abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_144481400
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

OP

Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
pi_144481414
Hallo,

Het is al een tijd geleden dat ik wat in dit topic had gevraagd, maar nu heb ik toch wel weer wat vragen. Komende week heb ik een tentamen en de basics begrijp ik onderhand wel, echter zijn de wat 'harder problems' een probleem voor mij. In plaats van het topic vol te spammen met posts met vragen, heb ik besloten om al mijn vragen in één post te verwerken:

Van het volgende snap ik niet waar ik moet beginnen en wat de bedoeling is.. met 'implies that..''
a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc)4 =

Van het volgende ben ik ten einde raad vanwege de -c...

''Show that the division below leaves a remainder for all values of c''
(x4 + 3x² + 5) : (x-c)

''Solve the following equations'' --> ik weet niet wat ik moet doen als er een ln bij staat... Zelf dacht ik om gewoon te bepalen wanneer x = 0 en de ln even wegdenkend, maar dat werkte dus niet..

ln[x(x-2)] = 0

x ln(x+3) / (x² + 1) = 0

en tenslotte:

ln√(x-5) = 0

[ Bericht 1% gewijzigd door Super-B op 13-09-2014 12:34:01 ]
  zaterdag 13 september 2014 @ 12:21:42 #3
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144481416
Laatste post vorig topic:

quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:20 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Ik heb het gevoel dat de opgave zoals je die hier neerzet niet klopt. Moet het niet toevallig zijn

a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc) =4

[..]

Ze willen dat je aantoont dat (x-c) geen deler is van het gegeven polynoom, oftewel dat er geen ontbinding te vinden is waarvan (x-c) een van de termen is, voor welke waarde van c dan ook.

Eerder in het topic zijn enkele posts besteed aan het maken van staartdelingen met polynomen, ik denk dat je daarmee deze opgave relatief eenvoudig kan oplossen.

[..]

Voor welk getal q is ln q = 0?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144481438
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:21 schreef Janneke141 het volgende:
Laatste post vorig topic:

[..]

Nee het klopt echt dat er (abc)4 staat.
pi_144481445
a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc)4 = ?

Dus ze vragen om (abc)4 uit te rekenen, gegeven dat a-1b-1 c-1 = 1/4.
Lijkt me.
pi_144481458
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:23 schreef Anoonumos het volgende:
a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc)4 = ?

Dus ze vragen om (abc)4 uit te rekenen, gegeven dat a-1b-1 c-1 = 1/4.
Lijkt me.
Exact.. Dus als het één ... is, dan is het ander ...
pi_144481467
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:21 schreef Janneke141 het volgende:
Laatste post vorig topic:

[..]

Polynoom delen is mij wel gelukt, althans bij de opgaven, maar met een -c raak ik echt in de war. :P Het lijkt mij dat die -c steeds in de weg zal staan.

ln q = 0 wanneer q = 0 denk ik?

e^e = 1
e^0 = 1

Dus eigenlijk spreek ik me tegen dat q = 0, maar verder lijkt mij niet dat er een ander logisch antwoord kan zijn.. e^1 = e..
pi_144481502
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:23 schreef Super-B het volgende:

[..]

Exact.. Dus als het één ... is, dan is het ander ...
Gebruik dat
(abc)4 = (a-1b-1c-1)-4
pi_144481519
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:25 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Gebruik dat
(abc)4 = (a-1b-1c-1)-4
Dus ik moet er gewoon een vergelijking van maken en het dan 'oplossen' ?
  zaterdag 13 september 2014 @ 12:26:57 #10
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144481524
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:23 schreef Anoonumos het volgende:
a-1b-1 c-1 = 1/4 implies (abc)4 = ?

Dus ze vragen om (abc)4 uit te rekenen, gegeven dat a-1b-1 c-1 = 1/4.
Lijkt me.
Ah ja natuurlijk... maar er stond geen =-teken achter (abc)4

Maar goed.
a-1b-1 c-1 = (abc)-1, en je weet dat dat
(abc)-1 = 4-1.

Dat moet een heel eind voldoende zijn toch?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
  zaterdag 13 september 2014 @ 12:34:16 #11
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144481684
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:24 schreef Super-B het volgende:

[..]

Polynoom delen is mij wel gelukt, althans bij de opgaven, maar met een -c raak ik echt in de war. :P Het lijkt mij dat die -c steeds in de weg zal staan.

ln q = 0 wanneer q = 0 denk ik?

e^e = 1
e^0 = 1

Dus eigenlijk spreek ik me tegen dat q = 0, maar verder lijkt mij niet dat er een ander logisch antwoord kan zijn.. e^1 = e..
Kijk nog eens goed terug naar de eigenschappen van de (natuurlijke) logaritme. e0 = 1 klopt, maar dat ee=1 is natuurlijk niet waar.

De (natuurlijke) logaritme is, even kort gezegd, de inverse functie van de e-macht. Dat betekent dat

als ln a = b <=> eb = a

Dus als e0 = 1, dan...

Uit wat hierboven staat volgt trouwens ook dat ln 0 helemaal niet is gedefiniëerd. Er is immers geen enkel getal b waarvoor geldt dat eb = 0
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144481908
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:26 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Ah ja natuurlijk... maar er stond geen =-teken achter (abc)4

Maar goed.
a-1b-1 c-1 = (abc)-1, en je weet dat dat
(abc)-1 = 4-1.

Dat moet een heel eind voldoende zijn toch?
(abc)-1 = 4-1.

(abc)4 = (1/4)-4 dan toch?
pi_144481927
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 11:08 schreef t4rt4rus het volgende:
Ik heb een kwadratische vergelijking met 3 integere variabelen, deze moet geminimaliseerd worden.
Is dit nog analytisch te doen of kan dit alleen opgelost worden door te proberen?
(en misschien is dat ook wel makkelijker)

G = a^2 + b^2 + 2c^2 + ab - 2ca - 2cb
-edit-
G != 0, anders was het niet zo moeilijk :)
En dan moet ik dus "alle" oplossingen vinden.
Kan dus geschreven worden als
G = (a - c)^2 + (b - c)^2 + ab
En G /= 0.

(1, 0, 0) geeft 1 wat dan ook het minimum moet zijn.
Dus dan wordt de vergelijking
(a - c)^2 + (b - c)^2 + ab = 1

-edit-
Alle oplossing zijn denk ik
quote:
-1 -1 -1
-1 0 -1
-1 0 0
-1 1 0
0 -1 -1
0 -1 0
0 1 0
0 1 1
1 -1 0
1 0 0
1 0 1
1 1 1
pi_144481933
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:34 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Kijk nog eens goed terug naar de eigenschappen van de (natuurlijke) logaritme. e0 = 1 klopt, maar dat ee=1 is natuurlijk niet waar.

De (natuurlijke) logaritme is, even kort gezegd, de inverse functie van de e-macht. Dat betekent dat

als ln a = b <=> eb = a

Dus als e0 = 1, dan...

Uit wat hierboven staat volgt trouwens ook dat ln 0 helemaal niet is gedefiniëerd. Er is immers geen enkel getal b waarvoor geldt dat eb = 0
Hmm.. ik weet het niet hoor. Ik begrijp wel wat je bedoeld, maar terugkomend op mijn vragen m.b.t. de ln functies weet ik het niet meer. :P
  zaterdag 13 september 2014 @ 12:53:25 #15
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144482023
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:48 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hmm.. ik weet het niet hoor. Ik begrijp wel wat je bedoeld, maar terugkomend op mijn vragen m.b.t. de ln functies weet ik het niet meer. :P
We bekijken één van de vergelijkingen die je geeft:

ln[x(x-2)] = 0

ln q = 0 dan en slechts dan als q = 1.

Voor een oplossing van je vergelijking moet dus gelden dat

x(x-2) = 1

Dus x2 - 2x = 1,
Dus (x-1)2 = 2,

Dus x = 1 ± √2
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144482321
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 12:53 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

We bekijken één van de vergelijkingen die je geeft:

ln[x(x-2)] = 0

ln q = 0 dan en slechts dan als q = 1.

Voor een oplossing van je vergelijking moet dus gelden dat

x(x-2) = 1

Dus x2 - 2x = 1,
Dus (x-1)2 = 2,

Dus x = 1 ± √2
Aha duidelijk, hartstikke bedankt voor je tijd, moeite en uitleg! _O_

Ik snap alleen het vetgedrukte niet?

x² - 2x = 1 is toch x(x-2) = 1 --> x = 1 of x = 2?

(x-1)² = x² - 2x + 1 en geen x² - 2x - 1 hoor?

En het kwadraat van 1 is geen 2 hoor..?
pi_144482325
Er worden hier altijd vrij veel links naar boeken en dictaten/syllabi geplaatst, misschien handig om deze in de begin post te verzamelen? Eventueel kunnen de uitgebreide posts van Riparius daar ook bij, aangezien deze vaak ook erg nuttig zijn.
  zaterdag 13 september 2014 @ 13:16:17 #18
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144482423
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:11 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha duidelijk, hartstikke bedankt voor je tijd, moeite en uitleg! _O_

Ik snap alleen het vetgedrukte niet?

x² - 2x = 1 is toch x(x-2) = 1 --> x = 1 of x = 2?

(x-1)² = x² - 2x + 1 en geen x² - 2x - 1 hoor?
Wat ik hier doe is een kwadraat afsplitsen, maar als je die techniek niet kent of niet beheerst raad ik je aan om 'gewoon' de abc-formule toe te passen.

Ik voeg even één regeltje toe:
quote:
x2 - 2x = 1
x2 - 2x + 1 = 1 + 1
(x-1)2 = 2,

Dus x = 1 ± √2
Daarnaast zou ik nog eens even heel goed kijken naar
quote:
x² - 2x = 1 is toch x(x-2) = 1 --> x = 1 of x = 2?
om er gniffelend achter te komen dat dit natuurlijk helemaal niet klopt.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144482527
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:16 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Wat ik hier doe is een kwadraat afsplitsen, maar als je die techniek niet kent of niet beheerst raad ik je aan om 'gewoon' de abc-formule toe te passen.

Ik voeg even één regeltje toe:

[..]

Daarnaast zou ik nog eens even heel goed kijken naar

[..]

om er gniffelend achter te komen dat dit natuurlijk helemaal niet klopt.
Ik beheers het kwadraat afsplitsing wel, want mij alleen verbaast is dat je het toepast bij x² - 2x = 1, aangezien de kwadraat afsplitsing meestal gebruikt wordt wanneer de c niet een goed getal is om te factoriseren (toch?).

die 1 komt omdat ln 0 is wanneer ln = 1 toch?
pi_144482575
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:16 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Wat ik hier doe is een kwadraat afsplitsen, maar als je die techniek niet kent of niet beheerst raad ik je aan om 'gewoon' de abc-formule toe te passen.

Ik voeg even één regeltje toe:

[..]

Daarnaast zou ik nog eens even heel goed kijken naar

[..]

om er gniffelend achter te komen dat dit natuurlijk helemaal niet klopt.
Hoezo? Als het x² - 2x = 0 zou zijn, zou x(x -2)=0 --> x =0 of x = 2 wel van toepassing zijn...
pi_144482732
"Hoeveel bedraagt per 1 januari aanstaande de contante waarde van een eeuwigdurende jaarlijkse rente van ¤ 5.000, waarvan de eerste termijn op 1 oktober van het volgend jaar vervalt? De berekening is te baseren op 5 intrest per jaar."

Dat was alles, er is geen aanvullend info. Ik kom er niet uit, of het antwoordmodel is verkeerd. Iemand die mij kan helpen?
  zaterdag 13 september 2014 @ 13:28:56 #22
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144482784
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik beheers het kwadraat afsplitsing wel, want mij alleen verbaast is dat je het toepast bij x² - 2x = 1, aangezien de kwadraat afsplitsing meestal gebruikt wordt wanneer de c niet een goed getal is om te factoriseren (toch?).
Kwadraat afsplitsen gebruik ik als er geen eenvoudige ontbinding (x+p)(x+q) te vinden valt, alhoewel het in principe altijd mogelijk is. En ik durf te vermoeden dat jij de ontbinding (x-1+√2)(x-1-√2) niet eenvoudig ziet.
quote:
die 1 komt omdat ln 0 is wanneer ln = 1 toch?
Het antwoord op wat je bedoelt zal ongetwijfeld 'ja' zijn, maar probeer wat te letten op je wijze van formuleren. Dit lijkt nergens op.
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:22 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoezo? Als het x² - 2x = 0 zou zijn, zou x(x -2)=0 --> x =0 of x = 2 wel van toepassing zijn...
Probeer je te herinneren waarom je bij het oplossen van (tweedegraads) vergelijkingen altijd eerst ging zorgen dat rechts slechts een =0 overbleef. Dat was omdat

Als pq=0, dan MOET p=0 OF q=0.

Iets wat voor ieder ander willekeurig getal achter het =-teken natuurlijk nooit geldt.
Als pq=1 dan geldt er helemaal niet dat p=1 of q=1. Wat je opschrijft in post #16 hierboven klopt dus helemaal niet.

[ Bericht 0% gewijzigd door Janneke141 op 13-09-2014 13:45:17 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144482960
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:11 schreef Novermars het volgende:
Er worden hier altijd vrij veel links naar boeken en dictaten/syllabi geplaatst, misschien handig om deze in de begin post te verzamelen? Eventueel kunnen de uitgebreide posts van Riparius daar ook bij, aangezien deze vaak ook erg nuttig zijn.
Eens.
pi_144483409
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:28 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Kwadraat afsplitsen gebruik ik als er geen eenvoudige ontbinding (x+p)(x+q) te vinden valt, alhoewel het in principe altijd mogelijk is. En ik durf te vermoeden dat jij de ontbinding (x-1+√2)(x-1-√2) niet eenvoudig ziet.

[..]

Het antwoord op wat je bedoelt zal ongetwijfeld 'ja' zijn, maar probeer wat te letten op je wijze van formuleren. Dit lijkt nergens op.

[..]

Probeer je te herinneren waarom je bij het oplossen van (tweedegraads) vergelijkingen altijd eerst ging zorgen dat rechts slechts een =0 overbleef. Dat was omdat

Als pq=0, dan MOET p=0 OF q=0.

Iets wat voor ieder ander willekeurig getal achter het =-teken natuurlijk nooit geldt.
Als pq=1 dan geldt er helemaal niet dat p=1 of q=1. Wat je opschrijft in post #16 hierboven klopt dus helemaal niet.
Aha.. maar ik begrijp het kwadraat afsplitsen in de deze vraag niet? Er is namelijk geen c? :P
pi_144483736
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:53 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha.. maar ik begrijp het kwadraat afsplitsen in de deze vraag niet? Er is namelijk geen c? :P
Laat maar. Het is mij al duidelijk. _O_ ^O^
pi_144484127
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:28 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Kwadraat afsplitsen gebruik ik als er geen eenvoudige ontbinding (x+p)(x+q) te vinden valt, alhoewel het in principe altijd mogelijk is. En ik durf te vermoeden dat jij de ontbinding (x-1+√2)(x-1-√2) niet eenvoudig ziet.

[..]

Het antwoord op wat je bedoelt zal ongetwijfeld 'ja' zijn, maar probeer wat te letten op je wijze van formuleren. Dit lijkt nergens op.

[..]

Probeer je te herinneren waarom je bij het oplossen van (tweedegraads) vergelijkingen altijd eerst ging zorgen dat rechts slechts een =0 overbleef. Dat was omdat

Als pq=0, dan MOET p=0 OF q=0.

Iets wat voor ieder ander willekeurig getal achter het =-teken natuurlijk nooit geldt.
Als pq=1 dan geldt er helemaal niet dat p=1 of q=1. Wat je opschrijft in post #16 hierboven klopt dus helemaal niet.
Ik heb nog een vraagje:

Solve the following equation for x:
3x 4x+2 = 8

Ik had:

3x 4x+2 = 8 wanneer (12)x 42 = 8, and so 12sup]x[/sup] = 1/2

Dus ik had als eindantwoord: x = ln 1/2 / ln 12

Echter zegt het antwoordenboek:



pi_144484208
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:21 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik heb nog een vraagje:

Solve the following equation for x:
3x 4x+2 = 8

Ik had:

3x 4x+2 = 8 wanneer (12)x 42 = 8, and so 12sup]x[/sup] = 1/2

Dus ik had als eindantwoord: x = ln 1/2 / ln 12

Echter zegt het antwoordenboek:

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]
Beide antwoorden zijn correct, immers  \ln (\dfrac{1}{a}) = - \ln (a)
pi_144484263
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:24 schreef Novermars het volgende:

[..]

Beide antwoorden zijn correct, immers  \ln (\dfrac{1}{a}) = - \ln (a)
Aha duidelijk, maar hoe komen ze aan -2 i.p.v. -1/2 ? Ik weet wel dat delen door een breuk vermenigvuldiging met het omgekeerde is, maar dan zou het resulteren tot -1.

[ Bericht 4% gewijzigd door Super-B op 13-09-2014 14:32:23 ]
pi_144484354
x

[ Bericht 99% gewijzigd door Super-B op 13-09-2014 14:36:39 ]
pi_144484375
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:26 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha duidelijk, maar hoe komen ze aan -2 i.p.v. -1/2 ? Ik weet wel dat delen door een breuk vermenigvuldiging met het omgekeerde is, maar dan zou het resulteren tot -1.
Kijk eens goed naar de post waar je op reageert.
pi_144484421
quote:
1s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:31 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Kijk eens goed naar de post waar je op reageert.
Ja klopt.. Ben alleen benieuwd hoe het antwoordenboek aan -2 komt.
pi_144484483
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:32 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja klopt.. Ben alleen benieuwd hoe het antwoordenboek aan -2 komt.
 \ln (\dfrac{1}{a}) = - \ln (a)

 \ln (\dfrac{1}{2}) = - \ln (2)
pi_144484518
quote:
1s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:34 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

 \ln (\dfrac{1}{a}) = - \ln (a)

 \ln (\dfrac{1}{2}) = - \ln (2)
Oh zo.. Ja ik interpreteerde het anders... ;) Thanks.
pi_144484524
Nog één voor het oplossen van x:

4x - 4x-1 = 3x+1 - 3x

Ik heb dit herschreven tot:

4x - 4x * 4-1 = 3x * 31 * 3x

Dit resulteert tot:

4-1 = 31 .... De getallen met de exponent x valt dus weg en dit wordt het dan en hier klopt dan ook geen kant van....

[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 13-09-2014 14:43:35 ]
pi_144484602
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:36 schreef Super-B het volgende:
Nog één voor het oplossen van x:

4x - 4x-1 = 3x+1 - 3x

Ik heb dit herschreven tot:

4x - 4x * 4-1 = 3x * 3-1 3x

Dit resulteert tot:

4-1 = 31 .... De getallen met de exponent x valt dus weg en dit wordt het dan en hier klopt dan ook geen kant van....
Van de tweede vergelijking klopt de linkerkant nog.
Verder niks, wat ben je aan het doen?
welke regels pas je toe?
pi_144484614
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:36 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oh zo.. Ja ik interpreteerde het anders... ;) Thanks.
Ik zou nog eens goed naar de rekenregels voor logaritmen kijken, als je daar goed mee bekend bent is dit een fluitje van een cent.
ln 1/2 = ln 2-1 = -1 * ln 2
pi_144484625
quote:
1s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:39 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Van de tweede vergelijking klopt de linkerkant nog.
Verder niks, wat ben je aan het doen?
welke regels pas je toe?
Oeps aan de rechterkant moet het exponent 1 zijn i.p.v. -1.
pi_144484651
quote:
1s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:39 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Van de tweede vergelijking klopt de linkerkant nog.
Verder niks, wat ben je aan het doen?
welke regels pas je toe?
Ik dacht ik schrijf ze los van elkaar en dan trek ik de grondgetallen, die hetzelfde zijn, met het exponent x van elkaar af..
pi_144484677
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:40 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oeps aan de rechterkant moet het exponent 1 zijn i.p.v. -1.
Dan is ie nog niet goed.
pi_144484680
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:40 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Ik zou nog eens goed naar de rekenregels voor logaritmen kijken, als je daar goed mee bekend bent is dit een fluitje van een cent.
ln 1/2 = ln 2-1 = -1 * ln 2

Ik heb wel eens van logaritmes gehoord, maar de materie zelf is nieuw voor mij. Mijn vooropleidingen zijn de havo en het propedeuse jaar van het hbo. Ik zit nu in het eerste jaar van een wo opleiding. De materie die aan bod komt zijn grotendeels nieuw voor me.
pi_144484695
quote:
1s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:43 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Dan is ie nog niet goed.
Vermenigvuldigingsteken moest tussen de laatste twee grondgetallen (3).
pi_144484949
De FOK!-bibliografie:

Basisschool
Spijkerreeks?

Middelbareschool
Getal en Ruimte
Basisboek wiskunde

Hoger onderwijs

Algemeen/Multidisciplinair
J. Stewart, Calculus, Early Transcendentals, Cengage Learning 2007(?)
C.P. Simon & L. Blume, Mathematics for Economists , W.W. Norton & Company 1994

Analyse
S. Abbot, Understanding Analysis, Springer 2010(?)
T.M. Apostel, Calculus, Vol. II, John Wiley & Sons 1969
Rudin, Principles of Mathematical Analysis

Topologie
Munkres, Topology

Lineaire Algebra
Lay, Linear Algebra and Aplications
H. Minc, Nonnegative Matrices, John Wiley and Sons 1988
P. Lancaster & M. Tismenetsky, The theory of matrices, Academic Press 1985
A. Berman & R.J. Plemmons, Nonnegative matrices in the mathematical sciences, Academic Press 1979

Discrete Wiskunde
R.P. Grimaldi, Discrete and combinatorial mathematics. An applied introduction, Addison-Wesley Publishing Company 1989

Lineair en Niet-Lineair Programmeren

Kansberekening en (Wiskundige) Statistiek
A. Azzalini, Statistical Inference Based on the likelihood, Chapman & Hall/CRC 1996
Miller & Miller, Mathematical Statistics with Applications, (...)

(Mogen we van FOK! links plaatsen naar copyrighted materiaal, dus pdf's van boeken?)

TO DO: Meer boeken, structuur bepalen van verwijzing
pi_144485357
Wow... Ik heb hier een hele simpele functie die ik niet weet op te lossen, maar dat komt omdat er zowel links en recht een x staat... en omdat er een +32 staat. Als die +32 er niet stond, kon je gemakkelijk de 6/2 = 3 methode toepassen... toch geprobeerd, maar heb het gevoel alsof het compleet fout is. :P

''Bereken wat x is'.'
x = 9/5 * x + 32

Simpel te herschrijven tot x = 9x/5 + 32

Vervolgens steeds de 6/2 = 3 methode toepassen en de +32 tijdelijk wegdenken:

9x/x = x/5 + 32

9 = x/5 + 32

x= 9 * 5 + 32

x = 77
pi_144485488
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 15:08 schreef Super-B het volgende:
Wow... Ik heb hier een hele simpele functie die ik niet weet op te lossen, maar dat komt omdat er zowel links en recht een x staat... en omdat er een +32 staat. Als die +32 er niet stond, kon je gemakkelijk de 6/2 = 3 methode toepassen... toch geprobeerd, maar heb het gevoel alsof het compleet fout is. :P

''Bereken wat x is'.'
x = 9/5 * x + 32

Simpel te herschrijven tot x = 9x/5 + 32

Vervolgens steeds de 6/2 = 3 methode toepassen en de +32 tijdelijk wegdenken:

9x/x = x/5 + 32

9 = x/5 + 32

x= 9 * 5 + 32

x = 77
x - (9/5)x = 32
-(4/5)x = 32
x = -40
pi_144485541
:')
pi_144485551
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 15:11 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

x - (9/5)x = 32
-(4/5)x = 32
x = -40
Had ik moeten weten. |:( |:(
pi_144487138
quote:
Het enige juiste antwoord, ja. Zelfs een brugklasser kan dit.
  zaterdag 13 september 2014 @ 17:19:36 #48
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144488822
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:41 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik dacht ik schrijf ze los van elkaar en dan trek ik de grondgetallen, die hetzelfde zijn, met het exponent x van elkaar af..
Welke rekenregel zou je daarvoor willen toepassen?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144491530
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 17:19 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Welke rekenregel zou je daarvoor willen toepassen?
Geen idee. :P
pi_144492062
Deel beide kanten eens door  3^x.
pi_144493786
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 19:15 schreef Novermars het volgende:
Deel beide kanten eens door  3^x.
Vanaf welke stap?
pi_144494476
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 20:13 schreef Super-B het volgende:

[..]

Vanaf welke stap?
Vanaf het begin, aangezien je niet verder bent gekomen.
pi_144495101
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Vermenigvuldigingsteken moest tussen de laatste twee grondgetallen (3).
Schrijf het nog eens op, want ik heb nu geen idee waar je het over hebt.
En zet er ook eens bij welke regel je gebruikt.
pi_144495122
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 13:20 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik beheers het kwadraat afsplitsing wel, want mij alleen verbaast is dat je het toepast bij x² - 2x = 1, aangezien de kwadraat afsplitsing meestal gebruikt wordt wanneer de c niet een goed getal is om te factoriseren (toch?).
Ik betwijfel of je het wel begrijpt. De vergelijking x² − 2x = 1 is niet (eenvoudig) op te lossen via ontbinden in factoren maar juist prima via kwadraatafsplitsing (die overigens altijd toepasbaar is om een vierkantsvergelijking op te lossen). Ik wil je sterk aanbevelen deze recente post van mij eens goed door te nemen.
quote:
die 1 komt omdat ln 0 is wanneer ln = 1 toch?
Ik begrijp wat je wil zeggen maar zo mag je dit niet opschrijven. Je bedoelt te zeggen dat ln x = 0 equivalent is met x = 1, dus zeg dat dan ook.

Een logaritme van een gegeven getal is niets anders dan een exponent, namelijk de exponent waartoe je een vast getal (het grondtal van de logaritme) moet verheffen om het gegeven getal te verkrijgen. Voor de natuurlijke logaritme, aangegeven met het functiesymbool ln (dat staat voor logarithmus naturalis) is het grondtal het bijzondere getal e. Het getal e is zo bijzonder omdat e het enige (positieve, reële) getal is waarvoor geldt dat de grafiek van f(x) = ex in elk punt precies even steil loopt als de functiewaarde voor dat punt aangeeft. De functie f(x) = ex heeft dus zichzelf als afgeleide.

De uitspraak

ln x = y

betekent niets anders dan dat y de exponent is waartoe we e moeten verheffen om x te krijgen, dus

ey = x

Zo zie je gemakkelijk dat ln 1 = 0, want 0 is immers de exponent waartoe we e moeten verheffen om 1 te krijgen: e0 = 1. Ook zie je zo gemakkelijk dat ln e = 1, want we moeten e tot de macht 1 verheffen om e te krijgen: e1 = e.

Alle rekenregels die gelden voor het werken met logaritmen volgen gemakkelijk uit de rekenregels voor het werken met machten, want een logaritme is immers niets anders dan een exponent.

Heb je bijvoorbeeld

ln a = p, ln b = q

dan betekent dit

ep = a, eq = b

Maar dan is dus ook

ep·eq = ab

En omdat exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van twee machten met hetzelfde grondtal hebben we dus

ep+q = ab

Maar als het zo is dat je e moet verheffen tot de macht p + q om ab te krijgen, dan betekent dit niets anders dan dat de natuurlijke logaritme van ab gelijk is aan p + q, dus

ln ab = p + q

Maar nu is p = ln a en q = ln b zodat we dus hebben

ln ab = ln a + ln b

Je ziet dus dat de bekende regel die zegt dat de (natuurlijke) logaritme van een product van twee (positieve, reële) getallen gelijk is aan de som van de (natuurlijke) logaritmen van elk van de factoren niets anders is dan een andere gedaante van de regel die zegt dat exponenten optellen bij vermenigvuldiging van twee machten van hetzelfde grondtal. Op een soortgelijke manier zijn ook alle andere rekenregels voor logaritmen af te leiden uit rekenregels voor het werken met machten.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-09-2014 21:50:51 ]
pi_144495761
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 14:36 schreef Super-B het volgende:
Nog één voor het oplossen van x:

4x - 4x-1 = 3x+1 - 3x

Ik heb dit herschreven tot:

4x - 4x * 4-1 = 3x * 31 - 3x

Dit is al fout, want je had in het rechterlid een product waar je een minteken moet hebben, maar dit zal wellicht een verschrijving zijn (die niettemin verraadt dat je niet zorgvuldig genoeg werkt).
quote:
Dit resulteert tot:

[cut crap]

Nee jongeman, dit lijkt nergens op. Je begon nochtans goed (afgezien van die verschrijving).

Als je links een factor 4x buiten haakjes haalt en rechts een factor 3x buiten haakjes haalt dan krijg je

4x(1 − 4−1) = 3x(3 − 1)

Nu mag je eens even gaan nadenken hoe je verder kunt gaan.
pi_144496074
Super-B, als ik jou was zou ik eens gaan inversteren in bijles of een cursus. Want je mist gewoon zoveel basiskennis. Ik weet niet welke studie je doet, maar als je zo door gaat vrees ik het ergste voor je.
pi_144496849
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 21:13 schreef Novermars het volgende:
Super-B, als ik jou was zou ik eens gaan inversteren in bijles of een cursus. Want je mist gewoon zoveel basiskennis. Ik weet niet welke studie je doet, maar als je zo door gaat vrees ik het ergste voor je.
Bedankt voor de tip, maar ik vind het tot nu toe vrij goed te doen met zelfstudie en dit topic. ^O^

Gelukkig behoren de vragen die ik stel tot de stof van het tentamen voor volgende week en behoren ze volgens het boek tot 'harder problems'. De basic-opgaven gaan mij wel makkelijk af. O-) Echter is er nog veel werk te doen om de kennis goed te beheersen, maar ik denk dat het tentamen wel te doen is.

De stof van het (deel)tentamen is het volgende:



De onderwerpen die ik tot nu toe nog wel pittig vind zijn:

-Logartime (niet de regels, maar de wat moeilijkere opgaven met log, ln en/of het getal e)
-Polynomen en staartdelingen.
-Afgeleiden (nieuwe materie voor mij)
-Regels voor differentiëren (ook nieuwe materie voor mij).

Inverse functies en samengestelde functies zijn ook nieuw voor mij, echter begrijp ik het tot dusverre wel.

Voor velen in dit topic is dit een eitje en zullen mijn vragen dan ook niet de moeilijkste zijn, maar het gaat tot nu toe wel goed met leren (met hier en daar nog wat slordigheidsfoutjes en wat fouten waaraan te zien is dat ik het nog niet goed beheers).
pi_144497221
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 20:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik betwijfel of je het wel begrijpt. De vergelijking x² − 2x = 1 is niet (eenvoudig) op te lossen via ontbinden in factoren maar juist prima via kwadraatafsplitsing (die overigens altijd toepasbaar is om een vierkantsvergelijking op te lossen). Ik wil je sterk aanbevelen deze recente post van mij eens goed door te nemen.

[..]

Ik begrijp wat je wil zeggen maar zo mag je dit niet opschrijven. Je bedoelt te zeggen dat ln x = 0 equivalent is met x = 1, dus zeg dat dan ook.

Een logaritme van een gegeven getal is niets anders dan een exponent, namelijk de exponent waartoe je een vast getal (het grondtal van de logaritme) moet verheffen om het gegeven getal te verkrijgen. Voor de natuurlijke logaritme, aangegeven met het functiesymbool ln (dat staat voor logarithmus naturalis) is het grondtal het bijzondere getal e. Het getal e is zo bijzonder omdat e het enige (positieve, reële) getal is waarvoor geldt dat de grafiek van f(x) = ex in elk punt precies even stijl loopt als de functiewaarde voor dat punt aangeeft. De functie f(x) = ex heeft dus zichzelf als afgeleide.

De uitspraak

ln x = y

betekent niets anders dan dat y de exponent is waartoe we e moeten verheffen om x te krijgen, dus

ey = x

Zo zie je gemakkelijk dat ln 1 = 0, want 0 is immers de exponent waartoe we e moeten verheffen om 1 te krijgen: e0 = 1. Ook zie je zo gemakkelijk dat ln e = 1, want we moeten e tot de macht 1 verheffen om e te krijgen: e1 = e.

Alle rekenregels die gelden voor het werken met logaritmen volgen gemakkelijk uit de rekenregels voor het werken met machten, want een logaritme is immers niets anders dan een exponent.

Heb je bijvoorbeeld

ln a = p, ln b = q

dan betekent dit

ep = a, eq = b

Maar dan is dus ook

ep·eq = ab

En omdat exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van twee machten met hetzelfde grondtal hebben we dus

ep+q = ab

Maar als het zo is dat je e moet verheffen tot de macht p + q om ab te krijgen, dan betekent dit niets anders dan dat de natuurlijke logaritme van ab gelijk is aan p + q, dus

ln ab = p + q

Maar nu is p = ln a en q = ln b zodat we dus hebben

ln ab = ln a + ln b

Je ziet dus dat de bekende regel die zegt dat de (natuurlijke) logaritme van een product van twee (positieve, reële) getallen gelijk is aan de som van de (natuurlijke) logaritmen van elk van de factoren niets anders is dan een andere gedaante van de regel die zegt dat exponenten optellen bij vermenigvuldiging van twee machten van hetzelfde grondtal. Op een soortgelijke manier zijn ook alle andere rekenregels voor logaritmen af te leiden uit rekenregels voor het werken met machten.
Dank voor de zéér, maar dan ook zéér duidelijke uitleg. _O_ ^O^
pi_144502180
"Verschuif de lijn m over de vector p = OP→ en noem de verschoven lijn l."

Wat wordt bedoeld met verschuiven? Alleen in x/y richting verschuiven? Of ook z?.
pi_144502554
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 21:28 schreef Super-B het volgende:

[..]

Bedankt voor de tip, maar ik vind het tot nu toe vrij goed te doen met zelfstudie en dit topic. ^O^

Gelukkig behoren de vragen die ik stel tot de stof van het tentamen voor volgende week en behoren ze volgens het boek tot 'harder problems'. De basic-opgaven gaan mij wel makkelijk af. O-) Echter is er nog veel werk te doen om de kennis goed te beheersen, maar ik denk dat het tentamen wel te doen is.

De stof van het (deel)tentamen is het volgende:

[ afbeelding ]

De onderwerpen die ik tot nu toe nog wel pittig vind zijn:

-Logartime (niet de regels, maar de wat moeilijkere opgaven met log, ln en/of het getal e)
-Polynomen en staartdelingen.
-Afgeleiden (nieuwe materie voor mij)
-Regels voor differentiëren (ook nieuwe materie voor mij).


Inverse functies en samengestelde functies zijn ook nieuw voor mij, echter begrijp ik het tot dusverre wel.

Voor velen in dit topic is dit een eitje en zullen mijn vragen dan ook niet de moeilijkste zijn, maar het gaat tot nu toe wel goed met leren (met hier en daar nog wat slordigheidsfoutjes en wat fouten waaraan te zien is dat ik het nog niet goed beheers).
Onzin, je hebt voor de zomervakantie een paar maanden lang allemaal vragen gepost over differentiëren. Weet je nog, met de ketting/product/som/quotiëntregel?
pi_144502611
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 21:13 schreef Novermars het volgende:
Super-B, als ik jou was zou ik eens gaan inversteren in bijles of een cursus. Want je mist gewoon zoveel basiskennis. Ik weet niet welke studie je doet, maar als je zo door gaat vrees ik het ergste voor je.
Riparius had hem ook al verteld dat hij de Spijkerreeks moet kopen, een tijd terug, of dat was tegen een andere hbo'er die ook economie wilde gaan doen. Anyhow, dat heeft diegene ook niet gedaan.
pi_144502772
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 23:25 schreef netchip het volgende:
"Verschuif de lijn m over de vector p = OP→ en noem de verschoven lijn l."

Wat wordt bedoeld met verschuiven? Alleen in x/y richting verschuiven? Of ook z?.
Iets meer context?
pi_144502782
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 23:25 schreef netchip het volgende:
"Verschuif de lijn m over de vector p = OP→ en noem de verschoven lijn l."

Wat wordt bedoeld met verschuiven? Alleen in x/y richting verschuiven? Of ook z?.
Een vector is een gericht lijnstuk (of een equivalentieklasse van gerichte lijnstukken met dezelfde lengte en dezelfde richting) en een vector definieert aldus een translatie. Als je niet vertelt welke vector je vector p = OP is, dan is je vraag ook niet te beantwoorden.
pi_144502824
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 23:41 schreef Novermars het volgende:

[..]

Iets meer context?
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 23:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Een vector is een gericht lijnstuk (of een equivalentieklasse van gerichte lijnstukken met dezelfde lengte en dezelfde richting) en een vector definieert aldus een translatie. Als je niet vertelt welke vector je vector p = OP is, dan is je vraag ook niet te beantwoorden.
Paragraaf 1.2: http://www.staff.science.(...)inalg2013dictaat.pdf
pi_144502939
quote:
Zoals ik het interpreteer in alle dimensies. De verzameling  l = \{ \lambda \in \mathbb{R} : \mathbf{p} + \lambda a \} moet je zien als alle evenwijdige lijnen van de vector  \vec{OA}.
pi_144503213
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 23:48 schreef Novermars het volgende:

[..]

Zoals ik het interpreteer in alle dimensies. De verzameling  l = \{ \lambda \in \mathbb{R} : \mathbf{p} + \lambda a \} moet je zien als alle evenwijdige lijnen van de vector  \vec{OA}.
OK, dus als je een voorbeeld maakt, zou het er zo uit kunnen zien? https://www.dropbox.com/s(...)oorstelling.png?dl=0
pi_144503883
quote:
Teken gewoon eens een plaatje, in een plat vlak om het simpel te houden. Kies een punt O (als oorsprong) en een punt A ≠ O en teken vector OA = a, dan is elk punt op de rechte door O en A het eindpunt van een vector v = λa voor een zekere λ ∈ R, en als je λ de verzameling R van alle reële getallen laat doorlopen dan krijg je voor het eindpunt van vector v = λa elk punt op de rechte door O en A. We noemen v = λa daarom een vectorvoorstelling van de rechte m door O en A.

Kies vervolgens een willekeurig punt P buiten lijn m en verschuif lijn m dan in één rechte beweging zodanig dat punt O op lijn m in punt P komt te liggen. Dan hebben we als beeld van de rechte lijn m een rechte lijn l door punt P die evenwijdig is aan lijn m. Elk punt op deze lijn l is nu het eindpunt van een vector v = p + λa voor een zekere λ ∈ R, en als je λ weer de verzameling R van alle reële getallen laat doorlopen dan krijg je als eindpunt van vector v = p + λa elk punt op de rechte l door P evenwijdig aan m. Aldus is v = p + λa een vectorvoorstelling van l. Vector a heet een richtingsvector van lijn l en vector p heet een steunvector (ook wel een plaatsvector) van lijn l.
pi_144505510
quote:
0s.gif Op zaterdag 13 september 2014 23:35 schreef netchip het volgende:

[..]

Onzin, je hebt voor de zomervakantie een paar maanden lang allemaal vragen gepost over differentiëren. Weet je nog, met de ketting/product/som/quotiëntregel?
Vóór de zomervakantie. Dat was voor de toelatingstoets wiskunde voor de universiteit. Heb het afgerond met een 7.0. Desondanks blijt de materie nog nieuw voor mij. Het is alweer weggezakt en havo/hbo wiskunde stelt niet zoveel voor.
pi_144515268


Als ik (e0,001 - 1) / 1 invul in mijn rekenmachine krijg ik geen , maar 0,0010005 Doe ik iets fout of..?
pi_144515445
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 15:17 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

Als ik (e0,001 - 1) / 1 invul in mijn rekenmachine krijg ik geen [ afbeelding ], maar 0,0010005 Doe ik iets fout of..?
Je deelt door 1 ipv x.
pi_144515505
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 15:17 schreef Super-B het volgende:
[ afbeelding ]

Als ik (e0,001 - 1) / 1 invul in mijn rekenmachine krijg ik geen [ afbeelding ], maar 0,0010005 Doe ik iets fout of..?
Ja, je doet iets fout, en in mijn glazen bol zie ik dat je waarschijnlijk alleen ex − 1 hebt berekend voor x = 0,001. Je bent dus helemaal vergeten dat je het resultaat weer door x moest delen.
pi_144515533
quote:
1s.gif Op zondag 14 september 2014 15:23 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Je deelt door 1 ipv x.
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 15:25 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, je doet iets fout, en in mijn glazen bol zie ik dat je waarschijnlijk alleen ex hebt berekend voor x = 0,001. Je bent dus helemaal vergeten dat je van die ex nog 1 af moest trekken en het resultaat weer door x moest delen.
Slordig! |:(

Thanks!

Wiskunde is echt een heerlijk vak, met name door de uitdaging die er in zit. ^O^
pi_144516385
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 15:26 schreef Super-B het volgende:

[..]

[..]

Wiskunde is echt een heerlijk vak, met name door de uitdaging die er in zit. ^O^
Hopelijk zie je ook waarom die limiet van (ex − 1)/x voor x → 0 oftewel de limiet van (eh − 1)/h voor h → 0 nu zo interessant is. Als je de afgeleide gaat bepalen van

f(x) = ax

voor een a ∈ R+ met behulp van de definitie van de afgeleide, dan krijg je

f'(x) = limh→0 (ax+h − ax)/h

en aangezien ax+h = ax·ah kunnen we een factor ax buiten haakjes halen in de teller van het differentiequotiënt en omdat ax niet afhangt van h kunnen we deze factor ax voor de limiet brengen zodat we kunnen schrijven

f'(x) = ax · limh→0 (ah − 1)/h

Maar omdat 1 = a0 is limh→0 (ah − 1)/h = limh→0 (ah − a0)/h niets anders dan de afgeleide van de functie in het punt x = 0 oftewel f'(0). We vinden voor de functie f(x) = ax dus

f'(x) = f'(0)·ax

Een exponentiële functie heeft dus een afgeleide die weer een exponentiële functie is met datzelfde grondtal, maar dan wel vermenigvuldigd met een constante factor die de steilheid geeft van de grafiek van de functie bij x = 0. En nu blijkt er precies één positief reëel getal a te zijn waarbij de steilheid van de exponentiële curve bij x = 0 precies gelijk is aan 1, en dat getal noemen we e. Voor a = e heb je zo dus

f'(x) = ex

als afgeleide van

f(x) = ex

Natuurlijk wil je nu ook nog weten wat die f'(0) = limh→0 (ah − 1)/h voor een willekeurige (positieve, reële) a nu in het algemeen voorstelt, en dat blijkt niets anders te zijn dan de natuurlijke logaritme van a, dus

limh→0 (ah − 1)/h = ln a

Zo hebben we dus voor

f(x) = ax

met a ∈ R+ in het algemeen als afgeleide

f'(x) = ax·ln a
pi_144516996
Okay volgens mij is dit redelijk simpel maar ik zie het gewoon niet, ik hoop dat iemand mij kan helpen.

Is de som: 3-(-\frac12)^2 hetzelfde als: \frac{12}{4}-(-\frac{1}{4})\?
Naar mijn inzien namelijk wel maar de antwoorden verschillen. het antwoord van som 1 is namelijk 2,75 en die van som twee 3,25.
pi_144517084
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 16:08 schreef nokenindekoken het volgende:
Okay volgens mij is dit redelijk simpel maar ik zie het gewoon niet, ik hoop dat iemand mij kan helpen.

Is de som: 3-(-\frac12)^2 hetzelfde als: \frac{12}{4}-(-\frac{1}{4})\?
Naar mijn inzien namelijk wel maar de antwoorden verschillen. het antwoord van som 1 is namelijk 2,75 en die van som twee 3,25.
Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.
pi_144517284
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 16:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.
Aaah, danku! Al te lang achter elkaar bezig denk ik :9
pi_144519340
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 16:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.
Vermenigvuldig je die - die rechts van de drie staat niet eerst met een deel v/h kwadraat?

Dus 3 - (-1/2)^2 is 3 - (-1/2) * (-1/2) en dus

3 + (1/2) * (-1/2) ?


Zo niet, waarom niet
pi_144519479
quote:
1s.gif Op zondag 14 september 2014 17:25 schreef Super-B het volgende:

[..]

Vermenigvuldig je die - die rechts van de drie staat niet eerst met een deel v/h kwadraat?

Dus 3 - (-1/2)^2 is 3 - (-1/2) * (-1/2) en dus

3 + (1/2) * (-1/2) ?

Zo niet, waarom niet
Zo zou je het ook kunnen zien ja. Het punt was voornamelijk dat je uiteindelijk een minteken overhoudt. In welke volgorde je de twee andere mintekens vermenigvuldigt maakt niets uit.
Jij neemt een van de mintekens in het kwadraat en haalt die naar buiten, terwijl Riparius (-1/2)2 = +1/4 doet.
pi_144520173
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.

Stel je hebt de raaklijn berekent ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is

y = x², wat kun je daar dan mee? Ik heb verschillende video's bekeken en dan wordt er gesproken over het richtingscoëfficiënt berekenen van 'dat' punt oid, maar kan dat ook van elk punt, ook waar de raaklijn niet de gewone functie snijdt (zoals het standaard is dat de raaklijn door twee punten snijdt met de gewone functie)?

Wat de richtingscoëfficiënt is, is mij wel duidelijk; dat bepaalt de richting van de lijn bij elke x-stap. Echter is de afgeleide mij nog wat wazig, ondanks het bekijken van verschillende video's.

Het is niet zozeer dat ik de methodiek lastig vind, maar de achtergrond van de afgeleide niet begrijp.
pi_144520406
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 17:53 schreef Super-B het volgende:
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.

Stel je hebt de raaklijn berekend ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is

y = x², wat kun je daar dan mee?
De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie in elk punt op de grafiek van die oorspronkelijke functie. De afgeleide functie geeft zo dus informatie over het verloop van de grafiek van de oorspronkelijke functie. Je kunt deze informatie (dus: de afgeleide functie) zo gebruiken om bijvoorbeeld (locale en globale) maxima en minima van de oorspronkelijke functie op te sporen. Dit is vaak belangrijk bij allerlei praktische vraagstukken. In de economie wil je bijvoorbeeld kunnen bestuderen hoe de winst afhangt van allerlei variabelen en hoe je die winst kunt maximaliseren.
pi_144520650
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 18:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie in elk punt op de grafiek van die oorspronkelijke functie. De afgeleide functie geeft zo dus informatie over het verloop van de grafiek van de oorspronkelijke functie. Je kunt deze informatie (dus: de afgeleide functie) zo gebruiken om bijvoorbeeld (locale en globale) maxima en minima van de oorspronkelijke functie op te sporen. Dit is vaak belangrijk bij allerlei praktische vraagstukken. In de economie wil je bijvoorbeeld kunnen bestuderen hoe de winst afhangt van allerlei variabelen en hoe je die winst kunt maximaliseren.
Aha.. stel hé ik vul een x-punt van de gewone functie (2) in de afgeleide 2x in.. (de betreffende punt is 2,4). Dan heb je

2*2 = 4, wat zegt die 4 dan? Dat het richtingscoëfficiënt is op dat x-punt en je zodoende een functie kan maken van het x-punt 2. Dus in dat geval

y = ax + b

y = 4x + b

4 = 4*2 + b

4 = 8 + b

-4 = b

Dus de functie op punt (2,4) is dan y = 4x - 4 toch?

P.s; kan de afgeleide ook op lineaire functies toegepast worden of alleen functies welke een grafiek hebben waarvan de richtingscoëfficiënt op elk punt anders is (bijv. doordat de grafiek een gebogen grafiek is)?
pi_144520736
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 18:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha.. stel hé ik vul een x-punt van de gewone functie (2) in de afgeleide x² in.. (de betreffende punt is 2,4). Dan heb je

2² = 4, wat zegt die 4 dan? Dat het richtingscoëfficiënt is op dat x-punt en je zodoende een functie kan maken van het x-punt 2. Dus in dat geval

y = ax + b

y = 4x + b

4 = 4*2 + b

4 = 8 + b

-4 = b

Dus de functie op punt (2,4) is dan y = 4x - 4 toch?

P.s; kan de afgeleide ook op lineaire functies toegepast worden of alleen functies welke een grafiek hebben waarvan de richtingscoëfficiënt op elk punt anders is (bijv. doordat de grafiek een gebogen grafiek is)?
Nee, nu bepaal je de y-waarde die bij een bepaalde x-waarde hoort. De afgeleide van f(x) = x2 is f'(x) = 2x.
pi_144520797
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 18:10 schreef netchip het volgende:

[..]

Nee, nu bepaal je de y-waarde die bij een bepaalde x-waarde hoort. De afgeleide van f(x) = x2 is f'(x) = 2x.
Zie edit. Gelukkig maakt het voor de berekening even niets uit, aangezien 2*2 hetzelfde is als 2². Dus ik heb niet veel hoeven te editen.
pi_144521575
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 17:53 schreef Super-B het volgende:
Ik heb nog een vraag, ditmaal over de afgeleide/het differentiëren.

Stel je hebt de raaklijn berekent ofwel de afgeleide van een functie. Wat houdt dat dan in? Stel je afgeleide is

y = x², wat kun je daar dan mee? Ik heb verschillende video's bekeken en dan wordt er gesproken over het de richtingscoëfficiënt berekenen van 'dat' punt o.i.d., maar kan dat ook van elk punt, ook waar de raaklijn niet de gewone functie snijdt (zoals het standaard is dat de raaklijn door twee punten snijdt met de gewone functie)?
Deze kromme formulering geeft mooi je verwarring weer. Je moet wel onderscheid maken tussen een snijlijn door twee punten op de grafiek (die meestal dicht bij elkaar worden gekozen) en een raaklijn in één punt van de grafiek.

Je kunt het je zo voorstellen dat je één punt op je grafiek kiest en daarnaast nog een tweede punt op de grafiek daar dicht bij. Omdat een rechte lijn volledig vastligt door twee punten, kun je nu door die twee punten precies één rechte lijn trekken. Laat je nu het tweede punt op de grafiek naar het eerste punt toe kruipen, en wel langs de grafiek, dan zal de snijlijn door de twee punten steeds meer de richting krijgen van de raaklijn aan dat eerste punt op de grafiek.
quote:
Wat de richtingscoëfficiënt is, is mij wel duidelijk; dat bepaalt de richting van de lijn bij elke x-stap. Echter is de afgeleide mij nog wat wazig, ondanks het bekijken van verschillende video's.

Het is niet zozeer dat ik de methodiek lastig vind, maar de achtergrond van de afgeleide niet begrijp.
De steilheid ofwel de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van een functie f bereken je door het verschil in verticale positie

Δy = f(x+h) − f(x)

tussen de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) te delen door het verschil in horizontale positie

Δx = (x+h) − x = h

van de twee punten. Zo krijgen we voor de steilheid van onze snijlijn door de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van onze functie f dus

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van f, maar in de steilheid van de grafiek van f zelf in dat ene punt (x, f(x)) op de grafiek. En die steilheid is niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in dit punt (x, f(x)). Wat we dus moeten doen is die waarde van h naar nul laten gaan zodat het tweede punt (x+h, f(x+h)) langs de grafiek naar het eerste punt (x, f(x)) gaat, want dan gaat de steilheid van de snijlijn steeds meer in de buurt komen van de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) waar we eigenlijk in zijn geïnteresseerd.

Maar nu hebben we een probleem, want we kunnen in

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

niet zomaar h = 0 invullen want dan wordt Δy = 0 en ook Δx = 0 zodat de breuk 0/0 wordt, en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we gaan kijken wat er gebeurt als we dat verschil h in horizontale positie tussen de twee punten op de grafiek niet nul maken maar wel heel dicht (willekeurig dicht) tegen 0 aan laten kruipen. Hierbij moet je nog bedenken dat h niet positief hoeft te zijn, want we kunnen h ook vanaf de negatieve kant tegen 0 aan laten kruipen.

Wat we hier eigenlijk nodig hebben is het begrip limiet. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waarbij we zo dicht in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een bepaalde variabele (hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: 0) kiezen. En die limiet van bovenstaande uitdrukking (f(x+h) − f(x))/h voor h → 0 is zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) oftewel de afgeleide f'(x), dus

f'(x) = limh→0 (f(x+h) − f(x))/h

Nu zou het heel omslachtig zijn als we altijd maar weer zo'n limiet moesten gaan bepalen om een afgeleide functie te vinden, maar dat hoeft niet. Want voor allerlei 'standaardfuncties' is het mogelijk om eens en voor altijd aan de hand van deze limiet te bepalen wat de afgeleide is, en als we dat eenmaal weten dan kunnen we daar verder gewoon mee werken. Zo kan men bijvoorbeeld aan de hand van deze limiet bewijzen dat voor

f(x) = xn

geldt

f'(x) = nxn−1

Behalve een aantal afgeleiden voor 'standaardfuncties' zijn er ook nog regels voor het bepalen van de afgeleide functie van bijvoorbeeld de som, het verschil, het product, of het quotiënt van twee gegeven functies, en ook die regels zijn allemaal te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide. Tenslotte is het ook belangrijk om de afgeleide te kunnen bepalen van een samenstelling van twee (of meer) functies waarbij de 'output' van de eerste functie dient als 'input' voor de tweede functie. Dat is de kettingregel, en ook die is uiteraard te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-09-2014 23:49:15 ]
pi_144521761
Waarom is 5 / 2sqrt5 = (1/2)sqrt5 ?
pi_144521815
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 18:44 schreef rareziekte het volgende:
Waarom is 5 / 2sqrt5 = (1/2)sqrt5 ?
Wat heb je geprobeerd? Welke rekenregels ken je?
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
pi_144521997
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 18:44 schreef rareziekte het volgende:
Waarom is 5 / 2sqrt5 = (1/2)sqrt5 ?
Vermenigvuldig teller en noemer van je breuk met √5, dan heb je

\frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{5}
pi_144522515
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 18:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Deze kromme formulering geeft mooi je verwarring weer. Je moet wel onderscheid maken tussen een snijlijn door twee punten op de grafiek (die meestal dicht bij elkaar worden gekozen) en een raaklijn in één punt van de grafiek.

Je kunt het je zo voorstellen dat je één punt op je grafiek kiest en daarnaast nog een tweede punt op de grafiek daar dicht bij. Omdat een rechte lijn volledig vastligt door twee punten, kun je nu door die twee punten precies één rechte lijn trekken. Laat je nu het tweede punt op de grafiek naar het eerste punt toe kruipen, en wel langs de grafiek, dan zal de snijlijn door de twee punten steeds meer de richting krijgen van de raaklijn aan dat eerste punt op de grafiek.

[..]

De steilheid ofwel de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van een functie f bereken je door het verschil in verticale afstand

Δy = f(x+h) − f(x)

tussen de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) te delen door het verschil in horizontale afstand

Δx = (x+h) − x = h

van de twee punten. Zo krijgen we voor de steilheid van onze snijlijn door de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van onze functie f dus

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van f, maar in de steilheid van de grafiek van f zelf in dat ene punt (x, f(x)) op de grafiek. En die steilheid is niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in dit punt (x, f(x)). Wat we dus moeten doen is die waarde van h naar nul laten gaan zodat het tweede punt (x+h, f(x+h)) langs de grafiek naar het eerste punt (x, f(x)) gaat, want dan gaat de steilheid van de snijlijn steeds meer in de buurt komen van de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) waar we eigenlijk in zijn geïnteresseerd.

Maar nu hebben we een probleem, want we kunnen in

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

niet zomaar h = 0 invullen want dan wordt Δy = 0 en ook Δx = 0 zodat de breuk 0/0 wordt, en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we gaan kijken wat er gebeurt als we dat verschil h in horizontale afstand tussen de twee punten op de grafiek niet nul maken maar wel heel dicht (willekeurig dicht) tegen 0 aan laten kruipen. Hierbij moet je nog bedenken dat h niet positief hoeft te zijn, want we kunnen h ook vanaf de negatieve kant tegen 0 aan laten kruipen.

Wat we hier eigenlijk nodig hebben is het begrip limiet. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waarbij we zo dicht in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een bepaalde variabele(hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: 0) kiezen. En die limiet van bovenstaande uitdrukking (f(x+h) − f(x))/h voor h → 0 is zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) oftewel de afgeleide f'(x), dus

f'(x) = limh→0(f(x+h) − f(x))/h

Nu zou het heel omslachtig zijn als we altijd maar weer zo'n limiet moesten gaan bepalen om een afgeleide functie te vinden, maar dat hoeft niet. Want voor allerlei 'standaardfuncties' is het mogelijk om eens en voor altijd aan de hand van deze limiet te bepalen wat de afgeleide is, en als we dat eenmaal weten dan kunnen we daar verder gewoon mee werken. Zo kan men bijvoorbeeld aan de hand van deze limiet bewijzen dat voor

f(x) = xn

geldt

f'(x) = nxn−1

Behalve een aantal afgeleiden voor 'standaardfuncties' zijn er ook nog regels voor het bepalen van de afgeleide functie van bijvoorbeeld de som, het verschil, het product, of het quotiënt van twee gegeven functies, en ook die regels zijn allemaal te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide. Tenslotte is het ook belangrijk om de afgeleide te kunnen bepalen van een samenstelling van twee (of meer) functies waarbij de 'output' van de eerste functie dient als 'input' voor de tweede functie. Dat is de kettingregel, en ook die is uiteraard te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide.
Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt. :)

Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..

Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden? Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?

Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
pi_144522648
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 19:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt. :)

Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..

Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden? Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?

Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
[ afbeelding ]
Stel je hebt s = 5t2 (s is de verplaatsing in de natuurkunde). Dan is s' = 10t. De snelheid op het punt t = 5 is dan 50 m/s.

Dit is een voorbeeld, maar dit kan je op alles toepassen dat te maken heeft met een verandering. Die verandering kan je dan oneindig klein maken (het limiet -> 0), waardoor je de verandering op dat punt krijgt.
pi_144522915
Differentiëren is ook heel nuttig bij optimalisatie. Als je wil kijken waar de functie een maximum heeft, dan moet daar gelden dat de afgeleide nul is (best "logisch" als je daar even over nadenkt!).

Door de afgeleide gelijk aan nul te stellen kun je dus (lokale) maxima en minima van de functie vinden. In de praktijk kan het van alles zijn wat je probeert te maximaliseren. Denk bijvoorbeeld aan winstmaximalisatie.
pi_144523309
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 19:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hartstikke duidelijk. Enorm bedankt. :)

Echter is mij dus dan nog steeds niet duidelijk wat ik dan precies met de afgeleide kan doen..

Stel de functie y = 2x² heeft de afgeleide y = 4x. Wat kan ik dan allemaal met die afgeleiden?
Dit is wel een erg eenvoudig voorbeeld. Als je hebt f(x) = 2x2 dan is inderdaad f'(x) = 4x. Je ziet dan bijvoorbeeld dat f'(x) = 0 uitsluitend als x = 0. Zo weet je dus dat de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 2x² alleen horizontaal loopt in het punt (0, 0) op de grafiek, en dat betekent dat f(x) = 2x² een extreme waarde bereikt voor x = 0, en wel een minimum van f(0) = 0. Maar dat wist je al omdat het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, dus dit is niet zo spannend.

Maar laten we eens naar de algemene kwadratische functie

f(x) = ax² + bx + c

kijken, waarbij a,b,c concrete getallen voorstellen en a niet nul mag zijn omdat je anders geen kwadratische term meer zou hebben. Als we hier de afgeleide functie bepalen, dan krijgen we

f'(x) = 2ax + b

en als nu f'(x) = 0 moet zijn, dan moet dus gelden

2ax + b = 0

en dus

2ax = −b

en dus

x = −b/2a

Zo zie je dus dat de kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bereikt voor x = −b/2a. Het is ook mogelijk dit resultaat te vinden door elementaire herleiding (kwadraatafsplitsing, zie bijvoorbeeld hier) maar met differentiaalrekening gaat het veel eenvoudiger. Bovendien kunnen we de differentiaalrekening ook gebruiken bij allerlei andere functies waarbij maxima en minima niet meer met elementaire algebraïsche foefjes zijn te vinden. Zo zie je dus dat de differentiaalrekening een heel krachtig hulpmiddel is bij het onderzoeken van het gedrag van allerlei functies.
quote:
Welke x moet ik dan invullen en wat kun je dan met de y die eruit rolt? Kun je zomaar alle punten invullen van de gewone functie in de afgeleide?
Bij het soort functies waarmee je nu te maken hebt is dit vaak wel het geval, maar niet altijd. Het hoeft namelijk niet zo te zijn dat je oorspronkelijke functie ook voor alle waarden van x uit het domein differentieerbaar is.
quote:
Kun je dan zomaar de coördinaten van de gewone functie pakken van (8,3) en wat levert het op etc etc.. Ik weet dat het betreft om de steilheid, maar praktiserend begrijp ik het dus niet..
[ afbeelding ]
Het plaatje dat je geeft is een mooi voorbeeld van een functie die niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Kun je ook tenminste één of mogelijk twee redenen geven waarom dat zo is?

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 14-09-2014 19:39:55 ]
pi_144542998
quote:
0s.gif Op zondag 14 september 2014 19:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is wel een erg eenvoudig voorbeeld. Als je hebt f(x) = 2x2 dan is inderdaad f'(x) = 4x. Je ziet dan bijvoorbeeld dat f'(x) = 0 uitsluitend als x = 0. Zo weet je dus dat de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 2x² alleen horizontaal loopt in het punt (0, 0) op de grafiek, en dat betekent dat f(x) = 2x² een extreme waarde bereikt voor x = 0, en wel een minimum van f(0) = 0. Maar dat wist je al omdat het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, dus dit is niet zo spannend.

Maar laten we eens naar de algemene kwadratische functie

f(x) = ax² + bx + c

kijken, waarbij a,b,c concrete getallen voorstellen en a niet nul mag zijn omdat je anders geen kwadratische term meer zou hebben. Als we hier de afgeleide functie bepalen, dan krijgen we

f'(x) = 2ax + b

en als nu f'(x) = 0 moet zijn, dan moet dus gelden

2ax + b = 0

en dus

2ax = −b

en dus

x = −b/2a

Zo zie je dus dat de kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bereikt voor x = −b/2a. Het is ook mogelijk dit resultaat te vinden door elementaire herleiding (kwadraatafsplitsing, zie bijvoorbeeld hier) maar met differentiaalrekening gaat het veel eenvoudiger. Bovendien kunnen we de differentiaalrekening ook gebruiken bij allerlei andere functies waarbij maxima en minima niet meer met elementaire algebraïsche foefjes zijn te vinden. Zo zie je dus dat de differentiaalrekening een heel krachtig hulpmiddel is bij het onderzoeken van het gedrag van allerlei functies.

[..]

Bij het soort functies waarmee je nu te maken hebt is dit vaak wel het geval, maar niet altijd. Het hoeft namelijk niet zo te zijn dat je oorspronkelijke functie ook voor alle waarden van x uit het domein differentieerbaar is.

[..]

Het plaatje dat je geeft is een mooi voorbeeld van een functie die niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Kun je ook tenminste één of mogelijk twee redenen geven waarom dat zo is?
Dank voor alweer een zeer duidelijke uitleg! ^O^


Nee ik kan me niet bedenken waarom.
pi_144544664
Hebben deze functies een standaard naam?

1
2
3
phi1(z) = ( exp(z) - 1 ) / z

phi2(z) = ( phi1(z) - 1 ) / z

Bedankt alvast. :)
gr gr
pi_144545357
Ik moet zeggen dat het boek 'Essential Mathematics for Economic Analysis' een veel duidelijkere boek is dan het 'Basisboek Wiskunde' van Jan van Craats. :Y

Na het lezen van ieder hoofdstuk uit het basisboek had ik toch veel vraagtekens overgehouden i.t.t. wanneer ik een hoofdstuk uit het boek Mathematics for Economic Analysis gelezen heb (in ieder geval minder vraagtekens).
pi_144548246
'Show that f(x) = x^3 is strictly increasing. "

Nou allereerst moet ik de afgeleide bepalen en dat is 3x^2, maar vervolgens loop ik vast.. want er staat een hint waar ik een bepaalde sign moet gebruiken welke ik eerder niet heb gezien:

Hint: consider the sign of x(3/2) - (3/2) = (x2 - x1)(x2/1 + x1x2 + x 2/2)

Die deelstrepen behoren er niet want het is volgens mij geen breuk.
pi_144553188
quote:
1s.gif Op maandag 15 september 2014 10:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dank voor alweer een zeer duidelijke uitleg! ^O^

Nee ik kan me niet bedenken waarom.
Kijk nog eens naar de grafiek die je gaf bij je vorige post. Dit is de grafiek van de functie

f(x) = √x

Deze functie is alleen gedefinieerd voor x ≥ 0 oftewel op het interval [0, ∞), want √x is binnen R (de verzameling van alle reële getallen) niet gedefinieerd als x negatief is.

Bij x = 0 zitten we dus op de rand van het domein van deze functie, en je ziet ook dat de grafiek hier 'begint' (of 'stopt', zo je wil). Maar dit betekent dat deze functie niet differentieerbaar is voor x = 0. Waarom niet? Wel dat volgt om te beginnen uit de definitie van de afgeleide:

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

We moeten hier h naar nul kunnen laten gaan niet alleen vanaf de positieve kant, maar ook vanaf de negatieve kant, en het differentiequotiënt moet dan naderen tot dezelfde grenswaarde, en dat is dan de limiet van dit differentiequotiënt voor h → 0 oftewel de afgeleide. Als we de afgeleide voor x = 0 oftewel f'(0) willen bepalen dan hebben we volgens deze definitie

f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}

Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.

Nu zou je nog kunnen denken, goed, dan beperken we ons hier tot positieve waarden van h omdat we immers aan de rand van het domein van de functie zitten, en dan kunnen we in ieder geval nog de limiet bepalen van het differentiequotiënt als we h vanaf de positieve kant tot nul laten naderen. Dan bepaal je een zogeheten rechter limiet en daarmee ook een rechter afgeleide, maar dat gaat hier ook niet. Waarom niet?

Wel, als je nog even naar de grafiek kijkt, dan zie je dat deze steeds steiler gaat lopen naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Dat is ook begrijpelijk, want voor f(x) = √x kunnen we ook schrijven f(x) = x1/2 en voor x > 0 is de afgeleide dan f'(x) = ½x−1/2 oftewel, we hebben

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Nu zie je dat f'(x) inderdaad steeds groter wordt naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Voor x = 0 krijgen we 1/0 maar dat heeft geen betekenis. De raaklijn aan de grafiek bij x = 0 loopt eigenlijk verticaal, maar een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Zo zie je dus dat het feit dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0 nog een tweede reden heeft: een afgeleide in een punt is niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt, en als die raaklijn geen richtingscoëfficiënt heeft omdat die raaklijn verticaal loopt, dan is er voor dat punt dus ook geen afgeleide.
pi_144553614
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 16:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kijk nog eens naar de grafiek die je gaf bij je vorige post. Dit is de grafiek van de functie

f(x) = √x

Deze functie is alleen gedefinieerd voor x ≥ 0 oftewel op het interval [0, ∞), want √x is binnen R (de verzameling van alle reële getallen) niet gedefinieerd als x negatief is.

Bij x = 0 zitten we dus op de rand van het domein van deze functie, en je ziet ook dat de grafiek hier 'begint' (of 'stopt', zo je wil). Maar dit betekent dat deze functie niet differentieerbaar is voor x = 0. Waarom niet? Wel dat volgt om te beginnen uit de definitie van de afgeleide:

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

We moeten hier h naar nul kunnen laten gaan niet alleen vanaf de positieve kant, maar ook vanaf de negatieve kant, en het differentiequotiënt moet dan naderen tot dezelfde grenswaarde, en dat is dan de limiet van dit differentiequotiënt voor h → 0 oftewel de afgeleide. Als we de afgeleide voor x = 0 oftewel f'(0) willen bepalen dan hebben we volgens deze definitie

f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}

Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.

Nu zou je nog kunnen denken, goed, dan beperken we ons hier tot positieve waarden van h omdat we immers aan de rand van het domein van de functie zitten, en dan kunnen we in ieder geval nog de limiet bepalen van het differentiequotiënt als we h vanaf de positieve kant tot nul laten naderen. Dan bepaal je een zogeheten rechter limiet en daarmee ook een rechter afgeleide, maar dat gaat hier ook niet. Waarom niet?

Wel, als je nog even naar de grafiek kijkt, dan zie je dat deze steeds steiler gaat lopen naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Dat is ook begrijpelijk, want voor f(x) = √x kunnen we ook schrijven f(x) = x1/2 en voor x > 0 is de afgeleide dan f'(x) = ½x−1/2 oftewel, we hebben

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Nu zie je dat f'(x) inderdaad steeds groter wordt naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Voor x = 0 krijgen we 1/0 maar dat heeft geen betekenis. De raaklijn aan de grafiek bij x = 0 loopt eigenlijk verticaal, maar een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Zo zie je dus dat het feit dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0 nog een tweede reden heeft: een afgeleide in een punt is niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt, en als die raaklijn geen richtingscoëfficiënt heeft omdat die raaklijn verticaal loopt, dan is er voor dat punt dus ook geen afgeleide.
''Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.''

Dit begrijp ik niet. Die h is toch alleen maar het verschil tussen de afstand van punt 1 en punt 2 in het perspectief van de x-as? Dus als f'(0) is wat maakt het dan uit? Ik heb die h niet echt begrepen?


Ik weet wel dat de afgeleide van x1/2 = 1/2x-1/2 is. Maar dat komt doordat ik de regels uit mijn hoofd weet (constante, somregel, productregel en quotiëntregel).

P.S; als er in een x-punt de raaklijn f'(x) = 0 weergeeft, dan is het niet differentieerbaar in dat punt?

[ Bericht 1% gewijzigd door Super-B op 15-09-2014 16:31:15 ]
pi_144554701
quote:
1s.gif Op maandag 15 september 2014 13:45 schreef Super-B het volgende:
'Show that f(x) = x^3 is strictly increasing. "

Nou allereerst moet ik de afgeleide bepalen en dat is 3x^2, maar vervolgens loop ik vast.. want er staat een hint waar ik een bepaalde sign moet gebruiken welke ik eerder niet heb gezien:

Hint: consider the sign of x(3/2) - (3/2) = (x2 - x1)(x2/1 + x1x2 + x 2/2)

Die deelstrepen behoren er niet want het is volgens mij geen breuk.


Als je de beschikking hebt over een scanner of een digitale camera, dan kun je in het vervolg beter een plaatje posten van de originele opgave uit je boek, want dit lijkt nergens op. Gebruik verder ook subscript voor indices en superscript voor exponenten, en controleer je formules op typo's voordat je iets post.

Het is kennelijk de bedoeling van de opgave om op elementaire wijze (dat is: zonder gebruik van differentiaalrekening) aan te tonen dat de functie f(x) = x3strict monotoon stijgend is op R. Dit betekent dat wanneer we twee willekeurige waarden x1 en x2 kiezen voor x met x2 > x1, dat dan gegarandeerd f(x2) > f(x1) is. Maar nu moeten we dit bewijzen. Hoe doen we dit?

Wel, x2 > x1 is equivalent met x2 − x1 > 0 en f(x2) > f(x1) is equivalent met f(x2) − f(x1) > 0. We moeten dus laten zien dat uit x2 − x1 > 0 volgt dat f(x2) − f(x1) > 0. We hebben

f(x_2) - f(x_1) = x{_2}{^3} - x{_1}{^3}

en met behulp van het merkwaardig product

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

kunnen we hiervoor schrijven

f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x{_2}{^2} + x_2x_1 + x{_1}{^2})

Nu is gegeven dat x2 > x1 en dus (x2 − x1) > 0 zodat we nu alleen nog hoeven te laten zien dat de tweede factor (x22 + x2x1 + x12) eveneens positief is, want dan is immers het product met (x2 − x1) en daarmee f(x2) − f(x1) ook positief.

Kijken we nu naar het merkwaardig product

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

dan zien we dat we kunnen schrijven

a^2 + ab + b^2 = \frac{1}{2}(2a^2 + 2ab + 2b^2) = \frac{1}{2}\left(a^2 + b^2 + (a + b)^2 \right)

en dus hebben we evenzo

x{_2}{^2} + x_2x_1 + x{_1}{^2} = \frac{1}{2} \left( x{_2}{^2} + x{_1}{^2} + (x_2 + x_1)^2 \right)

Aangezien de uitdrukking x22 + x2x1 + x12 gelijk is aan de halve som van de drie kwadraten x22, x12 en (x2 + x1)2, is deze uitdrukking dus steeds positief, behalve als x2 = x1 = 0 zou zijn, maar dat is niet het geval aangezien x2 > x1. En dus is inderdaad f(x2) - f(x1) = x23 − x13 = (x2 − x1)(x22 + x2x1 + x12) > 0 voor x2 > x1, QED.
pi_144555261
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 16:21 schreef Super-B het volgende:

[..]

Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.

Dit begrijp ik niet. Die h is toch alleen maar het verschil tussen de afstand van punt 1 en punt 2 in het perspectief van de x-as? Dus als f'(0) is wat maakt het dan uit? Ik heb die h niet echt begrepen?
Nee, die h kan ook negatief zijn, namelijk als het tweede punt (x+h, f(x+h)) links van het eerste punt (x, f(x)) ligt waarvoor we eigenlijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen bepalen door het tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt te laten bewegen. Anders gezegd, we moeten h zowel vanaf de negatieve kant als vanaf de positieve kant naar nul kunnen laten gaan en het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h moet dan tot één en dezelfde grenswaarde naderen, ongeacht of we nu van links of van rechts komen. En aan deze voorwaarde is bij de functie f(x) = √x niet voldaan in het punt x = 0 omdat f(h) niet bestaat voor h < 0. De functie f(x) = √x is dus niet differentieerbaar in het punt x = 0, oftwel f'(0) bestaat hier niet.
quote:
Ik weet wel dat de afgeleide van x1/2 = 1/2x-1/2 is. Maar dat komt doordat ik de regels uit mijn hoofd weet (constante, somregel, productregel en quotiëntregel).

P.S; als er in een x-punt de raaklijn f'(x) = 0 weergeeft, dan is het niet differentieerbaar in dat punt?
Nee, dat is onzin, f'(x) = 0 betekent dat de afgeleide f'(x) de waarde nul heeft of moet hebben voor een zekere waarde van x, en dat kan prima. Wat hier aan de hand is, is dat f'(x) gewoon geen waarde heeft en dus niet bestaat voor x = 0, oftewel f'(0) is niet gedefinieerd.
pi_144555439
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, die h kan ook negatief zijn, namelijk als het tweede punt (x+h, f(x+h)) links van het eerste punt (x, f(x)) ligt waarvoor we eigenlijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen bepalen door het tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt te laten bewegen. Anders gezegd, we moeten h zowel vanaf de negatieve kant als vanaf de positieve kant naar nul kunnen laten gaan en het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h moet dan tot één en dezelfde grenswaarde naderen, ongeacht of we nu van links of van rechts komen. En aan deze voorwaarde is bij de functie f(x) = √x niet voldaan in het punt x = 0 omdat f(h) niet bestaat voor h < 0. De functie f(x) = √x is dus niet differentieerbaar in het punt x = 0, oftwel f'(0) bestaat hier niet.

[..]

Nee, dat is onzin, f'(x) = 0 betekent dat de afgeleide f'(x) de waarde nul heeft of moet hebben voor een zekere waarde van x, en dat kan prima. Wat hier aan de hand is, is dat f'(x) gewoon geen waarde heeft en dus niet bestaat voor x = 0, oftewel f'(0) is niet gedefinieerd.
Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?
pi_144555474
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:23 schreef Super-B het volgende:

[..]

Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?
0^2 = 0...

Heb de rest van die post wel gelezen eigenlijk? :')
  maandag 15 september 2014 @ 17:26:46 #102
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144555555
..
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:23 schreef Super-B het volgende:

[..]

Omdat de wortel uit 0 niet gedefinieerd is?
De wortel uit 0 is nul.

De afgeleide in dat punt is een limiet, namelijk

\lim_{h\to0} \frac {sqrt{x+h} - sqrt{x}}{h}

En die bestaat niet bij x=0, want dat gaat naar oneindig.

Grafisch gezien: de raaklijk bij x=0 is verticaal, en heeft dus geen richtingscoëfficiënt.

[ Bericht 35% gewijzigd door Janneke141 op 15-09-2014 17:32:27 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144555804
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:

f(x) = 3x - x³
g(x) = x³

Compute ( f/g) (x)

Ik had

(3 -1³) / 1³ * (x)

Klopt dat?


Hetzelfde heb je dat je het volgende moet computen:

f(g(1)) en g(f(1)) , maar ik snap niet hoe ik dit moet benaderen?
  maandag 15 september 2014 @ 17:37:14 #104
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144555892
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:34 schreef RustCohle het volgende:
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:

f(x) = 3x - x³
g(x) = x³

Compute ( f/g) (x)

Ik had

(3 -1³) / 1³ * (x)

Klopt dat?
Dat is (f/g) (1), en zelfs dan klopt er nog weinig van.

Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144555965
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:37 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dat is (f/g) (1).

Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:37 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dat is (f/g) (1), en zelfs dan klopt er nog weinig van.

Bekijk de vraag nog eens, en eventueel voorbeelden uit het boek die erbij genoemd staan. Wat voor antwoord wordt er verwacht? Een getal, een functie, een olifant?
Het antwoord op de eerste computingsvraag is:

3/x² - 1

De vraag is:

Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ compute (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))
pi_144556080
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:39 schreef RustCohle het volgende:

[..]

[..]

Het antwoord op de eerste computingsvraag is:

3/x² - 1

De vraag is:

Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ compute (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))
(f/g)(x) = f(x)/g(x)

f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.

Kan je daar wat mee?
pi_144556119
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:42 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.

Kan je daar wat mee?
Ik dacht overigens dat

(f/g)(x) = f(x) / g was

want als je een getal met een breuk vermenigvuldigt, gaat dat direct naar de teller dacht ik :P

Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook. _O-
pi_144556168
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:43 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook. _O-
Hoezo, wat lukt er niet verder?

Als je een formule f(x) hebt en je wil f(3) uitrekenen, weet je wat je dan moet doen?
Nou dat doe je hier ook alleen dan met meerdere functies...
pi_144556190
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:43 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik dacht overigens dat

(f/g)(x) = f(x) / g was

want als je een getal met een breuk vermenigvuldigt, gaat dat direct naar de teller dacht ik :P

Nee niet echt. Want tot zover kwam ik dus ook. _O-
Weet je nou nog niet wat functies zijn?
pi_144556210
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:44 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Hoezo, wat lukt er niet verder?

Als je een formule f(x) hebt en je wil f(3) uitrekenen, weet je wat je dan moet doen?
Nou dat doe je hier ook alleen dan met meerdere functies...
Ik kom met die eerste uit op :

(3x - x³) / x³
  maandag 15 september 2014 @ 17:46:52 #111
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144556256
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:45 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik kom met die eerste uit op :

(3x - x³) / x³
Klopt. En dan:

(f/g) (x) = f(x)/g(x) =

\frac {3x - x^3}{x^3} = \frac {3x}{x^3} - \frac {x^3}{x^3} = \frac{3}{x^2} - 1

Leg ons eens uit waar die getallen '1' vandaan komen in de eerste uitwerking die je geeft.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144556261
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:45 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Weet je nou nog niet wat functies zijn?
Ik heb hem al door. Bedankt. :|W
pi_144556324
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:46 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Klopt. En dan:

(f/g) (x) = f(x)/g(x) =

\frac {3x - x^3}{x^3} = \frac {3x}{x^3} - \frac {x^3}{x^3} = \frac{3}{x^2} - 1

Leg ons eens uit waar die getallen '1' vandaan komen in de eerste uitwerking die je geeft.
(3x - x³) / x³

Alles delen door x³ zorgt voor het volgende:

-x³ / x³ = -1

3x / x³ = x2 -3x = 3/x²
pi_144556369
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:49 schreef RustCohle het volgende:
3x / x³ = x² -3x = 3/x²
Ik zie je hier nu nog dingen aan aanpassen, weet je niet hoe je met super en subscripts moet werken of meen je dit serieus?
  maandag 15 september 2014 @ 17:50:53 #115
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144556378
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:49 schreef RustCohle het volgende:

[..]

(3x - x³) / x³

Alles delen door x³ zorgt voor het volgende:

-x³ / x³ = -1

3x / x³ = x2 -3x = 3/x²
Dat bedoel ik niet:
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:34 schreef RustCohle het volgende:
Goedenavond, even een vraagstuk waarbij ik graag controle vanuit jullie kant zou willen:

f(x) = 3x - x³
g(x) = x³

Compute ( f/g) (x)

Ik had

(3 -1³) / 1³ * (x)

Klopt dat?


Wat doe je daar?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144556403
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:50 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dat bedoel ik niet:

[..]

Wat doe je daar?
Ik heb het anders benaderd, heel dom achteraf gezien. Ik denk dat ik het niet eens kan uitleggen ook.
pi_144556414
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:50 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Wat doe je daar?
1 uit de duim zuigen, invullen en er (x) achter zetten. :P
pi_144556423
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:50 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Ik zie je hier nu nog dingen aan aanpassen, weet je niet hoe je met super en subscripts moet werken of meen je dit serieus?
Foutje:

3x/x³ = 3/x² = x² -3
pi_144556447
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:52 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Foutje:

3x/x³ = 3/x² = x² -3
Nu doe je het weer...
pi_144556463
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:52 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Nu doe je het weer...
3x/x3 is 3/x2.

Lijkt me niet moeilijk.
pi_144556483
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:53 schreef netchip het volgende:

[..]

3x/x3 is 3/x2.

Lijkt me niet moeilijk.
En wat er achter staat?
pi_144556504
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:53 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

En wat er achter staat?
Waarachter?
pi_144556531
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:54 schreef netchip het volgende:

[..]

Waarachter?
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:52 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Foutje:

3x/x³ = 3/x² =-3
pi_144556577
"Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ bereken (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))"

1. f(x)/g(x) = (3x - x3)/x3 = \frac{3x-x^3}{x^3} = \frac{x(3-x^2)}{x^3} = \frac{3-x^2}{x^2}
2. g(1) = 1. f(g(1)) = f(1) = 3 - 1 = 2.
3. f(1) = 2. g(f(1)) = g(2) = 8.
pi_144556585
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:42 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

f(g(1)) is de waarde van g(1) in de functie f stoppen.

Kan je daar wat mee?
Dus f(g(1)) is

g(1) = 1³ = 1

en f(x) was = 3x - x³

dus

3 * 1 - 1³ = 2
pi_144556612


[ Bericht 61% gewijzigd door netchip op 15-09-2014 17:57:44 ]
pi_144556791
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:55 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

[..]

quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 17:56 schreef netchip het volgende:
"Als f(x) = 3x - x³ en g (x) = x³ bereken (f/g) (x), f(g(1)), en g(f(1))"

1. f(x)/g(x) = (3x - x3)/x3 = \frac{3x-x^3}{x^3} = \frac{x(3-x^2)}{x^3} = \frac{3-x^2}{x^2}
2. g(1) = 1. f(g(1)) = f(1) = 3 - 1 = 2.
3. f(1) = 2. g(f(1)) = g(2) = 8.
pi_144557394
Bepaal de inverse van:

y = √ (√x - 2)

Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2

Wat ik deed is

x = √(y-2)

maar weet niet zeker of dat klopt?
  maandag 15 september 2014 @ 18:23:56 #129
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144557457
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:

y = √ (√x - 2)

Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2

Wat ik deed is

x = √(y-2)

maar weet niet zeker of dat klopt?
Ik weet wel zeker dat dat niet klopt.

Begin eens eenvoudig: hoe bepaal je de inverse functie van

y = √x ?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144557460
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:

y = √ (√x - 2)

Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2

Wat ik deed is

x = √(y-2)

maar weet niet zeker of dat klopt?
En heb je ook nog stappen hoe je op dat antwoord kwam?

Je post hier vraag na vraag maar volgens mij lees je de antwoorden helemaal niet en leer je er ook geen zak van.
pi_144557488
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:24 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

En heb je ook nog stappen hoe je op dat antwoord kwam?

Je post hier vraag na vraag maar volgens mij lees je de antwoorden helemaal niet en leer je er ook geen zak van.
Ik lees de antwoorden, maar om er één voor één op te reageren zorgt voor 1000 posts.
pi_144557501
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:23 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Ik weet wel zeker dat dat niet klopt.

Begin eens eenvoudig: hoe bepaal je de inverse functie van

y = √x ?
y = √x

x = y²
pi_144557509
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:24 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik lees de antwoorden, maar om er één voor één op te reageren zorgt voor 1000 posts.
Je kan meerdere post quoten en in een post antwoorden.
  maandag 15 september 2014 @ 18:25:51 #134
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144557537
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:24 schreef RustCohle het volgende:

[..]

y = √x

x = y²
Welke stap zet je om dat te bereiken?

En kun je dan ook de inverse geven van

y = √(x-2) ?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144557570
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:

y = √ (√x - 2)

Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2

Wat ik deed is

x = √(y-2)

maar weet niet zeker of dat klopt?
y2 = √x - 2. y2 + 2 = √x. x = (y2 + 2)2. x = (y2 + 2)2 = y4 + 4y2 + 4.
pi_144557598
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:25 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Welke stap zet je om dat te bereiken?

En kun je dan ook de inverse geven van

y = √(x-2) ?
Het kwadrateren van beide kanten.

Er zit nog een wortel....

√(√x - 2)
pi_144557614
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:25 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Je kan meerdere post quoten en in een post antwoorden.
owja..
pi_144557618
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Het kwadrateren van beide kanten.

Er zit nog een wortel....

√(√x - 2)
Doet het eerste eens zonder die tweede wortel.
pi_144557625
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Het kwadrateren van beide kanten.

Er zit nog een wortel....

√(√x - 2)
Right, dan isoleer je de wortel die je overhoudt, en dan kwadrateer je toch gewoon nog een keer?
pi_144557666
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Doet het eerste eens zonder die tweede wortel.
Dan zou het

y = √(x-2)

y² = (x-2)

y² + 2 = x
pi_144557675
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:27 schreef netchip het volgende:

[..]

Right, dan isoleer je de wortel die je overhoudt, en dan kwadrateer je toch gewoon nog een keer?
Scherp..
pi_144557751
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:29 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Scherp..
Hoe bedoel je dit? :P Sarcastisch?
pi_144557761
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:31 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe bedoel je dit? :P Sarcastisch?
Nee serieus.
pi_144557852
Ik wil graag de diepgang meer weten en ik kan er niet echt makkelijk antwoord vinden op internet, maar waarom is x² niet inverteerbaar en hoe kun je een inverse vinden als je bijv weet dat f een restrictie heeft van [0, oneindig+ ) ?

y = x² --> √y = x lijkt mij en x² is ook one-to-one volgens de vertical test lijkt mij?


pi_144557927
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:35 schreef RustCohle het volgende:
Ik wil graag de diepgang meer weten en ik kan er niet echt makkelijk antwoord vinden op internet, maar waarom is x² niet inverteerbaar en hoe kun je een inverse vinden als je bijv weet dat f een restrictie heeft van [0, oneindig+ ) ?

y = x² --> √y = x lijkt mij en x² is ook one-to-one volgens de vertical test lijkt mij?

[ afbeelding ]
De wortel van y is alleen op [0, oneindig) gedefinieerd, omdat een wortel nooit een negatief getal oplevert. Er is namelijk geen enkel reeel (stom toetsenbord, geen trema's) getal dat zichzelf in het kwadraat een negatief getal levert.
pi_144557946
ln ( √(x+4) - 2) = y/4


hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4

Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
pi_144557966
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:22 schreef RustCohle het volgende:
Bepaal de inverse van:

y = √ (√x - 2)

Vond deze lastig met name omdat er dan naast de √x ook nog eens een hoofdwortel is van de √x - 2

Wat ik deed is

x = √(y-2)
Nee, je verbergt voor ons wat je deed en laat alleen maar zien wat je vond, en dat is ook nog eens fout.
quote:
maar weet niet zeker of dat klopt?
Even een tip om dit topic niet onnodig te vervuilen. Als je een inverse hebt bepaald (of een afgeleide), gebruik dan eerst WolframAlpha om je antwoord te controleren. Dan zie je meteen dat het fout is en hoef je dit topic niet te vervuilen met je bagger.
  maandag 15 september 2014 @ 18:40:06 #148
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144557991
Een functie f heeft alleen een inverse als geldt dat

f(a)=f(b) -> a=b

Oftewel: ieder getal in het bereik komt slechts één keer voor als functiewaarde van f

Omdat in het geval van de functie f(x) = x2 geldt dat

f(3) = f(-3) = 9, wordt niet aan deze eis voldaan en heeft f dus geen inverse.

Grafisch gezien: om de inverse functie te bepalen, kun je de grafiek spiegelen in de lijn y=x, en wil dat een functie zijn dan mag boven of onder iedere punt op de x-as, hooguit één punt van de grafiek liggen. Ook dat komt in dit geval niet goed.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
  maandag 15 september 2014 @ 18:41:13 #149
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144558031
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:38 schreef BroodjeKebab het volgende:
ln ( √(x+4) - 2) = y/4

hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4

Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
linkerkant = rechterkant

elinkerkant = erechterkant
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144558074
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:41 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

linkerkant = rechterkant

elinkerkant = erechterkant
Wat doe je dan precies om de linkerkant weg te krijgen?

vermenigvuldigen met e?

ln (blablabla) is in principe e blablabla dus?
pi_144558105
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:40 schreef Janneke141 het volgende:
Een functie f heeft alleen een inverse als geldt dat

f(a)=f(b) -> a=b

Oftewel: ieder getal in het bereik komt slechts één keer voor als functiewaarde van f

Omdat in het geval van de functie f(x) = x2 geldt dat

f(3) = f(-3) = 9, wordt niet aan deze eis voldaan en heeft f dus geen inverse.

Grafisch gezien: om de inverse functie te bepalen, kun je de grafiek spiegelen in de lijn y=x, en wil dat een functie zijn dan mag boven of onder iedere punt op de x-as, hooguit één punt van de grafiek liggen. Ook dat komt in dit geval niet goed.
Kort gezegd, omdat er twee soorten x'en zijn die een y opleveren is het niet inverteerbaar omdat als je y invoert je niet kunt nagaan wat x nou is?
  maandag 15 september 2014 @ 18:45:59 #152
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144558215
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:42 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Wat doe je dan precies om de linkerkant weg te krijgen?

vermenigvuldigen met e?

ln (blablabla) is in principe e blablabla dus?
Die was duidelijk een stapje te snel voor je, sorry.

Wat ik in je post heb doorgestreept is zeker niet waar.

De ln, of natuurlijke logaritme, is de inverse van de e-macht.

Dat betekent, om kort te gaan, dat eln x = ln ex = x

Omdat de e-macht een hele mooie, monotoon stijgende functie is, met heel R als domein, geldt mijn eerdere conclusie

elinkerkant = erechterkant

Meer info over e-machten en natuurlijke logaritmen is al meermalen in dit topic gepost, maar staat ook ongetwijfeld in je boek.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144558275
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:38 schreef BroodjeKebab het volgende:
ln ( √(x+4) - 2) = y/4

hoe kan dan √(x+4) - 2 = ey/4

Het verband van het vetgedrukte is mij niet helder.
De natuurlijke logaritme van een gegeven grootheid is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om die grootheid te verkrijgen.

Dus, de uitspraak

ln a = b

is per definitie equivalent met de uitspraak

eb = a

ofwel

a = eb

en evenzo is

ln(√(x+4) − 2) = y/4

equivalent met

√(x+4) − 2 = ey/4

Als je dit niet begrijpt, dan begrijp je gewoon niet wat een natuurlijke logaritme is (en nee, dat is niet domweg die knop met LN op je calculator).
pi_144558339
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:47 schreef Riparius het volgende:

[..]

De natuurlijke logaritme van een gegeven grootheid is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om die grootheid te verkrijgen.

Dus, de uitspraak

ln a = b

is per definitie equivalent met de uitspraak

eb = a

ofwel

a = eb

en evenzo is

ln(√(x+4) − 2) = y/4

equivalent met

√(x+4) − 2 = ey/4

Als je dit niet begrijpt, dan begrijp je gewoon niet wat een natuurlijke logaritme is (en nee, dat is niet domweg die knop met LN op je calculator).
Wat is een 'calculator' ?

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, je verbergt voor ons wat je deed en laat alleen maar zien wat je vond, en dat is ook nog eens fout.

[..]

Even een tip om dit topic niet onnodig te vervuilen. Als je een inverse hebt bepaald (of een afgeleide), gebruik dan eerst WolframAlpha om je antwoord te controleren. Dan zie je meteen dat het fout is en hoef je dit topic niet te vervuilen met je bagger.
Wolfram geeft mij geen toegang tot inverses i.v.m. het feit dat ik geen premium-user ben.
pi_144558428
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Die was duidelijk een stapje te snel voor je, sorry.

Wat ik in je post heb doorgestreept is zeker niet waar.

De ln, of natuurlijke logaritme, is de inverse van de e-macht.

Dat betekent, om kort te gaan, dat eln x = ln ex = x

Omdat de e-macht een hele mooie, monotoon stijgende functie is, met heel R als domein, geldt mijn eerdere conclusie

elinkerkant = erechterkant

Meer info over e-machten en natuurlijke logaritmen is al meermalen in dit topic gepost, maar staat ook ongetwijfeld in je boek.
Thankyou. Die van Riparius is mij wat meer duidelijker geworden hahah :P Maar dat komt omdat die het allemaal zo 'perfect' opschrijft wellicht. :P Wel bedankt voor je tijd. Ik begrijp de jouwe ook!
pi_144558489
Hey fok!ers,

Hoe bereken je de totaal aantal waardes die ¨op¨ een kegel liggen?
De kegel heeft als top de waarde 6 en loopt af in blokken met de waard 0,3 tot en met de waarde 4 (6 2/3 keer 0,3) dus.

Hoe kan ik nu het totaal berekenen van al deze waarden in de blokken die de waarde hoger dan 4 hebben? Dus de waardes van alle blokken optellen die tussen de waarde van 4 en 6 zitten in de vorm van een kegel.

Hopelijk is mijn beschrijving zo duidelijk.

Groeten
pi_144558522
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:49 schreef RustCohle het volgende:

Wolfram geeft mij geen toegang tot inverses i.v.m. het feit dat ik geen premium-user ben.
Jawel, die link van Riparius doet het alleen niet goed.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Inverse+Sqrt[Sqrt[x]-2]
pi_144558927
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:49 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Wat is een 'calculator' ?

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[..]

Wolfram geeft mij geen toegang tot inverses i.v.m. het feit dat ik geen premium-user ben.
Als je het linkje in mijn post aanklikt krijg je gewoon de inverse van je functie te zien, daarvoor heb je geen account nodig.

Je hebt wel een account nodig om uitwerkingen te zien te krijgen, maar daar heb je weinig aan. Machinale uitwerkingen zijn niet zelden onhandig of maken niet gebruik van gangbare herleidingen waardoor je er niets van leert. Gewoon pen en papier en je grijze massa gebruiken, je rekenregels en identiteiten kennen en deze consequent toepassen en veel oefenen is de enige manier om het te leren. Daarnaast is creativiteit belangrijk om te bedenken hoe je een vraagstuk aan gaat pakken. Uiteraard ook bij elk nieuw onderwerp wel een paar uitgewerkte voorbeelden bestuderen om inspiratie op te doen en handigheidjes (de tools of the trade) te leren kennen en in actie te zien, maar door alleen die uitwerkingen te herkauwen leer je het niet, je moet ook opgaven helemaal zelf uitwerken, zonder eerst in antwoordenboekjes te gluren en dat te imiteren en zonder hier om hints te vragen.
pi_144559049
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:53 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Jawel, die link van Riparius doet het alleen niet goed.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Inverse+Sqrt[Sqrt[x]-2]
Ik heb mijn link uiteraard getest vanaf FOK en die link werkt wel goed, althans in Firefox. Is waarschijnlijk een browser issue als die link bij jou niet goed werkt.
pi_144560443
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:52 schreef obsama het volgende:
Hey fok!ers,

Hoe bereken je de totaal aantal waardes die ¨op¨ een kegel liggen?

Je zult toch echt moeten leren om je vraagstelling begrijpelijker te presenteren, eventueel met een plaatje erbij, want hier kan niemand wat mee. Een kegel is een ruimtelijke figuur en daarop liggen geen 'waardes'.
quote:
De kegel heeft als top de waarde 6 en loopt af in blokken met de waarde 0,3 tot en met de waarde 4 (6 2/3 keer 0,3) dus.
Dat kan niet want 2 is geen geheel veelvoud van 0,3.
quote:
Hopelijk is mijn beschrijving zo duidelijk.
Nee.
quote:
Groeten
Niet de groeten doen, dat doe je maar bij Piet Paulusma.
pi_144560833
Volgens mij begint Riparius chagrijnig te worden :')

En een functie heeft een inverse als en slechts als deze surjectief en injectief is.
pi_144560983
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 19:49 schreef Novermars het volgende:
Volgens mij begint Riparius chagrijnig te worden :')

En een functie heeft een inverse als en slechts als deze surjectief en injectief is.
Ik vind het niet zo raar dat Riparius chagrijnig wordt. Als ze hier nu eerst eens kijken voordat ze vragen.

Zou je daar wat meer over willen vertellen? :) Wat houden surjectiviteit en injectiviteit in?

[ Bericht 5% gewijzigd door netchip op 15-09-2014 19:57:13 ]
pi_144561161
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 19:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb mijn link uiteraard getest vanaf FOK en die link werkt wel goed, althans in Firefox. Is waarschijnlijk een browser issue als die link bij jou niet goed werkt.
Excuses, lijkt inderdaad een probleem in mijn browser te zijn.
  maandag 15 september 2014 @ 20:00:57 #164
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144561352
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 19:52 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik vind het niet zo raar dat Riparius chagrijnig wordt. Als ze hier nu eerst eens kijken voordat ze vragen.

Zou je daar wat meer over willen vertellen? :) Wat houden surjectiviteit en injectiviteit in?
Surjectiviteit: Bij iedere waarde van y hoort minstens een x. Injectiviteit: Bij iedere y hoort hooguit een x.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144561372
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:00 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Surjectiviteit: Bij iedere waarde van y hoort minstens een x. Injectiviteit: Bij iedere y hoort hooguit een x.
Oh OK, duidelijk zo! Dank je! :)
pi_144561407
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:00 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Surjectiviteit: Bij iedere waarde van y hoort minstens een x. Injectiviteit: Bij iedere y hoort hooguit een x.
En als een functie zowel injectief als surjectief is dan heet deze bijectief!
pi_144561465
En twee verzamelingen hebben dezelfde 'grootte' (kardinaliteit) als er een bijectie bestaat tussen de verzamelingen!
pi_144561591
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:03 schreef Novermars het volgende:
En twee verzamelingen hebben dezelfde 'grootte' (kardinaliteit) als er een bijectie bestaat tussen de verzamelingen!
Dat is best logisch, want als elke x->y leidt, en elke y->x, dan weet je dus zeker dat de verzamelingen even groot zijn. Hoe is dit te bewijzen, trouwens?

Klopt het als ik zeg: y = 20, hoort bij x = 5, dan hoort x = 5 bij y = 20? Is dat bijectiviteit?
pi_144561670
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:07 schreef netchip het volgende:

[..]

Dat is best logisch, want als elke x->y leidt, en elke y->x, dan weet je dus zeker dat de verzamelingen even groot zijn.

Klopt het als ik zeg: y = 20, hoort bij x = 5, dan hoort x = 5 bij y = 20? Is dat bijectiviteit?
Wat als je de functie gedefinieerd door f(x)=x^2 gebruikt? Dan hoort bij y=20 x=wortel(20) en x=-wortel(20).
pi_144561735
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:07 schreef netchip het volgende:

[..]

Dat is best logisch, want als elke x->y leidt, en elke y->x, dan weet je dus zeker dat de verzamelingen even groot zijn. Hoe is dit te bewijzen, trouwens?

Klopt het als ik zeg: y = 20, hoort bij x = 5, dan hoort x = 5 bij y = 20? Is dat bijectiviteit?
En dat is een definitie, dus die kan je niet bewijzen! Enkel uitleggen waarom deze definitie nuttig is.

In dezelfde trend, zijn er meer integers of natuurlijke getallen?
pi_144561787
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:09 schreef Novermars het volgende:

[..]

Wat als je de functie gedefinieerd door f(x)=x^2 gebruikt? Dan hoort bij y=20 x=wortel(20) en x=-wortel(20).
Bij elke x horen dan twee y-waardes, dus deze functie is wel surjectief, maar niet injectief, en als gevolg daarvan, niet bijectief. :)
pi_144561858
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:10 schreef Novermars het volgende:

[..]

En dat is een definitie, dus die kan je niet bewijzen! Enkel uitleggen waarom deze definitie nuttig is.

In dezelfde trend, zijn er meer integers of natuurlijke getallen?
Integers, want de natuurlijke getallen gaan van (0, oneindig), met als voorwaarde dat het een geheel getal is, en de integers gaan van (-oneindig, oneindig), met dezelfde voorwaarde.
pi_144561993
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:13 schreef netchip het volgende:

[..]

