[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 22:06 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Waarom komt die ln c er eigenlijk bij?

als de afgeleide van de e^x = e^x dan is

c^x toch ook c ^x (afgeleide)?

Of denk ik te krom?

De afgeleide van c^x is alleen gelijk aan c^x als c gelijk is aan e.

Waarom die ln c erbij komt heeft ze ook uitgelegd.

c^x = e^(ln c^x) = e^(x ln c)
En van die laatste kan je vast wel verzinnen waarom die ln c er bij moet komen in de afgeleide.
Iets met een ketting en een regel.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 22:03 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ik heb alles begrepen wat je zei tot op het eind na.. (vetgedrukte)...

Ik weet wel dat u' = -1, maar ik zie gewoon niet dat de afgeleide van 10^u ln 10 * 10^u is..

Als dat zo is dan moet je toch nog eens goed kijken naar de regels die boven het vetgedrukte staan, want daar staat de uitleg van het differentiëren van een exponentiële functie met een grondtal anders dan e.

quote:

Waarom werkte je bij je uitleg met u' ?

Dan zou je toch ook moeten hebben: c^u * ln c * u'

OK, ik zal het differentiëren nog eens herschrijven met behulp van de substitutie met u. Het is niet direct mijn favoriete manier, maar aangezien jij er zelf mee kwam (en het bepaald niet ongebruikelijk is) neem ik dat over.

De afgeleide van e^x is weer e^x. Alleen de exponentiële functie met het grondtal e is zijn eigen afgeleide.

Stel dat we de exponentiële functie g(x) = 10^x willen differentiëren. Dan proberen we deze eerst te herschrijven als een e-macht, omdat we daar de afgeleide al van kennen. [Dit is eigenlijk de modus operandi van iedere wiskundige - probeer een probleem te herleiden naar een probleem waar je de oplossing al van kent]
Omdat 10 = e^ln10, is 10^x = (e^ln10)^x = e^x·ln10

Nu passen we de kettingregel toe om te differentiëren: subst. u = x·ln10, dan
g'(x) = g'(u)·u' = e^u·ln 10, en nu vullen we weer in dat u = x·ln10 dus staat er
g'(x) = e^x·ln10·ln 10 = 10^x·ln 10

Dit werkt op deze manier natuurlijk met ieder grondtal >0, waardoor als h(x) = c^x dan h'(x) = c^x·ln c.
Hieraan kun je ook weer zien dat e^x zijn eigen afgeleide is, want ln e = 1.

Ik leg de kettingregel meestal zo uit:
Als f een samengestelde functie is van de vorm f(x) = g(h(x)), dan is f'(x) = g'(h(x))·h'(x).
In jouw geval is f(x) = 10^-x, dan is g(x) = 10^x en h(x) = -x.

Dan is f'(x) = ln 10·10^-x·-1

Is het trouwens echt noodzakelijk om één post drie keer achter elkaar te quoten?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 22:22 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Als dat zo is dan moet je toch nog eens goed kijken naar de regels die boven het vetgedrukte staan, want daar staat de uitleg van het differentiëren van een exponentiële functie met een grondtal anders dan e.

[..]

OK, ik zal het differentiëren nog eens herschrijven met behulp van de substitutie met u. Het is niet direct mijn favoriete manier, maar aangezien jij er zelf mee kwam (en het bepaald niet ongebruikelijk is) neem ik dat over.

De afgeleide van e^x is weer e^x. Alleen de exponentiële functie met het grondtal e is zijn eigen afgeleide.

Stel dat we de exponentiële functie g(x) = 10^x willen differentiëren. Dan proberen we deze eerst te herschrijven als een e-macht, omdat we daar de afgeleide al van kennen. [Dit is eigenlijk de modus operandi van iedere wiskundige - probeer een probleem te herleiden naar een probleem waar je de oplossing al van kent]
Omdat 10 = e^ln10, is 10^x = (e^ln10)^x = e^x·ln10

Nu passen we de kettingregel toe om te differentiëren: subst. u = x·ln10, dan
g'(x) = g'(u)·u' = e^u·ln 10, en nu vullen we weer in dat u = x·ln10 dus staat er
g'(x) = e^x·ln10·ln 10 = 10^x·ln 10

Dit werkt op deze manier natuurlijk met ieder grondtal >0, waardoor als h(x) = c^x dan h'(x) = c^x·ln c.
Hieraan kun je ook weer zien dat e^x zijn eigen afgeleide is, want ln e = 1.

