quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:20 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Ik heb het gevoel dat de opgave zoals je die hier neerzet niet klopt. Moet het niet toevallig zijn
a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc) =4
[..]
Ze willen dat je aantoont dat (x-c) geen deler is van het gegeven polynoom, oftewel dat er geen ontbinding te vinden is waarvan (x-c) een van de termen is, voor welke waarde van c dan ook.
Eerder in het topic zijn enkele posts besteed aan het maken van staartdelingen met polynomen, ik denk dat je daarmee deze opgave relatief eenvoudig kan oplossen.
[..]
Voor welk getal q is ln q = 0?
Exact.. Dus als het één ... is, dan is het ander ...quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:23 schreef Anoonumos het volgende:
a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc)4 = ?
Dus ze vragen om (abc)4 uit te rekenen, gegeven dat a-1b-1 c-1 = 1/4.
Lijkt me.
Polynoom delen is mij wel gelukt, althans bij de opgaven, maar met een -c raak ik echt in de war. Het lijkt mij dat die -c steeds in de weg zal staan.quote:
Gebruik datquote:Op zaterdag 13 september 2014 12:23 schreef Super-B het volgende:
[..]
Exact.. Dus als het één ... is, dan is het ander ...
Dus ik moet er gewoon een vergelijking van maken en het dan 'oplossen' ?quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:25 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
Gebruik dat
(abc)4 = (a-1b-1c-1)-4
Ah ja natuurlijk... maar er stond geen =-teken achter (abc)4quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:23 schreef Anoonumos het volgende:
a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc)4 = ?
Dus ze vragen om (abc)4 uit te rekenen, gegeven dat a-1b-1 c-1 = 1/4.
Lijkt me.
Kijk nog eens goed terug naar de eigenschappen van de (natuurlijke) logaritme. e0 = 1 klopt, maar dat ee=1 is natuurlijk niet waar.quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:24 schreef Super-B het volgende:
[..]
Polynoom delen is mij wel gelukt, althans bij de opgaven, maar met een -c raak ik echt in de war. Het lijkt mij dat die -c steeds in de weg zal staan.
ln q = 0 wanneer q = 0 denk ik?
e^e = 1
e^0 = 1
Dus eigenlijk spreek ik me tegen dat q = 0, maar verder lijkt mij niet dat er een ander logisch antwoord kan zijn.. e^1 = e..
(abc)-1 = 4-1.quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:26 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Ah ja natuurlijk... maar er stond geen =-teken achter (abc)4
Maar goed.
a-1b-1 c-1 = (abc)-1, en je weet dat dat
(abc)-1 = 4-1.
Dat moet een heel eind voldoende zijn toch?
Kan dus geschreven worden alsquote:Op zaterdag 13 september 2014 11:08 schreef t4rt4rus het volgende:
Ik heb een kwadratische vergelijking met 3 integere variabelen, deze moet geminimaliseerd worden.
Is dit nog analytisch te doen of kan dit alleen opgelost worden door te proberen?
(en misschien is dat ook wel makkelijker)
G = a^2 + b^2 + 2c^2 + ab - 2ca - 2cb
-edit-
G != 0, anders was het niet zo moeilijk
En dan moet ik dus "alle" oplossingen vinden.
quote:-1 -1 -1
-1 0 -1
-1 0 0
-1 1 0
0 -1 -1
0 -1 0
0 1 0
0 1 1
1 -1 0
1 0 0
1 0 1
1 1 1
Hmm.. ik weet het niet hoor. Ik begrijp wel wat je bedoeld, maar terugkomend op mijn vragen m.b.t. de ln functies weet ik het niet meer.quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:34 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Kijk nog eens goed terug naar de eigenschappen van de (natuurlijke) logaritme. e0 = 1 klopt, maar dat ee=1 is natuurlijk niet waar.
De (natuurlijke) logaritme is, even kort gezegd, de inverse functie van de e-macht. Dat betekent dat
als ln a = b <=> eb = a
Dus als e0 = 1, dan...
Uit wat hierboven staat volgt trouwens ook dat ln 0 helemaal niet is gedefiniëerd. Er is immers geen enkel getal b waarvoor geldt dat eb = 0
We bekijken één van de vergelijkingen die je geeft:quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:48 schreef Super-B het volgende:
[..]
Hmm.. ik weet het niet hoor. Ik begrijp wel wat je bedoeld, maar terugkomend op mijn vragen m.b.t. de ln functies weet ik het niet meer.
Aha duidelijk, hartstikke bedankt voor je tijd, moeite en uitleg!quote:Op zaterdag 13 september 2014 12:53 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
We bekijken één van de vergelijkingen die je geeft:
ln[x(x-2)] = 0
ln q = 0 dan en slechts dan als q = 1.
Voor een oplossing van je vergelijking moet dus gelden dat
x(x-2) = 1
Dus x2 - 2x = 1,
Dus (x-1)2 = 2,
Dus x = 1 ± √2
Wat ik hier doe is een kwadraat afsplitsen, maar als je die techniek niet kent of niet beheerst raad ik je aan om 'gewoon' de abc-formule toe te passen.quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:11 schreef Super-B het volgende:
[..]
Aha duidelijk, hartstikke bedankt voor je tijd, moeite en uitleg!
Ik snap alleen het vetgedrukte niet?
x² - 2x = 1 is toch x(x-2) = 1 --> x = 1 of x = 2?
(x-1)² = x² - 2x + 1 en geen x² - 2x - 1 hoor?
Daarnaast zou ik nog eens even heel goed kijken naarquote:x2 - 2x = 1
x2 - 2x + 1 = 1 + 1
(x-1)2 = 2,
Dus x = 1 ± √2
om er gniffelend achter te komen dat dit natuurlijk helemaal niet klopt.quote:x² - 2x = 1 is toch x(x-2) = 1 --> x = 1 of x = 2?
Ik beheers het kwadraat afsplitsing wel, want mij alleen verbaast is dat je het toepast bij x² - 2x = 1, aangezien de kwadraat afsplitsing meestal gebruikt wordt wanneer de c niet een goed getal is om te factoriseren (toch?).quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:16 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Wat ik hier doe is een kwadraat afsplitsen, maar als je die techniek niet kent of niet beheerst raad ik je aan om 'gewoon' de abc-formule toe te passen.
Ik voeg even één regeltje toe:
[..]
Daarnaast zou ik nog eens even heel goed kijken naar
[..]
om er gniffelend achter te komen dat dit natuurlijk helemaal niet klopt.
Hoezo? Als het x² - 2x = 0 zou zijn, zou x(x -2)=0 --> x =0 of x = 2 wel van toepassing zijn...quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:16 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Wat ik hier doe is een kwadraat afsplitsen, maar als je die techniek niet kent of niet beheerst raad ik je aan om 'gewoon' de abc-formule toe te passen.
Ik voeg even één regeltje toe:
[..]
Daarnaast zou ik nog eens even heel goed kijken naar
[..]
om er gniffelend achter te komen dat dit natuurlijk helemaal niet klopt.
Kwadraat afsplitsen gebruik ik als er geen eenvoudige ontbinding (x+p)(x+q) te vinden valt, alhoewel het in principe altijd mogelijk is. En ik durf te vermoeden dat jij de ontbinding (x-1+√2)(x-1-√2) niet eenvoudig ziet.quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:20 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik beheers het kwadraat afsplitsing wel, want mij alleen verbaast is dat je het toepast bij x² - 2x = 1, aangezien de kwadraat afsplitsing meestal gebruikt wordt wanneer de c niet een goed getal is om te factoriseren (toch?).
Het antwoord op wat je bedoelt zal ongetwijfeld 'ja' zijn, maar probeer wat te letten op je wijze van formuleren. Dit lijkt nergens op.quote:die 1 komt omdat ln 0 is wanneer ln = 1 toch?
Probeer je te herinneren waarom je bij het oplossen van (tweedegraads) vergelijkingen altijd eerst ging zorgen dat rechts slechts een =0 overbleef. Dat was omdatquote:Op zaterdag 13 september 2014 13:22 schreef Super-B het volgende:
[..]
Hoezo? Als het x² - 2x = 0 zou zijn, zou x(x -2)=0 --> x =0 of x = 2 wel van toepassing zijn...
Eens.quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:11 schreef Novermars het volgende:
Er worden hier altijd vrij veel links naar boeken en dictaten/syllabi geplaatst, misschien handig om deze in de begin post te verzamelen? Eventueel kunnen de uitgebreide posts van Riparius daar ook bij, aangezien deze vaak ook erg nuttig zijn.
Aha.. maar ik begrijp het kwadraat afsplitsen in de deze vraag niet? Er is namelijk geen c?quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:28 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Kwadraat afsplitsen gebruik ik als er geen eenvoudige ontbinding (x+p)(x+q) te vinden valt, alhoewel het in principe altijd mogelijk is. En ik durf te vermoeden dat jij de ontbinding (x-1+√2)(x-1-√2) niet eenvoudig ziet.
[..]
Het antwoord op wat je bedoelt zal ongetwijfeld 'ja' zijn, maar probeer wat te letten op je wijze van formuleren. Dit lijkt nergens op.
[..]
Probeer je te herinneren waarom je bij het oplossen van (tweedegraads) vergelijkingen altijd eerst ging zorgen dat rechts slechts een =0 overbleef. Dat was omdat
Als pq=0, dan MOET p=0 OF q=0.
Iets wat voor ieder ander willekeurig getal achter het =-teken natuurlijk nooit geldt.
Als pq=1 dan geldt er helemaal niet dat p=1 of q=1. Wat je opschrijft in post #16 hierboven klopt dus helemaal niet.
Laat maar. Het is mij al duidelijk.quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:53 schreef Super-B het volgende:
[..]
Aha.. maar ik begrijp het kwadraat afsplitsen in de deze vraag niet? Er is namelijk geen c?
Ik heb nog een vraagje:quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:28 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Kwadraat afsplitsen gebruik ik als er geen eenvoudige ontbinding (x+p)(x+q) te vinden valt, alhoewel het in principe altijd mogelijk is. En ik durf te vermoeden dat jij de ontbinding (x-1+√2)(x-1-√2) niet eenvoudig ziet.
[..]
Het antwoord op wat je bedoelt zal ongetwijfeld 'ja' zijn, maar probeer wat te letten op je wijze van formuleren. Dit lijkt nergens op.
[..]
Probeer je te herinneren waarom je bij het oplossen van (tweedegraads) vergelijkingen altijd eerst ging zorgen dat rechts slechts een =0 overbleef. Dat was omdat
Als pq=0, dan MOET p=0 OF q=0.
Iets wat voor ieder ander willekeurig getal achter het =-teken natuurlijk nooit geldt.
Als pq=1 dan geldt er helemaal niet dat p=1 of q=1. Wat je opschrijft in post #16 hierboven klopt dus helemaal niet.
Beide antwoorden zijn correct, immersquote:Op zaterdag 13 september 2014 14:21 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik heb nog een vraagje:
Solve the following equation for x:
3x 4x+2 = 8
Ik had:
3x 4x+2 = 8 wanneer (12)x 42 = 8, and so 12sup]x[/sup] = 1/2
Dus ik had als eindantwoord: x = ln 1/2 / ln 12
Echter zegt het antwoordenboek:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Aha duidelijk, maar hoe komen ze aan -2 i.p.v. -1/2 ? Ik weet wel dat delen door een breuk vermenigvuldiging met het omgekeerde is, maar dan zou het resulteren tot -1.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:24 schreef Novermars het volgende:
[..]
Beide antwoorden zijn correct, immers
Kijk eens goed naar de post waar je op reageert.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:26 schreef Super-B het volgende:
[..]
Aha duidelijk, maar hoe komen ze aan -2 i.p.v. -1/2 ? Ik weet wel dat delen door een breuk vermenigvuldiging met het omgekeerde is, maar dan zou het resulteren tot -1.
Ja klopt.. Ben alleen benieuwd hoe het antwoordenboek aan -2 komt.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:31 schreef OllieWilliams het volgende:
[..]
Kijk eens goed naar de post waar je op reageert.
quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:32 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ja klopt.. Ben alleen benieuwd hoe het antwoordenboek aan -2 komt.
Van de tweede vergelijking klopt de linkerkant nog.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:36 schreef Super-B het volgende:
Nog één voor het oplossen van x:
4x - 4x-1 = 3x+1 - 3x
Ik heb dit herschreven tot:
4x - 4x * 4-1 = 3x * 3-1 3x
Dit resulteert tot:
4-1 = 31 .... De getallen met de exponent x valt dus weg en dit wordt het dan en hier klopt dan ook geen kant van....
Ik zou nog eens goed naar de rekenregels voor logaritmen kijken, als je daar goed mee bekend bent is dit een fluitje van een cent.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:36 schreef Super-B het volgende:
[..]
Oh zo.. Ja ik interpreteerde het anders... Thanks.
Oeps aan de rechterkant moet het exponent 1 zijn i.p.v. -1.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:39 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Van de tweede vergelijking klopt de linkerkant nog.
Verder niks, wat ben je aan het doen?
welke regels pas je toe?
Ik dacht ik schrijf ze los van elkaar en dan trek ik de grondgetallen, die hetzelfde zijn, met het exponent x van elkaar af..quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:39 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Van de tweede vergelijking klopt de linkerkant nog.
Verder niks, wat ben je aan het doen?
welke regels pas je toe?
Dan is ie nog niet goed.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:40 schreef Super-B het volgende:
[..]
Oeps aan de rechterkant moet het exponent 1 zijn i.p.v. -1.
Ik heb wel eens van logaritmes gehoord, maar de materie zelf is nieuw voor mij. Mijn vooropleidingen zijn de havo en het propedeuse jaar van het hbo. Ik zit nu in het eerste jaar van een wo opleiding. De materie die aan bod komt zijn grotendeels nieuw voor me.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:40 schreef OllieWilliams het volgende:
[..]
Ik zou nog eens goed naar de rekenregels voor logaritmen kijken, als je daar goed mee bekend bent is dit een fluitje van een cent.
ln 1/2 = ln 2-1 = -1 * ln 2
x - (9/5)x = 32quote:Op zaterdag 13 september 2014 15:08 schreef Super-B het volgende:
Wow... Ik heb hier een hele simpele functie die ik niet weet op te lossen, maar dat komt omdat er zowel links en recht een x staat... en omdat er een +32 staat. Als die +32 er niet stond, kon je gemakkelijk de 6/2 = 3 methode toepassen... toch geprobeerd, maar heb het gevoel alsof het compleet fout is.
''Bereken wat x is'.'
x = 9/5 * x + 32
Simpel te herschrijven tot x = 9x/5 + 32
Vervolgens steeds de 6/2 = 3 methode toepassen en de +32 tijdelijk wegdenken:
9x/x = x/5 + 32
9 = x/5 + 32
x= 9 * 5 + 32
x = 77
Had ik moeten weten.quote:Op zaterdag 13 september 2014 15:11 schreef OllieWilliams het volgende:
[..]
x - (9/5)x = 32
-(4/5)x = 32
x = -40
Welke rekenregel zou je daarvoor willen toepassen?quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:41 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik dacht ik schrijf ze los van elkaar en dan trek ik de grondgetallen, die hetzelfde zijn, met het exponent x van elkaar af..
Geen idee.quote:Op zaterdag 13 september 2014 17:19 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Welke rekenregel zou je daarvoor willen toepassen?
Schrijf het nog eens op, want ik heb nu geen idee waar je het over hebt.quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:43 schreef Super-B het volgende:
[..]
Vermenigvuldigingsteken moest tussen de laatste twee grondgetallen (3).