Integers, want de natuurlijke getallen gaan van (0, oneindig), met als voorwaarde dat het een geheel getal is, en de integers gaan van (-oneindig, oneindig), met dezelfde voorwaarde.
Of 0 wel of niet een natuurlijk getal is, is altijd een punt van discussie. Maar even los daarvan begrijp je kennelijk niet waar Novermars op doelt.
pi_144562089
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:10 schreef Novermars het volgende:

[..]

En dat is een definitie, dus die kan je niet bewijzen! Enkel uitleggen waarom deze definitie nuttig is.
Vaak kun je meerdere definities geven, en dan moet je bewijzen dat die definities equivalent zijn. En dan wordt een definitie opeens een stelling ...
quote:
In dezelfde trend trant, zijn er meer integers of natuurlijke getallen?
pi_144562191
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Of 0 wel of niet een natuurlijk getal is, is altijd een punt van discussie. Maar even los daarvan begrijp je kennelijk niet waar Novermars op doelt.
Integers zijn toch alle gehele getallen, en de natuurlijke getallen zijn toch alle positieve gehele getallen?
pi_144562521
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:20 schreef netchip het volgende:

[..]

Integers zijn toch alle gehele getallen, en de natuurlijke getallen zijn toch alle positieve gehele getallen?
Ja, en dan is 0 geen natuurlijk getal, terwijl je hierboven 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent, dus je bent inconsistent. Maar wat Novermars je kennelijk wil laten inzien is dat N en Z dezelfde kardinaliteit hebben. Je kunt een bijectieve afbeelding maken tussen N en Z zodat ze dus beide 'evenveel' elementen hebben, en dat is in strijd met ons 'gezonde verstand' dat er 'meer' gehele getallen dan natuurlijke getallen zijn. Ons 'gezonde verstand' is dus kennelijk niet zo gezond ...

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-09-2014 20:11:00 ]
pi_144562758
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, en dan is 0 geen natuurliijk getal, terwijl je hierboven 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent, dus je bent inconsistent. Maar wat Novermars je kennelijk wil laten inzien is dat N en Z dezelfde kardinaliteit hebben. Je kunt een bijectieve afbeelding maken tussen N en Z zodat ze dus beide 'evenveel' elementen hebben, en dat is in strijd met ons 'gezonde verstand' dat er 'meer' gehele getallen dan natuurlijke getallen zijn. Ons 'gezonde verstand' is dus kennelijk niet zo gezond ...
Dit volg ik niet helemaal. Stel ik neem het getal -5 uit Z, welk element uit N zou daar dan bij horen?
pi_144562947
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:32 schreef netchip het volgende:

[..]

Dit volg ik niet helemaal. Stel ik neem het getal -5 uit Z, welk element uit N zou daar dan bij horen?
Dat mag je zelf bedenken. Maak nu eerst maar eens een bijectieve afbeelding tussen N en Z.
pi_144563149
Vraagstuk:

Bepaal de inverse functie van:

y = 5e 3x-2

Mijn antwoord tot dusverre:

5e 3x-2 = y

e 3x-2 = y/5

Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ln x = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?
pi_144563309
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:

Bepaal de inverse functie van:

y = 5e 3x-2

Mijn antwoord tot dusverre:

5e 3x-2 = y

e 3x-2 = y/5

Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ln x = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?
Dus dan zou ik denken dat de volgende tussenstap is:

3x-2 = ln y/5

3x = (2 + ln y/5)

Zit ik goed?
pi_144563322
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:36 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat mag je zelf bedenken. Maak nu eerst maar eens een bijectieve afbeelding tussen N en Z.
Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.
pi_144563338
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dus dan zou ik denken dat de volgende tussenstap is:

3x-2 = ln y/5
Dat klopt :)
pi_144563376
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:

Bepaal de inverse functie van:

y = 5e 3x-2

Mijn antwoord tot dusverre:

5e 3x-2 = y

e 3x-2 = y/5

Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ln x = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?
Je zit op de goede weg, volgens mij.
pi_144563467
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:39 schreef Super-B het volgende:
Vraagstuk:

Bepaal de inverse functie van:

y = 5e 3x-2

Mijn antwoord tot dusverre:

5e 3x-2 = y

e 3x-2 = y/5

Hier loop ik vast.. door het getal van Euler. Ik weet wel dat e ln x = x dus dan zou er iets met ln moeten gebeuren neem ik aan?
Daar gaat ie weer: de natuurlijke logaritme van een getal is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te krijgen.

Nu heb je

e3x−2 = y/5

dus kennelijk is (hier) 3x − 2 de exponent waartoe we e moeten verheffen om y/5 te krijgen, oftewel 3x − 2 is de natuurlijke logaritme van y/5, dus

3x − 2 = ln(y/5)

Nu zelf maar even verder gaan.
pi_144564074
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef netchip het volgende:

[..]

Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.
Dan heb je f(−x) = f(x) voor elke x ∈ Z, dus zo krijg je geen bijectie. Ga hier maar eens goed over nadenken.
pi_144564413
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Daar gaat ie weer: de natuurlijke logaritme van een getal is per definitie de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te krijgen.

Nu heb je

e3x−2 = y/5

dus kennelijk is (hier) 3x − 2 de exponent waartoe we e moeten verheffen om y/5 te krijgen, oftewel 3x − 2 is de natuurlijke logaritme van y/5, dus

3x − 2 = ln(y/5)

Nu zelf maar even verder gaan.
3x = ln(y/5) + 2

x = [ln(y/5)+2] / 3

Is dit hem?
pi_144564804
''The following functions are strictly increasing in their domains. Fin the domains of their inverses and formulas for the inverses''

a) f(x) = 3 + ln(ex - 2 , x > ln 2

b) f(x) = a / (e-cx + a) , a and c positive, x is a element of (-oneindig, oneindig+)

Ik weet niet echt wat ik hiermee aan moet, ondanks dat het mij eerder gelukt is om de inverses met succes te bepalen. Dit behoort gelukkig wel tot de moeilijkste opgave van het hoofdstuk, dus het is niet echt een ramp dat ik vastloop. Ik heb een gevoel dat het vetgedrukte mij zou 'moeten' helpen, maar heb geen idee op welke wijze.

P.S; Ik weet dat 'strictly increasing' iets met de afgeleide te maken heeft, maar deze opgave behoort tot een hoofdstuk vóór het hoofdstuk dat over de afgeleide/differentiatie gaat.. :P
pi_144565429
Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:



Antwoord:



Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..


En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:

pi_144566118
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 21:21 schreef BroodjeKebab het volgende:
Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:

[ afbeelding ]

Antwoord:

[ afbeelding ]

Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..

En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:

[ afbeelding ]
Bij de tweede opgave moet je de rekenregel ln(ab) = b*ln(a) gebruiken. Kom je er dan wel uit?
pi_144566840
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 21:21 schreef BroodjeKebab het volgende:
Paar vragen waarvan ik alleen een klein beetje hulp bij nodig heb:

[ afbeelding ]

Antwoord:

[ afbeelding ]

Het blauwe gedeelte snap ik dus niet.. Hoe kan je dat stuk met ln doen? Er was een soort regel om dat te kunnen doen wanneer ln > 0 is en < 0 en ln < 1 en > 0 is ofzo..

Bestudeer eerst deze post van mij eens goed. Dat is een vergelijkbare opgave waarbij met tekenschema's wordt gewerkt om het tekenverloop van een uitdrukking te bepalen.

De exponentiële functie is strict monotoon stijgend op R, dus als je weet dat 2ex − 4 = 0 voor x = ln 2, dan weet je ook dat 2ex − 4 < 0 voor x < ln 2 en dat 2ex − 4 > 0 voor x > ln 2.
quote:
En tenslotte begrijp ik de overgang van de n/a laatste stap naar de laatste stappen niet van de volgende opgave:

[ afbeelding ]
Hier wordt de rekenregel

ln(ap) = p·ln a

gebruikt (geldig voor a ∈ R+ en p ∈ R). Deze rekenregel moet je gewoon kennen en had je hier ook moeten herkennen. Oefening: bewijs deze rekenregel aan de hand van rekenregels voor exponenten, dan vergeet je het nooit meer.

Na herleiding heb je hier een vierkantsvergelijking in ln x. Misschien zie je beter hoe het verder gaat met oplossen als je even ln x = z substitueert, dan komt er 6z·ln 2 = 3z².
pi_144567863
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 21:33 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Bij de tweede opgave moet je de rekenregel ln(ab) = b*ln(a) gebruiken. Kom je er dan wel uit?
ja dat had ik ook, maar ik bedoelde dat laatste stuk met het aftrekken (-) enzo.
pi_144567882
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 21:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bestudeer eerst deze post van mij eens goed. Dat is een vergelijkbare opgave waarbij met tekenschema's wordt gewerkt om het tekenverloop van een uitdrukking te bepalen.

De exponentiële functie is strict monotoon stijgend op R, dus als je weet dat 2ex − 4 = 0 voor x = ln 2, dan weet je ook dat 2ex − 4 < 0 voor x < ln 2 en dat 2ex − 4 > 0 voor x > ln 2.

[..]

Hier wordt de rekenregel

ln(ap) = p·ln a

gebruikt (geldig voor a ∈ R+ en p ∈ R). Deze rekenregel moet je gewoon kennen en had je hier ook moeten herkennen. Oefening: bewijs deze rekenregel aan de hand van rekenregels voor exponenten, dan vergeet je het nooit meer.

Na herleiding heb je hier een vierkantsvergelijking in ln x. Misschien zie je beter hoe het verder gaat met oplossen als je even ln x = z substitueert, dan komt er 6z·ln 2 = 3z².

die regel ken ik, maar ik bedoel het laatste stuk met het aftrekken.
pi_144569383
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 21:11 schreef Super-B het volgende:
''The following functions are strictly increasing in their domains. Fin the domains of their inverses and formulas for the inverses''

a) f(x) = 3 + ln(ex - 2) , x > ln 2

Zorgvuldiger werken, je was een haakje vergeten. De (natuurlijke) logaritme is alleen gedefinieerd voor positieve reële getallen, zodat ex − 2 > 0 moet zijn en dus inderdaad x > ln 2. Het domein van deze functie is dus het interval (ln 2, ∞). De (natuurlijke) logaritme neemt alle reële waarden aan en dus neemt deze functie ook alle reële waarden aan als we x het domein (ln 2, ∞) laten doorlopen. Het bereik van deze functie is dus R, en deze functie is strict monotoon stijgend. We hebben dus een inverse met als domein R en als bereik (ln 2, ∞) en deze inverse is

f−1(x) = ln(ex−3 + 2)

Zie hier.
quote:
b) f(x) = a / (e-cx + a) , a and c positive, x is a element of (-oneindig, oneindig+)
Hier moet je even zien dat e−cx altijd positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel, en daarmee de functiewaarde, altijd kleiner is dan 1. De functiewaarde is bovendien altijd positief. Als we x steeds negatiever laten worden, dan neemt de waarde van e−cx onbeperkt toe, aangezien c positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel en daarmee de functiewaarde dus tot nul nadert. Laten we daarentegen x steeds positiever worden, dan nadert e−cx tot nul en de waarde van de breuk als geheel oftewel de functiewaarde nadert dan tot 1. Kennelijk is het bereik van de functie dus het open interval (0, 1) en is de functie strict monotoon stijgend op R. De functie is daarmee inverteerbaar, en de inverse functie heeft het open interval (0, 1) als domein en R als bereik. Deze inverse is

f−1(x) = (−1/c)·ln(a/x − a)

quote:
Ik weet niet echt wat ik hiermee aan moet, ondanks dat het mij eerder gelukt is om de inverses met succes te bepalen. Dit behoort gelukkig wel tot de moeilijkste opgave van het hoofdstuk, dus het is niet echt een ramp dat ik vastloop. Ik heb een gevoel dat het vetgedrukte mij zou 'moeten' helpen, maar heb geen idee op welke wijze.

P.S; Ik weet dat 'strictly increasing' iets met de afgeleide te maken heeft, maar deze opgave behoort tot een hoofdstuk vóór het hoofdstuk dat over de afgeleide/differentiatie gaat.. :P
Strictly increasing betekent strict monotoon stijgend. Een reële functie f van een reële variabele noemen we strict monotoon stijgend als voor elk tweetal elementen x1 en x2 uit het domein van de functie geldt dat f(x1) < f(x2) indien x1 < x2. Dit heeft an sich niets met differentiaalrekening te maken, een functie hoeft niet eens differentieerbaar te zijn om toch strict monotoon stijgend te kunnen zijn.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-09-2014 14:12:19 ]
pi_144570455
quote:
1s.gif Op maandag 15 september 2014 22:05 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

die regel ken ik, maar ik bedoel het laatste stuk met het aftrekken.
We hebben

6·ln(x)·ln(2) = 3·ln(x)·ln(x)

Nu van beide leden 3·ln(x)·ln(x) aftrekken en we krijgen

6·ln(x)·ln(2) − 3·ln(x)·ln(x) = 0

Nu zien we dat beide termen in het linkerlid een factor 3 en tevens een factor ln(x) bevatten, zodat we een factor 3·ln(x) buiten haakjes kunnen halen. Dit geeft

3·ln(x)·(2·ln(2) − ln(x)) = 0

Nu kan een product van twee factoren uitsluitend nul zijn als (tenminste) één van beide factoren zelf nul is, en dus moet gelden

3·ln(x) = 0 ∨ 2·ln(2) − ln(x) = 0

en dus

ln(x) = 0 ∨ ln(x) = 2·ln(2)

Maar nu is 0 = ln(1) en ook is 2·ln(2) = ln(2²) = ln(4), dus krijgen we

ln(x) = ln(1) ∨ ln(x) = ln(4)

zodat

x = 1 ∨ x = 4.

Tot slot nog even dit. Je kunt deze vergelijking ook heel anders oplossen. De oorspronkelijke vergelijking luidt

26·ln(x) = x3·ln(x)

waarvoor we kunnen schrijven

(26)ln(x) = (x3)ln(x)

en aan deze voorwaarde kan alleen voldaan worden als ln(x) = 0 of als 26 gelijk is aan x3. Ook is 26 = (22)3 = 43. Dus krijgen we

ln(x) = 0 ∨ x3 = 43

x = 1 ∨ x = 4

Simpel toch?
pi_144570645
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 20:43 schreef netchip het volgende:

[..]

Een voorbeeld zou zijn, het getal 10 (een willekeurig positief getal gekozen)? 10 ligt in de verzameling van de natuurlijke getallen, en in de verzameling van de gehele getallen.Stel f(x) geeft het verband aan tussen Z en N: f(x) = |x|.
Voordat je een expliciete functie probeert te maken, denk er eens over na hoe je elementen van N en Z kan rangschikken. Om een voorbeeld te geven van even en oneven getallen (en daarmee bewijzen dat er even veel even als oneven getallen zijn): (1,2) (3,4) (5,6) .... (n,n+1) ....

Kan je zien waarom dit een bijectie is?
pi_144570756
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 22:55 schreef Novermars het volgende:

[..]

Voordat je een expliciete functie probeert te maken, denk er eens over na hoe je elementen van N en Z kan rangschikken. Om een voorbeeld te geven van even en oneven getallen (en daarmee bewijzen dat er even veel even als oneven getallen zijn): (1,2) (3,4) (5,6) .... (n,n+1) ....

Kan je zien waarom dit een bijectie is?
Ik kijk hier morgen even naar, als je het niet erg vindt. ;)
pi_144576978
Hoe kan hrt bereik (ln 2, ∞) zijn? Dat is toch alleen het domein en het bereik is dan
(0, ∞) ?


Ik snap overigens niet hoe je tot de inverse komt en waarvoor de f -1 staat.. ik denk daarbij gelijk aan een deling van 1/f.


Die laatste vraagstuk snap ik ook niet.


quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 22:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Zorgvuldiger werken, je was een haakje vegeten. De (natuurlijke) logaritme is alleen gedefinieerd voor positieve reële getallen, zodat ex − 2 > 0 moet zijn en dus inderdaad x > ln 2. Het domein van deze functie is dus het interval (ln 2, ∞). De (natuurlijke) logaritme neemt alle reële waarden aan en dus neemt deze functie ook alle reële waarden aan als we x het domein (ln 2, ∞) laten doorlopen. Het bereik van deze functie is dus R, en deze functie is strict monotoon stijgend. We hebben dus een inverse met als domein R en als bereik (ln 2, ∞) en deze inverse is

f−1(x) = ln(ex−3 + 2)

Zie hier.

[..]

Hier moet je even zien dat e−cx altijd positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel, en daarmee de functiewaarde, altijd kleiner is dan 1. De functiewaarde is bovendien altijd positief. Als we x steeds negatiever laten worden, dan neemt de waarde van e−cx onbeperkt toe, aangezien c positief is, zodat de waarde van de breuk als geheel en daarmee de functiewaarde dus tot nul nadert. Laten we daarentegen x steeds positiever worden, dan nadert e−cx tot nul en de waarde van de breuk als geheel oftewel de functiewaarde nadert dan tot 1. Kennelijk is het bereik van de functie dus het open interval (0, 1) en is de functie strict monotoon stijgend op R. De functie is daarmee inverteerbaar, en de inverse functie heeft het open interval (0, 1) als domein en R als bereik. Deze inverse is

f−1(x) = (−1/c)·ln(a/x − a)

[..]

Strictly increasing betekent strict monotoon stijgend. Een reële functie f van een reële variabele noemen we strict monotoon stijgend als voor elk tweetal elementen x1 en x2 uit het domein van de functie geldt dat f(x1) < f(x2) indien x1 < x2. Dit heeft an sich niets met differentiaalrekening te maken, een functie hoeft niet eens differentieerbaar te zijn om toch strict monotoon stijgend te kunnen zijn.


[ Bericht 0% gewijzigd door Super-B op 16-09-2014 08:43:47 ]
pi_144577236
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 22:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

We hebben

6·ln(x)·ln(2) = 3·ln(x)·ln(x)

Nu van beide leden 3·ln(x)·ln(x) aftrekken en we krijgen

6·ln(x)·ln(2) − 3·ln(x)·ln(x) = 0

Nu zien we dat beide termen in het linkerlid een factor 3 en tevens een factor ln(x) bevatten, zodat we een factor 3·ln(x) buiten haakjes kunnen halen. Dit geeft

3·ln(x)·(2·ln(2) − ln(x)) = 0


Nu kan een product van twee factoren uitsluitend nul zijn als (tenminste) één van beide factoren zelf nul is, en dus moet gelden

3·ln(x) = 0 ∨ 2·ln(2) − ln(x) = 0

en dus

ln(x) = 0 ∨ ln(x) = 2·ln(2)

Maar nu is 0 = ln(1) en ook is 2·ln(2) = ln(2²) = ln(4), dus krijgen we

ln(x) = ln(1) ∨ ln(x) = ln(4)

zodat

x = 1 ∨ x = 4.

Tot slot nog even dit. Je kunt deze vergelijking ook heel anders oplossen. De oorspronkelijke vergelijking luidt

26·ln(x) = x3·ln(x)

waarvoor we kunnen schrijven

(26)ln(x) = (x3)ln(x)

en aan deze voorwaarde kan alleen voldaan worden als ln(x) = 0 of als 26 gelijk is aan x3. Ook is 26 = (22)3 = 43. Dus krijgen we

ln(x) = 0 ∨ x3 = 43

x = 1 ∨ x = 4

Simpel toch?
Ik snap het vetgedrukte niet. :(
pi_144577531
quote:
1s.gif Op dinsdag 16 september 2014 08:46 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ik snap het vetgedrukte niet. :(
Wat snap je niet aan?
6 = 2 . 3
ab + ac = a(b + c)

[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 16-09-2014 14:13:36 ]
pi_144587837
quote:
1s.gif Op dinsdag 16 september 2014 08:26 schreef Super-B het volgende:
Hoe kan het bereik (ln 2, ∞) zijn? Dat is toch alleen het domein en het bereik is dan
(0, ∞) ?
Het domein van de gegeven functie f(x) = 3 + ln(ex − 2) is het interval (ln 2, ∞) zoals de toevoeging x > ln 2 bij de opgave ook al suggereert. Maar ik heb duidelijk aangegeven dat de logaritme alle reële waarden aanneemt als we het getal waarvan we de logaritme nemen alle positieve reële waarden aan laten nemen. En dat is het geval voor (ex − 2) als we x het interval (ln 2, ∞) laten doorlopen. En dus neemt ln(ex − 2) en daarmee ook f(x) = 3 + ln(ex − 2) alle reële waarden aan. Het bereik van deze functie is dus wel degelijk R, en niet het interval (0, ∞).

Verder moet je natuurlijk in de gaten houden dat bij een inverteerbare functie het domein het bereik is van de inverse functie en dat het bereik van de functie het domein is van de inverse functie. Dus, als de functie g de inverse is van een functie f, dan is Dg = Bf en Bg = Df. En bij deze opgave werd gevraagd naar het domein van de inverse functie, niet naar het domein van de gegeven functie.
quote:
Ik snap overigens niet hoe je tot de inverse komt en waarvoor de f -1 staat.. ik denk daarbij gelijk aan een deling van 1/f.
Ik heb de herleidingen van de inversen achterwege gelaten omdat je zelf had aangegeven dat je nu in staat was het functievoorschrift van de inverse van een gegeven functie te bepalen.

De notatie f−1 is een traditionele notatie voor de inverse functie van een gegeven functie f. Als je het linkje naar WolframAlpha had aangeklikt dan had je gezien dat deze notatie daar ook wordt gebruikt. Het is inderdaad een ongelukkige notatie omdat f−1 gemakkelijk kan worden aangezien voor een multiplicatieve inverse 1/f van een grootheid (niet een functie) f, maar het is nu eenmaal een gebruikelijke en algemeen aanvaarde notatie. Eventueel zou je ook de notatie finv voor de inverse functie van een functie f kunnen gebruiken. Ik heb recent nog iets over deze notatie geschreven, zie hier en eventueel hier. Laat nu zelf maar even zien hoe je het functievoorschrift voor de inverse functie van de functie f(x) = 3 + ln(ex − 2) hebt proberen te bepalen en waarom dit niet lukte. Je kunt het best beginnen met de betrekking

y = 3 + ln(ex − 2)

Dit is de vergelijking van de grafiek van de gegeven functie f. De grafiek van de inverse van f wordt verkregen door de grafiek van f te spiegelen in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in deze lijn gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x) en als het punt (x, y) op de grafiek van f ligt, dan is y = f(x) en dus x = f−1(y) of, zo je wil, x = finv(y), zodat het punt (y, x) op de grafiek van de inverse van f ligt. We verkrijgen dus een vergelijking van het spiegelbeeld van de grafiek van f door in de vergelijking van de grafiek van f de variabelen x en y met elkaar te verwisselen, en dat betekent dat

x = 3 + ln(ey − 2)

een vergelijking is van het spiegelbeeld van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Is nu de functie inverteerbaar, en dat is hier het geval, dan is deze betrekking een vergelijking van de grafiek van de inverse functie en dan kunnen we uit deze betrekking y oplossen om zo het functievoorschrift voor de inverse functie te verkrijgen.

quote:
Die Dat laatste vraagstuk snap ik ook niet.

[..]

Ik vind het wat te gemakkelijk om alleen maar te zeggen dat je het niet snapt nadat ik het volledig heb uitgelegd, afgezien van het achterwege laten van de herleiding van het functievoorschrift van de inverse functie (waarvan je had aangegeven dat je dit nu zelf kon). Geef precies aan wat je niet begrijpt, en waarom niet.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 16-09-2014 18:22:46 ]
pi_144592761
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 18:38 schreef netchip het volgende:

[..]

De wortel van y is alleen op [0, oneindig) gedefinieerd, omdat een wortel nooit een negatief getal oplevert. Er is namelijk geen enkel reeel (stom toetsenbord, geen trema's) getal dat zichzelf in het kwadraat een negatief getal levert.
Wat je hier zegt klopt niet, het causale verband dat je meent te zien is er niet. Een vierkantswortel uit een niet-negatief reëel getal is niet negatief omdat we hebben afgesproken dat √a voor a ≥ 0 het niet-negatieve reële getal is waarvan het kwadraat a is. Dat er geen reële getallen zijn waarvan het kwadraat een negatief reëel getal is, is een andere kwestie. Je uitspraak was wel correct geweest als je had gezegd dat de wortel van y binnen R alleen op [0, ∞) is gedefinieerd omdat een kwadraat van een reëel getal nooit negatief is. Je bent overigens niet de enige die er dit soort kromme redenaties op na houdt, zie ook hier.

O ja, en stomme toetsenborden bestaan niet, de personen die er achter zitten daarentegen ... Zet je toetsenbordindeling op VS internationaal en schakel alle hotkeys voor wisseling van toetsenbordindelingen uit, dan zal zelfs een gorilla met ADHD en Parkinson er nooit meer in slagen via het toetsenbord per ongeluk een andere toetsenbordindeling te selecteren.
pi_144593350
quote:
0s.gif Op dinsdag 16 september 2014 17:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wat je hier zegt klopt niet, het causale verband dat je meent te zien is er niet. Een vierkantswortel uit een niet-negatief reëel getal is niet negatief omdat we hebben afgesproken dat √a voor a ≥ 0 het niet-negatieve reële getal is waarvan het kwadraat a is. Dat er geen reële getallen zijn waarvan het kwadraat een negatief reëel getal is, is een andere kwestie. Je uitspraak was wel correct geweest als je had gezegd dat de wortel van y binnen R alleen op [0, ∞) is gedefinieerd omdat een kwadraat van een reëel getal nooit negatief is. Je bent overigens niet de enige die er dit soort kromme redenaties op na houdt, zie ook hier.

