SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Hallo, ik heb weer een vraag. 
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
quote:Op donderdag 15 mei 2014 14:45 schreef Super-B het volgende:
Hallo, ik heb weer een vraag.
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.quote:
waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Lukt het weer moet alleen maar dikgedrukt te maken?quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Je hebt het eerste over nulpunten van de afgeleiden en daarna over nulpunten van de functie.
Ow zo. Dankje.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
hetzelfde geldt overigens voorquote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
huh?quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Wat bedoel je met x berekenen?quote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.quote:
[..]
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.quote:
[..]
huh?
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
[..]
Wat bedoel je met x berekenen?
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
[..]
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
[ afbeelding ]
Nou dat kan je nu dan toch?quote:
[..]
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Vereenvoudig die functies eens.quote:
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.quote:
[..]
Vereenvoudig die functies eens.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
quote:
[..]
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.quote:Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Oke dank. Ik zal ernaar kijken..quote:
[..]
[..]
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.
Deze functie:
x^4 - 2x²
Heeft als globaal minimum x = -1, x = 0 als lokaal maximum en x =1 als globaal minimum.
Ik heb de grafiek getekend en het is een dalparabool. x = 1 is inderdaad een globaal minimum, de rest kan ik niet zien..in mijn getekende grafiek.
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
En hoe kun je deze sowieso berekenen?
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
[ Bericht 5% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 19:13:20 ]
Omdat ze beide dezelfde waarde hebben.quote:
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f een lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 15-05-2014 23:01:51 ]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.quote:
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdfquote:
[..]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
Thanks voor de goede, uitgebreide uitlegquote:
[..]
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f en lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!quote:
[..]
Thanks voor de goede, uitgebreide uitleg
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt.quote:
[..]
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
