[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:20 schreef netchip het volgende:

[..]

Integers zijn toch alle gehele getallen, en de natuurlijke getallen zijn toch alle positieve gehele getallen?

Ja, en dan is 0 geen natuurlijk getal, terwijl je hierboven 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent, dus je bent inconsistent. Maar wat Novermars je kennelijk wil laten inzien is dat N en Z dezelfde kardinaliteit hebben. Je kunt een bijectieve afbeelding maken tussen N en Z zodat ze dus beide 'evenveel' elementen hebben, en dat is in strijd met ons 'gezonde verstand' dat er 'meer' gehele getallen dan natuurlijke getallen zijn. Ons 'gezonde verstand' is dus kennelijk niet zo gezond ...

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-09-2014 20:11:00 ]

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, en dan is 0 geen natuurliijk getal, terwijl je hierboven 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent, dus je bent inconsistent. Maar wat Novermars je kennelijk wil laten inzien is dat N en Z dezelfde kardinaliteit hebben. Je kunt een bijectieve afbeelding maken tussen N en Z zodat ze dus beide 'evenveel' elementen hebben, en dat is in strijd met ons 'gezonde verstand' dat er 'meer' gehele getallen dan natuurlijke getallen zijn. Ons 'gezonde verstand' is dus kennelijk niet zo gezond ...

Dit volg ik niet helemaal. Stel ik neem het getal -5 uit Z, welk element uit N zou daar dan bij horen?

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:32 schreef netchip het volgende:

[..]

Dit volg ik niet helemaal. Stel ik neem het getal -5 uit Z, welk element uit N zou daar dan bij horen?

Dat mag je zelf bedenken. Maak nu eerst maar eens een bijectieve afbeelding tussen N en Z.

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:36 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat mag je zelf bedenken. Maak nu eerst maar eens een bijectieve afbeelding tussen N en Z.

Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dus dan zou ik denken dat de volgende tussenstap is:

3x-2 = ln y/5

Dat klopt

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:

Bepaal de inverse functie van:

y = 5e ^3x-2

Mijn antwoord tot dusverre:

5e ^3x-2 = y

e ^3x-2 = y/5

Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ^{ln x} = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?

Je zit op de goede weg, volgens mij.

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:

Bepaal de inverse functie van:

y = 5e ^3x-2

Mijn antwoord tot dusverre:

5e ^3x-2 = y

e ^3x-2 = y/5

Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ^{ln x} = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?

Daar gaat ie weer: de natuurlijke logaritme van een getal is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te krijgen.

Nu heb je

e^3x−2 = y/5

dus kennelijk is (hier) 3x − 2 de exponent waartoe we e moeten verheffen om y/5 te krijgen, oftewel 3x − 2 is de natuurlijke logaritme van y/5, dus

3x − 2 = ln(y/5)

Nu zelf maar even verder gaan.

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef netchip het volgende:

[..]

Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.

Dan heb je f(−x) = f(x) voor elke x ∈ Z, dus zo krijg je geen bijectie. Ga hier maar eens goed over nadenken.

Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:



Antwoord:



Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..


En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:

quote:

Op maandag 15 september 2014 21:21 schreef BroodjeKebab het volgende:
Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:

[ afbeelding ]

Antwoord:

[ afbeelding ]

Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..

En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:

[ afbeelding ]

Bij de tweede opgave moet je de rekenregel ln(a^b) = b*ln(a) gebruiken. Kom je er dan wel uit?

quote:

Op maandag 15 september 2014 21:21 schreef BroodjeKebab het volgende:
Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:

[ afbeelding ]

Antwoord:

[ afbeelding ]

Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..

Bestudeer eerst deze post van mij eens goed. Dat is een vergelijkbare opgave waarbij met tekenschema's wordt gewerkt om het tekenverloop van een uitdrukking te bepalen.

De exponentiële functie is strict monotoon stijgend op R, dus als je weet dat 2e^x − 4 = 0 voor x = ln 2, dan weet je ook dat 2e^x − 4 < 0 voor x < ln 2 en dat 2e^x − 4 > 0 voor x > ln 2.

quote:

En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:

[ afbeelding ]

Hier wordt de rekenregel

ln(a^p) = p·ln a

gebruikt (geldig voor a ∈ R⁺ en p ∈ R). Deze rekenregel moet je gewoon kennen en had je hier ook moeten herkennen. Oefening: bewijs deze rekenregel aan de hand van rekenregels voor exponenten, dan vergeet je het nooit meer.

