Als jij mij met de LAATST volgende functies kunt helpen om tot de afgeleide te komen zou ik het overweldigend vinden en tja dan ben je denk ik van mij af.quote:Op zondag 18 mei 2014 16:48 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))2 te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.
Het wordt waarschijnlijk duidelijker al we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.
Je hebt eerst:
(1) u = ln(x)
en dan
(2) y = u2
en samen geeft dit y = u2 = (ln(x))2, dus
(3) y = (ln(x))2
Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op
du/dx = 1/x
en (2) levert op
dy/du = 2u
Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u2 naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel
dy/dx = dy/du · du/dx
en dus vinden we
dy/dx = 2u·(1/x)
Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk
dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)
dus
dy/dx = 2·ln(x)/x
Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.
De afgeleide van de teller is 0 dus dat doe je fout bij het gebruiken van de quotientregel.quote:Op zondag 18 mei 2014 17:40 schreef RustCohle het volgende:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
Steeds in twee gevallen splitsen.quote:Op zondag 18 mei 2014 17:00 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Als jij mij met de LAATST volgende functies kunt helpen om tot de afgeleide te komen zou ik het overweldigend vinden en tja dan ben je denk ik van mij af.
| x - 1 |
| x² - 1 |
en
e - | x |
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.quote:Op zondag 18 mei 2014 17:40 schreef RustCohle het volgende:
Afgeleide van 1 / (1+x²) is zover ik weet:
1 (2x) - (1+x²) / (1+x²)²
-x² + 2x - 1 / (1+x²)²
Afgeleide = 0 als de teller van een breuk 0 is dus..
-x² + 2x - 1 = 0
delen door -
x² + 2x + 1
( x - 1)² = 0
Dus x = 1
Echter geeft het antwoordenmodel aan dat x = 0 is...
quote:Op zondag 18 mei 2014 17:56 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
Steeds in twee gevallen splitsen.
f(x) = |x-1|
f(x) = x -1 voor x ≥ 1
f(x) = 1 - x voor x < 1
f ' (x) = 1 voor x > 1
f ' (x) = -1 voor x < 1
De afgeleide in x = 0 bestaat niet.
En die andere functies gaan op dezelfde manier.
Als jullie het doen is het zo duidelijk...quote:Op zondag 18 mei 2014 17:57 schreef Riparius het volgende:
[..]
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
Quotient regel is tochquote:Op zondag 18 mei 2014 17:57 schreef Riparius het volgende:
[..]
Er zijn verschillende manieren om hier de afgeleide te bepalen.
Quotiëntregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g2
Hier heb je dan f(x) = 1 en g(x) = 1 + x2 en dus is f'(x) = 0 en g'(x) = 2x. De eerste term in de teller valt dus weg en we houden over
−2x/(1 + x2)2
Kettingregel: (g∘f)'= (g'∘f)·f'
We herschrijven 1/(1 + x2) als (1 + x2)−1 en dan hebben we als afgeleide
(−1)·(1 + x2)−2·2x
en dat is uiteraard hetzelfde als
−2x/(1 + x2)2
Een breuk kan alleen nul zijn als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is, en dat is hier het geval voor x = 0.
Nee. Je hebt f(x) = 1 maar dan is f'(x) = 0. De afgeleide van een constante functie is nul. Daarom valt de eerste term in de teller (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) weg. Je hebt immers in de tellerquote:Op zondag 18 mei 2014 18:02 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Quotient regel is toch
f(x)' g(x) - f(x) g'(x)
Dus ik dacht:
1 * 1-x² - 2x
Dus dan kom ik toch steeds uit op
-x² -2x + 1
Ofwel
x² + 2x - 1
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee. Je hebt f(x) = 1 maar dan is f'(x) = 0. De afgeleide van een constante functie is nul. Daarom valt de eerste term in de teller (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) weg. Je hebt immers in de teller
0·(1 + x2) − 1·2x = 0 − 2x = −2x
En de noemer is (g(x))2 = (1 + x2)2
De afgeleide wordt daarmee dus
−2x/(1 + x2)2
Dat is correct. Via de productregel heb je 2x·ln x + x2·x−1 = 2x·lnx + x.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:13 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Uit de afgeleide van x² ln x kom ik ook niet uit gvd.
Ik kom uit op 2x ln x + x
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.quote:Maar ik weet niet hoe ik het moet oplossen.... als afgeleide =0
Ik heb het volgende gedaan:
ln 2x² + x = 0
Owww dank u.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:27 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat is correct. Via de productregel heb je 2x·ln x + x2·x−1 = 2x·lnx + x.
[..]
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Het is de bedoeling om met je wiskundekennis eerst de waardes voor a en b te berekenen.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:20 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Het buigpunt van een kromme is het punt op de kromme waar de kromming van teken verandert. Deze vind je door de tweede afgeleide (afgeleide van de afgeleide) gelijk te stellen aan 0.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:20 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
De functie is niet gedefinieerd voor x = 0 ?quote:Op zondag 18 mei 2014 18:27 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat is al fout. 2·x· ln x is niet hetzelfde als ln(2x2). Hoe kom je erbij dat je iets als p·ln(a) mag vervangen door ln(pa) ? Je kent toch de rekenregel p·ln(a) = ln(ap) ? En je weet toch dat ap niet hetzelfde is als ap ? Dus kan het niet kloppen.
We hebben
2x·lnx + x = 0
Hier hebben beide termen in het linkerlid een factor x, die we dus buiten haakjes kunnen halen. Dat geeft
x·(2·ln x + 1) = 0
Nu is een product alleen nul als (tenminste) één van de factoren zelf nul is, dus vinden we
x = 0 ∨ 2·ln x + 1 = 0
x = 0 ∨ 2·ln x = −1
x = 0 ∨ ln x = −1/2
x = 0 ∨ x = e−1/2
Ik kom uit op (2x - 6 / x) - 1/xquote:Op zondag 18 mei 2014 18:33 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Owww dank u.
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
De clou is natuurlijk dat jij uit moet vogelen wat a en b zijn, die krijg je niet op een presenteerblaadje aangereikt.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:20 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik de laatste vraag moet maken m.b.t. buigpunt?
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Graag niet de uitwerking vertellen maar hoe ik tot het antwoord moet komen.. Want als ik
(2,8) in de vergelijking invul 2 = x en 8 = y dan ontbreekt a en b bij mij... als variabelen
Inderdaad. Dat zal ik nog even corrigeren. Was ondertussen al weer bezig met een andere vraag hier. Het wordt me een beetje teveel.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:35 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
De functie is niet gedefinieerd voor x = 0 ?
quote:Op zondag 18 mei 2014 18:33 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Owww dank u.
Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Van ln (x² - 6x) alleen weet ik dat het
(2x - 6) / x moet zijn, maar met ln (x) erbij weet ik het niet..
Even bij elkaar quote.quote:
Let op dat x = 0 bij je vorige opgave komt te vervallen. Dat was ik even vergeten.quote:
Maak gebruik van de eigenschappen van logaritmen, met name de rekenregelquote:Afgeleide van:
ln (x² - 6x) - ln (x)
Gewoon delen door x toch? want log a - log b -- > log a/b ?quote:Op zondag 18 mei 2014 18:49 schreef Riparius het volgende:
[..]
Let op dat x = 0 bij je vorige opgave komt te vervallen. Dat was ik even vergeten.
[..]
Maak gebruik van de eigenschappen van logaritmen, met name de rekenregel
ln(ab) = ln a + ln b
We hebben x2 − 6x = x(x −6) en dus ook
ln(x2 − 6x) − ln x = ln(x·(x − 6)) − ln x = ln x + ln(x − 6) − ln x = ln(x − 6)
De afgeleide wordt dus
1/(x −6)
Let hier weer op dat (x − 6) positief moet zijn, en dus dat x > 6 moet zijn.
Dat kan ook. Maar ik dacht dat je een herleiding zonder breuken prettiger zou vinden.quote:Op zondag 18 mei 2014 18:56 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Gewoon delen door x toch? want log a - log b -- > log a/b ?
Ja, dat is goed, als het de bedoeling is de nulpunten van de afgeleide te bepalen.quote:Op zondag 18 mei 2014 19:07 schreef Super-B het volgende:
Oké ik heb het antwoord goed. Hartstikke happy. Maar natuurlijk twijfel ik enorm om de methode die ik uitvoer:
f(x) = e -x² + 2x
Afgeleide hiervan is:
(-2x + 2) e -x² + 2x
e -x² + 2x kan geen 0 zijn dus...
-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = -2 / -2
x = 1
Als dit zo staat op mijn antwoordenblad, is dit goed of..?
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |