[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer niet te denken in termen van recepten maar in termen van concepten.

[..]

Geef eens een concreet voorbeeld van een functie waarbij je een symmetrie-as van de grafiek van die functie wil bepalen. Bedenk dat een grafiek van een functie overigens helemaal geen symmetrie-as hoeft te hebben.

Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:33 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.

Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).

Maar nogmaals, als je geen concreet voorbeeld geeft is ook niet te illustreren hoe dit in zijn werk gaat.

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).

Maar nogmaals, als je geen concreet voorbeeld geeft is ook niet te illustreren hoe dit in zijn werk gaat.

-x² + 2x + 4

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

-x² + 2x + 4

Als f(x) = -x² + 2x + 4,

Dan is
f(a+x) = -(a+x)² + 2(a+x) + 4, en
f(a-x) = -(a-x)² + 2(a-x) + 4

En dan kan je met uitschrijven aantonen dat dat vast wel aan elkaar gelijk is - als je het goede symmetrie-punt hebt gevonden, de juiste a dus. Bij f hoort een parabool, waar vind je dan de symmetrie-as?

Maar wat zeggen nu precies de uitdrukkingen f(a+x) en f(a-x). Hoe liggen die ten opzichte van f(a) en wat zegt dat over symmetrie?

quote:

Op woensdag 17 september 2014 20:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

-x² + 2x + 4

Een kwadratische functie, in dit geval

f(x) = −x² + 2x + 4

geeft als grafiek altijd een parabool met een verticale symmetrie-as. Je kunt hier gebruik maken van het feit dat de functie

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

een parabool geeft met de lijn met vergelijking

x = −b/2a

als verticale symmetrie-as. In jouw voorbeeld is a = −1, b = 2, c = 4, en dus −b/2a = (−2)/(−2) = 1, zodat de lijn met vergelijking

x = 1

de verticale symmetrie-as is van de grafiek. Voor de functie betekent dit dat elk paar waarden van de onafhankelijke variabele dat symmetrisch ligt ten opzichte van het getal 1 dezelfde functiewaarde oplevert, dus geldt voor elke u

f(1 + u) = f(1 − u)

Om dit te bewijzen, vullen we eerst x = 1 + u in in het functievoorschrift, en dan x = 1 − u, en uiteraard moet er dan hetzelfde uit komen. Welnu, we hebben

f(1 + u) = −(1 + u)² + 2(1 + u) + 4 = −1 − 2u − u² + 2 + 2u + 4 = −u² + 5

en we hebben

f(1 − u) = −(1 − u)² + 2(1 − u) + 4 = −1 + 2u − u² + 2 − 2u + 4 = −u² + 5

zodat inderdaad

f(1 + u) = f(1 − u)

QED

Je kunt ook met kwadraatafsplitsing werken om het functievoorschrift eerst te herleiden, en dan hebben we

f(x) = −x² + 2x + 4 = −(x² − 2x − 4) = −((x − 1)² − 1 − 4) = −(x − 1)² + 1 + 4 = −(x − 1)² + 5, dus

f(x) = −(x − 1)² + 5

Nu zie je veel gemakkelijker dat

f(1 + u) = −(1 + u − 1)² + 5 = −u² + 5

en

f(1 − u) = −(1 − u − 1)² + 5 = −u² + 5

Uit het functievoorschrift

f(x) = −(x − 1)² + 5

kun je direct aflezen dat de grafiek van deze kwadratische functie een bergparabool is met als top het punt met de coördinaten (1, 5). De functiewaarde bereikt immers een maximum van 5 voor x = 1, aangezien de term −(x − 1)² steeds negatief is, behalve voor x = 1, dan is deze term gelijk aan 0.

Als de grafiek van de functie f(x) = y met c naar rechts geschoven wordt, hoe verandert de grafiek
van de inverse f⁻¹(y) precies?

