[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

donderdag 9 oktober 2014 @ 21:24:40 #51

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 20:50 schreef RustCohle het volgende:
Ik kwam bij de afgeleide van g'(x) niet uit, laat staan g'(x) vinden met log. differentiëren. Bij die eerste deed ik het volgende:
[...]

Wat heb je voor g(x) geprobeerd dan?

quote:
Mijn derde vraag is het volgende:
Hoe kan ik van de volgende functie het 'solven' voor P en vervolgens dP/dQ vinden:
Q = e^a P ^-b

"solven" is oplossen, dus los een vergelijking voor P op en neem de afgeleide.
Wat lukt hier niet?

donderdag 9 oktober 2014 @ 21:36:46 #52

RustCohle

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 21:24 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Wat heb je voor g(x) geprobeerd dan?
[..]
"solven" is oplossen, dus los een vergelijking voor P op en neem de afgeleide.
Wat lukt hier niet?

Voor P oplossen wordt het :

Q / e^a = P^-b

Maar dat is dus niet goed..

donderdag 9 oktober 2014 @ 21:38:23 #53

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 21:36 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Voor P oplossen wordt het :
Q / e^a = P^-b
Maar dat is dus niet goed..

Nee P^-b is ook geen P...
Dus hoe krijg je dat weg?

En wat heb je voor die andere gedaan?

donderdag 9 oktober 2014 @ 21:54:42 #54

Riparius

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 20:50 schreef RustCohle het volgende:
Hallo.. Ik heb een drietal vragen:
Voor de volgende twee functies moet ik de logaritmes differentiëren toepassen om y'/y te vinden:
f(x) = ((x+1) / (x-1) ) ^1/3
en
g(x) = √(x-2) (x²+1) (x⁴ + 6)
Ik kwam bij de afgeleide van g'(x) niet uit, laat staan g'(x) vinden met log. differentiëren. Bij die eerste deed ik het volgende:
y = ((x+1) / (x-1) ) ^1/3
ln y = ln (x+1)^1/3 - ln(x-1) ^1/3
y' / y = 1/3 * 1/(x+1) - 1/3 * 1/(x-1)

De clou van logaritmisch differentiëren is dat je eerst van beide leden de (natuurlijke) logaritme neemt en dan beide leden differentieert. Welnu, je hebt

$g(x)\,=\,\sqrt{x\,-\,2}\,\cdot\,(x^2\,+\,1)\,\cdot\,(x^4\,+\,6)$

en dus

$\ln(g(x))\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\ln(x\,-\,2)\,+\,\ln(x^2\,+\,1)\,+\,\ln(x^4\,+\,6)$

zodat

$\frac{g'(x)}{g(x)}\,=\,\frac{1}{2x\,-\,4}\,+\,\frac{2x}{x^2\,+\,1}\,+\,\frac{4x^3}{x^4\,+\,6}$

quote:
Mijn derde vraag is het volgende:
Hoe kan ik van de volgende functie het 'solven' voor P en vervolgens dP/dQ vinden:
Q = e^a P ^-b

Vermenigvuldig eerst beide leden met P^bQ⁻¹ en je hebt

$Q\,\cdot\,P^b\,\cdot\,Q^{-1}\,=\,e^a\,\cdot\,P^{-b}\,\cdot\,P^b\,\cdot\,Q^{-1}$

en dus

$P^b\,=\,e^a\,\cdot\,Q^{-1}$

en dit geeft

$P\,=\,(e^a\,\cdot\,Q^{-1})^{1/b}$

en dus

$P\,=\,e^{a/b}\,\cdot\,Q^{-1/b}$

zodat

$\frac{\rm{d}P}{\rm{d}Q}\,=\,-\,\frac{1}{b}\,\cdot\,e^{a/b}\,\cdot\,Q^{(-1/b)\,-\,1}$

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:01:33 #55

Super-B

Waarom staat er op het einde dat f(x) niet differentieerbaar is? Het is tóch juist wel differentieerbaar, alleen het is niet differentieerbaar op het punt x = 2.. (?)

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:06:55 #56

Super-B

Ten tweede:

Waarom is de functie continu voor alle x, terwijl (2x - 2)/ ln (x) alleen continu is als x > 0, Dus dan zou de hele functie toch continu moeten zijn als x > 0? Daarnaast waarom x > 0 en niet x > 1? Want als x = 1 dan is de noemer 0...

