[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op zondag 12 oktober 2014 22:33 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Heb je ooit uitleg gehad over de achtergrond van differentiëren, met limieten en dergelijke?

Ja tot op zekere hoogte. Ik weet van de volgende onderwerpen af:

-Differentiëren (constante, som-, product-, quotiëntregel)

-Limieten berekenen

-L'hopital

Wat betreft de achtergrond: ik heb wel bepaalde theorie waar ik dus nog niet alles van begrijp zoals de differentieerbaarheid, newton quotient en de afgeleiden berekenen met de standaard rate of change formule i.p.v. standaardregels.


Omdat de achtergrond van het differentieren er niet goed in zit bij mij, stel ik mijzelf veel waarom vragen en dan stel ik mij de vragen, zoals gesteld op de vorige pagina.

quote:

Op zondag 12 oktober 2014 22:31 schreef GoldenHeart het volgende:
Hallo wiskundigen,
Ik zat te denken over differentieerbaarheid en ik vroeg mij dus het volgende af:
-Waarom is | x | niet differentieerbaar in het punt x= 0? Ik weet dat er op dat punt een knik is, echter vraag ik mij af hoe dit te berekenen is, evenals hoe je kunt berekenen of | x | differentieerbaar is in het punt x=2.
Kort samengevat: hoe kun je de differentieerbaarheid in bepaalde punten berekenen?

Differentieerbaarheid bereken je niet maar toon je aan. Begin maar eens met deze post van mij goed door te nemen.

quote:

Op zondag 12 oktober 2014 22:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Differentieerbaarheid bereken je niet maar toon je aan. Begin maar eens met deze post van mij goed door te nemen.

Ik had mij even beperkt tot het stuk m.b.t. differentieerbaarheid en daar impliceer je dat de differentieerbaarheid te berekenen is d.m.v. de definitie van de afgeleide. Echter vraag ik mij af of er ook dit aan te tonen is d.m.v. een tweede methode; zoals het direct te bepalen van de afgeleide (d.m.v. de regels) en verbolgens dan wat met het punt (laten we stellen) x = 2 moeten doen (zoals invullen in f(x) of f'(x) ).

quote:

Op zondag 12 oktober 2014 22:47 schreef GoldenHeart het volgende:
[..]
Ik had mij even beperkt tot het stuk m.b.t. differentieerbaarheid en daar impliceer je dat de differentieerbaarheid te berekenen is d.m.v. de definitie van de afgeleide. Echter vraag ik mij af of er ook dit aan te tonen is d.m.v. een tweede methode; zoals het direct te bepalen van de afgeleide (d.m.v. de regels) en verbolgens dan wat met het punt (laten we stellen) x = 2 moeten doen (zoals invullen in f(x) of f'(x) ).

Differentieerbaarheid is een eigenschap, en eigenschappen toon je aan. Het hellingsgetal op een bepaalde plek is een getal, en die kan je berekenen.
Wat je weet van differentieerbaarheid zijn een aantal rekenregels voor het differentiëren van bepaalde functies. Afhankelijk van wat je precies moet kunnen zou je daar nog wel een heel eind mee kunnen komen, maar voor je kennis van het begrip 'differentieerbaarheid', en ook hoe die rekenregels nou precies tot stand zijn gekomen, is meer achtergrondkennis nodig. Zie de link van Riparius. Die kennis heb je eigenlijk wel nodig om op een nette manier differentieerbaarheid te kunnen aantonen.

Blijft het bij huis-, tuin- en keukenfuncties, zoals f(x) = |x|, dan kun je met wat rekenregels nog wel een eind komen.
Omdat f(x) = x voor x>0 en f(x) = -x voor x<0, kun je met de jou bekende rekenregels makkelijk zien dat f'(x) = 1 (voor x>0) en f'(x) = -1 (voor x<0).
Wil een functie f in een bepaald punt a differentieerbaar zijn, dan zal lim_{x →a}f'(x) moeten bestaan. Voor x=2 is dit wel duidelijk.
Voor x=0 is vrij makkelijk te zien dat f daar niet differentieerbaar is, omdat
lim_{x ↓0}f'(x) = 1, en lim_{x ↑0}f'(x) = -1

quote:

Op zondag 12 oktober 2014 22:57 schreef Janneke141 het volgende:
[..]