Ik betwijfel of je het wel begrijpt. De vergelijking x² − 2x = 1 is niet (eenvoudig) op te lossen via ontbinden in factoren maar juist prima via kwadraatafsplitsing (die overigens altijd toepasbaar is om een vierkantsvergelijking op te lossen). Ik wil je sterk aanbevelen deze recente post van mij eens goed door te nemen.quote:Op zaterdag 13 september 2014 13:20 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik beheers het kwadraat afsplitsing wel, want mij alleen verbaast is dat je het toepast bij x² - 2x = 1, aangezien de kwadraat afsplitsing meestal gebruikt wordt wanneer de c niet een goed getal is om te factoriseren (toch?).
Ik begrijp wat je wil zeggen maar zo mag je dit niet opschrijven. Je bedoelt te zeggen dat ln x = 0 equivalent is met x = 1, dus zeg dat dan ook.quote:die 1 komt omdat ln 0 is wanneer ln = 1 toch?
Dit is al fout, want je had in het rechterlid een product waar je een minteken moet hebben, maar dit zal wellicht een verschrijving zijn (die niettemin verraadt dat je niet zorgvuldig genoeg werkt).quote:Op zaterdag 13 september 2014 14:36 schreef Super-B het volgende:
Nog één voor het oplossen van x:
4x - 4x-1 = 3x+1 - 3x
Ik heb dit herschreven tot:
4x - 4x * 4-1 = 3x * 31 - 3x
Nee jongeman, dit lijkt nergens op. Je begon nochtans goed (afgezien van die verschrijving).quote:Dit resulteert tot:
[cut crap]
Bedankt voor de tip, maar ik vind het tot nu toe vrij goed te doen met zelfstudie en dit topic.quote:Op zaterdag 13 september 2014 21:13 schreef Novermars het volgende:
Super-B, als ik jou was zou ik eens gaan inversteren in bijles of een cursus. Want je mist gewoon zoveel basiskennis. Ik weet niet welke studie je doet, maar als je zo door gaat vrees ik het ergste voor je.
Dank voor de zéér, maar dan ook zéér duidelijke uitleg.quote:Op zaterdag 13 september 2014 20:53 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik betwijfel of je het wel begrijpt. De vergelijking x² − 2x = 1 is niet (eenvoudig) op te lossen via ontbinden in factoren maar juist prima via kwadraatafsplitsing (die overigens altijd toepasbaar is om een vierkantsvergelijking op te lossen). Ik wil je sterk aanbevelen deze recente post van mij eens goed door te nemen.
[..]
Ik begrijp wat je wil zeggen maar zo mag je dit niet opschrijven. Je bedoelt te zeggen dat ln x = 0 equivalent is met x = 1, dus zeg dat dan ook.
Een logaritme van een gegeven getal is niets anders dan een exponent, namelijk de exponent waartoe je een vast getal (het grondtal van de logaritme) moet verheffen om het gegeven getal te verkrijgen. Voor de natuurlijke logaritme, aangegeven met het functiesymbool ln (dat staat voor logarithmus naturalis) is het grondtal het bijzondere getal e. Het getal e is zo bijzonder omdat e het enige (positieve, reële) getal is waarvoor geldt dat de grafiek van f(x) = ex in elk punt precies even stijl loopt als de functiewaarde voor dat punt aangeeft. De functie f(x) = ex heeft dus zichzelf als afgeleide.
De uitspraak
ln x = y
betekent niets anders dan dat y de exponent is waartoe we e moeten verheffen om x te krijgen, dus
ey = x
Zo zie je gemakkelijk dat ln 1 = 0, want 0 is immers de exponent waartoe we e moeten verheffen om 1 te krijgen: e0 = 1. Ook zie je zo gemakkelijk dat ln e = 1, want we moeten e tot de macht 1 verheffen om e te krijgen: e1 = e.
Alle rekenregels die gelden voor het werken met logaritmen volgen gemakkelijk uit de rekenregels voor het werken met machten, want een logaritme is immers niets anders dan een exponent.
Heb je bijvoorbeeld
ln a = p, ln b = q
dan betekent dit
ep = a, eq = b
Maar dan is dus ook
ep·eq = ab
En omdat exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van twee machten met hetzelfde grondtal hebben we dus
ep+q = ab
Maar als het zo is dat je e moet verheffen tot de macht p + q om ab te krijgen, dan betekent dit niets anders dan dat de natuurlijke logaritme van ab gelijk is aan p + q, dus
ln ab = p + q
Maar nu is p = ln a en q = ln b zodat we dus hebben
ln ab = ln a + ln b
Je ziet dus dat de bekende regel die zegt dat de (natuurlijke) logaritme van een product van twee (positieve, reële) getallen gelijk is aan de som van de (natuurlijke) logaritmen van elk van de factoren niets anders is dan een andere gedaante van de regel die zegt dat exponenten optellen bij vermenigvuldiging van twee machten van hetzelfde grondtal. Op een soortgelijke manier zijn ook alle andere rekenregels voor logaritmen af te leiden uit rekenregels voor het werken met machten.
Onzin, je hebt voor de zomervakantie een paar maanden lang allemaal vragen gepost over differentiëren. Weet je nog, met de ketting/product/som/quotiëntregel?quote:Op zaterdag 13 september 2014 21:28 schreef Super-B het volgende:
[..]
Bedankt voor de tip, maar ik vind het tot nu toe vrij goed te doen met zelfstudie en dit topic.
Gelukkig behoren de vragen die ik stel tot de stof van het tentamen voor volgende week en behoren ze volgens het boek tot 'harder problems'. De basic-opgaven gaan mij wel makkelijk af. Echter is er nog veel werk te doen om de kennis goed te beheersen, maar ik denk dat het tentamen wel te doen is.
De stof van het (deel)tentamen is het volgende:
[ afbeelding ]
De onderwerpen die ik tot nu toe nog wel pittig vind zijn:
-Logartime (niet de regels, maar de wat moeilijkere opgaven met log, ln en/of het getal e)
-Polynomen en staartdelingen.
-Afgeleiden (nieuwe materie voor mij)
-Regels voor differentiëren (ook nieuwe materie voor mij).
Inverse functies en samengestelde functies zijn ook nieuw voor mij, echter begrijp ik het tot dusverre wel.
Voor velen in dit topic is dit een eitje en zullen mijn vragen dan ook niet de moeilijkste zijn, maar het gaat tot nu toe wel goed met leren (met hier en daar nog wat slordigheidsfoutjes en wat fouten waaraan te zien is dat ik het nog niet goed beheers).
Riparius had hem ook al verteld dat hij de Spijkerreeks moet kopen, een tijd terug, of dat was tegen een andere hbo'er die ook economie wilde gaan doen. Anyhow, dat heeft diegene ook niet gedaan.quote:Op zaterdag 13 september 2014 21:13 schreef Novermars het volgende:
Super-B, als ik jou was zou ik eens gaan inversteren in bijles of een cursus. Want je mist gewoon zoveel basiskennis. Ik weet niet welke studie je doet, maar als je zo door gaat vrees ik het ergste voor je.
Iets meer context?quote:Op zaterdag 13 september 2014 23:25 schreef netchip het volgende:
"Verschuif de lijn m over de vector p = OP→ en noem de verschoven lijn l."
Wat wordt bedoeld met verschuiven? Alleen in x/y richting verschuiven? Of ook z?.
Een vector is een gericht lijnstuk (of een equivalentieklasse van gerichte lijnstukken met dezelfde lengte en dezelfde richting) en een vector definieert aldus een translatie. Als je niet vertelt welke vector je vector p = OP is, dan is je vraag ook niet te beantwoorden.quote:Op zaterdag 13 september 2014 23:25 schreef netchip het volgende:
"Verschuif de lijn m over de vector p = OP→ en noem de verschoven lijn l."
Wat wordt bedoeld met verschuiven? Alleen in x/y richting verschuiven? Of ook z?.
quote:
Paragraaf 1.2: http://www.staff.science.(...)inalg2013dictaat.pdfquote:Op zaterdag 13 september 2014 23:41 schreef Riparius het volgende:
[..]
Een vector is een gericht lijnstuk (of een equivalentieklasse van gerichte lijnstukken met dezelfde lengte en dezelfde richting) en een vector definieert aldus een translatie. Als je niet vertelt welke vector je vector p = OP is, dan is je vraag ook niet te beantwoorden.
Zoals ik het interpreteer in alle dimensies. De verzameling moet je zien als alle evenwijdige lijnen van de vector .quote:Op zaterdag 13 september 2014 23:44 schreef netchip het volgende:
[..]
[..]
Paragraaf 1.2: http://www.staff.science.(...)inalg2013dictaat.pdf
OK, dus als je een voorbeeld maakt, zou het er zo uit kunnen zien? https://www.dropbox.com/s(...)oorstelling.png?dl=0quote:Op zaterdag 13 september 2014 23:48 schreef Novermars het volgende:
[..]
Zoals ik het interpreteer in alle dimensies. De verzameling moet je zien als alle evenwijdige lijnen van de vector .
Teken gewoon eens een plaatje, in een plat vlak om het simpel te houden. Kies een punt O (als oorsprong) en een punt A ≠ O en teken vector OA = a, dan is elk punt op de rechte door O en A het eindpunt van een vector v = λa voor een zekere λ ∈ R, en als je λ de verzameling R van alle reële getallen laat doorlopen dan krijg je voor het eindpunt van vector v = λa elk punt op de rechte door O en A. We noemen v = λa daarom een vectorvoorstelling van de rechte m door O en A.quote:Op zaterdag 13 september 2014 23:44 schreef netchip het volgende:
[..]
[..]
Paragraaf 1.2: http://www.staff.science.(...)inalg2013dictaat.pdf
Vóór de zomervakantie. Dat was voor de toelatingstoets wiskunde voor de universiteit. Heb het afgerond met een 7.0. Desondanks blijt de materie nog nieuw voor mij. Het is alweer weggezakt en havo/hbo wiskunde stelt niet zoveel voor.quote:Op zaterdag 13 september 2014 23:35 schreef netchip het volgende:
[..]
Onzin, je hebt voor de zomervakantie een paar maanden lang allemaal vragen gepost over differentiëren. Weet je nog, met de ketting/product/som/quotiëntregel?
Je deelt door 1 ipv x.quote:Op zondag 14 september 2014 15:17 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]
Als ik (e0,001 - 1) / 1 invul in mijn rekenmachine krijg ik geen [ afbeelding ], maar 0,0010005 Doe ik iets fout of..?
Ja, je doet iets fout, en in mijn glazen bol zie ik dat je waarschijnlijk alleen ex − 1 hebt berekend voor x = 0,001. Je bent dus helemaal vergeten dat je het resultaat weer door x moest delen.quote:Op zondag 14 september 2014 15:17 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]
Als ik (e0,001 - 1) / 1 invul in mijn rekenmachine krijg ik geen [ afbeelding ], maar 0,0010005 Doe ik iets fout of..?
quote:
Slordig!quote:Op zondag 14 september 2014 15:25 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, je doet iets fout, en in mijn glazen bol zie ik dat je waarschijnlijk alleen ex hebt berekend voor x = 0,001. Je bent dus helemaal vergeten dat je van die ex nog 1 af moest trekken en het resultaat weer door x moest delen.
Hopelijk zie je ook waarom die limiet van (ex − 1)/x voor x → 0 oftewel de limiet van (eh − 1)/h voor h → 0 nu zo interessant is. Als je de afgeleide gaat bepalen vanquote:Op zondag 14 september 2014 15:26 schreef Super-B het volgende:
[..]
[..]
Wiskunde is echt een heerlijk vak, met name door de uitdaging die er in zit.
Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.quote:Op zondag 14 september 2014 16:08 schreef nokenindekoken het volgende:
Okay volgens mij is dit redelijk simpel maar ik zie het gewoon niet, ik hoop dat iemand mij kan helpen.
Is de som: hetzelfde als: ?
Naar mijn inzien namelijk wel maar de antwoorden verschillen. het antwoord van som 1 is namelijk 2,75 en die van som twee 3,25.
Aaah, danku! Al te lang achter elkaar bezig denk ikquote:Op zondag 14 september 2014 16:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.
Vermenigvuldig je die - die rechts van de drie staat niet eerst met een deel v/h kwadraat?quote:Op zondag 14 september 2014 16:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.
Zo zou je het ook kunnen zien ja. Het punt was voornamelijk dat je uiteindelijk een minteken overhoudt. In welke volgorde je de twee andere mintekens vermenigvuldigt maakt niets uit.quote:Op zondag 14 september 2014 17:25 schreef Super-B het volgende:
[..]
Vermenigvuldig je die - die rechts van de drie staat niet eerst met een deel v/h kwadraat?
Dus 3 - (-1/2)^2 is 3 - (-1/2) * (-1/2) en dus
3 + (1/2) * (-1/2) ?
Zo niet, waarom niet
De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie in elk punt op de grafiek van die oorspronkelijke functie. De afgeleide functie geeft zo dus informatie over het verloop van de grafiek van de oorspronkelijke functie. Je kunt deze informatie (dus: de afgeleide functie) zo gebruiken om bijvoorbeeld (locale en globale) maxima en minima van de oorspronkelijke functie op te sporen. Dit is vaak belangrijk bij allerlei praktische vraagstukken. In de economie wil je bijvoorbeeld kunnen bestuderen hoe de winst afhangt van allerlei variabelen en hoe je die winst kunt maximaliseren.quote:Op zondag 14 september 2014 17:53 schreef Super-B het volgende:
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.
Stel je hebt de raaklijn berekend ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is
y = x², wat kun je daar dan mee?
Aha.. stel hé ik vul een x-punt van de gewone functie (2) in de afgeleide 2x in.. (de betreffende punt is 2,4). Dan heb jequote:Op zondag 14 september 2014 18:00 schreef Riparius het volgende:
[..]
De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie in elk punt op de grafiek van die oorspronkelijke functie. De afgeleide functie geeft zo dus informatie over het verloop van de grafiek van de oorspronkelijke functie. Je kunt deze informatie (dus: de afgeleide functie) zo gebruiken om bijvoorbeeld (locale en globale) maxima en minima van de oorspronkelijke functie op te sporen. Dit is vaak belangrijk bij allerlei praktische vraagstukken. In de economie wil je bijvoorbeeld kunnen bestuderen hoe de winst afhangt van allerlei variabelen en hoe je die winst kunt maximaliseren.
Nee, nu bepaal je de y-waarde die bij een bepaalde x-waarde hoort. De afgeleide van f(x) = x2 is f'(x) = 2x.quote:Op zondag 14 september 2014 18:07 schreef Super-B het volgende:
[..]
Aha.. stel hé ik vul een x-punt van de gewone functie (2) in de afgeleide x² in.. (de betreffende punt is 2,4). Dan heb je
2² = 4, wat zegt die 4 dan? Dat het richtingscoëfficiënt is op dat x-punt en je zodoende een functie kan maken van het x-punt 2. Dus in dat geval
y = ax + b
y = 4x + b
4 = 4*2 + b
4 = 8 + b
-4 = b
Dus de functie op punt (2,4) is dan y = 4x - 4 toch?
P.s; kan de afgeleide ook op lineaire functies toegepast worden of alleen functies welke een grafiek hebben waarvan de richtingscoëfficiënt op elk punt anders is (bijv. doordat de grafiek een gebogen grafiek is)?
Zie edit. Gelukkig maakt het voor de berekening even niets uit, aangezien 2*2 hetzelfde is als 2². Dus ik heb niet veel hoeven te editen.quote:Op zondag 14 september 2014 18:10 schreef netchip het volgende:
[..]
Nee, nu bepaal je de y-waarde die bij een bepaalde x-waarde hoort. De afgeleide van f(x) = x2 is f'(x) = 2x.