O ja, en stomme toetsenborden bestaan niet, de personen die er achter zitten daarentegen ... Zet je toetsenbordindeling op VS internationaal en schakel alle hotkeys voor wisseling van toetsenbordindelingen uit, dan zal zelfs een gorilla met ADHD en Parkinson er nooit meer in slagen via het toetsenbord per ongeluk een andere toetsenbordindeling te selecteren.
Ah, ik zie het nu. Ik heb de redenatie om gedraaid. Dank je dat je er me op wijst! :)

Ik gebruik Arch Linux met als desktop environment GNOME, en ik weet eerlijk gezegd niet waar ik mijn toetsenbordindeling kan veranderen. :P Zou ik op moeten zoeken.
pi_144594323
quote:
0s.gif Op maandag 15 september 2014 22:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

We hebben

6·ln(x)·ln(2) = 3·ln(x)·ln(x)

Nu van beide leden 3·ln(x)·ln(x) aftrekken en we krijgen

6·ln(x)·ln(2) − 3·ln(x)·ln(x) = 0

Nu zien we dat beide termen in het linkerlid een factor 3 en tevens een factor ln(x) bevatten, zodat we een factor 3·ln(x) buiten haakjes kunnen halen. Dit geeft

3·ln(x)· (2·ln(2) − ln(x)) = 0

Nu kan een product van twee factoren uitsluitend nul zijn als (tenminste) één van beide factoren zelf nul is, en dus moet gelden

3·ln(x) = 0 ∨ 2·ln(2) − ln(x) = 0

en dus

ln(x) = 0 ∨ ln(x) = 2·ln(2)

Maar nu is 0 = ln(1) en ook is 2·ln(2) = ln(2²) = ln(4), dus krijgen we

ln(x) = ln(1) ∨ ln(x) = ln(4)

zodat

x = 1 ∨ x = 4.

Tot slot nog even dit. Je kunt deze vergelijking ook heel anders oplossen. De oorspronkelijke vergelijking luidt

26·ln(x) = x3·ln(x)

waarvoor we kunnen schrijven

(26)ln(x) = (x3)ln(x)

en aan deze voorwaarde kan alleen voldaan worden als ln(x) = 0 of als 26 gelijk is aan x3. Ook is 26 = (22)3 = 43. Dus krijgen we

ln(x) = 0 ∨ x3 = 43

x = 1 ∨ x = 4

Simpel toch?
3ln(x) * ln(x) wordt dat dan niet gewoon 3ln(x)^2? Of ben ik stom bezig?
  dinsdag 16 september 2014 @ 18:51:51 #204
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144594473
quote:
1s.gif Op dinsdag 16 september 2014 18:47 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

3ln(x) * ln(x) wordt dat dan niet gewoon 3ln(x)^2? Of ben ik stom bezig?
Dat wordt het alleen als je de haken goed zet: 3ln(x) * ln(x) = 3 [ln(x)] ^2

Maar veel belangrijker: probeer de lijn in het verhaal van Riparius te volgen. We zoeken oplossingen voor een vergelijking, in dit geval een vergelijking die eindigt in =0. De gangbare route is dan om de linkerzijde te ontbinden in een product van factoren, om daarna de factoren afzonderlijk gelijk aan 0 te stellen.

Immers: als een product gelijk aan nul is, moet minstens één van beide factoren gelijk aan nul zijn.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144594475
quote:
0s.gif Op dinsdag 16 september 2014 15:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het domein van de gegeven functie f(x) = 3 + ln(ex − 2) is het interval (ln 2, ∞) zoals de toevoeging x > ln 2 bij de opgave ook al suggereert. Maar ik heb duidelijk aangegeven dat de logaritme alle reële waarden aanneemt als we het getal waarvan we de logaritme nemen alle positieve reële waarden aan laten nemen. En dat is het geval voor (ex − 2) als we x het interval (ln 2, ∞) laten doorlopen. En dus neemt ln(ex − 2) en daarmee ook f(x) = 3 + ln(ex − 2) alle reële waarden aan. Het bereik van deze functie is dus wel degelijk R, en niet het interval (0, ∞).

Verder moet je natuurlijk in de gaten houden dat bij een inverteerbare functie het domein het bereik is van de inverse functie en dat het bereik van de functie het domein is van de inverse functie. Dus, als de functie g de inverse is van een functie f, dan is Dg = Bf en Bg = Df. En bij deze opgave werd gevraagd naar het domein van de inverse functie, niet naar het domein van de gegeven functie.

[..]

Ik heb de herleidingen van de inversen achterwege gelaten omdat je zelf had aangegeven dat je nu in staat was het functievoorschrift van de inverse van een gegeven functie te bepalen.

De notatie f−1 is een traditionele notatie voor de inverse functie van een gegeven functie f. Als je het linkje naar WolframAlpha had aangeklikt dan had je gezien dat deze notatie daar ook wordt gebruikt. Het is inderdaad een ongelukkige notatie omdat f−1 gemakkelijk kan worden aangezien voor een multiplicatieve inverse 1/f van een grootheid (niet een functie) f, maar het is nu eenmaal een gebruikelijke en algemeen aanvaarde notatie. Eventueel zou je ook de notatie finv voor de inverse functie van een functie f kunnen gebruiken. Ik heb recent nog iets over deze notatie geschreven, zie hier en eventueel hier. Laat nu zelf maar even zien hoe je het functievoorschrift voor de inverse functie van de functie f(x) = 3 + ln(ex − 2) hebt proberen te bepalen en waarom dit niet lukte. Je kunt het best beginnen met de betrekking

y = 3 + ln(ex − 2)

Dit is de vergelijking van de grafiek van de gegeven functie f. De grafiek van de inverse van f wordt verkregen door de grafiek van f te spiegelen in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in deze lijn gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x) en als het punt (x, y) op de grafiek van f ligt, dan is y = f(x) en dus x = f−1(y) of, zo je wil, x = finv(y), zodat het punt (y, x) op de grafiek van de inverse van f ligt. We verkrijgen dus een vergelijking van het spiegelbeeld van de grafiek van f door in de vergelijking van de grafiek van f de variabelen x en y met elkaar te verwisselen, en dat betekent dat

x = 3 + ln(ey − 2)

een vergelijking is van het spiegelbeeld van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Is nu de functie inverteerbaar, en dat is hier het geval, dan is deze betrekking een vergelijking van de grafiek van de inverse functie en dan kunnen we uit deze betrekking y oplossen om zo het functievoorschrift voor de inverse functie te verkrijgen.

[..]

Ik vind het wat te gemakkelijk om alleen maar te zeggen dat je het niet snapt nadat ik het volledig heb uitgelegd, afgezien van het achterwege laten van de herleiding van het functievoorschrift van de inverse functie (waarvan je had aangegeven dat je dit nu zelf kon). Geef precies aan wat je niet begrijpt, en waarom niet.
Blijf het maar ingewikkeld vinden, met name omdat je het ook allemaal ingewikkeld schrijft maar goed, want de stof is mij nog steeds lastig.

Alle reële getallen? Alleen de positieve toch? Dus dan is het toch R+?
pi_144594606
quote:
1s.gif Op dinsdag 16 september 2014 18:47 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

3ln(x) * ln(x) wordt dat dan niet gewoon 3ln(x)^2? Of ben ik stom bezig?
Je notatie is hier ambigu. Je kunt inderdaad zeggen dat

3 * ln(x) * ln(x) = 3 * (ln(x))2

maar dan moet je dus wel een extra paar haakjes gebruiken om aan te geven dat je inderdaad het kwadraat van ln(x) bedoelt, en niet de logaritme van het kwadraat van x, waarvoor je ln(x2) kunt schrijven.

Maar dit heb je allemaal niet nodig als je de factor 3·ln(x) buiten haakjes haalt, zoals ik heb aangegeven.
pi_144594927
quote:
1s.gif Op dinsdag 16 september 2014 18:51 schreef Super-B het volgende:

[..]

Blijf het maar ingewikkeld vinden, met name omdat je het ook allemaal ingewikkeld schrijft maar goed, want de stof is mij nog steeds lastig.
Je volgt nu een academische opleiding, en dat is de hoogst mogelijke reguliere opleiding. Dan mag er toch wel van je verwacht worden dat je het soort teksten dat ik schrijf kunt begrijpen en dat je een bepaald denkniveau hebt. Krijg je ook echt college over deze stof en zijn er contacturen of vragenuurtjes of werkgroepen of worden jullie gewoon het bos in gestuurd met een Engelstalig boek zonder begeleiding?
quote:
Alle reële getallen? Alleen de positieve toch? Dus dan is het toch R+?
Het zou wel helpen als je even precies aangeeft waar je op doelt, hier kan ik niets mee.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-09-2014 05:23:24 ]
  dinsdag 16 september 2014 @ 19:04:25 #208
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144594956
quote:
1s.gif Op dinsdag 16 september 2014 18:51 schreef Super-B het volgende:
f(x) = 3 + ln(ex − 2)
Bereken maar eens f(0,6933). Dan kom je er vanzelf achter dat er ook negatieve getallen in het bereik zitten.

[ Bericht 1% gewijzigd door Janneke141 op 16-09-2014 19:25:10 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144595340
quote:
0s.gif Op dinsdag 16 september 2014 19:04 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Bereken maar eens f(-100). Dan kom je er vanzelf achter dat er ook negatieve getallen in het bereik zitten.
Dat zal voor f(x) = 3 + ln(ex − 2) niet gaan, want dan is ex − 2 < 0 en dus ln(ex − 2) niet reëel ...
  dinsdag 16 september 2014 @ 19:13:55 #210
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144595375
quote:
0s.gif Op dinsdag 16 september 2014 19:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat zal voor f(x) = 3 + ln(ex − 2) niet gaan, want dan is ex − 2 < 0 en dus ln(ex − 2) niet reëel ...
Oeps O-)
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144617012
Hoe moet deze?

Bij die eerste snap ik niet hoe ze tot een vergelijking komen? Want ik had het anders aangepakt..:

Want y = -3 bij x =0 en het punt waar die doorheen moet is x = 0 en y =0 , dus de grafiek moet met 3 punten naar boven.

y= 2 bij x = 1 en het moet door het punt x = 1 en y =1 , dus dat moet weer met 1 punt omlaag..

Dus per saldo moet die met 2 stappen omhoog? Dus (-x²+6x-3)+2 Dat denk ik..



Bij de tweede weet ik niet wat ik moet doen, de ln + breuk maakt het lastig... Ik zou denken ln * de breuk, dus daar kan iets mee gedaan worden?




c) begrijp ik niet omdat het aantal keer dat het moet voorkomen 'n' maal is...

d ) begrijp ik niet, aangezien het antwoord al gegeven is lijkt mij? De afgeleide van f(x)g(x) en h(x) is volgens mij gewoon

(f(x)g(x)h(x))' Dus eerst alles vermenigvuldigen (de functies) en vervolgens de afgeleide.

[ Bericht 17% gewijzigd door RustCohle op 17-09-2014 11:03:37 ]
pi_144617680
Er is een bewering die ik niet snap:
Ln(e) = 1
Ln(2) < ln (e) omdat 2 < e


Echter ben ik het er niet mee eens, want

Ln (4) < ln (e) , maar bij dit is 4 > e dus daar klopt geen zak van...

Kan iemand de bewering verklaren?
pi_144618620
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 11:22 schreef Super-B het volgende:
Er is een bewering die ik niet snap:
Ln(e) = 1
Ln(2) < ln (e) omdat 2 < e

Echter ben ik het er niet mee eens, want

Ln (4) < ln (e) , maar bij dit is 4 > e dus daar klopt geen zak van...

Kan iemand de bewering verklaren?
Ln (4) > ln(e) = 1
Gebruik je niet per ongeluk de 10log ipv de ln?
pi_144619574
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 11:22 schreef Super-B het volgende:
Er is een bewering die ik niet snap:
Ln(e) = 1
Ln(2) < ln (e) omdat 2 < e
Welke van de twee beweringen snap je niet?

De tweede claim kan je maken als je ook weet dat ln strikt monotoon stijgend is, d.w.z. x>y impliceert ln(x)>ln(y). Dit kan je aantonen door naar de afgeleide te kijken, d(ln(x))/dx = 1/x >0 voor x>0. Omdat de afgeleide strikt positief is, is de ln functie strikt monotoon stijgend.
pi_144619683
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 10:55 schreef RustCohle het volgende:
Hoe moet deze?

Bij die eerste snap ik niet hoe ze tot een vergelijking komen? Want ik had het anders aangepakt..:

Want y = -3 bij x =0 en het punt waar die doorheen moet is x = 0 en y =0 , dus de grafiek moet met 3 punten naar boven.

y= 2 bij x = 1 en het moet door het punt x = 1 en y =1 , dus dat moet weer met 1 punt omlaag..

Dus per saldo moet die met 2 stappen omhoog? Dus (-x²+6x-3)+2 Dat denk ik..
Niet helemaal (probeer bij je eindantwoord eens of het nog steeds door (0,0) gaat). Zoals je zegt, verschuiven naar boven en naar beneden van een functie werkt door er A bij op te tellen (of af te trekken). Weet je ook hoe je een functie naar links of rechts verschuift?

quote:
[ afbeelding ]

Bij de tweede weet ik niet wat ik moet doen, de ln + breuk maakt het lastig... Ik zou denken ln * de breuk, dus daar kan iets mee gedaan worden?
Je moet dus eigenlijk x uitdrukken als functie van y (in andere woorden, los de vergelijking op voor x). Een eerste stap is kijken naar die ln, die eigenlijk een vorm heeft van ln(A/B). Hoe zou je die anders kunnen opschrijven?
quote:
[ afbeelding ]

c) begrijp ik niet omdat het aantal keer dat het moet voorkomen 'n' maal is...
Onthoud dat je differentiëren en optellen mag verwisselen (eerst differentiëren en dan optellen, of eerst optellen en dan differentiëren is hetzelfde). Bovendien hoef je niet alle elementen van het antwoord op te schrijven (dat kan nu ook niet). Je mag ook schrijven (als we de elementen even a1 t/m an noemen): a1+a2+...+a(n-1)+an, waar de puntjes eigenlijk 'alle tussengelegen elementen' betekent.

quote:
d ) begrijp ik niet, aangezien het antwoord al gegeven is lijkt mij? De afgeleide van f(x)g(x) en h(x) is volgens mij gewoon

(f(x)g(x)h(x))' Dus eerst alles vermenigvuldigen (de functies) en vervolgens de afgeleide.
Dit is gewoon de productregel. Als je alleen f(x) en g(x) zou hebben, wat is de afgeleide van f(x)g(x) dan? En dat moet je dan gewoon drie keer doen.

[ Bericht 2% gewijzigd door Inaithnir op 17-09-2014 12:51:51 ]
pi_144626713
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 11:22 schreef Super-B het volgende:
Er is een bewering die ik niet snap:
Ln(e) = 1
Ln(2) < ln (e) omdat 2 < e

Echter ben ik het er niet mee eens, want

Ln (4) < ln (e) , maar bij dit is 4 > e dus daar klopt geen zak van...

Kan iemand de bewering verklaren?
Je vergist je, waarschijnlijk omdat je een verkeerde knop op je calculator hebt ingedrukt en vervolgens kritiekloos voor waar aanneemt wat er op het schermpje van je calculator verschijnt. Dat moet je dus nooit meer doen. De logaritmische functie is strict monotoon stijgend en aangezien 2 < e < 4 heb je dus ook ln(2) < ln(e) < ln(4) oftewel ln(2) < 1 < ln(4). Merk ook nog op dat ln(4) = 2·ln(2) zodat dus ln(2) > ½ moet zijn.
pi_144629631
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 10:55 schreef RustCohle het volgende:
Hoe moet deze?

Bij die eerste snap ik niet hoe ze tot een vergelijking komen? Want ik had het anders aangepakt..:

Want y = -3 bij x =0 en het punt waar die doorheen moet is x = 0 en y =0 , dus de grafiek moet met 3 punten naar boven.

y= 2 bij x = 1 en het moet door het punt x = 1 en y =1 , dus dat moet weer met 1 punt omlaag..

Dus per saldo moet die met 2 stappen omhoog? Dus (-x²+6x-3)+2 Dat denk ik..

[ afbeelding ]
Het probleem is dat je gewoon negeert wat er staat. Je krijgt bij de opgave een hint om de verschuiving (in eenheden) naar links aan te geven met A en de verschuiving (in eenheden) omhoog met B, maar je meent het beter te weten, wat niet zo is. Die aanwijzing krijg je echt niet voor niets. Dit soort arrogantie brengt je nergens. Het is ook vreemd dat je bij je eigen redenering alleen maar in verticale richting zit te schuiven, terwijl het evident is dat er tevens in horizontale richting moet worden geschoven.

Het oorspronkelijke functievoorschrift luidt

f(x) = −x2 + 6x − 3

Als nu de grafiek van deze functie A eenheden naar links wordt verschoven, dan betekent dit dat x ook A eenheden kleiner moet worden genomen om op hetzelfde punt op de nu naar links verschoven grafiek uit te komen, en dus dezelfde functiewaarde te verkrijgen, en dat betekent dat we x in het functievoorschrift moeten vervangen door (x + A), zodat we krijgen

g(x) = −(x + A)2 + 6(x + A) − 3

Maar nu verschuiven we de grafiek ook nog B eenheden omhoog, en dat betekent dat de functiewaarde voor de functie die bij de omhoog verschoven grafiek hoort B eenheden groter is bij dezelfde waarde van x, zodat we krijgen

h(x) = −(x + A)2 + 6(x + A) − 3 + B

Dit is nu het functievoorschrift dat hoort bij de A eenheden naar links en tevens B eenheden omhoog verschoven grafiek van f. Nu is gegeven dat de punten (0, 0) en (1, 1) op de verschoven grafiek liggen, zodat dus voor bovenstaand functievoorschrift moet gelden h(0) = 0 en h(1) = 1. Invullen van x = 0 en x = 1 geeft nu resp.

−A2 + 6A − 3 + B = 0
−(1 + A)2 + 6(1 + A) − 3 + B = 1

Dit is een stelsel van twee vergelijkingen in A en B, dat je nu zelf mag oplossen. Als je het goed doet, vind je A = 2, B = −5. Het functievoorschrift dat bij de verschoven grafiek hoort wordt dan

h(x) = −x2 + 2x

Kan het ook anders en eenvoudiger? Jazeker, maar daar mag je zelf nog eens goed over gaan nadenken.

quote:
Bij de tweede weet ik niet wat ik moet doen, de ln + breuk maakt het lastig... Ik zou denken ln * de breuk, dus daar kan iets mee gedaan worden?

[ afbeelding ]
Het is bijzonder kwalijk dat je nu nog steeds meent dat ln an sich een symbool is voor een grootheid waar je iets bij op kunt tellen of iets mee kunt vermenigvuldigen. Dat is niet zo, ln is een functiesymbool. Wat je hier zegt is dus lariekoek.

We hebben de logaritme van (x + 1)/(x2 − 1) = (x + 1)/((x + 1)(x − 1)) = 1/(x − 1) zodat we kunnen schrijven

f(x) = −ln(x − 1)

Voor deze herleiding heb ik gebruik gemaakt van het merkwaardig product

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

om de noemer van de breuk te herschrijven als (x + 1)(x − 1) waarna we de breuk kunnen vereenvoudigen door teller en noemer door (x + 1) te delen zodat we 1/(x − 1) overhouden. Vervolgens kunnen we dan gebruik maken van de rekenregel ln(1/p) = ln(p−1) = −ln(p) zodat we eenvoudig −ln(x − 1) krijgen. Je ziet hier weer hoe belangrijk het is dat je identiteiten zoals merkwaardige producten en rekenregels voor logaritmen gewoon kent en ook altijd herkent, zodat je ze kunt gebruiken. Nu mag je de opgave zelf verder uitwerken.
quote:
c) begrijp ik niet omdat het aantal keer dat het moet voorkomen 'n' maal is...
Het is de bedoeling dat je het sommatieteken Σ met de bijbehorende index i die loopt van 1 t/m n hier gewoon laat staan, immers, de afgeleide van de som van een aantal functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van de afzonderlijke functies die de termen vormen van de som. Je hoeft hier alleen te bedenken dat d(i2xi)/dx = i3xi−1.
quote:
d ) begrijp ik niet, aangezien het antwoord al gegeven is lijkt mij? De afgeleide van f(x)g(x) en h(x) is volgens mij gewoon

(f(x)g(x)h(x))' Dus eerst alles vermenigvuldigen (de functies) en vervolgens de afgeleide.
Nee meneer. Het antwoord is niet gegeven. Het is de bedoeling dat je hier werkt met de productregel zoals je die kent voor de bepaling van de afgeleide van een product van twee functies en dat je die regel benut om daarmee een uitdrukking te verkrijgen voor de afgeleide van een product van drie functies. Om een haakjesorgie te vermijden zal ik dit even symbolisch opschrijven, dan heb je

(fgh)' = ((fg)·h)' = (fg)'h + (fg)h' = (f'g + fg')h + fgh' = f'gh + fg'h + fgh'

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-09-2014 18:12:46 ]
pi_144632045
Ik studeer sinds vorige week in Delft, waar ze een goede basis in maattheorie veronderstellen die ik helaas (nog) niet heb. Zo wordt bijvoorbeeld de notatie:
∫xn dF(x)

gebruikt (waarbij die F(x) volledig uit de lucht komt vallen). Kan iemand kort uitleggen (of een referentie geven waar ik kan vinden) wat dit precies betekent?

Ik heb wel de notatie dμ gezien, als μ een maat is, en daar zal het dus wel iets te maken mee hebben (ik heb wel in grote lijnen een idee wat deze notatie betekent, namelijk een Lebesgue integraal, maar de theorie erachter is nog niet helemaal ingedaald). Ik ken echter de notatie waarbij de 'maat' afhangt van x niet.
pi_144632163
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 18:47 schreef defineaz het volgende:
Ik studeer sinds vorige week in Delft, waar ze een goede basis in maattheorie veronderstellen die ik helaas (nog) niet heb. Zo wordt bijvoorbeeld de notatie:
∫xn dF(x)

gebruikt (waarbij die F(x) volledig uit de lucht komt vallen). Kan iemand kort uitleggen (of een referentie geven waar ik kan vinden) wat dit precies betekent?

Ik heb wel de notatie dμ gezien, als μ een maat is, en daar zal het dus wel iets te maken mee hebben (ik heb wel in grote lijnen een idee wat deze notatie betekent, namelijk een Lebesgue integraal, maar de theorie erachter is nog niet helemaal ingedaald). Ik ken echter de notatie waarbij de 'maat' afhangt van x niet.
Wordt er niet gewoon aangegeven dat F afhankelijk is van x.

-edit- of is F een operator ofzo?
pi_144632406
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 18:51 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Wordt er niet gewoon aangegeven dat F afhankelijk is van x.
E[Xn] = ∫xn dF(x)
is hoe F(x) geïntroduceerd wordt (met de integratie van 0 naar oneindig, maar dat doet er verder niet toe)...

Of, de hele regel:
SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
(in de context van kansberekening)
pi_144632434
Zoekterm: Integration with respect to a probability measure.
pi_144632476
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 18:59 schreef Novermars het volgende:
Zoekterm: Integration with respect to a probability measure.
Zo, eens kijken hoe ver ik nu kom. Dank!

Edit: O, zo ingewikkeld is het niet, zo op het eerste gezicht. Wel irritant dat ze weer interessant proberen te doen met een Riemann-Stieltjes integraal :P
pi_144632568
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 18:58 schreef defineaz het volgende:

[..]

E[Xn] = ∫xn dF(x)
is hoe F(x) geïntroduceerd wordt (met de integratie van 0 naar oneindig, maar dat doet er verder niet toe)...

Of, de hele regel:
SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
(in de context van kansberekening)
Ja is dat niet gewoon F afhankelijk van x.
En later wordt F getransformeerd en is ie afhankelijk van s.
pi_144632659
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:03 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Ja is dat niet gewoon F afhankelijk van x.
En later wordt F getransformeerd en is ie afhankelijk van s.
Ja, ik heb alleen nog nooit een Riemann-Stieltjesintegraal gezien, en snapte de betekenis niet. Zo achteraf is het best logisch, als je hem vergelijkt met de gewone Riemann integraal.

[ Bericht 0% gewijzigd door defineaz op 17-09-2014 19:55:21 ]
pi_144632781
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:06 schreef defineaz het volgende:

[..]

Ja, ik heb alleen nog nooit een Riemann-Stieltjes integraal gezien, en snapte de betekenis niet. Zo achteraf is het best logisch, als je hem vergelijkt met de gewone Riemann integraal.
Jij deed toch ook econometrie? Wat doe je dan in Delft? ö
pi_144632920
quote:
14s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:00 schreef defineaz het volgende:

[..]

Zo, eens kijken hoe ver ik nu kom. Dank!

Edit: O, zo ingewikkeld is het niet, zo op het eerste gezicht. Wel irritant dat ze weer interessant proberen te doen met een Riemann-Stieltjes integraal :P
Hier wordt ook nog een bekend handigheidje gebruikt, integreren onder het integraalteken. Dat betekent dat je een integrand herschrijft als een integraal zodat je een dubbelintegraal krijgt, waarbij je dan (onder bepaalde voorwaarden, dat wel) de integratievolgorde om kunt keren om zo een dubbelintegraal te krijgen die je beter kunt hanteren. Bij één van de integralen die ik ooit wel eens als challenge heb gegeven kun je dit ook gebruiken om een verbluffend eenvoudige evaluatie te krijgen van de integraal.
pi_144632973
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:10 schreef Novermars het volgende:

[..]