Wil een functie f in een bepaald punt a differentieerbaar zijn, dan zal lim_{x →a}f'(x) moeten bestaan.

Nee Janneke, dit is niet waar. Kijk hier maar eens.

quote:

Op zondag 12 oktober 2014 23:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee Janneke, dit is niet waar. Kijk hier maar eens.

Wel voor huis-, tuin- en keukenfuncties

Maar je hebt (uiteraard) gelijk.

quote:

Op zondag 12 oktober 2014 22:47 schreef GoldenHeart het volgende:
[..]
Ik had mij even beperkt tot het stuk m.b.t. differentieerbaarheid en daar impliceer je dat de differentieerbaarheid te berekenen is d.m.v. de definitie van de afgeleide. Echter vraag ik mij af of er ook dit aan te tonen is d.m.v. een tweede methode; zoals het direct te bepalen van de afgeleide (d.m.v. de regels) en vervolgens dan wat met het punt (laten we stellen) x = 2 moeten doen (zoals invullen in f(x) of f'(x) ).

Nee, want dan maak je je schuldig aan een petitio principii. Dat wil zeggen dat je datgene wat je wil bewijzen al op voorhand voor waar aanneemt, en dan bewijs je niets. Die regels die jij wil toepassen gelden namelijk voor differentieerbare functies, dus als je op die regels steunt, dan neem je impliciet al differentieerbaarheid aan en is je 'bewijs' dus sowieso ongeldig.

Ik lees soms door deze reeks omdat ik het wel kan waarderen dat wiskunde een soort apart taaltje is, waardoor ik een Nederlandse tekst kan lezen en toch geen flauw idee heb waar het over gaat

+ omdat het cool is dat hier mensen zitten die anderen écht helpen iets te begrijpen

Hey, daar ben ik weer en ik heb weer eens wat vragen. Ditmaal over partiële afgeleiden. Ik hoop dat iemand mij uit de brand kan helpen:

Ik zou de partiële elasticiteit van z = xⁿe^xyⁿe^y moeten vinden voor z with respect to x ( d z / d x).

Hierbij heb ik de volgende elasticiteitsformule gebruikt: (x / z) * (d z / d x)

( x / xⁿe^xyⁿe^y ) * nx^n-1e^xyⁿe^y

Dit maakt:

x * ( nx^n-1e^xyⁿe^y ) / xⁿe^xyⁿe^y

de -1 exponent eruit halen door x ^-1 buiten de haakjes te halen, evenals de n, zodat zowel de noemer als teller gedeeld kunnen worden door één dezelfde term:


x * x ^-1 * n ( x^n-1e^xyⁿe^y ) / xⁿe^xyⁿe^y


Het antwoord wordt dus gewoon = n

Echter moet het x + n zijn...


Tenslotte:


''let z = x1^p ...... xn^p exp(a1x1 + ...... + an xn) , where a1, ..... , an, and p are constants. Find the partial elasticities of z w.r.t. x1, ...... , xn.''

Hoe moet ik dit doen? Ik ben het recht toe recht aan gewend en niet met de sommatie notatie.

