SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dat klopt, verder vind ik ook de didactiek van menigeen schoolboek om van te huilen. Zo kort mogelijk door theorie gaan, een debiel stripje erbij en vervolgens een hoop aan opgaven die uberhaupt geen samenhang met elkaar hebben.quote:Op zondag 18 mei 2014 14:59 schreef Riparius het volgende:
[..]
Inderdaad. De opgave kwam me ook verdacht bekend voor, maar ik had deze niet in mijn database zitten. Dank voor het linkje. En wat hebben docenten toch verdomd weinig fantasie dat je jaar in jaar uit dezelfde afgezaagde opgaven langs ziet komen. Maar dat heeft ook met het armetierige aanbod aan schoolboeken te maken. Honderd jaar (of nog langer) geleden had je tientallen verschillende boeken, zelfs in zo'n klein taalgebied als het onze, nu zijn er nog maar enkele zogeheten 'methodes'.
OK, de vraag is: bepaal de raaklijn vanquote:
[..]
Weet je wat je nu eens moet doen? Ga nu gewoon eens goed nadenken over die hele opgave, en werk de opgave dan compleet uit, in plaats van bij elke stap te komen vragen of wij je handje vast willen houden.
1) Kijk of f(x) handiger te schrijven is -> ja,
2) Bepaal de afgeleide, in dit geval kan dat doormiddel van de product regel: f(x) = g(x) * h(x)
g(x) = x-1
h(x) = 8ln(x)-4
g'(x) = -x-2
h'(x) = 8/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x) =>
Dit zou hem moeten zijn, denk ik.
[ Bericht 2% gewijzigd door netchip op 18-05-2014 15:56:20 ]
quote:
f (x) = | x - 1 |
f ( x) ' = 1x
f (x)'' = 1
Hoe kan ik de het nulpunt van de afgeleide hiermee berekenen? Ik kom toch echt op x=0 uit, terwijl het antwoord x = 1 is?!
Hetzelfde geldt bij
| x˛ - 1 |
Voor x ≥ 0 heb je e|x| = exquote:
[..]
Held!
Hoe bepaal je een afgeleide van e^|x| ?
Moet ik deze splitsen in e^-x en e^-x ?
Voor x < 0 heb je e|x| = e−x
Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.
Oke even kijken. Het is overigens e-|x| Maar dat wordt gewoon een + bij dubbel minteken.quote:
[..]
Voor x ≥ 0 heb je e|x| = ex
Voor x < 0 heb je e|x| = e−x
Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.
Even de opgave maken. Je hoort zodirect weer wat
Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.quote:
[..]
OK, de vraag is: bepaal de raaklijn van.
Ik deed het volgende:quote:
[..]
Voor x ≥ 0 heb je e|x| = ex
Voor x < 0 heb je e|x| = e−x
Bedenk dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Er zit namelijk een 'knik' in de grafiek bij x = 0, dus heb je ook geen eenduidige raaklijn aan de grafiek bij x = 0.
e^- |x|
afgeleide hiervan is : e^-x - e^x
afgeleide gelijkstellen aan 0 : e^-x - e^x = 0
e^-x ( 1 + e^-x ) = 0
Dus x = -1 en x = 0
"De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is." Oh, de standaard formule is y = ax+b. a = m, dus die moet ik berekenen, en b = 0.quote:
[..]
Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.
Als je nu gewoon even in WolframAlpha de grafiek van je functie bekijkt, dan zie je dat het niet klopt.quote:
Idd.. Ik heb het gezien, hoe zou ik het moeten doen ?quote:
[..]
Als je nu gewoon even in WolframAlpha de grafiek van je functie bekijkt, dan zie je dat het niet klopt.
Wolfram Alpha heb ik namelijk niet morgen bij de hand
Het is van belang dat je in de gaten houdt dat functies met een absolute waarde niet zomaar te differentiëren zijn, in ieder geval niet voor elke waarde van x uit het domein. Dat komt door die knik in de grafiek, en die komt weer doordat |x| niet kleiner dan nul kan worden. In dit geval moet je gewoon even nadenken hoe het zit. De exponent vanquote:
[..]
Idd.. Ik heb het gezien, hoe zou ik het moeten doen ?
Wolfram Alpha heb ik namelijk niet morgen bij de hand
e−|x|
is altijd negatief, behalve als x = 0, en omdat ex monotoon stijgend is op R, betekent dit dat e−|x| een maximale waarde van e0 = 1 bereikt als x = 0. En dat is precies wat je ook in de grafiek ziet.
Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.quote:
[..]
Nee, dat is de vraag niet. Je moet de opgave toch eens beter lezen.
Je afgeleide van x-1 klopt in ieder geval niet.quote:
[..]
Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.