Jij deed toch ook econometrie? Wat doe je dan in Delft? ö
Nee, informatica en wiskunde. Ik zit in Delft omdat ze daar computer engineering hebben.
pi_144633283
X

[ Bericht 100% gewijzigd door RustCohle op 17-09-2014 19:24:38 ]
pi_144633382
quote:
7s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:15 schreef defineaz het volgende:

[..]

Nee, informatica en wiskunde. Ik zit in Delft omdat ze daar computer engineering hebben.
Ah. Mag ik vragen wat voor een vak het is? Want het is een beetje raar dat je als niet-wiskundige (d.w.z., je doet geen wiskunde meer) Riemann-Stieltjes krijgt!
pi_144633422
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:23 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik snap het niet wat ik ermee moet? Er zijn twee onbekenden, zowel een A als een B?!
Jazeker, er zijn twee onbekenden, A en B, maar je hebt ook twee betrekkingen waaraan deze onbekenden moeten voldoen. Dit is dus een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, en dit stelsel moet je oplossen. Hint: begin met het uitwerken van de haakjes in de tweede vergelijking in A en B en kijk wat je dan met het stelsel kunt doen.
pi_144633435
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:26 schreef Novermars het volgende:

[..]

Ah. Mag ik vragen wat voor een vak het is? Want het is een beetje raar dat je als niet-wiskundige (d.w.z., je doet geen wiskunde meer) Riemann-Stieltjes krijgt!
Ah ja, ik ben ook wiskundige (applied mathematics), het vak is stochastic processes. Het is wel opvallend dat letterlijk elk wiskundevak dat ik volg gelijk maattheorie veronderstelt, terwijl dat in Utrecht slechts een keuzevak is. Het zorgt wel voor wat opstartproblemen (dat en wat andere dingen).
pi_144633625
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 16:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vergist je, waarschijnlijk omdat je een verkeerde knop op je calculator hebt ingedrukt en vervolgens kritiekloos voor waar aanneemt wat er op het schermpje van je calculator verschijnt. Dat moet je dus nooit meer doen. De logaritmische functie is strict monotoon stijgend en aangezien 2 < e < 4 heb je dus ook ln(2) < ln(e) < ln(4) oftewel ln(2) < 1 < ln(4). Merk ook nog op dat ln(4) = 2·ln(2) zodat dus ln(2) > ½ moet zijn.
Oké. Hartstikke bedankt! :)
pi_144633669
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:06 schreef defineaz het volgende:

[..]

Ja, ik heb alleen nog nooit een Riemann-Stieltjes integraal gezien, en snapte de betekenis niet. Zo achteraf is het best logisch, als je hem vergelijkt met de gewone Riemann integraal.
Misschien staar je je ook teveel blind op de notatie. Lees dit eens en dan bijvoorbeeld ook dit.
pi_144633874
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Misschien staar je je ook teveel blind op de notatie. Lees dit eens en dan bijvoorbeeld ook dit.
Maar wat als de functie F niet differentieerbaar is, dan valt jou hele verhaal toch uit elkaar?
pi_144634088
Stel er is een functie (demand & supply):

a - bQ = A + 2BQ (A en B zijn anders dan a en b).

Bereken Q(uantity), P(rice) en winstvergelijking:

Het volgende heb ik, waar ik twijfel of ik het wel goed heb(?).
Q = (a - A) / (b + 2B)

Voor P en de winstvergelijking heb ik geen idee..
pi_144634107
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:39 schreef Novermars het volgende:

[..]

Maar wat als de functie F niet differentieerbaar is, dan valt jou hele verhaal toch uit elkaar?
Daar ging ik in mijn verhaal niet van uit. Maar zoals gezegd had ik het idee dat defineaz misschien ook wat problemen had met de notatie.
pi_144634231
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
Stel er is een functie (demand & supply):

a - bQ = A + 2BQ (A en B zijn anders dan a en b).

Bereken Q(uantity), P(rice) en winstvergelijking:

Het volgende heb ik, waar ik twijfel of ik het wel goed heb(?).
Q = (a - A) / (b + 2B)

Voor P en de winstvergelijking heb ik geen idee..
Die klopt, inderdaad.
pi_144634234
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Riparius het volgende:

[..]

Daar ging ik in mijn verhaal niet van uit. Maar zoals gezegd had ik het idee dat defineaz misschien ook wat problemen had met de notatie.
Maar dat is toch juist de hele grap van het gebruik van Riemann-Stieltjesintegralen? Mocht je kansverdeling niet differentieerbaar zijn, dat je toch nog een verwachte waarde kan berekenen.

Ik denk eerder dat het probleem is dat Defineaz nog nooit van de Riemann-Stieltjesintegraal gehoord had!
  woensdag 17 september 2014 @ 19:49:31 #239
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144634244
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
Stel er is een functie (demand & supply):

a - bQ = A + 2BQ (A en B zijn anders dan a en b).

Bereken Q(uantity), P(rice) en winstvergelijking:

Het volgende heb ik, waar ik twijfel of ik het wel goed heb(?).
Q = (a - A) / (b + 2B)

Voor P en de winstvergelijking heb ik geen idee..
Dit:
a - bQ = A + 2BQ
Is geen functie maar een vergelijking.

Op basis van wat je geeft klopt je formule voor Q, maar de prijs en de winst is op basis van de informatie die je geeft niet te bepalen (misschien staat het er wel in, maar we weten niet wat wat is. Even een gokje: er zijn twee prijsfuncties gegeven in je opgave, die heb je aan elkaar gelijk gesteld en die leveren de vergelijking in je post. Maar ik ben geen econoom)
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144634276
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
Stel er is een functie (demand & supply):

a - bQ = A + 2BQ (A en B zijn anders dan a en b).

Bereken Q(uantity), P(rice) en winstvergelijking:

Het volgende heb ik, waar ik twijfel of ik het wel goed heb(?).
Q = (a - A) / (b + 2B)

Voor P en de winstvergelijking heb ik geen idee..
Je vraag is niet te beantwoorden want in je vergelijking komt geen variabele P voor. Misschien moet je eerst even dit lezen.
pi_144634446
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:49 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Dit:
a - bQ = A + 2BQ
Is geen functie maar een vergelijking.

Op basis van wat je geeft klopt je formule voor Q, maar de prijs en de winst is op basis van de informatie die je geeft niet te bepalen (misschien staat het er wel in, maar we weten niet wat wat is. Even een gokje: er zijn twee prijsfuncties gegeven in je opgave, die heb je aan elkaar gelijk gesteld en die leveren de vergelijking in je post. Maar ik ben geen econoom)
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vraag is niet te beantwoorden want in je vergelijking komt geen variabele P voor. Misschien moet je eerst even dit lezen.
a - bQ = A + 2BQ

Demand = P= a - bQ
Supply = P = A + 2BQ
pi_144634477
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:49 schreef Novermars het volgende:

[..]

Maar dat is toch juist de hele grap van het gebruik van Riemann-Stieltjesintegralen? Mocht je kansverdeling niet differentieerbaar zijn, dat je toch nog een verwachte waarde kan berekenen.

Ik denk eerder dat het probleem is dat Defineaz nog nooit van de Riemann-Stieltjesintegraal gehoord had!
Inderdaad ja. Het voordeel van de Riemann-Stielltjesintegraal is me nu ook duidelijk :)
pi_144634764
Klopt het dat als je de functie y = 10 + 2p hebt en vervolgens de functie wijzigt in 16+2p dat de grafiek met 6 punten omhoog is gegaan?
  woensdag 17 september 2014 @ 20:04:59 #244
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144634835
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:03 schreef BroodjeKebab het volgende:
Klopt het dat als je de functie y = 10 + 2p hebt en vervolgens de functie wijzigt in 16+2p dat de grafiek met 6 punten omhoog is gegaan?
Correct.

Meer algemeen: ten opzichte van een of andere f(x) heeft f(x)+c een verticale verschuiving over een afstand c, en f(x+c) een horizontale verschuiving over een afstand -c.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144635150
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:04 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Correct.

Meer algemeen: ten opzichte van een of andere f(x) heeft f(x)+c een verticale verschuiving over een afstand c, en f(x+c) een horizontale verschuiving over een afstand -c.
Nog 1:

Een functie is symmetrisch wanneer f(a+x) = f(a-x), maar wat voor getal moet a zijn en wat voor getal moet x zijn?
  woensdag 17 september 2014 @ 20:14:25 #246
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144635191
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:13 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Nog 1:

Een functie is symmetrisch wanneer f(a+x) = f(a-x), maar wat voor getal moet a zijn en wat voor getal moet x zijn?
Probeer eens in woorden uit te leggen wat x, f(x), f(a+x) en f(a-x) voor dingen zijn?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144635202
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:13 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Nog 1:

Een functie is symmetrisch wanneer f(a+x) = f(a-x), maar wat voor getal moet a zijn en wat voor getal moet x zijn?
a is de symmetrielijn en x is gewoon een variabele.
pi_144635212
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 19:54 schreef Super-B het volgende:

[..]

[..]

a - bQ = A + 2BQ

Demand = P= a - bQ
Supply = P = A + 2BQ
Vermenigvuldig beide leden van de eerste vergelijking met 2B en beide leden van de tweede vergelijking met b en tel de linkerleden en de rechterleden van beide vergelijkingen daarna op. De som van de linkerleden van beide vergelijkingen moet immers gelijk zijn aan de som van de rechterleden van beide vergelijkingen (want als bijvoorbeeld u = v en x = y dan is ook u + x = v + y). We krijgen zo

1
2
3
4
      2BP = 2aB - 2BbQ
       bP =  Ab + 2BbQ
  -------------------- +
  (2B+b)P = 2aB+Ab

en dus

P = (2aB + Ab)/(2B + b)
pi_144635269
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:14 schreef Novermars het volgende:

[..]

a is de symmetrielijn en x is gewoon een variabele.
Moet ik het antwoord dat uit a-x (of bijv a+x) uitkomt invullen in de functie en vervolgens als deze waarde dezelfde y geven dat het dan 'klopt'?

Hoe bereken je de symmetrielijn?
pi_144635476
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:16 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Moet ik het antwoord dat uit a-x (of bijv a+x) uitkomt invullen in de functie en vervolgens als deze waarde dezelfde y geven dat het dan 'klopt'?
Probeer niet te denken in termen van recepten maar in termen van concepten.
quote:
Hoe bereken je de symmetrielijn?
Geef eens een concreet voorbeeld van een functie waarbij je een symmetrie-as van de grafiek van die functie wil bepalen. Bedenk dat een grafiek van een functie overigens helemaal geen symmetrie-as hoeft te hebben.
pi_144635943
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer niet te denken in termen van recepten maar in termen van concepten.

[..]

Geef eens een concreet voorbeeld van een functie waarbij je een symmetrie-as van de grafiek van die functie wil bepalen. Bedenk dat een grafiek van een functie overigens helemaal geen symmetrie-as hoeft te hebben.
Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.
pi_144636144
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:33 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Ik wil graag weten wat ik moet doen om die f(a+x) = f(a-x) te controleren.
Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).

Maar nogmaals, als je geen concreet voorbeeld geeft is ook niet te illustreren hoe dit in zijn werk gaat.
pi_144636334
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Aantonen dat f(a+x) en f(a-x) aan elkaar gelijk zijn ongeacht de waarde van x (mits a+x en a-x beide deel uitmaken van het domein van de functie).

Maar nogmaals, als je geen concreet voorbeeld geeft is ook niet te illustreren hoe dit in zijn werk gaat.
-x² + 2x + 4
  woensdag 17 september 2014 @ 20:47:55 #254
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144636678
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

-x² + 2x + 4
Als f(x) = -x² + 2x + 4,

Dan is
f(a+x) = -(a+x)² + 2(a+x) + 4, en
f(a-x) = -(a-x)² + 2(a-x) + 4

En dan kan je met uitschrijven aantonen dat dat vast wel aan elkaar gelijk is - als je het goede symmetrie-punt hebt gevonden, de juiste a dus. Bij f hoort een parabool, waar vind je dan de symmetrie-as?

Maar wat zeggen nu precies de uitdrukkingen f(a+x) en f(a-x). Hoe liggen die ten opzichte van f(a) en wat zegt dat over symmetrie?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144637850
quote:
0s.gif Op woensdag 17 september 2014 20:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

-x² + 2x + 4
Een kwadratische functie, in dit geval

f(x) = −x2 + 2x + 4

geeft als grafiek altijd een parabool met een verticale symmetrie-as. Je kunt hier gebruik maken van het feit dat de functie

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

een parabool geeft met de lijn met vergelijking

x = −b/2a

als verticale symmetrie-as. In jouw voorbeeld is a = −1, b = 2, c = 4, en dus −b/2a = (−2)/(−2) = 1, zodat de lijn met vergelijking

x = 1

de verticale symmetrie-as is van de grafiek. Voor de functie betekent dit dat elk paar waarden van de onafhankelijke variabele dat symmetrisch ligt ten opzichte van het getal 1 dezelfde functiewaarde oplevert, dus geldt voor elke u

f(1 + u) = f(1 − u)

Om dit te bewijzen, vullen we eerst x = 1 + u in in het functievoorschrift, en dan x = 1 − u, en uiteraard moet er dan hetzelfde uit komen. Welnu, we hebben

f(1 + u) = −(1 + u)2 + 2(1 + u) + 4 = −1 − 2u − u2 + 2 + 2u + 4 = −u2 + 5

en we hebben

f(1 − u) = −(1 − u)2 + 2(1 − u) + 4 = −1 + 2u − u2 + 2 − 2u + 4 = −u2 + 5

zodat inderdaad

f(1 + u) = f(1 − u)

QED

Je kunt ook met kwadraatafsplitsing werken om het functievoorschrift eerst te herleiden, en dan hebben we

f(x) = −x2 + 2x + 4 = −(x2 − 2x − 4) = −((x − 1)2 − 1 − 4) = −(x − 1)2 + 1 + 4 = −(x − 1)2 + 5, dus

f(x) = −(x − 1)2 + 5

Nu zie je veel gemakkelijker dat

f(1 + u) = −(1 + u − 1)2 + 5 = −u2 + 5

en

f(1 − u) = −(1 − u − 1)2 + 5 = −u2 + 5

Uit het functievoorschrift

f(x) = −(x − 1)2 + 5

kun je direct aflezen dat de grafiek van deze kwadratische functie een bergparabool is met als top het punt met de coördinaten (1, 5). De functiewaarde bereikt immers een maximum van 5 voor x = 1, aangezien de term −(x − 1)2 steeds negatief is, behalve voor x = 1, dan is deze term gelijk aan 0.
pi_144650084
Als de grafiek van de functie f(x) = y met c naar rechts geschoven wordt, hoe verandert de grafiek
van de inverse f−1(y) precies?

Ik heb zelfs het antwoord gezien en ik begrijp het antwoord niet eens..:

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
pi_144650534
Hoezo is ln (e-9) = -9 ?
pi_144650930
ln e-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

Geen kennis van de regels van de logaritme? Deze regels kan je natuurlijk ook gebruiken bij de natuurlijk logaritme.
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
pi_144650938
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 09:40 schreef -J-D- het volgende:
ln e-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9
huh?
pi_144650952
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 09:40 schreef -J-D- het volgende:
ln e-9 = -9 * ln e = -9 *1 = -9

Geen kennis van de regels van de logaritme? Deze regels kan je natuurlijk ook gebruiken bij de natuurlijk logaritme.
Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..
pi_144650967
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 09:41 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Jawel. Ln e = 1, maar die macht maakt het mij lastig..
Dan kan je de regels omtrent de logaritme niet.....
Bv. glog ab = b * glog a
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
pi_144651286
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 09:42 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Dan kan ken je de regels omtrent de logaritme niet.....
Bv. glog ab = b * glog a
Thanks!!

Het is 'ken' trouwens.
  donderdag 18 september 2014 @ 12:29:14 #263
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144655089
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 09:17 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hoezo is ln (e-9) = -9 ?
Het kan met de rekenregels van J-D, het kan ook rechtstreeks vanuit de definitie:

quote:
De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen.
Omdat het grondtal van de ln het getal e is, kun je meteen zien dat ln (e-9) = -9, kwestie van exponent aflezen.

Oh, en je leraar verbeteren is zelden een goed idee :P
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144655102
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 10:00 schreef BroodjeKebab het volgende:

[..]

Thanks!!

Het is 'ken' trouwens.
Domme tikfout van me.

Als je je wilt inlezen over de rekenregels van de logaritmen dan kan je een begin maken met http://www.wisfaq.nl/pagina.asp?nummer=1925. Deze lijst is echter maar een begin en dekt niet de hele lading. Zonder deze basis is het onmogelijk om fatsoenlijk met de logaritmen te werken.
Veel succes.
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Oh, en je leraar verbeteren is zelden een goed idee :P
Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mij ;)
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
  donderdag 18 september 2014 @ 12:35:15 #265
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144655236
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 12:29 schreef -J-D- het volgende:
Dat verschilt per geval. Een correctie uitspreken op een nette manier hoeft niet altijd onoverkomelijk te zijn. Dat heb je toch wel eens gezien bij mij in de les? Als een tiran boven de groep hangen zonder ruimte voor een suggestie/weerwoord, is niet mijn stijl en ook niet die van jou, volgens mij ;)
Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij ;) Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144655404
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 12:35 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hap hap, er staat niet voor niets een heuse smiley bij ;) Ik maak deze grap tegen mijn leerlingen ook wel, en ze komen er meestal vrij snel achter hoe ik dat bedoel.
Sorry, ik heb geen humor.
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
  donderdag 18 september 2014 @ 12:42:46 #267
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144655417
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 12:42 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Sorry, ik heb geen humor.
Kun je niks aan doen, dat komt vaker voor bij wiskundeleraren.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144661464
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 08:46 schreef RustCohle het volgende:
Als de grafiek van de functie f(x) = y met c naar rechts geschoven wordt, hoe verandert de grafiek
van de inverse f−1(y) precies?

Ik heb zelfs het antwoord gezien en ik begrijp het antwoord niet eens..:

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
De uitleg is inderdaad niet duidelijk genoeg. Ze hadden op zijn minst moeten uitleggen dat de grafiek van een (inverteerbare) functie en van de inverse van die functie elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. Immers, bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x). Als nu het punt (x, y) op de grafiek ligt van een inverteerbare functie f, dan is y = f(x) en daarmee x = f−1(y) zodat het punt (y, x) inderdaad op de grafiek van de inverse functie f−1 van functie f ligt. Omgekeerd geldt voor een punt (y, x) op de grafiek van f−1 dat het punt (x, y) op de grafiek van f ligt. En omdat dit geldt voor elk willekeurig gekozen punt (x, y) op de grafiek van f volgt dus inderdaad dat de grafiek van f−1 het spiegelbeeld is van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.

Welnu, als we de grafiek van f (niet de functie f(x) zoals in de tekst staat) met c eenheden opschuiven naar rechts (dat is: in de positieve richting van de x-as) dan krijgen we de grafiek van een andere functie, die we g kunnen noemen, en waarvoor geldt dat deze functie g steeds dezelfde functiewaarden heeft als f als we de onafhankelijke variabele x met c vermeerderen.

Kiezen we nu een willekeurig punt (x, y) dat op de grafiek van g ligt, zodat y = g(x), dan is dit punt (x, y) het beeld van een punt (x−c, y) op de grafiek van f, omdat we de grafiek van f immers c eenheden naar rechts hebben verschoven om de grafiek van g te krijgen. En aangezien het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, geldt dus y = f(x−c) en daarmee g(x) = f(x−c).

Omdat het punt (x, y) op de grafiek van g ligt, ligt het spiegelbeeld (y, x) bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse g−1 van g, en is dus

(1) g−1(y) = x

Maar nu zagen we ook dat het punt (x−c, y) op de grafiek van f ligt, en dat betekent dat het spiegelbeeld (y, x−c) van dit punt bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x op de grafiek van de inverse f−1 van f ligt, dus

(2) f−1(y) = x − c

en dus is

(3) x = f−1(y) + c

Uit (1) en (3) volgt dus

(4) g−1(y) = f−1(y) + c

zodat we kunnen constateren dat de grafiek van g−1 wordt verkregen door de grafiek van f−1 met c eenheden omhoog (dat is: in de positieve richting van de y-as) te verschuiven. Meetkundig is dit natuurlijk volstrekt duidelijk: een translatie in de positieve richting van de x-as correspondeert met een translatie van het spiegelbeeld in de positieve richting van de y-as bij een spiegeling in de lijn met vergelijking y = x.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 19-09-2014 17:35:31 ]
pi_144662576
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 09:17 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hoezo is ln (e-9) = -9 ?
Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:

De natuurlijke logaritme van een getal is de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te verkrijgen.

Dus,

ln(e−9)

is de exponent waartoe we e moeten verheffen om e−9 te verkrijgen. En die exponent is −9 (duh!). Dus hebben we

ln(e−9) = −9

Je kunt uiteraard ook met formele rekenregels werken om dit resultaat te verkrijgen, zoals hier door anderen wordt aanbevolen, maar daar ben ik niet voor zolang je nog niet goed begrijpt wat een logaritme nu eigenlijk is, omdat het werken met logaritmen dan verwordt tot een mechanisch manipuleren van symbolen zonder dat je werkelijk begrijpt waar die symbolen voor staan, en dat is niet de bedoeling. En, opdat ik niet verkeerd worde begrepen: uiteraard dien je alle gangbare rekenregels voor het werken met logaritmen wel te kennen en ook te herkennen en te begrijpen zodat je deze regels te allen tijde kunt toepassen.
pi_144674069
Waarom is

ln (x - 4) = y/4 gelijk aan (x-4) = ey/4
pi_144674248
quote:
1s.gif Op donderdag 18 september 2014 22:09 schreef RustCohle het volgende:
Waarom is

ln (x - 4) = y/4 gelijk aan (x-4) = ey/4
quote:
0s.gif Op donderdag 18 september 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je moet altijd de definitie van de logaritme in het achterhoofd houden. Ik heb het al vaker gezegd en ik ga het nog een keer zeggen:

De natuurlijke logaritme van een getal is de exponent waartoe we e moeten verheffen om dat getal te verkrijgen.


Dus,

ln(e−9)

is de exponent waartoe we e moeten verheffen om e−9 te verkrijgen. En die exponent is −9 (duh!). Dus hebben we

ln(e−9) = −9

Je kunt uiteraard ook met formele rekenregels werken om dit resultaat te verkrijgen, zoals hier door anderen wordt aanbevolen, maar daar ben ik niet voor zolang je nog niet goed begrijpt wat een logaritme nu eigenlijk is, omdat het werken met logaritmen dan verwordt tot een mechanisch manipuleren van symbolen zonder dat je werkelijk begrijpt waar die symbolen voor staan, en dat is niet de bedoeling. En, opdat ik niet verkeerd worde begrepen: uiteraard dien je alle gangbare rekenregels voor het werken met logaritmen wel te kennen en ook te herkennen en te begrijpen zodat je deze regels te allen tijde kunt toepassen.
Eén post boven je.
pi_144683808
X

[ Bericht 100% gewijzigd door RustCohle op 19-09-2014 08:25:17 ]
pi_144683865
Logx e^2 = 2

Waarom ia dat x= e?
pi_144684437
quote:
1s.gif Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx e^2 = 2

Waarom ia dat x= e?
Als je met Logx, logx bedoelt, lees dan die post van Riparius nog een keer door.
Maar dan verander je e in x en dan is het geen natuurlijk logaritme meer.

Daarnaast kan je je berichten gewoon aanpassen dus hoef je geen bericht met X erin te plaatsen.
pi_144686932
quote:
1s.gif Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx e^2 = 2

Waarom ia dat x= e?
Dat ia x=e omda logxe^2/3=5sqrt(pi).
pi_144698113
quote:
1s.gif Op vrijdag 19 september 2014 08:26 schreef RustCohle het volgende:
Logx e^2 = 2

Waarom is dat x= e?
Laten we eens beginnen met je notatie. Voor de logaritme met een grondtal oftewel basis b van een getal a wordt in de Angelsaksische wereld, en dus ongetwijfeld ook in je Engelstalige boek,

logb a

geschreven, en je ziet dat hier de basis b in subscript wordt genoteerd achter het generieke symbool log voor de logaritme. Ik ben altijd tegen deze notatie geweest, omdat vooral in handschrift het dan al heel gauw lijkt of er log ba staat, en dat is iets heel anders. En tegenwoordig heb je dan mensen zoals jij die niet weten hoe je een letter moet subscripten of daar gewoon te lui voor zijn, en dan krijg je dit soort ellende. Bovendien maak jij hier de ellende nog groter door het getal waarvan de logaritme moet worden genomen onterecht te superscripten, en dan is het hek van de dam.

In Nederland, maar ook in een aantal andere landen in Europa werd vroeger altijd gebruik gemaakt van de notatie

blog a

voor de logaritme met grondtal b van het getal a, en dit is een veel betere notatie, omdat de basis nu niet verward kan worden met het getal waarvan we de logaritme nemen. Uiteraard moet je dan niet vergeten de basis te superscripten, zodat deze niet verward kan worden met een factor voor het log symbool.

