abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_145347957
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

OP

Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
pi_145348549
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:14 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Laat zien dat de verdelingsfuncties hetzelfde zijn.
 \mathbb{P}(U \leq u) = u
 \mathbb{P}(1- U \leq u) = \dots = u
voor alle u in [0,1]
Bedankt voor de snelle reactie!

Maar ik begrijp dat er gevraagd wordt om de verdelingsfuncties gelijk te stellen. Echter snap ik niet hoe ik dat moet doen, want ik zie gewoon niet anders dan dat 1 - U negatieve getallen geeft en dat kan toch niet?
Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...
  woensdag 8 oktober 2014 @ 22:27:13 #3
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145348628
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:25 schreef Hoplahopla het volgende:

[..]

Bedankt voor de snelle reactie!

Maar ik begrijp dat er gevraagd wordt om de verdelingsfuncties gelijk te stellen. Echter snap ik niet hoe ik dat moet doen, want ik zie gewoon niet anders dan dat 1 - U negatieve getallen geeft en dat kan toch niet?
Aangezien U ∈ [0,1], is 1-U nooit kleiner dan 0. Sterker nog, 1-U∈ [0,1]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145349307
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:27 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Aangezien U ∈ [0,1], is 1-U nooit kleiner dan 0. Sterker nog, 1-U∈ [0,1]
Misschien bekijk ik het te algebraïsch. Ik zie niet in hoe de functies identiek kunnen zijn. Ik snap dat de lijn hetzelfde patroon volgt, maar dan gespiegeld. Maar ik denk niet dat het hetzelfde is... U is niet gelijk aan U want f(U) = 1 en f(1-U) = -1.
Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...
pi_145349458
Dat U een kansdichtheid f heeft impliceert niet dat 1 - U een kansdichtheid 1 - f heeft. (Dat zou ook niet kunnen want dat is geen kansdichtheid)
Je moet laten zien dat U ook kansdichtheid f heeft.
Dat kan door te laten zien dat de verdelingsfuncties van U en 1-U hetzelfde zijn.
pi_145349595
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Weer hetzelfde advies: lees hier niet alleen de antwoorden op je eigen vragen, maar ook de antwoorden op vragen van je studiegenoten die vaak over precies dezelfde opgaven gaan.

Ik vermoed (c.q. weet bijna wel zeker) dat je probeert deze limiet te bepalen met behulp van de regel van L'Hôpital, maar dan heb je fouten gemaakt bij het differentiëren.
lim x --> 0

(-1/2(1+x) -3/2 ) / [ 2(1 + x + x²) -1/2 + ( 1 + 2x)² ( -1/2) ( (1 + x + x²) -3/2 ]

Er moest een 2 weg, welke ik nu weggehaald heb. De afgeleide klopt exact met wat er in het antwoordenboek staat.
pi_145349645
Goedenavond,

Ziet iemand de overgang van wat er links voor het = teken staat naar wat er rechts van het = teken staat?:



Wat mij onduidelijk is (de vraag heeft betrekking op de extreme punten) is x1 en x2... Ik vind het erg lastig om te weten wat voor getal x1 en x2 nou voorstellen en hoe ik dit moet invullen, want de functie maakt het er niet gemakkelijker op met wortels en al..
pi_145349831
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:49 schreef GeschiktX het volgende:
Goedenavond,

Ziet iemand de overgang van wat er links voor het = teken staat naar wat er rechts van het = teken staat?:

[ afbeelding ]

Wat mij onduidelijk is (de vraag heeft betrekking op de extreme punten) is x1 en x2... Ik vind het erg lastig om te weten wat voor getal x1 en x2 nou voorstellen en hoe ik dit moet invullen, want de functie maakt het er niet gemakkelijker op met wortels en al..
Ik neem aan dat jij geen moeite hebt met van rechts naar links te gaan. Doe dat dan eens en je zal er vanzelf achter komen hoe ze van links naar rechts gaan. ;)
Die wortel maakt het in dit geval trouwens niet moeilijker.

[ Bericht 2% gewijzigd door Bram_van_Loon op 08-10-2014 22:59:22 ]
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
pi_145349924
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 21:00 schreef Aardappeltaart het volgende:
Eerste keer dat ik dit topic nodig heb tijdens mijn studie wiskunde. Bevalt erg goed.