Dat dacht ik al (dat je er niet in slaagt de afgeleide correct te bepalen en dat je ook de vraagstelling niet snapt). Ga er nu maar eens rustig over nadenken, want als ik je stap voor stap naar de oplossing loods dan krijgen we alleen maar een 'oh ja' effect, en daar leer je niets van.quote:
[..]
Hmm, twee dingen, ik snap de opdracht niet, en Wolfram Alpha zegt dat mijn afgeleide fout is, en ik heb geen idee waarom.
quote:
[..]
Door een overzicht te maken van de mogelijke punten. Dus je schrijft de extrema op en bekijkt welke waarden de functie verder nog kan aannemen.
Dat kun je niet zien uit de berekening.
quote:
[..]
Door een overzicht te maken van de mogelijke punten. Dus je schrijft de extrema op en bekijkt welke waarden de functie verder nog kan aannemen.
Dat kun je niet zien uit de berekening.
quote:
[..]
Zou je hier een voorbeeld bij kunnen geven bij x^4 - 2x˛ ?
Dit is zowat het laatste bladzijde en dan ben ik wel klaar voor de toets.
aha! Bij absolute waarde is er altijd sprake van een knik en hierdoor is er maar 1 extreme waarde? En dat is dan het knikpunt welke dan een maximum of een minimum kan zijn? Bij een minimum is het dan het globale randminimum toch?quote:
[..]
Het is van belang dat je in de gaten houdt dat functies met een absolute waarde niet zomaar te differentiëren zijn, in ieder geval niet voor elke waarde van x uit het domein. Dat komt door die knik in de grafiek, en die komt weer doordat |x| niet kleiner dan nul kan worden. In dit geval moet je gewoon even nadenken hoe het zit. De exponent van
e−|x|
is altijd negatief, behalve als x = 0, en omdat ex monotoon stijgend is op R, betekent dit dat e−|x| een maximale waarde van e0 = 1 bereikt als x = 0. En dat is precies wat je ook in de grafiek ziet.
Maar is hier trouwens bij e−|x| sprake van een globale randmaximum of een globale maximum?
Is er hier niet sprake van een randmaximum of iets dergelijks, zo ja hoezo>?quote:
[..]
De eerste:
1 + ln x = 0
ln x = −1
x = e−1
De tweede:
ex + xex = 0
ex(1 + x) = 0
een e-macht is nooit nul, dus houden we over
1 + x = 0
x = −1
( ln x)˛
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
Afgeleide van 4ln(x2), zou je kunnen zeggen dat is 8ln(x) met als gevolg dat de afgeleide 8/x is. Maar wat als x negatief is?
Er zijn best wel ingewikkelder functies te bedenken waarvoor dit niet opgaat, maar die zul je wel niet krijgen op je toets.quote:
[..]
aha! Bij absolute waarde is er altijd sprake van een knik en hierdoor is er maar 1 extreme waarde?
Ik begrijp niet goed waarom je hier opeens met de term globaal randminimum aan komt zetten. Een randminimum of randmaximum heb je aan de rand van het domein als dat een gesloten interval is. Maar dat is bij jouw voorbeeld niet aan de orde, want de functie is gedefinieerd voor elke x ∈ R.quote:En dat is dan het knikpunt welke dan een maximum of een minimum kan zijn? Bij een minimum is het dan het globale randminimum toch?
Je hebt wel een globaal maximum van e0 = 1 bij x = 0, maar x = 0 zit niet aan de rand van het domein van de functie. Sterker nog, het domein is R, dus er is geen rand (begin- of eindpunt) van het domein. En dan kan er ook geen randminimum of randmaximum zijn, noch globaal, noch lokaal.quote:Maar is hier trouwens bij e−|x| sprake van een globale randmaximum of een globale maximum?
Ow oke. Het is duidelijkquote:
[..]
Er zijn best wel ingewikkelder functies te bedenken waarvoor dit niet opgaat, maar die zul je wel niet krijgen op je toets.
[..]
Ik begrijp niet goed waarom je hier opeens met de term globaal randminimum aan komt zetten. Een randminimum of randmaximum heb je aan de rand van het domein als dat een gesloten interval is. Maar dat is bij jouw voorbeeld niet aan de orde, want de functie is gedefinieerd voor elke x ∈ R.
[..]
Je hebt wel een globaal maximum van e0 = 1 bij x = 0, maar x = 0 zit niet aan de rand van het domein van de functie. Sterker nog, het domein is R, dus er is geen rand (begin- of eindpunt) van het domein. En dan kan er ook geen randminimum of randmaximum zijn, noch globaal, noch lokaal.