Ik leg de kettingregel meestal zo uit:
Als f een samengestelde functie is van de vorm f(x) = g(h(x)), dan is f'(x) = g'(h(x))·h'(x).
In jouw geval is f(x) = 10^-x, dan is g(x) = 10^x en h(x) = -x.

Dan is f'(x) = ln 10·10^-x·-1

Is het trouwens echt noodzakelijk om één post drie keer achter elkaar te quoten?

DANKJEWEL!!!! HET IS EINDELIJK DUIDELIJK NA 3,5 UUR!

Ik moest de afgeleide bepalen van de volgende functie:

y = e^xx^-2

Ik had de productregel toegepast:

y' = e^x * x^-2 + e^x * -2x^-3

herschreven tot:

y' = e^x ( x^-2 -2x^-3 )

Klopt dit ? Antwoordenboek zegt namelijk wat anders..


antwoordenboek (ben benieuwd hoe ze erop komen):

y' = e^x ( x-2) / x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:01 schreef BroodjeKebab het volgende:
(ben benieuwd hoe ze erop komen)

Wat betekent x^-3?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:03 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Wat betekent x^-3?

1 / x³

Ik raak alleen door de war door mijn eigen haakjes etc..

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:04 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

1 / x³

Heel goed. Ga 'm nu eens netjes uitschrijven, dan zie je 'm denk ik wel. Bedenk daarbij dat x^-2 = 1/x² = x/x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:06 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

...

Bij het differentieren van y = 2e^x³ :

valt die 2 uiteindelijk dan weg of niet?

Ik heb namelijk:

y = f(x) * g(x)

g'(x) = e ^x³ * 3x²

g'(x) = 3x²e^x³

y' = 2e^x³ + 2 * 3x²e^x³
y' = 2 * e^x³ + 6x²e^x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:17 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Bij het differentieren van y = 2e^x³ :

valt die 2 uiteindelijk dan weg of niet?

Ik heb namelijk:

y = f(x) * g(x)

g'(x) = e ^x³ * 3x²

g'(x) = 3x²e^x³

y' = 2e^x³ + 2 * 3x²e^x³
y' = 2 * e^x³ + 6x²e^x³

Je moet zelf maar even opzoeken waar je denkfout zit, want ik kan hier geen chocola van maken.

In ieder geval heb je voor het differentiëren van f(x) = 2e^x³ niet de productregel nodig, maar de kettingregel.

f(x) = 2e^g(x) waarbij g(x)=x³.
Dan f'(x) = 2e^g(x) · g'(x) = 2e^x³·3x² = 6x²e^x³

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:22 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Je moet zelf maar even opzoeken waar je denkfout zit, want ik kan hier geen chocola van maken.

In ieder geval heb je voor het differentiëren van f(x) = 2e^x³ niet de productregel nodig, maar de kettingregel.

f(x) = 2e^g(x) waarbij g(x)=x³.
Dan f'(x) = 2e^g(x) · g'(x) = 2e^x³·3x² = 6x²e^x³

Ohhh....oke..

Ik heb deze tip toegepast op een nieuwe vraagstuk om een eerste afgeleide te bepalen:

y = e^1/x

Ik heb ervan gemaakt:

y' = -x^-2e^1/x

Alleen hoe zou ik van deze de tweede afgeleide kunnen bepalen?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:28 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ohhh....oke..

Ik heb deze tip toegepast op een nieuwe vraagstuk om een eerste afgeleide te bepalen:

y = e^1/x

Ik heb ervan gemaakt:

y' = -x^-2e^1/x

Alleen hoe zou ik van deze de tweede afgeleide kunnen bepalen?

Als je je eigen vaardigheden wil testen probeer je het op twee manieren, namelijk één keer met de productregel en één keer met de quotiëntregel. En dan kijken of er hetzelfde uitkomt.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:30 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Als je je eigen vaardigheden wil testen probeer je het op twee manieren, namelijk één keer met de productregel en één keer met de quotiëntregel. En dan kijken of er hetzelfde uitkomt.

Met de productregel kom ik uit op:

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:32 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Met de productregel kom ik uit op:

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

Correct, en nu nog even wat korter opschrijven.

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:36 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Correct, en nu nog even wat korter opschrijven.

Echt waar? Dan ben ik wel heel onzeker, ik dacht dat het fout was.

Hoe kan ik het korter opschrijven?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:37 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Echt waar? Dan ben ik wel heel onzeker, ik dacht dat het fout was.

Hoe kan ik het korter opschrijven?

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

= e^1/x * x^-4 + e^1/x * 2x^-3

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:41 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

(e^1/x * -x ^-2 ) * -x^-2 + e^1/x * 2x ^-3

= e^1/x * x^-4 + e^1/x * 2x^-3

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

Ik zie niet waarom die e met 1/x niet vermenigvuldigt wordt met -x^-2 ?

Hetzelfde geldt dat ik niet snap hoe je van die één na laatste naar die laatste herschrijving gaat?

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:44 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik zie niet waarom die e met 1/x niet vermenigvuldigt wordt met -x^-2 ?

Het eerste gedeelte, voor het +-teken, is van de vorm (a*b)*c. Dit is uiteraard gewoon gelijk aan a*b*c.

quote:

Hetzelfde geldt dat ik niet snap hoe je van die één na laatste naar die laatste herschrijving gaat?

Ik zal een stap voor je toevoegen. Ik denk dat het verstandig is dat je nog even wat gaat terugbladeren in de hoofdstukken die algebraïsche vaardigheden zoals herleiden behandelen.

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x * (1 * x^-4 + 2x * x^-4)

= e^1/x * x^-4 * (1 + 2x)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 23:51 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Het eerste gedeelte, voor het +-teken, is van de vorm (a*b)*c. Dit is uiteraard gewoon gelijk aan a*b*c.

[..]

Ik zal een stap voor je toevoegen. Ik denk dat het verstandig is dat je nog even wat gaat terugbladeren in de hoofdstukken die algebraïsche vaardigheden zoals herleiden behandelen.

= e^1/x * (x^-4 + 2x^-3)

= e^1/x * (1 * x^-4 + 2x * x^-4)

= e^1/x * x^-4 * (1 + 2x)

= e^1/x(1+2x) / x⁴

Aha oke thnx

quote:

Op vrijdag 26 september 2014 14:22 schreef BroodjeKebab het volgende:
Ik snap de notatie van Leibniz niet helemaal...

Maak daar maar van helemaal niet. Begin met deze uitleg van mij nog eens heel goed te bestuderen.

quote:

2. [ afbeelding ]

Ik snap hier niet hoe

dln y / dln x = dln y / dx * dx / dln x want

d ln y * dx = d²xlny toch? Hetzelfde geldt dan voor dx * dln x = d²ln x² ?

Of zit ik er compleet naast? Ik ben niet zo bekend met de notatie van Leibniz en ik zou hier graag meer duidelijkheid over willen.

Je bent hier aan het goochelen met symbolen op een manier die mij in ieder geval duidelijk maakt dat je er nog niets van begrijpt. Om te beginnen is die d niet een grootheid maar een operator. Verder kun je hier beter haakjes gebruiken en het zo opschrijven:



Als we nu even alleen naar de eerste stap kijken en daarbij even z in de plaats stellen van ln y, dan staat er eigenlijk



en dit is uiteraard de kettingregel in de notatie van Leibniz. We hebben hier een variabele z die afhangt van een variabele y, en die variabele y hangt weer af van een variabele x. De kettingregel zegt nu dat we de rate of change van z ten opzichte van x, dus dz/dx, kunnen berekenen door de rate of change van z ten opzichte van y, dus dz/dy, te vermenigvuldigen met de rate of change van y ten opzichte van x, dus dy/dx.

Het is helemaal niet moeilijk om in te zien waarom dit zo moet zijn. We hebben hier eigenlijk een samenstelling van twee functies, die we f en g zouden kunnen noemen, maar dat is niet essentieel. Eén van de prettige aspecten van de Leibniz notatie is namelijk dat we hiermee direct met variabelen en veranderingen van variabelen die afhangen van andere variabelen kunnen werken, zonder dat we eerst namen hoeven te verzinnen voor al die afhankelijkheidsrelaties (oftewel functies).

Maar goed, stel dat we een functie f hebben waarbij x de onafhankelijke variabele is en y de afhankelijke variabele, zodat dus



dan kun je deze functie beschouwen als een black box waar je iets in stopt, namelijk een waarde x, en waar dan ook weer iets uit komt, namelijk een waarde y. We kunnen dan zeggen dat x de input is van deze functie en y de output.

Stel nu verder dat we nog een tweede functie g hebben die we uiteraard eveneens als een black box kunnen beschouwen waar we eveneens iets in kunnen stoppen en waar dan ook weer iets uit komt. Als we nu de output van onze eerste functie f, dus de variabele y, in deze tweede black box stoppen als input, dan komt hier ook weer een waarde uit, die we bijvoorbeeld aan kunnen geven met de letter z. We zeggen dan dat y de onafhankelijke variabele is van de functie g en dat z de afhankelijke variabele is van onze functie g en we kunnen dit noteren als



en omdat y = f(x) kunnen we hiervoor ook schrijven



We zien dus dat z nu afhangt van x, en dat is volkomen begrijpelijk, want als we iets aan x veranderen, dan verandert er (in het algemeen) iets aan y, en als er iets aan y verandert, dan verandert er (in het algemeen) weer iets aan z. Dat komt natuurlijk omdat we onze twee black boxes f en g hebben gekoppeld, de output y van de eerste black box gebruiken we als input voor de tweede black box.

We hebben zo dus een samenstelling van deze twee black boxes, en als we hier een grote doos omheen doen, dan kunnen we aan de buitenkant niet meer zien dat het er twee zijn, maar dan hebben we één (grote) doos waar we een waarde van x in stoppen en waar dan een waarde van z uit komt. Als we deze nieuwe black box, oftewel deze nieuwe functie, nu even h noemen, dan is x dus de onafhankelijke variabele en z de afhankelijke variabele van de nieuwe functie h, dus



en omdat z = g(f(x)) kunnen we dus ook schrijven



De functie h is dus een samenstelling van de functies f en g. We kunnen dit nu symbolisch ook noteren als



Het rondje geeft hier de samenstelling aan en spreek je uit als 'na', dus h is gelijk aan g na f. Het lijkt misschien wat onnatuurlijk om dit zo op te schrijven omdat ons schrift van links naar rechts loopt en we tenslotte functie h hebben gemaakt door eerst een functie f te nemen en de output daarvan weer als input te gebruiken voor een tweede functie g, maar het grote voordeel van deze notatie is dat de volgorde van de letters g en f zo hetzelfde blijft als bij de haakjesnotatie h(x) = g(f(x)) en we zo dus niet in de war raken met de volgorde.

Als we bestuderen hoe variabelen van elkaar afhangen, dan zijn we er in het algemeen in geïnteresseerd om te weten te komen hoe een momentane verandering van een variabele afhangt van een momentane verandering van een andere variabele, en dat is nu precies wat een differentiaalquotiënt oftewel de limiet van een differentiequotiënt ons vertelt.