Ik heb zelfs het antwoord gezien en ik begrijp het antwoord niet eens..:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Hoezo is ln (e^-9) = -9 ?

ln e^-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

Geen kennis van de regels van de logaritme? Deze regels kan je natuurlijk ook gebruiken bij de natuurlijk logaritme.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:40 schreef -J-D- het volgende:
ln e^-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

huh?

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:40 schreef -J-D- het volgende:
ln e^-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

Geen kennis van de regels van de logaritme? Deze regels kan je natuurlijk ook gebruiken bij de natuurlijk logaritme.

Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..

Dan kan je de regels omtrent de logaritme niet.....
Bv. ^glog a^b = b * ^glog a

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:42 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Dan kan ken je de regels omtrent de logaritme niet.....
Bv. ^glog a^b = b * ^glog a

Thanks!!

Het is 'ken' trouwens.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:17 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hoezo is ln (e^-9) = -9 ?

Het kan met de rekenregels van J-D, het kan ook rechtstreeks vanuit de definitie:

quote:

De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen.

Omdat het grondtal van de ln het getal e is, kun je meteen zien dat ln (e^-9) = -9, kwestie van exponent aflezen.

Oh, en je leraar verbeteren is zelden een goed idee

quote:

Op donderdag 18 september 2014 10:00 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Thanks!!

Het is 'ken' trouwens.

Domme tikfout van me.

Als je je wilt inlezen over de rekenregels van de logaritmen dan kan je een begin maken met http://www.wisfaq.nl/pagina.asp?nummer=1925. Deze lijst is echter maar een begin en dekt niet de hele lading. Zonder deze basis is het onmogelijk om fatsoenlijk met de logaritmen te werken.
Veel succes.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Oh, en je leraar verbeteren is zelden een goed idee

Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mij

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef -J-D- het volgende:
Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mij

Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:35 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.

Sorry, ik heb geen humor.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 12:42 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Sorry, ik heb geen humor.

Kun je niks aan doen, dat komt vaker voor bij wiskundeleraren.

quote:

Op donderdag 18 september 2014 08:46 schreef RustCohle het volgende:
Als de grafiek van de functie f(x) = y met c naar rechts geschoven wordt, hoe verandert de grafiek
van de inverse f⁻¹(y) precies?

Ik heb zelfs het antwoord gezien en ik begrijp het antwoord niet eens..:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

De uitleg is inderdaad niet duidelijk genoeg. Ze hadden op zijn minst moeten uitleggen dat de grafiek van een (inverteerbare) functie en van de inverse van die functie elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x). Als nu het punt (x, y) op de grafiek ligt van een inverteerbare functie f, dan is y = f(x) en daarmee x = f⁻¹(y) zodat het punt (y, x) inderdaad op de grafiek van de inverse functie f⁻¹ van functie f ligt. Omgekeerd geldt voor een punt (y, x) op de grafiek van f⁻¹ dat het punt (x, y) op de grafiek van f ligt. En omdat dit geldt voor elk willekeurig gekozen punt (x, y) op de grafiek van f volgt dus inderdaad dat de grafiek van f⁻¹ het spiegelbeeld is van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.

Welnu, als we de grafiek van f (niet de functie f(x) zoals in de tekst staat) met c eenheden opschuiven naar rechts (dat is: in de positieve richting van de x-as) dan krijgen we de grafiek van een andere functie, die we g kunnen noemen, en waarvoor geldt dat deze functie g steeds dezelfde functiewaarden heeft als f als we de onafhankelijke variabele x met c vermeerderen.

Kiezen we nu een willekeurig punt (x, y) dat op de grafiek van g ligt, zodat y = g(x), dan is dit punt (x, y) het beeld van een punt (x−c, y) op de grafiek van f, omdat we de grafiek van f immers c eenheden naar rechts hebben verschoven om de grafiek van g te krijgen. En aangezien het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, geldt dus y = f(x−c) en daarmee g(x) = f(x−c).

Omdat het punt (x, y) op de grafiek van g ligt, ligt het spiegelbeeld (y, x) bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse g⁻¹ van g, en is dus

(1) g⁻¹(y) = x

Maar nu zagen we ook dat het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, en dat betekent dat het spiegelbeeld (y, x−c) van dit punt bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse f⁻¹ van f ligt, dus

(2) f⁻¹(y) = x − c

en dus is

(3) x = f⁻¹(y) + c

Uit (1) en (3) volgt dus

(4) g⁻¹(y) = f⁻¹(y) + c

zodat we kunnen constateren dat de grafiek van g⁻¹ wordt verkregen door de grafiek van f⁻¹ met c eenheden omhoog (dat is: in de positieve richting van de y-as) te verschuiven. Meetkundig is dit natuurlijk volstrekt duidelijk: een translatie in de positieve richting van de x-as correspondeert met een translatie van het spiegelbeeld in de positieve richting van de y-as bij een spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 19-09-2014 17:35:31 ]

quote:

Op donderdag 18 september 2014 09:17 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hoezo is ln (e^-9) = -9 ?

Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:

De natuurlijke logaritme van een getal is de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te verkrijgen.

Dus,

ln(e⁻⁹)

is de exponent waartoe we e moeten verheffen om e⁻⁹ te verkrijgen. En die exponent is −9 (duh!). Dus hebben we

ln(e⁻⁹) = −9

Je kunt uiteraard ook met formele rekenregels werken om dit resultaat te verkrijgen, zoals hier door anderen wordt aanbevolen, maar daar ben ik niet voor zolang je nog niet goed begrijpt wat een logaritme nu eigenlijk is, omdat het werken met logaritmen dan verwordt tot een mechanisch manipuleren van symbolen zonder dat je werkelijk begrijpt waar die symbolen voor staan, en dat is niet de bedoeling. En, opdat ik niet verkeerd worde begrepen: uiteraard dien je alle gangbare rekenregels voor het werken met logaritmen wel te kennen en ook te herkennen en te begrijpen zodat je deze regels te allen tijde kunt toepassen.

Waarom is

ln (x - 4) = y/4 gelijk aan (x-4) = e^y/4

quote:

Op donderdag 18 september 2014 22:09 schreef RustCohle het volgende:
Waarom is

ln (x - 4) = y/4 gelijk aan (x-4) = e^y/4

quote:

Op donderdag 18 september 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:

De natuurlijke logaritme van een getal is de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te verkrijgen.

Dus,

ln(e⁻⁹)

is de exponent waartoe we e moeten verheffen om e⁻⁹ te verkrijgen. En die exponent is −9 (duh!). Dus hebben we

ln(e⁻⁹) = −9

Je kunt uiteraard ook met formele rekenregels werken om dit resultaat te verkrijgen, zoals hier door anderen wordt aanbevolen, maar daar ben ik niet voor zolang je nog niet goed begrijpt wat een logaritme nu eigenlijk is, omdat het werken met logaritmen dan verwordt tot een mechanisch manipuleren van symbolen zonder dat je werkelijk begrijpt waar die symbolen voor staan, en dat is niet de bedoeling. En, opdat ik niet verkeerd worde begrepen: uiteraard dien je alle gangbare rekenregels voor het werken met logaritmen wel te kennen en ook te herkennen en te begrijpen zodat je deze regels te allen tijde kunt toepassen.

Eén post boven je.

X

[ Bericht 100% gewijzigd door RustCohle op 19-09-2014 08:25:17 ]

Logx ^{e^2} = 2

Waarom ia dat x= e?

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx ^{e^2} = 2

Waarom ia dat x= e?

Als je met Logx, log_x bedoelt, lees dan die post van Riparius nog een keer door.
Maar dan verander je e in x en dan is het geen natuurlijk logaritme meer.

Daarnaast kan je je berichten gewoon aanpassen dus hoef je geen bericht met X erin te plaatsen.

quote:

Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx ^{e^2} = 2

Waarom ia dat x= e?

Dat ia x=e omda logxe^2/3=5sqrt(pi).