abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_144337236
quote:
0s.gif Op maandag 8 september 2014 23:27 schreef Brainstorm245 het volgende:
Er is iets wat ik niet begrijp en ik hoop hier meer duidelijkheid over te verkrijgen. De essentie van het onderstaande verhaal (wat er in de afbeeldingen staat) begrijp ik, echter begrijp ik een paar dingen niet, welke uitgebreid worden uitgelegd. Ik kan 'het' niet volgen.
Je zult het wel niet willen horen, maar ik denk dat het niet kunnen volgen van de argumentatie ook te maken heeft met het feit dat het een Engels leerboek is. Ik zie steeds weer hier op FOK dat het gebruik van Engels lesmateriaal bij studenten een goed begrip in de weg staat. Is ook nergens voor nodig bij zulke elementaire dingen, er zijn genoeg Nederlandse boeken of dictaten waarin dit soort zaken worden uitgelegd, en als die er niet zijn is het hoog tijd dat ze geschreven worden.
quote:
Van dit plaatje begrijp ik het laatste gedeelte niet. Dat gedeelte begint bij de formule waar aan de rechterzijde (2) staat. De tekst onder de functie begrijp ik ook niet.
Formule (2) wordt verkregen via kwadraatafsplitsing. Dat is een standaardtechniek voor het herleiden van kwadratische veeltermen die je gewoon moet leren gebruiken. Ik heb dit al heel vaak uitgelegd, als je even terugleest in dit topic vind je wel een paar linkjes naar eerdere posts van mij om je op weg te helpen.

De tekst onder (2) zegt dat je deze formule eenvoudig kunt verifiëren door de haakjes weer uit te werken en gelijksoortige termen samen te nemen. De clou is dat alleen de eerste term in het rechterlid van (2) afhangt van x en dat deze eerste term een kwadraat is, vermenigvuldigd met de constante a. Aangezien een kwadraat niet negatief kan zijn volgt dat de uitdrukking een extreme waarde bereikt als x + b/2a = 0 oftewel x = −b/2a. Deze extreme waarde is een minimum voor a > 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet kleiner kan worden dan nul, en een maximum voor a < 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet groter kan worden dan nul.
quote:
SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Van dit plaatje begrijp ik de eerste alinea niet (tot aan de blauwe tekst toe, blauwe tekst begrijp ik wel).
Dit kan niet. De blauwe tekst is een samenvatting van de tekst erboven waarvan je zelf beweert dat je deze niet begrijpt, en dus volgt dat je de blauwe tekst ook niet echt begrijpt.
quote:
Vervolgens ik de functie/formule niet waarin breuken te zien is (onder andere met au² e.d.)
Tenslotte begrijp ik de twee functies onderaan het plaatje niet ('solution'). Ik weet wel wat er gevraagd wordt en wat er geantwoord moet worden, maar ik begrijp de functie niet, deze wordt waarschijnlijk afgeleid van de stof welke ik dan weer niet begrijp... Overigens begrijp ik de * bij de twee functies ook niet.
SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Hier wordt een simpele substitutie x = −b/2a + u resp. x = −b/a2 − u uitgevoerd om aan te tonen dat de functiewaarden hetzelfde zijn voor elk tweetal waarden van x die symmetrisch liggen ten opzichte van −b/2a, zodat volgt dat de verticale lijn met vergelijking x = −b/2a een symmetrie-as is van de grafiek van de functie. In de tekst daaronder gaat het gewoon om het bepalen van het maximum van de functie π(Q) = 100Q − (5/2)·Q² alsmede de waarde van Q waarbij dit maximum wordt bereikt. Andere letters, zelfde principe.

Ik zal dit toch maar even voordoen met kwadraatafsplitsing, want de manier waarop het boek het doet is didactisch niet al te handig en foutgevoelig. We halen eerst even de coëfficiënt −5/2 van de kwadratische term buiten haakjes, dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q² − 40Q)

Nu gaan we kwadraatafsplitsing toepassen op de kwadratische veelterm binnen de haakjes. Daarvoor halveren we de coëfficiënt van Q en maken we gebruik van het merkwaardig product

(a − b)² = a² − 2ab + b²

om te bedenken dat (Q −20)² = Q² − 40Q + 400, zodat we dus hebben

Q² − 40Q = (Q − 20)² − 400

Voor de functie kunnen we dus schrijven

π(Q) = (−5/2)·((Q − 20)² − 400)

Nu werken we de buitenste haakjes in het functievoorschrift weer uit, en dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q − 20)² + 1000

En zie, nu kunnen we direct uit het functievoorschrift aflezen dat π(Q) een maximum van 1000 bereikt voor Q = 20. Dat komt uiteraard doordat (Q − 20)² niet negatief kan zijn, zodat de eerste term (−5/2)·(Q − 20)² niet groter kan worden dan nul omdat deze term steeds negatief is, behalve als Q = 20. En dus kan (−5/2)·(Q − 20)² + 1000 oftewel π(Q) niet groter worden dan 1000.
pi_144340804
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 00:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je zult het wel niet willen horen, maar ik denk dat het niet kunnen volgen van de argumentatie ook te maken heeft met het feit dat het een Engels leerboek is. Ik zie steeds weer hier op FOK dat het gebruik van Engels lesmateriaal bij studenten een goed begrip in de weg staat. Is ook nergens voor nodig bij zulke elementaire dingen, er zijn genoeg Nederlandse boeken of dictaten waarin dit soort zaken worden uitgelegd, en als die er niet zijn is het hoog tijd dat ze geschreven worden.

[..]

Formule (2) wordt verkregen via kwadraatafsplitsing. Dat is een standaardtechniek voor het herleiden van kwadratische veeltermen die je gewoon moet leren gebruiken. Ik heb dit al heel vaak uitgelegd, als je even terugleest in dit topic vind je wel een paar linkjes naar eerdere posts van mij om je op weg te helpen.

De tekst onder (2) zegt dat je deze formule eenvoudig kunt verifiëren door de haakjes weer uit te werken en gelijksoortige termen samen te nemen. De clou is dat alleen de eerste term in het rechterlid van (2) afhangt van x en dat deze eerste term een kwadraat is, vermenigvuldigd met de constante a. Aangezien een kwadraat niet negatief kan zijn volgt dat de uitdrukking een extreme waarde bereikt als x + b/2a = 0 oftewel x = −b/2a. Deze extreme waarde is een minimum voor a > 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet kleiner kan worden dan nul, en een maximum voor a < 0 aangezien a(x + b/2a)² dan niet groter kan worden dan nul.

[..]

Dit kan niet. De blauwe tekst is een samenvatting van de tekst erboven waarvan je zelf beweert dat je deze niet begrijpt, en dus volgt dat je de blauwe tekst ook niet echt begrijpt.

[..]

Hier wordt een simpele substitutie x = −b/2a + u resp. x = −b/a2 − u uitgevoerd om aan te tonen dat de functiewaarden hetzelfde zijn voor elk tweetal waarden van x die symmetrisch liggen ten opzichte van −b/2a, zodat volgt dat de verticale lijn met vergelijking x = −b/2a een symmetrie-as is van de grafiek van de functie. In de tekst daaronder gaat het gewoon om het bepalen van het maximum van de functie π(Q) = 100Q − (5/2)·Q² alsmede de waarde van Q waarbij dit maximum wordt bereikt. Andere letters, zelfde principe.

Ik zal dit toch maar even voordoen met kwadraatafsplitsing, want de manier waarop het boek het doet is didactisch niet al te handig en foutgevoelig. We halen eerst even de coëfficiënt −5/2 van de kwadratische term buiten haakjes, dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q² − 40Q)

Nu gaan we kwadraatafsplitsing toepassen op de kwadratische veelterm binnen de haakjes. Daarvoor halveren we de coëfficiënt van Q en maken we gebruik van het merkwaardig product

(a − b)² = a² − 2ab + b²

om te bedenken dat (Q −20)² = Q² − 40Q + 400, zodat we dus hebben

Q² − 40Q = (Q − 20)² − 400

Voor de functie kunnen we dus schrijven

π(Q) = (−5/2)·((Q − 20)² − 400)

Nu werken we de buitenste haakjes in het functievoorschrift weer uit, en dan hebben we

π(Q) = (−5/2)·(Q − 20)² + 1000

En zie, nu kunnen we direct uit het functievoorschrift aflezen dat π(Q) een maximum van 1000 bereikt voor Q = 20. Dat komt uiteraard doordat (Q − 20)² niet negatief kan zijn, zodat de eerste term (−5/2)·(Q − 20)² niet groter kan worden dan nul omdat deze term steeds negatief is, behalve als Q = 20. En dus kan (−5/2)·(Q − 20)² + 1000 oftewel π(Q) niet groter worden dan 1000.
Kwadraatafsplitsen kan ik wel. In het voorbeeld in 2.3 wordt ook een tweedegraads polynoom gebruikt, maar dan met getallen ipv a, b en c. Echter komt het niet voor dat er een breuk e.d. ontstaat.
pi_144341138
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 00:20 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

We gaan op zoek naar de waarde van x waarvoor de kwadratische functie f zijn minimale of maximale waarde bereikt. Hebben we een dalparabool, dus met a>0, dan hebben we een minimum; bij a<0 hebben we een bergparabool en vinden we dus een maximum.
De uitdrukking die bij (2) wordt gegeven is niets anders dan een andere wijze van opschrijven van de algemene kwadratische functie waarmee werd begonnen. Dit is niet al te moeilijk in te zien door de haakjes weer uit te werken, maar ik denk dat het in paragraaf 2.3 ook netjes staat uitgeschreven, vermoedelijk onderweg naar het afleiden van de abc- of wortelformule.
In de uitdrukking bij (2) is het gedeelte achter het minteken constant - het hangt niet af van x. Het eerste gedeelte is slechts 0 als x = -b/2a (Oh ja?) Bij deze waarde van x moet dus wel de extreme waarde van de parabool liggen.
(Als je graag grafisch denkt: de parabool wordt eigenlijk verticaal zó opgeschoven dat ze raakt aan de x-as; dan is er precies één nulpunt dat op de top van de parabool ligt.)

Dat de top van de parabool precies daar moet liggen is ook makkelijk te zien als je gaat differentiëren:
f(x) = ax2 + bx + c, dan
f'(x) = 2ax + b, en dan

f'(x) = 0, dus 2ax + b = 0, dus 2ax = -b, dus x = -b/2a.

[..]

Deze uitdrukking vertelt je dat, als je eenmaal de x-waarde van het maximum gevonden hebt, de symmetrie-as van de parabool de verticale lijn door die x-waarde is, en (logischerwijs), de functiewaarde op een afstand u links van het midden, even groot is als de functiewaarde op een afstand u rechts van het midden. Bedenk dat, nog steeds, dat midden ligt bij x = -b / 2a.

[..]

Ik ga er dan maar van uit dat je het economische gedeelte (hoe komt de formule van π tot stand) begrijpt. Dit is een kwadratische functie, namelijk π(Q) = 100Q - 5/2Q2
Als we deze in dezelfde volgorde schrijven als voorheen, dus met de hoogste machten eerst, dan wordt dat
π(Q) = -5/2Q2 + 100Q.

In deze kwadratische formule is dus a = -5/2, b = 100 en c = 0. Met de hierboven afgeleide formule berekenen we eenvoudig de positie van het maximum (want a<0), en dat is precies wat ze doen bij 'Solution'. Daarna wordt de waarde van dat maximum π*(Q) berekend met behulp van de tweede regel van je tweede scan, waar de waarde van f(x) bij de top wordt uitgeschreven als c - b2/4a.

Succes.
Wat er in 2.3 staat, begrijp ik, maar er komen dan ook geen voorbeelden voor waarin zo'n kwadraatafsplitsing tevoorschijn komt met breuken en al.


Dit is 2.3:





[ Bericht 1% gewijzigd door Brainstorm245 op 09-09-2014 09:54:56 ]
pi_144341521
quote:
1s.gif Op dinsdag 9 september 2014 09:22 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Kwadraatafsplitsen kan ik wel. In het voorbeeld in 2.3 wordt ook een tweedegraads polynoom gebruikt, maar dan met getallen ipv a, b en c. Echter komt het niet voor dat er een breuk e.d. ontstaat.
Ik begrijp je probleem niet zo goed. Het lijkt er eerder op dat je moeite hebt met de herleiding middels kwadraatafsplitsing van de algemene kwadratische functie

f(x) \,=\, ax^2\,+\,bx\,+\,c

Je kunt trouwens in plaats van te beginnen met het buiten haakjes halen van een factor a en te schrijven

f(x) \,=\, a(x^2\,+\,\frac{b}{a}x\,+\,\frac{c}{a})

ook beginnen om een factor 1/4a buiten haakjes te halen, dan krijg je

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}(4a^2x^2\,+\,4abx\,+\,4ac)

waarvoor je weer kunt schrijven

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}\left((2ax\,+\,b)^2 \,-\, (b^2\,-\,4ac)\right)

De buitenste haakjes uitwerken geeft dan

f(x) \,=\, \frac{(2ax\,+\,b)^2}{4a} \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

En door bij de teller van de eerste term een factor 4a² = (2a)² buiten de haakjes te brengen hebben we dan inderdaad

f(x) \,=\, a(x \,+\, \frac{b}{2a})^2 \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

Zo kan het dus ook. Begrijp je dit wel?
pi_144341751
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 10:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp je probleem niet zo goed. Het lijkt er eerder op dat je moeite hebt met de herleiding middels kwadraatafsplitsing van de algemene kwadratische functie

f(x) \,=\, ax^2\,+\,bx\,+\,c

Je kunt trouwens in plaats van te beginnen met het buiten haakjes halen van een factor a en te schrijven

f(x) \,=\, a(x^2\,+\,\frac{b}{a}x\,+\,\frac{c}{a})

ook beginnen om een factor 1/4a buiten haakjes te halen, dan krijg je

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}(4a^2x^2\,+\,4abx\,+\,4ac)

waarvoor je weer kunt schrijven

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}\left((2ax\,+\,b)^2 \,-\, (b^2\,-\,4ac)\right)

De buitenste haakjes uitwerken geeft dan

f(x) \,=\, \frac{(2ax\,+\,b)^2}{4a} \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

En door bij de teller van de eerste term een factor 4a² = (2a)² buiten de haakjes te brengen hebben we dan inderdaad

f(x) \,=\, a(x \,+\, \frac{b}{2a})^2 \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

Zo kan het dus ook. Begrijp je dit wel?
waar haal je opeena die 1/4 vandaan? Overigens begrijp ik de overgang van stap 3 naar 4 niet. Uitgaande dat stap 1 gewoon het opschrijven vd kwadratische functie is.
pi_144341916
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 10:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp je probleem niet zo goed. Het lijkt er eerder op dat je moeite hebt met de herleiding middels kwadraatafsplitsing van de algemene kwadratische functie

f(x) \,=\, ax^2\,+\,bx\,+\,c

Je kunt trouwens in plaats van te beginnen met het buiten haakjes halen van een factor a en te schrijven

f(x) \,=\, a(x^2\,+\,\frac{b}{a}x\,+\,\frac{c}{a})

ook beginnen om een factor 1/4a buiten haakjes te halen, dan krijg je

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}(4a^2x^2\,+\,4abx\,+\,4ac)

waarvoor je weer kunt schrijven

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}\left((2ax\,+\,b)^2 \,-\, (b^2\,-\,4ac)\right)

De buitenste haakjes uitwerken geeft dan

f(x) \,=\, \frac{(2ax\,+\,b)^2}{4a} \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

En door bij de teller van de eerste term een factor 4a² = (2a)² buiten de haakjes te brengen hebben we dan inderdaad

f(x) \,=\, a(x \,+\, \frac{b}{2a})^2 \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

Zo kan het dus ook. Begrijp je dit wel?
overgang van n/a laatste naar laatste stap begrijp ik ook niet.

excuus als het dom overkomt.
pi_144342224
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 09:42 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Wat er in 2.3 staat, begrijp ik, maar er komen dan ook geen voorbeelden voor waarin zo'n kwadraatafsplitsing tevoorschijn komt met breuken en al.

Ik zie dat er een eenvoudig voorbeeld wordt gegeven voor het completeren van het linkerlid van een kwadratische vergelijking tot een volkomen kwadraat, waarna de pq formule wordt afgeleid die de oplossingen geeft van de vergelijking

x^2 \,+\, px \,+\, q \,=\, 0

Nu kun je vervolgens om de abc formule voor de oplossingen van de algemene vierkantsvergelijking

ax^2 \,+\, bx \,+\, c \,=\, 0

af te leiden beginnen om beide leden van deze vergelijking door a te delen, waardoor we dus krijgen

x^2 \,+\, \frac{b}{a}x \,+\, \frac{c}{a} \,=\, 0

Hiermee is de vergelijking herleid tot een vergelijking die we met de pq formule op kunnen lossen, en waarbij dus p = b/a en q = c/a. Door deze substituties uit te voeren in de pq formule wordt in het boek de abc formule verkregen.

Bestudeer dit eens goed en ook deze en deze uitwerkingen waarbij een vierkantsvergelijking wordt opgelost middels kwadraatafsplitsing. En bekijk ook mijn post over de afleiding van de pq formule en deze post over de directe afleiding van de abc formule met de methode van Sridhara.
pi_144342483
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 00:20 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

We gaan op zoek naar de waarde van x waarvoor de kwadratische functie f zijn minimale of maximale waarde bereikt. Hebben we een dalparabool, dus met a>0, dan hebben we een minimum; bij a<0 hebben we een bergparabool en vinden we dus een maximum.
De uitdrukking die bij (2) wordt gegeven is niets anders dan een andere wijze van opschrijven van de algemene kwadratische functie waarmee werd begonnen. Dit is niet al te moeilijk in te zien door de haakjes weer uit te werken, maar ik denk dat het in paragraaf 2.3 ook netjes staat uitgeschreven, vermoedelijk onderweg naar het afleiden van de abc- of wortelformule.
In de uitdrukking bij (2) is het gedeelte achter het minteken constant - het hangt niet af van x. Het eerste gedeelte is slechts 0 als x = -b/2a (Oh ja?) Bij deze waarde van x moet dus wel de extreme waarde van de parabool liggen.
(Als je graag grafisch denkt: de parabool wordt eigenlijk verticaal zó opgeschoven dat ze raakt aan de x-as; dan is er precies één nulpunt dat op de top van de parabool ligt.)

Dat de top van de parabool precies daar moet liggen is ook makkelijk te zien als je gaat differentiëren:
f(x) = ax2 + bx + c, dan
f'(x) = 2ax + b, en dan

f'(x) = 0, dus 2ax + b = 0, dus 2ax = -b, dus x = -b/2a.

[..]

Deze uitdrukking vertelt je dat, als je eenmaal de x-waarde van het maximum gevonden hebt, de symmetrie-as van de parabool de verticale lijn door die x-waarde is, en (logischerwijs), de functiewaarde op een afstand u links van het midden, even groot is als de functiewaarde op een afstand u rechts van het midden. Bedenk dat, nog steeds, dat midden ligt bij x = -b / 2a.

[..]

Ik ga er dan maar van uit dat je het economische gedeelte (hoe komt de formule van π tot stand) begrijpt. Dit is een kwadratische functie, namelijk π(Q) = 100Q - 5/2Q2
Als we deze in dezelfde volgorde schrijven als voorheen, dus met de hoogste machten eerst, dan wordt dat
π(Q) = -5/2Q2 + 100Q.

In deze kwadratische formule is dus a = -5/2, b = 100 en c = 0. Met de hierboven afgeleide formule berekenen we eenvoudig de positie van het maximum (want a<0), en dat is precies wat ze doen bij 'Solution'. Daarna wordt de waarde van dat maximum π*(Q) berekend met behulp van de tweede regel van je tweede scan, waar de waarde van f(x) bij de top wordt uitgeschreven als c - b2/4a.

Succes.
Dit begrijp ik niet. Sorry...

er staat staat dat de waarde (bij het bepalen van een maxima/minima) van x= -b/2a gelijk is aan f(-b /2a) = -(b^2 - 4ac) / 4a = c - b^2 /4a


Het vetgedrukte begrijp ik dus niet.. als ik i.p.v. x -b/2a invul, hoe komt het tot het vetgedrukte formule? En waarin verschilt dat met -b/2a waardoor -b/2a gebruikt kan worden voor de maximalisatie van de profit bij Q (begrijp ik wel) en de maximalisatie profit bij aantal euro (die met die 100^2)... ??


Overigens voor alle duidelijkheid: ik snap de essentie en de bedoeling erachter en waar ik mee bezig ben.. het is meer de uitleg en de diepgang die ik niet begrijp..
pi_144342635
quote:
1s.gif Op dinsdag 9 september 2014 10:12 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

waar haal je opeena die 1/4 vandaan?
Ik vermenigvuldig de veelterm ax2 + bx + c met 4a, waardoor we 4a2x2 + 4abx + 4ac krijgen. Maar dit kan ik bij een functie niet zomaar doen, omdat ik dan een andere functie zou krijgen. Daarom moet ik dit compenseren door ook weer door 4a te delen oftewel met 1/4a te vermenigvuldigen. Dit komt uiteindelijk neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.
quote:
Overigens begrijp ik de overgang van stap 3 naar 4 niet. Uitgaande dat stap 1 gewoon het opschrijven vd kwadratische functie is.
Dit is gewoon kwadraatafsplitsing. We kunnen binnen de haakjes

4a2x2 + 4abx + 4ac

herschrijven als

(2ax)2 + 2·(2ax)·b + b2 − (b2 − 4ac)

en dit is weer te schrijven als

(2ax + b)2 − (b2 − 4ac)

Maar bestudeer nu eerst maar eens alle posts waarnaar ik hierboven link, dan moet het wel duidelijk worden.
pi_144342861
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 10:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik vermenigvuldig de veelterm ax2 + bx + c met 4a, waardoor we 4a2x2 + 4abx + 4ac krijgen. Maar dit kan ik bij een functie niet zomaar doen, omdat ik dan een andere functie zou krijgen. Daarom moet ik dit compenseren door ook weer door 4a te delen oftewel met 1/4a te vermenigvuldigen. Dit komt uiteindelijk neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.

[..]

Dit is gewoon kwadraatafsplitsing. We kunnen binnen de haakjes

4a2x2 + 4abx + 4ac

herschrijven als

(2ax)2 + 2·(2ax)·b + b2 − (b2 − 4ac)

en dit is weer te schrijven als

(2ax + b)2 − (b2 − 4ac)

Maar bestudeer nu eerst maar eens alle posts waarnaar ik hierboven link, dan moet het wel duidelijk worden.
Ja die post had ik al eerder bestudeerd. Ze stonden ook nog eens letterlijk in mijn boek.

Ik begrijp alleen niet waarom die -(b² - 4ac) erbij komt.. Voor de rest was het wel duidelijk ( de overgang).
pi_144343130


[ Bericht 100% gewijzigd door Brainstorm245 op 09-09-2014 11:21:46 ]
pi_144343201
Jammer dat ik op google geen fatsoenlijke Nederlandse uitleg kan vinden over de kwadratische functies... en dan heb ik het over die

a( x + b/2a)² - b² - 4ac / 4a

etc. Eigenlijk gewoon mijn eerste post met die twee scans.

Als iemand dat toevallig heeft kunnen vinden, zou ik dat enorm waarderen (!!!)
pi_144343623
Aangezien mijn les zo zal beginnen, wil ik nog even alvast (!) mijn twee laatste vragen stellen:

Stel dat een winstformule het volgende is:

(a - c)Q - (b + d)Q²

Waarom is de maximalisatie van de winst op een bepaalde Q dan :

Q = (a - c) / 2(b + d) ?

Ik zou denken dat het

Q = (-a + c) / 2(b + d) is omdat er staat -b / 2a en niet b/2a

Tenslotte:

Stel er is een supply en demand functie, waarbij ze gelijk zijn en dus een quilibruim hebben bij:

P = a - bQ = c + 2dQ

dan zou:

Q = (a - c) / (b + 2d) zijn, daar ben ik nog wel uitgekomen, maar ik weet niet hoe ik de evenwichtsprijs functie kan opstellen evenals de evenwichts winstfunctie?
pi_144343647
quote:
1s.gif Op dinsdag 9 september 2014 10:38 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Dit begrijp ik niet. Sorry...

er staat staat dat de waarde (bij het bepalen van een maxima/minima) van x= -b/2a gelijk is aan f(-b /2a) = -(b^2 - 4ac) / 4a = c - b^2 /4a

Het vetgedrukte begrijp ik dus niet.. als ik i.p.v. x -b/2a invul, hoe komt het tot het vetgedrukte formule?

Hierboven heb ik laten zien hoe je de algemene kwadratische functie

f(x) \,=\, ax^2\,+\,bx\,+\,c

kunt herschrijven als

f(x) \,=\, a(x \,+\, \frac{b}{2a})^2 \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

Uit deze gedaante van de algemene kwadratische functie kunnen we aflezen dat f(x) een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a en dat deze extreme waarde een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Immers, als a > 0 dan is de term a(x + b/2a)2 positief of nul, zodat een minimum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is het geval voor x = −b/2a. Is daarentegen a < 0 dan is de term a(x + b/2a)2 negatief of nul zodat een maximum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is wederom het geval voor x = −b/2a.

Vullen we nu x = −b/2a in in het herleide functievoorschrift, dan is de eerste term nul en houden we dus over

f(-\frac{b}{2a}) \,=\,-\frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

De waarde van het bereikte extremum (minimum indien a > 0, maximum indien a < 0) is dus −(b² − 4ac)/4a = −b²/4a + c. Overigens vind ik het zelf prettiger om te schrijven

f(-\frac{b}{2a}) \,=\,-\frac{\mathrm{D}}{4a}

waarbij

\mathrm{D} \,=\, b^2 \,-\, 4ac

de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c (a ≠ 0). De discriminant bepaalt bij een kwadratische veelterm met reële coëfficiënten het aantal (verschillende) reële nulpunten van de veelterm, dat 0, 1 of 2 kan bedragen.

quote:
En waarin verschilt dat met -b/2a waardoor -b/2a gebruikt kan worden voor de maximalisatie van de profit bij Q (begrijp ik wel) en de maximalisatie profit bij aantal euro (die met die 100^2)... ??
Dit is niet begrijpelijk. Beter uitleggen wat precies je probleem is. Overigens heb ik je al gezegd dat je hier beter de functie π(Q) om kunt werken met kwadraatafsplitsing in een vorm waarbij je direct kunt aflezen dat voor Q = 20 een maximum van 1000 wordt bereikt.
quote:
Overigens voor alle duidelijkheid: ik snap de essentie en de bedoeling erachter en waar ik mee bezig ben.. het is meer de uitleg en de diepgang die ik niet begrijp..
Dit is geen kwestie van diepgang, je hebt kennelijk nauwelijks enig benul van elementaire schoolalgebra. Dit was vroeger allemaal stof voor de tweede klas.
pi_144343762
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 11:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hierboven heb ik laten zien hoe je de algemene kwadratische functie

f(x) \,=\, ax^2\,+\,bx\,+\,c

kunt herschrijven als

f(x) \,=\, a(x \,+\, \frac{b}{2a})^2 \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

Uit deze gedaante van de algemene kwadratische functie kunnen we aflezen dat f(x) een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a en dat deze extreme waarde een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Immers, als a > 0 dan is de term a(x + b/2a)2 positief of nul, zodat een minimum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is het geval voor x = −b/2a. Is daarentegen a < 0 dan is de term a(x + b/2a)2 negatief of nul zodat een maximum wordt bereikt als (x + b/2a) nul is, en dat is wederom het geval voor x = −b/2a.

Vullen we nu x = −b/2a in in het herleide functievoorschrift, dan is de eerste term nul en houden we dus over

f(-\frac{b}{2a}) \,=\,-\frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

De waarde van het bereikte extremum (minimum indien a > 0, maximum indien a < 0) is dus −(b² − 4ac)/4a = −b²/4a + c. Overigens vind ik het zelf prettiger om te schrijven

f(-\frac{b}{2a}) \,=\,-\frac{\mathrm{D}}{4a}

waarbij

\mathrm{D} \,=\, b^2 \,-\, 4ac

de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c (a ≠ 0). De discriminant bepaalt bij een kwadratische veelterm met reële coëfficiënten het aantal (verschillende) reële nulpunten van de veelterm, dat 0, 1 of 2 kan bedragen.

[..]

Dit is niet begrijpelijk. Beter uitleggen wat precies je probleem is. Overigens heb ik je al gezegd dat je hier beter de functie π(Q) om kunt werken met kwadraatafsplitsing in een vorm waarbij je direct kunt aflezen dat voor Q = 20 een maximum van 1000 wordt bereikt.

[..]

Dit is geen kwestie van diepgang, je hebt kennelijk nauwelijks enig benul van elementaire schoolalgebra. Dit was vroeger allemaal stof voor de tweede klas.
Super bedankt.

Ja klopt... Maar ik had havo wiskunde A en dat stelde niks voor op mijn middelbare school i.t.t. het vwo.
pi_144344086
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 10:52 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ja die post had ik al eerder bestudeerd. Ze stonden ook nog eens letterlijk in mijn boek.

Ik begrijp alleen niet waarom die -(b² - 4ac) erbij komt.. Voor de rest was het wel duidelijk ( de overgang).
Dan begrijp je dus echt niet hoe het completeren van het kwadraat werkt.

Om te beginnen: die 4ac komt er niet bij, want die stond er al. Waar het om gaat dat is dat we

4a2x2 + 4abx

oftewel

(2ax)2 + 2·2ax·b

willen completeren tot een volkomen kwadraat, en dat kunnen we doen door hier b2 bij op te tellen. Maar ik mag niet zomaar b2 optellen in een functievoorschrift want dan zou ik een andere functie krijgen. Dus moet ik die b2 ook weer meteen aftrekken. We herschrijven dus

4a2x2 + 4abx + 4ac

oftewel

(2ax)2 + 2·2ax·b + 4ac

als

(2ax)2 + 2·2ax·b + b2 − b2 + 4ac

en nu kunnen we dit weer schrijven als

(2ax + b)2 − b2 + 4ac

oftewel

(2ax + b)2 − (b2 − 4ac)
pi_144345933
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 11:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dan begrijp je dus echt niet hoe het completeren van het kwadraat werkt.

Om te beginnen: die 4ac komt er niet bij, want die stond er al. Waar het om gaat dat is dat we

4a2x2 + 4abx

oftewel

(2ax)2 + 2·2ax·b

willen completeren tot een volkomen kwadraat, en dat kunnen we doen door hier b2 bij op te tellen. Maar ik mag niet zomaar b2 optellen in een functievoorschrift want dan zou ik een andere functie krijgen. Dus moet ik die b2 ook weer meteen aftrekken. We herschrijven dus

4a2x2 + 4abx + 4ac

oftewel

(2ax)2 + 2·2ax·b + 4ac

als

(2ax)2 + 2·2ax·b + b2 − b2 + 4ac

en nu kunnen we dit weer schrijven als

(2ax + b)2 − b2 + 4ac

oftewel

(2ax + b)2 − (b2 − 4ac)
Ik begrijp gewoon niet hoe die c/a opeens 4ac wordt..

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}(4a^2x^2\,+\,4abx\,+\,4ac)
pi_144346591
quote:
Ik vermenigvuldig de veelterm ax2 + bx + c met 4a, waardoor we 4a2x2 + 4abx + 4ac krijgen. Maar dit kan ik bij een functie niet zomaar doen, omdat ik dan een andere functie zou krijgen. Daarom moet ik dit compenseren door ook weer door 4a te delen oftewel met 1/4a te vermenigvuldigen. Dit komt uiteindelijk neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.
pi_144346827
quote:
1s.gif Op dinsdag 9 september 2014 12:54 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

ja ik snap de nut er niet van? Je vermenigvuldigt met 4a? Sowieso al, waarom 4a en niet alleen met 4? Wat is de reden voor de keuze voor 4 en niet voor 2 oid? en dan inderdaad weer delen met 1/4a, maar dan bereik je toch niks? is gewoon hetzelfde functie alleen anders geschreven? ik begrijp de hele nut ervan niet.


ik stel steeds waarom vragen en denk extreem veel door, waardoor ik in mijn eigen doordenken in de war raak. ik wil alles weten.. waarom het zo is etc.
pi_144347282
quote:
1s.gif Op dinsdag 9 september 2014 13:01 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

ja ik snap de nut er niet van? Je vermenigvuldigt met 4a? Sowieso al, waarom 4a en niet alleen met 4? Wat is de reden voor de keuze voor 4 en niet voor 2 oid? en dan inderdaad weer delen met 1/4a, maar dan bereik je toch niks? is gewoon hetzelfde functie alleen anders geschreven? ik begrijp de hele nut ervan niet.


ik stel steeds waarom vragen en denk extreem veel door, waardoor ik in mijn eigen doordenken in de war raak. ik wil alles weten.. waarom het zo is etc.
Is gewoon een herschrijving om het je gemakkelijker te maken.

lees post op dinsdag 9 september 2014 @ 11:24 • 214

[ Bericht 3% gewijzigd door wiskundenoob op 09-09-2014 13:23:14 ]
pi_144349396


Deze vraag gaat over lineair programmeren. De kosten dienen geminimaliseerd te worden en de tabel geeft weer welke boete men heeft ontvangen (kosten), na aanleiding van de gereden rit op een dag. Taxichauffeurs mogen maar 1 route per dag rijden. Ik moet dus een optimale situatie weer kunnen geven met behulp van excel (Solver?). Er zijn dus 64 variabelen met chauffeurs en route?

Als iemand me kan helpen, zou mooi zijn!
--
pi_144349440
http://tinypic.com/r/rqxij4/8

Is de link van de tabel, hij wil hem helaas hier niet openen :(
Objective is dus dat ik de chauffeurs moet toewijzen aan de routes, waar een bepaalde optimale situatie voor is

Bij voorbaat dank!
--
pi_144356502
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 11:23 schreef Brainstorm245 het volgende:
Aangezien mijn les zo zal beginnen, wil ik nog even alvast (!) mijn twee laatste vragen stellen:

Stel dat een winstformule het volgende is:

(a - c)Q - (b + d)Q²

Waarom is de maximalisatie van de winst op een bepaalde Q dan :

Q = (a - c) / 2(b + d) ?

Ik zou denken dat het

Q = (-a + c) / 2(b + d) is omdat er staat -b / 2a en niet b/2a

Tenslotte:

Stel er is een supply en demand functie, waarbij ze gelijk zijn en dus een quilibruim hebben bij:

P = a - bQ = c + 2dQ

dan zou:

Q = (a - c) / (b + 2d) zijn, daar ben ik nog wel uitgekomen, maar ik weet niet hoe ik de evenwichtsprijs functie kan opstellen evenals de evenwichts winstfunctie?
pi_144356599
quote:
0s.gif Op dinsdag 9 september 2014 12:36 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ik begrijp gewoon niet hoe die c/a opeens 4ac wordt..

f(x) \,=\, \frac{1}{4a}(4a^2x^2\,+\,4abx\,+\,4ac)
Bekijk het eens andersom. Stel dat we precies bovenstaand functievoorschrift hebben en dat we hier de haakjes weer uit willen werken. Dan krijgen we dus

f(x) \,=\,\frac{1}{4a}\cdot4a^2x^2\,+\,\frac{1}{4a}\cdot4abx\,+\,\frac{1}{4a}\cdot4ac

oftewel

f(x) \,=\,\frac{4a^2x^2}{4a}\,+\,\frac{4abx}{4a}\,+\,\frac{4ac}{4a}

Nu zie je dat we de drie breuken kunnen vereenvoudigen, want de teller en de noemer van elk van de drie breuken heeft een factor 4a. We kunnen dus de drie breuken vereenvoudigen door bij elke breuk teller en noemer door 4a te delen. En dan krijgen we

f(x) \,=\,\frac{ax^2}{1}\,+\,\frac{bx}{1}\,+\,\frac{c}{1}

oftewel

f(x) \,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c

Zo zie je dus dat beide uitdrukkingen voor f(x) inderdaad identiek zijn.
pi_144357944
quote:
1s.gif Op dinsdag 9 september 2014 13:01 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

ja ik snap de nut er niet van? Je vermenigvuldigt met 4a? Sowieso al, waarom 4a en niet alleen met 4? Wat is de reden voor de keuze voor 4 en niet voor 2 oid?
Als je mijn post over de afleiding van de abc formule met de methode van Sridhara had bestudeerd dan zou je hebben begrepen waarom we met 4a vermenigvuldigen.
quote:
en dan inderdaad weer delen vermenigvuldigen met 1/4a, maar dan bereik je toch niks? is gewoon hetzelfde functie alleen anders geschreven?
Inderdaad, we moeten bij de herleiding van een functievoorschrift natuurlijk wel ervoor zorgen dat de functie hetzelfde blijft. Ik vermenigvuldig de veelterm

ax² + bx + c

met 4a om zo

4a²x² + 4abx + 4ac

te krijgen oftewel

(2ax)² + 2·(2ax)·b + 4ac

zodat ik kwadraatafsplitsing kan toepassen zonder vervelende breuken en je dus krijgt

(2ax + b)² − b² + 4ac

Maar bij de herleiding van een functievoorschrift mag ik niet zomaar alles met een factor vermenigvuldigen, want dan zouden we een andere functie krijgen, en dat is niet de bedoeling. Dus moeten we die vermenigvuldiging van de termen van (ax² + bx + c) met 4a compenseren door meteen buiten de haakjes een factor 1/4a toe te voegen. En effectief komt dit neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.
quote:
ik begrijp de hele nut ervan niet.
Dat blijkt. Nog één keer dan. Als we een kwadratische functie

f(x) \,=\, ax^2\,+\,bx\,+\,c

hebben, dan kunnen we hier met het 'blote oog' niet aan zien of deze functie een extreme waarde heeft, laat staan wat het maximum of het minimum is van deze functie, en voor welke waarde van x dit maximum of minimum wordt bereikt. Maar als we dit functievoorschrift omwerken naar

f(x) \,=\, a(x \,+\, \frac{b}{2a})^2 \,-\, \frac{b^2\,-\,4ac}{4a}

dan kunnen we opeens wél in één oogopslag zien dat de functie een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a, en dat deze extreme waarde een minimum is als a > 0 maar een maximum als a < 0. Ook kunnen we direct zien dat deze extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a bedraagt, waarbij D = b² − 4ac. De top van de parabool die de grafiek is van deze functie heeft dus de coördinaten (−b/2a, −D/4a).

Je ziet dat we nu opeens een heleboel informatie over deze kwadratische functie boven water hebben gekregen die we nooit hadden gekregen als we alleen maar stom naar het functievoorschrift

f(x) = ax² + bx + c

waren blijven staren.

Bovendien is de techiek van het kwadraatafsplitsen uitermate nuttig voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen (en voor tal van andere zaken waar ik nu niet op in ga).
quote:
Ik stel steeds waarom vragen en denk extreem veel door, waardoor ik in mijn eigen doordenken in de war raak. ik wil alles weten.. waarom het zo is etc.
Dat 'extreem doordenken' valt nogal mee (of tegen, afhankelijk van het perspectief van de beschouwer). Ik vind dat je een en ander nog wel wat beter mag overdenken, en ook is het zaak om je vaardigheden met het uitvoeren van algebraïsche herleidingen snel op peil te brengen, anders zal dit je je hele studie blijven achtervolgen en zul je mogelijk je studie moeten staken. Laat het eens lekker doorwaaien in die grijze massa van je!

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2014 15:11:20 ]
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')