Na herleiding heb je hier een vierkantsvergelijking in ln x. Misschien zie je beter hoe het verder gaat met oplossen als je even ln x = z substitueert, dan komt er 6z·ln 2 = 3z².

quote:

Op maandag 15 september 2014 21:33 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Bij de tweede opgave moet je de rekenregel ln(a^b) = b*ln(a) gebruiken. Kom je er dan wel uit?

ja dat had ik ook, maar ik bedoelde dat laatste stuk met het aftrekken (-) enzo.

quote:

Op maandag 15 september 2014 21:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bestudeer eerst deze post van mij eens goed. Dat is een vergelijkbare opgave waarbij met tekenschema's wordt gewerkt om het tekenverloop van een uitdrukking te bepalen.

De exponentiële functie is strict monotoon stijgend op R, dus als je weet dat 2e^x − 4 = 0 voor x = ln 2, dan weet je ook dat 2e^x − 4 < 0 voor x < ln 2 en dat 2e^x − 4 > 0 voor x > ln 2.

[..]

Hier wordt de rekenregel

ln(a^p) = p·ln a

gebruikt (geldig voor a ∈ R⁺ en p ∈ R). Deze rekenregel moet je gewoon kennen en had je hier ook moeten herkennen. Oefening: bewijs deze rekenregel aan de hand van rekenregels voor exponenten, dan vergeet je het nooit meer.

Na herleiding heb je hier een vierkantsvergelijking in ln x. Misschien zie je beter hoe het verder gaat met oplossen als je even ln x = z substitueert, dan komt er 6z·ln 2 = 3z².

die regel ken ik, maar ik bedoel het laatste stuk met het aftrekken.

quote:

Op maandag 15 september 2014 21:11 schreef Super-B het volgende:
''The following functions are strictly increasing in their domains. Fin the domains of their inverses and formulas for the inverses''

a) f(x) = 3 + ln(e^x - 2) , x > ln 2

Zorgvuldiger werken, je was een haakje vergeten. De (natuurlijke) logaritme is alleen gedefinieerd voor positieve reële getallen, zodat e^x − 2 > 0 moet zijn en dus inderdaad x > ln 2. Het domein van deze functie is dus het interval (ln 2, ∞). De (natuurlijke) logaritme neemt alle reële waarden aan en dus neemt deze functie ook alle reële waarden aan als we x het domein (ln 2, ∞) laten doorlopen. Het bereik van deze functie is dus R, en deze functie is strict monotoon stijgend. We hebben dus een inverse met als domein R en als bereik (ln 2, ∞) en deze inverse is

f⁻¹(x) = ln(e^x−3 + 2)

Zie hier.

quote:

b) f(x) = a / (e^-cx + a) , a and c positive, x is a element of (-oneindig, oneindig+)

Hier moet je even zien dat e^−cx altijd positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel, en daarmee de functiewaarde, altijd kleiner is dan 1. De functiewaarde is bovendien altijd positief. Als we x steeds negatiever laten worden, dan neemt de waarde van e^−cx onbeperkt toe, aangezien c positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel en daarmee de functiewaarde dus tot nul nadert. Laten we daarentegen x steeds positiever worden, dan nadert e^−cx tot nul en de waarde van de breuk als geheel oftewel de functiewaarde nadert dan tot 1. Kennelijk is het bereik van de functie dus het open interval (0, 1) en is de functie strict monotoon stijgend op R. De functie is daarmee inverteerbaar, en de inverse functie heeft het open interval (0, 1) als domein en R als bereik. Deze inverse is

f⁻¹(x) = (−1/c)·ln(a/x − a)

quote:

Ik weet niet echt wat ik hiermee aan moet, ondanks dat het mij eerder gelukt is om de inverses met succes te bepalen. Dit behoort gelukkig wel tot de moeilijkste opgave van het hoofdstuk, dus het is niet echt een ramp dat ik vastloop. Ik heb een gevoel dat het vetgedrukte mij zou 'moeten' helpen, maar heb geen idee op welke wijze.

P.S; Ik weet dat 'strictly increasing' iets met de afgeleide te maken heeft, maar deze opgave behoort tot een hoofdstuk vóór het hoofdstuk dat over de afgeleide/differentiatie gaat..