Als we in onze opstelling met de twee gekoppelde black boxes de input x van de eerste black box een klein beetje veranderen, zeg met een verschil Δx (spreek uit: delta x), dan zal de output y van de eerste black box (in het algemeen) ook een klein beetje veranderen, zeg met een verschil Δy. Bedenk hierbij dat we de vrijheid hebben om de input x van de eerste black box een klein beetje groter te maken, maar ook een klein beetje kleiner ten opzichte van de gekozen beginwaarde x. Dat betekent dus dat Δx zowel positief als negatief kan zijn. En uiteraard betekent dit dat het verschil Δy in output van de eerste black box ook zowel positief als negatief kan zijn. En het is vanzelfsprekend niet per se zo dat een positieve waarde van Δx ook een positieve waarde van Δy oplevert: het kan best zo zijn dat y wat kleiner wordt als we x een beetje groter maken, dat hangt er helemaal van af wat er binnenin die black box gebeurt, oftewel wat voor functie we hebben.

Nu hebben we gezien dat als we iets aan x veranderen, dat er dan (in het algemeen) ook iets aan z verandert, omdat we de output y van de eerste black box gebruiken als input voor de tweede black box. Laten we deze verandering in de waarde van z met Δz aangeven, dan kunnen we nu gaan kijken hoe de verandering Δz van de output z van de twee gekoppelde black boxes zich verhoudt tot de verandering Δx van de input x van ons gekoppelde systeem, en waarbij we die input x immers zelf in de hand hebben. Anders gezegd, we zijn nu geïnteresseerd in de verhouding Δz/Δx. Volgens de rekenregels voor breuken hebben we



of, als we dit even van rechts naar links opschrijven,



Kijk, en dit is interessant: we zien nu dat de verhouding Δz/Δx tussen de verandering van de output Δz en de verandering van de input Δx van ons gekoppelde systeem van de twee black boxes niets anders is dan het product van de verhouding Δz/Δy van de verandering van output en input van de tweede black box en de verhouding Δy/Δx van de verandering van output en input van de eerste black box.

Maar nu zijn we niet zozeer geïnteresseerd in de verhouding Δz/Δx als we de waarde x van de input van ons gekoppelde systeem een beetje veranderen van x naar x + Δx (waarbij de verandering Δx zoals gezegd ook negatief kan zijn), want de verhouding Δz/Δx is over het algemeen niet constant maar afhankelijk van de gekozen verandering Δx van onze input x, tenzij z op een lineaire manier afhangt van x. Wat we eigenlijk willen weten is de momentane verandering van de afhankelijke variabele oftewel de output z bij een momentane verandering van een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele oftewel de input x. Daarom gaan we kijken wat er gebeurt met die verhouding Δz/Δx als we de verandering Δx steeds kleiner maken. Anders gezegd, we gaan kijken naar de limiet van de verhouding Δz/Δx voor Δx → 0.

Nu is het zo dat we de functies f en g in ieder geval continu veronderstellen, en dat betekent dat de verandering Δy van y ook naar nul toe gaat als we de verandering Δx van x naar nul laten gaan, en uiteraard zal dan ook de verandering Δz van z naar nul toe gaan omdat immers de verandering Δy van y naar nul toe gaat. We hebben



en als we nu Δx en daarmee ook Δy naar nul laten gaan, dan krijgen we dus



en dit kunnen we met de notatie van Leibniz symbolisch weergeven als



Een notatie als dy/dx noemen we traditioneel een differentiaalquotiënt, maar dit is dus feitelijk geen quotiënt maar een limiet van een quotiënt, namelijk de limiet van het differentiequotiënt Δy/Δx voor Δx → 0 waarbij y een variabele is die afhangt van een variabele x. En op precies dezelfde manier is het differentiaalquotiënt dz/dy de limiet van een differentiequotiënt Δz/Δy voor Δy → 0 waarbij z een variabele is die afhangt van een variabele y.

Eén van de grote voordelen van de notatie van Leibniz is, zoals al gezegd, dat we hiermee direct kunnen werken met een variabele die afhangt van een andere variabele zonder dat we die afhankelijkheidsrelatie oftewel functie eerst een naam hoeven te geven. Daarnaast is de notatie dy/dx direct geïnspireerd door de notatie Δy/Δx van het bijbehorende differentiequotiënt en deze symboliek maakt het bijzonder eenvoudig om bijvoorbeeld de kettingregel in bovenstaande notatie te onthouden en op te schrijven.