Deze kromme formulering geeft mooi je verwarring weer. Je moet wel onderscheid maken tussen een snijlijn door twee punten op de grafiek (die meestal dicht bij elkaar worden gekozen) en een raaklijn in één punt van de grafiek.quote:Op zondag 14 september 2014 17:53 schreef Super-B het volgende:
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.
Stel je hebt de raaklijn berekent ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is
y = x², wat kun je daar dan mee? Ik heb verschillende video's bekeken en dan wordt er gesproken over het de richtingscoëfficiënt berekenen van 'dat' punt o.i.d., maar kan dat ook van elk punt, ook waar de raaklijn niet de gewone functie snijdt (zoals het standaard is dat de raaklijn door twee punten snijdt met de gewone functie)?
De steilheid ofwel de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van een functie f bereken je door het verschil in verticale positiequote:Wat de richtingscoëfficiënt is, is mij wel duidelijk; dat bepaalt de richting van de lijn bij elke x-stap. Echter is de afgeleide mij nog wat wazig, ondanks het bekijken van verschillende video's.
Het is niet zozeer dat ik de methodiek lastig vind, maar de achtergrond van de afgeleide niet begrijp.
Wat heb je geprobeerd? Welke rekenregels ken je?quote:Op zondag 14 september 2014 18:44 schreef rareziekte het volgende:
Waarom is 5 / 2sqrt5 = (1/2)sqrt5 ?
Vermenigvuldig teller en noemer van je breuk met √5, dan heb jequote:Op zondag 14 september 2014 18:44 schreef rareziekte het volgende:
Waarom is 5 / 2sqrt5 = (1/2)sqrt5 ?
Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt.quote:Op zondag 14 september 2014 18:37 schreef Riparius het volgende:
[..]
Deze kromme formulering geeft mooi je verwarring weer. Je moet wel onderscheid maken tussen een snijlijn door twee punten op de grafiek (die meestal dicht bij elkaar worden gekozen) en een raaklijn in één punt van de grafiek.
Je kunt het je zo voorstellen dat je één punt op je grafiek kiest en daarnaast nog een tweede punt op de grafiek daar dicht bij. Omdat een rechte lijn volledig vastligt door twee punten, kun je nu door die twee punten precies één rechte lijn trekken. Laat je nu het tweede punt op de grafiek naar het eerste punt toe kruipen, en wel langs de grafiek, dan zal de snijlijn door de twee punten steeds meer de richting krijgen van de raaklijn aan dat eerste punt op de grafiek.
[..]
De steilheid ofwel de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van een functie f bereken je door het verschil in verticale afstand
Δy = f(x+h) − f(x)
tussen de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) te delen door het verschil in horizontale afstand
Δx = (x+h) − x = h
van de twee punten. Zo krijgen we voor de steilheid van onze snijlijn door de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van onze functie f dus
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van f, maar in de steilheid van de grafiek van f zelf in dat ene punt (x, f(x)) op de grafiek. En die steilheid is niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in dit punt (x, f(x)). Wat we dus moeten doen is die waarde van h naar nul laten gaan zodat het tweede punt (x+h, f(x+h)) langs de grafiek naar het eerste punt (x, f(x)) gaat, want dan gaat de steilheid van de snijlijn steeds meer in de buurt komen van de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) waar we eigenlijk in zijn geïnteresseerd.
Maar nu hebben we een probleem, want we kunnen in
Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h
niet zomaar h = 0 invullen want dan wordt Δy = 0 en ook Δx = 0 zodat de breuk 0/0 wordt, en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we gaan kijken wat er gebeurt als we dat verschil h in horizontale afstand tussen de twee punten op de grafiek niet nul maken maar wel heel dicht (willekeurig dicht) tegen 0 aan laten kruipen. Hierbij moet je nog bedenken dat h niet positief hoeft te zijn, want we kunnen h ook vanaf de negatieve kant tegen 0 aan laten kruipen.
Wat we hier eigenlijk nodig hebben is het begrip limiet. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waarbij we zo dicht in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een bepaalde variabele(hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: 0) kiezen. En die limiet van bovenstaande uitdrukking (f(x+h) − f(x))/h voor h → 0 is zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) oftewel de afgeleide f'(x), dus
f'(x) = limh→0(f(x+h) − f(x))/h
Nu zou het heel omslachtig zijn als we altijd maar weer zo'n limiet moesten gaan bepalen om een afgeleide functie te vinden, maar dat hoeft niet. Want voor allerlei 'standaardfuncties' is het mogelijk om eens en voor altijd aan de hand van deze limiet te bepalen wat de afgeleide is, en als we dat eenmaal weten dan kunnen we daar verder gewoon mee werken. Zo kan men bijvoorbeeld aan de hand van deze limiet bewijzen dat voor
f(x) = xn
geldt
f'(x) = nxn−1
Behalve een aantal afgeleiden voor 'standaardfuncties' zijn er ook nog regels voor het bepalen van de afgeleide functie van bijvoorbeeld de som, het verschil, het product, of het quotiënt van twee gegeven functies, en ook die regels zijn allemaal te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide. Tenslotte is het ook belangrijk om de afgeleide te kunnen bepalen van een samenstelling van twee (of meer) functies waarbij de 'output' van de eerste functie dient als 'input' voor de tweede functie. Dat is de kettingregel, en ook die is uiteraard te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide.
Stel je hebt s = 5t2 (s is de verplaatsing in de natuurkunde). Dan is s' = 10t. De snelheid op het punt t = 5 is dan 50 m/s.quote:Op zondag 14 september 2014 19:07 schreef Super-B het volgende:
[..]
Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt.
Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..
Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden? Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?
Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
[ afbeelding ]
Dit is wel een erg eenvoudig voorbeeld. Als je hebt f(x) = 2x2 dan is inderdaad f'(x) = 4x. Je ziet dan bijvoorbeeld dat f'(x) = 0 uitsluitend als x = 0. Zo weet je dus dat de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 2x² alleen horizontaal loopt in het punt (0, 0) op de grafiek, en dat betekent dat f(x) = 2x² een extreme waarde bereikt voor x = 0, en wel een minimum van f(0) = 0. Maar dat wist je al omdat het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, dus dit is niet zo spannend.quote:Op zondag 14 september 2014 19:07 schreef Super-B het volgende:
[..]
Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt.
Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..
Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden?
Bij het soort functies waarmee je nu te maken hebt is dit vaak wel het geval, maar niet altijd. Het hoeft namelijk niet zo te zijn dat je oorspronkelijke functie ook voor alle waarden van x uit het domein differentieerbaar is.quote:Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?
Het plaatje dat je geeft is een mooi voorbeeld van een functie die niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Kun je ook tenminste één of mogelijk twee redenen geven waarom dat zo is?quote:Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
[ afbeelding ]
Dank voor alweer een zeer duidelijke uitleg!quote:Op zondag 14 september 2014 19:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dit is wel een erg eenvoudig voorbeeld. Als je hebt f(x) = 2x2 dan is inderdaad f'(x) = 4x. Je ziet dan bijvoorbeeld dat f'(x) = 0 uitsluitend als x = 0. Zo weet je dus dat de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 2x² alleen horizontaal loopt in het punt (0, 0) op de grafiek, en dat betekent dat f(x) = 2x² een extreme waarde bereikt voor x = 0, en wel een minimum van f(0) = 0. Maar dat wist je al omdat het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, dus dit is niet zo spannend.
Maar laten we eens naar de algemene kwadratische functie
f(x) = ax² + bx + c
kijken, waarbij a,b,c concrete getallen voorstellen en a niet nul mag zijn omdat je anders geen kwadratische term meer zou hebben. Als we hier de afgeleide functie bepalen, dan krijgen we
f'(x) = 2ax + b
en als nu f'(x) = 0 moet zijn, dan moet dus gelden
2ax + b = 0
en dus
2ax = −b
en dus
x = −b/2a
Zo zie je dus dat de kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bereikt voor x = −b/2a. Het is ook mogelijk dit resultaat te vinden door elementaire herleiding (kwadraatafsplitsing, zie bijvoorbeeld hier) maar met differentiaalrekening gaat het veel eenvoudiger. Bovendien kunnen we de differentiaalrekening ook gebruiken bij allerlei andere functies waarbij maxima en minima niet meer met elementaire algebraïsche foefjes zijn te vinden. Zo zie je dus dat de differentiaalrekening een heel krachtig hulpmiddel is bij het onderzoeken van het gedrag van allerlei functies.
[..]
Bij het soort functies waarmee je nu te maken hebt is dit vaak wel het geval, maar niet altijd. Het hoeft namelijk niet zo te zijn dat je oorspronkelijke functie ook voor alle waarden van x uit het domein differentieerbaar is.
[..]
Het plaatje dat je geeft is een mooi voorbeeld van een functie die niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Kun je ook tenminste één of mogelijk twee redenen geven waarom dat zo is?
1 2 3 | phi1(z) = ( exp(z) - 1 ) / z phi2(z) = ( phi1(z) - 1 ) / z |
Kijk nog eens naar de grafiek die je gaf bij je vorige post. Dit is de grafiek van de functiequote:Op maandag 15 september 2014 10:07 schreef Super-B het volgende:
[..]
Dank voor alweer een zeer duidelijke uitleg!
Nee ik kan me niet bedenken waarom.
''Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.''quote:Op maandag 15 september 2014 16:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
Kijk nog eens naar de grafiek die je gaf bij je vorige post. Dit is de grafiek van de functie
f(x) = √x
Deze functie is alleen gedefinieerd voor x ≥ 0 oftewel op het interval [0, ∞), want √x is binnen R (de verzameling van alle reële getallen) niet gedefinieerd als x negatief is.
Bij x = 0 zitten we dus op de rand van het domein van deze functie, en je ziet ook dat de grafiek hier 'begint' (of 'stopt', zo je wil). Maar dit betekent dat deze functie niet differentieerbaar is voor x = 0. Waarom niet? Wel dat volgt om te beginnen uit de definitie van de afgeleide:
We moeten hier h naar nul kunnen laten gaan niet alleen vanaf de positieve kant, maar ook vanaf de negatieve kant, en het differentiequotiënt moet dan naderen tot dezelfde grenswaarde, en dat is dan de limiet van dit differentiequotiënt voor h → 0 oftewel de afgeleide. Als we de afgeleide voor x = 0 oftewel f'(0) willen bepalen dan hebben we volgens deze definitie
Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.
Nu zou je nog kunnen denken, goed, dan beperken we ons hier tot positieve waarden van h omdat we immers aan de rand van het domein van de functie zitten, en dan kunnen we in ieder geval nog de limiet bepalen van het differentiequotiënt als we h vanaf de positieve kant tot nul laten naderen. Dan bepaal je een zogeheten rechter limiet en daarmee ook een rechter afgeleide, maar dat gaat hier ook niet. Waarom niet?
Wel, als je nog even naar de grafiek kijkt, dan zie je dat deze steeds steiler gaat lopen naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Dat is ook begrijpelijk, want voor f(x) = √x kunnen we ook schrijven f(x) = x1/2 en voor x > 0 is de afgeleide dan f'(x) = ½x−1/2 oftewel, we hebben
Nu zie je dat f'(x) inderdaad steeds groter wordt naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Voor x = 0 krijgen we 1/0 maar dat heeft geen betekenis. De raaklijn aan de grafiek bij x = 0 loopt eigenlijk verticaal, maar een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Zo zie je dus dat het feit dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0 nog een tweede reden heeft: een afgeleide in een punt is niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt, en als die raaklijn geen richtingscoëfficiënt heeft omdat die raaklijn verticaal loopt, dan is er voor dat punt dus ook geen afgeleide.
Als je de beschikking hebt over een scanner of een digitale camera, dan kun je in het vervolg beter een plaatje posten van de originele opgave uit je boek, want dit lijkt nergens op. Gebruik verder ook subscript voor indices en superscript voor exponenten, en controleer je formules op typo's voordat je iets post.quote:Op maandag 15 september 2014 13:45 schreef Super-B het volgende:
'Show that f(x) = x^3 is strictly increasing. "
Nou allereerst moet ik de afgeleide bepalen en dat is 3x^2, maar vervolgens loop ik vast.. want er staat een hint waar ik een bepaalde sign moet gebruiken welke ik eerder niet heb gezien:
Hint: consider the sign of x(3/2) - (3/2) = (x2 - x1)(x2/1 + x1x2 + x 2/2)
Die deelstrepen behoren er niet want het is volgens mij geen breuk.
Nee, die h kan ook negatief zijn, namelijk als het tweede punt (x+h, f(x+h)) links van het eerste punt (x, f(x)) ligt waarvoor we eigenlijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen bepalen door het tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt te laten bewegen. Anders gezegd, we moeten h zowel vanaf de negatieve kant als vanaf de positieve kant naar nul kunnen laten gaan en het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h moet dan tot één en dezelfde grenswaarde naderen, ongeacht of we nu van links of van rechts komen. En aan deze voorwaarde is bij de functie f(x) = √x niet voldaan in het punt x = 0 omdat f(h) niet bestaat voor h < 0. De functie f(x) = √x is dus niet differentieerbaar in het punt x = 0, oftwel f'(0) bestaat hier niet.quote:Op maandag 15 september 2014 16:21 schreef Super-B het volgende:
[..]
Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.
Dit begrijp ik niet. Die h is toch alleen maar het verschil tussen de afstand van punt 1 en punt 2 in het perspectief van de x-as? Dus als f'(0) is wat maakt het dan uit? Ik heb die h niet echt begrepen?
Nee, dat is onzin, f'(x) = 0 betekent dat de afgeleide f'(x) de waarde nul heeft of moet hebben voor een zekere waarde van x, en dat kan prima. Wat hier aan de hand is, is dat f'(x) gewoon geen waarde heeft en dus niet bestaat voor x = 0, oftewel f'(0) is niet gedefinieerd.quote:Ik weet wel dat de afgeleide van x1/2 = 1/2x-1/2 is. Maar dat komt doordat ik de regels uit mijn hoofd weet (constante, somregel, productregel en quotiëntregel).
P.S; als er in een x-punt de raaklijn f'(x) = 0 weergeeft, dan is het niet differentieerbaar in dat punt?
Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?quote:Op maandag 15 september 2014 17:18 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, die h kan ook negatief zijn, namelijk als het tweede punt (x+h, f(x+h)) links van het eerste punt (x, f(x)) ligt waarvoor we eigenlijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen bepalen door het tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt te laten bewegen. Anders gezegd, we moeten h zowel vanaf de negatieve kant als vanaf de positieve kant naar nul kunnen laten gaan en het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h moet dan tot één en dezelfde grenswaarde naderen, ongeacht of we nu van links of van rechts komen. En aan deze voorwaarde is bij de functie f(x) = √x niet voldaan in het punt x = 0 omdat f(h) niet bestaat voor h < 0. De functie f(x) = √x is dus niet differentieerbaar in het punt x = 0, oftwel f'(0) bestaat hier niet.
[..]
Nee, dat is onzin, f'(x) = 0 betekent dat de afgeleide f'(x) de waarde nul heeft of moet hebben voor een zekere waarde van x, en dat kan prima. Wat hier aan de hand is, is dat f'(x) gewoon geen waarde heeft en dus niet bestaat voor x = 0, oftewel f'(0) is niet gedefinieerd.
...quote:Op maandag 15 september 2014 17:23 schreef Super-B het volgende:
[..]
Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?
De wortel uit 0 is nul.quote:Op maandag 15 september 2014 17:23 schreef Super-B het volgende:
[..]
Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?
Dat is (f/g) (1), en zelfs dan klopt er nog weinig van.quote:Op maandag 15 september 2014 17:34 schreef RustCohle het volgende:
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:
f(x) = 3x - x³
g(x) = x³
Compute ( f/g) (x)
Ik had
(3 -1³) / 1³ * (x)
Klopt dat?
quote:Op maandag 15 september 2014 17:37 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Dat is (f/g) (1).
Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
Het antwoord op de eerste computingsvraag is:quote:Op maandag 15 september 2014 17:37 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Dat is (f/g) (1), en zelfs dan klopt er nog weinig van.
Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
(f/g)(x) = f(x)/g(x)quote:Op maandag 15 september 2014 17:39 schreef RustCohle het volgende:
[..]
[..]
Het antwoord op de eerste computingsvraag is:
3/x² - 1
De vraag is:
Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ compute (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))
Ik dacht overigens datquote:Op maandag 15 september 2014 17:42 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.
Kan je daar wat mee?
Hoezo, wat lukt er niet verder?quote:Op maandag 15 september 2014 17:43 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook.
Weet je nou nog niet wat functies zijn?quote:Op maandag 15 september 2014 17:43 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ik dacht overigens dat
(f/g)(x) = f(x) / g was
want als je een getal met een breuk vermenigvuldigt, gaat dat direct naar de teller dacht ik
Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook.
Ik kom met die eerste uit op :quote:Op maandag 15 september 2014 17:44 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Hoezo, wat lukt er niet verder?
Als je een formule f(x) hebt en je wil f(3) uitrekenen, weet je wat je dan moet doen?
Nou dat doe je hier ook alleen dan met meerdere functies...
Klopt. En dan:quote:Op maandag 15 september 2014 17:45 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ik kom met die eerste uit op :
(3x - x³) / x³
Ik heb hem al door. Bedankt.quote:Op maandag 15 september 2014 17:45 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Weet je nou nog niet wat functies zijn?
(3x - x³) / x³quote:Op maandag 15 september 2014 17:46 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Klopt. En dan:
(f/g) (x) = f(x)/g(x) =
Leg ons eens uit waar die getallen '1' vandaan komen in de eerste uitwerking die je geeft.
Ik zie je hier nu nog dingen aan aanpassen, weet je niet hoe je met super en subscripts moet werken of meen je dit serieus?quote:
Dat bedoel ik niet:quote:Op maandag 15 september 2014 17:49 schreef RustCohle het volgende:
[..]
(3x - x³) / x³
Alles delen door x³ zorgt voor het volgende:
-x³ / x³ = -1
3x / x³ = x2 -3x = 3/x²
Wat doe je daar?quote:Op maandag 15 september 2014 17:34 schreef RustCohle het volgende:
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:
f(x) = 3x - x³
g(x) = x³
Compute ( f/g) (x)
Ik had
(3 -1³) / 1³ * (x)
Klopt dat?
Ik heb het anders benaderd, heel dom achteraf gezien. Ik denk dat ik het niet eens kan uitleggen ook.quote:Op maandag 15 september 2014 17:50 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Dat bedoel ik niet:
[..]
Wat doe je daar?
Foutje:quote:Op maandag 15 september 2014 17:50 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Ik zie je hier nu nog dingen aan aanpassen, weet je niet hoe je met super en subscripts moet werken of meen je dit serieus?
En wat er achter staat?quote:Op maandag 15 september 2014 17:53 schreef netchip het volgende:
[..]
3x/x3 is 3/x2.
Lijkt me niet moeilijk.
Dus f(g(1)) isquote:Op maandag 15 september 2014 17:42 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.
Kan je daar wat mee?
quote:
quote:Op maandag 15 september 2014 17:56 schreef netchip het volgende:
"Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ bereken (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))"
1. f(x)/g(x) = (3x - x3)/x3 =
2. g(1) = 1. f(g(1)) = f(1) = 3 - 1 = 2.
3. f(1) = 2. g(f(1)) = g(2) = 8.
Ik weet wel zeker dat dat niet klopt.quote:Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
En heb je ook nog stappen hoe je op dat antwoord kwam?quote:Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
Ik lees de antwoorden, maar om er één voor één op te reageren zorgt voor 1000 posts.quote:Op maandag 15 september 2014 18:24 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
En heb je ook nog stappen hoe je op dat antwoord kwam?
Je post hier vraag na vraag maar volgens mij lees je de antwoorden helemaal niet en leer je er ook geen zak van.
y = √xquote:Op maandag 15 september 2014 18:23 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Ik weet wel zeker dat dat niet klopt.
Begin eens eenvoudig: hoe bepaal je de inverse functie van
y = √x ?
Je kan meerdere post quoten en in een post antwoorden.quote:Op maandag 15 september 2014 18:24 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ik lees de antwoorden, maar om er één voor één op te reageren zorgt voor 1000 posts.
Welke stap zet je om dat te bereiken?quote:
y2 = √x - 2. y2 + 2 = √x. x = (y2 + 2)2. x = (y2 + 2)2 = y4 + 4y2 + 4.quote:Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
maar weet niet zeker of dat klopt?
Het kwadrateren van beide kanten.quote:Op maandag 15 september 2014 18:25 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Welke stap zet je om dat te bereiken?
En kun je dan ook de inverse geven van
y = √(x-2) ?
owja..quote:Op maandag 15 september 2014 18:25 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Je kan meerdere post quoten en in een post antwoorden.
Doet het eerste eens zonder die tweede wortel.quote:Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Het kwadrateren van beide kanten.
Er zit nog een wortel....
√(√x - 2)
Right, dan isoleer je de wortel die je overhoudt, en dan kwadrateer je toch gewoon nog een keer?quote:Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Het kwadrateren van beide kanten.
Er zit nog een wortel....
√(√x - 2)
Dan zou hetquote:Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Doet het eerste eens zonder die tweede wortel.
Scherp..quote:Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef netchip het volgende:
[..]
Right, dan isoleer je de wortel die je overhoudt, en dan kwadrateer je toch gewoon nog een keer?
De wortel van y is alleen op [0, oneindig) gedefinieerd, omdat een wortel nooit een negatief getal oplevert. Er is namelijk geen enkel reeel (stom toetsenbord, geen trema's) getal dat zichzelf in het kwadraat een negatief getal levert.quote:Op maandag 15 september 2014 18:35 schreef RustCohle het volgende:
Ik wil graag de diepgang meer weten en ik kan er niet echt makkelijk antwoord vinden op internet, maar waarom is x² niet inverteerbaar en hoe kun je een inverse vinden als je bijv weet dat f een restrictie heeft van [0, oneindig+ ) ?
y = x² --> √y = x lijkt mij en x² is ook one-to-one volgens de vertical test lijkt mij?
[ afbeelding ]
Nee, je verbergt voor ons wat je deed en laat alleen maar zien wat je vond, en dat is ook nog eens fout.quote:Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:
y = √ (√x - 2)
Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2
Wat ik deed is
x = √(y-2)
Even een tip om dit topic niet onnodig te vervuilen. Als je een inverse hebt bepaald (of een afgeleide), gebruik dan eerst WolframAlpha om je antwoord te controleren. Dan zie je meteen dat het fout is en hoef je dit topic niet te vervuilen met je bagger.quote:maar weet niet zeker of dat klopt?
linkerkant = rechterkantquote:Op maandag 15 september 2014 18:38 schreef BroodjeKebab het volgende:
ln ( √(x+4) - 2) = y/4
hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4
Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
Wat doe je dan precies om de linkerkant weg te krijgen?quote:Op maandag 15 september 2014 18:41 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
linkerkant = rechterkant
elinkerkant = erechterkant
Kort gezegd, omdat er twee soorten x'en zijn die een y opleveren is het niet inverteerbaar omdat als je y invoert je niet kunt nagaan wat x nou is?quote:Op maandag 15 september 2014 18:40 schreef Janneke141 het volgende:
Een functie f heeft alleen een inverse als geldt dat
f(a)=f(b) -> a=b
Oftewel: ieder getal in het bereik komt slechts één keer voor als functiewaarde van f
Omdat in het geval van de functie f(x) = x2 geldt dat
f(3) = f(-3) = 9, wordt niet aan deze eis voldaan en heeft f dus geen inverse.
Grafisch gezien: om de inverse functie te bepalen, kun je de grafiek spiegelen in de lijn y=x, en wil dat een functie zijn dan mag boven of onder iedere punt op de x-as, hooguit één punt van de grafiek liggen. Ook dat komt in dit geval niet goed.
Die was duidelijk een stapje te snel voor je, sorry.quote:Op maandag 15 september 2014 18:42 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Wat doe je dan precies om de linkerkant weg te krijgen?
vermenigvuldigen met e?
ln (blablabla) is in principe e blablabla dus?
De natuurlijke logaritme van een gegeven grootheid is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om die grootheid te verkrijgen.quote:Op maandag 15 september 2014 18:38 schreef BroodjeKebab het volgende:
ln ( √(x+4) - 2) = y/4
hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4
Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
Wat is een 'calculator' ?quote:Op maandag 15 september 2014 18:47 schreef Riparius het volgende:
[..]
De natuurlijke logaritme van een gegeven grootheid is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om die grootheid te verkrijgen.
Dus, de uitspraak
ln a = b
is per definitie equivalent met de uitspraak
eb = a
ofwel
a = eb
en evenzo is
ln(√(x+4) − 2) = y/4
equivalent met
√(x+4) − 2 = ey/4
Als je dit niet begrijpt, dan begrijp je gewoon niet wat een natuurlijke logaritme is (en nee, dat is niet domweg die knop met LN op je calculator).
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Wolfram geeft mij geen toegang tot inverses i.v.m. het feit dat ik geen premium-user ben.quote:Op maandag 15 september 2014 18:39 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, je verbergt voor ons wat je deed en laat alleen maar zien wat je vond, en dat is ook nog eens fout.
[..]
Even een tip om dit topic niet onnodig te vervuilen. Als je een inverse hebt bepaald (of een afgeleide), gebruik dan eerst WolframAlpha om je antwoord te controleren. Dan zie je meteen dat het fout is en hoef je dit topic niet te vervuilen met je bagger.
Thankyou. Die van Riparius is mij wat meer duidelijker geworden hahah Maar dat komt omdat die het allemaal zo 'perfect' opschrijft wellicht. Wel bedankt voor je tijd. Ik begrijp de jouwe ook!quote:Op maandag 15 september 2014 18:45 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Die was duidelijk een stapje te snel voor je, sorry.
Wat ik in je post heb doorgestreept is zeker niet waar.
De ln, of natuurlijke logaritme, is de inverse van de e-macht.
Dat betekent, om kort te gaan, dat eln x = ln ex = x
Omdat de e-macht een hele mooie, monotoon stijgende functie is, met heel R als domein, geldt mijn eerdere conclusie
elinkerkant = erechterkant
Meer info over e-machten en natuurlijke logaritmen is al meermalen in dit topic gepost, maar staat ook ongetwijfeld in je boek.
Jawel, die link van Riparius doet het alleen niet goed.quote:Op maandag 15 september 2014 18:49 schreef RustCohle het volgende:
Wolfram geeft mij geen toegang tot inverses i.v.m. het feit dat ik geen premium-user ben.
quote:Op maandag 15 september 2014 18:49 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Wat is een 'calculator' ?Als je het linkje in mijn post aanklikt krijg je gewoon de inverse van je functie te zien, daarvoor heb je geen account nodig.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.[..]
Wolfram geeft mij geen toegang tot inverses i.v.m. het feit dat ik geen premium-user ben.
Je hebt wel een account nodig om uitwerkingen te zien te krijgen, maar daar heb je weinig aan. Machinale uitwerkingen zijn niet zelden onhandig of maken niet gebruik van gangbare herleidingen waardoor je er niets van leert. Gewoon pen en papier en je grijze massa gebruiken, je rekenregels en identiteiten kennen en deze consequent toepassen en veel oefenen is de enige manier om het te leren. Daarnaast is creativiteit belangrijk om te bedenken hoe je een vraagstuk aan gaat pakken. Uiteraard ook bij elk nieuw onderwerp wel een paar uitgewerkte voorbeelden bestuderen om inspiratie op te doen en handigheidjes (de tools of the trade) te leren kennen en in actie te zien, maar door alleen die uitwerkingen te herkauwen leer je het niet, je moet ook opgaven helemaal zelf uitwerken, zonder eerst in antwoordenboekjes te gluren en dat te imiteren en zonder hier om hints te vragen.
Ik heb mijn link uiteraard getest vanaf FOK en die link werkt wel goed, althans in Firefox. Is waarschijnlijk een browser issue als die link bij jou niet goed werkt.quote:Op maandag 15 september 2014 18:53 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Jawel, die link van Riparius doet het alleen niet goed.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Inverse+Sqrt[Sqrt[x]-2]
Je zult toch echt moeten leren om je vraagstelling begrijpelijker te presenteren, eventueel met een plaatje erbij, want hier kan niemand wat mee. Een kegel is een ruimtelijke figuur en daarop liggen geen 'waardes'.quote:Op maandag 15 september 2014 18:52 schreef obsama het volgende:
Hey fok!ers,
Hoe bereken je de totaal aantal waardes die ¨op¨ een kegel liggen?
Dat kan niet want 2 is geen geheel veelvoud van 0,3.quote:De kegel heeft als top de waarde 6 en loopt af in blokken met de waarde 0,3 tot en met de waarde 4 (6 2/3 keer 0,3) dus.
Nee.quote:Hopelijk is mijn beschrijving zo duidelijk.
Niet de groeten doen, dat doe je maar bij Piet Paulusma.quote:Groeten
Ik vind het niet zo raar dat Riparius chagrijnig wordt. Als ze hier nu eerst eens kijken voordat ze vragen.quote:Op maandag 15 september 2014 19:49 schreef Novermars het volgende:
Volgens mij begint Riparius chagrijnig te worden
En een functie heeft een inverse als en slechts als deze surjectief en injectief is.
Excuses, lijkt inderdaad een probleem in mijn browser te zijn.quote:Op maandag 15 september 2014 19:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik heb mijn link uiteraard getest vanaf FOK en die link werkt wel goed, althans in Firefox. Is waarschijnlijk een browser issue als die link bij jou niet goed werkt.
Surjectiviteit: Bij iedere waarde van y hoort minstens een x. Injectiviteit: Bij iedere y hoort hooguit een x.quote:Op maandag 15 september 2014 19:52 schreef netchip het volgende:
[..]
Ik vind het niet zo raar dat Riparius chagrijnig wordt. Als ze hier nu eerst eens kijken voordat ze vragen.
Zou je daar wat meer over willen vertellen? Wat houden surjectiviteit en injectiviteit in?
Oh OK, duidelijk zo! Dank je!quote:Op maandag 15 september 2014 20:00 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Surjectiviteit: Bij iedere waarde van y hoort minstens een x. Injectiviteit: Bij iedere y hoort hooguit een x.
En als een functie zowel injectief als surjectief is dan heet deze bijectief!quote:Op maandag 15 september 2014 20:00 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Surjectiviteit: Bij iedere waarde van y hoort minstens een x. Injectiviteit: Bij iedere y hoort hooguit een x.
Dat is best logisch, want als elke x->y leidt, en elke y->x, dan weet je dus zeker dat de verzamelingen even groot zijn. Hoe is dit te bewijzen, trouwens?quote:Op maandag 15 september 2014 20:03 schreef Novermars het volgende:
En twee verzamelingen hebben dezelfde 'grootte' (kardinaliteit) als er een bijectie bestaat tussen de verzamelingen!
Wat als je de functie gedefinieerd door f(x)=x^2 gebruikt? Dan hoort bij y=20 x=wortel(20) en x=-wortel(20).quote:Op maandag 15 september 2014 20:07 schreef netchip het volgende:
[..]
Dat is best logisch, want als elke x->y leidt, en elke y->x, dan weet je dus zeker dat de verzamelingen even groot zijn.
Klopt het als ik zeg: y = 20, hoort bij x = 5, dan hoort x = 5 bij y = 20? Is dat bijectiviteit?