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:09:27 #57

Riparius

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 22:01 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]
Waarom staat er op het einde dat f(x) niet differentieerbaar is? Het is tóch juist wel differentieerbaar, alleen het is niet differentieerbaar op het punt x = 2.. (?)

Goed opgemerkt. Er had moeten staan dat de functie f niet differentieerbaar is in het punt x = 2. Voor elke andere waarde van x uit het domein is deze functie f wel differentieerbaar. Maar je moet even nakijken welke definitie ze precies hanteren voor een differentieerbare functie tout court.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:09:39 #58

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 22:01 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]
Waarom staat er op het einde dat f(x) niet differentieerbaar is? Het is tóch juist wel differentieerbaar, alleen het is niet differentieerbaar op het punt x = 2.. (?)

De definitie is dat het overal differentieerbaar moet zijn...
Dit kon je niet zelf bedenken?

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:09:53 #59

Super-B

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 22:09 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
De definitie is dat het overal differentieerbaar moet zijn...
Dit kon je niet zelf bedenken?

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:11:13 #60

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 22:09 schreef Super-B het volgende:
[..]
[ afbeelding ]

ja?

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:22:51 #61

Riparius

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 22:06 schreef Super-B het volgende:
Ten tweede:
[ afbeelding ]
Waarom is de functie continu voor alle x, terwijl (2x - 2)/ ln (x) alleen continu is als x > 0, Dus dan zou de hele functie toch continu moeten zijn als x > 0? Daarnaast waarom x > 0 en niet x > 1? Want als x = 1 dan is de noemer 0...

Je moet hier gewoon goed naar het gegeven functievoorschrift kijken voor f(x) en de definitie voor continuïteit hanteren. Een reële functie f van een reële variabele gedefinieerd op een domein D_f is continu indien f continu is voor elke a ∈ D_f en een functie f is continu in een punt a ∈ D_f dan en slechts dan als lim_x→a f(x) = f(a). En dat is hier het geval voor elke a ∈ R terwijl R het domein is van deze functie.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:55:23 #62

Amoeba

Floydiaan.

Echt hopeloos dit.

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

donderdag 9 oktober 2014 @ 22:58:00 #63

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 21:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

De clou van logaritmisch differentiëren is dat je eerst van beide leden de (natuurlijke) logaritme neemt en dan beide leden differentieert. Welnu, je hebt

$g(x)\,=\,\sqrt{x\,-\,2}\,\cdot\,(x^2\,+\,1)\,\cdot\,(x^4\,+\,6)$

en dus

$\ln(g(x))\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\ln(x\,-\,2)\,+\,\ln(x^2\,+\,1)\,+\,\ln(x^4\,+\,6)$

zodat

$\frac{g'(x)}{g(x)}\,=\,\frac{1}{2x\,-\,4}\,+\,\frac{2x}{x^2\,+\,1}\,+\,\frac{4x^3}{x^4\,+\,6}$

[..]

Vermenigvuldig eerst beide leden met P^bQ⁻¹ en je hebt

$Q\,\cdot\,P^b\,\cdot\,Q^{-1}\,=\,e^a\,\cdot\,P^{-b}\,\cdot\,P^b\,\cdot\,Q^{-1}$

en dus

$P^b\,=\,e^a\,\cdot\,Q^{-1}$

en dit geeft

$P\,=\,(e^a\,\cdot\,Q^{-1})^{1/b}$

en dus

$P\,=\,e^{a/b}\,\cdot\,Q^{-1/b}$

zodat

$\frac{\rm{d}P}{\rm{d}Q}\,=\,-\,\frac{1}{b}\,\cdot\,e^{a/b}\,\cdot\,Q^{(-1/b)\,-\,1}$

Dat trucje van logaritmisch differentiëren kende ik nog niet trouwens.

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

donderdag 9 oktober 2014 @ 23:52:07 #64

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

Het is niet echt iets waarvoor deze draad is bedoeld, helaas misschien, maar het lijkt me aardig om het toch maar eens te doen.
Ik kwam een interessant vraagstuk tegen wat gemakkelijk te begrijpen is maar desalniettemin erg leerzaam is.
Heron's probleem. De vraag. Plaatsen A en B liggen langs een rivier, je moet via die rivier van A naar B. Wat is de kortste weg? Probeer het geometrisch op te lossen als je het zelf probeert, niet met rekenen.

[ Bericht 5% gewijzigd door Bram_van_Loon op 09-10-2014 23:57:42 ]

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

vrijdag 10 oktober 2014 @ 00:03:42 #65

RustCohle

Hoe komen ze hierop?