Strictly increasing betekent strict monotoon stijgend. Een reële functie f van een reële variabele noemen we strict monotoon stijgend als voor elk tweetal elementen x₁ en x₂ uit het domein van de functie geldt dat f(x₁) < f(x₂) indien x₁ < x₂. Dit heeft an sich niets met differentiaalrekening te maken, een functie hoeft niet eens differentieerbaar te zijn om toch strict monotoon stijgend te kunnen zijn.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-09-2014 14:12:19 ]

quote:

Op maandag 15 september 2014 22:05 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

die regel ken ik, maar ik bedoel het laatste stuk met het aftrekken.

We hebben

6·ln(x)·ln(2) = 3·ln(x)·ln(x)

Nu van beide leden 3·ln(x)·ln(x) aftrekken en we krijgen

6·ln(x)·ln(2) − 3·ln(x)·ln(x) = 0

Nu zien we dat beide termen in het linkerlid een factor 3 en tevens een factor ln(x) bevatten, zodat we een factor 3·ln(x) buiten haakjes kunnen halen. Dit geeft

3·ln(x)·(2·ln(2) − ln(x)) = 0

Nu kan een product van twee factoren uitsluitend nul zijn als (tenminste) één van beide factoren zelf nul is, en dus moet gelden

3·ln(x) = 0 ∨ 2·ln(2) − ln(x) = 0

en dus

ln(x) = 0 ∨ ln(x) = 2·ln(2)

Maar nu is 0 = ln(1) en ook is 2·ln(2) = ln(2²) = ln(4), dus krijgen we

ln(x) = ln(1) ∨ ln(x) = ln(4)

zodat

x = 1 ∨ x = 4.

Tot slot nog even dit. Je kunt deze vergelijking ook heel anders oplossen. De oorspronkelijke vergelijking luidt

2^6·ln(x) = x^3·ln(x)

waarvoor we kunnen schrijven

(2⁶)^ln(x) = (x³)^ln(x)

en aan deze voorwaarde kan alleen voldaan worden als ln(x) = 0 of als 2⁶ gelijk is aan x³. Ook is 2⁶ = (2²)³ = 4³. Dus krijgen we

ln(x) = 0 ∨ x³ = 4³

x = 1 ∨ x = 4

Simpel toch?

quote:

Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef netchip het volgende:

[..]

Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.

Voordat je een expliciete functie probeert te maken, denk er eens over na hoe je elementen van N en Z kan rangschikken. Om een voorbeeld te geven van even en oneven getallen (en daarmee bewijzen dat er even veel even als oneven getallen zijn): (1,2) (3,4) (5,6) .... (n,n+1) ....

Kan je zien waarom dit een bijectie is?

quote:

Op maandag 15 september 2014 22:55 schreef Novermars het volgende:

[..]

Voordat je een expliciete functie probeert te maken, denk er eens over na hoe je elementen van N en Z kan rangschikken. Om een voorbeeld te geven van even en oneven getallen (en daarmee bewijzen dat er even veel even als oneven getallen zijn): (1,2) (3,4) (5,6) .... (n,n+1) ....

Kan je zien waarom dit een bijectie is?

Ik kijk hier morgen even naar, als je het niet erg vindt.

quote:

Op maandag 15 september 2014 22:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

We hebben

6·ln(x)·ln(2) = 3·ln(x)·ln(x)

Nu van beide leden 3·ln(x)·ln(x) aftrekken en we krijgen

6·ln(x)·ln(2) − 3·ln(x)·ln(x) = 0

Nu zien we dat beide termen in het linkerlid een factor 3 en tevens een factor ln(x) bevatten, zodat we een factor 3·ln(x) buiten haakjes kunnen halen. Dit geeft

3·ln(x)·(2·ln(2) − ln(x)) = 0

Nu kan een product van twee factoren uitsluitend nul zijn als (tenminste) één van beide factoren zelf nul is, en dus moet gelden

3·ln(x) = 0 ∨ 2·ln(2) − ln(x) = 0

en dus

ln(x) = 0 ∨ ln(x) = 2·ln(2)

Maar nu is 0 = ln(1) en ook is 2·ln(2) = ln(2²) = ln(4), dus krijgen we

ln(x) = ln(1) ∨ ln(x) = ln(4)

zodat

x = 1 ∨ x = 4.

Tot slot nog even dit. Je kunt deze vergelijking ook heel anders oplossen. De oorspronkelijke vergelijking luidt

2^6·ln(x) = x^3·ln(x)

waarvoor we kunnen schrijven

(2⁶)^ln(x) = (x³)^ln(x)

en aan deze voorwaarde kan alleen voldaan worden als ln(x) = 0 of als 2⁶ gelijk is aan x³. Ook is 2⁶ = (2²)³ = 4³. Dus krijgen we

ln(x) = 0 ∨ x³ = 4³

x = 1 ∨ x = 4

Simpel toch?

Ik snap het vetgedrukte niet.

quote:

Op dinsdag 16 september 2014 08:46 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ik snap het vetgedrukte niet.

Wat snap je niet aan?
6 = 2 . 3
ab + ac = a(b + c)

[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 16-09-2014 14:13:36 ]

quote:

Op dinsdag 16 september 2014 08:26 schreef Super-B het volgende:
Hoe kan het bereik (ln 2, ∞) zijn? Dat is toch alleen het domein en het bereik is dan
(0, ∞) ?

Het domein van de gegeven functie f(x) = 3 + ln(e^x − 2) is het interval (ln 2, ∞) zoals de toevoeging x > ln 2 bij de opgave ook al suggereert. Maar ik heb duidelijk aangegeven dat de logaritme alle reële waarden aanneemt als we het getal waarvan we de logaritme nemen alle positieve reële waarden aan laten nemen. En dat is het geval voor (e^x − 2) als we x het interval (ln 2, ∞) laten doorlopen. En dus neemt ln(e^x − 2) en daarmee ook f(x) = 3 + ln(e^x − 2) alle reële waarden aan. Het bereik van deze functie is dus wel degelijk R, en niet het interval (0, ∞).

Verder moet je natuurlijk in de gaten houden dat bij een inverteerbare functie het domein het bereik is van de inverse functie en dat het bereik van de functie het domein is van de inverse functie. Dus, als de functie g de inverse is van een functie f, dan is D_g = B_f en B_g = D_f. En bij deze opgave werd gevraagd naar het domein van de inverse functie, niet naar het domein van de gegeven functie.

quote:

Ik snap overigens niet hoe je tot de inverse komt en waarvoor de f ^-1 staat.. ik denk daarbij gelijk aan een deling van 1/f.

Ik heb de herleidingen van de inversen achterwege gelaten omdat je zelf had aangegeven dat je nu in staat was het functievoorschrift van de inverse van een gegeven functie te bepalen.

De notatie f⁻¹ is een traditionele notatie voor de inverse functie van een gegeven functie f. Als je het linkje naar WolframAlpha had aangeklikt dan had je gezien dat deze notatie daar ook wordt gebruikt. Het is inderdaad een ongelukkige notatie omdat f⁻¹ gemakkelijk kan worden aangezien voor een multiplicatieve inverse 1/f van een grootheid (niet een functie) f, maar het is nu eenmaal een gebruikelijke en algemeen aanvaarde notatie. Eventueel zou je ook de notatie f^inv voor de inverse functie van een functie f kunnen gebruiken. Ik heb recent nog iets over deze notatie geschreven, zie hier en eventueel hier. Laat nu zelf maar even zien hoe je het functievoorschrift voor de inverse functie van de functie f(x) = 3 + ln(e^x − 2) hebt proberen te bepalen en waarom dit niet lukte. Je kunt het best beginnen met de betrekking

y = 3 + ln(e^x − 2)

Dit is de vergelijking van de grafiek van de gegeven functie f. De grafiek van de inverse van f wordt verkregen door de grafiek van f te spiegelen in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in deze lijn gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x) en als het punt (x, y) op de grafiek van f ligt, dan is y = f(x) en dus x = f⁻¹(y) of, zo je wil, x = f^inv(y), zodat het punt (y, x) op de grafiek van de inverse van f ligt. We verkrijgen dus een vergelijking van het spiegelbeeld van de grafiek van f door in de vergelijking van de grafiek van f de variabelen x en y met elkaar te verwisselen, en dat betekent dat

x = 3 + ln(e^y − 2)

een vergelijking is van het spiegelbeeld van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Is nu de functie inverteerbaar, en dat is hier het geval, dan is deze betrekking een vergelijking van de grafiek van de inverse functie en dan kunnen we uit deze betrekking y oplossen om zo het functievoorschrift voor de inverse functie te verkrijgen.

quote:

Die Dat laatste vraagstuk snap ik ook niet.

[..]

Ik vind het wat te gemakkelijk om alleen maar te zeggen dat je het niet snapt nadat ik het volledig heb uitgelegd, afgezien van het achterwege laten van de herleiding van het functievoorschrift van de inverse functie (waarvan je had aangegeven dat je dit nu zelf kon). Geef precies aan wat je niet begrijpt, en waarom niet.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 16-09-2014 18:22:46 ]