Ook de formule voor het omzetten van een logaritme naar een andere basis is met deze notatie veel gemakkelijker te onthouden en op te schrijven, vooral als we de zogeheten kettingvorm gebruiken. Stel dat we

blog a

willen uitdrukken in de logaritme van a met een ander grondtal g, dan schrijven we eerst de identiteit die we hiervoor gebruiken in de zogeheten kettingvorm

glog b · blog a = glog a

en dan zien we meteen dat

blog a = glog a / glog b

en in het bijzonder hebben we voor g = e dan

blog a = ln a / ln b

Als je bovenstaande identiteit in kettingvorm in de Angelsaksische notatie zou willen opschrijven, dan heb je

logg b · logb a = logg a

en dan zie je dat het hele kettingeffect weg is en dat je nu een formule hebt die je opeens niet meer gemakkelijk kunt memoriseren en opschrijven, en die dus ongetwijfeld fouten in de hand gaat werken. Kortom, niet gebruiken dus, die Angelsaksische notatie voor de basis van een logaritme.

Nu terug naar je vraag. Je wil kennelijk de vergelijking

xlog(e2) = 2

oplossen. Welnu, de logaritme met een (positief) grondtal x van e2 is per definitie de exponent waartoe we x moeten verheffen om e2 te verkrijgen, en deze exponent moet volgens de vergelijking 2 zijn. Dus hebben we

x2 = e2

en daarmee

x = e

En inderdaad is elog(e2) = ln(e2) = 2. Als je dit niet begrijpt dan begrijp je nog steeds niet wat een logaritme is.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-09-2014 03:24:51 ]
  vrijdag 19 september 2014 @ 19:37:14 #277
417219 zerak
Exile Vilify
pi_144702673
Ik vroeg me af waarom Ø (de empty set) één partitie heeft. Ik zou intuitief zeggen dat deze geen partities heeft. Komt het doordat elk element in Ø 'nonempty' is? Er zijn immers geen elementen in Ø.

[ Bericht 2% gewijzigd door zerak op 19-09-2014 19:52:50 ]
pi_144708590


Van dit snap ik de overgang niet van een stap naar het ander.. hoe je dus opeens het volgende krijgt:





Tenslotte snap ik opgave b niet. Laatste zin vanaf ''omdat'' begrijp ik dus niet...
  vrijdag 19 september 2014 @ 22:07:45 #279
417219 zerak
Exile Vilify
pi_144709736
quote:
0s.gif Op vrijdag 19 september 2014 21:47 schreef RustCohle het volgende:
[ afbeelding ]

Van dit snap ik de overgang niet van een stap naar het ander.. hoe je dus opeens het volgende krijgt:

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Tenslotte snap ik opgave b niet. Laatste zin vanaf ''omdat'' begrijp ik dus niet...
1.
ey(x + 1) = x + 5
eyx - x = 5 - ey
x(ey - 1) = 5 - ey
ey(x + 1) = x + 5 ↔ x(ey - 1) = 5 - ey

2.
Weet je iets over inverse functies? Dan zou je moeten weten dat het bereik van de oorspronkelijke functie het domein van de inverse functie is.
pi_144709787
quote:
7s.gif Op vrijdag 19 september 2014 19:37 schreef zerak het volgende:
Ik vroeg me af waarom Ø (de empty set) één partitie heeft. Ik zou intuitief zeggen dat deze geen partities heeft. Komt het doordat elk element in Ø 'nonempty' is? Er zijn immers geen elementen in Ø.
Voor dit soort gevallen is het vaak handig om naar de definitie te kijken (subtiele verschillen kunnen voor dit soort randgevallen cruciaal zijn). Ik heb even de definitie van de Engelse wikipedia gepakt (het is natuurlijk mogelijk dat jij een andere definitie gebruikt, ik weet niet in hoeverre die gestandaardiseerd is):

P is a partition of X if and only if:

1. P does not contain the empty set.
2. The union of the sets in P is equal to X. (The sets in P are said to cover X.)
3. The intersection of any two distinct sets in P is empty. (We say the elements of P are pairwise disjoint.)

En inderdaad voldoet P = Ø, X = Ø aan deze eisen. (P bevat immers niet de lege verzameling: hij is zelf de lege verzameling en bevat dus niks).
  vrijdag 19 september 2014 @ 22:15:39 #281
417219 zerak
Exile Vilify
pi_144710140
quote:
0s.gif Op vrijdag 19 september 2014 22:08 schreef defineaz het volgende:

[..]

Voor dit soort gevallen is het vaak handig om naar de definitie te kijken (subtiele verschillen kunnen voor dit soort randgevallen cruciaal zijn). Ik heb even de definitie van de Engelse wikipedia gepakt (het is natuurlijk mogelijk dat jij een andere definitie gebruikt, ik weet niet in hoeverre die gestandaardiseerd is):

P is a partition of X if and only if:

1. P does not contain the empty set.
2. The union of the sets in P is equal to X. (The sets in P are said to cover X.)
3. The intersection of any two distinct sets in P is empty. (We say the elements of P are pairwise disjoint.)

En inderdaad voldoet P = Ø, X = Ø aan deze eisen. (P bevat immers niet de lege verzameling: hij is zelf de lege verzameling en bevat dus niks).
Thanks. Deze definitie komt aardig overeen met wat ik hier heb staan. Subtiel inderdaad ;).
pi_144711381
quote:
0s.gif Op vrijdag 19 september 2014 22:07 schreef zerak het volgende:

[..]

1.
ey(x + 1) = x + 5
eyx - x = 5 - ey
x(ey - 1) = 5 - ey
ey(x + 1) = x + 5 ↔

x(ey - 1) = 5 - ey

2.
Weet je iets over inverse functies? Dan zou je moeten weten dat het bereik van de oorspronkelijke functie het domein van de inverse functie is.
Ik snap dat niet..


2. Ja.. dat weet ik toch begrijp ik het niet met de elementen en al..
pi_144712887
quote:
1s.gif Op zaterdag 20 september 2014 00:01 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik snap dat niet..
Dit wordt echt nooit wat als je zulke elementaire herleidingen niet met je ogen dicht kunt uitvoeren.

Je hebt

ey(x + 1) = x + 5

Haakjes uitwerken in het linkerlid geeft

eyx + ey = x + 5

Nu willen we x oplossen uit deze betrekking, en om dat te doen moeten we eerst zorgen dat alle termen met x in het linkerlid komen te staan en alle termen zonder x in het rechterlid. We trekken nu eerst ey van beide leden af, dat geeft

eyx = x + 5 − ey

Vervolgens trekken we x van beide leden af, en dan krijgen we

eyx − x = 5 − ey

Nu kunnen we bij de termen in het linkerlid een factor x buiten haakjes halen en krijgen we

x(ey − 1) = 5 − ey

Tenslotte delen we beide leden door (ey − 1) en zie, dan krijgen we

x = (5 − ey) / (ey − 1)
quote:
2. Ja.. dat weet ik toch begrijp ik het niet met de elementen en al..
Je hebt een functie f die strict monotoon dalend is en die het interval [0, ∞) als domein heeft. De uitdrukking (x+5)/(x+1) heeft de waarde 5 voor x = 0 en neemt af in waarde als we x groter laten worden. Maar ... deze uitdrukking neemt niet onbegrensd af als we x onbegrensd toe laten nemen, want we hebben immers

(x+5)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

en de breuk 4/(x+1) nadert tot nul als we x onbeperkt toe laten nemen. De waarde van de breuk (x+5)/(x+1) nadert dus tot 1 maar wordt nooit 1 als we x onbeperkt toe laten nemen. Dus, als we voor x een waarde kiezen op het interval [0, ∞) zijnde het domein van f, dan ligt de waarde van (x+5)/(x+1) op het interval (1, 5]. En dus ligt de waarde van ln((x+5)/(x+1)) oftewel de functiewaarde f(x) op het interval (0, ln 5] en dit is dan het bereik van de functie f.

De functie f beeldt het interval [0, ∞) af op het interval (0, ln 5], en dus beeldt de inverse f−1 van deze functie omgekeerd het interval (0, ln 5] af op het interval [0, ∞). Het domein van de inverse functie f−1 is dus het interval (0, ln 5].

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 20-09-2014 01:05:15 ]
pi_144715856
quote:
0s.gif Op zaterdag 20 september 2014 00:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit wordt echt nooit wat als je zulke elementaire herleidingen niet met je ogen dicht kunt uitvoeren.

Je hebt

ey(x + 1) = x + 5

Haakjes uitwerken in het linkerlid geeft

eyx + ey = x + 5

Nu willen we x oplossen uit deze betrekking, en om dat te doen moeten we eerst zorgen dat alle termen met x in het linkerlid komen te staan en alle termen zonder x in het rechterlid. We trekken nu eerst ey van beide leden af, dat geeft

eyx = x + 5 − ey

Vervolgens trekken we x van beide leden af, en dan krijgen we

eyx − x = 5 − ey

Nu kunnen we bij de termen in het linkerlid een factor x buiten haakjes halen en krijgen we

x(ey − 1) = 5 − ey

Tenslotte delen we beide leden door (ey − 1) en zie, dan krijgen we

x = (5 − ey) / (ey − 1)

[..]

Je hebt een functie f die strict monotoon dalend is en die het interval [0, ∞) als domein heeft. De uitdrukking (x+5)/(x+1) heeft de waarde 5 voor x = 0 en neemt af in waarde als we x groter laten worden. Maar ... deze uitdrukking neemt niet onbegrensd af als we x onbegrensd toe laten nemen, want we hebben immers

(x+5)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

en de breuk 4/(x+1) nadert tot nul als we x onbeperkt toe laten nemen. De waarde van de breuk (x+5)/(x+1) nadert dus tot 1 maar wordt nooit 1 als we x onbeperkt toe laten nemen. Dus, als we voor x een waarde kiezen op het interval [0, ∞) zijnde het domein van f, dan ligt de waarde van (x+5)/(x+1) op het interval (1, 5]. En dus ligt de waarde van ln((x+5)/(x+1)) oftewel de functiewaarde f(x) op het interval (0, ln 5] en dit is dan het bereik van de functie f.

De functie f beeldt het interval [0, ∞) af op het interval (0, ln 5], en dus beeldt de inverse f−1 van deze functie omgekeerd het interval (0, ln 5] af op het interval [0, ∞). Het domein van de inverse functie f−1 is dus het interval (0, ln 5].
Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat? Hoe weet je dat x nadert naar 1 maar nooit 1 wordt?en hoezo is het ln5 bij het antwoord ipv 5?

Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)
pi_144720954
quote:
1s.gif Op zaterdag 20 september 2014 09:06 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat? Hoe weet je dat x nadert naar 1 maar nooit 1 wordt?en hoezo is het ln5 bij het antwoord ipv 5?

Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)
Dat is wel erg elementair.

Staartdeling

x+1 / x+5 \ 1
-------------------
4

Dus er komt 1 uit de deling en de rest is 4/(x+1).

Of:

(x+5)/(x+1) = (x+1+4)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

Snap je wel dat 1/x naar 0 nadert als x naar oneindig gaat?
pi_144726289
quote:
0s.gif Op zaterdag 20 september 2014 13:24 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat is wel erg elementair.

Staartdeling

x+1 / x+5 \ 1
-------------------
4

Dus er komt 1 uit de deling en de rest is 4/(x+1).

Of:

(x+5)/(x+1) = (x+1+4)/(x+1) = 1 + 4/(x+1)

Snap je wel dat 1/x naar 0 nadert als x naar oneindig gaat?
Ja dat begrijp ik. Hoe kun je zien dat ik de functie moest herschrijven naar 1 + 4/(x+1) ?

Wat ik niet begrijp is wat ze bedoelen met E (1,5], althans hoe ze erop komen? En waarom ln 5 en niet 5?
  zaterdag 20 september 2014 @ 18:01:52 #287
417219 zerak
Exile Vilify
pi_144727807
quote:
0s.gif Op zaterdag 20 september 2014 16:56 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ja dat begrijp ik. Hoe kun je zien dat ik de functie moest herschrijven naar 1 + 4/(x+1) ?

Wat ik niet begrijp is wat ze bedoelen met E (1,5], althans hoe ze erop komen? En waarom ln 5 en niet 5? [ afbeelding ]
1.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Element_(wiskunde)

2. Men praat over de functie (x+5)/(x+1), niet over de oorspronkelijke. Daarom moet van deze getallen het natuurlijk logaritme geworden nomen en dus ln(1) = 0 en ln(5). Hoezo snap je de nul wel en ln(5) niet?

[ Bericht 1% gewijzigd door zerak op 20-09-2014 18:07:59 ]
pi_144730232
quote:
1s.gif Op zaterdag 20 september 2014 09:06 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik weet niet hoe je tot die breuk komt. Hoe zie je dat?
Vul eerst eens een concrete positieve waarde in voor x, bijvoorbeeld x = 2. Dan heb je

\frac{2\,+\,5}{2\,+\,1} \,=\, \frac{7}{3} \,=\, \frac{3\,+\,4}{3} \,=\, \frac{3}{3} \,+\, \frac{4}{3} \,=\, 1 \,+\, \frac{4}{3}

Dit kon vroeger ieder kind van 10 je vertellen. En ja, 4/3 is nog te schrijven als 1 + 1/3 zodat je uiteindelijk hebt 7/3 = 2 + 1/3, maar dat hebben we nu niet nodig. In het algemeen heb je

\frac{x\,+\,5}{x\,+\,1} \,=\, \frac{x\,+\,1\,+\,4}{x\,+\,1} \,=\, \frac{x\,+\,1}{x\,+\,1} \,+\, \frac{4}{x\,+\,1} \,=\, 1 \,+\, \frac{4}{x\,+\,1}

quote:
Hoe weet je dat x nadert naar tot 1 maar nooit 1 wordt?
Dit is niet zo. Ik heb gezegd dat (x+5)/(x+1) tot 1 nadert maar nooit 1 wordt als we x onbeperkt toe laten nemen. Dat is heel iets anders. We hebben

\frac{x\,+\,5}{x\,+\,1} \,=\, 1 \,+\, \frac{4}{x\,+\,1}

De breuk 4/(x+1) nadert tot 0 maar wordt nooit 0 als we x onbeperkt toe laten nemen. Dit is eenvoudig in te zien. Stel dat we een x > 0 willen vinden zodanig dat

\frac{4}{x\,+\,1} \,<\, \epsilon

waarin ε een willekeurig klein te kiezen positief getal is. Dan is dit het geval als

\frac{x\,+\,1}{4} \,>\, \frac{1}{\epsilon}

en dus

x\,+\,1 > \frac{4}{\epsilon}

en dus

x > \frac{4}{\epsilon} - 1

De waarde van de breuk 4/(x+1) kan dus willekeurig dicht tot nul naderen, als we x maar groot genoeg maken. Willen we bijvoorbeeld de waarde van de breuk kleiner dan 0,001 laten worden, dus ε = 0,001, dan vertelt bovenstaande ongelijkheid ons dat dit het geval is voor elke x > 3999. Maar het is ook duidelijk dat de waarde van de breuk 4/(x+1) nooit gelijk aan nul kan worden: een breuk heeft immers uitsluitend de waarde nul als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. En dat is bij 4/(x+1) onmogelijk, want de teller heeft hier de vaste waarde 4.

Je kunt ook nog op een andere manier inzien dat de breuk (x+5)/(x+1) nooit de waarde 1 aan kan nemen. Immers, stel dat

\frac{x\,+\,5}{x\,+\,1} \,=\, 1

dan moet dus gelden

x\,+\,5 \,=\, x\,+\,1

maar dit is onmogelijk, want dan zou 5 gelijk moeten zijn aan 1 en dat is niet zo.
quote:
en hoezo is het ln 5 bij het antwoord i.p.v. 5?
We hebben gezien dat de waarde van de breuk

\frac{x\,+\,5}{x\,+\,1}

gelijk is aan 5 voor x = 0 en dat de waarde van deze breuk gestaag oftewel strict monotoon afneemt als we x steeds groter laten worden, en dat de waarde van de breuk daarbij willekeurig dicht nadert tot 1 maar nooit 1 wordt. Dat betekent dus dat de waarde van de breuk het interval (1, 5] doorloopt als we x het interval [0, ∞) laten doorlopen. Maar nu gaat het niet om de waarden van deze breuk, maar om de waarden die de functie met het functievoorschrift

f(x) \,=\,\ln\left(\frac{x\,+\,5}{x\,+\,1}\right)

aanneemt als we x het (gegeven) domein [0, ∞) laten doorlopen. Aangezien (x+5)/(x+1) de waarde 5 heeft voor x = 0 en willekeurig dicht nadert tot de waarde 1 als we x onbeperkt toe laten nemen en ln(1) = 0 volgt dus dat de functiewaarde f(x) het interval (ln 1, ln 5] oftewel (0, ln 5] doorloopt, en dit is dus het bereik van deze functie f.

De functie f geeft een afbeelding van het interval [0, ∞) op het interval (0, ln 5] en de inverse functie f−1 van deze functie f met als functievoorschrift

f^{-1}(x) \,=\, \frac{5 \,-\, e^x}{e^x \,-\, 1}

geeft dus een afbeelding van het interval (0, ln 5] op het interval [0, ∞). Het domein van f−1 is dus het interval (0, ln 5]. In onderstaand plaatje is de grafiek van f weergegeven in rood en de grafiek van f−1 in blauw. Tevens is de lijn met vergelijking y = x weergegeven in zwart. De grafieken van f en f−1 zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in deze lijn.



quote:
Mijn antwoord was (-oneindig,oneindig)
Zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit, aber bei dem Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.

--- Albert Einstein

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 21-09-2014 09:01:32 ]
pi_144746762
"In deze opgave gaat het over getallen van vijf cijfers, waarin alleen de cijfers 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8 voorkomen."

"Hoeveel van die getallen zijn er in het geval dat: elk cijfer maar een keer gebruikt mag worden en het getal groter dan 54 000 moet zijn?"

Ik heb: 1*5*5*4*3 + 3*6*5*4*3. Ik ben niet zo goed in combinatoriek, dus daarom vraag ik me af of dit klopt. :)
  zondag 21 september 2014 @ 14:21:23 #290
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144751569
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 11:08 schreef netchip het volgende:
"In deze opgave gaat het over getallen van vijf cijfers, waarin alleen de cijfers 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8 voorkomen."

"Hoeveel van die getallen zijn er in het geval dat: elk cijfer maar een keer gebruikt mag worden en het getal groter dan 54 000 moet zijn?"

Ik heb: 1*5*5*4*3 + 3*6*5*4*3. Ik ben niet zo goed in combinatoriek, dus daarom vraag ik me af of dit klopt. :)
Volgens mij niet helemaal.

Voor alle getallen >60.000 heb je (inderdaad) 3 * 6*5*4*3 mogelijkheden, namelijk voor het eerste cijfer 3 mogelijkheden (6-7-8) en dan achtereenvolgens 6, 5, 4 en 3 opties.
Voor alle getallen tussen 54.000 en 59.999 heb je 1 * 4 * 5*4*3 opties, namelijk: cijfer 1 een 5, cijfer 2 is 4, 6, 7 of 8, en dan nog 5*4*3 willekeurige opties.

[ Bericht 0% gewijzigd door Janneke141 op 21-09-2014 14:49:35 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144754187
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 14:21 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Volgens mij niet helemaal.

Voor alle getallen >60.000 heb je (inderdaad) 3 * 6*5*4*3 mogelijkheden, namelijk voor het eerste cijfer 3 mogelijkheden (6-7-8) en dan achtereenvolgens 6, 5, 4 en 3 opties.
Voor alle getallen tussen 54.000 en 59.999 heb je 1 * 4 * 5*4*3 opties, namelijk: cijfer 1 een 5, cijfer 2 is 4, 6, 7 of 8, en dan nog 5*4*3 willekeurige opties.
Dank je, ik zie het nu! :) Ik had per ongeluk een 5 gebruikt, terwijl het zonder herhaling was.
pi_144754460
Hoe bereken je exact
cos(\frac{1}{2}\alpha)
met
\alpha=arcsin(\frac{1}{3})
zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.
  zondag 21 september 2014 @ 15:33:03 #293
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144754669
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 15:27 schreef jungiaan het volgende:
Hoe bereken je exact
cos(\frac{1}{2}\alpha)
met
\alpha=arcsin(\frac{1}{3})
zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.
Meetkundig?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144755400
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 15:33 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Meetkundig?
Bij de andere opgaven van 17.46 had ik gebruik gemaakt van
\alpha=arcsin(\frac{1}{3}) \Leftrightarrow sin(\alpha)=\frac{1}{3}
En in een rechthoekige driehoek is dus de overstaande zijde van hoek \alpha gelijk aan 1 en de hypotenusa gelijk aan 3. De andere zijde rekende ik dan uit met de stelling van Pythagoras.
Kan je hier iets mee?
pi_144757183
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 15:27 schreef jungiaan het volgende:
Hoe bereken je exact
cos(\frac{1}{2}\alpha)
met
\alpha=arcsin(\frac{1}{3})
zonder gebruik te maken van halve hoek-identiteiten?
Het betreft opgave 17.46.e van Basisboek Wiskunde.
Het zijn allebei vragen waarvoor je wat voorkennis nodig hebt. Je moet het bijbehorende hoofdstuk waarschijnlijk nog even doorlezen. Voor de eerste kan je gebruikmaken voor de formule voor cos(a + b), of voor cos(2a). De tweede is ook iets wat je eigenlijk gewoon uit je hoofd moet weten.

Voor de tweede, kijk eens naar de hoeken en lengtes van een gelijkzijdige driehoek met zijde 1 (en trek een middenloodlijn/bisectrice vanuit een zijde). Dit is een trucje om achter enkele veelgebruikte waarden van de sinus en cosinus te komen.

Ik neem aan dat er in je basisboek wiskunde ook wel een tabel met waarden van de sinus en de cosinus staat, maar ik vind het zelf een beter manier om die gelijkzijdige driehoek te tekenen, omdat je die procedure, in tegenstelling tot de specifieke waarden van de sinus en de cosinus voor die hoeken, niet zo snel vergeet.
pi_144757651
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 15:52 schreef jungiaan het volgende:

[..]

Bij de andere opgaven van 17.46 had ik gebruik gemaakt van
\alpha=arcsin(\frac{1}{3}) \Leftrightarrow sin(\alpha)=\frac{1}{3}
En in een rechthoekige driehoek is dus de overstaande zijde van hoek \alpha gelijk aan 1 en de hypotenusa gelijk aan 3. De andere zijde rekende ik dan uit met de stelling van Pythagoras.
Kan je hier iets mee?
Ik vraag me af waarom je deze opgave wil oplossen zonder gebruik van de identiteiten voor de halve hoek (c.q. de identiteiten voor de dubbele hoek). Van de Craats zegt namelijk expliciet (p. 140) dat je deze identiteiten moet gebruiken.

Ik kom op

\cos \,\frac{1}{2}\alpha \,=\, \frac{1}{3}\sqrt{3}\,+\,\frac{1}{6}\sqrt{6}

maar WolframAlpha weet geen exacte uitdrukking te produceren voor ½α, dus een meetkundige oplossing (afgezien van een meetkundig equivalent van het gebruik van de identiteiten voor de halve c.q. de dubbele hoek) lijkt me hier niet voor de hand te liggen.
pi_144759264
Met de halve hoek-identiteiten(van Wikipedia) lukt het mij ook wel, maar aangezien deze nog niet waren afgeleid in de theorie gebruikte ik deze niet. Hoe zou ik de benodigde halve hoek-identiteit af moeten leiden uit bijv. de som/dubbele hoek formules zoals defineaz suggereert?
pi_144759606
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 17:11 schreef jungiaan het volgende:
Met de halve hoek-identiteiten(van Wikipedia) lukt het mij ook wel, maar aangezien deze nog niet waren afgeleid in de theorie gebruikte ik deze niet. Hoe zou ik de benodigde halve hoek-identiteit af moeten leiden uit bijv. de som/dubbele hoek formules zoals defineaz suggereert?
Je moet toch beter je boek lezen, want Van de Craats leidt de formules voor cos ½α en sin ½α af voordat jouw opgave aan bod komt.

Als het goed is heb je cos α al bepaald en daarvoor vind je dan

\cos \, \alpha \,=\, \frac{2}{3}\sqrt{2}

Nu kun je gebruik maken van de identiteit voor de cosinus van de dubbele hoek, waarbij je dan α vervangt door ½α zodat je krijgt

\cos \,\alpha \,=\, 2 \cdot \cos^{2}\,\frac{1}{2}\alpha \,-\, 1

Je zult nog wel een geneste vierkantswortel moeten herleiden om het resultaat te verkrijgen dat ik hierboven geef, en ik betwijfel of je dat kunt, aangezien dat tegenwoordig niet meer wordt onderwezen.
pi_144760205
Is het volgende correct?
f= x / ((x^2)+8)

f ' = ( (x^2) + 8 - 3x) / ( (x^2) + 8)^2
  zondag 21 september 2014 @ 17:43:54 #300
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_144760325
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 17:39 schreef rumiii het volgende:
Is het volgende correct?
f= x / ((x^2)+8)

f ' = ( (x^2) + 8 - 3x) / ( (x^2) + 8)^2
Nee, de fout zit in het onderstreepte stukje.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_144760449
quote:
0s.gif Op zondag 21 september 2014 17:43 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Nee, de fout zit in het onderstreepte stukje.
Ik was ff niet scherp inderdaad, hopelijk nu wel

( (-x^2)+8) / ( (x^2) + 8)^2
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')