Ik had dat de afgeleide dus (-2y)^-2 is en de afgeleide daar weer van is dan:

(4y^-3 ) en dus: 1/4y³, dus hoe komen ze op 1/y³ ?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 00:39:45 #66

Super-B

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 22:01 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

Waarom staat er op het einde dat f(x) niet differentieerbaar is? Het is tóch juist wel differentieerbaar, alleen het is niet differentieerbaar op het punt x = 2.. (?)

Ik ben even in de war met iets.. als h richting 0 gaat vanaf de linkerkant.. dan wordt het toch geen 3, maar 0/0?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 00:43:51 #67

RustCohle

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 21:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

De clou van logaritmisch differentiëren is dat je eerst van beide leden de (natuurlijke) logaritme neemt en dan beide leden differentieert. Welnu, je hebt

$g(x)\,=\,\sqrt{x\,-\,2}\,\cdot\,(x^2\,+\,1)\,\cdot\,(x^4\,+\,6)$

en dus

$\ln(g(x))\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\ln(x\,-\,2)\,+\,\ln(x^2\,+\,1)\,+\,\ln(x^4\,+\,6)$

zodat

$\frac{g'(x)}{g(x)}\,=\,\frac{1}{2x\,-\,4}\,+\,\frac{2x}{x^2\,+\,1}\,+\,\frac{4x^3}{x^4\,+\,6}$

[..]

Vermenigvuldig eerst beide leden met P^bQ⁻¹ en je hebt

$Q\,\cdot\,P^b\,\cdot\,Q^{-1}\,=\,e^a\,\cdot\,P^{-b}\,\cdot\,P^b\,\cdot\,Q^{-1}$

en dus

$P^b\,=\,e^a\,\cdot\,Q^{-1}$

en dit geeft

$P\,=\,(e^a\,\cdot\,Q^{-1})^{1/b}$

en dus

$P\,=\,e^{a/b}\,\cdot\,Q^{-1/b}$

zodat

$\frac{\rm{d}P}{\rm{d}Q}\,=\,-\,\frac{1}{b}\,\cdot\,e^{a/b}\,\cdot\,Q^{(-1/b)\,-\,1}$

Waarom vermenigvuldig je ook met Q^-1?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 00:50:13 #68

Riparius

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 00:43 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Waarom vermenigvuldig je ook met Q^-1?

Als ik dat niet zou doen, dan zou in het linkerlid een factor Q blijven staan, en dat wil ik niet, want ik wil een gelijkheid krijgen waarbij in het linkerlid alleen P voorkomt. Uiteraard is vermenigvuldigen met Q⁻¹ hetzelfde als delen door Q.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

vrijdag 10 oktober 2014 @ 06:28:44 #69

Riparius

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 00:03 schreef RustCohle het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe komen ze hierop?

Niemand kan die vraag met zekerheid beantwoorden als je niet de oorspronkelijke opgave laat zien, maar alleen een fragment van een uitwerking.

quote:
Ik had dat de afgeleide dus (-2y)^-2 is

Welke afgeleide van welke functie? En hoezo 'dus' ? Ik zie helemaal geen gevolgtrekking.

quote:
en de afgeleide daar weer van is dan:
(4y^-3 )

Nee, wat je hier beweert is met zekerheid fout. Leer nu eindelijk eens rekenregels voor machten (en ook voor breuken, wortels, logaritmen ...) alsmede haakjes consequent toe te passen. We hebben

$(a\,\cdot\,b)^p\,=\,a^p\,\cdot\,b^p$

voor a, b ∈ R+, p ∈ R, waarbij a en of b evenwel ook negatief mogen zijn als p geheel is, en dus hebben we

$(-2y)^{-2}\,=\,(-2)^{-2}\,\cdot y^{-2}\,=\,\frac{1}{4}\cdot y^{-2}$

en de afgeleide hiervan naar y is

$\frac{\rm{d}(\frac{1}{4}y^{-2})}{\rm{d}y}\,=\,\frac{1}{4}\cdot(-2)\cdot y^{-3}\,=\,-\,\frac{1}{2}y^{-3}$

Maar wat je bedoelde maar niet opschreef was wellicht

$-2y^{-2}$

en de afgeleide naar y hiervan is inderdaad

$\frac{\rm{d}(-2y^{-2})}{\rm{d}y}\,=\,-2\,\cdot\,(-2)\,\cdot\,y^{-3}\,=\,4y^{-3}$

quote:
en dus: 1/4y³,

Hola! Nog meer onzin. Om te beginnen, wat bedoel je hier precies mee,

$\frac{1}{4}y^3$

of

$\frac{1}{4y^3}$

?

En dan nog: hoe kom je erbij dat 4y⁻³ opeens verandert in hetzij (1/4)·y³ hetzij 1/(4y³) louter en alleen door haakjes om 4y⁻³ te zetten? Het is natuurlijk conform bovenstaande rekenregel alsmede de rekenregel (a^p)^q = a^pq wel zo dat

$(4\,\cdot\,y^{-3})^{-1}\,=\,4^{-1}\,\cdot\,(y^{-3})^{-1}\,=\,\frac{1}{4}y^3$

maar het is niet in te zien waarom je hier meent het omgekeerde te moeten nemen van een afgeleide die je zojuist hebt berekend.

quote:
dus hoe komen ze op 1/y³ ?

Ja, dat is voor jouw een vraag, en zeker gezien het scala aan goocheltrucs dat je hier ten beste geeft. Zoals gezegd is je vraag feitelijk niet te beantwoorden omdat je de oorspronkelijke opgave achterhoudt, maar ik doe een poging tot reconstructie. Als we hebben

$f(x)\,=\,e^{2x}$

dan is de inverse van deze functie

$f^{-1}(y)\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\ln y$

Goed, nu gaan we eens lekker differentiëren. De eerste afgeleide wordt

$\frac{\rm{d}f^{-1}(y)}{\rm{d}y}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{1}{y}\,=\,\frac{1}{2y}$

en hiervoor kunnen we uiteraard ook schrijven

$\frac{\rm{d}f^{-1}(y)}{\rm{d}y}\,=\,\frac{1}{2}y^{-1}$

Nu is het verder een kwestie van braaf de regel

$\frac{\rm{d}(y^n)}{\rm{d}y}\,=\,ny^{n-1}$

toepassen. Voor de tweede afgeleide krijgen we zo

$\frac{\rm{d}^2f^{-1}(y)}{(\rm{d}y)^2}\,=\,\frac{\rm{d}(\frac{1}{2}y^{-1})}{\rm{d}y}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,y^{-2}\,=\,-\,\frac{1}{2}y^{-2}\,=\,-\,\frac{1}{2y^2}$

en de derde afgeleide wordt nu

$\frac{\rm{d}^3f^{-1}(y)}{(\rm{d}y)^3}\,=\,\frac{\rm{d}(-\,\frac{1}{2}y^{-2})}{\rm{d}y}\,=\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(-2)\,\cdot\,y^{-3}\,=\,y^{-3}\,=\,\frac{1}{y^3}$

Nog even een opmerking over de Leibniz notatie voor hogere afgeleiden. Zoals eerder uiteengezet kunnen we schrijven

$\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}f(x) \,=\, f'(x)$

waarbij we

$\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}$

dus als operator voor differentiatie naar x kunnen opvatten, zodat we voor de tweede afgeleide naar x zouden kunnen schrijven

$\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\left(\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}f(x)\right) \,=\, \frac{\rm{d}}{\rm{d}x}f'(x) \,=\, f''(x)$

Nu heeft Leibniz al bedacht dat je voor iets als

$\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\left(\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\right)$

louter symbolisch

$\left(\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\right)^2$

en daarmee ook

$\frac{\rm{d}^2}{(\rm{d}x)^2}$

kunt schrijven en zo dus in het algemeen als operator voor de n-de afgeleide naar x

$\frac{\rm{d}^n}{(\rm{d}x)^n}$

zodat we dus hebben

$\frac{\rm{d}^n}{(\rm{d}x)^n}f(x)\,=\,f^{(n)}(x)$

Overigens laat men de haakjes rond dx meestal weg, dus je zult ook vaak de notatie

$\frac{\rm{d}^n}{\rm{d}x^n}f(x)$

of

$\frac{\rm{d}^nf(x)}{\rm{d}x^n}$

tegenkomen voor wat in de notatie van Lagrange als

$f^{(n)}(x)$

wordt geschreven, en waarbij we voor n < 4 gewoonlijk primes gebruiken, dus f'(x), f''(x) en f'''(x). Zie ook hier. Verwar de superscript n in de Leibniz notatie van de n-de afgeleide vooral niet met een exponent van een uitdrukking waarvan een afgeleide wordt genomen. Je hebt voor n ∈ N bijvoorbeeld

