[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 16:26 schreef Maarten9191 het volgende:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.

Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?

Alvast weer bedankt voor de input!

Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!

Je hebt een cirkel met middelpunt M en straal MR en een cirkel met middelpunt N en straal NS.
De snijpunten van die cirkels zijn brandpunten van parabolen door M en N met richtlijn k. (Staat in de tekst).
Als NM = MR + NS = 2 + 4 = 6 dan raken de cirkels elkaar en is er precies één snijpunt en dus precies één parabool zoals gevraagd wordt.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 16:26 schreef Maarten9191 het volgende:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.

Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?

Alvast weer bedankt voor de input!

Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!

Je krijgt het antwoord bijna kado als je even naar figuur 2 bij de opgave kijkt. Daar zie je, en wordt ook gezegd, dat men de punten M en N zodanig heeft gekozen dat MN < MR + NS. Aangezien MR en NS de stralen zijn van de cirkels en MN de afstand van hun middelpunten, betekent dit dat de cirkels elkaar snijden (in de twee punten Fen G).

Een parabool is de meetkundige plaats (verzameling) van punten met gelijke afstand tot een gegeven punt (focus oftewel brandpunt) en een gegeven lijn (directrix oftewel richtlijn), en aangezien d(M, F) = d(M, k) en d(N, F) = d(N, k) liggen M en N beide op de parabool met focus F en directrix k. Evenzo hebben we d(M, G) = d(M, k) en d(N, G) = d(N, k) zodat M en N ook beide op de parabool liggen met focus G en directrix k.

Maar nu wordt bij de laatste opgave gevraagd het punt N zodanig te bepalen dat er slechts één parabool is met directrix k waarop zowel punt M als punt N ligt. En dat betekent dat de beide cirkels met als midelpunten M resp. N nog maar één punt gemeen mogen hebben en elkaar dus moeten raken. Dat is het geval als de afstand van de middelpunten M en N van de cirkels gelijk is aan de som van hun stralen, zodat we als voorwaarde krijgen

MN = MR + NS

Nu is ook gegeven dat de afstanden MR en NS van de punten M resp. N tot lijn k gelijk zijn aan resp. 2 en 4 cm, zodat dus MN = MR + NS = 2 + 4 = 6 cm moet zijn. Zie je?

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 17:27:12 ]

Nu is het helemaal duidelijk, bedankt Anoomunos en Riparius.

Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen . Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen.

Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.

Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 19:55 schreef netchip het volgende:
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.

Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?

Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:

Gegeven is de functie



De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.

Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 20:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:

Gegeven is de functie



De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.

Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.

f(x) = g(x) * h(x)
g(x) = 4 * ln(x²)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x²
h(x) = x^-1 => h'(x) = -x^-2

Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x²)-4)/x² + 4/x³

Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 20:37 schreef netchip het volgende:

[..]

f(x) = g(x) * h(x)
g(x) = 4 * ln(x²)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x²
h(x) = x^-1 => h'(x) = -x^-2

Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x²)-4)/x² + 4/x³

Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt

Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerst

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 20:52 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerst

Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als e^ln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:01 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als e^ln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...

^glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?

Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel e^{ln x} = x (voor x > 0).

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

^glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?

Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel e^{ln x} = x (voor x > 0).

Hm? ln(x) is eigenlijk e^y = x toch?

Hoe is e^y = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:15 schreef netchip het volgende:

[..]

Hm? ln(x) is eigenlijk e^y = x toch?

Hoe is e^y = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?

Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraak

ln(x) = y

is equivalent met

e^y = x

Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraak

ln(x) = y

is equivalent met

e^y = x

Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.

Wat ik had geschreven, is wel heel triest Ik dacht weer eens niet goed na...

Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:23 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Nee y = ln x

De functie f(x) = ln(x) berekent voor ieder getal x het getal ln(x) zodat e^ln(x) = x. Oftewel, voor x = 2 is de functie ln(2) het getal met e^ln(2) = 2. Als je dit uitrekent, vind je dat ln(2) = 0,693... . Dus als je e^0,693 doet krijg je 2

Anders gezegd, je weet dat er een getal y bestaat zodat e^y = 2. Om dit getal y te vinden is de functie ln() bedacht. Deze functie zoekt het getal y waarvoor e^y = 2. Dit getal wordt dan ln(2) genoemd.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:30 schreef netchip het volgende:

Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?

Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².

Wat ik wel weet, is dat je ln(x²) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:51 schreef netchip het volgende:

[..]

Wat ik wel weet, is dat je ln(x²) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).

Correct. Vervolgens productregel toepassen.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:51 schreef netchip het volgende:

[..]

Wat ik wel weet, is dat je ln(x²) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).

Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?

Op woensdag 14 mei 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?
[/quote]

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?

Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x². Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.

[..]

Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x². Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
[/quote]

Gebruik de kettingregel!

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:57 schreef netchip het volgende:

Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x². Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.

Ook zonder herleiding had je direct moeten zien dat hier de kettingregel van toepassing is:

d(ln(x²))/dx = d(ln(x²))/d(x²) · d(x²)/dx = x⁻²·2x = 2·x⁻¹.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 21:52 schreef nodig het volgende:

[..]

Correct. Vervolgens productregel toepassen.

Niet correct. Voor x < 0 heb je ln(x²) = 2·ln(−x). En de productregel gebruik je toch niet bij een constante factor? (Ja, het kán wel).

Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y⁴
y = 5x²-8x

dz/dy = 4y³
dy/dx = 10x-8

Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x²-8x)³ * 10x-8 ?

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 23:00 schreef netchip het volgende:

Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y⁴
y = 5x²-8x

dz/dy = 4y³
dy/dx = 10x-8

Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x²-8x)³ * 10x-8 ?

dz/dx = dz/dy · dy/dx = 4y³·(10x − 8) = 4·(5x² − 8x)³·(10x − 8).

Nu kun je de haakjes nog uitwerken. Begin dan met (5x² − 8x)³. Daarvoor kun je gebruik maken van

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Ook is het handig om eerst even te bedenken dat je hebt

(5x² − 8x)³ = x³·(5x − 8)³

Je had natuurlijk ook eerst de haakjes in het functievoorschrift weg kunnen werken door gebruik te maken van

(a − b)⁴ = a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴

[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 23:28:10 ]