En dat is een definitie, dus die kan je niet bewijzen! Enkel uitleggen waarom deze definitie nuttig is.quote:Op maandag 15 september 2014 20:07 schreef netchip het volgende:
[..]
Dat is best logisch, want als elke x->y leidt, en elke y->x, dan weet je dus zeker dat de verzamelingen even groot zijn. Hoe is dit te bewijzen, trouwens?
Klopt het als ik zeg: y = 20, hoort bij x = 5, dan hoort x = 5 bij y = 20? Is dat bijectiviteit?
Bij elke x horen dan twee y-waardes, dus deze functie is wel surjectief, maar niet injectief, en als gevolg daarvan, niet bijectief.quote:Op maandag 15 september 2014 20:09 schreef Novermars het volgende:
[..]
Wat als je de functie gedefinieerd door f(x)=x^2 gebruikt? Dan hoort bij y=20 x=wortel(20) en x=-wortel(20).
Integers, want de natuurlijke getallen gaan van (0, oneindig), met als voorwaarde dat het een geheel getal is, en de integers gaan van (-oneindig, oneindig), met dezelfde voorwaarde.quote:Op maandag 15 september 2014 20:10 schreef Novermars het volgende:
[..]
En dat is een definitie, dus die kan je niet bewijzen! Enkel uitleggen waarom deze definitie nuttig is.
In dezelfde trend, zijn er meer integers of natuurlijke getallen?
Of 0 wel of niet een natuurlijk getal is, is altijd een punt van discussie. Maar even los daarvan begrijp je kennelijk niet waar Novermars op doelt.quote:Op maandag 15 september 2014 20:13 schreef netchip het volgende:
[..]
Integers, want de natuurlijke getallen gaan van (0, oneindig), met als voorwaarde dat het een geheel getal is, en de integers gaan van (-oneindig, oneindig), met dezelfde voorwaarde.
Vaak kun je meerdere definities geven, en dan moet je bewijzen dat die definities equivalent zijn. En dan wordt een definitie opeens een stelling ...quote:Op maandag 15 september 2014 20:10 schreef Novermars het volgende:
[..]
En dat is een definitie, dus die kan je niet bewijzen! Enkel uitleggen waarom deze definitie nuttig is.
quote:In dezelfde trend trant, zijn er meer integers of natuurlijke getallen?
Integers zijn toch alle gehele getallen, en de natuurlijke getallen zijn toch alle positieve gehele getallen?quote:Op maandag 15 september 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:
[..]
Of 0 wel of niet een natuurlijk getal is, is altijd een punt van discussie. Maar even los daarvan begrijp je kennelijk niet waar Novermars op doelt.
Ja, en dan is 0 geen natuurlijk getal, terwijl je hierboven 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent, dus je bent inconsistent. Maar wat Novermars je kennelijk wil laten inzien is dat N en Z dezelfde kardinaliteit hebben. Je kunt een bijectieve afbeelding maken tussen N en Z zodat ze dus beide 'evenveel' elementen hebben, en dat is in strijd met ons 'gezonde verstand' dat er 'meer' gehele getallen dan natuurlijke getallen zijn. Ons 'gezonde verstand' is dus kennelijk niet zo gezond ...quote:Op maandag 15 september 2014 20:20 schreef netchip het volgende:
[..]
Integers zijn toch alle gehele getallen, en de natuurlijke getallen zijn toch alle positieve gehele getallen?
Dit volg ik niet helemaal. Stel ik neem het getal -5 uit Z, welk element uit N zou daar dan bij horen?quote:Op maandag 15 september 2014 20:27 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, en dan is 0 geen natuurliijk getal, terwijl je hierboven 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent, dus je bent inconsistent. Maar wat Novermars je kennelijk wil laten inzien is dat N en Z dezelfde kardinaliteit hebben. Je kunt een bijectieve afbeelding maken tussen N en Z zodat ze dus beide 'evenveel' elementen hebben, en dat is in strijd met ons 'gezonde verstand' dat er 'meer' gehele getallen dan natuurlijke getallen zijn. Ons 'gezonde verstand' is dus kennelijk niet zo gezond ...
Dat mag je zelf bedenken. Maak nu eerst maar eens een bijectieve afbeelding tussen N en Z.quote:Op maandag 15 september 2014 20:32 schreef netchip het volgende:
[..]
Dit volg ik niet helemaal. Stel ik neem het getal -5 uit Z, welk element uit N zou daar dan bij horen?
Dus dan zou ik denken dat de volgende tussenstap is:quote:Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:
Bepaal de inverse functie van:
y = 5e 3x-2
Mijn antwoord tot dusverre:
5e 3x-2 = y
e 3x-2 = y/5
Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ln x = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?
Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.quote:Op maandag 15 september 2014 20:36 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat mag je zelf bedenken. Maak nu eerst maar eens een bijectieve afbeelding tussen N en Z.
Dat kloptquote:Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef Super-B het volgende:
[..]
Dus dan zou ik denken dat de volgende tussenstap is:
3x-2 = ln y/5
Je zit op de goede weg, volgens mij.quote:Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:
Bepaal de inverse functie van:
y = 5e 3x-2
Mijn antwoord tot dusverre:
5e 3x-2 = y
e 3x-2 = y/5
Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ln x = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?
Daar gaat ie weer: de natuurlijke logaritme van een getal is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te krijgen.quote:Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:
Bepaal de inverse functie van:
y = 5e 3x-2
Mijn antwoord tot dusverre:
5e 3x-2 = y
e 3x-2 = y/5
Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ln x = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?
Dan heb je f(−x) = f(x) voor elke x ∈ Z, dus zo krijg je geen bijectie. Ga hier maar eens goed over nadenken.quote:Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef netchip het volgende:
[..]
Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.
3x = ln(y/5) + 2quote:Op maandag 15 september 2014 20:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Daar gaat ie weer: de natuurlijke logaritme van een getal is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te krijgen.
Nu heb je
e3x−2 = y/5
dus kennelijk is (hier) 3x − 2 de exponent waartoe we e moeten verheffen om y/5 te krijgen, oftewel 3x − 2 is de natuurlijke logaritme van y/5, dus
3x − 2 = ln(y/5)
Nu zelf maar even verder gaan.
Bij de tweede opgave moet je de rekenregel ln(ab) = b*ln(a) gebruiken. Kom je er dan wel uit?quote:Op maandag 15 september 2014 21:21 schreef BroodjeKebab het volgende:
Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:
[ afbeelding ]
Antwoord:
[ afbeelding ]
Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..
En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:
[ afbeelding ]
Bestudeer eerst deze post van mij eens goed. Dat is een vergelijkbare opgave waarbij met tekenschema's wordt gewerkt om het tekenverloop van een uitdrukking te bepalen.quote:Op maandag 15 september 2014 21:21 schreef BroodjeKebab het volgende:
Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:
[ afbeelding ]
Antwoord:
[ afbeelding ]
Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..
Hier wordt de rekenregelquote:En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:
[ afbeelding ]
ja dat had ik ook, maar ik bedoelde dat laatste stuk met het aftrekken (-) enzo.quote:Op maandag 15 september 2014 21:33 schreef Alrac4 het volgende:
[..]
Bij de tweede opgave moet je de rekenregel ln(ab) = b*ln(a) gebruiken. Kom je er dan wel uit?
die regel ken ik, maar ik bedoel het laatste stuk met het aftrekken.quote:Op maandag 15 september 2014 21:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Bestudeer eerst deze post van mij eens goed. Dat is een vergelijkbare opgave waarbij met tekenschema's wordt gewerkt om het tekenverloop van een uitdrukking te bepalen.
De exponentiële functie is strict monotoon stijgend op R, dus als je weet dat 2ex − 4 = 0 voor x = ln 2, dan weet je ook dat 2ex − 4 < 0 voor x < ln 2 en dat 2ex − 4 > 0 voor x > ln 2.
[..]
Hier wordt de rekenregel
ln(ap) = p·ln a
gebruikt (geldig voor a ∈ R+ en p ∈ R). Deze rekenregel moet je gewoon kennen en had je hier ook moeten herkennen. Oefening: bewijs deze rekenregel aan de hand van rekenregels voor exponenten, dan vergeet je het nooit meer.
Na herleiding heb je hier een vierkantsvergelijking in ln x. Misschien zie je beter hoe het verder gaat met oplossen als je even ln x = z substitueert, dan komt er 6z·ln 2 = 3z².
Zorgvuldiger werken, je was een haakje vergeten. De (natuurlijke) logaritme is alleen gedefinieerd voor positieve reële getallen, zodat ex − 2 > 0 moet zijn en dus inderdaad x > ln 2. Het domein van deze functie is dus het interval (ln 2, ∞). De (natuurlijke) logaritme neemt alle reële waarden aan en dus neemt deze functie ook alle reële waarden aan als we x het domein (ln 2, ∞) laten doorlopen. Het bereik van deze functie is dus R, en deze functie is strict monotoon stijgend. We hebben dus een inverse met als domein R en als bereik (ln 2, ∞) en deze inverse isquote:Op maandag 15 september 2014 21:11 schreef Super-B het volgende:
''The following functions are strictly increasing in their domains. Fin the domains of their inverses and formulas for the inverses''
a) f(x) = 3 + ln(ex - 2) , x > ln 2
Hier moet je even zien dat e−cx altijd positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel, en daarmee de functiewaarde, altijd kleiner is dan 1. De functiewaarde is bovendien altijd positief. Als we x steeds negatiever laten worden, dan neemt de waarde van e−cx onbeperkt toe, aangezien c positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel en daarmee de functiewaarde dus tot nul nadert. Laten we daarentegen x steeds positiever worden, dan nadert e−cx tot nul en de waarde van de breuk als geheel oftewel de functiewaarde nadert dan tot 1. Kennelijk is het bereik van de functie dus het open interval (0, 1) en is de functie strict monotoon stijgend op R. De functie is daarmee inverteerbaar, en de inverse functie heeft het open interval (0, 1) als domein en R als bereik. Deze inverse isquote:b) f(x) = a / (e-cx + a) , a and c positive, x is a element of (-oneindig, oneindig+)
Strictly increasing betekent strict monotoon stijgend. Een reële functie f van een reële variabele noemen we strict monotoon stijgend als voor elk tweetal elementen x1 en x2 uit het domein van de functie geldt dat f(x1) < f(x2) indien x1 < x2. Dit heeft an sich niets met differentiaalrekening te maken, een functie hoeft niet eens differentieerbaar te zijn om toch strict monotoon stijgend te kunnen zijn.quote:Ik weet niet echt wat ik hiermee aan moet, ondanks dat het mij eerder gelukt is om de inverses met succes te bepalen. Dit behoort gelukkig wel tot de moeilijkste opgave van het hoofdstuk, dus het is niet echt een ramp dat ik vastloop. Ik heb een gevoel dat het vetgedrukte mij zou 'moeten' helpen, maar heb geen idee op welke wijze.
P.S; Ik weet dat 'strictly increasing' iets met de afgeleide te maken heeft, maar deze opgave behoort tot een hoofdstuk vóór het hoofdstuk dat over de afgeleide/differentiatie gaat..
We hebbenquote:Op maandag 15 september 2014 22:05 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
die regel ken ik, maar ik bedoel het laatste stuk met het aftrekken.
Voordat je een expliciete functie probeert te maken, denk er eens over na hoe je elementen van N en Z kan rangschikken. Om een voorbeeld te geven van even en oneven getallen (en daarmee bewijzen dat er even veel even als oneven getallen zijn): (1,2) (3,4) (5,6) .... (n,n+1) ....quote:Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef netchip het volgende:
[..]
Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.
Ik kijk hier morgen even naar, als je het niet erg vindt.quote:Op maandag 15 september 2014 22:55 schreef Novermars het volgende:
[..]
Voordat je een expliciete functie probeert te maken, denk er eens over na hoe je elementen van N en Z kan rangschikken. Om een voorbeeld te geven van even en oneven getallen (en daarmee bewijzen dat er even veel even als oneven getallen zijn): (1,2) (3,4) (5,6) .... (n,n+1) ....
Kan je zien waarom dit een bijectie is?
quote:Op maandag 15 september 2014 22:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Zorgvuldiger werken, je was een haakje vegeten. De (natuurlijke) logaritme is alleen gedefinieerd voor positieve reële getallen, zodat ex − 2 > 0 moet zijn en dus inderdaad x > ln 2. Het domein van deze functie is dus het interval (ln 2, ∞). De (natuurlijke) logaritme neemt alle reële waarden aan en dus neemt deze functie ook alle reële waarden aan als we x het domein (ln 2, ∞) laten doorlopen. Het bereik van deze functie is dus R, en deze functie is strict monotoon stijgend. We hebben dus een inverse met als domein R en als bereik (ln 2, ∞) en deze inverse is
f−1(x) = ln(ex−3 + 2)
Zie hier.
[..]
Hier moet je even zien dat e−cx altijd positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel, en daarmee de functiewaarde, altijd kleiner is dan 1. De functiewaarde is bovendien altijd positief. Als we x steeds negatiever laten worden, dan neemt de waarde van e−cx onbeperkt toe, aangezien c positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel en daarmee de functiewaarde dus tot nul nadert. Laten we daarentegen x steeds positiever worden, dan nadert e−cx tot nul en de waarde van de breuk als geheel oftewel de functiewaarde nadert dan tot 1. Kennelijk is het bereik van de functie dus het open interval (0, 1) en is de functie strict monotoon stijgend op R. De functie is daarmee inverteerbaar, en de inverse functie heeft het open interval (0, 1) als domein en R als bereik. Deze inverse is
f−1(x) = (−1/c)·ln(a/x − a)
[..]
Strictly increasing betekent strict monotoon stijgend. Een reële functie f van een reële variabele noemen we strict monotoon stijgend als voor elk tweetal elementen x1 en x2 uit het domein van de functie geldt dat f(x1) < f(x2) indien x1 < x2. Dit heeft an sich niets met differentiaalrekening te maken, een functie hoeft niet eens differentieerbaar te zijn om toch strict monotoon stijgend te kunnen zijn.
Ik snap het vetgedrukte niet.quote:Op maandag 15 september 2014 22:51 schreef Riparius het volgende:
[..]
We hebben
6·ln(x)·ln(2) = 3·ln(x)·ln(x)
Nu van beide leden 3·ln(x)·ln(x) aftrekken en we krijgen
6·ln(x)·ln(2) − 3·ln(x)·ln(x) = 0
Nu zien we dat beide termen in het linkerlid een factor 3 en tevens een factor ln(x) bevatten, zodat we een factor 3·ln(x) buiten haakjes kunnen halen. Dit geeft
3·ln(x)·(2·ln(2) − ln(x)) = 0
Nu kan een product van twee factoren uitsluitend nul zijn als (tenminste) één van beide factoren zelf nul is, en dus moet gelden
3·ln(x) = 0 ∨ 2·ln(2) − ln(x) = 0
en dus
ln(x) = 0 ∨ ln(x) = 2·ln(2)
Maar nu is 0 = ln(1) en ook is 2·ln(2) = ln(2²) = ln(4), dus krijgen we
ln(x) = ln(1) ∨ ln(x) = ln(4)
zodat
x = 1 ∨ x = 4.
Tot slot nog even dit. Je kunt deze vergelijking ook heel anders oplossen. De oorspronkelijke vergelijking luidt
26·ln(x) = x3·ln(x)
waarvoor we kunnen schrijven
(26)ln(x) = (x3)ln(x)
en aan deze voorwaarde kan alleen voldaan worden als ln(x) = 0 of als 26 gelijk is aan x3. Ook is 26 = (22)3 = 43. Dus krijgen we
ln(x) = 0 ∨ x3 = 43
x = 1 ∨ x = 4
Simpel toch?
