, en vervolgens dat stelsel proberen op te lossen.
quote:
Voor het bepalen van de grenspunten moet ik y^2 = 13 - x^2 in de functie invullen. Waarbij x door het interval [-√13, 13] loopt. Of maak ik hierbij ook een fout? Na dit vraagstuk zal ik jullie niet meer lastigvallen maar, alvast mijn hartelijke dank!
x zal hier in het interval [-√13, √13] moeten zitten.
pi_146234846
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 19:22 schreef thabit het volgende:

[..]

Wel,
|\int_a^b \cos(x) p x^{-p-1} dx| \leq \int_a^b px^{-p-1}dx = \frac{1}{a^p}-\frac{1}{b^p}
Die integraal rechts convergeert, juist omdat de integrand (minus) de afgeleide is van x-p, en x-p gaat naar 0 als x naar oneindig gaat.

Deze methode is algemeen toepasbaar op integralen van de vorm ∫f(x)g(x)dx, waarbij f(x)dx een begrensde primitieve heeft, en g(x) positief en dalend is en naar 0 convergeert. In dit voorbeeld heb je f(x)=sin(x) en g(x)=x-p.
Maar natuurlijk, hartstikke bedankt voor je heldere uitleg!

Ik heb nog een laatste vraag met betrekking tot maten en Borel sigma-algebras, en dat is het volgende:
Ik heb  \mathcal{A} , de Borel sigma-algebra, op  \Omega = [0,\infty), en we hebben  \mu een sigma-eindige maat gedefinieerd op  \mathcal{A}.
Nu beschouw ik de functie  f(x) = \mu ([x,\infty)) met  x \geq 0 . Hoe kan ik laten zien dat f meetbaar is met respect tot  \mathcal{A}?
Als hint staat gegeven om het gedrag te bestuderen wanneer we x vergroten.
pi_146235941
Ik neem aan dat μ eindig moet zijn en niet σ-eindig? Anders zou μ([x,∞)) in het algemeen oneindig kunnen zijn.

Anyway, de enige eigenschap van f die je nodig hebt is dat-ie monotoon is.

[ Bericht 25% gewijzigd door thabit op 02-11-2014 23:01:57 ]
pi_146236646
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 22:17 schreef thabit het volgende:

[..]

Wel, die twee afgeleiden gelijkstellen aan 0, en vervolgens dat stelsel proberen op te lossen.

[..]

x zal hier in het interval [-√13, √13] moeten zitten.
Door dit stelsel op te lossen krijg ik x=2 en y=3 -> (2,3) is dus het enige stationaire punt. Vervolgens substitueer ik y^2 door 13 - x^2. De functie wordt dan volgensmij 2x^3 - 2x^2 - 16x + 26. De afgeleide hiervan is 6x^2 - 4x - 16. Door deze functie gelijk te stellen aan 0 kan in het stationaire punt van deze functie berekenen. Normaal zou ik het herschrijven als (x+?)(x-?) maar dat lukt me nu niet, een suggestie misschien?. De andere grenspunten zijn x = √-13 y =0 (√-13,0) en , x = √13 en y = 0 (√13,0) door alle stationaire en grenspunten vervolgens in de originele functie in te vullen vind ik het minimum en maximum.
pi_146236970
quote:
0s.gif Op zondag 2 november 2014 22:48 schreef thabit het volgende:
Ik neem aan dat μ eindig moet zijn en niet σ-eindig? Anders zou μ([x,∞)) in het algemeen oneindig kunnen zijn.
Zo staat de vraag wel in het boek, maar dat kan een drukfout zijn natuurlijk, ik heb de errata er nog niet op nageslagen.
Als \mu eindig is, komt de vraag dan wel uit?

Ik probeerde de volgende stelling te gebruiken om dit vraagstuk op te lossen; propositie 3.5 uit https://www.math.ucdavis.(...)easure_notes_ch3.pdf

Maar ik krijg het bewijs niet rond.
pi_146266191
Goedenavond allen,

Iemand die mij met de volgende vraag m.b.t. de nutsoptimalisatie kan helpen?



Ik snap namelijk niet wat ik zou moeten doen, aangezien ik gewend ben om functies te maximaliseren a.d.h.v. de Lagrange functie waar gebruik werd gemaakt van een functie met een functievoorwaarden/functiebeperking.
pi_146267010
quote:
0s.gif Op maandag 3 november 2014 19:50 schreef Super-B het volgende:
Goedenavond allen,

Iemand die mij met de volgende vraag m.b.t. de nutsoptimalisatie kan helpen?

[ afbeelding ]

Ik snap namelijk niet wat ik zou moeten doen, aangezien ik gewend ben om functies te maximaliseren a.d.h.v. de Lagrange functie waar gebruik werd gemaakt van een functie met een functievoorwaarden/functiebeperking.
Jullie dictaten mogen wel eens beter op formuleringen, spelfouten en typo's worden gecontroleerd. Hint: Tom kan zijn geld maar één keer uitgeven, dus wat weet je over de betrekking tussen X, Y, Px, Py en M?
pi_146270441
quote:
0s.gif Op maandag 3 november 2014 20:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jullie dictaten mogen wel eens beter op formuleringen, spelfouten en typo's worden gecontroleerd. Hint: Tom kan zijn geld maar één keer uitgeven, dus wat weet je over de betrekking tussen X, Y, Px, Py en M?
Px * X = totale prijs voor goed X

Py * Y = totale prijs voor goed X

Px * X + Py * Y = M

Alpha en Beta zijn constanten
pi_146271849
quote:
0s.gif Op maandag 3 november 2014 21:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Px * X = totale prijs voor goed X

Py * Y = totale prijs voor goed X
Nee, voor Y. Maar dit zal een typo zijn. Zorgvuldiger je tekst controleren voordat je post
quote:
Px * X + Py * Y = M

Alpha en Beta zijn constanten
Inderdaad. Maar er zijn verschillende problemen met de redactie van je opgave. Om te beginnen worden hier de letters X en Y gebruikt voor de namen van de twee goederen die Tom aanschaft, maar tevens voor de aantallen van elk van die goederen, en dat klopt natuurlijk al niet. Verder is de opgave strict genomen niet te beantwoorden, want het staat Tom vrij om bijvoorbeeld zijn volledige vermogen te spenderen aan uitsluitend goed X of aan uitsluitend goed Y. Maar de bedoeling is kennelijk dat Tom de nutsfunctie U(X,Y) van zijn aanschaf wil optimaliseren. Alleen had dat wel expliciet in de opgave moeten staan.
  dinsdag 4 november 2014 @ 12:21:38 #296
405279 droommoord
houdt van palindromen
pi_146287584
Hoi kan iemand hiermee helpen?

Vraag: Bereken de Relative Risk Aversion (RRA), en zeg of hij decreasing/inreasing/constant is. Met U= Y^0.5

De formule van RRA weet ik: U''/U' .
U' = 0.5Y^-0.5
U'' = -0.25Y^-1.5
Tot zo ver goed?

nouja dan kom ik dus op: (-0.25Y^-1.5) / (0.5Y^-0.5), hier stopt het voor mij :') kan iemand uitleggen hoe je dit kan brengen naar iets simpels, waaruit ik kan concluderen of het groeit, krimpt of constant is?
"I never sleep, cause sleep is the cousin of death"
pi_146288851
quote:
0s.gif Op dinsdag 4 november 2014 12:21 schreef droommoord het volgende:
Hoi kan iemand hiermee helpen?

Vraag: Bereken de Relative Risk Aversion (RRA), en zeg of hij decreasing/inreasing/constant is. Met U= Y^0.5

De formule van RRA weet ik: U''/U' .
U' = 0.5Y^-0.5
U'' = -0.25Y^-1.5
Tot zo ver goed?

nouja dan kom ik dus op: (-0.25Y^-1.5) / (0.5Y^-0.5), hier stopt het voor mij :') kan iemand uitleggen hoe je dit kan brengen naar iets simpels, waaruit ik kan concluderen of het groeit, krimpt of constant is?
Mis je geen minteken in je formule?

Gebruik de rekenregel

ap / aq = ap-q
  dinsdag 4 november 2014 @ 13:11:39 #298
405279 droommoord
houdt van palindromen
pi_146289111
quote:
0s.gif Op dinsdag 4 november 2014 13:02 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Mis je geen minteken in je formule?

Gebruik de rekenregel

ap / aq = ap-q
nope, in het boek staat letterlijk U''/U'
Ik was het al aan het proberen met die rekenregel, maar die heb ik volgens mij niet helemaal onder de knie. Ik kom uit op
(-0.25Y^-1.5) / (0.5Y^-0.5) = (-0.25/0.5)Y^-1 = -0.5Y^-1 oftewel decreasing, en dit klopt volgens het antwoorden boekje :D Dank :) (snap nog niet hoe ik er eerder niet uitkwam en nu ineens wel :?)
"I never sleep, cause sleep is the cousin of death"
pi_146289355
Maar -0.5Y^-1 is increasing.
Je uitwerking lijkt goed, maar daarom vroeg ik me af of er niet ergens een minteken hoort.
pi_146289967
quote:
0s.gif Op dinsdag 4 november 2014 12:21 schreef droommoord het volgende:
Hoi kan iemand hiermee helpen?

Vraag: Bereken de Relative Risk Aversion (RRA), en zeg of hij decreasing/inreasing/constant is. Met U= Y^0.5

De formule van RRA weet ik: U''/U' .
U' = 0.5Y^-0.5
U'' = -0.25Y^-1.5
Tot zo ver goed?

nouja dan kom ik dus op: (-0.25Y^-1.5) / (0.5Y^-0.5), hier stopt het voor mij :') kan iemand uitleggen hoe je dit kan brengen naar iets simpels, waaruit ik kan concluderen of het groeit, krimpt of constant is?
Is de formule voor RRA niet  -\frac{U ' '}{U '}

Dan kom je uit op \frac{1}{2y} welke inderdaad een dalende functie is (voor positieve y).
pi_146296727
quote:
0s.gif Op dinsdag 4 november 2014 12:21 schreef droommoord het volgende:
Hoi kan iemand hiermee helpen?

Vraag: Bereken de Relative Risk Aversion (RRA), en zeg of hij decreasing/inreasing/constant is. Met U= Y^0.5

De formule van RRA weet ik: U''/U' .
U' = 0.5Y^-0.5
U'' = -0.25Y^-1.5
Tot zo ver goed?

nouja dan kom ik dus op: (-0.25Y^-1.5) / (0.5Y^-0.5), hier stopt het voor mij :') kan iemand uitleggen hoe je dit kan brengen naar iets simpels, waaruit ik kan concluderen of het groeit, krimpt of constant is?
Bereken je niet de ARA (absolute risk aversion) hier, en vergeet je geen minteken?
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')