[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Klopt, maar als je dit wilt factoriseren, hoe doe je dit?

Die factoren staan al voor je neus, het is namelijk −4·x·x·x·x·x maar zo moet je dit natuurlijk niet opschrijven, Descartes heeft niet voor niets de notatie van een exponent met superscript bedacht.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:22 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

[..]

[..]

[ 4x ( x⁴ + 1 ) - 2x² 4x³ ]

ofwel

4x⁵ + 4x - 8x⁵

Het zou moeten resulteren tot:

4x( 1 + x² ) ( 1 + x) ( 1-x)

Omslachtig, maar klopt wel

4x⁵ + 4x - 8x⁵

=-4x⁵ + 4x

=4x(1-x⁴)

= 4x(1+x²)(1-x²)

= 4x(1+x²)(1-x)(1+x)

Hetzelfde merkwaardig product als boven wordt twee keer gebruikt.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 22:55 schreef Riparius het volgende:

De fout is inderdaad een typo, helaas. Omdat ik een nieuwe laptop heb is een werkende Mathtype niet meer beschikbaar en zo typen is enorm onoverzichtelijk. Tijd om misschien een LaTeX te gaan leren...

Fijn deze uitwerking, ik snap hem! Heel erg bedankt! Het blijkt dat ik dit spoor niet heb afgemaakt omdat ik bij het afleiden van de wortel vergat te compenseren met 2x, waardoor er geen kwadraat in de teller kwam, enz. Wat haat ik slordigheidsfouten zeg.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:23 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Omslachtig, maar klopt wel

4x⁵ + 4x - 8x⁵

=-4x⁵ + 4x

=4x(1-x⁴)

= 4x(1+x²)(1-x²)

= 4x(1+x²)(1-x)(1+x)

Hetzelfde merkwaardig product als boven wordt twee keer gebruikt.

@Geschikt
Hier zie je nu een goede demonstratie waarom het belangrijk is dat je het merkwaardige product direct herkent. Je ziet dan direct bij de derde regel van Janneke haar uitleg hoe je dat verder opschrijft waardoor je niet zelf hoeft te zoeken door willekeurig wat uit te proberen.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:13 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Noem dat F_U. De verdelingsfunctie van 1-U is dan (voor alle u in [0,1])

Waar jij nog de laatste één a twee tussenstappen kan invullen.
Snap je het zo? Ik weet niet wat je bedoelt met je laatste vraag.

Ik zie het écht niet. Ben me er nu al een paar uur op aan het blindstaren...

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:27 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

De fout is inderdaad een typo, helaas. Omdat ik een nieuwe laptop heb is een werkende Mathtype niet meer beschikbaar en zo typen is enorm onoverzichtelijk. Tijd om misschien een LaTeX te gaan leren...

Werkt je registratiecode niet meer? Of heb je nu een ander besturingssysteem waarmee MathType niet meer werkt?

quote:

Fijn deze uitwerking, ik snap hem! Heel erg bedankt! Het blijkt dat ik dit spoor niet heb afgemaakt omdat ik bij het afleiden van de wortel vergat te compenseren met 2x, waardoor er geen kwadraat in de teller kwam, enz. Wat haat ik slordigheidsfouten zeg.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:28 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

@Geschikt
Hier zie je nu een goede demonstratie waarom het belangrijk is dat je het merkwaardige product direct herkent. Je ziet dan direct bij de derde regel van Janneke haar uitleg hoe je dat verder opschrijft waardoor je niet zelf hoeft te zoeken door willekeurig wat uit te proberen.

Ja inderdaad Bram_Van_Loon, het is zoals je in een post hiervoor al zei een kwestie voor mij om het goed in mijn hoofd te stampen. Ik zal er goed naar kijken!~

Vanaf de derde regel is het inderdaad al gelijk te zien... en dan is het een kwestie van het 'verkleinen' van de vierde macht naar tweede machten en dat dan weer verkleinen naar een 1e graad (1e exponent).

Ik wou bijna vragen waarom (1+x²) zo blijft staan, maar dat komt omdat beide plus is (neem ik aan?). Als het bijv x² - 1 was geweest, had (x+1) (x-1) gemogen toch?

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:34 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ja inderdaad Bram_Van_Loon, het is zoals je in een post hiervoor al zei een kwestie voor mij om het goed in mijn hoofd te stampen. Ik zal er goed naar kijken!~

Vanaf de derde regel is het inderdaad al gelijk te zien... en dan is het een kwestie van het 'verkleinen' van de vierde macht naar tweede machten en dat dan weer verkleinen naar een 1e graad (1e exponent).

Het is belangrijk om een beetje systematisch na te denken bij zoiets. Als je een vergelijking hebt van de vorm ax²+ bx + c, waar komen die a, b en c vandaan? Wat is het gevolg voor de a, b en c als je bij (d+e)(f+g) twee keer een - of 1 keer een - hebt in plaats van een plus? Kan a, b of c 0 zijn en wanneer gebeurt dat? Probeer voor jezelf eens alle variaties uit en je zal vanzelf inzien hoe het werkt zodat je niets van buiten hoeft te leren, in ieder geval niet voor de tweede graad. Bij de een duurt het langer dan bij de ander maar dat inzicht komt wel als je dat doet.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Werkt je registratiecode niet meer? Of heb je nu een ander besturingssysteem waarmee MathType niet meer werkt?

[..]

Ik heb geen Word meer. Ik moet nog kijken of ik de code terug kan vinden en het kan installeren enzovoorts op Openoffice.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:34 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ik wou bijna vragen waarom (1+x²) zo blijft staan, maar dat komt omdat beide plus is (neem ik aan?). Als het bijv x² - 1 was geweest, had (x+1) (x-1) gemogen toch?

Een som van twee kwadraten kun je niet schrijven als een product van reële lineaire factoren en daarom heeft bijvoorbeeld de vergelijking



ook geen oplossingen binnen R, de verzameling van alle reële getallen. Begrijp je het verband tussen het niet kunnen ontbinden van x² + 1 in reële factoren en het ontbreken van reële oplossingen van deze vergelijking?

Een som van twee oneven machten kun je overigens wel ontbinden, want als n oneven is dan heeft de som aⁿ + bⁿ een factor (a + b). Zo heb je bijvoorbeeld



Als je ook irrationale coëfficiënten toestaat, dan is een tweeterm als



wel te ontbinden in twee reële kwadratische veeltermen in a en b. Probeer nu zelf te bedenken hoe je dit zou ontbinden.

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 22:48 schreef Super-B het volgende:

[..]

lim x --> 0

(-1/2(1+x) ^-3/2 ) / [ 2(1 + x + x²) ^-1/2 + ( 1 + 2x)² ( -1/2) ( (1 + x + x²) ^-3/2 ]

Er moest een 2 weg, welke ik nu weggehaald heb. De afgeleide klopt exact met wat er in het antwoordenboek staat.

Als je in dit quotiënt x = 0 invult, dan komt er

quote:

Op woensdag 8 oktober 2014 23:13 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Noem dat F_U. De verdelingsfunctie van 1-U is dan (voor alle u in [0,1])

Waar jij nog de laatste één a twee tussenstappen kan invullen.
Snap je het zo? Ik weet niet wat je bedoelt met je laatste vraag.

Voor mij verdwijnt die 1 op magische wijze. Ik kan me niet bedenken waarom dat gebeurt namelijk.

Ik vermoed dat de uitwerking op de puntjes iets in de trant van is, maar echt lekker voelt het niet aan.

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 00:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je in dit quotiënt x = 0 invult, dan komt er

Hartstikke bedankt!

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 06:00 schreef Hoplahopla het volgende:
[..]
Voor mij verdwijnt die 1 op magische wijze. Ik kan me niet bedenken waarom dat gebeurt namelijk.
Ik vermoed dat de uitwerking op de puntjes iets in de trant van is, maar echt lekker voelt het niet aan.

(alleen als u=1/2 is het wel een gelijkheid)

Dus dat klopt inderdaad niet.

Even een kleine vraagje:

Stel ik heb:

ax + by = c
en
dx + ey = f

Waar x dan vervolgens: (ce - bf) / (ae - bd) is..

Hoe bereken ik y?

Ik vulde gewoon x in één van de twee vergelijkingen ( ik deed het in de eerste) en ik kwam uit op het volgende:

y = (ace - abf) / (ae - bd) + by - c

Klopt dit?

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 18:36 schreef Super-B het volgende:
Even een kleine vraagje:
Stel ik heb:
ax + by = c
en
dx + ey = f
Waar x dan vervolgens: (ce - bf) / (ae - bd) is..
Hoe bereken ik y?
Ik vulde gewoon x in één van de twee vergelijkingen ( ik deed het in de eerste) en ik kwam uit op het volgende:
y = (ace - abf) / (ae - bd) + by - c
Klopt dit?

Nee, dit klopt niet, en dat is ook onmiddellijk te zien. Subsitutie geeft namelijk

(ace - abf) / (ae - bd) + by - c = 0

en het is niet zo dat y hier steeds gelijk is aan nul, zodat het linkerlid van deze gelijkheid niet gelijk kan zijn aan y zoals jij hier beweert.

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 18:36 schreef Super-B het volgende:
Even een kleine vraagje:
Stel ik heb:
ax + by = c
en
dx + ey = f
Waar x dan vervolgens: (ce - bf) / (ae - bd) is..
Hoe bereken ik y?
Ik vulde gewoon x in één van de twee vergelijkingen ( ik deed het in de eerste) en ik kwam uit op het volgende:
y = (ace - abf) / (ae - bd) + by - c
Klopt dit?

Je hebt 2 lineaire verbanden. Waar x dan vervolgens *iets* is. Hoezo is x dat? Hoe kom je aan die x?

Ik heb het niet nagerekend, maar het zal wel het evenwichtspunt zijn, oftewel de x-waarde van het snijpunt van die twee rechte lijnen. Dit soort dingen moet je vermelden in je post!. Áls dat zo is, dan kun je y uitrekenen door x in te vullen in één van beide vergelijkingen. Hebben we het niet over een evenwichtspunt, dan werkt het natuurlijk niet omdat er bij allebei wat anders uitkomt.

OK, we gaan invullen in de bovenste:
ax+by=c

a((ce - bf) / (ae - bd)) + by = c

(ace-abf)/(ae-bd) + by = c

even een onnodige tussenstap, behalve om je denkfout te laten zien
(ace-abf)/(ae-bd) + by - c = 0
Jij concludeert dat gedeelte links van het =-teken gelijk moet zijn aan y. Klopt niet, het is gelijk aan 0. Je eigen uitdrukking voor y hangt trouwens af van y, wat al niet handig is)
einde intermezzo

(ace-abf)/(ae-bd) + by = c

by = c - (ace-abf)/(ae-bd)

y = (c - (ace-abf)/(ae-bd))/b

Dat laatste verder netjes uitschrijven mag je zelf doen. Mag je daarna uittesten of er hetzelfde uitkomt als je de x-waarde invult in de onderste.

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 18:48 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Je hebt 2 lineaire verbanden. Waar x dan vervolgens *iets* is. Hoezo is x dat? Hoe kom je aan die x?
Ik heb het niet nagerekend, maar het zal wel het evenwichtspunt zijn, oftewel de x-waarde van het snijpunt van die twee rechte lijnen. Dit soort dingen moet je vermelden in je post!. Áls dat zo is, dan kun je y uitrekenen door x in te vullen in één van beide vergelijkingen. Hebben we het niet over een evenwichtspunt, dan werkt het natuurlijk niet omdat er bij allebei wat anders uitkomt.
OK, we gaan invullen in de bovenste:
ax+by=c
a((ce - bf) / (ae - bd)) + by = c
(ace-abf)/(ae-bd) + by = c
even een onnodige tussenstap, behalve om je denkfout te laten zien
(ace-abf)/(ae-bd) + by - c = 0
Jij concludeert dat gedeelte links van het =-teken gelijk moet zijn aan y. Klopt niet, het is gelijk aan 0. Je eigen uitdrukking voor y hangt trouwens af van y, wat al niet handig is)
einde intermezzo
(ace-abf)/(ae-bd) + by = c
by = c - (ace-abf)/(ae-bd)
y = (c - (ace-abf)/(ae-bd))/b
Dat laatste verder netjes uitschrijven mag je zelf doen. Mag je daarna uittesten of er hetzelfde uitkomt als je de x-waarde invult in de onderste.

Ik moet er uiteindelijk (af - cd) / (ae - bd) van maken.... Ik zie het niet. Dat laatste stap maakt het mij dus lastig. Wat jij had, had ik dus ook, alleen had ik per ongeluk uit automatisme y = opgeschreven..

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 19:12 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik moet er uiteindelijk (af - cd) / (ae - bd) van maken.... Ik zie het niet. Dat laatste stap maakt het mij dus lastig. Wat jij had, had ik dus ook, alleen had ik per ongeluk uit automatisme y = opgeschreven..