[ Bericht 4% gewijzigd door Super-B op 13-10-2014 19:29:03 ]

quote:

Op maandag 13 oktober 2014 19:18 schreef Super-B het volgende:
Hey, daar ben ik weer en ik heb weer eens wat vragen. Ditmaal over partiële afgeleiden. Ik hoop dat iemand mij uit de brand kan helpen:
Ik zou de partiële elasticiteit van z = xⁿe^xyⁿe^y moeten vinden voor z with respect to x ( d z / d x).
Hierbij heb ik de volgende elasticiteitsformule gebruikt: (x / z) * (d z / d x)
( x / xⁿe^xyⁿe^y ) * nx^n-1e^xyⁿe^y
Dit maakt:
x * ( nx^n-1e^xyⁿe^y ) / xⁿe^xyⁿe^y
de -1 exponent eruit halen door x ^-1 buiten de haakjes te halen, evenals de n, zodat zowel de noemer als teller gedeeld kunnen worden door één dezelfde term:
x * x ^-1 * n ( x^n-1e^xyⁿe^y ) / xⁿe^xyⁿe^y
Het antwoord wordt dus gewoon = n
Echter moet het x + n zijn...

Je moet de productregel gebruiken, dz/dx ≠ nx^n-1e^xyⁿe^y.

quote:

Op maandag 13 oktober 2014 19:33 schreef zerak het volgende:
[..]
Je moet de productregel gebruiken, dz/dx ≠ nx^n-1e^xyⁿe^y.

Dat komt vanwege de e^x neem ik aan? Hoe moet ik bovendien de overige constante zien (y^n en e^y)? Moet ik die even wegdenken of..?

quote:

Op maandag 13 oktober 2014 19:39 schreef Super-B het volgende:
[..]
Dat komt vanwege de e^x neem ik aan? Hoe moet ik bovendien de overige constante zien (y^n en e^y)? Moet ik die even wegdenken of..?

Inderdaad. yⁿe^y behandel je gewoon als elke andere constante.
Je krijgt hier dz/dx = nx^n-1e^xyⁿe^y + xⁿe^xyⁿe^y.

Schrijf . Dan heb je

quote:

Op maandag 13 oktober 2014 19:41 schreef zerak het volgende:
[..]
Inderdaad. yⁿe^y behandel je gewoon als elke andere constante.
Je krijgt hier dz/dx = nx^n-1e^xyⁿe^y + xⁿe^xyⁿe^y.

quote:

Op maandag 13 oktober 2014 19:49 schreef Novermars het volgende:
Schrijf . Dan heb je

Top, bedankt!

quote:

Op maandag 13 oktober 2014 19:18 schreef Super-B het volgende:
Tenslotte:
''let z = x1^p ...... xn^p exp(a1x1 + ...... + an xn) , where a1, ..... , an, and p are constants. Find the partial elasticities of z w.r.t. x1, ...... , xn.''
Hoe moet ik dit doen? Ik ben het recht toe recht aan gewend en niet met de sommatie notatie.

Je hebt dus z(x_i) = x_i^pe^ai·xi voor i ∈ {1, ...., n}.
z'(x_i) = px_i^p-1e^ai·xi + a_ix_i^pe^ai·xi.

El_zi = x/z(x_i) * z'(x_i) = ((p + a_ix_i) x_i^pe^ai·xi) / (x_i^pe^ai·xi) = p + a_ix_i.

[ Bericht 0% gewijzigd door zerak op 13-10-2014 20:49:45 ]

Hoi, zou iemand mij met een kleine onduidelijkheid kunnen helpen?

Het vraagstuk dat ik moet oplossen is als volgt:

Find dz / dt for the following cases:

z =(x - y) / (x + y), x = e^{t +s} , y = e^ts

Ik heb het antwoord opgezocht in een antwoordenmodel op het internet en het antwoord luidt:



Ik heb exact hetzelfde antwoord op één iets na en dat is dat ik in het rechterdeel op -2x uitkom i.p.v -2sx..

Omdat ik het oplos met de quotientregel, was mijn methode voor het rechterdeel als volgt:

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2014 11:26 schreef GoldenHeart het volgende:
Find dz / dt for the following cases:

Kettingregel. Wat is de afgeleide van exp(ts) naar t?

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2014 11:28 schreef Novermars het volgende:
[..]
Kettingregel. Wat is de afgeleide van exp(ts) naar t?

s, ow.. ik heb hem al door... Dankjewel voor de wake-up call.