Uit g(x)=ln(x+sqrt(x2+a2)) zijn afgeleide g'(x)= 1 / (sqrt(a2+x2) en die van d/dx artcan(x) = 1/sqrt(a2-x2) moet ik de primitieve van h(x)=sqrt(x2+a2) kunnen halen door middel van partiële integratie (ik vermoed op h(x). Ik zie alleen niet hoe, met welke keuzes dus. De delen van de vraag over het differentiëren van g(x) en de primitieve vinden van 1/h(x) zijn me gelukkig al gelukt. Op dit stuk loop ik echter vast. Iemand een tip of idee? Goniometrische substituties zijn dus niet de bedoeling. Alvast bedankt!
Om te beginnen zie ik een fout (en een typo). De afgeleide van arctan x naar x is 1/(1 + x²). Om √(x² + a²) te primitiveren met behulp van partiële integratie vat je de integrand op als het product van 1 en √(x² + a²) en dan krijg je

\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,-\,\int \frac{x^2\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}

Nu hebben we ook

\frac{x^2}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}\,=\,\frac{x^2\,+\,a^2\,-\,a^2}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}\,=\,\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,-\,\frac{a^2}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}

zodat we dus krijgen

\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,-\,\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,+\,a^2\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}

en dit geeft

\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,\frac{1}{2}x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,+\,\frac{1}{2}a^2\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}

en dus

\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,\frac{1}{2}x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,+\,\frac{1}{2}a^2\,\ln(x\,+\,\sqrt{x^2\,+\,a^2})\,+\,C

aangezien we al wisten dat

\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}\,=\,\ln(x\,+\,\sqrt{x^2\,+\,a^2})\,+\,C

Er is overigens een interessante manier om deze laatste integraal met behulp van een substitutie te behandelen. Je mag zonder verlies van algemeenheid a > 0 veronderstellen, en als je nu

x\,=\,\frac{1}{2}a\left(u\,-\,\frac{1}{u}\right)

substitueert, waarin je dan u > 0 mag veronderstellen zodat

u\,=\,\frac{x}{a}\,+\,\sqrt{(\frac{x}{a})^2\,+\,1}

dan vind je dat de integraal reduceert tot

\int \frac{\rm{d}u}{u}\,=\,\ln\,u\,+\,C

aangezien

\frac{1}{4}a^2\left(u\,-\,\frac{1}{u}\right)^2\,+\,a^2\,=\,\frac{1}{4}a^2\left(u\,+\,\frac{1}{u}\right)^2\

en dus

\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,=\,\frac{1}{2}a\left(u\,+\,\frac{1}{u}\right)\,=\,\frac{1}{2}a\left(1\,+\,\frac{1}{u^2}\right)u

terwijl

\rm{d}x\,=\,\frac{1}{2}a\left(1\,+\,\frac{1}{u^2}\right)\rm{d}u

Het is eenvoudig om het verband te zien tussen deze algebraïsche substitutie en de meer gebruikelijke hyperbolische substitutie om deze integraal te behandelen. Substitueren we namelijk

u\,=\,e^t

in

x\,=\,\frac{1}{2}a\left(u\,-\,\frac{1}{u}\right)

dan hebben we

x\,=\,a\,\cdot\,\sinh\,t

en daarmee

t\,=\,\rm{arsinh} \left(\frac{x}{a}\right)

en dan is ook

\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,=\,a\,\cdot\,\cosh\,t

en

\rm{d}x\,=\,a\,\cdot\,\cosh\,t\,\,\cdot\,\rm{d}t

zodat de integraal reduceert tot

\int \rm{d}t\,=\,t\,+\,C

en we dus hebben

\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{a^2\,+\,x^2}}\,=\,\rm{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)\,+\,C

als tegenhanger van

\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{a^2\,-\,x^2}}\,=\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\,+\,C

[ Bericht 8% gewijzigd door Riparius op 09-10-2014 20:30:17 ]
pi_145350048
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:45 schreef Anoonumos het volgende:
Dat U een kansdichtheid f heeft impliceert niet dat 1 - U een kansdichtheid 1 - f heeft. (Dat zou ook niet kunnen want dat is geen kansdichtheid)
Je moet laten zien dat U ook kansdichtheid f heeft.
Dat kan door te laten zien dat de verdelingsfuncties van U en 1-U hetzelfde zijn.
De verdelingsfunctie van U is de volgende:
F(u) = \left\{\begin{matrix} u & 0 \leq u \leq 1 \\ 0 & elders \end{matrix}

Maar moet ik de 1 buiten de functie laten of niet? Dus 1 - f(u) is 1 - U ?
Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...
  woensdag 8 oktober 2014 @ 22:59:24 #11
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145350050
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:49 schreef GeschiktX het volgende:
Goedenavond,

Ziet iemand de overgang van wat er links voor het = teken staat naar wat er rechts van het = teken staat?:

[ afbeelding ]

Wat mij onduidelijk is (de vraag heeft betrekking op de extreme punten) is x1 en x2... Ik vind het erg lastig om te weten wat voor getal x1 en x2 nou voorstellen en hoe ik dit moet invullen, want de functie maakt het er niet gemakkelijker op met wortels en al..
Als je links in de teller haakjes uitwerkt en de 8 buiten haakjes laat staat er 8(3x2+4-6x2)= 8(4-3x2). Via het merkwaardig product a2-b2=(a+b)(a-b) kom je aan de rechterkant uit.

En over die extreme waarden:
Je hebt de functie (8x)/(3x2+4) gedifferentieerd, en om de extreme waarden van die functie te vinden stel je de afgeleide gelijk aan 0. Immers, waar de afgeleide functie gelijk aan nul is, is de raaklijn horizontaal en dan heb je óf een extremum óf een buigpunt te pakken.
Om de nulpunten van je afgeleide te vinden is de ontbinding van de teller uit je post handig. Want voor welke twee waarden van x is de teller, en dus de breuk, gelijk aan 0?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145350264
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:59 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Als je links in de teller haakjes uitwerkt en de 8 buiten haakjes laat staat er 8(3x2+4-6x2)= 8(4-3x2). Via het merkwaardig product a2-b2=(a+b)(a-b) kom je aan de rechterkant uit.
Tot zover was het mij wel gelukt, maar de merkwaardigheid ervan zie ik niet. Daar stoot ik mijzelf tegen de 'douchekop'. ;)
  woensdag 8 oktober 2014 @ 23:05:09 #13
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145350288
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:04 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Tot zover was het mij wel gelukt, maar de merkwaardigheid ervan zie ik niet. Daar stoot ik mijzelf tegen de 'douchekop'. ;)
http://nl.wikipedia.org/wiki/Merkwaardig_product
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145350395
quote:
Ja die ken ik allemaal... Dit was nog zelfs nog middelbare school wiskunde. Toch zie ik hem niet.. Het ziet er veel anders uit die 8(4-3x²).. dan ik gewend ben voor een merkwaardig product zoals bijv. (a-b)²
  woensdag 8 oktober 2014 @ 23:10:02 #15
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_145350496
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:07 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ja die ken ik allemaal... Dit was nog zelfs nog middelbare school wiskunde. Toch zie ik hem niet.. Het ziet er veel anders uit die 8(4-3x²).. dan ik gewend ben voor een merkwaardig product zoals bijv. (a-b)²
Vergeet even de 8, en kijk alleen naar 4-3x². Dat is van de vorm a²-b², waarbij a=2 en b=x√3.
Je weet dat a²-b²=(a+b)(a-b), dus dan is ook, in dit geval:
4-3x² = (2+x√3)(2-x√3)
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_145350637
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 22:59 schreef Hoplahopla het volgende:

[..]

De verdelingsfunctie van U is de volgende:
F(u) = \left\{\begin{matrix} u & 0 \leq u \leq 1 \\ 0 & elders \end{matrix}

Maar moet ik de 1 buiten de functie laten of niet? Dus 1 - f(u) is 1 - U ?
Noem dat FU. De verdelingsfunctie van 1-U is dan (voor alle u in [0,1])
 F_{(1-U)} (u) = \mathbb{P}(1-U \leq u) = \mathbb{P}(-U \leq u -1) = \mathbb{P}(U \geq 1 -u) = \dots = u = F_U(u)
Waar jij nog de laatste één a twee tussenstappen kan invullen.
Snap je het zo? Ik weet niet wat je bedoelt met je laatste vraag.
pi_145350749
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:10 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Vergeet even de 8, en kijk alleen naar 4-3x². Dat is van de vorm a²-b², waarbij a=2 en b=x√3.
Je weet dat a²-b²=(a+b)(a-b), dus dan is ook, in dit geval:
4-3x² = (2+x√3)(2-x√3)
Ohh wat oliedom van me. :') Dankje.


Dit is dan zeker ook een merkwaardig product?

4x5 - 8x5 ?
pi_145350775
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:07 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ja die ken ik allemaal... Dit was nog zelfs nog middelbare school wiskunde. Toch zie ik hem niet.. Het ziet er veel anders uit die 8(4-3x²).. dan ik gewend ben voor een merkwaardig product zoals bijv. (a-b)²
Om te beginnen: de term merkwaardig product is ergens in de 19e eeuw in het onderwijs geïntroduceerd. Niet omdat er iets 'merkwaardigs' mee aan de hand zou zijn, maar omdat ze het (be)merken waard zijn, oftewel omdat ze het waard zijn onthouden te worden. Dit klinkt nu een beetje ouderwets, en de term wordt door hedendaagse generaties vaak verkeerd begrepen, maar de term is blijven hangen en deze identiteiten heten nu eenmaal zo. En inderdaad moet je ze gewoon van buiten kennen, en dan niet alleen van links naar rechts maar ook van rechts naar links. En daarnaast moet je ze ook altijd kunnen herkennen en toepassen, anders heb je er tenslotte nog niets aan. En aan dat laatste schort het bij jou. Als je ziet

4 − 3x²

en je wil dit ontbinden in lineaire factoren (en ja, dat wil je, waarom eigenlijk?) dan moet je direct zien dat je dit op kunt vatten als een verschil van twee kwadraten, namelijk als

2² − (√3·x)²

en dus als

(2 − √3·x)(2 + √3·x)
pi_145350819
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:17 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ohh wat oliedom van me. :') Dankje.

Dit is dan zeker ook een merkwaardig product?

4x5 - 8x5 ?

Dat is gewoon -4x5.
pi_145350823
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Om te beginnen: de term merkwaardig product is ergens in de 19e eeuw in het onderwijs geïntroduceerd. Niet omdat er iets 'merkwaardigs' mee aan de hand zou zijn, maar omdat ze het (be)merken waard zijn, oftewel omdat ze het waard zijn onthouden te worden. Dit klinkt nu een beetje ouderwets, en de term wordt door hedendaagse generaties vaak verkeerd begrepen, maar de term is blijven hangen en deze identiteiten heten nu eenmaal zo. En inderdaad moet je ze gewoon van buiten kennen, en dan niet alleen van links naar rechts maar ook van rechts naar links. En daarnaast moet je ze ook altijd kunnen herkennen en toepassen, anders heb je er tenslotte nog niets aan. En aan dat laatste schort het bij jou. Als je ziet

4 − 3x²

en je wil dit ontbinden in lineaire factoren (en ja, dat wil je, waarom eigenlijk?) dan moet je direct zien dat je dit op kunt vatten als een verschil van twee kwadraten, namelijk als

2² − (√3·x)²

en dus als

(2 − √3·x)(2 + √3·x)
Dit stuk schort bij mij, waardoor ik het laatste dus niet kan zien. ;)
pi_145350833
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:17 schreef GeschiktX het volgende:

Dit is dan zeker ook een merkwaardig product?

4x5 - 8x5 ?

Nee. Bedenk zelf maar waarom niet.
pi_145350836
quote:
10s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dat is gewoon -4x5.
Klopt, maar als je dit wilt factoriseren, hoe doe je dit?
pi_145350871
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Bedenk zelf maar waarom niet.
Oeps verkeerde functie gekopieerd..
pi_145350921
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Bedenk zelf maar waarom niet.
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Klopt, maar als je dit wilt factoriseren, hoe doe je dit?
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:21 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Oeps verkeerde functie gekopieerd..
[ 4x ( x4 + 1 ) - 2x² 4x³ ]

ofwel

4x5 + 4x - 8x5

Het zou moeten resulteren tot:

4x( 1 + x² ) ( 1 + x) ( 1-x)
pi_145350959
quote:
0s.gif Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Dit stuk schort bij mij, waardoor ik het laatste dus niet kan zien. ;)
Ik denk dat het een goede oefening voor jou is als je zelf eens (a+b)(a+b) , (a+b)(a-b) en (a-b)(a-b) uitrekent en er op let wat het patroon is. Je zou binnen een seconde moeten kunnen opdreunen wat er uit komt als a en b een ander ander getal zijn.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')