Tja, dit is algebra die ze in 2-vmbo-t zonder al te veel problemen uitvoeren.
Overigens, nog steeds onder het vermoeden dat het om een evenwichtspunt gaat, kan het natuurlijk ook anders:

quote:

ax + by = c
en
dx + ey = f

Schrijven in de vorm x=..., zodat we ze gelijk kunnen stellen met y als variabele, levert

x = (c-by)/a
en
x = (f-ey)/d

Gelijkstellen:
(c-by)/a = (f-ey)/d

dc-dby = af - aey

aey - dby = af - dc

(ae - db)y = af - dc

y = (af - cd)/(ae - bd)

Klaar.

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 19:12 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik moet er uiteindelijk (af - cd) / (ae - bd) van maken.... Ik zie het niet. Dat laatste stap maakt het mij dus lastig. Wat jij had, had ik dus ook, alleen had ik per ongeluk uit automatisme y = opgeschreven..

De vraag is hoe je x hebt bepaald uit je lineaire stelsel. Als je dat zelfstandig kunt, dan kun je op dezelfde manier ook y bepalen.

Bedenk trouwens wel dat je lineaire stelsel uitsluitend een eenduidige oplossing heeft als

ae − bd ≠ 0

want delen door nul heeft geen betekenis. De waarde ae − bd heet de determinant van je lineaire stelsel. Is deze determinant gelijk aan nul, dan is je stelsel ofwel strijdig (dan zijn er geen oplossingen) ofwel onbepaald (dan zijn er oneindig veel oplossingen). Het is gemakkelijk in te zien waarom je deze drie mogelijkheden hebt: de twee lineaire vergelijkingen in x en y stellen elk een rechte lijn voor in een cartesisch coördinatenstelsel, en twee rechte lijnen kunnen elkaar snijden (één oplossing), evenwijdig lopen (geen oplossing) of geheel en al samenvallen (oneindig veel oplossingen).

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 19:18 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Tja, dit is algebra die ze in 2-vmbo-t zonder al te veel problemen uitvoeren.
Overigens, nog steeds onder het vermoeden dat het om een evenwichtspunt gaat, kan het natuurlijk ook anders:
[..]
Schrijven in de vorm x=..., zodat we ze gelijk kunnen stellen met y als variabele, levert
x = (c-by)/a
en
x = (f-ey)/d
Gelijkstellen:
(c-by)/a = (f-ey)/d
dc-dby = af - aey
aey - dby = af - dc
(ae - db)y = af - dc
y = (af - cd)/(ae - bd)
Klaar.

Waarom mogen de noemers weg?

Ik kwam namelijk uit op

(( dc - dby) / ad ) - ((a - aey) / ad)

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
[..]
Waarom mogen de noemers weg?
Ik kwam namelijk uit op
(( dc - dby) / ad ) - ((a - aey) / ad)

Hoe vaak is je in dit topic al verteld dat je zorgvuldig moet zijn met het opschrijven van vergelijkingen en dus niet het =-teken en alles wat erachter staat moet vergeten?

Maar goed,

quote:

(c-by)/a = (f-ey)/d

dc-dby = af - aey

Vermenigvuldig links en rechts alles met a en d.

quote:

Op donderdag 9 oktober 2014 19:48 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Hoe vaak is je in dit topic al verteld dat je zorgvuldig moet zijn met het opschrijven van vergelijkingen en dus niet het =-teken en alles wat erachter staat moet vergeten?
Maar goed,
[..]
Vermenigvuldig links en rechts alles met a en d.

Dus dan moet ik weer met ad vermenigvuldigen om zo de noemer weg te krijgen?

Hallo.. Ik heb een drietal vragen:

Voor de volgende twee functies moet ik de logaritmes differentiëren toepassen om y'/y te vinden:

f(x) = ((x+1) / (x-1) ) ^1/3

en

g(x) = √(x-2) (x²+1) (x⁴ + 6)

Ik kwam bij de afgeleide van g'(x) niet uit, laat staan g'(x) vinden met log. differentiëren. Bij die eerste deed ik het volgende:

y = ((x+1) / (x-1) ) ^1/3

ln y = ln (x+1)^1/3 - ln(x-1) ^1/3

y' / y = 1/3 * 1/(x+1) - 1/3 * 1/(x-1)


Mijn derde vraag is het volgende:

Hoe kan ik van de volgende functie het 'solven' voor P en vervolgens dP/dQ vinden:

Q = e^a P ^-b