$\frac{\rm{d}(x^n)}{\rm{d}x}\,=\,nx^{n-1}$

maar

$\frac{\rm{d}^n(x^n)}{\rm{d}x^n}\,=\,n!$

waarvoor je ook

$\frac{\rm{d}^n(x^n)}{(\rm{d}x)^n}\,=\,n!$

kunt schrijven, terwijl

$\frac{\rm{d}(x^n)}{\rm{d}(x^n)}\,=\,1$

en dus voor elke n > 1 ook

$\frac{\rm{d}^n(x^n)}{\rm{d}(x^n)^n}\,=\,0$

oftewel

$\frac{\rm{d}^n(x^n)}{(\rm{d}(x^n))^n}\,=\,0$

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-10-2014 04:37:45 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

vrijdag 10 oktober 2014 @ 09:46:08 #70

GeschiktX

Ik heb vandaag een tentamen en ik heb een klein vraagje:

Waarom is f(x) continu voor alle waarden van x? Het is toch juist continu voor alle waarden x > 0 ?

[ Bericht 43% gewijzigd door GeschiktX op 10-10-2014 09:52:49 ]

vrijdag 10 oktober 2014 @ 10:48:25 #71

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 09:46 schreef GeschiktX het volgende:
Ik heb vandaag een tentamen en ik heb een klein vraagje:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Waarom is f(x) continu voor alle waarden van x? Het is toch juist continu voor alle waarden x > 0 ?

$x^6 -2x^3+3x$ is overal continu.
$\frac{2x-2}{\ln{x}}$ is in iedergeval continu voor x > 1.

f(x) is gedefinieerd als $x^6 -2x^3+3x$ voor $x \leq 1$ en $\frac{2x-2}{\ln{x}}$ voor x > 1.
Dan dus we weten dat f(x) in iedergeval continue voor alle $x \not = 1$

Dan hoef je dus alleen nog maar te kijken naar het punt x = 1, beiden hebben een limiet van 2 voor x = 1.
En dus geldt dat f(x) is continu.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 10:50:13 #72

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 09:46 schreef GeschiktX het volgende:
Ik heb vandaag een tentamen en ik heb een klein vraagje:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Waarom is f(x) continu voor alle waarden van x? Het is toch juist continu voor alle waarden x > 0 ?

Zelfde probleem staat hier ook al:

SES / [Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

Het functievoorschrift is
f(x) = x⁶ - 2x³ + 3x, voor alle x≤1.

Dat polynoom is continu op heet R, dus zeker ook voor alle x≤1. Dus hoe je er precies bij komt dat de functie niet continu zou zijn voor x≤0 ontgaat me.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

vrijdag 10 oktober 2014 @ 11:59:42 #73

GeschiktX

Hallo, ik heb nog één vraag voor mijn tentamen zal starten:

De limiet van 2 bestaat en dus waarom staat er op het einde ''f(x) is continu voor alle x =/ 2 en x =/ 3'' ? Er moet toch staan: ''f(x) is continu voor alle x =/ 3''

vrijdag 10 oktober 2014 @ 12:04:29 #74

Novermars

f is niet gedefinieerd in x=2 en kan dus per definitie niet continu zijn. Probeer de grafiek op het interval [1,2] maar eens te tekenen zonder je pen van het papier te halen. Dat lukt je niet.

En verder kan f(x) niet continu zijn, aangezien dat slechts een getal is. De functie f kan daarentegen wel continu zijn.

En als laatste, er zijn functies die wel continu zijn (op een deelverzameling van het domein) maar je niet kunt tekenen zonder je pen van het papier te halen. Thomae's functie bijvoorbeeld.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 12:29:12 #75

Novermars

Ter verduidelijking, we zeggen dat $f:A \to B$ continu is als geldt dat voor elke $\varepsilon> 0$ , voor elke $a \in A$ bestaat er een $\delta>0$ zodat voor elke $x \in A$ met $|x-a|<\delta$ impliceert dat $|f(x) - f(x) |< \varepsilon$

Verder, we zeggen $\lim\limits_{x \to a} f(x) = l$ als geldt dat voor elke $\varepsilon> 0$ bestaat er een $\delta>0$ zodat voor elke $x \in A$ met $0<|x-a|<\delta$ impliceert dat $|f(x) - l |< \varepsilon$

Zie je het cruciale verschil?

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs