[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:25 schreef RustCohle het volgende:

[..]

x^4 > |x|³

[snip]

en dan kom ik uit op x = 0 en 1 < x < -1

Je antwoord is fout en bovendien onmogelijk, want 1 is niet kleiner dan −1 maar groter dan −1. Verder is nul niet groter dan zichzelf dus x = 0 is geen oplossing van de ongelijkheid. Je hebt echt geen idee waar je mee bezig bent hè?

We hebben x⁴ = |x|⁴ zodat we kunnen schrijven

|x|⁴ > |x|³

Aangezien x = 0 niet voldoet is x ≠ 0 zodat we hier beide leden door |x|³ mogen delen en dat levert

|x| > 1

en dus

x < −1 ∨ x > 1

of, in intervalnotatie

x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 15:08 schreef netchip het volgende:
Wat zou de beste manier zijn om te differentieren?

Ik denk dat je het het beste bij de quotiëntregel kunt houden. Van die herleiding van 1/(x² + 1) breng je niets terecht, en als je dit wel correct doet dan wordt de uitdrukking die je moet differentiëren er niet eenvoudiger op, dus dat is contraproductief. Herschrijven als (x² + 1)⁻¹ en dan een combinatie van de productregel en de kettingregel gebruiken is uiteraard ook mogelijk, maar houd het maar bij de quotiëntregel.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 18:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk dat je het het beste bij de quotiëntregel kunt houden. Van die herleiding van 1/(x² + 1) breng je niets terecht, en als je dit wel correct doet dan wordt de uitdrukking die je moet differentiëren er niet eenvoudiger op, dus dat is contraproductief. Herschrijven als (x² + 1)⁻¹ en dan een combinatie van de productregel en de kettingregel gebruiken is uiteraard ook mogelijk, maar houd het maar bij de quotiëntregel.

Die overigens niets anders is dan een direct gevolg van de productregel en kettingregel.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 19:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoe kom je opeens tot (1/3) / x ? Wat gebeurt er precies?

x^-2/3 = 1/x^2/3
x^2/3 · x^1/3 = x^{2/3 + 1/3} = x

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 19:40 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja klopt, maar die x'en gaan opeens weg en die machten van -2/3 en 1/3 ? En welke regel pas je toe>?

Kijk nog eens

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 19:41 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oké dank. Welke regel paste je toe?

De regel waarop jij zojuist zei 'Ja klopt'. (x^-1 = 1/x). Die regel is 'algemeen' en geldt dus niet alleen voor x^-1.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 16:02 schreef netchip het volgende:

[..]

Natuurlijk logaritme = ln(x)

EDIT: e is een apart getal, zoals Pi. Euler heeft dit getal "uitgevonden", Anoonumos of Riparius kan je hier meer over vertellen.

Zo ligt het niet helemaal. Al voordat Euler werd geboren ontdekte Jakob Bernoulli bij onderzoekingen over samengesteld interest dat

(1 + 1/n)ⁿ

nadert tot een getal dat tussen 2 en 3 ligt als je n steeds groter laat worden. Probeer dit maar eens met een rekenmachine. Als je bijvoorbeeld n = 10, n = 100 en n = 1000 neemt dan krijg je achtereenvolgens

1,1¹⁰

1,01¹⁰⁰

1,001¹⁰⁰⁰

Je ziet dan dat het getal niet onbeperkt toeneemt maar steeds dichter in de buurt komt van 2,718281828459045235 ... Maar Jakob Bernoulli zag nog niet het verband met logaritmen.

Leibniz en Christiaan Huygens gebruikten in hun briefwisselingen omstreeks 1690 de letter b om dit bijzondere getal aan te geven.

Euler is wel degene geweest die de letter e voor dit getal heeft ingevoerd. Dat deed hij voor het eerst in een manuscript dat hij schreef rond 1728, toen hij 21 was. We weten niet precies waarom hij nu juist de letter e heeft gekozen, maar hij bleef deze letter wel gebruiken om dit getal aan te geven, ook in zijn beroemde boek Introductio in analysin infinitorum uit 1748. Daarna namen andere wiskundigen dit gebruik over en zo is het e gebleven. In ditzelfde boek gebruikt Euler ook de Griekse letter π om de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel aan te geven en ook dit is door de enorme invloed van zijn boek door andere wiskundigen overgenomen en zo gebleven.

Tegen het einde van zijn leven, in 1777, introduceerde Euler ook nog de notatie i voor √−1. De drie constanten e, π en i zijn zo'n beetje de belangrijkste wiskundige constanten en de symbolen daarvoor zijn door het werk van Euler gemeengoed geworden. Er is ook een fraai verband tussen deze constanten dat eveneens door Euler is ontdekt:

e^iπ = −1

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 19:20 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Die overigens niets anders is dan een direct gevolg van de productregel en kettingregel.

Zo kun je dat zien, ja. Maar het heel goed mogelijk de quotiëntregel te bewijzen zonder gebruik te maken van de productregel of de kettingregel.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 19:56 schreef Super-B het volgende:
Kan het met de quotientregel ?

Dat ik van ln x^(1/3) 1 / x^(1/3) maak en dan vanuit de quotientregel werk?

Het makkelijkste is
ln (x^1/3) = (1/3) ln x

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 19:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Zo kun je dat zien, ja. Maar het heel goed mogelijk de quotiëntregel te bewijzen zonder gebruik te maken van de productregel of de kettingregel.

Natuurlijk.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:06 schreef RustCohle het volgende:
| x² - 2x | < 1

x² - 2x < 1 v x² - 2x > -1

Nee. Hier gaat het alweer fout, terwijl ik deze opgave nota bene dagen geleden hier compleet heb uitgewerkt.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:00 schreef Super-B het volgende:

[..]

Kan je me alsjeblieft helpen?

Ik weet niet wat ik moet doen. Omdat 1/3 dan een constante is en dan wegvalt in de afgeleide als ik de kettingregel probeer?

Ik weet dat jullie het me op de harde manier willen laten leren, maar ik denk niet dat dat nu gaat werken.. Ik heb jullie alleen vanavond nog nodig.. en eventueel morgenavond...

Een van de eerste afgeleide regels die je geleerd hebt:
(c f)' = c f '
met c een constante.

De afgeleide van ln (x^1/3) = (1/3) ln x is dus (1/3) · (1/x) = 1 / (3x)

Dus blijf rustig. Probeer niet de kettingregel toe te passen als het niet hoeft.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:00 schreef Super-B het volgende:

[..]

Kan je me alsjeblieft helpen?

Ik weet niet wat ik moet doen. Omdat 1/3 dan een constante is en dan wegvalt in de afgeleide als ik de kettingregel probeer?

Nee. Probeer nu eindelijk eens het verschil te begrijpen tussen

1. de kettingregel

2. de productregel

3. de regel d(c·f(x))/dx = c·d(f(x))/dx

quote:

Ik weet dat jullie het me op de harde manier willen laten leren, maar ik denk niet dat dat nu gaat werken.. Ik heb jullie alleen vanavond nog nodig.. en eventueel morgenavond...

Met dit soort gebedel schiet je niets op. Inzicht krijgen kost nu eenmaal tijd en inspanning. Die tijd heb je niet (meer) en je hebt je toen je die tijd nog wel had ook niet voldoende inspanning getroost. En dan houdt het gewoon op.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 19:44 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha. Ik bedoelde in het algemeen he...
Ik probeer steeds de kettingregel hierop toe te passen.

Ik probeer het zelf en dan doe ik het volgende:

ln x^(1/3)

1 / x^(1/3) * 1/3x^(-2/3)

Doe ik dit goed of..? Want ik loop dan vast..

Het ontgaat me even waarom je dat uberhaupt hier wilt proberen. Zoals Anoonumos eerder al terecht opmerkte kan je dit binnen no time oplossen door gebruik te maken van de rekenregel log(a^p) = p · log(a)

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 20:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja dit had ik ook in mijn schrift, maar aangezien ik niet op 3x uitkwam.. was ik ontmoedigd.. De vraag is juist hoe kom je tot 3x??

Dat is net twee keer uitgelegd.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:49 schreef RustCohle het volgende:

[..]

W(x - 1) = ( x - 2)²

(x - 1) = x² - 4x + 4

x² - 4x - x + 4 -1 = 0

x²- 5x + 3 = 0

( x - 2,5)² = 3

Nee. Zo werkt kwadraatafsplitsing niet.