Hebben we nu bijvoorbeeld een variabele z die afhangt van een variabele y zodanig dat



dan is in de notatie van Leibniz



Nu staat de z voor ln y en als we hier de z vervangen door ln y dan kunnen we dus ook schrijven



Maar laten we nu eens aannemen dat die variabele y weer afhangt van een variabele x. Dan hangt z dus af van y en y weer van x, zodat uiteindelijk z afhangt van x. Volgens de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we dan



en als we hier weer ln y in de plaats stellen van z omdat immers z = ln y in het voorbeeld dat we nu bekijken, dan hebben we dus



oftewel



Zie je hoe eenvoudig deze notatie is te hanteren?

Maar nu gaan we het wat ingewikkelder maken. Tot nu toe hebben een variabele z die afhangt van een variabele y en waarbij geldt z = ln y en de variabele y hangt weer af van een variabele x, alleen is niet gespecificeerd hoe. Maar stel nu eens dat we nog een variabele u toevoegen die afhangt van x, en wel zo dat u = ln x. Dan is het zo dat een verandering van x uiteraard een verandering van u bewerkstelligt, en omdat een verandering van x ook een verandering geeft van y en een verandering van y weer een verandering van z, is het zo dat we met een verandering van u ten gevolge van de verandering van x ook een verandering zien van z. Maar stel nu eens dat we die verandering van z willen relateren aan die verandering van u, oftewel de rate of change willen bepalen van z ten opzichte van u, wat dan? Waarschijnlijk begint het je nu een beetje te duizelen, maar dat hoeft niet, want Leibniz is hier je grote redder in nood. We hebben immers volgens de kettingregel



Nu mogen we hier ln x in de plaats stellen van u en ln y in de plaats van z, want we hebben immers z = ln y en u = ln x, en dan krijgen we



Maar we kunnen nog verder gaan, want we hebben immers ook volgens de kettingregel



wat dus betekent dat we in de uitdrukking voor dz/du hierboven dz/dx kunnen vervangen door het product van dz/dy en dy/dx, zodat we krijgen



Substitueren we nu weer z = ln y en u = ln x, dan hebben we dus



Maar nu hadden we al gezien dat



en evenzo hebben we



en daarmee ook



zodat we de uitdrukking voor dz/du oftewel d(ln y)/(d ln x) nu kunnen schrijven als



De kettingregel wordt behalve in de notatie van Leibniz ook vaak gegeven in een andere notatie, de notatie van Lagrange, en dus is het van belang ook deze notatie alsmede het verband tussen beide notaties te begrijpen.

Laten we zeggen dat we een functie f hebben waarbij x de onafhankelijke variabele is en u de afhankelijke variabele, zodat dus



en laten we zeggen dat we een tweede functie g hebben waarbij u de onafhankelijke variabele is en y de afhankelijke variabele, dan hebben we dus ook



en aangezien u = f(x) kunnen we hiervoor dan schrijven



Denken we nog even terug aan ons model van de twee gekoppelde black boxes f en g, dan kunnen we ons dit zo voorstellen dat we een variabele x hebben die we als input in de eerste black box f stoppen, en de output u van deze black box stoppen we weer als input in een tweede black box g, die dan weer een output y levert. Het is duidelijk dat de output y die uit de tweede black box komt nu afhangt van de input x die we in de eerste black box stoppen. Doen we hier weer even een grote doos omheen zodat we aan de buitenkant niet meer zien dat het twee black boxes zijn dan hebben we één (grote) doos waar we een waarde van x in stoppen en waar dan een waarde van y uit komt. Als we deze nieuwe black box, oftewel deze nieuwe functie, nu even h noemen, dan is x dus de onafhankelijke variabele en y de afhankelijke variabele van de nieuwe functie h, dus



en omdat y = g(f(x)) kunnen we dus schrijven



Nu is de functie h dus een samenstelling van de functies f en g, en zoals we eerder zagen kunnen we dit symbolisch ook noteren als



Volgens de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we nu



Nu is uiteraard het differentiaalquotiënt dy/dx als limiet van Δy/Δx voor Δx → 0 hier niets anders dan de afgeleide h'(x) van h(x), want hier is Δy de verandering in de functiewaarde y = h(x) als we x laten veranderen naar x + Δx, dus Δy = h(x + Δx) − h(x), zodat we in overeenstemming met de definitie van de afgeleide functie hebben



Evenzo is dy/du = g'(u) en du/dx = f'(x) zodat we voor de kettingregel in de notatie van Lagrange dus krijgen



en aangezien u = f(x) kunnen we dit schrijven als



of, met h = g ∘ f, als



of, in symbolische vorm, als



Even een eenvoudig voorbeeld om het gebruik van de kettingregel in de notaties van Lagrange en Leibniz te illustreren. Laten we zeggen dat we de afgeleide willen bepalen van de functie



De eerste stap is altijd om na te gaan uit welke functies we ons een functie als deze samengesteld kunnen denken. Vaak helpt het daarbij om na te gaan hoe je een concrete functiewaarde voor een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele (hier: x) zou berekenen. Welnu, dan berekenen we eerst x² + 1 en vervolgens nemen we daarvan de natuurlijke logaritme. Schematisch voorgesteld:



Als we nu het 'tussenresultaat' x² + 1 even voorstellen door de letter u en de functiewaarde ln(x² + 1) zoals te doen gebruikelijk door de letter y, dan hebben we dus



We zien nu dat we een samenstelling hebben van een functie f(x) = x² + 1 en een functie g(u) = ln u waarbij u = x² + 1. De functie f(x) = x² + 1 heeft als afgeleide f'(x) = 2x en de functie g(u) = ln u heeft als afgeleide g'(u) = 1/u zodat we dus met de kettingregel in de notatie van Lagrange krijgen



en met de kettingregel in de notatie van Leibniz hebben we y = ln u en u = x² + 1 zodat dy/du = 1/u en du/dx = 2x en dus krijgen we evenzo



Na de nodige oefening zul je merken dat je niet meer expliciet met een tussenvariabele hoeft te werken en dat je dan de afgeleide van een samengestelde functie gemakkelijk direct op kunt schrijven. In de notatie van Lagrange hebben we dan



Substitueren we in bovenstaande kettingregel in de notatie van Leibniz y = h(x) = g(f(x) en u = f(x) dan hebben we



Of, met wat minder haakjes,



en voor de afgeleide van ln(x² + 1) naar x krijgen we zo dus in de notatie van Leibniz

quote:

Ik heb gewoon uit mijn hoofd geleerd dat als je bijv. hebt d/dx en je hebt x² dat de afgeleide dan 2x is (op zijn simpelst).

Het is van belang om een goede parate kennis te hebben van zaken zoals allerlei identiteiten (merkwaardige producten, binomiaalformule, somformules voor rekenkundige en meetkundige reeksen, goniometrische identiteiten), en rekenregels voor het werken met bijvoorbeeld machten, wortels en logaritmen, alsmede rekenregels voor het differentiëren (afgeleiden van een aantal standaardfuncties, differentiëren van een som, verschil, product en quotiënt, en natuurlijk de kettingregel) maar je moet nooit, en ik herhaal, echt h-e-l-e-m-a-a-l n-o-o-i-t iets uit je hoofd leren of memoriseren dat je niet begrijpt. Pas als je een formule of identiteit werkelijk hebt begrepen en deze ook kunt afleiden mag je deze memoriseren, en dan zul je merken dat het memoriseren ervan ook geen enkele moeite meer kost. Als je de - foute - omgekeerde weg bewandelt, dan zul je alleen maar gefrustreerd raken en op zijn best alleen wat kunstjes kunnen reproduceren waarvan je de achterliggende ideeën niet begrijpt en waarmee je direct uit de bocht vliegt zodra er ook maar een greintje creativiteit van je wordt verwacht.

Tot slot nog even iets over de notatie d/dx aangezien je die hier noemt. Als we de afgeleide naar x van bijvoorbeeld x² + 6x + 9 in de notatie van Leibniz opschrijven, dan krijgen we



Dit is niet al te fraai en om typografische redenen noteert men dit meestal als



Deze notatie heeft ertoe geleid dat men



is gaan opvatten als een operator. In het algemeen kun je dus in plaats van



ook schrijven



[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-09-2014 20:51:40 ]

Ik heb hier een afgeleide van:

(3qt² * te^t) - (p+ qt³) * (1+t)e^t / t²e^2t

Wat moet ik nu doen? Alles delen door e^t ? Als ik dat doe, kom ik niet helemaal goed uit..

Hetzelfde geldt voor:


[2(at + bt²) (a + 2bt) - (at + bt² ) ² ] / (e^t)²

[ Bericht 10% gewijzigd door Super-B op 27-09-2014 12:14:26 ]

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:07 schreef Super-B het volgende:
Ik heb hier een afgeleide van:

3qt² * te^t) = (p+ qt³) * (1+t)e^t / (t²e^2t

Wat moet ik nu doen? Alles delen door e^t ? Als ik dat doe, kom ik niet helemaal goed uit..

Ik zal dan nog voor je gokken dat je moet differentiëren naar t en niet naar p, q of z, maar verder zal je je post toch echt moeten herschrijven zodat duidelijk wordt wat je bedoelt.
Welke functie moet je differentiëren?
Wat komt eruit volgens jouw eigen berekening?
Welke techniek heb je daarvoor gebruikt, of welke tussenstappen heb je gemaakt?

-edit- En na herlezing vraag ik me inmiddels af of je überhaupt wel moet differentiëren.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:07 schreef Super-B het volgende:
Ik heb hier een afgeleide van:

3qt² * te^t) = (p+ qt³) * (1+t)e^t / (t²e^2t

Wat moet ik nu doen? Alles delen door e^t ? Als ik dat doe, kom ik niet helemaal goed uit..

Kun je iets duidelijker zijn?
Waarvan neem je de afgeleide? Waar komt p vandaan?

Wat Janneke zei dus.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:12 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Ik zal dan nog voor je gokken dat je moet differentiëren naar t en niet naar p, q of z, maar verder zal je je post toch echt moeten herschrijven zodat duidelijk wordt wat je bedoelt.
Welke functie moet je differentiëren?
Wat komt eruit volgens jouw eigen berekening?
Welke techniek heb je daarvoor gebruikt, of welke tussenstappen heb je gemaakt?

-edit- En na herlezing vraag ik me inmiddels af of je überhaupt wel moet differentiëren.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:13 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Kun je iets duidelijker zijn?
Waarvan neem je de afgeleide? Waar komt p vandaan?

Wat Janneke zei dus.

a, b ,c , p , en q zijn constanten: Differentieer de volgende functies door t (w.r.t. t):

1. p + qt³ / te^t

2. (at + bt²)² / e^t

[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 27-09-2014 12:40:03 ]

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:15 schreef Super-B het volgende:

[..]

[..]

a, b ,c , p , en q zijn constanten: Differentieer de volgende functies door t (w.r.t. t):

1. p + qt³ / te^t / te^t

2. (at + bt²)² / e^t

Aan de eerste begin ik niet eens, want ik kan op drie verschillende manieren uitleggen hoe die functie eruit ziet vanwege het gebrek aan duidelijke haakjes.

De tweede functie is van de vorm f(t) = g(t)/h(t) en dus zullen we de quotiëntregel moeten toepassen.

Deze zegt dat f'(t) = [g'(t)h(t) - g(t)h'(t)] / h'(t)²

g'(t) = 2(at + bt²)(a+2bt) met behulp van de kettingregel.
h'(t) = e^t

Nu invullen levert ons



Nu kun je inderdaad boven en onder delen door e^t (Waarom eigenlijk?), en als je dan nog wat termen bij elkaar neemt krijg je

Volgens mij bedoelt hij

1. (p + qt³) / te^t

En dan klopt zijn (editted) eerste post.

Waar moet je op uitkomen dan?

Of dat bedoelt hij niet en dan is dat het probleem.