Wat snap je niet aan?quote:Op dinsdag 16 september 2014 08:46 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Ik snap het vetgedrukte niet.
Het domein van de gegeven functie f(x) = 3 + ln(ex − 2) is het interval (ln 2, ∞) zoals de toevoeging x > ln 2 bij de opgave ook al suggereert. Maar ik heb duidelijk aangegeven dat de logaritme alle reële waarden aanneemt als we het getal waarvan we de logaritme nemen alle positieve reële waarden aan laten nemen. En dat is het geval voor (ex − 2) als we x het interval (ln 2, ∞) laten doorlopen. En dus neemt ln(ex − 2) en daarmee ook f(x) = 3 + ln(ex − 2) alle reële waarden aan. Het bereik van deze functie is dus wel degelijk R, en niet het interval (0, ∞).quote:Op dinsdag 16 september 2014 08:26 schreef Super-B het volgende:
Hoe kan het bereik (ln 2, ∞) zijn? Dat is toch alleen het domein en het bereik is dan
(0, ∞) ?
Ik heb de herleidingen van de inversen achterwege gelaten omdat je zelf had aangegeven dat je nu in staat was het functievoorschrift van de inverse van een gegeven functie te bepalen.quote:Ik snap overigens niet hoe je tot de inverse komt en waarvoor de f -1 staat.. ik denk daarbij gelijk aan een deling van 1/f.
Ik vind het wat te gemakkelijk om alleen maar te zeggen dat je het niet snapt nadat ik het volledig heb uitgelegd, afgezien van het achterwege laten van de herleiding van het functievoorschrift van de inverse functie (waarvan je had aangegeven dat je dit nu zelf kon). Geef precies aan wat je niet begrijpt, en waarom niet.quote:Die Dat laatste vraagstuk snap ik ook niet.
[..]
Wat je hier zegt klopt niet, het causale verband dat je meent te zien is er niet. Een vierkantswortel uit een niet-negatief reëel getal is niet negatief omdat we hebben afgesproken dat √a voor a ≥ 0 het niet-negatieve reële getal is waarvan het kwadraat a is. Dat er geen reële getallen zijn waarvan het kwadraat een negatief reëel getal is, is een andere kwestie. Je uitspraak was wel correct geweest als je had gezegd dat de wortel van y binnen R alleen op [0, ∞) is gedefinieerd omdat een kwadraat van een reëel getal nooit negatief is. Je bent overigens niet de enige die er dit soort kromme redenaties op na houdt, zie ook hier.quote:Op maandag 15 september 2014 18:38 schreef netchip het volgende:
[..]
De wortel van y is alleen op [0, oneindig) gedefinieerd, omdat een wortel nooit een negatief getal oplevert. Er is namelijk geen enkel reeel (stom toetsenbord, geen trema's) getal dat zichzelf in het kwadraat een negatief getal levert.
Ah, ik zie het nu. Ik heb de redenatie om gedraaid. Dank je dat je er me op wijst!quote:Op dinsdag 16 september 2014 17:55 schreef Riparius het volgende:
[..]
Wat je hier zegt klopt niet, het causale verband dat je meent te zien is er niet. Een vierkantswortel uit een niet-negatief reëel getal is niet negatief omdat we hebben afgesproken dat √a voor a ≥ 0 het niet-negatieve reële getal is waarvan het kwadraat a is. Dat er geen reële getallen zijn waarvan het kwadraat een negatief reëel getal is, is een andere kwestie. Je uitspraak was wel correct geweest als je had gezegd dat de wortel van y binnen R alleen op [0, ∞) is gedefinieerd omdat een kwadraat van een reëel getal nooit negatief is. Je bent overigens niet de enige die er dit soort kromme redenaties op na houdt, zie ook hier.
O ja, en stomme toetsenborden bestaan niet, de personen die er achter zitten daarentegen ... Zet je toetsenbordindeling op VS internationaal en schakel alle hotkeys voor wisseling van toetsenbordindelingen uit, dan zal zelfs een gorilla met ADHD en Parkinson er nooit meer in slagen via het toetsenbord per ongeluk een andere toetsenbordindeling te selecteren.
3ln(x) * ln(x) wordt dat dan niet gewoon 3ln(x)^2? Of ben ik stom bezig?quote:Op maandag 15 september 2014 22:51 schreef Riparius het volgende:
[..]
We hebben
6·ln(x)·ln(2) = 3·ln(x)·ln(x)
Nu van beide leden 3·ln(x)·ln(x) aftrekken en we krijgen
6·ln(x)·ln(2) − 3·ln(x)·ln(x) = 0
Nu zien we dat beide termen in het linkerlid een factor 3 en tevens een factor ln(x) bevatten, zodat we een factor 3·ln(x) buiten haakjes kunnen halen. Dit geeft
3·ln(x)· (2·ln(2) − ln(x)) = 0
Nu kan een product van twee factoren uitsluitend nul zijn als (tenminste) één van beide factoren zelf nul is, en dus moet gelden
3·ln(x) = 0 ∨ 2·ln(2) − ln(x) = 0
en dus
ln(x) = 0 ∨ ln(x) = 2·ln(2)
Maar nu is 0 = ln(1) en ook is 2·ln(2) = ln(2²) = ln(4), dus krijgen we
ln(x) = ln(1) ∨ ln(x) = ln(4)
zodat
x = 1 ∨ x = 4.
Tot slot nog even dit. Je kunt deze vergelijking ook heel anders oplossen. De oorspronkelijke vergelijking luidt
26·ln(x) = x3·ln(x)
waarvoor we kunnen schrijven
(26)ln(x) = (x3)ln(x)
en aan deze voorwaarde kan alleen voldaan worden als ln(x) = 0 of als 26 gelijk is aan x3. Ook is 26 = (22)3 = 43. Dus krijgen we
ln(x) = 0 ∨ x3 = 43
x = 1 ∨ x = 4
Simpel toch?
Dat wordt het alleen als je de haken goed zet: 3ln(x) * ln(x) = 3 [ln(x)] ^2quote:Op dinsdag 16 september 2014 18:47 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
3ln(x) * ln(x) wordt dat dan niet gewoon 3ln(x)^2? Of ben ik stom bezig?
Blijf het maar ingewikkeld vinden, met name omdat je het ook allemaal ingewikkeld schrijft maar goed, want de stof is mij nog steeds lastig.quote:Op dinsdag 16 september 2014 15:19 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het domein van de gegeven functie f(x) = 3 + ln(ex − 2) is het interval (ln 2, ∞) zoals de toevoeging x > ln 2 bij de opgave ook al suggereert. Maar ik heb duidelijk aangegeven dat de logaritme alle reële waarden aanneemt als we het getal waarvan we de logaritme nemen alle positieve reële waarden aan laten nemen. En dat is het geval voor (ex − 2) als we x het interval (ln 2, ∞) laten doorlopen. En dus neemt ln(ex − 2) en daarmee ook f(x) = 3 + ln(ex − 2) alle reële waarden aan. Het bereik van deze functie is dus wel degelijk R, en niet het interval (0, ∞).
Verder moet je natuurlijk in de gaten houden dat bij een inverteerbare functie het domein het bereik is van de inverse functie en dat het bereik van de functie het domein is van de inverse functie. Dus, als de functie g de inverse is van een functie f, dan is Dg = Bf en Bg = Df. En bij deze opgave werd gevraagd naar het domein van de inverse functie, niet naar het domein van de gegeven functie.
[..]
Ik heb de herleidingen van de inversen achterwege gelaten omdat je zelf had aangegeven dat je nu in staat was het functievoorschrift van de inverse van een gegeven functie te bepalen.
De notatie f−1 is een traditionele notatie voor de inverse functie van een gegeven functie f. Als je het linkje naar WolframAlpha had aangeklikt dan had je gezien dat deze notatie daar ook wordt gebruikt. Het is inderdaad een ongelukkige notatie omdat f−1 gemakkelijk kan worden aangezien voor een multiplicatieve inverse 1/f van een grootheid (niet een functie) f, maar het is nu eenmaal een gebruikelijke en algemeen aanvaarde notatie. Eventueel zou je ook de notatie finv voor de inverse functie van een functie f kunnen gebruiken. Ik heb recent nog iets over deze notatie geschreven, zie hier en eventueel hier. Laat nu zelf maar even zien hoe je het functievoorschrift voor de inverse functie van de functie f(x) = 3 + ln(ex − 2) hebt proberen te bepalen en waarom dit niet lukte. Je kunt het best beginnen met de betrekking
y = 3 + ln(ex − 2)
Dit is de vergelijking van de grafiek van de gegeven functie f. De grafiek van de inverse van f wordt verkregen door de grafiek van f te spiegelen in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in deze lijn gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x) en als het punt (x, y) op de grafiek van f ligt, dan is y = f(x) en dus x = f−1(y) of, zo je wil, x = finv(y), zodat het punt (y, x) op de grafiek van de inverse van f ligt. We verkrijgen dus een vergelijking van het spiegelbeeld van de grafiek van f door in de vergelijking van de grafiek van f de variabelen x en y met elkaar te verwisselen, en dat betekent dat
x = 3 + ln(ey − 2)
een vergelijking is van het spiegelbeeld van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Is nu de functie inverteerbaar, en dat is hier het geval, dan is deze betrekking een vergelijking van de grafiek van de inverse functie en dan kunnen we uit deze betrekking y oplossen om zo het functievoorschrift voor de inverse functie te verkrijgen.
[..]
Ik vind het wat te gemakkelijk om alleen maar te zeggen dat je het niet snapt nadat ik het volledig heb uitgelegd, afgezien van het achterwege laten van de herleiding van het functievoorschrift van de inverse functie (waarvan je had aangegeven dat je dit nu zelf kon). Geef precies aan wat je niet begrijpt, en waarom niet.
Je notatie is hier ambigu. Je kunt inderdaad zeggen datquote:Op dinsdag 16 september 2014 18:47 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
3ln(x) * ln(x) wordt dat dan niet gewoon 3ln(x)^2? Of ben ik stom bezig?
Je volgt nu een academische opleiding, en dat is de hoogst mogelijke reguliere opleiding. Dan mag er toch wel van je verwacht worden dat je het soort teksten dat ik schrijf kunt begrijpen en dat je een bepaald denkniveau hebt. Krijg je ook echt college over deze stof en zijn er contacturen of vragenuurtjes of werkgroepen of worden jullie gewoon het bos in gestuurd met een Engelstalig boek zonder begeleiding?quote:Op dinsdag 16 september 2014 18:51 schreef Super-B het volgende:
[..]
Blijf het maar ingewikkeld vinden, met name omdat je het ook allemaal ingewikkeld schrijft maar goed, want de stof is mij nog steeds lastig.
Het zou wel helpen als je even precies aangeeft waar je op doelt, hier kan ik niets mee.quote:Alle reële getallen? Alleen de positieve toch? Dus dan is het toch R+?
Bereken maar eens f(0,6933). Dan kom je er vanzelf achter dat er ook negatieve getallen in het bereik zitten.quote:
Dat zal voor f(x) = 3 + ln(ex − 2) niet gaan, want dan is ex − 2 < 0 en dus ln(ex − 2) niet reëel ...quote:Op dinsdag 16 september 2014 19:04 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Bereken maar eens f(-100). Dan kom je er vanzelf achter dat er ook negatieve getallen in het bereik zitten.
Oepsquote:Op dinsdag 16 september 2014 19:13 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat zal voor f(x) = 3 + ln(ex − 2) niet gaan, want dan is ex − 2 < 0 en dus ln(ex − 2) niet reëel ...
Ln (4) > ln(e) = 1quote:Op woensdag 17 september 2014 11:22 schreef Super-B het volgende:
Er is een bewering die ik niet snap:
Ln(e) = 1
Ln(2) < ln (e) omdat 2 < e
Echter ben ik het er niet mee eens, want
Ln (4) < ln (e) , maar bij dit is 4 > e dus daar klopt geen zak van...
Kan iemand de bewering verklaren?
Welke van de twee beweringen snap je niet?quote:Op woensdag 17 september 2014 11:22 schreef Super-B het volgende:
Er is een bewering die ik niet snap:
Ln(e) = 1
Ln(2) < ln (e) omdat 2 < e
Niet helemaal (probeer bij je eindantwoord eens of het nog steeds door (0,0) gaat). Zoals je zegt, verschuiven naar boven en naar beneden van een functie werkt door er A bij op te tellen (of af te trekken). Weet je ook hoe je een functie naar links of rechts verschuift?quote:Op woensdag 17 september 2014 10:55 schreef RustCohle het volgende:
Hoe moet deze?
Bij die eerste snap ik niet hoe ze tot een vergelijking komen? Want ik had het anders aangepakt..:
Want y = -3 bij x =0 en het punt waar die doorheen moet is x = 0 en y =0 , dus de grafiek moet met 3 punten naar boven.
y= 2 bij x = 1 en het moet door het punt x = 1 en y =1 , dus dat moet weer met 1 punt omlaag..
Dus per saldo moet die met 2 stappen omhoog? Dus (-x²+6x-3)+2 Dat denk ik..
Je moet dus eigenlijk x uitdrukken als functie van y (in andere woorden, los de vergelijking op voor x). Een eerste stap is kijken naar die ln, die eigenlijk een vorm heeft van ln(A/B). Hoe zou je die anders kunnen opschrijven?quote:[ afbeelding ]
Bij de tweede weet ik niet wat ik moet doen, de ln + breuk maakt het lastig... Ik zou denken ln * de breuk, dus daar kan iets mee gedaan worden?
Onthoud dat je differentiëren en optellen mag verwisselen (eerst differentiëren en dan optellen, of eerst optellen en dan differentiëren is hetzelfde). Bovendien hoef je niet alle elementen van het antwoord op te schrijven (dat kan nu ook niet). Je mag ook schrijven (als we de elementen even a1 t/m an noemen): a1+a2+...+a(n-1)+an, waar de puntjes eigenlijk 'alle tussengelegen elementen' betekent.quote:
Dit is gewoon de productregel. Als je alleen f(x) en g(x) zou hebben, wat is de afgeleide van f(x)g(x) dan? En dat moet je dan gewoon drie keer doen.quote:d ) begrijp ik niet, aangezien het antwoord al gegeven is lijkt mij? De afgeleide van f(x)g(x) en h(x) is volgens mij gewoon
(f(x)g(x)h(x))' Dus eerst alles vermenigvuldigen (de functies) en vervolgens de afgeleide.
Je vergist je, waarschijnlijk omdat je een verkeerde knop op je calculator hebt ingedrukt en vervolgens kritiekloos voor waar aanneemt wat er op het schermpje van je calculator verschijnt. Dat moet je dus nooit meer doen. De logaritmische functie is strict monotoon stijgend en aangezien 2 < e < 4 heb je dus ook ln(2) < ln(e) < ln(4) oftewel ln(2) < 1 < ln(4). Merk ook nog op dat ln(4) = 2·ln(2) zodat dus ln(2) > ½ moet zijn.quote:Op woensdag 17 september 2014 11:22 schreef Super-B het volgende:
Er is een bewering die ik niet snap:
Ln(e) = 1
Ln(2) < ln (e) omdat 2 < e
Echter ben ik het er niet mee eens, want
Ln (4) < ln (e) , maar bij dit is 4 > e dus daar klopt geen zak van...
Kan iemand de bewering verklaren?
Het probleem is dat je gewoon negeert wat er staat. Je krijgt bij de opgave een hint om de verschuiving (in eenheden) naar links aan te geven met A en de verschuiving (in eenheden) omhoog met B, maar je meent het beter te weten, wat niet zo is. Die aanwijzing krijg je echt niet voor niets. Dit soort arrogantie brengt je nergens. Het is ook vreemd dat je bij je eigen redenering alleen maar in verticale richting zit te schuiven, terwijl het evident is dat er tevens in horizontale richting moet worden geschoven.quote:Op woensdag 17 september 2014 10:55 schreef RustCohle het volgende:
Hoe moet deze?