. ( ln x)˛
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
Merk op dat je dit nog kunt schrijven alsquote:
( ln x)˛
Afgeleide d.m.v. productregel, maar eerst herschrijven tot:
(ln x) (ln x)
Productregel toepassen:
1/x * ln x + ln x * 1/x
Herschrijven van de productregel afgeleide:
(ln x) / x + (ln x) / x
Herschrijven in de volgende vorm:
(ln x + ln x) / x
Hoe los ik het verder op om zo de nulpunten te berekenen?
2·ln(x)/x
Je had natuurlijk ook de kettingregel kunnen gebruiken, dan krijgen we
d(((ln(x))2)/dx = d(((ln(x))2)/d(ln(x)) · d(ln(x))/dx = 2·ln(x)·(1/x) = 2·ln(x)/x
Nulpunten berekenen van de afgeleide:
2·ln(x)/x = 0
Bedenk dat een breuk alleen nul is als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. Dus krijgen we
ln(x) = 0
x = 1
Thnks. Kun je het ook doen zonder herschrijving? Want de herschrijving heb ik niet begrepen.. Wel natuurlijk dat je die 2 aan de links kan neerzetten als getal ipv exponent, maar het is mij niet duidelijk als je de kettingregel gebruikt dat hetquote:
[..]
Merk op dat je dit nog kunt schrijven als
2·ln(x)/x
Je had natuurlijk ook de kettingregel kunnen gebruiken, dan krijgen we
d(((ln(x))2)/dx = d(((ln(x))2)/d(ln(x)) · d(ln(x))/dx = 2·ln(x)·(1/x) = 2·ln(x)/x
Nulpunten berekenen van de afgeleide:
2·ln(x)/x = 0
Bedenk dat een breuk alleen nul is als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is. Dus krijgen we
ln(x) = 0
x = 1
2 * ln(x) * (1/x) moet doen, want je moet de afgeleide van de f(x) hebben en deze samenvoegen met g(x) en deze samen vermenigvuldigen met de afgeleide van g(x)
Maar bij 2 * ln(x) is er niks afgeleid?
Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))2 te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.quote:
[..]
Thnks. Kun je het ook doen zonder herschrijving? Want de herschrijving heb ik niet begrepen.. Wel natuurlijk dat je die 2 aan de links kan neerzetten als getal ipv exponent, maar het is mij niet duidelijk als je de kettingregel gebruikt dat het
2 * ln(x) * (1/x) moet doen, want je moet de afgeleide van de f(x) hebben en deze samenvoegen met g(x) en deze samen vermenigvuldigen met de afgeleide van g(x)
Maar bij 2 * ln(x) is er niks afgeleid?
Het wordt waarschijnlijk duidelijker als we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.
Je hebt eerst:
(1) u = ln(x)
en dan
(2) y = u2
en samen geeft dit y = u2 = (ln(x))2, dus
(3) y = (ln(x))2
Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op
du/dx = 1/x
en (2) levert op
dy/du = 2u
Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u2 naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel
dy/dx = dy/du · du/dx
en dus vinden we
dy/dx = 2u·(1/x)
Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk
dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)
dus
dy/dx = 2·ln(x)/x
Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-05-2014 02:21:50 ]
Jij bent fucking geniaal!quote:
[..]
Dat er niets is afgeleid lijkt maar zo. Je hebt hier een samengestelde functie, want we nemen van x eerst de natuurlijke logaritme, dat is ln(x), en dan kwadrateren we dit nog eens om (ln(x))2 te krijgen. Het is dus een samenstelling waarbij de eerste functie de natuurlijke logaritme is en de tweede functie de kwadrateerfunctie.
Het wordt waarschijnlijk duidelijker al we even een 'tussenvariabele' u gebruiken.
Je hebt eerst:
(1) u = ln(x)
en dan
(2) y = u2
en samen geeft dit y = u2 = (ln(x))2, dus
(3) y = (ln(x))2
Nu moeten we bij (3) dy/dx bepalen, en dat kunnen we doen door eerst naar de twee afzonderlijke functies te kijken, dus naar (1) en (2). Nu levert (1) op
du/dx = 1/x
en (2) levert op
dy/du = 2u
Je ziet dat er ook bij (2) wel degelijk wordt gedifferentieerd, want de afgeleide van u2 naar u is 2u. Nu hebben we volgens de kettingregel
dy/dx = dy/du · du/dx
en dus vinden we
dy/dx = 2u·(1/x)
Maar nu weten we uit (1) dat u = ln(x), dus vervangen we die u weer door ln(x) en zo hebben we uiteindelijk
dy/dx = 2·ln(x)·(1/x)
dus
dy/dx = 2·ln(x)/x
Bij het 'gewone' gebruik van de kettingregel doe je precies hetzelfde, maar dan is die 'tussenvariabele' impliciet. Je voert dan als het ware alleen een mentale substitutie uit.
