abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_145431927
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 17:19 schreef Novermars het volgende:
Gebruik of  \LaTeX of de sup/sub tags, nu is het niet duidelijk wat je precies bedoelt.
Hoe kan ik dat gebruiken met machten?
pi_145432019
Hallo , weet iemand het antwoord op nog een vraag van mij, ditmaal heeft het betrekking op het partieel differentiëren. Hopelijk is iemand hier bekend mee.

Er is een gegeven functie: (x-y)/(x+y) en ik zou f' xy moeten berekenen:

Allereerst dus f'x: Dit deed ik door de quotientregel te gebruiken:

 [(x+y )  - (x - y)]  / (x+y)²

 \frac [x+y - x + y] / (x+y)²

2y / (x+y)²

Nu ga ik f'xy berekenen door de d f'x / dy te nemen dmv het quotientregel alweer:

[2 * (x+y)²  - 2y * 2(x+y)] / (x+y) 4 --> Overigens ook de exponent in de noemer vermenigvuldigen met 2.

Alle termen delen door (x+y)

[2 * (x+y) - 4y ] / (x+y)³

Is dit goed? Zo iemand die kunnen controleren voor mij?

[ Bericht 0% gewijzigd door GoldenHeart op 11-10-2014 17:31:26 ]
  zaterdag 11 oktober 2014 @ 17:30:14 #178
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145432237
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 17:23 schreef GoldenHeart het volgende:
Hallo , weet iemand het antwoord op nog een vraag van mij, ditmaal heeft het betrekking op het partieel differentiëren. Hopelijk is iemand hier bekend mee.
Er is een gegeven functie: (x-y)/(x+y) en ik zou f' xy moeten berekenen:
Allereerst dus f'x: Dit deed ik door de quotientregel te gebruiken:
 [(x+y ) - (x - y)] / (x+y)²
[x+y - x + y] / (x+y)²
2y / (x+y)²
Nu ga ik f'xy berekenen door de d f'x / dy te nemen dmv het quotientregel alweer:
[2 * (x+y)²  - 2y * 2(x+y)] / (x+y) 4 --> Overigens ook de exponent in de noemer vermenigvuldigen met 2.
Alle termen delen door (x+y)
[2 * (x+y) - 4y ] / (x+y)³
Is dit goed? Zo iemand die kunnen controleren voor mij?
:D

Quote mijn post even om te zien hoe je een breuk maakt in \LaTeX

\frac{x-y}{x+y}
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145432447
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 17:23 schreef GoldenHeart het volgende:
Hallo , weet iemand het antwoord op nog een vraag van mij, ditmaal heeft het betrekking op het partieel differentiëren. Hopelijk is iemand hier bekend mee.
Er is een gegeven functie: (x-y)/(x+y) en ik zou f' xy moeten berekenen:
Allereerst dus f'x: Dit deed ik door de quotientregel te gebruiken:
 [(x+y ) - (x - y)] / (x+y)²
 \frac [x+y - x + y] / (x+y)²
2y / (x+y)²
Nu ga ik f'xy berekenen door de d f'x / dy te nemen dmv het quotientregel alweer:
[2 * (x+y)²  - 2y * 2(x+y)] / (x+y) 4 --> Overigens ook de exponent in de noemer vermenigvuldigen met 2.
Alle termen delen door (x+y)
[2 * (x+y) - 4y ] / (x+y)³
Is dit goed? Zo iemand die kunnen controleren voor mij?
Ten eerste is het niet te lezen.
Ten tweede is je notatie niet duidelijk.
pi_145432521
Ik maak zodirect wel een foto van mijn schrift en dan upload ik het wel hier.
pi_145432705
Ja het is goed.
2(x+y) - 4y kan je nog schrijven als 2(x-y)
  zaterdag 11 oktober 2014 @ 18:07:09 #182
417219 zerak
Exile Vilify
pi_145432758
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 17:23 schreef GoldenHeart het volgende:
Hallo , weet iemand het antwoord op nog een vraag van mij, ditmaal heeft het betrekking op het partieel differentiëren. Hopelijk is iemand hier bekend mee.
Er is een gegeven functie: (x-y)/(x+y) en ik zou f' xy moeten berekenen:
Allereerst dus f'x: Dit deed ik door de quotientregel te gebruiken:
 [(x+y ) - (x - y)] / (x+y)²
 \frac [x+y - x + y] / (x+y)²
2y / (x+y)²
Nu ga ik f'xy berekenen door de d f'x / dy te nemen dmv het quotientregel alweer:
[2 * (x+y)²  - 2y * 2(x+y)] / (x+y) 4 --> Overigens ook de exponent in de noemer vermenigvuldigen met 2.
Alle termen delen door (x+y)
[2 * (x+y) - 4y ] / (x+y)³
Is dit goed? Zo iemand die kunnen controleren voor mij?
Na wat ontcijferwerk kan ik melden dat je antwoord klopt. Als je trouwens antwoorden wilt 'checken', kan je ook altijd even kijken op Wolfram. Ik zou je overigens aanraden je eerst enigzins in te lezen over LATEX :P.
pi_145432787
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 18:04 schreef Anoonumos het volgende:
Ja het is goed.
2(x+y) - 4y kan je nog schrijven als 2(x-y)
Momenteel is het te druk voor onze databaseservers om alle verzoeken te kunnen verwerken. De gevraagde pagina kon daardoor niet getoond worden of de gevraagde actie kon niet worden uitgevoerd. Wacht even een ogenblik en probeer het daarna nog eens. <br/><br/><i><small>(:mysql_busy)</small></i>

Enorm bedankt voor jullie tijd en moeite. Ik zal die Wolfram Alpha eens bekijken voortaan en alleen vragen stellen wanneer ik er echt niet uit kom. :)
pi_145434142
quote:
0s.gif Op vrijdag 10 oktober 2014 18:58 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
Wat is de kans dat hij in week 1 wint? Wat is dus de kans dat hij in week 1 niet wint? Wat is dan de kans dat hij in 500 weken niet wint?
De kans dat hij wint is toch 1/1000? Want er zijn 4000 deelnemers waarvan 25% een goede oplossing heeft. Dus de kans dat hij nooit wint is (999/1000)^500.
Weet je toevallig ook het antwoord op de laatste vraag? Want daar kom ik echt niet uit.
En weet je misschien ook hoe je een benadering moet geven op de negatief binomiale verdeling? Kan dat gewoon met Poisson?

[ Bericht 7% gewijzigd door Wouterw17 op 11-10-2014 19:12:54 ]
pi_145435746
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 19:07 schreef Wouterw17 het volgende:
[..]
De kans dat hij wint is toch 1/1000? Want er zijn 4000 deelnemers waarvan 25% een goede oplossing heeft. Dus de kans dat hij nooit wint is (999/1000)^500.
Weet je toevallig ook het antwoord op de laatste vraag? Want daar kom ik echt niet uit.
En weet je misschien ook hoe je een benadering moet geven op de negatief binomiale verdeling? Kan dat gewoon met Poisson?
Hmm.. iets als:

Nulhypothese: De kans op succes is kleiner dan 25%.

Onder de nulhypothese is de kans dat je de eerste 9 keer een foutieve inzending trekt groter dan (3/4)9 = 0.075
(dus de p-waarde is groter dan 0.075, als dat je iets zegt)

(eigenlijk moet je erop corrigeren dat je steeds een foute inzending verwijdert maar dat zal niet veel verschil geven)

Dus we verwerpen de nulhypothese niet, want de kans onder de nulhypothese op de gegeven uitkomst of extremer is groter dan 0.05. (want de p-waarde is kleiner dan het significantieniveau)

Die andere vraag weet ik niet, zou kunnen.
pi_145435954
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 20:03 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
Hmm.. iets als:
Nulhypothese: De kans op succes is kleiner dan 25%.
Onder de nulhypothese is de kans dat je de eerste 9 keer een foutieve inzending trekt groter dan (3/4)9 = 0.075
(dus de p-waarde is groter dan 0.075, als dat je iets zegt)
(eigenlijk moet je erop corrigeren dat je steeds een foute inzending verwijdert maar dat zal niet veel verschil geven)
Dus we verwerpen de nulhypothese niet, want de kans onder de nulhypothese op de gegeven uitkomst of extremer is groter dan 0.05. (want de p-waarde is kleiner dan het significantieniveau)
Die andere vraag weet ik niet, zou kunnen.
Oh je neemt dus eigenlijk een geometrische verdeling onder aanname van de nulhypothese? Wordt de kans dan niet (3/4)^9 * (1/4)? Want dat is uiteindelijk de kans dat je pas na de tiende trekking een goede inzending hebt. En die kans is 0.019 dus een P-waarde kleiner dan het significantieniveau. Dus je verwerpt de nulhypothese wel. Of klopt dat niet?
pi_145436341
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 20:09 schreef Wouterw17 het volgende:
[..]
Oh je neemt dus eigenlijk een geometrische verdeling onder aanname van de nulhypothese? Wordt de kans dan niet (3/4)^9 * (1/4)? Want dat is uiteindelijk de kans dat je pas na de tiende trekking een goede inzending hebt. En die kans is 0.019 dus een P-waarde kleiner dan het significantieniveau. Dus je verwerpt de nulhypothese wel. Of klopt dat niet?
The p-value is the probability under the null hypothesis of a result as or more extreme than that actually observed.

Volgens mij kijk je altijd naar de kans op de data of extremer, maar ik zou het niet met 100% zekerheid durven zeggen.
pi_145442226
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 00:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jouw probleem is hier dat je de Leibniz notatie kennelijk nog niet voldoende begrijpt het daarom zonder die notatie wil stellen. Maar dat is nu precies de reden dat je het overzicht kwijt raakt, in de war raakt, en gaat proberen om je er doorheen te slaan met trucjes en ezelsbruggetjes die je eigenlijk al helemaal niet begrijpt, en waarmee je gegarandeerd fouten gaat maken. Dat moet je dus allemaal niet doen.

De notatie van Leibniz is bij uitstek geschikt om te beschrijven hoe variabelen van elkaar afhangen, omdat deze notatie werkt met namen van variabelen, en niet met namen van functies zoals de notatie van Lagrange. Ook hoeven we zo niet elke afhankelijkheidsrelatie eerst een eigen naam te geven om de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele te kunnen noteren. En, de kettingregel is in de notatie van Leibniz ook nog eens heel transparant en intuïtief en daarmee gemakkelijk te onthouden en op te schrijven, dus wat wil je nog meer?

Hybride notaties zoals y' voor de rate of change van een variabele y in relatie tot een andere variabele (welke andere variabele?) resp. de afgeleide van een functie (hoe heet die functie?) waarbij y de afhankelijke variabele is (maar welke variabele is dan de onafhankelijke variabele?) zijn af te keuren omdat de prime notatie van Lagrange de afgeleide functie f' aangeeft van een functie f en niet de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele. Aan deze hybride notatie ligt dus de verwarring van namen van variabelen met namen van functies ten grondslag, en daarom is deze notatie niet goed.

In feite geeft de prime bij y' alleen maar aan dat dit een andere grootheid is dan y, net zo goed als als de prime bij een punt P' in een meetkundige figuur aangeeft dat dit een ander punt is dan punt P in dezelfde figuur. En uiteraard suggereert de overeenkomst in naamgeving dan dat er een zeker verband bestaat, maar de prime zegt an sich helemaal niets over de aard van dat verband. In een meetkundige figuur kan punt P' bijvoorbeeld het beeld zijn van punt P bij een translatie (om maar wat te noemen), en als punt P bijvoorbeeld de coördinaten (x, y) heeft, dan zouden we de coördinaten van punt P' heel goed kunnen noteren als (x', y'), maar het is duidelijk dat de primes hier niets met differentiëren van doen hebben.

De verwarring tussen namen van functies en namen van variabelen wordt nog verder in de hand gewerkt door een notatie als s(p) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat s een variabele is die afhangt van een andere variabele p, versus een notatie als f(x) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat f een functie is waarbij x de onafhankelijke variabele is en waarbij de notatie f(x) staat voor de bij die variabele x behorende functiewaarde. En nu weet ik ook wel dat hybride notaties als y' vaak worden gebruikt, ik gebruik ze zelf ook, maar zeker in het (elementaire) onderwijs zouden dit soort notaties vermeden moeten worden omdat ze getuigen van een conceptuele verwarring en die het studenten die de materie proberen te doorgronden daarmee nog lastiger maakt dan het voor velen kennelijk toch al is.

Heb je nu een variabele s die afhangt van een variabele p, dan hebben we voor de zogeheten elasticiteit Es(p) in de notatie van Leibniz

\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,\left(\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\right)^{-1}\,=\,\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p

Zo zie je dus dat we ds/dp moeten vemenigvuldigen met p/s om een uitdrukking voor de elasticiteit van s ten opzichte van p te verkrijgen, waarbij we s in het quotiënt p/s dan uiteraard in p uitdrukken. Heb je nu s = pp·ln p dan is het enige lastige eigenlijk de bepaling van ds/dp, maar het aardige is dat we hier voor de bepaling van de elasticiteit een directe bepaling van ds/dp kunnen vermijden, als volgt.

Noteren we ds/dp als s'(p) dan hebben we blijkens bovenstaande herleiding ook

Es(p)\,=\,\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p

en zo zie je wellicht duidelijker dat we ook gebruik kunnen maken van logaritmisch differentiëren, want de afgeleide van ln s(p) naar p is immers s'(p)/s(p) en dit hoeven we dan alleen nog te vermenigvuldigen met p om een uitdrukking in p voor Es(p) te verkrijgen.

Dus, om je opgave nog even uit te werken in pseudo Lagrange notatie (pseudo omdat s een naam is van een variabele, en geen naam van een functie) doen we het volgende. We hebben

s(p)\,=\,p^p\,\cdot\,\ln\,p

Van beide leden de natuurlijke logaritme nemen geeft

\ln\,s(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,\ln(\ln\,p)

Nu beide leden differentiëren naar p en we krijgen

\frac{s'(p)}{s(p)}\,=\,1\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,\cdot\,\frac{1}{p}\,+\,\frac{1}{\ln\,p}\,\cdot\,\frac{1}{p}

dus

\frac{s'(p)}{s(p)}\,=\ln\,p\,+\,1\,+\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}

Nu moeten we de uitdrukking in het rechterlid nog vermenigvuldigen met p om de elasticiteit Es(p) in p uit te drukken, dus hebben we

Es(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,\cdot\,1\,+\,p\,\cdot\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}

en dit geeft

Es(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,+\,\frac{1}{\ln\,p}

Nu werd de elasticiteit gevraagd voor p = e, dus vullen we dit in en dan vinden we

Es(e)\,=\,e\,\cdot\,\ln\,e\,+\,e\,+\,\frac{1}{\ln\,e}\,=\,e\,+\,e\,+\,1\,=\,2e\,+\,1

Het kan dus allemaal best zonder Leibniz, en zonder de draad kwijt te raken, maar je hebt de Leibniz notatie toch nodig om te begrijpen wat er wordt bedoeld met een notatie als

\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}

als definitie voor de elasticiteit van een (positieve) variabele s die afhangt van een (positieve) variabele p, en ook om op een eenvoudige en overzichtelijke wijze in te zien dat dit gelijk is aan

\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p

oftewel

\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p

Die p he die vermenigvuldigt moet worden om de elasticiteit te vinden (d p / d ln p ). Kun je die uitwerking geven?
pi_145442803
quote:
1s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 23:25 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Die p he die vermenigvuldigt moet worden om de elasticiteit te vinden (d p / d ln p ). Kun je die uitwerking geven?
Die staat verdomme in de tekst die je quote.
Je kan me niet zeggen dat je alles leest. Blijkt wel dat je alleen het laatste leest, zoals ik al eerder zei
pi_145443653
quote:
1s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 23:40 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Die staat verdomme in de tekst die je quote.
Je kan me niet zeggen dat je alles leest. Blijkt wel dat je alleen het laatste leest, zoals ik al eerder zei
Nee hoor. Ik snap het gewoon niet. Het ging ook de hele tijd om die p..
pi_145444746
quote:
1s.gif Op zondag 12 oktober 2014 00:03 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Nee hoor. Ik snap het gewoon niet. Het ging ook de hele tijd om die p..
Vertel dan vanaf waar je het niet begrijpt.
Anders kan Riparius wel weer hetzelfde plaatsen.
Doe ook een beetje moeite!
  zondag 12 oktober 2014 @ 00:59:45 #192
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145445039
quote:
1s.gif Op zondag 12 oktober 2014 00:03 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Nee hoor. Ik snap het gewoon niet. Het ging ook de hele tijd om die p..
Als je alles leest, dan heb je dit ook gelezen:
quote:
0s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 13:53 schreef Janneke141 het volgende:
Beste GeschiktX, je stelt nu al een aantal keer achter elkaar min of meer dezelfde vraag. Het antwoord is al voorbij gekomen en bijzonder duidelijk en uitgebreid uitgelegd.
Helaas zit voor jou het probleem er in, dat je voorkennis onvoldoende is om je deze materie eigen te maken. Ik ben bang dat je voor dit moment moet accepteren dat dit forum geen antwoord kan geven op je vraag, in ieder geval niet op zo'n manier dat je daarmee voldoende begrip van de stof krijgt, en dat je je hulp irl moet gaan zoeken. Iemand die naast je gaat zitten en je stap voor stap door dit soort afleidingen loodst, maar belangrijker nog: door de basisvaardigheden die hier voor nodig zijn.
Als je zo iemand kan vinden, moet je hem ook vragen of hij je kan trainen in het op een zorgvuldige manier stellen van je vragen.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145445398
quote:
1s.gif Op zaterdag 11 oktober 2014 23:25 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Die p waarmee vermenigvuldigd moet worden om de elasticiteit te vinden (d p / d ln p ). Kun je die uitwerking geven?
Om te beginnen: nu quote je al voor de derde keer mijn complete tekst om een detail in mijn tekst aan de orde te stellen. Dat moet je niet doen, quote alleen de specifieke passage waar het je om te doen is. Dan vervuil je het topic niet met onnodige herhalingen van complete teksten en dan is het meestal ook duidelijker waar het nu precies om gaat.

Je hebt kennelijk een probleem met de betekenis van

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}

Welnu, juist de notatie van Leibniz maakt het heel eenvoudig om dit te begrijpen, je hebt namelijk

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\left(\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\right)^{-1}\,=\,\left(\frac{1}{p}\right)^{-1}\,=\,(p^{-1})^{-1}\,=\,p^{(-1)\cdot(-1)}\,=\,p^1\,=\,p

Hangt een variabele z af van een variabele y en hangt die variabele y weer af van een variabele x, dan zal de variabele z afhangen van de variabele x en dan heb je voor de rate of change van z ten opzichte van x oftewel dz/dx in de notatie van Leibniz

\frac{\rm{d}z}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}z}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}

In woorden: de rate of change van z ten opzichte van x is gelijk aan de rate of change van z ten opzichte van y vermenigvuldigd met de rate of change van y ten opzichte van x.

Dit is uiteraard de kettingregel, maar in de notatie van Leibniz is deze bijzonder gemakkelijk te onthouden en op te schrijven, want de symboliek van Leibniz maakt dat de kettingregel er net zo uitziet als de vermenigvuldiging van twee gewone breuken, vergelijk dit maar met

\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}x}\,=\,\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}y}\,\cdot\,\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}

Dit laat zien dat het differentiequotiënt Δz/Δx gelijk is aan het product van het differentiequotiënt Δz/Δy en het differentiequotiënt Δy/Δx, en aangezien een afgeleide oftewel een zogeheten differentiaalquotiënt zoals dy/dx niets anders is dan de limiet van het bijbehorende differentiequotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan, is het duidelijk waarom de kettingregel in de notatie van Leibniz als twee druppels water lijkt op de vermenigvuldiging van twee gewone breuken.

Dit kun je misschien nog wat beter zien als je in

\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}x}\,=\,\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}y}\,\cdot\,\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}

Δx, Δy en Δz even vervangt door resp. a, b en c, want dan staat er gewoon

\frac{c}{a}\,=\,\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}

Laten we dit nog eens van rechts naar links bekijken. Als je de breuken c/b en b/a met elkaar vermenigvuldigt, dan heb je

\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,\frac{cb}{ba}

Maar nu zien we dat we de breuk cb/ba kunnen vereenvoudigen, want zowel in de teller cb als in de noemer ba zit een factor b. Dat betekent dat we teller en noemer elk door deze gemeenschappelijke factor b kunnen delen zonder dat de waarde van de breuk verandert, en dan hebben we

\frac{cb}{ba}\,=\,\frac{c}{a}

en dus inderdaad

\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,\frac{c}{a}

Nu gaan we weer terug naar onze differentiaalquotiënten en de kettingregel in de notatie van Leibniz. Zoals we hebben gezien lijkt deze regel als twee druppels water op de vermenigvuldiging van twee gewone breuken. Echter, differentiaalquotiënten zijn geen breuken want het zijn immers limieten van differentiequotiënten (die wel breuken zijn). Maar de grap is dat we bij de vermenigvuldiging van differentiaalquotiënten wel kunnen doen alsof we werken met gewone breuken, en dat maakt het werken met de kettingregel in de notatie van Leibniz nu juist zo eenvoudig en overzichtelijk. Als we in

\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,\frac{c}{a}

a, b en c vervangen door resp. dx, dy en dz, dan hebben we

\frac{\rm{d}z}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}z}{\rm{d}x}

en dat is uiteraard weer de kettingregel, maar nu opgeschreven van rechts naar links.

Nu gaan we nog een stapje verder. Stel nu eens dat de variabele z identiek gelijk is aan de variabele x, oftewel z is gewoon een andere naam (zeg maar een alias) van x. Dan mogen we in bovenstaande regel dus z vervangen door x en dan hebben we

\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}x}{\rm{d}x}

Maar nu weet je dat dx/dx de afgeleide is van x naar x en die is gelijk aan de constante 1, dus hebben we

\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\,=\,1

Je ziet dat het ook hier weer net zo werkt als bij gewone breuken, vergelijk dit maar met

\frac{a}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,1

We zien dus dat dx/dy en dy/dx elkaars omgekeerde zijn, en we kunnen dus ook schrijven

\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}\,=\,\left(\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)^{-1}

Nu zal het toch echt wel duidelijk zijn dat je hebt

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,p

want dit is immers het omgekeerde van

\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\,=\,\frac{1}{p}

Natuurlijk kunnen we dit ook nog op een andere manier inzien. Laten we zeggen dat

q\,=\,\ln\,p

dan is

\frac{\rm{d}q}{\rm{d}p}\,=\,\frac{1}{p}

maar q = ln p is equivalent met

p\,=\,e^q

en dus hebben we ook

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}q}\,=\,e^q

Maar nu weten we dat q = ln p en eq = p zodat we hier dus q kunnen vervangen door ln p en eq kunnen vervangen door p, en zie, dan staat er inderdaad

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,p
pi_145449103
quote:
0s.gif Op zondag 12 oktober 2014 01:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Om te beginnen: nu quote je al voor de derde keer mijn complete tekst om een detail in mijn tekst aan de orde te stellen. Dat moet je niet doen, quote alleen de specifieke passage waar het je om te doen is. Dan vervuil je het topic niet met onnodige herhalingen van complete teksten en dan is het meestal ook duidelijker waar het nu precies om gaat.

Je hebt kennelijk een probleem met de betekenis van

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}

Welnu, juist de notatie van Leibniz maakt het heel eenvoudig om dit te begrijpen, je hebt namelijk

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\left(\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\right)^{-1}\,=\,\left(\frac{1}{p}\right)^{-1}\,=\,(p^{-1})^{-1}\,=\,p^{(-1)\cdot(-1)}\,=\,p^1\,=\,p

Hangt een variabele z af van een variabele y en hangt die variabele y weer af van een variabele x, dan zal de variabele z afhangen van de variabele x en dan heb je voor de rate of change van z ten opzichte van x oftewel dz/dx in de notatie van Leibniz

\frac{\rm{d}z}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}z}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}

In woorden: de rate of change van z ten opzichte van x is gelijk aan de rate of change van z ten opzichte van y vermenigvuldigd met de rate of change van y ten opzichte van x.

Dit is uiteraard de kettingregel, maar in de notatie van Leibniz is deze bijzonder gemakkelijk te onthouden en op te schrijven, want de symboliek van Leibniz maakt dat de kettingregel er net zo uitziet als de vermenigvuldiging van twee gewone breuken, vergelijk dit maar met

\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}x}\,=\,\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}y}\,\cdot\,\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}

Dit laat zien dat het differentiequotiënt Δz/Δx gelijk is aan het product van het differentiequotiënt Δz/Δy en het differentiequotiënt Δy/Δx, en aangezien een afgeleide oftewel een zogeheten differentiaalquotiënt zoals dy/dx niets anders is dan de limiet van het bijbehorende differentiequotiënt Δy/Δx als we Δx naar nul laten gaan, is het duidelijk waarom de kettingregel in de notatie van Leibniz als twee druppels water lijkt op de vermenigvuldiging van twee gewone breuken.

Dit kun je misschien nog wat beter zien als je in

\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}x}\,=\,\frac{\mathrm{\Delta}z}{\mathrm{\Delta}y}\,\cdot\,\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}

Δx, Δy en Δz even vervangt door resp. a, b en c, want dan staat er gewoon

\frac{c}{a}\,=\,\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}

Laten we dit nog eens van rechts naar links bekijken. Als je de breuken c/b en b/a met elkaar vermenigvuldigt, dan heb je

\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,\frac{cb}{ba}

Maar nu zien we dat we de breuk cb/ba kunnen vereenvoudigen, want zowel in de teller cb als in de noemer ba zit een factor b. Dat betekent dat we teller en noemer elk door deze gemeenschappelijke factor b kunnen delen zonder dat de waarde van de breuk verandert, en dan hebben we

\frac{cb}{ba}\,=\,\frac{c}{a}

en dus inderdaad

\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,\frac{c}{a}

Nu gaan we weer terug naar onze differentiaalquotiënten en de kettingregel in de notatie van Leibniz. Zoals we hebben gezien lijkt deze regel als twee druppels water op de vermenigvuldiging van twee gewone breuken. Echter, differentiaalquotiënten zijn geen breuken want het zijn immers limieten van differentiequotiënten (die wel breuken zijn). Maar de grap is dat we bij de vermenigvuldiging van differentiaalquotiënten wel kunnen doen alsof we werken met gewone breuken, en dat maakt het werken met de kettingregel in de notatie van Leibniz nu juist zo eenvoudig en overzichtelijk. Als we in

\frac{c}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,\frac{c}{a}

a, b en c vervangen door resp. dx, dy en dz, dan hebben we

\frac{\rm{d}z}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}z}{\rm{d}x}

en dat is uiteraard weer de kettingregel, maar nu opgeschreven van rechts naar links.

Nu gaan we nog een stapje verder. Stel nu eens dat de variabele z identiek gelijk is aan de variabele x, oftewel z is gewoon een andere naam (zeg maar een alias) van x. Dan mogen we in bovenstaande regel dus z vervangen door x en dan hebben we

\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}x}{\rm{d}x}

Maar nu weet je dat dx/dx de afgeleide is van x naar x en die is gelijk aan de constante 1, dus hebben we

\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}\,\cdot\,\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\,=\,1

Je ziet dat het ook hier weer net zo werkt als bij gewone breuken, vergelijk dit maar met

\frac{a}{b}\,\cdot\,\frac{b}{a}\,=\,1

We zien dus dat dx/dy en dy/dx elkaars omgekeerde zijn, en we kunnen dus ook schrijven

\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}\,=\,\left(\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)^{-1}

Nu zal het toch echt wel duidelijk zijn dat je hebt

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,p

want dit is immers het omgekeerde van

\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\,=\,\frac{1}{p}

Natuurlijk kunnen we dit ook nog op een andere manier inzien. Laten we zeggen dat

q\,=\,\ln\,p

dan is

\frac{\rm{d}q}{\rm{d}p}\,=\,\frac{1}{p}

maar q = ln p is equivalent met

p\,=\,e^q

en dus hebben we ook

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}q}\,=\,e^q

Maar nu weten we dat q = ln p en eq = p zodat we hier dus q kunnen vervangen door ln p en eq kunnen vervangen door p, en zie, dan staat er inderdaad

\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,p
Thanks. Maar is d ln p / dp van de hele functie p^p * ln p gewoon 1/p? Omdat p^p dan een constante is? En dus 1/p overblijft. En hoezo mag je de inverse gebruiken? Want 1/p is anders dan p.
pi_145449578
quote:
1s.gif Op zondag 12 oktober 2014 10:21 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Thanks. Maar is d ln p / dp van de hele functie p^p * ln p gewoon 1/p? Omdat p^p dan een constante is? En dus 1/p overblijft. En hoezo mag je de inverse gebruiken? Want 1/p is anders dan p.
quote:
Om te beginnen: nu quote je al voor de derde keer mijn complete tekst om een detail in mijn tekst aan de orde te stellen. Dat moet je niet doen, quote alleen de specifieke passage waar het je om te doen is. Dan vervuil je het topic niet met onnodige herhalingen van complete teksten en dan is het meestal ook duidelijker waar het nu precies om gaat.
Verder reageer ik niet...
pi_145450955
quote:
0s.gif Op zondag 12 oktober 2014 10:48 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
[..]
Verder reageer ik niet...
o|O
pi_145456056
:') :') :') :')
pi_145463477
quote:
1s.gif Op zondag 12 oktober 2014 10:21 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Om te beginnen: ik had je toch gevraagd niet meer mijn volledige teksten te quoten als je een vraag hebt over een detail dat je niet duidelijk is?
quote:
Thanks. Maar is d ln p / dp van de hele functie p^p * ln p gewoon 1/p?
Uit deze vraag blijkt helaas dat je er nog werkelijk niets van begrijpt. Je vraag is ook betekenisloos, want wat zou d ln p / dp van de hele functie p^p * ln p moeten betekenen? We hebben

\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\,=\,\frac{1}{p}

maar als je de uitdrukking pp·ln p naar p differentieert, dan noteer je dit als

\frac{\rm{d}(p^p\,\cdot\,\ln\,p)}{\rm{d}p}

of als

\frac{\rm{d}}{\rm{d}p}(p^p\,\cdot\,\ln\,p)

en het is toch zonneklaar, ook zonder dit te evalueren, dat dit niet hetzelfde kan zijn als d(ln p)/dp, al was het maar omdat we hier de productregel moeten gebruiken en pp niet identiek gelijk is aan 1.

quote:
Omdat p^p dan een constante is?
Dit is echt lariekoek, en dat weet je zelf ook wel. Als pp constant zou moeten zijn, dan kan dat alleen als p zelf een constante is, en dan is ook ln p een constante en daarmee is dan je hele uitdrukking pp·ln p een constante, en dan is differentiëren van deze uitdrukking naar p of naar ln p per definitie onmogelijk.
quote:
En dus 1/p overblijft.
Nee. Ik heb het idee dat je echt nog geen steek verder bent dan het imiteren van wat onbegrepen regeltjes zoals d(ln x)/dx = 1/x.
quote:
En hoezo mag je de inverse gebruiken? Want 1/p is anders dan p.
Dit is onduidelijk. Welke inverse bedoel je precies? Ja, ik heb zo'n donkerbruin vermoeden wat je bedoelt, maar ik wil dat van jou horen. Anders gezegd, je moet leren je vraagstellingen helder, exact en niet voor tweeerlei uitleg vatbaar op te schrijven.

Nog één keertje dan. Laten we zeggen dat we hebben

q\,=\,p^p\,\cdot\,\ln\,p

en dat wordt gevraagd de elasticiteit van q ten opzichte van p te bepalen. We hebben

\frac{\rm{d}(\ln\,q)}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,q)}{\rm{d}p}\,\cdot\,\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,q)}{\rm{d}p}\,\cdot\,p

In woorden: om hier de elasticiteit d(ln q)/d(ln p) van q ten opzichte van p te berekenen moeten we ln q naar p differentiëren en het resultaat vervolgens nog met p vermenigvuldigen. We nemen dus eerst de logaritme van beide leden van onze gelijkheid om een uitdrukking voor ln q in p te krijgen, en dit geeft

\ln\,q\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,\ln(\ln\,p)

Beide leden differentiëren naar p geeft

\frac{\rm{d}(\ln\,q)}{\rm{d}p}\,=\,1\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,\cdot\,\frac{1}{p}\,+\,\frac{1}{\ln\,p}\,\cdot\,\frac{1}{p}

dus

\frac{\rm{d}(\ln\,q)}{\rm{d}p}\,=\ln\,p\,+\,1\,+\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}

en voor de elasticiteit vinden we dus

\frac{\rm{d}(\ln\,q)}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,q)}{\rm{d}p}\,\cdot\,p\,=\,\left(\ln\,p\,+\,1\,+\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}\right)\,\cdot\,p\,=\,\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,+\,\frac{1}{\ln\,p}
pi_145475077
Hallo wiskundigen,

Ik zat te denken over differentieerbaarheid en ik vroeg mij dus het volgende af:

-Waarom is | x | niet differentieerbaar in het punt x= 0? Ik weet dat er op dat punt een knik is, echter vraag ik mij af hoe dit te berekenen is, evenals hoe je kunt berekenen of | x | differentieerbaar is in het punt x=2.


Kort samengevat: hoe kun je de differentieerbaarheid in bepaalde punten berekenen?
  zondag 12 oktober 2014 @ 22:33:44 #200
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145475243
quote:
0s.gif Op zondag 12 oktober 2014 22:31 schreef GoldenHeart het volgende:
Hallo wiskundigen,
Ik zat te denken over differentieerbaarheid en ik vroeg mij dus het volgende af:
-Waarom is | x | niet differentieerbaar in het punt x= 0? Ik weet dat er op dat punt een knik is, echter vraag ik mij af hoe dit te berekenen is, evenals hoe je kunt berekenen of | x | differentieerbaar is in het punt x=2.
Kort samengevat: hoe kun je de differentieerbaarheid in bepaalde punten berekenen?
Heb je ooit uitleg gehad over de achtergrond van differentiëren, met limieten en dergelijke?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')