Weer een vraag vanuit mijn kant:

If u = ln (x³ + y³ + z³ - 3xyz ), show that:

( i ) x * du/dx + y * du/dy + z * du/dz = 3

&

(ii) (x + y + z) (du/dx + du/dy + du/dz) = 3

( i ) Ik kom toch echt uit op: 3 + 3 + 3 = 9 i.p.v 3. Want als ik x * du/dx bereken, dan kom ik uit op 3 want ik krijg de mogelijkheid (na het berekenen van de afgeleide en het vermenigvuldigen van x) om zowel de teller als de noemer te delen door wat er in de noemer staat..zodat er alleen 3 overblijft, en dit geldt dan ook voor y * du/dy en z * du/dz

(ii) ik heb de afgeleiden berekend, maar hoe kan ik bewijzen dat het gelijk is aan 3 uiteindelijk? Want ik weet niet hoe ik dat kan laten zien met nog de vermenigvuldigen met (x + y + z) ernaast.. Ik 'zie het' niet zeg maar.

Laat je werk maar zien. Wolfram|alpha geeft een verschrikkelijke afgeleide en ik heb geen zin om alles uit te werken.

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2014 13:20 schreef Novermars het volgende:
Laat je werk maar zien. Wolfram|alpha geeft een verschrikkelijke afgeleide en ik heb geen zin om alles uit te werken.

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2014 13:24 schreef GoldenHeart het volgende:
[..]
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]

Prachtig toch? Als je dat nog even optelt krijg je 3v/v = 3.

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2014 13:38 schreef Riparius het volgende:
[..]
Prachtig toch? Als je dat nog even optelt krijg je 3v/v = 3.

Ow top!

Nog een vraagstuk:

Find y'' for y⁵ - x⁶ = 0

Eerst ging ik op zoek naar y'

5y⁴ * y' - 6x⁵ = 0

y' = 6x⁵ / 5y⁴ = 0

Nu y'' berekenen:

20y³ * y' * y' + 5y⁴ * y'' - 30x⁴ = 0

y' invullen voor bovenstaande levert:

(120x⁵y³ / 5y⁴) *( 6x⁵ / 5y⁴) + 5y⁴ * y'' - 30x⁴ = 0

(720x¹⁰y³ / 25y⁸ )+ 5y⁴ * y'' = 30x⁴

Breuk delen door 5:

(144x¹⁰ / 5y⁵) + 5y⁴ * y'' = 30x⁴

y'' = (6x⁴ / y⁴ ) - (144x¹⁰ / 5y⁵)

Doe ik het goed?

[ Bericht 0% gewijzigd door GoldenHeart op 14-10-2014 15:21:12 ]

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2014 13:58 schreef GoldenHeart het volgende:
[..]
Ow top!
Nog een vraagstuk:
Find y'' for y⁵ - x⁶
Eerst ging ik op zoek naar y'
5y⁴ * y' - 6x⁵
y' = 6x⁵ / 5y⁴

STOP. Waar komt dat =-teken opeens vandaan?

Kijk nog eens goed naar de precieze formulering van het vraagstuk. Je lijdt aan dezelfde kwaal als veel anderen hier de laatste tijd, namelijk het negeren van =-tekens en hetgeen rechts daarvan staat om het =-teken dan als het je zo uitkomt plotseling weer op te laten duiken. Maar dat is geen geldige herleiding. Zoals jij de vraag weergeeft is die niet te beantwoorden.

quote:

Doe ik het goed?

Nee.

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2014 14:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
STOP. Waar komt dat =-teken opeens vandaan?
Kijk nog eens goed naar de precieze formulering van het vraagstuk. Je lijdt aan dezelfde kwaal als veel anderen hier de laatste tijd, namelijk het negeren van =-tekens en hetgeen rechts daarvan staat om het =-teken dan als het je zo uitkomt plotseling weer op te laten duiken. Maar dat is geen geldige herleiding. Zoals jij de vraag weergeeft is die niet te beantwoorden.
[..]
Nee.

Zie edit.