[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op maandag 14 juli 2014 23:16 schreef netchip het volgende:

[..]

Dit zegt mij niet erg veel. Ik zal er een nachtje overslapen.

Uitleg staat hier.

quote:

Leuk dat je er tijd insteekt om mij iets te leren over complexe getallen, Riparius. Ik merk dat ik nu nieuwe inzichten heb, jij vertelde dat een vermenigvuldiging met i een rotatie van 90 graden tegen de klok in betekent. Erg leuk (voor mij) om die kennis dan ook te gebruiken, omdat ik nu weet wat een vermenigvuldiging met i inhoudt.

Ik zal binnenkort nog iets posten over de meetkundige interpretatie van een vermenigvuldiging met een willekeurig complex getal ongelijk nul, die in het algemeen beantwoordt aan een draaistrekking in het complexe vlak. Dat wordt eigenlijk nooit goed uitgelegd in inleidende cursussen complexe getallen die ik heb gezien, dus dit is een goede gelegenheid om daar eens iets over te vertellen.

quote:

Het kwartje met de parametervoorstellingen is nu ook gevallen. Het principe is mij duidelijk. Het is eigenlijk een redelijk abstract principe als je gewend bent dat y een functie van x is.

Als t je parameter is, dan zijn x en y elk een functie van t. Oefeningetje nog gelukt?

quote:

Op maandag 14 juli 2014 23:47 schreef netchip het volgende:

[..]

Die laatste helaas niet ... Ik kwam er echt niet uit.

Is echt heel eenvoudig hoor (als je je goniometrische identiteiten kent ...). We hadden een kromme met als parametervoorstelling

(1) x = 2·sin t
(2) y = sin 2t

en gevraagd werd een cartesische vergelijking van deze kromme op te stellen. Dit is een zogeheten Lissajous figuur (zie hier voor een grafiek). Als we vergelijking (2) kwadrateren, dan hebben we

(3) y² = (sin 2t)² = (2·sin t·cos t)² = 4·sin²t·cos²t = 4·sin²t(1 − sin²t) = 4·sin²t − 4·sin⁴t

En substitutie van (1) in (3) levert dan

y² = 4·(½x)² − 4·(½x)⁴
y² = x² − ¼x⁴
4y² = 4x² − x⁴

en dus

x⁴ − 4x² + 4y² = 0

De grafiek van deze vierdegraads kromme is uiteraard precies dezelfde Lissajous figuur.

Geen echte wiskunde, maar een stukje natuurkunde.

De SI eenheid voor druk is Pascal. 1 Pascal is 1 newton gedeeld door 1 vierkante meter. Op de oppervlakte van de aarde is de atmosferische druk ongeveer 100 kilonewton per vierkante meter.

Waarom ervaren wij die druk dan niet? Als ik mijn hand uitsteek, waarom is het dan alleen de zwaartekracht die een neerwaartse kracht uitoefent op mijn hand?

quote:

Op woensdag 23 juli 2014 12:57 schreef m.w. het volgende:
Geen echte wiskunde, maar een stukje natuurkunde.

De SI eenheid voor druk is Pascal. 1 Pascal is 1 newton gedeeld door 1 vierkante meter. Op de oppervlakte van de aarde is de atmosferische druk ongeveer 100 kilonewton per vierkante meter.

Waarom ervaren wij die druk dan niet? Als ik mijn hand uitsteek, waarom is het dan alleen de zwaartekracht die een neerwaartse kracht uitoefent op mijn hand?

Die druk voel je zowel onder aan je arm als erboven. Daarom dat ie niet één kant op gelanceerd wordt

quote:

Op woensdag 23 juli 2014 12:57 schreef m.w. het volgende:
Geen echte wiskunde, maar een stukje natuurkunde.

Waarom stel je deze vraag dan niet in het andere bèta topic?

quote:

De SI eenheid voor druk is Pascal. 1 Pascal is 1 newton gedeeld door 1 vierkante meter. Op de oppervlakte van de aarde is de atmosferische druk ongeveer 100 kilonewton per vierkante meter.

Waarom ervaren wij die druk dan niet? Als ik mijn hand uitsteek, waarom is het dan alleen de zwaartekracht die een neerwaartse kracht uitoefent op mijn hand?

De druk binnen in je lichaam is min of meer gelijk aan de buitendruk. Maar als je bijvoorbeeld ademhaalt creëer je een onderdruk, waardoor lucht naar binnen stroomt.

Je kunt een eenvoudig proefje doen om de luchtdruk te demonstreren. Vul een beker geheel met water, zet er een onderzetter bovenop die de opening geheel afsluit, en keer de gevulde beker dan om terwijl je de onderzetter tegenhoudt zodat deze niet weg kan glijden. Als je dan bij de omgekeerde beker de onderzetter los laat maar de beker wel vast blijft houden, dan blijft de onderzetter tegen de beker zitten. Dat bewijst dus dat er van onderaf een kracht omhoog op de onderzetter wordt uitgeoefend die groter is dan de kracht omlaag die door het gravitatieveld van de aarde op het water en de onderzetter wordt uitgeoefend. En die kracht omhoog wordt uiteraard veroorzaakt door de luchtdruk.

quote:

Op woensdag 23 juli 2014 12:57 schreef m.w. het volgende:
De SI eenheid voor druk is Pascal. 1 Pascal is 1 newton gedeeld door 1 vierkante meter. Op de oppervlakte van de aarde is de atmosferische druk ongeveer 100 kilonewton per vierkante meter.
Waarom ervaren wij die druk dan niet? Als ik mijn hand uitsteek, waarom is het dan alleen de zwaartekracht die een neerwaartse kracht uitoefent op mijn hand?

Zoals Riparius aangeeft, jij maakt de redeneerfout om naar 1 absolute druk te kijken in plaats van naar het drukverschil tussen binnen en buiten het lichaam, boven en onder je hand etc.
Als jij je hand uitsteekt dan is de druk boven je hand even groot als onder de hand, er is dus geen drukverschil (nu ja, een verwaarloosbaar kleine waarschijnlijk maar dat is nu niet relevant) en dus geen netto kracht van die lucht. Het gaat om het drukverschil. Aanvullende opmerking: op het moment dat wij inademen wordt een onderdruk gecreëerd doordat de spieren de longen oprekken en zodoende het volume vergroten.

Op die manier. Ik dacht er inderdaad fundamenteel verkeerd over na; bedankt voor de antwoorden! Hier heb ik heel veel aan.

quote:

Op zondag 3 augustus 2014 14:56 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik snap niet helemaal wat je hier mee bedoelt: "En substitutie van (1) in (3) levert dan" ... Wat valt er te substitueren?

Ah, ik zie het nu.

sin t = x / 2

quote:

Op woensdag 6 augustus 2014 12:15 schreef netchip het volgende:
Hmm. Ik probeer de inverse functie van te bepalen... Ik dacht, kwadrateer beide kanten, dan krijg je y² = -1-x. Dan breng je de x naar links, en de y² naar rechts, daaruit volgt dan: x = -y²-1. Maar dat blijkt dus fout te zijn...

Waarom blijkt dat fout te zijn?

Je moet natuurlijk wel kijken naar de domeinen waarop de functies geldig zijn.

quote:

Op woensdag 6 augustus 2014 14:10 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik controleerde mijn antwoord aan de hand van Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.c(...)f+y%3Dsqrt%28-1-x%29 Ik werd in verwarring gebracht doordat WA de x in hun inverse functie laat terugkomen, maar dat is natuurlijk omdat de functie y(x) een parameter x nodig heeft. x(y) was logischer geweest, maar goed.

Gebruikelijke notatie is y(x) voor een functie, en y^-1(x) voor de inverse. De notatie x(y) vind ik ook wel leuk, maar is ongebruikelijk en kan verwarrend zijn. Zeker als x als vrije variabele gebruikt wordt, en dan ook nog een functie moet voorstellen.

quote:

Op woensdag 6 augustus 2014 16:23 schreef thenxero het volgende:

[..]

Gebruikelijke notatie is y(x) voor een functie, en y^-1(x) voor de inverse. De notatie x(y) vind ik ook wel leuk, maar is ongebruikelijk en kan verwarrend zijn. Zeker als x als vrije variabele gebruikt wordt, en dan ook nog een functie moet voorstellen.

Het is beter om aanduidingen van variabelen en namen van functies niet door elkaar te gebruiken, want dan krijg je inderdaad al gauw allerlei conceptuele verwarringen. Ik heb Netchip daar overigens al eens op gewezen.

quote:

Op woensdag 6 augustus 2014 14:10 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik controleerde mijn antwoord aan de hand van Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.c(...)f+y%3Dsqrt%28-1-x%29 Ik werd in verwarring gebracht doordat WA de x in hun inverse functie laat terugkomen, maar dat is natuurlijk omdat de functie y(x) een parameter x nodig heeft. x(y) was logischer geweest, maar goed.

Het probleem zit vooral in de notatie die je zelf hebt gekozen. Als je nu gewoon dit had gedaan dan was je vast niet in verwarring gebracht. Overigens is de notatie f⁻¹ voor de inverse van een functie f en daarmee bijvoorbeeld sin⁻¹x voor arcsin x nu ook niet bepaald gelukkig gekozen, zie hier mijn kanttekeningen over deze notatie.

quote:

Op woensdag 6 augustus 2014 16:23 schreef thenxero het volgende:

[..]

Gebruikelijke notatie is y(x) voor een functie, en y^-1(x) voor de inverse. De notatie x(y) vind ik ook wel leuk, maar is ongebruikelijk en kan verwarrend zijn. Zeker als x als vrije variabele gebruikt wordt, en dan ook nog een functie moet voorstellen.

y(x) is een functie geëvalueerd op het punt x, y is een functie en y^-1 is de bijbehorende inverse functie.

En het is altijd makkelijk om te controleren of je de inverse te pakken hebt, immers moet gelden dat y(y^-1(x)) = y^-1(y(x)) = x voor alle x.

quote:

Op woensdag 6 augustus 2014 22:15 schreef Novermars het volgende:

[..]

y(x) is een functie geëvalueerd op het punt x, y is een functie en y^-1 is de bijbehorende inverse functie.

En het is altijd makkelijk om te controleren of je de inverse te pakken hebt, immers moet gelden dat y(y^-1(x)) = y^-1(y(x)) = x voor alle x.

En zo moet je dit dus niet opschrijven, zoals ik hierboven beargumenteer. Hier gebruik je y als aanduiding van een functienaam maar tevens als variabele, en dat is conceptueel onjuist. De notatie y⁻¹ is nu ambigu, want dit stelt ook de multiplicatieve inverse van de variabele y voor. Als je daarentegen f en f⁻¹ exclusief als namen van functies gebruikt, dan kan f⁻¹ niet worden aangezien voor een multiplicatieve inverse, wat natuurlijk niet wegneemt dat de notatie f⁻¹ voor de inverse functie van een functie f ongelukkig blijft.

quote:

Op woensdag 6 augustus 2014 22:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

En zo moet je dit dus niet opschrijven, zoals ik hierboven beargumenteer. Hier gebruik je y als aanduiding van een functienaam maar tevens als variabele, en dat is conceptueel onjuist. De notatie y⁻¹ is nu ambigu, want dit stelt ook de multiplicatieve inverse van de variabele y voor. Als je daarentegen f en f⁻¹ exclusief als namen van functies gebruikt, dan kan f⁻¹ niet worden aangezien voor een multiplicatieve inverse, wat natuurlijk niet wegneemt dat de notatie f⁻¹ voor de inverse functie van een functie f ongelukkig blijft.

Waar gebruik ik y als variabele? En f en f^-1 zijn inderdaad beter, maar omdat de rest toch al bezig waren met het gebruiken van y en y^-1, ben ik daar for the sake of consistency mee doorgegaan.

quote:

Op donderdag 7 augustus 2014 00:24 schreef Novermars het volgende:

[..]

Waar gebruik ik y als variabele?

Inderdaad niet expliciet, maar wel impliciet. Als je een reële functie hebt van een reële variabele x, hoe zou je dan de afhankelijke variabele willen noemen? Om iets als f(x) = √(−1 − x) te inverteren moet je de afhankelijke variabele toch ook (even) een naam geven. En als je een grafiek gaat tekenen en de horizontale as noem je de x-as, hoe zou je dan de verticale as willen noemen?

quote:

En f en f^-1 zijn inderdaad beter, maar omdat de rest toch al bezig waren was met het gebruiken van y en y^-1, ben ik daar for the sake of consistency mee doorgegaan.

Jaja. Als je namen van variabelen als namen van functies gaat gebruiken of omgekeerd, en je gaat dit dan ook nog mixen met de notatie van de multiplicatieve inverse van een variabele als inverse van een functie, dan is de chaos compleet, en dat verdient geen navolging.

@netchip: de grafiek van een inverse functie verkrijg je door de grafiek van de gegeven (inverteerbare) functie te spiegelen in de lijn met vergelijking y = x. Bij een spiegeling in de lijn met vergelijking y = x gaat een punt met coördinaten (x, y) over in het punt met coördinaten (y, x). Dat impliceert dat je een vergelijking van de grafiek van het spiegelbeeld van de grafiek van een gegeven functie bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x kunt verkrijgen door de variabelen x en y met elkaar te verwisselen in de vergelijking y = f(x) van de grafiek van de oorspronkelijke functie.

Hebben we dus een functie f: (−∞, −1] → R met als functievoorschrift f(x) = √(−1 − x), dan heeft de grafiek van deze functie de vergelijking y = √(−1 − x). Verwisselen van x en y geeft x = √(−1 − y) en oplossen van y uit deze betrekking geeft y = −x² − 1 als vergelijking van het spiegelbeeld van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x. De functie f is dus inverteerbaar en de inverse van f is de functie g: [0, ∞) → R met als functievoorschrift g(x) = −x² − 1.

De notatie f⁻¹ voor de inverse van een functie f is gebruikelijk, maar verdient geen aanbeveling, net zo min als het aanbeveling verdient om bijvoorbeeld de notatie sin⁻¹x te gebruiken voor arcsin x. Merk ook op dat f⁻¹(x) iets anders betekent dan f(x⁻¹) en dat dit weer iets anders is dan f(x)⁻¹ = (f(x))⁻¹. Men heeft ook voorgesteld om de notatie f^[−1] te gebruiken voor de inverse functie van een functie f, maar we gebruiken ook al f⁽ⁿ⁾ voor de n-de afgeleide van f, en je zou dus zeggen dat f⁽⁻¹⁾ dan weer een primitieve voorstelt van f. Overigens heb je met y = f(x), x = f⁻¹(y) wel dx/dy = (dy/dx)⁻¹ en dat is dan weer mooi.

Een alternatief is de notatie f^inv voor de inverse functie van een functie f.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-08-2014 05:52:49 ]

Dus differentiëren met de kettingregel geeft



Met y=f(x) en x=f^{-1}(y) krijg je dus



De ^-1 die Riparius aanhaalde was daar dus multiplicatief.

quote:

Op donderdag 7 augustus 2014 11:09 schreef netchip het volgende:

[..]

Interessant.

"Overigens heb je met y = f(x), x = f⁻¹(y) wel dx/dy = (dy/dx)⁻¹ en dat is dan weer mooi."
Bedoel je met de ^-1 bij dy/dx, de inverse functie, of 1/(dy/dx)? Volgens mij is dit geen functie (geen 'haakjesnotatie'), dus moet het wel het laatste zijn...

De waarde van de afgeleide functie is (bij een reële functie van een reële variabele) niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt op de grafiek van de functie. Welnu, bij twee rechte lijnen die elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x is het product van de richtingscoëfficiënten van die lijnen gelijk aan 1, mits de lijnen niet parallel zijn aan de coördinaatassen (bewijs dit).

Een raaklijn in een punt (x, y) op de grafiek van f gaat bij spiegeling in de lijn y = x over in de raaklijn in het punt (y, x) op de grafiek van f⁻¹ zodat je dus direct ziet dat moet gelden

f'(x)·(f⁻¹)'(y) = 1

oftewel, in de veel transparantere notatie van Leibniz

(dy/dx)·(dx/dy) = 1.