Bij die eerste snap ik niet hoe ze tot een vergelijking komen? Want ik had het anders aangepakt..:
Want y = -3 bij x =0 en het punt waar die doorheen moet is x = 0 en y =0 , dus de grafiek moet met 3 punten naar boven.
y= 2 bij x = 1 en het moet door het punt x = 1 en y =1 , dus dat moet weer met 1 punt omlaag..
Dus per saldo moet die met 2 stappen omhoog? Dus (-x²+6x-3)+2 Dat denk ik..
[ afbeelding ]
Het is bijzonder kwalijk dat je nu nog steeds meent dat ln an sich een symbool is voor een grootheid waar je iets bij op kunt tellen of iets mee kunt vermenigvuldigen. Dat is niet zo, ln is een functiesymbool. Wat je hier zegt is dus lariekoek.quote:Bij de tweede weet ik niet wat ik moet doen, de ln + breuk maakt het lastig... Ik zou denken ln * de breuk, dus daar kan iets mee gedaan worden?
[ afbeelding ]
Het is de bedoeling dat je het sommatieteken Σ met de bijbehorende index i die loopt van 1 t/m n hier gewoon laat staan, immers, de afgeleide van de som van een aantal functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van de afzonderlijke functies die de termen vormen van de som. Je hoeft hier alleen te bedenken dat d(i2xi)/dx = i3xi−1.quote:c) begrijp ik niet omdat het aantal keer dat het moet voorkomen 'n' maal is...
Nee meneer. Het antwoord is niet gegeven. Het is de bedoeling dat je hier werkt met de productregel zoals je die kent voor de bepaling van de afgeleide van een product van twee functies en dat je die regel benut om daarmee een uitdrukking te verkrijgen voor de afgeleide van een product van drie functies. Om een haakjesorgie te vermijden zal ik dit even symbolisch opschrijven, dan heb jequote:d ) begrijp ik niet, aangezien het antwoord al gegeven is lijkt mij? De afgeleide van f(x)g(x) en h(x) is volgens mij gewoon
(f(x)g(x)h(x))' Dus eerst alles vermenigvuldigen (de functies) en vervolgens de afgeleide.
Wordt er niet gewoon aangegeven dat F afhankelijk is van x.quote:Op woensdag 17 september 2014 18:47 schreef defineaz het volgende:
Ik studeer sinds vorige week in Delft, waar ze een goede basis in maattheorie veronderstellen die ik helaas (nog) niet heb. Zo wordt bijvoorbeeld de notatie:
∫xn dF(x)
gebruikt (waarbij die F(x) volledig uit de lucht komt vallen). Kan iemand kort uitleggen (of een referentie geven waar ik kan vinden) wat dit precies betekent?
Ik heb wel de notatie dμ gezien, als μ een maat is, en daar zal het dus wel iets te maken mee hebben (ik heb wel in grote lijnen een idee wat deze notatie betekent, namelijk een Lebesgue integraal, maar de theorie erachter is nog niet helemaal ingedaald). Ik ken echter de notatie waarbij de 'maat' afhangt van x niet.
E[Xn] = ∫xn dF(x)quote:Op woensdag 17 september 2014 18:51 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Wordt er niet gewoon aangegeven dat F afhankelijk is van x.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.(in de context van kansberekening)
Zo, eens kijken hoe ver ik nu kom. Dank!quote:Op woensdag 17 september 2014 18:59 schreef Novermars het volgende:
Zoekterm: Integration with respect to a probability measure.
quote:Op woensdag 17 september 2014 18:58 schreef defineaz het volgende:
[..]
E[Xn] = ∫xn dF(x)
is hoe F(x) geïntroduceerd wordt (met de integratie van 0 naar oneindig, maar dat doet er verder niet toe)...
Of, de hele regel:Ja is dat niet gewoon F afhankelijk van x.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.(in de context van kansberekening)
En later wordt F getransformeerd en is ie afhankelijk van s.
Ja, ik heb alleen nog nooit een Riemann-Stieltjesintegraal gezien, en snapte de betekenis niet. Zo achteraf is het best logisch, als je hem vergelijkt met de gewone Riemann integraal.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:03 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Ja is dat niet gewoon F afhankelijk van x.
En later wordt F getransformeerd en is ie afhankelijk van s.
Jij deed toch ook econometrie? Wat doe je dan in Delft? öquote:Op woensdag 17 september 2014 19:06 schreef defineaz het volgende:
[..]
Ja, ik heb alleen nog nooit een Riemann-Stieltjes integraal gezien, en snapte de betekenis niet. Zo achteraf is het best logisch, als je hem vergelijkt met de gewone Riemann integraal.
Hier wordt ook nog een bekend handigheidje gebruikt, integreren onder het integraalteken. Dat betekent dat je een integrand herschrijft als een integraal zodat je een dubbelintegraal krijgt, waarbij je dan (onder bepaalde voorwaarden, dat wel) de integratievolgorde om kunt keren om zo een dubbelintegraal te krijgen die je beter kunt hanteren. Bij één van de integralen die ik ooit wel eens als challenge heb gegeven kun je dit ook gebruiken om een verbluffend eenvoudige evaluatie te krijgen van de integraal.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:00 schreef defineaz het volgende:
[..]
Zo, eens kijken hoe ver ik nu kom. Dank!
Edit: O, zo ingewikkeld is het niet, zo op het eerste gezicht. Wel irritant dat ze weer interessant proberen te doen met een Riemann-Stieltjes integraal
Nee, informatica en wiskunde. Ik zit in Delft omdat ze daar computer engineering hebben.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:10 schreef Novermars het volgende:
[..]
Jij deed toch ook econometrie? Wat doe je dan in Delft? ö
Ah. Mag ik vragen wat voor een vak het is? Want het is een beetje raar dat je als niet-wiskundige (d.w.z., je doet geen wiskunde meer) Riemann-Stieltjes krijgt!quote:Op woensdag 17 september 2014 19:15 schreef defineaz het volgende:
[..]
Nee, informatica en wiskunde. Ik zit in Delft omdat ze daar computer engineering hebben.
Jazeker, er zijn twee onbekenden, A en B, maar je hebt ook twee betrekkingen waaraan deze onbekenden moeten voldoen. Dit is dus een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, en dit stelsel moet je oplossen. Hint: begin met het uitwerken van de haakjes in de tweede vergelijking in A en B en kijk wat je dan met het stelsel kunt doen.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:23 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ik snap het niet wat ik ermee moet? Er zijn twee onbekenden, zowel een A als een B?!
Ah ja, ik ben ook wiskundige (applied mathematics), het vak is stochastic processes. Het is wel opvallend dat letterlijk elk wiskundevak dat ik volg gelijk maattheorie veronderstelt, terwijl dat in Utrecht slechts een keuzevak is. Het zorgt wel voor wat opstartproblemen (dat en wat andere dingen).quote:Op woensdag 17 september 2014 19:26 schreef Novermars het volgende:
[..]
Ah. Mag ik vragen wat voor een vak het is? Want het is een beetje raar dat je als niet-wiskundige (d.w.z., je doet geen wiskunde meer) Riemann-Stieltjes krijgt!
Oké. Hartstikke bedankt!quote:Op woensdag 17 september 2014 16:05 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je vergist je, waarschijnlijk omdat je een verkeerde knop op je calculator hebt ingedrukt en vervolgens kritiekloos voor waar aanneemt wat er op het schermpje van je calculator verschijnt. Dat moet je dus nooit meer doen. De logaritmische functie is strict monotoon stijgend en aangezien 2 < e < 4 heb je dus ook ln(2) < ln(e) < ln(4) oftewel ln(2) < 1 < ln(4). Merk ook nog op dat ln(4) = 2·ln(2) zodat dus ln(2) > ½ moet zijn.
Misschien staar je je ook teveel blind op de notatie. Lees dit eens en dan bijvoorbeeld ook dit.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:06 schreef defineaz het volgende:
[..]
Ja, ik heb alleen nog nooit een Riemann-Stieltjes integraal gezien, en snapte de betekenis niet. Zo achteraf is het best logisch, als je hem vergelijkt met de gewone Riemann integraal.
Maar wat als de functie F niet differentieerbaar is, dan valt jou hele verhaal toch uit elkaar?quote:Op woensdag 17 september 2014 19:34 schreef Riparius het volgende:
[..]
Misschien staar je je ook teveel blind op de notatie. Lees dit eens en dan bijvoorbeeld ook dit.
Daar ging ik in mijn verhaal niet van uit. Maar zoals gezegd had ik het idee dat defineaz misschien ook wat problemen had met de notatie.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:39 schreef Novermars het volgende:
[..]
Maar wat als de functie F niet differentieerbaar is, dan valt jou hele verhaal toch uit elkaar?
Die klopt, inderdaad.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
Stel er is een functie (demand & supply):
a - bQ = A + 2BQ (A en B zijn anders dan a en b).
Bereken Q(uantity), P(rice) en winstvergelijking:
Het volgende heb ik, waar ik twijfel of ik het wel goed heb(?).
Q = (a - A) / (b + 2B)
Voor P en de winstvergelijking heb ik geen idee..
Maar dat is toch juist de hele grap van het gebruik van Riemann-Stieltjesintegralen? Mocht je kansverdeling niet differentieerbaar zijn, dat je toch nog een verwachte waarde kan berekenen.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Riparius het volgende:
[..]
Daar ging ik in mijn verhaal niet van uit. Maar zoals gezegd had ik het idee dat defineaz misschien ook wat problemen had met de notatie.
Dit:quote:Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
Stel er is een functie (demand & supply):
a - bQ = A + 2BQ (A en B zijn anders dan a en b).
Bereken Q(uantity), P(rice) en winstvergelijking:
Het volgende heb ik, waar ik twijfel of ik het wel goed heb(?).
Q = (a - A) / (b + 2B)
Voor P en de winstvergelijking heb ik geen idee..
Je vraag is niet te beantwoorden want in je vergelijking komt geen variabele P voor. Misschien moet je eerst even dit lezen.quote:Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
Stel er is een functie (demand & supply):
a - bQ = A + 2BQ (A en B zijn anders dan a en b).
Bereken Q(uantity), P(rice) en winstvergelijking:
Het volgende heb ik, waar ik twijfel of ik het wel goed heb(?).
Q = (a - A) / (b + 2B)
Voor P en de winstvergelijking heb ik geen idee..
quote:Op woensdag 17 september 2014 19:49 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Dit:
a - bQ = A + 2BQ
Is geen functie maar een vergelijking.
Op basis van wat je geeft klopt je formule voor Q, maar de prijs en de winst is op basis van de informatie die je geeft niet te bepalen (misschien staat het er wel in, maar we weten niet wat wat is. Even een gokje: er zijn twee prijsfuncties gegeven in je opgave, die heb je aan elkaar gelijk gesteld en die leveren de vergelijking in je post. Maar ik ben geen econoom)
a - bQ = A + 2BQquote:Op woensdag 17 september 2014 19:50 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je vraag is niet te beantwoorden want in je vergelijking komt geen variabele P voor. Misschien moet je eerst even dit lezen.
Inderdaad ja. Het voordeel van de Riemann-Stielltjesintegraal is me nu ook duidelijkquote:Op woensdag 17 september 2014 19:49 schreef Novermars het volgende:
[..]
Maar dat is toch juist de hele grap van het gebruik van Riemann-Stieltjesintegralen? Mocht je kansverdeling niet differentieerbaar zijn, dat je toch nog een verwachte waarde kan berekenen.
Ik denk eerder dat het probleem is dat Defineaz nog nooit van de Riemann-Stieltjesintegraal gehoord had!
Correct.quote:Op woensdag 17 september 2014 20:03 schreef BroodjeKebab het volgende:
Klopt het dat als je de functie y = 10 + 2p hebt en vervolgens de functie wijzigt in 16+2p dat de grafiek met 6 punten omhoog is gegaan?
Nog 1:quote:Op woensdag 17 september 2014 20:04 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Correct.
Meer algemeen: ten opzichte van een of andere f(x) heeft f(x)+c een verticale verschuiving over een afstand c, en f(x+c) een horizontale verschuiving over een afstand -c.
Probeer eens in woorden uit te leggen wat x, f(x), f(a+x) en f(a-x) voor dingen zijn?quote:Op woensdag 17 september 2014 20:13 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Nog 1:
Een functie is symmetrisch wanneer f(a+x) = f(a-x), maar wat voor getal moet a zijn en wat voor getal moet x zijn?
a is de symmetrielijn en x is gewoon een variabele.quote:Op woensdag 17 september 2014 20:13 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Nog 1:
Een functie is symmetrisch wanneer f(a+x) = f(a-x), maar wat voor getal moet a zijn en wat voor getal moet x zijn?
Vermenigvuldig beide leden van de eerste vergelijking met 2B en beide leden van de tweede vergelijking met b en tel de linkerleden en de rechterleden van beide vergelijkingen daarna op. De som van de linkerleden van beide vergelijkingen moet immers gelijk zijn aan de som van de rechterleden van beide vergelijkingen (want als bijvoorbeeld u = v en x = y dan is ook u + x = v + y). We krijgen zoquote:Op woensdag 17 september 2014 19:54 schreef Super-B het volgende:
[..]
[..]
a - bQ = A + 2BQ
Demand = P= a - bQ
Supply = P = A + 2BQ
1 2 3 4 | 2BP = 2aB - 2BbQ bP = Ab + 2BbQ -------------------- + (2B+b)P = 2aB+Ab |
Moet ik het antwoord dat uit a-x (of bijv a+x) uitkomt invullen in de functie en vervolgens als deze waarde dezelfde y geven dat het dan 'klopt'?quote:Op woensdag 17 september 2014 20:14 schreef Novermars het volgende:
[..]
a is de symmetrielijn en x is gewoon een variabele.
Probeer niet te denken in termen van recepten maar in termen van concepten.quote:Op woensdag 17 september 2014 20:16 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Moet ik het antwoord dat uit a-x (of bijv a+x) uitkomt invullen in de functie en vervolgens als deze waarde dezelfde y geven dat het dan 'klopt'?
Geef eens een concreet voorbeeld van een functie waarbij je een symmetrie-as van de grafiek van die functie wil bepalen. Bedenk dat een grafiek van een functie overigens helemaal geen symmetrie-as hoeft te hebben.quote:Hoe bereken je de symmetrielijn?
Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.quote:Op woensdag 17 september 2014 20:21 schreef Riparius het volgende:
[..]
Probeer niet te denken in termen van recepten maar in termen van concepten.
[..]
Geef eens een concreet voorbeeld van een functie waarbij je een symmetrie-as van de grafiek van die functie wil bepalen. Bedenk dat een grafiek van een functie overigens helemaal geen symmetrie-as hoeft te hebben.
Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).quote:Op woensdag 17 september 2014 20:33 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.
-x² + 2x + 4quote:Op woensdag 17 september 2014 20:37 schreef Riparius het volgende:
[..]
Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).
Maar nogmaals, als je geen concreet voorbeeld geeft is ook niet te illustreren hoe dit in zijn werk gaat.
Als f(x) = -x² + 2x + 4,quote:
Een kwadratische functie, in dit gevalquote:
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..quote:Op donderdag 18 september 2014 09:40 schreef -J-D- het volgende:
ln e-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9
Geen kennis van de regels van de logaritme? Deze regels kan je natuurlijk ook gebruiken bij de natuurlijk logaritme.
Dan kan je de regels omtrent de logaritme niet.....quote:Op donderdag 18 september 2014 09:41 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..
Thanks!!quote:Op donderdag 18 september 2014 09:42 schreef -J-D- het volgende:
[..]
Dan kan ken je de regels omtrent de logaritme niet.....
Bv. glog ab = b * glog a
Het kan met de rekenregels van J-D, het kan ook rechtstreeks vanuit de definitie:quote:
Omdat het grondtal van de ln het getal e is, kun je meteen zien dat ln (e-9) = -9, kwestie van exponent aflezen.quote:De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen.
Domme tikfout van me.quote:Op donderdag 18 september 2014 10:00 schreef BroodjeKebab het volgende:
[..]
Thanks!!
Het is 'ken' trouwens.
Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mijquote:Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Oh, en je leraar verbeteren is zelden een goed idee
Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.quote:Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef -J-D- het volgende:
Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mij
Sorry, ik heb geen humor.quote:Op donderdag 18 september 2014 12:35 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.
Kun je niks aan doen, dat komt vaker voor bij wiskundeleraren.quote:
quote:Op donderdag 18 september 2014 08:46 schreef RustCohle het volgende:
Als de grafiek van de functie f(x) = y met c naar rechts geschoven wordt, hoe verandert de grafiek
van de inverse f−1(y) precies?
Ik heb zelfs het antwoord gezien en ik begrijp het antwoord niet eens..:De uitleg is inderdaad niet duidelijk genoeg. Ze hadden op zijn minst moeten uitleggen dat de grafiek van een (inverteerbare) functie en van de inverse van die functie elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x). Als nu het punt (x, y) op de grafiek ligt van een inverteerbare functie f, dan is y = f(x) en daarmee x = f−1(y) zodat het punt (y, x) inderdaad op de grafiek van de inverse functie f−1 van functie f ligt. Omgekeerd geldt voor een punt (y, x) op de grafiek van f−1 dat het punt (x, y) op de grafiek van f ligt. En omdat dit geldt voor elk willekeurig gekozen punt (x, y) op de grafiek van f volgt dus inderdaad dat de grafiek van f−1 het spiegelbeeld is van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Welnu, als we de grafiek van f (niet de functie f(x) zoals in de tekst staat) met c eenheden opschuiven naar rechts (dat is: in de positieve richting van de x-as) dan krijgen we de grafiek van een andere functie, die we g kunnen noemen, en waarvoor geldt dat deze functie g steeds dezelfde functiewaarden heeft als f als we de onafhankelijke variabele x met c vermeerderen.
Kiezen we nu een willekeurig punt (x, y) dat op de grafiek van g ligt, zodat y = g(x), dan is dit punt (x, y) het beeld van een punt (x−c, y) op de grafiek van f, omdat we de grafiek van f immers c eenheden naar rechts hebben verschoven om de grafiek van g te krijgen. En aangezien het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, geldt dus y = f(x−c) en daarmee g(x) = f(x−c).
Omdat het punt (x, y) op de grafiek van g ligt, ligt het spiegelbeeld (y, x) bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse g−1 van g, en is dus
(1) g−1(y) = x
Maar nu zagen we ook dat het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, en dat betekent dat het spiegelbeeld (y, x−c) van dit punt bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse f−1 van f ligt, dus
(2) f−1(y) = x − c
en dus is
(3) x = f−1(y) + c
Uit (1) en (3) volgt dus
(4) g−1(y) = f−1(y) + c
zodat we kunnen constateren dat de grafiek van g−1 wordt verkregen door de grafiek van f−1 met c eenheden omhoog (dat is: in de positieve richting van de y-as) te verschuiven. Meetkundig is dit natuurlijk volstrekt duidelijk: een translatie in de positieve richting van de x-as correspondeert met een translatie van het spiegelbeeld in de positieve richting van de y-as bij een spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 19-09-2014 17:35:31 ]
Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:quote:
quote:Op donderdag 18 september 2014 22:09 schreef RustCohle het volgende:
Waarom is
ln (x - 4) = y/4 gelijk aan (x-4) = ey/4
Eén post boven je.quote:Op donderdag 18 september 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:
De natuurlijke logaritme van een getal is de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te verkrijgen.
Dus,
ln(e−9)
is de exponent waartoe we e moeten verheffen om e−9 te verkrijgen. En die exponent is −9 (duh!). Dus hebben we
ln(e−9) = −9
Je kunt uiteraard ook met formele rekenregels werken om dit resultaat te verkrijgen, zoals hier door anderen wordt aanbevolen, maar daar ben ik niet voor zolang je nog niet goed begrijpt wat een logaritme nu eigenlijk is, omdat het werken met logaritmen dan verwordt tot een mechanisch manipuleren van symbolen zonder dat je werkelijk begrijpt waar die symbolen voor staan, en dat is niet de bedoeling. En, opdat ik niet verkeerd worde begrepen: uiteraard dien je alle gangbare rekenregels voor het werken met logaritmen wel te kennen en ook te herkennen en te begrijpen zodat je deze regels te allen tijde kunt toepassen.
Als je met Logx, logx bedoelt, lees dan die post van Riparius nog een keer door.quote:
Laten we eens beginnen met je notatie. Voor de logaritme met een grondtal oftewel basis b van een getal a wordt in de Angelsaksische wereld, en dus ongetwijfeld ook in je Engelstalige boek,quote:
1.quote:Op vrijdag 19 september 2014 21:47 schreef RustCohle het volgende:
[ afbeelding ]
Van dit snap ik de overgang niet van een stap naar het ander.. hoe je dus opeens het volgende krijgt:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Tenslotte snap ik opgave b niet. Laatste zin vanaf ''omdat'' begrijp ik dus niet...
Voor dit soort gevallen is het vaak handig om naar de definitie te kijken (subtiele verschillen kunnen voor dit soort randgevallen cruciaal zijn). Ik heb even de definitie van de Engelse wikipedia gepakt (het is natuurlijk mogelijk dat jij een andere definitie gebruikt, ik weet niet in hoeverre die gestandaardiseerd is):quote:Op vrijdag 19 september 2014 19:37 schreef zerak het volgende:
Ik vroeg me af waarom Ø (de empty set) één partitie heeft. Ik zou intuitief zeggen dat deze geen partities heeft. Komt het doordat elk element in Ø 'nonempty' is? Er zijn immers geen elementen in Ø.
Thanks. Deze definitie komt aardig overeen met wat ik hier heb staan. Subtiel inderdaad .quote:Op vrijdag 19 september 2014 22:08 schreef defineaz het volgende:
[..]
Voor dit soort gevallen is het vaak handig om naar de definitie te kijken (subtiele verschillen kunnen voor dit soort randgevallen cruciaal zijn). Ik heb even de definitie van de Engelse wikipedia gepakt (het is natuurlijk mogelijk dat jij een andere definitie gebruikt, ik weet niet in hoeverre die gestandaardiseerd is):
P is a partition of X if and only if:
1. P does not contain the empty set.
2. The union of the sets in P is equal to X. (The sets in P are said to cover X.)
3. The intersection of any two distinct sets in P is empty. (We say the elements of P are pairwise disjoint.)
En inderdaad voldoet P = Ø, X = Ø aan deze eisen. (P bevat immers niet de lege verzameling: hij is zelf de lege verzameling en bevat dus niks).
Ik snap dat niet..quote:Op vrijdag 19 september 2014 22:07 schreef zerak het volgende:
[..]
1.
ey(x + 1) = x + 5
eyx - x = 5 - ey
x(ey - 1) = 5 - ey
ey(x + 1) = x + 5 ↔
x(ey - 1) = 5 - ey
2.
Weet je iets over inverse functies? Dan zou je moeten weten dat het bereik van de oorspronkelijke functie het domein van de inverse functie is.
Dit wordt echt nooit wat als je zulke elementaire herleidingen niet met je ogen dicht kunt uitvoeren.quote:
Je hebt een functie f die strict monotoon dalend is en die het interval [0, ∞) als domein heeft. De uitdrukking (x+5)/(x+1) heeft de waarde 5 voor x = 0 en neemt af in waarde als we x groter laten worden. Maar ... deze uitdrukking neemt niet onbegrensd af als we x onbegrensd toe laten nemen, want we hebben immersquote:2. Ja.. dat weet ik toch begrijp ik het niet met de elementen en al..
Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat? Hoe weet je dat x nadert naar 1 maar nooit 1 wordt?en hoezo is het ln5 bij het antwoord ipv 5?quote:Op zaterdag 20 september 2014 00:54 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dit wordt echt nooit wat als je zulke elementaire herleidingen niet met je ogen dicht kunt uitvoeren.
Je hebt
ey(x + 1) = x + 5
Haakjes uitwerken in het linkerlid geeft
eyx + ey = x + 5
Nu willen we x oplossen uit deze betrekking, en om dat te doen moeten we eerst zorgen dat alle termen met x in het linkerlid komen te staan en alle termen zonder x in het rechterlid. We trekken nu eerst ey van beide leden af, dat geeft
eyx = x + 5 − ey
Vervolgens trekken we x van beide leden af, en dan krijgen we
eyx − x = 5 − ey
Nu kunnen we bij de termen in het linkerlid een factor x buiten haakjes halen en krijgen we
x(ey − 1) = 5 − ey
Tenslotte delen we beide leden door (ey − 1) en zie, dan krijgen we
x = (5 − ey) / (ey − 1)
[..]
Je hebt een functie f die strict monotoon dalend is en die het interval [0, ∞) als domein heeft. De uitdrukking (x+5)/(x+1) heeft de waarde 5 voor x = 0 en neemt af in waarde als we x groter laten worden. Maar ... deze uitdrukking neemt niet onbegrensd af als we x onbegrensd toe laten nemen, want we hebben immers
(x+5)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)
en de breuk 4/(x+1) nadert tot nul als we x onbeperkt toe laten nemen. De waarde van de breuk (x+5)/(x+1) nadert dus tot 1 maar wordt nooit 1 als we x onbeperkt toe laten nemen. Dus, als we voor x een waarde kiezen op het interval [0, ∞) zijnde het domein van f, dan ligt de waarde van (x+5)/(x+1) op het interval (1, 5]. En dus ligt de waarde van ln((x+5)/(x+1)) oftewel de functiewaarde f(x) op het interval (0, ln 5] en dit is dan het bereik van de functie f.
De functie f beeldt het interval [0, ∞) af op het interval (0, ln 5], en dus beeldt de inverse f−1 van deze functie omgekeerd het interval (0, ln 5] af op het interval [0, ∞). Het domein van de inverse functie f−1 is dus het interval (0, ln 5].
Dat is wel erg elementair.quote:Op zaterdag 20 september 2014 09:06 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat? Hoe weet je dat x nadert naar 1 maar nooit 1 wordt?en hoezo is het ln5 bij het antwoord ipv 5?
Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)
Ja dat begrijp ik. Hoe kun je zien dat ik de functie moest herschrijven naar 1 + 4/(x+1) ?quote:Op zaterdag 20 september 2014 13:24 schreef thenxero het volgende:
[..]
Dat is wel erg elementair.
Staartdeling
x+1 / x+5 \ 1
-------------------
4
Dus er komt 1 uit de deling en de rest is 4/(x+1).
Of:
(x+5)/(x+1) = (x+1+4)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)
Snap je wel dat 1/x naar 0 nadert als x naar oneindig gaat?
1.quote:Op zaterdag 20 september 2014 16:56 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ja dat begrijp ik. Hoe kun je zien dat ik de functie moest herschrijven naar 1 + 4/(x+1) ?
Wat ik niet begrijp is wat ze bedoelen met E (1,5], althans hoe ze erop komen? En waarom ln 5 en niet 5? [ afbeelding ]
Vul eerst eens een concrete positieve waarde in voor x, bijvoorbeeld x = 2. Dan heb jequote:Op zaterdag 20 september 2014 09:06 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat?
Dit is niet zo. Ik heb gezegd dat (x+5)/(x+1) tot 1 nadert maar nooit 1 wordt als we x onbeperkt toe laten nemen. Dat is heel iets anders. We hebbenquote:Hoe weet je dat x nadert naar tot 1 maar nooit 1 wordt?
We hebben gezien dat de waarde van de breukquote:en hoezo is het ln 5 bij het antwoord i.p.v. 5?
Zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit, aber bei dem Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.quote:Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)
Volgens mij niet helemaal.quote:Op zondag 21 september 2014 11:08 schreef netchip het volgende:
"In deze opgave gaat het over getallen van vijf cijfers, waarin alleen de cijfers 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8 voorkomen."
"Hoeveel van die getallen zijn er in het geval dat: elk cijfer maar een keer gebruikt mag worden en het getal groter dan 54 000 moet zijn?"
Ik heb: 1*5*5*4*3 + 3*6*5*4*3. Ik ben niet zo goed in combinatoriek, dus daarom vraag ik me af of dit klopt.
Dank je, ik zie het nu! Ik had per ongeluk een 5 gebruikt, terwijl het zonder herhaling was.quote:Op zondag 21 september 2014 14:21 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Volgens mij niet helemaal.
Voor alle getallen >60.000 heb je (inderdaad) 3 * 6*5*4*3 mogelijkheden, namelijk voor het eerste cijfer 3 mogelijkheden (6-7-8) en dan achtereenvolgens 6, 5, 4 en 3 opties.
Voor alle getallen tussen 54.000 en 59.999 heb je 1 * 4 * 5*4*3 opties, namelijk: cijfer 1 een 5, cijfer 2 is 4, 6, 7 of 8, en dan nog 5*4*3 willekeurige opties.
Meetkundig?quote:Op zondag 21 september 2014 15:27 schreef jungiaan het volgende:
Hoe bereken je exact
met
zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.
Bij de andere opgaven van 17.46 had ik gebruik gemaakt vanquote:
Het zijn allebei vragen waarvoor je wat voorkennis nodig hebt. Je moet het bijbehorende hoofdstuk waarschijnlijk nog even doorlezen. Voor de eerste kan je gebruikmaken voor de formule voor cos(a + b), of voor cos(2a). De tweede is ook iets wat je eigenlijk gewoon uit je hoofd moet weten.quote:Op zondag 21 september 2014 15:27 schreef jungiaan het volgende:
Hoe bereken je exact
met
zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.
Ik vraag me af waarom je deze opgave wil oplossen zonder gebruik van de identiteiten voor de halve hoek (c.q. de identiteiten voor de dubbele hoek). Van de Craats zegt namelijk expliciet (p. 140) dat je deze identiteiten moet gebruiken.quote:Op zondag 21 september 2014 15:52 schreef jungiaan het volgende:
[..]
Bij de andere opgaven van 17.46 had ik gebruik gemaakt van
En in een rechthoekige driehoek is dus de overstaande zijde van hoek gelijk aan 1 en de hypotenusa gelijk aan 3. De andere zijde rekende ik dan uit met de stelling van Pythagoras.
Kan je hier iets mee?
Je moet toch beter je boek lezen, want Van de Craats leidt de formules voor cos ½α en sin ½α af voordat jouw opgave aan bod komt.quote:Op zondag 21 september 2014 17:11 schreef jungiaan het volgende:
Met de halve hoek-identiteiten(van Wikipedia) lukt het mij ook wel, maar aangezien deze nog niet waren afgeleid in de theorie gebruikte ik deze niet. Hoe zou ik de benodigde halve hoek-identiteit af moeten leiden uit bijv. de som/dubbele hoek formules zoals defineaz suggereert?
Nee, de fout zit in het onderstreepte stukje.quote:Op zondag 21 september 2014 17:39 schreef rumiii het volgende:
Is het volgende correct?
f= x / ((x^2)+8)
f ' = ( (x^2) + 8 - 3x) / ( (x^2) + 8)^2
Ik was ff niet scherp inderdaad, hopelijk nu welquote:Op zondag 21 september 2014 17:43 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Nee, de fout zit in het onderstreepte stukje.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |