SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Je vergeet de kettingregel bij het primitiveren vanquote:Op maandag 7 april 2014 15:18 schreef ronaldoo12 het volgende:
Heey, weet iemand wat ik hier fout doe :
http://nl.tinypic.com/r/kb52mt/8
Het goede antwoord moet 59 (3/5) zijn.
Ik moet de volgende differentiaal vergelijking oplossen;
dy/dx = (x+2y+2)/(x+2y-4)
Als hint wordt gegeven de substitutie z=x+2y te gebruiken:
dz/dx= 1+ 2 dy/dx dus:
dz/dx= (2z+4)/(z-4) +1 = 3 + 10/(z-4)
Maar ik weet niet hoe ik nu verder moet gaan, iemand die me kan helpen?
dy/dx = (x+2y+2)/(x+2y-4)
Als hint wordt gegeven de substitutie z=x+2y te gebruiken:
dz/dx= 1+ 2 dy/dx dus:
dz/dx= (2z+4)/(z-4) +1 = 3 + 10/(z-4)
Maar ik weet niet hoe ik nu verder moet gaan, iemand die me kan helpen?
We hebben dusquote:
Ik moet de volgende differentiaal vergelijking oplossen;
dy/dx = (x+2y+2)/(x+2y-4)
Als hint wordt gegeven de substitutie z=x+2y te gebruiken:
dz/dx= 1+ 2 dy/dx dus:
dz/dx= (2z+4)/(z-4) +1 = 3 + 10/(z-4)
Maar ik weet niet hoe ik nu verder moet gaan, iemand die me kan helpen?
Dus
Dus
[ Bericht 1% gewijzigd door Mathemaat op 07-04-2014 17:00:58 ]
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Ja, ik pas het even aan XDquote:
[..]
Aah ja bedankt, moet die integraal naar dx niet gewoon leeg zijn?
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Beste Fokkers.
Ik ben vergeten
hoe ik het volgende aanpak en kan zo snel geen eenduidige aanpak meer vinden
Stel P(t=0) is 10 op tijd 0.
Ik stel P bloot aan Q = 20. Hierdoor loopt P langzaam op naar Q volgens de volgende vergelijking
P(t+1) = P(t) * (1-alpha) + Q * alpha waarbij alpha ~ 0.001
Nu wil ik weten bij welke t, P bijvoorbeeld 18 is geworden. Met andere woorden ik wil de formule omzetten naar een expliciete vergelijking. Hoe doe ik dit?
Bovendien zegt mijn vage herinnering het volgende; dat dit in dit geval best gaat lukken maar dat dit zeker niet het geval is voor elke Q. Nu is Q bijvoorbeeld constant, maar het kan ook zijn dat Q volgend een bepaalde formule verloopt
dan kan het dus een stuk lastiger worden!
bv bij Q = 30 + 0.0001* t
Ik ben vergeten
hoe ik het volgende aanpak en kan zo snel geen eenduidige aanpak meer vindenStel P(t=0) is 10 op tijd 0.
Ik stel P bloot aan Q = 20. Hierdoor loopt P langzaam op naar Q volgens de volgende vergelijking
P(t+1) = P(t) * (1-alpha) + Q * alpha waarbij alpha ~ 0.001
Nu wil ik weten bij welke t, P bijvoorbeeld 18 is geworden. Met andere woorden ik wil de formule omzetten naar een expliciete vergelijking. Hoe doe ik dit?
Bovendien zegt mijn vage herinnering het volgende; dat dit in dit geval best gaat lukken maar dat dit zeker niet het geval is voor elke Q. Nu is Q bijvoorbeeld constant, maar het kan ook zijn dat Q volgend een bepaalde formule verloopt
dan kan het dus een stuk lastiger worden!bv bij Q = 30 + 0.0001* t
Je hebt hier een inhomogene lineaire recursieve betrekking van de eerste orde. De algemene oplossing voor deze recursie vind je door eerst de corresponderende homogene recursie op te lossen en dan een particuliere oplossing te zoeken voor de inhomogene recursie. De algemene oplossing van de inhomogene recursie is dan de som van de algemene oplossing van de homogene recursie en een particuliere oplossing van de inhomogene recursie. Met behulp van je beginvoorwaarde vind je dan tenslotte de unieke oplossing die je zoekt.quote:
Beste Fokkers.
Ik ben vergeten
Stel P(t=0) is 10 op tijd 0.
Ik stel P bloot aan Q = 20. Hierdoor loopt P langzaam op naar Q volgens de volgende vergelijking
P(t+1) = P(t) * (1-alpha) + Q * alpha waarbij alpha ~ 0.001
Nu wil ik weten bij welke t, P bijvoorbeeld 18 is geworden. Met andere woorden ik wil de formule omzetten naar een expliciete vergelijking. Hoe doe ik dit?
Dat is niet lastiger dan de recursie die je hierboven geeft. Als Q een polynoom is in t, dan is er ook een polynoom in t van dezelfde graad als particuliere oplossing van je inhomogene recursie.quote:Bovendien zegt mijn vage herinnering het volgende; dat dit in dit geval best gaat lukken maar dat dit zeker niet het geval is voor elke Q. Nu is Q bijvoorbeeld constant, maar het kan ook zijn dat Q volgend een bepaalde formule verloopt
bv bij Q = 30 + 0.0001* t
X-post van het Statistiek topic, misschien heb ik hier meer succes:
Zover was ik al ja! Maar bijvoorbeeld zo'n vraag:
Consider a random sample
from a uniform distribution 
, with order statistics 
.
1) Prove the density of the minimum
is given by 
for 
and zero elsewhere.
2) Consider two estimators of
given by 
, which is the method of moments estimator of , and 
, which is based on the minimum. Compare the estimators in terms of bias and efficiency. Show the outcome depends on 
.
(Tentamen Probability Distributions van afgelopen dinsdag)
Zover was ik al ja! Maar bijvoorbeeld zo'n vraag:
Consider a random sample
1) Prove the density of the minimum
2) Consider two estimators of
(Tentamen Probability Distributions van afgelopen dinsdag)
Kijk naar de cumulative distribution function van het minimum.quote:
X-post van het Statistiek topic, misschien heb ik hier meer succes:
Zover was ik al ja! Maar bijvoorbeeld zo'n vraag:
Consider a random sample
1) Prove the density of the minimum
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Die vraag 2 dingen weet ik niet meer.
Ik mis even een stap in het oplossen van een vergelijking. Ik kan wel van de ene naar de andere vergelijking komen, maar niet in 1 stap. Mis ik hier iets of zijn er gewoon wat stappen weggelaten?
De vergelijkingen waar het om gaat:
[tex]
\frac{\frac{a-b}{ab}}{b-a} &= \frac{-1}{ab}
[/tex]
Ah tex werkt niet zoals ik het verwacht, dan nog maar even gewoon tekst:
((a-b) / ab) / (b-a) = -1 / ab
De vergelijkingen waar het om gaat:
[tex]
\frac{\frac{a-b}{ab}}{b-a} &= \frac{-1}{ab}
[/tex]
Ah tex werkt niet zoals ik het verwacht, dan nog maar even gewoon tekst:
((a-b) / ab) / (b-a) = -1 / ab
Teller en noemer *-1 doen.quote:
Ik mis even een stap in het oplossen van een vergelijking. Ik kan wel van de ene naar de andere vergelijking komen, maar niet in 1 stap. Mis ik hier iets of zijn er gewoon wat stappen weggelaten?
De vergelijkingen waar het om gaat:
[tex]
\frac{\frac{a-b}{ab}}{b-a} &= \frac{-1}{ab}
[/tex]
Ah tex werkt niet zoals ik het verwacht, dan nog maar even gewoon tekst:
((a-b) / ab) / (b-a) = -1 / ab
(-b+a) / (ab)(b-a)
quote:
Ik mis even een stap in het oplossen van een vergelijking. Ik kan wel van de ene naar de andere vergelijking komen, maar niet in 1 stap. Mis ik hier iets of zijn er gewoon wat stappen weggelaten?
De vergelijkingen waar het om gaat:
Ah tex werkt niet zoals ik het verwacht, dan nog maar even gewoon tekst:
((a-b) / ab) / (b-a) = -1 / ab
fok heeft [ tex] tagsquote:Op woensdag 23 april 2014 18:30 schreef jordyqwerty het volgende:
[ afbeelding ] = [ afbeelding ] = [ afbeelding ] = [ afbeelding ]
Ja. En de parser die hier wordt gebruikt heeft ook een hoop bugs, waardoor het bijvoorbeeld niet werkt als er een carriage return wordt gebruikt, zoals hierboven. Eenvoudig op te lossen natuurlijk, maar er zijn ook bugs waarbij je je in allerlei bochten moet wringen voor een goede workaround. Zal ook wel nooit meer goed komen aangezien er geen developer meer is die er aan werkt of er interesse in heeft.quote:
Inderdaad. De 'voormalig SES-moderator' was hier aardig bedreven in.quote:
[..]
Ja. En de parser die hier wordt gebruikt heeft ook een hoop bugs, waardoor het bijvoorbeeld niet werkt als er een carriage return wordt gebruikt, zoals hierboven. Eenvoudig op te lossen natuurlijk, maar er zijn ook bugs waarbij je je in allerlei bochten moet wringen voor een goede workaround. Zal ook wel nooit meer goed komen aangezien er geen developer meer is die er aan werkt of er interesse in heeft.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gegroet wiskundigen,
Ik ga op de vavo een sprint-vwo volgen met het NT+bio profiel.
Mijn probleem is dat ik erg slecht ben in wiskunde, ik had het boek van craats al geprobeerd maar daar gaan ze er van uit dat je al basiskennis hebt en dat heb ik niet ( ik zit echt op nul). De methodes van GR zijn ook niet echt handig aangezien ik geen leraar heb die dingen kan uitleggen.
Misschien dat sommigen hier wat tips hebben over hoe ik het beste kan leren en welke methodes. Zelf heb ik voor nu Khanacademy en dat werkt wel fijn maar ik ben ook benieuwd naar andere methodes!
Groetjes,
Misc
Ik ga op de vavo een sprint-vwo volgen met het NT+bio profiel.
Mijn probleem is dat ik erg slecht ben in wiskunde, ik had het boek van craats al geprobeerd maar daar gaan ze er van uit dat je al basiskennis hebt en dat heb ik niet ( ik zit echt op nul). De methodes van GR zijn ook niet echt handig aangezien ik geen leraar heb die dingen kan uitleggen.
Misschien dat sommigen hier wat tips hebben over hoe ik het beste kan leren en welke methodes. Zelf heb ik voor nu Khanacademy en dat werkt wel fijn maar ik ben ook benieuwd naar andere methodes!
Groetjes,
Misc
Een goede leraar die ook echt les geeft is onvervangbaar. Kijk of je iemand kunt vinden die bereid is je bijles te geven of overweeg een cursus.quote:
Gegroet wiskundigen,
Ik ga op de vavo een sprint-vwo volgen met het NT+bio profiel.
Mijn probleem is dat ik erg slecht ben in wiskunde, ik had het boek van Van de Craats al geprobeerd maar daar gaan ze ervan uit dat je al basiskennis hebt en die heb ik niet (ik zit echt op nul). De methodes van GR zijn ook niet echt handig aangezien ik geen leraar heb die dingen kan uitleggen.
In ieder geval niet Khan Academy of YouTube. Als ondersteuning is het best bruikbaar, zeker bij gebrek aan een echte docent, maar de uitleg op Khan is vaak niet denderend. Bovendien ontstaat bij het louter bekijken van video's al gauw de indruk (net als bij het louter volgen van hoorcolleges) dat je het allemaal wel begrijpt. Maar die indruk is bedrieglijk. Iets zelf doen is een stuk lastiger dan alleen maar kijken hoe een ander het doet. Natuurlijk helpt het wel om stap voor stap te zien hoe iemand anders iets doet (Aha-Erlebnis) maar dat is echt onvoldoende. Je kunt wiskunde alleen maar leren door het zelf te doen. Maar als je - naar eigen zeggen - nog geen basiskennis hebt dan is de barriere om daarmee te beginnen heel hoog, en ik begrijp dat je met bijvoorbeeld het boek van Van de Craats dan ook niet veel verder komt. Dat is ook geen echt leerboek en onder meer om die reden vind ik het ook helemaal niet zo'n goed boek.quote:Misschien dat sommigen hier wat tips hebben over hoe ik het beste kan leren en welke methodes. Zelf heb ik voor nu Khanacademy en dat werkt wel fijn maar ik ben ook benieuwd naar andere methodes!
Wellicht zijn de Spijkers iets voor jou. Dit is een reeks van 7 boekjes die je zelfstandig kunt doorwerken en waarin zaken echt worden uitgelegd maar ook veel oefeningen worden gegeven. De auteur heeft veel ervaring met onderwijs op het VAVO aan jongeren die zijn vastgelopen in het reguliere onderwijs en kent de problematiek dus goed. Je moet dan wel echt beginnen met het eerste deeltje over rekenen en uiteindelijk alle delen doorwerken. De auteur stelt op zijn website dat er 10 à 20 uur studie staat voor elk deeltje, maar dat is misschien wat optimistisch.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-04-2014 22:55:52 ]
Hallo wiskundige breinen,
Zou iemand mij kunnen helpen met het volgende:
*Bepaal alle waarden van p waarvoor de vergelijking 3x² + px + p = 0 geen oplossingen
heeft.
Het antwoord is....
Zou iemand mij kunnen helpen met het volgende:
*Bepaal alle waarden van p waarvoor de vergelijking 3x² + px + p = 0 geen oplossingen
heeft.
Het antwoord is....
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.* Bepaal alle waarden van x waarvoor geldt f(x) g(x)
antwoord is:SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
quote:
Hallo wiskundige breinen,
Zou iemand mij kunnen helpen met de volgende vraag:
Bepaal alle waarden van p waarvoor de vergelijking 3x² + px + p = 0 geen oplossingen
heeft.
Het antwoord is....Epsilon betekent 'is element van' oftewel 'is onderdeel van'SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
En (0,12) is het stukje getallenlijn tussen 0 en 12
Dus de vergelijking heeft geen oplossing voor alle p met 0 < p < 12.
Hint voor de opgave: ABC-formule
quote:
Hallo wiskundige breinen,
Zou iemand mij kunnen helpen met de volgende vraag:
Bepaal alle waarden van p waarvoor de vergelijking 3x² + px + p = 0 geen oplossingen
heeft.
Het antwoord is....Waarschijnlijk staat daar geen ¤ teken, maar eenSPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Dat tekentje kan je lezen als "in". Dus er staat dat p in het interval (0,12) zit. Ronde haken duiden er normaliter op dat het exclusief de rand is, dus je kan het vertalen als 0<p<12.
Een kwadratische vergelijking heeft geen oplossingen dan en slechts dan als de discriminant negatief is.
quote:
[..]
Epsilon betekent 'is element van' oftewel 'is onderdeel van'
En (0,12) is het stukje getallenlijn tussen 0 en 12
Dus de vergelijking heeft geen oplossing voor alle p met 0 < p < 12.
Hint voor de opgave: ABC-formule
Dank jullie wel voor het snelle respons. Even voor de duidelijkheid; ik ben mij nu aan het voorbereiden voor om binnenkort een intaketoets Wiskunde A niveau 2 af te leggen voor de EUR (Erasmus Universiteit). Ik heb een redelijke kennis van wiskunde, maar op dit moment gebrekkig om de toets met een voldoende te kunnen voltooien.quote:
[..]
Waarschijnlijk staat daar geen ¤ teken, maar een
Dat tekentje kan je lezen als "in". Dus er staat dat p in het interval (0,12) zit. Ronde haken duiden er normaliter op dat het exclusief de rand is, dus je kan het vertalen als 0<p<12.
Een kwadratische vergelijking heeft geen oplossingen dan en slechts dan als de discriminant negatief is.
De ABC formule komt mij bekend voor, maar ik heb werkelijk geen idee wat ik moet doen, aangezien er 3x² + px + p = 0 staat en dus tweemaal een p voorkomt en deze ook geen getallen hebben welke de p moet substitueren.
Ik ben meer iets gewend als: ax² + bx + c.
Extra info: ik gebruik het basisboek wiskunde van Jan van Craats.
Deze kwadratische vergelijking staat ook in de vorm ax² + bx + c, maar dan met a=3, b=p en c=p.quote:
[..]
[..]
Dank jullie wel voor het snelle respons. Even voor de duidelijkheid; ik ben mij nu aan het voorbereiden voor om binnenkort een intaketoets Wiskunde A niveau 2 af te leggen voor de EUR (Erasmus Universiteit). Ik heb een redelijke kennis van wiskunde, maar op dit moment gebrekkig om de toets met een voldoende te kunnen voltooien.
De ABC formule komt mij bekend voor, maar ik heb werkelijk geen idee wat ik moet doen, aangezien er 3x² + px + p = 0 staat en dus tweemaal een p voorkomt en deze ook geen getallen hebben welke de p moet substitueren.
Ik ben meer iets gewend als: ax² + bx + c
Daar kan je dus ook gewoon de discriminant van bepalen.
Ik neem aan dat de abc formule en de discriminant wel in je boek staan. Laat eens zien waar je dan vastloopt.quote:
[..]
[..]
Dank jullie wel voor het snelle respons. Even voor de duidelijkheid; ik ben mij nu aan het voorbereiden voor om binnenkort een intaketoets Wiskunde A niveau 2 af te leggen voor de EUR (Erasmus Universiteit). Ik heb een redelijke kennis van wiskunde, maar op dit moment gebrekkig om de toets met een voldoende te kunnen voltooien.
De ABC formule komt mij bekend voor, maar ik heb werkelijk geen idee wat ik moet doen, aangezien er 3x² + px + p = 0 staat en dus tweemaal een p voorkomt.
Ik ben meer iets gewend als: ax² + bx + c
Je behandelt p gewoon als een getal, waarvan je de waarde(s) nog niet weet. Schrijf de discriminant op en kijk voor welke p de discriminant negatief is.
edit: weer te laat
. Ik ga al weg.
Als b=p en c=p dan betekent dat als b bijvoorbeeld gelijk is aan 2, dat c dan ook 2 is?quote:
[..]
Deze kwadratische vergelijking staat ook in de vorm ax² + bx + c, maar dan met a=3, b=p en c=p.
Daar kan je dus ook gewoon de discriminant van bepalen.
Ja het staat in het boek. Maar zoals ik al zei is WO wiskunde A meer toepassen dan havo/hbo wiskunde Aquote:
[..]
Ik neem aan dat de abc formule en de discriminant wel in je boek staan. Laat eens zien waar je dan vastloopt.
Je behandelt p gewoon als een getal, waarvan je de waarde(s) nog niet weet. Schrijf de discriminant op en kijk voor welke p de discriminant negatief is.
edit: weer te laat
Waar ik vastliep is dat ik niet iets in deze trend zag:
3x² + 4x + 6 = 0, maar opeens twee keer een p..
Dat klopt.quote:
[..]
Als b=p en c=p dan betekent dat als b bijvoorbeeld gelijk is aan 2, dat c dan ook 2 is?
Hmm.. ik snap het. Dankje, volgens mij lag het aan het feit dat ik de vraagstelling niet begreep.quote:
Kan het verschil uitmaken als ik het niet schrijf met die teken? Maar gewoon een antwoord formuleer als het volgende:
''Alle waarden tussen 0 en 12. ''
Nee, maar je moet wel duidelijk aangeven of 0 en 12 wel of niet meedoenquote:
[..]
Hmm.. ik snap het. Dankje, volgens mij lag het aan het feit dat ik de vraagstelling niet begreep.
Kan het verschil uitmaken als ik het niet schrijf met die teken? Maar gewoon een antwoord formuleer als het volgende:
''Alle waarden tussen 0 en 12. ''
(0,12) doen 0 en 12 niet mee
[0,12] doen 0 en 12 wel mee
Ik hoef niet te weten hoe ze eraan komen, maar graag de vertaling van het antwoord?
Zover ik weet staat die U voor ''of'' en die limiet teken voor alles wat na die breuk komt?
Als die U daadwerkelijk voor ''of'' staat, dan zal ik best in de war raken, want volgens mij is het gewoon een kwestie van de ongelijkheid oplossen waardoor er één oplossing ontstaat..
[ Bericht 7% gewijzigd door RustCohle op 29-04-2014 20:53:10 ]
Het U teken staat voor de vereniging van twee verzamelingen. Je kan het vertalen als "of" ja.quote:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Ik hoef niet te weten hoe ze eraan komen, maar graag de vertaling van het antwoord?
Zover ik weet staat die U voor ''of'' en die limiet teken voor alles wat na die breuk komt?
Als die U daadwerkelijk voor ''of'' staat, dan zal ik best in de war raken, want volgens mij is het gewoon een kwestie van de ongelijkheid oplossen.
Dus x zit in het ene interval of x zit in het andere interval.
En die teken in het tweede interval?quote:Op dinsdag 29 april 2014 20:32 schreef Ensemble het volgende:
[..]
Het U teken staat voor de vereniging van twee verzamelingen. Je kan het vertalen als "of" ja.
Dus x zit in het ene interval of x zit in het andere interval.
∞ staat voor oneindig. Dus het tweede interval loopt oneindig lang door.quote:
[..]
En die teken in het tweede interval?
Dan vraag ik me toch af hoe de ongelijkheid moet worden opgelost.quote:
[..]
∞ staat voor oneindig. Dus het tweede interval loopt oneindig lang door.
[ 1.5 , ∞ ) zijn alle getallen groter dan of gelijk aan 1.5
Inderdaad is f(x) groter dan g(x) voor alle x groter of gelijk aan 1.5.
Inderdaad is f(x) groter dan g(x) voor alle x groter of gelijk aan 1.5.
Mag ik vragen hoe het wordt opgelost?quote:
[ 1.5 , ∞ ) zijn alle getallen groter dan of gelijk aan 1.5
Inderdaad is f(x) groter dan g(x) voor alle x groter of gelijk aan 1.5.
Ik zat zelf eraan te denken om de breuken weg te werken door de getallen in de teller te delen door de getallen in de noemer.
Je hebt bij je tweede opgave niet eens een vraagstelling geformuleerd, en dan kan er ook geen sprake zijn van een antwoord. Als je hier een zinnig antwoord wil krijgen moet je wel beginnen met de vragen uit je boek correct over te nemen. Overigens moet je wél altijd weten (resp. achterhalen) hoe ze aan een antwoord of resultaat komen, daarom heet het ook wiskunde, i.e. de kunde om je ergens van te vergewissen (aldus Simon Stevin, die het woord wiskunde heeft bedacht).quote:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Ik hoef niet te weten hoe ze eraan komen, maar graag de vertaling van het antwoord?
Oeps vergeten excuus.quote:
[..]
Je hebt bij je tweede opgave niet eens een vraagstelling geformuleerd, en dan kan er ook geen sprake zijn van een antwoord. Als je hier een zinnig antwoord wil krijgen moet je wel beginnen met de vragen uit je boek correct over te nemen. Overigens moet je wél altijd weten (resp. achterhalen) hoe ze aan een antwoord of resultaat komen, daarom heet het ook wiskunde, i.e. de kunde om je ergens van te vergewissen (aldus Simon Stevin, die het woord wiskunde heeft bedacht).
*Bepaal alle waarden van x waarvoor geldt f(x) > g(x)
cool Riparius, dat van Simon Stevin wist ik niet. weer wat geleerd!quote:
[..]
Je hebt bij je tweede opgave niet eens een vraagstelling geformuleerd, en dan kan er ook geen sprake zijn van een antwoord. Als je hier een zinnig antwoord wil krijgen moet je wel beginnen met de vragen uit je boek correct over te nemen. Overigens moet je wél altijd weten (resp. achterhalen) hoe ze aan een antwoord of resultaat komen, daarom heet het ook wiskunde, i.e. de kunde om je ergens van te vergewissen (aldus Simon Stevin, die het woord wiskunde heeft bedacht).
Winnaar wielerprono 2006 en biatlon wk prono 2016
Ah zo. Nu hebben we een duidelijke vraagstelling. Wat je hier kunt doen is je ongelijkheid herschrijven alsquote:
[..]
Oeps vergeten excuus.
[ afbeelding ]
*Bepaal alle waarden van x waarvoor geldt f(x) > g(x)
[ afbeelding ]
f(x) − g(x) > 0
Nu kun je in het linkerlid van deze ongelijkheid de gegeven uitdrukkingen voor f(x) en g(x) invullen en het linkerlid dan herleiden tot één breuk. Dan kun je vervolgens gebruik maken van het feit dat een breuk een positieve waarde heeft als de teller en noemer hetzij beide positief zijn hetzij beide negatief. Dan krijg je andere ongelijkheden die veel beter te hanteren zijn en die je gemakkelijk zou moeten kunnen oplossen. Nu zelf maar even de opgave op papier uitwerken.
Stevin is wel een grappig persoon. Hij vond dat Nederlands de beste taal was voor de wetenschap en heeft vrij veel woorden in het Nederlands geïntroduceerd.quote:Op dinsdag 29 april 2014 20:57 schreef komrad het volgende:
[..]
cool Riparius, dat van Simon Stevin wist ik niet. weer wat geleerd!
Het vetgedrukte heb ik niet begrepen..quote:
[..]
Ah zo. Nu hebben we een duidelijke vraagstelling. Wat je hier kunt doen is je ongelijkheid herschrijven als
f(x) − g(x) > 0
Nu kun je in het linkerlid van deze ongelijkheid de gegeven uitdrukkingen voor f(x) en g(x) invullen en het linkerlid dan herleiden tot één breuk. Dan kun je vervolgens gebruik maken van het feit dat een breuk een positieve waarde heeft als de teller en noemer hetzij beide positief zijn hetzij beide negatief. Dan krijg je andere ongelijkheden die veel beter te hanteren zijn en die je gemakkelijk zou moeten kunnen oplossen. Nu zelf maar even de opgave op papier uitwerken.
Wel, als je twee getallen a en b hebt, en het is gegeven datquote:
[..]
Het vetgedrukte heb ik niet begrepen..
a > b
dan is ook
a − b > 0
En het omgekeerde geldt ook: als je twee getallen a en b hebt waarvan is gegeven dat a − b > 0 dan is ook a > b. Dus zijn de uitspraken a > b en a − b > 0 equivalent.
Verder is in de opgave gegeven dat f(x) = (x + ½)/2 en g(x) = 2/(x + ½)
Dus, als moet gelden
f(x) − g(x) > 0
dan is dit equivalent met
(x + ½)/2 − 2/(x + ½) > 0
Nu kun je de breuken in het linkerlid gelijknamig maken en het verschil van de twee breuken dan herschrijven als één breuk.
Ohwww dat wist ik niet.quote:
[..]
Wel, als je twee getallen a en b hebt, en het is gegeven dat
a > b
dan is ook
a − b > 0
En het omgekeerde geldt ook: als je twee getallen a en b hebt waarvan is gegeven dat a − b > 0 dan is ook a > b. Dus zijn de uitspraken a > b en a − b > 0 equivalent.
Verder is in de opgave gegeven dat f(x) = (x + ½)/2 en g(x) = 2/(x + ½)
Dus, als moet gelden
f(x) − g(x) > 0
dan is dit equivalent met
(x + ½)/2 − 2/(x + ½) > 0
Nu kun je de breuken in het linkerlid gelijknamig maken en het verschil van de twee breuken dan herschrijven als één breuk.
Probeer het maar gewoon uit. Neem bijvoorbeeld a = 5 en b = 3, dan is a > b want 5 > 3. Het verschil 5 − 3 = 2 is nu positief. Of vergelijk het met je saldo. Als er 500 euro op je rekening staat dan kun je maximaal ¤ 499,99 eraf halen (aftrekken) als je nog een positief saldo over wil houden.quote:
Ik heb deze methode bekeken, vrij simpel:quote:
[..]
Probeer het maar gewoon uit. Neem bijvoorbeeld a = 5 en b = 3, dan is a > b want 5 > 3. Het verschil 5 − 3 = 2 is nu positief. Of vergelijk het met je saldo. Als er 500 euro op je rekening staat dan kun je maximaal ¤ 499,99 eraf halen (aftrekken) als je nog een positief saldo over wil houden.
Echter lijkt het mij kut om elke keer een grafiek te schetsen... Kost wel tijd, aangezien ik het niet direct uit mijn hoofd weet en dus dan nog een tabel etc erbij moet maken...wat tijd kost.
Is er een snellere methode?
Heb het al.. Gewoon trial and error.quote:
[..]
Ik heb deze methode bekeken, vrij simpel:
Echter lijkt het mij kut om elke keer een grafiek te schetsen... Kost wel tijd, aangezien ik het niet direct uit mijn hoofd weet en dus dan nog een tabel etc erbij moet maken...wat tijd kost.
Is er een snellere methode?
Je hoeft niet per se een grafiek te schetsen, je kunt ook een tekenschema maken. Bij de opgave hierboven krijg je na de herleiding van het linkerlid ook te maken met kwadratische ongelijkheden. Alleen moet je hier bedenken dat zowel teller als noemer van de breuk in het linkerlid dan hetzij beide positief hetzij beide negatief moeten zijn om aan het gevraagde te voldoen. In dit geval maak je twee tekenschema's die je (uitgelijnd) onder elkaar zet. Dan kun je gemakkelijk aflezen voor welke waarden van x aan de ongelijkheid wordt voldaan.quote:
[..]
Ik heb deze methode bekeken, vrij simpel:
Echter lijkt het mij kut om elke keer een grafiek te schetsen... Kost wel tijd, aangezien ik het niet direct uit mijn hoofd weet en dus dan nog een tabel etc erbij moet maken...wat tijd kost.
Is er een snellere methode?
Aha oke thanks.quote:
[..]
Je hoeft niet per se een grafiek te schetsen, je kunt ook een tekenschema maken. Bij de opgave hierboven krijg je na de herleiding van het linkerlid ook te maken met kwadratische ongelijkheden. Alleen moet je hier bedenken dat zowel teller als noemer van de breuk in het linkerlid dan hetzij beide positief hetzij beide negatief moeten zijn om aan het gevraagde te voldoen. In dit geval maak je twee tekenschema's die je (uitgelijnd) onder elkaar zet. Dan kun je gemakkelijk aflezen voor welke waarden van x aan de ongelijkheid wordt voldaan.
Hier een leuke:
bepaal van de volgende punten de vergelijking van de lijn:
(3,0) en (0,3)
ik had als antwoord: x + y - 3 = 0, echter is het antwoord x + y = 3.
Ik deed het met de bekende delta y / delta x methode.
Echter gaat het boek van de volgende formule uit (welke voor mij Chinees klinkt):
(a1 - b1) (y - b2) = (a2 - b2) (x - b1)
x = a1 en y = a2 en dat geeft (a1 - b1) (a2 - b2) = (a2 - b2) (a1 - b1)
Die gast van dat filmpje is mijn oude natuurkundeleraar!quote:
[..]
Ik heb deze methode bekeken, vrij simpel:
Echter lijkt het mij kut om elke keer een grafiek te schetsen... Kost wel tijd, aangezien ik het niet direct uit mijn hoofd weet en dus dan nog een tabel etc erbij moet maken...wat tijd kost.
Is er een snellere methode?
Handige filmpjes heeft ie, zo te zien.
"Political language is designed to make lies sound truthful and murder respectable, and to give an appearance of solidity to pure wind."
Ik neem aan dat je de opgave nu verder zelfstandig kunt oplossen? Veel (beginnende) studenten hebben moeite met het rekenen met breuken, omdat dat dat op de lagere school niet meer fatsoenlijk wordt onderwezen, en dat wreekt zich dan in het voortgezet onderwijs onverbiddelijk bij eenvoudige algebraïsche herleidingen.quote:
Laten we zeggen dat we twee punten A(a1;a2) en B(b1;b2) hebben en dat gevraagd wordt naar de cartesische vergelijking van de rechte lijn door deze punten A en B.quote:Hier een leuke:
bepaal van de volgende punten de vergelijking van de lijn:
(3,0) en (0,3)
ik had als antwoord: x + y - 3 = 0, echter is het antwoord x + y = 3.
Ik deed het met de bekende delta y / delta x methode.
Echter gaat het boek van de volgende formule uit (welke voor mij Chinees klinkt):
(a1 - b1) (y - b2) = (a2 - b2) (x - b1)
x = a1 en y = a2 en dat geeft (a1 - b1) (a2 - b2) = (a2 - b2) (a1 - b1)
Je berekent nu eerst de richtingscoëfficiënt van de lijn door de verschillen van de x- resp. y-coördinaten te bepalen en hiervan het quotiënt te nemen. We hebben nu
(1) Δx = a1 − b1, Δy = a2 − b2
Nu zal ik aannemen dat Δx niet gelijk is aan nul, want als dat wel zo is heb je een verticale lijn (een lijn evenwijdig aan de y-as) en die heeft zoals bekend geen richtingscoëfficiënt. Laten we de richtingscoëfficiënt zoals te doen gebruikelijk m noemen, dan hebben we dus
(2) m = Δy/Δx
en dus
(3) m = (a2 − b2)/(a1 − b1)
Maar veronderstel nu dat we een willekeurig gekozen punt P(x;y) hebben dat op onze lijn door A en B ligt en dat dit punt P niet samenvalt met punt B op de lijn. Dan kunnen we op precies dezelfde manier als bij (3) de richtingscoëfficiënt m ook bepalen door het verschil tussen de y-coördinaten van P en B te delen door het verschil van de x-coördinaten van P en B, en dan krijgen we dus
(4) m = (y − b2)/(x − b1)
Maar nu stellen (3) en (4) dezelfde richtingscoëfficiënt voor van dezelfde lijn, en dus hebben we
(5) (y − b2)/(x − b1) = (a2 − b2)/(a1 − b1)
en beide leden van (5) met (x − b1)(a1 − b1) vermenigvuldigen om de breuken te verdrijven (oftewel 'kruislings vermenigvuldigen') geeft dan inderdaad
(6) (a1 − b1)(y − b2) = (a2 − b2)(x − b1)
Aangezien deze betrekking geldt voor de coördinaten (x;y) van een willekeurig punt op de lijn door A en B hebben we hiermee inderdaad de cartesische vergelijking van de lijn door de punten A(a1;a2) en B(b1;b2) gevonden. Je kunt overigens gemakkelijk nagaan dat (6) ook geldig blijft als a1 = b1, dus als de lijn door A en B wel verticaal is. Dan reduceert het linkerlid van (6) immers tot nul, zodat je als vergelijking krijgt x = b1, aangezien dan geldt a2 ≠ b2 omdat de punten A en B niet samenvallen.
In de praktijk moet je (6) niet gebruiken als je wordt gevraagd de cartesische vergelijking op te stellen van een rechte lijn door twee gegeven punten, de kans op fouten is hierbij veel te groot, zoals je zelf ook al ontdekt zult hebben. Het is veel praktischer om te onthouden dat de vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door een punt P(x0;y0) wordt gegeven door
(7) y − y0 = m(x − x0)
Wordt nu gevraagd de cartesische vergelijking van een rechte lijn door twee gegeven punten op te stellen, dan bereken je eerst m = Δy/Δx en vul je dit in in (7), waarbij je voor x0 en y0 de coördinaten van één der gegeven punten neemt.
Voorbeeld: bepaal de cartesische vergelijking van de rechte lijn door de punten (3;0) en (0;3).
Oplossing: we hebben m = (3−0)/(0−3) = −1. Invullen in (7) met x0 = 3, y0 = 0 geeft
y − 0 = −1(x − 3)
y = 3 − x
x + y = 3
Uiteraard kunnen we desgewenst het rechterlid van deze vergelijking op nul herleiden door van beide leden 3 af te trekken, en dan krijgen we
x + y − 3 = 0
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 29-04-2014 23:52:29 ]
Na 4 ben ik helemaal de weg kwijtgeraakt. Het staat moeilijker geschreven dan dat ik het kan begrijpen op dit moment. Want ik snap het al helemaal niet.quote:
[..]
Ik neem aan dat je de opgave nu verder zelfstandig kunt oplossen? Veel (beginnende) studenten hebben moeite met het rekenen met breuken, omdat dat dat op de lagere school niet meer fatsoenlijk wordt onderwezen, en dat wreekt zich dan in het voortgezet onderwijs onverbiddelijk bij eenvoudige algebraïsche herleidingen.
[..]
Laten we zeggen dat we twee punten A(a1;a2) en B(b1;b2) hebben en dat gevraagd wordt naar de cartesische vergelijking van de rechte lijn door deze punten A en B.
Je berekent nu eerst de richtingscoëfficiënt van de lijn door de verschillen van de x- resp. y-coördinaten te bepalen en hiervan het quotiënt te nemen. We hebben nu
(1) Δx = a1 − b1, Δy = a2 − b2
Nu zal ik aannemen dat Δx niet gelijk is aan nul, want als dat wel zo is heb je een verticale lijn (een lijn evenwijdig aan de y-as) en die heeft zoals bekend geen richtingscoëfficiënt. Laten we de richtingscoëfficiënt zoals te doen gebruikelijk m noemen, dan hebben we dus
(2) m = Δy/Δx
en dus
(3) m = (a2 − b2)/(a1 − b1)
Maar veronderstel nu dat we een willekeurig gekozen punt P(x;y) hebben dat op onze lijn door A en B ligt en dat dit punt P niet samenvalt met punt B op de lijn. Dan kunnen we op precies dezelfde manier als bij (3) de richtingscoëfficiënt m ook bepalen door het verschil tussen de y-coördinaten van P en B te delen door het verschil van de x-coördinaten van P en B, en dan krijgen we dus
(4) m = (y − b2)/(x − b1)
Maar nu stellen (3) en (4) dezelfde richtingscoëfficiënt voor van dezelfde lijn, en dus hebben we
(5) (y − b2)/(x − b1) = (a2 − b2)/(a1 − b1)
en beide leden van (5) met (x − b1)(a1 − b1) vermenigvuldigen om de breuken te verdrijven (oftewel 'kruislings vermenigvuldigen') geeft dan inderdaad
(6) (a1 − b1)(y − b2) = (a2 − b2)(x − b1)
Aangezien deze betrekking geldt voor de coördinaten (x;y) van een willekeurig punt op de lijn door A en B hebben we hiermee inderdaad de cartesische vergelijking van de lijn door de punten A(a1;a2) en B(b1;b2) gevonden. Je kunt overigens gemakkelijk nagaan dat (6) ook geldig blijft als a1 = b1, dus als de lijn door A en B wel verticaal is. Dan reduceert het linkerlid van (6) immers tot nul, zodat je als vergelijking krijgt x = b1, aangezien dan geldt a2 ≠ b2 omdat de punten A en B niet samenvallen.
In de praktijk moet je (6) niet gebruiken als je wordt gevraagd de cartesische vergelijking op te stellen van een rechte lijn door twee gegeven punten, de kans op fouten is hierbij veel te groot, zoals je zelf ook al ontdekt zult hebben. Het is veel praktischer om te onthouden dat de vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door een punt P(x0;y0) wordt gegeven door
(7) y − y0 = m(x − x0)
Wordt nu gevraagd de cartesische vergelijking van een rechte lijn door twee gegeven punten op te stellen, dan bereken je eerst m = Δy/Δx en vul je dit in in (7), waarbij je voor x0 en y0 de coördinaten van één der gegeven punten neemt.
Voorbeeld: bepaal de cartesische vergelijking van de rechte lijn door de punten (3;0) en (0;3).
Oplossing: we hebben m = (3−0)/(0−3) = −1. Invullen in (7) met x0 = 3, y0 = 0 geeft
y − 0 = −1(x − 3)
y = 3 − x
x + y = 3
Uiteraard kunnen we desgewenst het rechterlid van deze vergelijking op nul herleiden door van beide leden 3 af te trekken, en dan krijgen we
x + y − 3 = 0
Bij (5) plak je vergelijking (3) en (4) aan elkaar.quote:
[..]
Na 4 ben ik helemaal de weg kwijtgeraakt. Het staat moeilijker geschreven dan dat ik het kan begrijpen op dit moment. Want ik snap het al helemaal niet.
Wat hij gebruikt is: "als a=b en a=c, dan b=c".
De enige manier om formule (6) echt te snappen is door het stap voor stap af te leiden.
Misschien weten jullie dit, maar wat is beter om op te schrijven als antwoord bij vragen qua formule?
Y = 2x - 2
Of
2x - y = 2
Het boek en (waarschijnlijk de EUR) gebruikt de tweede schrijfwijze in haar antwoordenmodellen, maar ik ben altijd het eerste gewend..
Beter om over te stappen naar hun schrijfwijze of zal dat niet uitmaken bij het nakijken van de intaketoets?
Y = 2x - 2
Of
2x - y = 2
Het boek en (waarschijnlijk de EUR) gebruikt de tweede schrijfwijze in haar antwoordenmodellen, maar ik ben altijd het eerste gewend..
Beter om over te stappen naar hun schrijfwijze of zal dat niet uitmaken bij het nakijken van de intaketoets?
Ze zijn equivalent, dus het maakt weinig uit. Mijn voorkeur gaat uit naar je eerste methode. Die is naar mijn mening een stuk duidelijker.
Ja klopt. Was alleen benieuwd of daar wel naar gekeken wordt bij het nakijken van de intaketoets en niet alles klakkenloos gecontroleerd wordt met wat er op het antwoordenmodel staat.quote:
Ze zijn equivalent, dus het maakt weinig uit. Mijn voorkeur gaat uit naar je eerste methode. Die is naar mijn mening een stuk duidelijker.
Excuus voor het weer lastigvallen met vragen, maar er zijn een aantal dingen waar ik weer niet uitkom na een hele dag wiskunde.
Ik zal ook dit keer erbij zetten waar ik de plank mis sla:
Ik zal ook dit keer erbij zetten waar ik de plank mis sla:
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Inderdaad als y = 0. Als je dan f(0) doet dan stel je dus x = 0, en dat is niet de bedoeling.quote:
*Voor welke reële getallen p heeft de grafiek van f geen snijpunten met de x-as:
f(x) = x² + px + 1 ---> Ik weet dat de snijpunt met de x-as is als y = 0, echter kom ik niet ver als ik dan f(0) invul... Dat schiet niet op met het oplossen van de vraag:.
Je moet 0 = y = f(x) = x^2 + px + 1 oplossen.Moet dat d.m.v. trial and error?quote:
[..]
Inderdaad als y = 0. Als je dan f(0) doet dan stel je dus x = 0, en dat is niet de bedoeling.
Je moet 0 = y = f(x) = x^2 + px + 1 oplossen.Hoe wil je daar de abc formule op toepassen zonder getallen?quote:
[..]
ABC formule (of eigenlijk de discriminant) lijkt me sneller.Noem de discriminant D. Als D<0, dan zijn er geen oplossingen (snap je waarom?). Het is dus weer een kwestie van nagaan wat de discriminant is (in termen van p), en dan D<0 oplossen.quote:
[..]
Hoe wil je daar de abc formule op toepassen zonder getallen?lol, dit is exact dezelfde vraag die ik een paar maanden geleden heb gesteld. Als je op fok zoekt dan krijg je een uitgebreide uitleg van Riparius.Moest jij toen ook naar de EUR?quote:
lol, dit is exact dezelfde vraag die ik een paar maanden geleden heb gesteld. Als je op fok zoekt dan krijg je een uitgebreide uitleg van Riparius.Welke opleiding/studie doe je nu?quote:
[..]
Nee... ik was gewoon wat oefeningen aan het maken.Mijn uitleg is hier echt niet te moeilijk en zou door iedereen met een beetje middelbare school kennis begrepen moeten kunnen worden. Als dat niet zo is, dan is er iets mis met het kennisniveau van de lezer en/of met het onderwijs, niet met mijn uitleg.quote:
[..]
Na 4 ben ik helemaal de weg kwijtgeraakt. Het staat moeilijker geschreven dan dat ik het kan begrijpen op dit moment. Want ik snap het al helemaal niet.
Op grond van je reacties tot nu toe op mijn uitleg denk ik dat het niveau van je kennis en vaardigheden op dit moment veel te laag is om al over een paar maanden met succes een toelatingsexamen af te kunnen leggen. Dat blijkt bijvoorbeeld uit het feit dat je niet begreep dat a > b equivalent is met a − b > 0 en dat x + y = 3 equivalent is met x + y − 3 = 0.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-05-2014 00:24:32 ]Sterker nog, is dat niet de definitie?quote:
[..]
Dat blijkt bijvoorbeeld uit het feit dat je niet begreep dat a > b equivalent is met a - b > 0Ik ben momenteel ter voorbereiding van mijn Wis. B examen bezig met Lissajous-figuren. Nu heb ik de volgende vraag:
De Lissajous-figuur (afgebeeld in het boek: in de y-richting wordt één periode (P=1) doorlopen, en in de x-richting worden twéé periodes (P=2) doorlopen) hoort bij de parametervoorstelling:
x = sin(ct)
y = sin(t)
met t op [0,2PI]
Vraag: Bereken c
Nu staat in het antwoordenboekje c = 2
Dit volg ik niet helemaal, geldt niet uit 2P = 2PI / c --> c = 2P * 2PI = 4PI?
Hoop dat iemand mij dit uit kan leggen. Ik zal het wel fout hebben, en het zal ongetwijfeld erg simpel zijn, maar ik krijg het maar niet te pakken.
Enorm bedankt voor de input!Jouw formules kloppen niet.quote:
Ik ben momenteel ter voorbereiding van mijn Wis. B examen bezig met Lissajous-figuren. Nu heb ik de volgende vraag:
De Lissajous-figuur (afgebeeld in het boek: in de y-richting wordt één periode (P=1) doorlopen, en in de x-richting worden twéé periodes (P=2) doorlopen) hoort bij de parametervoorstelling:
x = sin(ct)
y = sin(t)
met t op [0,2PI]
Vraag: Bereken c
Nu staat in het antwoordenboekje c = 2
Dit volg ik niet helemaal, geldt niet uit 2P = 2PI / c --> c = 2P * 2PI = 4PI?
Hoop dat iemand mij dit uit kan leggen. Ik zal het wel fout hebben, en het zal ongetwijfeld erg simpel zijn, maar ik krijg het maar niet te pakken.
Enorm bedankt voor de input!
De periode van y is 2pi. De periode van x is kennelijk twee keer zo kort, dus pi.
Periode = 2pi / c
pi = 2pi / c
1 = 2 / c
c = 2
Thanks, duidelijk
Je hebt soms echt van die momenten dat je er dusdanig lang in zit dat je er even helemaal scheel van wordt!Dag,
Ik had een vraagje;
De volgende som is als volgt:
a + b / a - 2b - a - 2b / a + b
Ik heb het opgelost en kwam uit op 6ab - 3b² / a² - ab - 2b²
Echter vraag ik mij dus af of ik dit kan vereenvoudigen tot
6a - 3b / a²- a - 2b door gewoon zowel de teller als de noemer te delen door b.
Echter staat er in het antwoordenboek waar ik in eerste instantie uitkwam (vetgedrukte), maar toch vraag ik mij af of ik hem wel verder kan vereenvoudigen, zo niet waarom niet?
Ik dacht zelf dat het niet te vereenvoudigen is omdat er in de noemer niet alles een b heeft, want er staat een a² in de breuk...
Maar dan toch vind ik raar dat bijvoorbeeld (a-b) (a+b) / a + b vereenvoudigd kan worden tot alleen a-b door alles te delen door a+b.Op het moment dat jij (6ab - 3b²) / (a² - ab - 2b²) door b wilt delen, vergeet je de eerste term van het onderste lid (zeg ik dit goed?) a² te delen door b.
Het wordt dan dus eigenlijk:
(6a - 3b² ) / ( (a² /b) - a - 2b), waardoor er drie breuken komen, en het zonder het door b te delen netter en overzichtelijker is.Dit klopt.quote:
Op het moment dat jij (6ab - 3b²) / (a² - ab - 2b²) door b wilt delen, vergeet je de eerste term van het onderste lid (zeg ik dit goed?) te delen door b.
Het wordt dan dus eigenlijk:
(6a - 3b² ) / ( (a² /b) - a - 2b), waardoor er drie breuken komen, en het zonder het door b te delen netter en overzichtelijker is.
Enkun je wel vereenvoudigen, omdat het een vermenigvuldiging betreft. Zou er
hebben gestaan, zou je het niet kunnen vereenvoudigen tot (a-b), maar enkel tot
.
quote:
Op het moment dat jij (6ab - 3b²) / (a² - ab - 2b²) door b wilt delen, vergeet je de eerste term van het onderste lid (zeg ik dit goed?) a² te delen door b.
Het wordt dan dus eigenlijk:
(6a - 3b² ) / ( (a² /b) - a - 2b), waardoor er drie breuken komen, en het zonder het door b te delen netter en overzichtelijker is.Ik wil jullie danken voor jullie snelle antwoord en tijd die jullie genomen hebben om te antwoorden.quote:
[..]
Dit klopt.
En
Er rest mij nog een vraag:
Hoe wordt deze vergelijking opgelost?
(x+2)² = 3
Ik loop vast bij het oplossen tot hieraan toe : x² + 2x + 2x + 4 = 3 ofwel x²+ 4x = -1Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.quote:
Hoe wordt deze vergelijking opgelost?
(x+2)² = 3
Ik loop vast bij het oplossen tot hieraan toe : x² + 2x + 2x + 4 = 3 ofwel x²+ 4x = -1
Dus (x+2)² = 3
geeft x + 2 = √3 of x + 2 = - √3
Dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2(x+2)² = 3
(x+2)(x+2) = 3
x² + 4x + 4 = 3
x² + 4x + 1 = 0
Niet te ontbinden in factoren, dus ABC formule.
D = b² - 4ac = 16 - 4 * 1 *1 = 12
x= (-4 - Sqrt(12) ) / 2 v x= (-4 + Sqrt(12) ) / 2
Edit: methode hierboven is natuurlijk veel snellerHoe kom je tot daar? Als ik weet tot hoe je tot dat gedeelte komt van de som dan snap ik het..quote:
[..]
Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.
Dus (x+2)² = 3
geeft x + 2 = √3 of x + 2 = - √3
Dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2
Ik zit nu nog met x²+ 4x = -1In het antwoordenmodel staat Dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2quote:
(x+2)² = 3
(x+2)(x+2) = 3
x² + 4x + 4 = 3
x² + 4x + 1 = 0
Niet te ontbinden in factoren, dus ABC formule.
D = b² - 4ac = 16 - 4 * 1 *1 = 12
x= (-4 - Sqrt(12) ) / 2 v x= (-4 + Sqrt(12) ) / 2
Edit: methode hierboven is natuurlijk veel sneller
Dus ik denk niet dat de jouwe goed is.Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.
Dat snap je? In jouw geval staat er x+2 in plaats van x, maar de methode blijft hetzelfde.
En het antwoord van EcoMaarten is hetzelfde (na vereenvoudigen)Van EcoMaarten snap ik, maar de uiteindelijke schrijfwijze snap ik niet... Aangezien het uiteindelijke antwoord volgens het antwoordenmodel dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2 moet zijn, net als de jouwe..quote:
Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.
Dat snap je? In jouw geval staat er x+2 in plaats van x, maar de methode blijft hetzelfde.
En het antwoord van EcoMaarten is hetzelfde (na vereenvoudigen), omdat 12 = 43 = 23
Ik snap het ja.. dat een x-kwadraat op te lossen is door de wortel, maar daarna niet meer... Dus het vetgedrukte:√12 = √4√3 = 2√3 dus daarom is het antwoord van EcoMaarten hetzelfde.
En y² = 3 geeft dus y = √3 of y = - √3 als oplossingen.
Jij wilt oplossingen weten van (x+2)² = 3. Oftewel y = x+2 substitueren in de vorige vergelijking
Dus y = x+2 = √3 of y = x+2 = - √3.Hoe kom je aan x+2 als ik de vergelijking al aan het oplossen ben en bij x² + 4x = -1 ben ?quote:
√12 = √4√3 = 2√3 dus daarom is het antwoord van EcoMaarten hetzelfde.
En y² = 3 geeft dus y = √3 of y = - √3 als oplossingen.
Jij wilt oplossingen weten van (x+2)² = 3. Oftewel y = x+2 substitueren in de vorige vergelijking
Dus y = x+2 = √3 of y = x+2 = - √3.
--->
x= (-4 - Sqrt(12) ) / 2 v x= (-4 + Sqrt(12) ) / 2
Hoe kun je er direct uithalen dat het 2W3 is?√12 = √4√3 = 2√3
Dit is het belangrijkste. Voer dat eens in op de plek van √12
En dan heb je het antwoord.Ik had (x+2)² niet uitgewerkt omdat het niet nodig is.
Lijkt me ook niet de bedoeling van de opgave, maar goed.Hoezo niet? Je moet toch achter x komen? Ik zou zeggen dan x+2² moet gelijk zijn aan 3,quote:
Ik had (x+2)² niet uitgewerkt omdat het niet nodig is.
dus dan moet x een getal zijn wat in het kwadraat + 2 in het kwadraat gelijk is aan 3, toch?Ik zoek de gedachte erachter.quote:
Ik had (x+2)² niet uitgewerkt omdat het niet nodig is.
Lijkt me ook niet de bedoeling van de opgave, maar goed.
Ik wil het niet klakkenloos overnemen, maar alles weten.Ok, start even helemaal opnieuw met de opgave.quote:
[..]
Hoe kom je aan x+2 als ik de vergelijking al aan het oplossen ben en bij x² + 4x = -1 ben ?
Je hebt (x+2)2=3
Om het makkelijker te maken zeg je: y = x+2
Als je dit invult krijg je: y2 = 3
Deze vergelijking heeft als oplossingen: y = √3 of y = -√3
Maar je moet niet het antwoord voor y hebben, je moet het antwoord voor x hebben.
Daarom vul je nu weer in: y = x+2
Je twee oplossingen zijn dan: x+2 = √3 of x+2 = -√3
Als je deze oplossingen omschrijft naar x krijg je: x = √3-2 of x = -√3-2Helemaal duidelijk!!! Dankje! Alleen hoe weet je van te voren al direct dat het -2 - W3 is of x = - 2 + W3.quote:
[..]
Ok, start even helemaal opnieuw met de opgave.
Je hebt (x+2)2=3
Om het makkelijker te maken zeg je: y = x+2
Als je dit invult krijg je: y2 = 3
Deze vergelijking heeft als oplossingen: y = √3 of y = -√3
Maar je moet niet het antwoord voor y hebben, je moet het antwoord voor x hebben.
Daarom vul je nu weer in: y = x+2
Je twee oplossingen zijn dan: x+2 = √3 of x+2 = -√3
Als je deze oplossingen omschrijft naar x krijg je: x = √3-2 of x = -√3-2
Ik denk dat ik op 1 van de twee was uitgekomen en het gelaten had ipv beide... opgeschreven had als antwoord ( dus .... of ... )Als je iets hebt als y2 = 3, dan zijn er twee oplossingen die hieraan voldoen. Zowel +√3 als -√3 leveren na kwadrateren 3 op. Het is dus belangrijk om aan te geven dat beide antwoorden goed zijn.quote:
[..]
Helemaal duidelijk!!! Dankje! Alleen hoe weet je van te voren al direct dat het -2 - W3 is of x = - 2 + W3.
Ik denk dat ik op 1 van de twee was uitgekomen en het gelaten had ipv beide... opgeschreven had als antwoord ( dus .... of ... )Aha duidelijk. Helder. Zijn de FOK!ers hier allemaal wiskunde-genieën of wat?quote:
[..]
Als je iets hebt als y2 = 3, dan zijn er twee oplossingen die hieraan voldoen. Zowel +√3 als -√3 leveren na kwadrateren 3 op. Het is dus belangrijk om aan te geven dat beide antwoorden goed zijn.
Hier een pittige waar ik niet uitkom:
(-2x + 6)² = 8
Ik deelde alles door -2
dus:
(x-3)² = -4
x = 3 - W-4 of x = 3 + W-4
Dus geen oplossing mogelijk...
Toch zegt het antwoordenmodel: 3 +/- W2
Hoe komen ze op W2?!?!?Je hebt de abc-formule eigenlijk helemaal niet nodig. Een kwadratische vergelijking zoals hierboven los je heel eenvoudig op via kwadraatafsplitsing of, zoals dat in het Engels heet, completing the square. Het komt erop neer dat je het linkerlid completeert tot een volkomen kwadraat, waarbij je gebruik maakt van het merkwaardig productquote:
[..]
Hoe kom je tot daar? Als ik weet tot hoe je tot dat gedeelte komt van de som dan snap ik het..
Ik zit nu nog met x²+ 4x = -1
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Je vergelijking luidt
x2 + 4x = −1
Nu halveer je de coëfficiënt van de x, dat geeft 4/2 = 2. Dit kwadrateer je en dat geeft 22 = 4. Dit laatste tellen we op bij beide leden en dan hebben we
x2 + 4x + 4 = 3
Nu zie je dat we het linkerlid kunnen herschrijven als (x + 2)2 zodat we krijgen
(x + 2)2 = 3
En dus krijgen we
x + 2 = √3 ∨ x + 2 = −√3
En daarmee
x = −2 + √3 ∨ x = −2 − √3Besef je dat (-2x + 6)² = (-2x + 6)(-2x + 6)quote:
[..]
Aha duidelijk. Helder. Zijn de FOK!ers hier allemaal wiskunde-genieën of wat?
Hier een pittige waar ik niet uitkom:
(-2x + 6)² = 8
Ik deelde alles door -2
dus:
(x-3)² = -4
x = 3 - W-4 of x = 3 + W-4
Dus geen oplossing mogelijk...
Toch zegt het antwoordenmodel: 3 +/- W2
Hoe komen ze op W2?!?!?Nee!quote:
Hier een pittige waar ik niet uitkom:
(-2x + 6)² = 8
Ik deelde alles door -2
dus:
(x-3)² = -4
Je vergeet een paar dingen én je maakt het jezelf te moeilijk.
Wat je vergeet: in het linkerlid heb je een kwadraat. Als je dus de uitdrukking binnen de haakjes door −2 deelt, dan deel je het linkerlid daarmee door (−2)2 = 4. En als je het linkerlid door 4 deelt, dan moet je het rechterlid ook door 4 delen en krijg je dus
(x − 3)2 = 2
Waarom je het jezelf te moeilijk maakt: bovenstaande vierkantsvergelijking heeft in het linkerlid een volkomen kwadraat. En als het kwadraat van (x − 3) gelijk moet zijn aan 2, dan moet (x − 3) zelf dus gelijk zijn aan hetzij √2 hetzij −√2. Dus krijgen we
x − 3 = √2 ∨ x − 3 = −√2
En daarmee
x = 3 + √2 ∨ x = 3 − √2Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?quote:
[..]
Nee!
Je vergeet een paar dingen én je maakt het jezelf te moeilijk.
Wat je vergeet: in het linkerlid heb je een kwadraat. Als je dus de uitdrukking binnen de haakjes door −2 deelt, dan deel je het linkerlid daarmee door (−2)2 = 4. En als je het linkerlid door 4 deelt, dan moet je het rechterlid ook door 4 delen en krijg je dus
(x − 3)2 = 2
Waarom je het jezelf te moeilijk maakt: bovenstaande vierkantsvergelijking heeft in het linkerlid een volkomen kwadraat. En als het kwadraat van (x − 3) gelijk moet zijn aan 2, dan moet (x − 3) zelf dus gelijk zijn aan hetzij √2 hetzij −√2. Dus krijgen we
x − 3 = √2 ∨ x − 3 = −√2
En daarmee
x = 3 + √2 ∨ x = 3 − √2Nee, je begrijpt het nog steeds niet. Ik heb slechts één deling uitgevoerd. Ik heb beide leden gedeeld door 4. Je kunt het linkerlid van je vergelijking immers ook schrijven alsquote:
[..]
Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?
((−2)·(x − 3))2
en dat is hetzelfde als
(−2)2·(x − 3)2
oftewel
4·(x − 3)2(-2x + 6)² = 8quote:
[..]
Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?
Ik zou het zo aanpakken (houdt er rekening mee dat mijn wiskundige kennis ver onderdoet tov Riparius.
(-2x + 6)² = 8
(-2x + 6)(-2x + 6) = 8
4x2-24x+36 = 8
4x2-24x+28 = 0
Vervolgens deze vergelijking door de abc-formule rammen en het varkentje is gewassen.
Correct me if i'm wrong.Je mag aan beide kanten door -2 delen, maar dit levert niet het resultaat op wat jij denkt.quote:
[..]
Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?
Er staat namelijk:
(-2x+6)2 = 8
(-2x+6)(-2x+6) = 8
Als je dan beide kanten door -2 deelt krijg je:
(-2x+6)(-2x+6)/(-2) = 8/(-2)
Aan de linkerkant van het = teken werkt het delen maar op 1 van de termen, je krijgt dan:
(-2x+6)(x-3) = -4
Dit is lastiger op te lossen dan de opgave waarmee je begon, dus dit is niet zo'n goede strategieVolgens mij is het veel makkelijker om direct de wortel te nemen, dan heb je geen gedoe met abc-formulesquote:Op donderdag 1 mei 2014 23:04 schreef nodig het volgende:
[..]
(-2x + 6)² = 8
Ik zou het zo aanpakken (houdt er rekening mee dat mijn wiskundige kennis ver onderdoet tov Riparius.
(-2x + 6)² = 8
(-2x + 6)(-2x + 6) = 8
4x2-24x+36 = 8
4x2-24x+28 = 0
Vervolgens deze vergelijking door de abc-formule rammen en het varkentje is gewassen.
Correct me if i'm wrong.Owja tweedegraads kan makkelijk abc. Ik ram gewoon standaard abc formule, waarom moeilijk doen...quote:
[..]
(-2x + 6)² = 8
Ik zou het zo aanpakken (houdt er rekening mee dat mijn wiskundige kennis ver onderdoet tov Riparius.
(-2x + 6)² = 8
(-2x + 6)(-2x + 6) = 8
4x2-24x+36 = 8
4x2-24x+28 = 0
Vervolgens deze vergelijking door de abc-formule rammen en het varkentje is gewassen.
Correct me if i'm wrong.
Alleen hoe noteer ik het bij toetsen? Niet de abc formule, maar uiteindelijke antwoord...ABC is the best.quote:
[..]
Volgens mij is het veel makkelijker om direct de wortel te nemen, dan heb je geen gedoe met abc-formulesWaarom gewoon niet eerst kwadraat wegwerken? Is het simplest vind ik. Dat direct delen door 4 zag ik ook nietBedoel je dat je de abc-formule hier niet mag toepassen? Of doel je erop dat de abc-formule een relatief moeilijkere/langere methode is?quote:
[..]
Owja tweedegraads kan makkelijk abc. Ik ram gewoon standaard abc formule, waarom moeilijk doen...
Alleen hoe noteer ik het bij toetsen? Niet de abc formule, maar uiteindelijke antwoord...Ik doel op het volgende;quote:
[..]
Bedoel je dat je de abc-formule hier niet mag toepassen? Of doel je erop dat de abc-formule een relatief moeilijkere/langere methode is?
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen? Want meestal komen er kommagetallen uitrollen.Je vraagt of ik hem helemaal wil uitwerken?quote:
[..]
Ik doel op het volgende;
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen?
4x2-24x+28 = 0
abc-formule:( -b(+of-)wortel b2 - 4ac)/2a
Invullen geeft:
(24(-of+) wortel 576 - 448) / 8
(24 (-of+) wortel128 )/ 8
(24 (-of+) 8wortel2) /8
3 (-of +) wortel 2
[ Bericht 20% gewijzigd door nodig op 01-05-2014 23:17:35 ]Ik snap dat je graag de abc-formule gebruikt, dat is nu eenmaal een simpel trucje. Het is alleen een best wel tijdrovende manier van oplossen, daarnaast maak je er ook best wel snel een foutje mee. Bij dit soort opgaves kan het veel sneller door er even naar te kijken en niet direct dom dat kwadraat uit te schrijven.quote:Bij wiskundetoetsen mag je worteltekens gewoon laten staan. Dit is zelfs beter dan kommagetallen, want kommagetallen zijn afgerond, terwijl wortels exact zijn.quote:
[..]
Ik doel op het volgende;
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen? Want meestal komen er kommagetallen uitrollen.
Als je de opgave (x+2)2 = 3 hebt, dan schrijf je op:
(x+2)2 = 3
x+2 = √3 of x+2 = -√3
x = √3 - 2 of x = -√3 - 2
Je kunt het woordje 'of' ook nog vervangen door het ∨ teken. Dit betekent gewoon 'of'Nee, daar ben ik het niet mee eens. Ik los vierkantsvergelijkingen meestal veel sneller op met andere methodes, bijvoorbeeld via kwadraatafsplitsing. In sommige gevallen (vierkantsvergelijkingen met gehele coëfficiënten en rationale wortels) kun je ook ontbinden in factoren.quote:
Bij de opgave hierboven is het linkerlid al een volkomen kwadraat, en dan is het waanzin het linkerlid uit te gaan werken, het rechterlid van de vergelijking op nul te herleiden en dan de abc-formule te gebruiken. Kijk maar:
(−2x + 6)2 = 8
−2x + 6 = 2√2 ∨ −2x + 6 = −2√2
x − 3 = −√2 ∨ x − 3 = √2
x = 3 − √2 ∨ x = 3 + √2Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Ik kwam uit op
-2(6x - 5x - 4) = 0
Dus x = 2 of x = 4
Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3Je vraagt of ik hem helemaal wil uitwerken?quote:
[..]
Ik doel op het volgende;
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen? Want meestal komen er kommagetallen uitrollen.
4x2-24x+28 = 0
abc-formule:( -b(+of-)wortel b2 - 4ac)/2a
Invullen geeft:
(24(-of+) wortel 576 - 448) / 8
(24 (-of+) wortel128 )/ 8
(24 (-of+) 8wortel2) /8
3 (-of +) wortel 2Wat jij aanziet voor een 'lastige' methode is helemaal niet lastig, integendeel. Je maakt het je hier al moeilijker dan nodig doordat je de haakjes begint uit te werken. Dat moet je hier niet doen, want je ziet dat het rechterlid van je vergelijking nul is.quote:
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Welnu, een product van twee getallen kan alleen nul zijn als (tenminste) één van die getallen zelf nul is. Dus krijgen we:
2x + 1 = 0 ∨ 3x − 4 = 0
x = −1/2 ∨ x = 4/3-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0quote:
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Ik kwam uit op
-2(6x - 5x - 4) = 0
Dus x = 2 of x = 4
Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3
A * B = 0
Dus of A = 0 of B = 0 of A en B=0
-4x-2=0
-4x=2
x = 2/-4
x= -1/2
of(/en)
3x-4=0
3x=4
x=4/3Hoe kom je direct tot -4x-2?quote:
[..]
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
A * B = 0
Dus of A = 0 of B = 0 of A en B=0
-4x-2=0
-4x=2
x = 2/-4
x= -1/2
of(/en)
3x-4=0
3x=4
x=4/3Ik heb die -2(2x+1) uitgewerkt.quote:
Maar nu ik de post van Riparius zie is dat natuurlijk niet nodig. Het resultaat blijft hetzelfde. Je kan dus ook gewoon (2x+1) nemen en die hele -2 wegdenken.
Nogmaals, corrigeer me als ik verkeerd zit
Ik ben mij aan het voorbereiden voor dezelfde wiskunde deficientie als user RustCohle.Met die -2 doe je niks?quote:
[..]
Wat jij aanziet voor een 'lastige' methode is helemaal niet lastig, integendeel. Je maakt het je hier al moeilijker dan nodig doordat je de haakjes begint uit te werken. Dat moet je hier niet doen, want je ziet dat het rechterlid van je vergelijking nul is.
Welnu, een product van twee getallen kan alleen nul zijn als (tenminste) één van die getallen zelf nul is. Dus krijgen we:
2x + 1 = 0 ∨ 3x − 4 = 0
x = −1/2 ∨ x = 4/3Waarom kun je die -2 wegdenken?quote:
[..]
Ik heb die -2(2x+1) uitgewerkt.
Maar nu ik de post van Riparius zie is dat natuurlijk niet nodig. Het resultaat blijft hetzelfde. Je kan dus ook gewoon (2x+1) nemen en die hele -2 wegdenken.
Nogmaals, corrigeer me als ik verkeerd zit
Ik ben mij aan het voorbereiden voor dezelfde wiskunde deficientie als user RustCohle.quote:
[..]
Waarom kun je die -2 wegdenken? Ben wel benieuwd naar jouw methode...quote:
[..]
Ik heb die -2(2x+1) uitgewerkt.
Maar nu ik de post van Riparius zie is dat natuurlijk niet nodig. Het resultaat blijft hetzelfde. Je kan dus ook gewoon (2x+1) nemen en die hele -2 wegdenken.
Nogmaals, corrigeer me als ik verkeerd zit
Ik ben mij aan het voorbereiden voor dezelfde wiskunde deficientie als user RustCohle.Hij brengt eerst de constante factor −2 binnen de haakjes door de eerste factor (2x + 1) met −2 te vermenigvuldigen, maar dat is geheel overbodig. Het gaat erom dat (tenminste) één der beide factoren tussen haakjes nul moet zijn, anders kan het product in het linkerlid immers niet nul zijn.quote:-12x² + 10x + 8 = 0quote:
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Ik kwam uit op
-2(6x - 5x - 4) = 0
Dus x = 2 of x = 4
Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3
-12x2 +16x -6x +8 =0
4x(-3x +4) +2(-3x +4) =0
(4x +2)(-3x +4) =0
x = - 1/2 of x = 4/3Nee. Je zou ook eerst beide leden door −2 kunnen delen, dan verdwijnt de factor −2 uit het linkerlid maar blijft het rechterlid nul. Het gaat erom dat het product in het linkerlid uitsluitend nul kan zijn als tenminste één van de beide factoren tussen haakjes gelijk is aan nul. Aldus valt je vierkantsvergelijking uiteen in twee lineaire vergelijkingen.quote:Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?quote:
[..]
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
A * B = 0
Dus of A = 0 of B = 0 of A en B=0
-4x-2=0
-4x=2
x = 2/-4
x= -1/2
of(/en)
3x-4=0
3x=4
x=4/3
Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.Nee. Je moet die -2 alleen voor die eerste termen binnen de haakjes nemen.quote:
[..]
Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?
Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.Nee, als je beide factoren tussen haakjes met −2 zou vermenigvuldigen, dan smokkel je een extra factor −2 binnen. Dat doet hier geen kwaad omdat het rechterlid immers nul is, maar het is niet correct.quote:
[..]
Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?
Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.Ow... Hoe werk je de tweede termen uit dan? Met welke vermenigvuldig je die?quote:
[..]
Nee. Je moet die -2 alleen voor die eerste termen binnen de haakjes nemen.Dat deed ik dus al de gehele week. Ik ga morgen maar keihard algebra en vergelijkingen...quote:
[..]
Nee, als je beide factoren tussen haakjes met −2 zou vermenigvuldigen, dan smokkel je een extra factor −2 binnen. Dat doet hier geen kwaad omdat het rechterlid immers nul is, maar het is niet correct.Als je hem helemaal wilt uitwerken?quote:
[..]
Ow... Hoe werk je de tweede termen uit dan? Met welke vermenigvuldig je die?
Dat zou ik zo doen:
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
(-4x2-2)(3x-4) = 0
-12x3+16x2-6x+8 =0Uitstekend!quote:
[..]
-12x² + 10x + 8 = 0
-12x2 +16x -6x +8 =0
4x(-3x +4) +2(-3x +4) =0
(4x +2)(-3x +4) =0
x = - 1/2 of x = 4/3
Voor diegenen die zich afvragen wat hier gebeurt: dit is ontbinden van een kwadratische veelterm ax2 + bx + c via factoring by grouping. Hiervoor zoek je eerst twee getallen waarvan het product gelijk is aan ac = −96 terwijl de som gelijk is aan b = 10. Die getallen zijn +16 en −6. Vervolgens splits je de lineaire term 10x op in 16x − 6x en dan kun je bij de eerste twee en bij de laatste twee termen een factor buiten haakjes halen, waarbij er binnen de haakjes dezelfde factor overblijft, zodat je vervolgens de ontbinding kunt voltooien.Netjes inderdaadquote:
[..]
Uitstekend!
Voor diegenen die zich afvragen wat hier gebeurt: dit is ontbinden van een kwadratische veelterm ax2 + bx + c via factoring by grouping. Hiervoor zoek je eerst twee getallen waarvan het product gelijk is aan ac = −96 terwijl de som gelijk is aan b = 10. Die getallen zijn +16 en −6. Vervolgens splits je de lineaire term 10x op in 16x − 6x en dan kun je bij de eerste twee en bij de laatste twee termen een factor buiten haakjes halen, waarbij er binnen de haakjes dezelfde factor overblijft, zodat je vervolgens de ontbinding kunt voltooien.
Ik heb trouwens nog wel een vraag. De abc-formule is bijna altijd toch toepasbaar? Behalve met voorwaarde dat a ongelijk is aan 0? Kwadraat afsplitsen lukt mij ook maar ik had het idee dat de abc-formule altijd mogelijk is en kwadraat afsplitsen niet.
Ik vind het hartstikke leuk om alle methoden te gaan leren maar binnen drie weken moet ik dit pakket beheersen: http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdfAls a = 0 dan heb je geen kwadratische term meer en dus ook geen kwadratische vergelijking. Je kunt dus zeggen dat de abc-formule altijd toepasbaar is. Ook oplossen van een kwadratische vergelijking via kwadraatafsplitsing is altijd mogelijk. Dat kun je gemakkelijk inzien doordat de abc-formule zelf ook via kwadraatafsplitsing is af te leiden. Lees dit maar eens goed door.quote:
[..]
Netjes inderdaad
Ik heb trouwens nog wel een vraag. De abc-formule is bijna altijd toch toepasbaar? Behalve met voorwaarde dat a ongelijk is aan 0? Kwadraat afsplitsen lukt mij ook maar ik had het idee dat de abc-formule altijd mogelijk is en kwadraat afsplitsen niet.quote:Ik vind het hartstikke leuk om alle methoden te gaan leren maar binnen drie weken moet ik dit pakket beheersen: http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Ah, dat komt ongeveer neer op dit filmpje dat ik bekeken heb: Overigens heeft dat youtubekanaal 'wiskundeacademie' mij heel veel geholpen, de informatie in 'basisboek wiskunde' is soms echt te karig voor mij. Daarnaast gebruik ik nog sporadisch khanacademy.org voor dingen die wiskundeacademie niet behandeldquote:
[..]
Als a = 0 dan heb je geen kwadratische term meer en dus ook geen kwadratische vergelijking. Je kunt dus zeggen dat de abc-formule altijd toepasbaar is. Ook oplossen van een kwadratische vergelijking via kwadraatafsplitsing is altijd mogelijk. Dat kun je gemakkelijk inzien doordat de abc-formule zelf ook via kwadraatafsplitsing is af te leiden. Lees dit maar eens goed door.
[..]
Ik moet trouwens wel zeggen dat voordat ik hiermee begon mijn wiskundeniveau niet heel best was. Een kwadratische vergelijking had ik nog nooit gehad.Dat is inderdaad ook de methode van Sridhara. Het lijkt erop dat deze methode in ieder geval in het onderwijs lang was vergeten want in de meeste Nederlandse schoolboeken uit de 20ste eeuw deelt men eerst beide leden door a om de coëfficiënt van de kwadratische term gelijk te maken aan 1, maar dan krijg je nogal wat breuken in je afleiding, zie bijvoorbeeld hier voor een vergelijk van beide afleidingen.quote:Op vrijdag 2 mei 2014 00:27 schreef nodig het volgende:
[..]
Ah, dat komt ongeveer neer op dit filmpje dat ik bekeken heb
In schoolboeken uit de 19de eeuw kom je de methode van Sridhara wel tegen. In Engelse schoolboeken uit die periode heet dat dan vaak de Hindoo method. Het oudste mij bekende Nederlandse schoolboek waarin de abc-formule in de thans gebruikelijke vorm wordt gegeven en wordt afgeleid volgens de methode van Sridhara is een boekje van Colenso dat omstreeks 1860 voor het eerst verscheen (hier, collectie Nederlands Schoolmuseum). Maar, ongetwijfeld niet toevallig, was dit een bewerking van een Engels origineel. Het zal je opvallen hoe kort de afleiding hier wordt weergegeven. Leerlingen hadden daar toen voldoende aan om te zien hoe het in elkaar zit. De abc-formule speelde verder nauwelijks een rol, kwadratische vergelijkingen die niet zijn op te lossen via ontbinding in factoren werden gewoonlijk opgelost via kwadraatafsplitsing of via de pq-formule (zie hier).
Het boek van Van de Craats is geen leerboek, het is meer een opfriscursus en oefenboek voor mensen die de stof al wel eens eerder hebben gezien. Het boek wordt echter ook vaak gebruikt door mensen die de stof niet eerder hebben gezien, met alle gevolgen van dien. Dat is één van de redenen waarom ik dit boek nooit aanraad aan mensen die een wiskunde deficiëntie willen wegwerken en zich willen voorbereiden op een toelatingsexamen. Afgezien daarvan vind ik het boek ook in zijn genre niet bijster geslaagd.quote:Overigens heeft dat youtubekanaal 'wiskundeacademie' mij heel veel geholpen, de informatie in 'basisboek wiskunde' is soms echt te karig voor mij. Daarnaast gebruik ik nog sporadisch khanacademy.org voor dingen die wiskundeacademie niet behandeldKwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.quote:Ik moet trouwens wel zeggen dat voordat ik hiermee begon mijn wiskundeniveau niet heel best was. Een kwadratische vergelijking had ik nog nooit gehad.Ik kreeg het ook nog in het eind 2e van gymnasium.quote:
[..]
Kwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.Hoe kan ik inzien hoe ik deze vergelijking kan ontbinden in factoren? Bij een simpele tweedegraadsvergelijking heb ik daar geen moeite mee, maar bij de volgende zie ik door de bomen het bos niet meer...
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
Na het oplossen kom ik tot:
a^2b + a^2 + 4ab + 4a + 3b + 3
Daar sta ik dus vast..Je moet de twee termen buiten haakjes halen.
(a+3) = a
(b+1) = b
a 2b -2ab
ab(a -2)
(a +3)(b +1)(a +3 -2)Ik snap het niet?quote:
Je moet de twee termen buiten haakjes halen.
(a+3) = a
(b+1) = b
a 2b -2ab
ab(a -2)
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
Uiteindelijke antwoord is trouwens (a + 1) (a + 3) ( b + 1)Welke deel niet? Het antwoord klopt dus.quote:
[..]
Ik snap het niet?
Uiteindelijke antwoord is trouwens (a + 1) (a + 3) ( b + 1)Heel je post niet.quote:
[..]
Welke deel niet? Het antwoord klopt dus.
Ik weet nog steeds niet wat het verschil is tussen ontbinden in factoren, factoren buiten de haakjes halen en termen buiten haakjes halen.Mja, hier wordt het duidelijk uitgelegd:quote:
[..]
Heel je post niet.
Ik weet nog steeds niet wat het verschil is tussen ontbinden in factoren, factoren buiten de haakjes halen en termen buiten haakjes halen.
http://www.dr-aart.nl/Her(...)actoren.html#termfacMaar dat is makkelijk... kijk mijn vraagstuk eens.. dat is een pittigere.quote:
[..]
Mja, hier wordt het duidelijk uitgelegd:
http://www.dr-aart.nl/Her(...)actoren.html#termfacJe ziet dat (a+3) en (b+1) 2 keer in de vergelijking voorkomen.quote:
[..]
Maar dat is makkelijk... kijk mijn vraagstuk eens.. dat is een pittigere.
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
Laten we (a+3) en (b+1) vervangen door:
(a+3) = a
(b+1) = b
Dus op de plaats van (a+3) komt a en op de plaats van (b+1) komt b
Dan krijgen we:
a 2b -2ab
a en b kan je buiten haakjes halen:
ab(a -2)
Aangezien a=(a+3) en b=(b+1) krijgen we:
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
Kan je versimpelen naar:
(a +3)(b +1)(a +1)
En komt dus overeen met:
(a + 1) (a + 3) ( b + 1)
Of:
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
(a +3)(b+1)(a+3*1-2*1*1)
(a +3)(b +1)(a +1)
[ Bericht 3% gewijzigd door wiskundenoob op 02-05-2014 12:53:32 ]Ik snap niet hoe je opeens a en b kan maken van de vergelijking, bovendien komt a+3 driemaal voor en b+1 tweemaal. Ik snap de laatste methode niet, waarvoor 3*1-2*1*1 is?quote:
[..]
Je ziet dat (a+3) en (b+1) 2 keer in de vergelijking voorkomen.
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
Laten we (a+3) en (b+1) vervangen door:
(a+3) = a
(b+1) = b
Dus op de plaats van (a+3) komt a en op de plaats van (b+1) komt b
Dan krijgen we:
a 2b -2ab
a en b kan je buiten haakjes halen:
ab(a -2)
Aangezien a=(a+3) en b=(b+1) krijgen we:
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
Kan je versimpelen naar:
(a +3)(b +1)(a +1)
En komt dus overeen met:
(a + 1) (a + 3) ( b + 1)
Of:
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
(a +3)(b+1)(a+3*1-2*1*1)
(a +3)(b +1)(a +1)Een voorbeeld waar ik in de war van raak.
Ontbind de volgende vergelijking in factoren:
27a^2 - 12b^2
Ik zou doen: 3(9a^2 - 4b^2)
echter is het antwoord:
3a (3a + 2b ) (3a - 2b)
Ik snap beide methoden.. maar ik snap niet wanneer ik de methode die ik dacht te moeten gebruiken, moet gebruiken en wanneer ik dus die tweede moet gebruiken?
hetzelfde geldt voor:
8a^2 - 50 is 2(2a + 5) (2a - 5)
Terwijl ik dacht:
2(a^2 - 25)Mja, ik wil je best helpen, maar ik denk dat dat geen goed plan is aangezien ik niet veel kennis bezit over wiskunde en dus geen goed uitleg kan geven. Ik denk dat je probleem is dat je niet weet wat ontbinden in factoren betekent.(a + b) (a - b) = a2 - b2quote:
Een voorbeeld waar ik in de war van raak.
Ontbind de volgende vergelijking in factoren:
27a^2 - 12b^2
Ik zou doen: 3(9a^2 - 4b^2)
echter is het antwoord:
3a (3a + 2b ) (3a - 2b)
Ik snap beide methoden.. maar ik snap niet wanneer ik de methode die ik dacht te moeten gebruiken, moet gebruiken en wanneer ik dus die tweede moet gebruiken?
hetzelfde geldt voor:
8a^2 - 50 is 2(2a + 5) (2a - 5)
Terwijl ik dacht:
2(a^2 - 25)
Een van de merkwaardige producten.
Wat jij doet is de ggd buiten haakjes halen, maar dat is niet ontbinden in factoren.Buiten haakjes halen is ggd dus..? Bijvoorbeeld 4x² + 6... in het boek een opgave mbt ontbinden in factoren, waarom noemen ze dat dan ontbinden in factoren ipv buiten de haakjes zetten?quote:
[..]
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Een van de merkwaardige producten.
Wat jij doet is de ggd buiten haakjes halen, maar dat is niet ontbinden in factoren.
Antwoord is namelijk 2x(2x + 3).
Ik weet niet wanneer ik dus buiten de haakjes moet gaan werken en wanneer ik moet ontbinden in factoren?Ontbinden in factoren is hetzelfde als 'buiten haakjes zetten'. Wat ik bedoelde te zeggen, is dat je een begin maakt, maar de som niet zover mogelijk ontbindt in factoren. Je kan er gerust vanuit gaan dat je altijd zover mogelijk moet ontbinden in factoren. Het zijn niet 'twee methoden', het is een en hetzelfde, je moet alleen niet stoppen na de grootste gemene deler te hebben gefactoriseerd.quote:
[..]
Buiten haakjes halen is ggd dus..? Bijvoorbeeld 4x² + 6... in het boek een opgave mbt ontbinden in factoren, waarom noemen ze dat dan ontbinden in factoren ipv buiten de haakjes zetten?
Antwoord is namelijk 2x(2x + 3).
Ik weet niet wanneer ik dus buiten de haakjes moet gaan werken en wanneer ik moet ontbinden in factoren?
Neem bijvoorbeeld x2 + 5x + 6, dat levert op (x+2)(x+3).
Neem nu 2x2 + 10x + 12, dat levert op 2(x+2)(x+3), en dus niet 2(x2 + 10x +12).Meestal is het bij ontbinden in factoren dingen als (a + 3 ) (a + 2 ) echter zet je dingen dan BINNEN de haakjes en er niet buiten.quote:
[..]
Ontbinden in factoren is hetzelfde als 'buiten haakjes zetten'. Wat ik bedoelde te zeggen, is dat je een begin maakt, maar de som niet zover mogelijk ontbindt in factoren. Je kan er gerust vanuit gaan dat je altijd zover mogelijk moet ontbinden in factoren. Het zijn niet 'twee methoden', het is een en hetzelfde, je moet alleen niet stoppen na de grootste gemene deler te hebben gefactoriseerd.Dit is toch binnen de haakjes zetten en er niet buiten en juist zo'n som laat mij in de war raken... niet die eerste.. die kan ik gemakkelijk. Ik kan beide makkelijk, maar ik weet niet welke ik moet gebruiken.. Dit snap ik gewoon wel.quote:
[..]
Ontbinden in factoren is hetzelfde als 'buiten haakjes zetten'. Wat ik bedoelde te zeggen, is dat je een begin maakt, maar de som niet zover mogelijk ontbindt in factoren. Je kan er gerust vanuit gaan dat je altijd zover mogelijk moet ontbinden in factoren. Het zijn niet 'twee methoden', het is een en hetzelfde, je moet alleen niet stoppen na de grootste gemene deler te hebben gefactoriseerd.
Neem bijvoorbeeld x2 + 5x + 6, dat levert op (x+2)(x+3).
Neem nu 2x2 + 10x + 12, dat levert op 2(x+2)(x+3), en dus niet 2(x2 + 10x +12).
Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ... (a² + b) (a² - b)Hou het maar op ontbinden in factoren, met 'buiten haakjes brengen' worden normaliter dingen als 2x + 8 = 2(x+4) bedoeld (en dat kan je ook binnen haakjes brengen hoor, wat dacht je van (1+1)?).quote:
[..]
Dit is toch binnen de haakjes zetten en er niet buiten en juist zo'n som laat mij in de war raken... niet die eerste.. die kan ik gemakkelijk. Ik kan beide makkelijk, maar ik weet niet welke ik moet gebruiken.. Dit snap ik gewoon wel.
Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ...
Je moet het zover mogelijk ontbinden, de tweede manier dus.Ik heb je het merkwaardige product daarvoor gegevenquote:Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ...Oke top.. Dan doe ik het als volgt zoals jij zegt:quote:
[..]
Hou het maar op ontbinden in factoren, met 'buiten haakjes brengen' worden normaliter dingen als 2x + 8 = 2(x+4) bedoeld (en dat kan je ook binnen haakjes brengen hoor, wat dacht je van (1+1)?).
Je moet het zover mogelijk ontbinden, de tweede manier dus.
[..]
Ik heb je het merkwaardige product daarvoor gegeven
Altijd ontbinden in factoren, anders de ene manier van het naar buiten halen van de getallen (buiten haakjes, dus de aller simpelste methode. )Ik merk veel taalfouten in mijn posts.. Maar dat komt doordat ik gehaast typt en snel weer aan de slag wil gaan.Dat laatste klopt niet.quote:
Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ... (a² + b) (a² - b)Aha, ik wist niet dat er meerdere methoden waren om tot de abc-formule te komen. Weer wat geleerdquote:
[..]
Dat is inderdaad ook de methode van Sridhara. Het lijkt erop dat deze methode in ieder geval in het onderwijs lang was vergeten want in de meeste Nederlandse schoolboeken uit de 20ste eeuw deelt men eerst beide leden door a om de coëfficiënt van de kwadratische term gelijk te maken aan 1, maar dan krijg je nogal wat breuken in je afleiding, zie bijvoorbeeld hier voor een vergelijk van beide afleidingen.
In schoolboeken uit de 19de eeuw kom je de methode van Sridhara wel tegen. In Engelse schoolboeken uit die periode heet dat dan vaak de Hindoo method. Het oudste mij bekende Nederlandse schoolboek waarin de abc-formule in de thans gebruikelijke vorm wordt gegeven en wordt afgeleid volgens de methode van Sridhara is een boekje van Colenso dat omstreeks 1860 voor het eerst verscheen (hier, collectie Nederlands Schoolmuseum). Maar, ongetwijfeld niet toevallig, was dit een bewerking van een Engels origineel. Het zal je opvallen hoe kort de afleiding hier wordt weergegeven. Leerlingen hadden daar toen voldoende aan om te zien hoe het in elkaar zit. De abc-formule speelde verder nauwelijks een rol, kwadratische vergelijkingen die niet zijn op te lossen via ontbinding in factoren werden gewoonlijk opgelost via kwadraatafsplitsing of via de pq-formule (zie hier).
[..]
Het boek van Van de Craats is geen leerboek, het is meer een opfriscursus en oefenboek voor mensen die de stof al wel eens eerder hebben gezien. Het boek wordt echter ook vaak gebruikt door mensen die de stof niet eerder hebben gezien, met alle gevolgen van dien. Dat is één van de redenen waarom ik dit boek nooit aanraad aan mensen die een wiskunde deficiëntie willen wegwerken en zich willen voorbereiden op een toelatingsexamen. Afgezien daarvan vind ik het boek ook in zijn genre niet bijster geslaagd.
[..]
Kwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.
Ik heb inderdaad ook al gelezen dat het basisboek wiskunde niet echt een leerboek is. Jammer genoeg geeft de universiteit wel een literatuurverwijzing van dat boek. Echter vind ik het icm met filmpjes van de wiskundeacademie en khanacademy goed te doen. Ik vind het jammer dat het boek sommige dingen echt te onduidelijk uitlegt. Neem bijv. de absolute waarde-functie. In een filmpje van khanacademy.org was het mij in een minuut duidelijk.Interessant iets:
functievoorschrift:
f(x) = -x² + 4x + 1
Top is (2,5)
met kwadraatafsplitsing is dit direct te zien
-(x² - 4x + 4 ) + 5 ofwel -(x² -2)² + 5
Dus x = 2 en f(x) of yt is dan =5
dus x = 2 en yt (f(x) = 5
Hoe kan f(x) 5 zijn? Het moet toch √5 zijn?
en hoe kan ik de toppen bepalen van y = -3x² +7 ?
[ Bericht 4% gewijzigd door RustCohle op 03-05-2014 21:49:38 ]Nee, hier heb je een typo. Na kwadraatafsplitsing heb jequote:
Interessant iets:
functievoorschrift:
f(x) = -x² + 4x + 1
Top is (2,5)
met kwadraatafsplitsing is dit direct te zien
-(x² - 4x + 4 ) + 5 ofwel -(x² -2)² + 5
f(x) = −(x −2)2 + 5Ja, maar let op je notatie. Als je de coördinaten van de top van de parabool aangeeft als (xt;yt) gebruik dan ook consequent xt en yt voor de x-coördinaat resp. de y-coördinaat van de top.quote:Dus xt = 2 en f(xt) of yt is dan 5
dus xt = 2 en yt = f(xt) = 5Nee. Je raakt kennelijk in de war door je eigen verschrijving, maar je maakt daarnaast ook nog een rare gedachtenkronkel die ik niet echt kan volgen. Als je x = 2 invult in bovenstaand functievoorschrift, dan krijg je f(2) = 5. De coördinaten van de top zijn dus (2;5). De functiewaarde bereikt een maximum van 5 bij x = 2, en de grafiek van deze functie is dan ook een bergparabool.quote:Hoe kan f(x) 5 zijn? Het moet toch √5 zijn?Heel eenvoudig, hier hoef je niet eens kwadraatafsplitsing toe te passen. Of, bekijk het eens als volgt. Er staat eigenlijk y = (x − 0)2 − 1. Een kwadraat van een reëel getal kan niet negatief zijn, dus de uitdrukking x2 − 1 bereikt een laagste waarde als x2 gelijk is aan nul, en dat is het geval als x = 0. De grafiek van y = x2 − 1 is een dalparabool met als top (laagste punt!) het punt met de coördinaten (0;−1).quote:En hoe kan ik de toppen bepalen van y = x² - 1 ?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-05-2014 22:14:00 ]Als je 2 invult in de formule krijg je toch echt 5 uit.quote:
Interessant iets:
functievoorschrift:
f(x) = -x² + 4x + 1
Top is (2,5)
met kwadraatafsplitsing is dit direct te zien
-(x² - 4x + 4 ) + 5 ofwel -(x² -2)² + 5
Dus x = 2 en f(x) of yt is dan =5
dus x = 2 en yt (f(x) = 5
Hoe kan f(x) 5 zijn? Het moet toch √5 zijn?
en hoe kan ik de toppen bepalen van y = -3x² +7 ?
Wat weet je over de richtingscoefficient van een top? Wat is een top? Probeer het eens zelf af te leiden uit de formules. Ben je al met afgeleides bezig?Bij kwadraatafsplitsing denk ik gelijk aan wortels.... want dan wil je toch de vergelijking oplossen...quote:
[..]
Nee, hier heb je een typo. Na kwadraatafsplitsing heb je
f(x) = −(x −2)2 + 5
[..]
Ja, maar let op je notatie. Als je de coördinaten van de top van de parabool aangeeft als (xt;yt) gebruik dan ook consequent xt en yt voor de x-coördinaat resp. de y-coördinaat van de top.
[..]
Nee. Je raakt kennelijk in de war door je eigen verschrijving, maar je maakt daarnaast ook nog een rare gedachtenkronkel die ik niet echt kan volgen. Als je x = 2 invult in bovenstaand functievoorschrift, dan krijg je f(2) = 5. De coördinaten van de top zijn dus (2;5). De functiewaarde bereikt een maximum van 5 bij x = 2, en de grafiek van deze functie is dan ook een bergparabool.
[..]
Heel eenvoudig, hier hoef je niet eens kwadraatafsplitsing toe te passen. Of, bekijk het eens als volgt. Er staat eigenlijk y = (x − 0)2 − 1. Een kwadraat van een reëel getal kan niet negatief zijn, dus de uitdrukking x2 − 1 bereikt een laagste waarde als x2 gelijk is aan nul, en dat is het geval als x = 0. De grafiek van y = x2 − 1 is een dalparabool met als top (laagste punt!) het punt met de coördinaten (0;−1).
Hier nog een rare:
2x² - 8x
ik heb de kwadraatafsplitsing gebruikt en ik deed het zo:
2x² - 8x
2(x - 2)² = -16
Dus x = 2 of x = -16
toch is het antwoord x = 2 of x = -8 ....
Een top is het hoogste of laagste punt van een parabool. Bij een negatieve richtingsco is het een bergparabool en bij een positieve richtingsco is het een dalparabool.quote:
[..]
Als je 2 invult in de formule krijg je toch echt 5 uit.
Wat weet je over de richtingscoefficient van een top? Wat is een top? Probeer het eens zelf af te leiden uit de formules. Ben je al met afgeleides bezig?
Bij afgeleides ben ik nog niet.
Ik weet wel (na wat googlen) dat de xtop te bepalen is door een simpele methode -b/2a evenals de ytop --> c - b² / 4a
echter wil ik het zonder klakkenloos invullen van de formule het snappen via de kwadraatafsplitsing methodeWat krijg je als je 2(x - 2)² uitwerkt?quote:
[..]
Bij kwadraatafsplitsing denk ik gelijk aan wortels.... want dan wil je toch de vergelijking oplossen...
Hier nog een rare:
2x² - 8x
ik heb de kwadraatafsplitsing gebruikt en ik deed het zo:
2x² - 8x
2(x - 2)² = -16
Dus x = 2 of x = -16
toch is het antwoord x = 2 of x = -8 ....Nee. Je moet niet vergelijkingen en functievoorschriften met elkaar verwarren. En eerder gebruikte je ook al het woord vergelijking voor een veelterm, en ook dat is niet juist. Let op de juiste terminologie.quote:
[..]
Bij kwadraatafsplitsing denk ik gelijk aan wortels.... want dan wil je toch de vergelijking oplossen...Wat je hier doet is onzin. De uitdrukking (tweeterm) 2x2 − 8x is geen vergelijking, er is immers geen =-teken. Maar in je tweede regel introduceer je plotseling out of the blue een =-teken, en dan wil je kennelijk de waarden van x bepalen waarvoor geldtquote:Hier nog een rare:
2x² - 8x
ik heb de kwadraatafsplitsing gebruikt en ik deed het zo:
2x² - 8x
2(x - 2)² = -16
Dus x = 2 of x = -16
toch is het antwoord x = 2 of x = -8 ....
2(x − 2)2 = −16
Maar dit is equivalent met
(x − 2)2 = −8
en deze vergelijking heeft geen (reële) oplossingen, aangezien het kwadraat van een (reëel) getal immers niet negatief kan zijn.Oh vanwege die 2 bij 2(x − 2)2 = −16 moet ik dus die 2 weghalen en deze delen met die -16?quote:
[..]
Nee. Je moet niet vergelijkingen en functievoorschriften met elkaar verwarren. En eerder gebruikte je ook al het woord vergelijking voor een veelterm, en ook dat is niet juist. Let op de juiste terminologie.
[..]
Wat je hier doet is onzin. De uitdrukking (tweeterm) 2x2 − 8x is geen vergelijking, er is immers geen =-teken. Maar in je tweede regel introduceer je plotseling out of the blue een =-teken, en dan wil je kennelijk de waarden van x bepalen waarvoor geldt
2(x − 2)2 = −16
Maar dit is equivalent met
(x − 2)2 = −8
en deze vergelijking heeft geen (reële) oplossingen, aangezien het kwadraat van een (reëel) getal immers niet negatief kan zijn.Ik zou bij deze:quote:
[..]
Oh vanwege die 2 bij 2(x − 2)2 = −16 moet ik dus die 2 weghalen en deze delen met die -16?
-2(x - 2 )² + 1 dan weer het volgende zeggen dat dat gelijk is aan
-2(x - 2 )²= -1
top is (2, 1/2) omdat je die -1 deelt door die -2, maar het antwoordenboek zegt gewoon
top is (2, 1)Nee, in een top loopt de raaklijn aan de grafiek juist horizontaal, en dan is de richtingscoëfficiënt van de curve ter plaatse (oftewel de afgeleide) dus gelijk aan nul.quote:
[..]
Een top is het hoogste of laagste punt van een parabool. Bij een negatieve richtingsco is het een bergparabool en bij een positieve richtingsco is het een dalparabool.En zo te zien zal het ook nog heel lang duren voordat je daar aan toe komt.quote:Bij afgeleides ben ik nog niet.Als we een kwadratische functiequote:Ik weet wel (na wat googlen) dat de xtop te bepalen is door een simpele methode -b/2a evenals de ytop --> c - b² / 4a
f(x) = ax2 + bx + c
hebben (a ≠ 0), dan is de grafiek hiervan een parabool, en zijn de coördinaten van de top
(−b/2a; −D/4a)
waarbij
D = b2 − 4ac
de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c.quote:echter wil ik het zonder klakkenloos invullen van de formule het snappen via de kwadraatafsplitsing methode
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-05-2014 07:58:13 ]Aha, thanks.quote:
[..]
Nee, in een top loopt de raaklijn aan de grafiek juist horizontaal, en dan is de richtingscoëfficiënt van de curve ter plaatse (oftewel de afgeleide) dus gelijk aan nul.
[..]
En zo te zien zal het ook nog heel lang duren voordat je daar aan toe komt.
[..]
Nou nee, dit klopt niet. Als we een kwadratische functie
f(x) = ax2 + bx + c
hebben (a ≠ 0), dan is de grafiek hiervan een parabool, en zijn de coördinaten van de top
(−b/2a; −D/4a)
waarbij
D = b2 − 4ac
de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c.
[..]
Zou je op de twee posts kunnen reageren boven jouw post?Nee, nu doe je weer precies hetzelfde, namelijk zomaar een =-teken introduceren dat er eerst niet staat. Dat is altijd fout.quote:
[..]
Ik zou bij deze:
-2(x - 2 )² + 1 dan weer het volgende zeggen dat dat gelijk is aan
-2(x - 2 )²= -1Je hebt de functiequote:top is (2, 1/2) omdat je die -1 deelt door die -2, maar het antwoordenboek zegt gewoon
top is (2, 1)
f(x) = −2(x − 2 )2 + 1
Deze functie bereikt een maximum van 1 voor x = 2. De grafiek is een bergparabool met als top het punt met de coördinaten (2; 1). Je kunt het maximum alsmede de waarde van x waarbij dit maximum wordt bereikt direct aflezen uit het functievoorschrift. Een kwadraat kan niet negatief zijn, zodat de term −2(x − 2 )2 altijd kleiner dan nul of ten hoogste gelijk aan nul zal zijn. En deze term is nul voor x = 2, en daarbij is de functiewaarde f(2) = 1. Voor alle andere waarden van x zal de term −2(x − 2 )2 negatief zijn, en de functiewaarde dus ook kleiner dan 1.Ik denk dat ik het zie waarom ik die = tevoorschijn haal.. Ik denk steeds dat het hetzelfde methode is als kwadraatafsplitsing voor het OPLOSSEN van een vergelijking.quote:
[..]
Nee, nu doe je weer precies hetzelfde, namelijk zomaar een =-teken introduceren dat er eerst niet staat. Dat is altijd fout.
[..]
Je hebt de functie
f(x) = −2(x − 2 )2 + 1
Deze functie bereikt een maximum van 1 voor x = 2. De grafiek is een bergparabool met als top het punt met de coördinaten (2; 1). Je kunt het maximum alsmede de waarde van x waarbij dit maximum wordt bereikt direct aflezen uit het functievoorschrift. Een kwadraat kan niet negatief zijn, zodat de term −2(x − 2 )2 altijd kleiner dan nul of ten hoogste gelijk aan nul zal zijn. En deze term is nul voor x = 2, en daarbij is de functiewaarde f(2) = 1. Voor alle andere waarden van x zal de term −2(x − 2 )2 negatief zijn, en de functiewaarde dus ook kleiner dan 1.Je kunt kwadraatafsplitsing gebruiken om een kwadratische vergelijking op te lossen, maar ook om het functievoorschrift van een kwadratische functie om te werken naar een vorm waarbij je direct kunt aflezen voor welke waarde van x de kwadratische functie een minimum of een maximum bereikt, en wat die extreme functiewaarde (minimum of maximum) dan is.quote:
[..]
Ik denk dat ik het zie waarom ik die = tevoorschijn haal.. Ik denk steeds dat het hetzelfde methode is als kwadraatafsplitsing voor het OPLOSSEN van een vergelijking.
De algebraïsche techniek is precies hetzelfde, maar wat je ermee doet is verschillend. Je kunt ook een functievoorschrift van een kwadratische functie gelijk stellen aan nul, en dan de resulterende kwadratische vergelijking oplossen. Daarmee bepaal je de x-coördinaten van de (eventuele) snijpunten van de grafiek van de kwadratische functie met de x-as. Maar je zult toch hopelijk wel inzien dat het bepalen van de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as iets anders is dan het bepalen van de coördinaten van de top van een parabool die een grafiek is van een kwadratische functie.Aha dat is hem.. Ik raak namelijk steeds in de war en probeer het dan via de oplossingsmanier te benaderen vd kwadraatafsplitsing..quote:
[..]
Je kunt kwadraatafsplitsing gebruiken om een kwadratische vergelijking op te lossen, maar ook om het functievoorschrift van een kwadratische functie om te werken naar een vorm waarbij je direct kunt aflezen voor welke waarde van x de kwadratische functie een minimum of een maximum bereikt, en wat die extreme functiewaarde (minimum of maximum) dan is.
De algebraïsche techniek is precies hetzelfde, maar wat je ermee doet is verschillend. Je kunt ook een functievoorschrift van een kwadratische functie gelijk stellen aan nul, en dan de resulterende kwadratische vergelijking oplossen. Daarmee bepaal je de x-coördinaten van de (eventuele) snijpunten van de grafiek van de kwadratische functie met de x-as. Maar je zult toch hopelijk wel inzien dat het bepalen van de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as iets anders is dan het bepalen van de coördinaten van de top van een parabool die een grafiek is van een kwadratische functie.
bijv.
-3x² + 7
Dat moet (0,7) zijn, maar ik neig ernaar om dan die -3 weg te werken door -3x² / -3 = x² en dan die 7 /-3 = -3,5
en dan top (0; -3,5)Je maakt hier ook nog een rekenfout, 7/3 is niet 3½.quote:
[..]
Aha dat is hem.. Ik raak namelijk steeds in de war en probeer het dan via de oplossingsmanier te benaderen vd kwadraatafsplitsing..
bijv.
-3x² + 7
Dat moet (0,7) zijn, maar ik neig ernaar om dan die -3 weg te werken door -3x² / -3 = x² en dan die 7 /-3 = -3,5
en dan top (0; -3,5)
De gegeven functie is
f(x) = −3x2 + 7
We kunnen uit dit functievoorschrift direct aflezen dat de grafiek een bergparabool is en dat de top de coördinaten (0; 7) heeft. Immers, de term −3x2 is altijd negatief of nul, nooit positief, dus de functiewaarde bereikt een maximum als deze term nul is, en dat is het geval voor x = 0.
Om nu vervolgens de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as te bepalen, stel je de functiewaarde gelijk aan nul. Dat levert dan de volgende vergelijking op
−3x2 + 7 = 0
Los deze vergelijking nu zelf op. Tip: je kunt het functievoorschrift invoeren in WolframAlpha om een grafiek van de functie te zien. Uiteraard kun je WolframAlpha ook kwadratische vergelijkingen laten oplossen door deze in te voeren. Zo kun je controleren of je het goed hebt gedaan.Het x-coordinaat van de top is 2. Als je in je functie f(x) = -2(x - 2 )² + 1, 2 invult, krijg je dus f(2) = -2(2 - 2)² + 1 = 1.quote:
[..]
Ik zou bij deze:
-2(x - 2 )² + 1 dan weer het volgende zeggen dat dat gelijk is aan
-2(x - 2 )²= -1
top is (2, 1/2) omdat je die -1 deelt door die -2, maar het antwoordenboek zegt gewoon
top is (2, 1)Ik zou die -3 maar niet proberen weg te werken, dit is geen vergelijking. Snap je dat je, door die -3 weg te willen werken, een andere functie krijgt?quote:
[..]
Aha dat is hem.. Ik raak namelijk steeds in de war en probeer het dan via de oplossingsmanier te benaderen vd kwadraatafsplitsing..
bijv.
-3x² + 7
Dat moet (0,7) zijn, maar ik neig ernaar om dan die -3 weg te werken door -3x² / -3 = x² en dan die 7 /-3 = -3,5
en dan top (0; -3,5)Jordyqwerty en Riparius: jullie zijn de wiskunde genieën hier op FOK! Met name Riparius met zijn heldere uitleg! Hoe komt het dat jullie zo sterk in de materie zijn, met nadruk op sterk? Met name Riparius.Ik beantwoord nooit privé vragen.quote:
Jordyqwerty en Riparius: jullie zijn de wiskunde genieën hier op FOK! Met name Riparius met zijn heldere uitleg! Hoe komt het dat jullie zo sterk in de materie zijn, met nadruk op sterk? Met name Riparius.Fijn voor je.quote:
[..]
Ik gok dat jij een wo opleiding informatica doet/hebt gedaan.
Wat wil je nu dat hij zegt. OH KLOPT!!! ?Fervent tegenstander van het korps lasergamers.Ik ben absoluut geen wiskunde genie.quote:
Jordyqwerty en Riparius: jullie zijn de wiskunde genieën hier op FOK! Met name Riparius met zijn heldere uitleg! Hoe komt het dat jullie zo sterk in de materie zijn, met nadruk op sterk? Met name Riparius.Nee, ik schets een (reëel) beeld voor de vrager. Ik vermoed dat je met een 'wiskundige' opleiding deze 'basisvragen' makkelijk kan beantwoorden. Leg vervolgens de link met de postgeschiedenis in DIG. Informatica is één van de talloze mogelijkheden, niettemin een zeer reële.quote:
[..]
Fijn voor je.
Wat wil je nu dat hij zegt. OH KLOPT!!! ?Met alle respect, maar sterk zijn in middelbare school wiskunde maakt je geen wiskundegeniequote:
Jordyqwerty en Riparius: jullie zijn de wiskunde genieën hier op FOK! Met name Riparius met zijn heldere uitleg! Hoe komt het dat jullie zo sterk in de materie zijn, met nadruk op sterk? Met name Riparius.Nee je loopt te vissen. Je schetst geen beeld, want zo te horen heb je er de ballen verstand van. Met een informatica opleiding heb je zeker geen wiskundige opleiding namelijk.quote:
[..]
Nee, ik schets een (reëel) beeld voor de vrager. Ik vermoed dat je met een 'wiskundige' opleiding deze 'basisvragen' makkelijk kan beantwoorden. Leg vervolgens de link met de postgeschiedenis in DIG. Informatica is één van de talloze mogelijkheden, niettemin een zeer reële.En dit.quote:
[..]
Met alle respect, maar sterk zijn in middelbare school wiskunde maakt je geen wiskundegenieFervent tegenstander van het korps lasergamers.Ik geloof dat jij er de ballen verstand van hebt. Informatica is wel zeker een opleiding waar zeer veel wiskunde behandeld wordt.quote:
[..]
Nee je loopt te vissen. Je schetst geen beeld, want zo te horen heb je er de ballen verstand van. Met een informatica opleiding heb je zeker geen wiskundige opleiding namelijk.
[..]
En dit.Nou uhmquote:
[..]
Ik geloof dat jij er de ballen verstand van hebt. Informatica is wel zeker een opleiding waar zeer veel wiskunde behandeld wordt.
nee.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.Hallo,
Is er iemand die mij met het volgende vraagstuk kan helpen?
''Voor welke reële getallen p heeft de grafiek van f geen snijpunten met de x-as? ''
a) f(x) = x² + px + 1
Wat ik zelf tot nu toe aan het vraagstuk heb gedaan:
--> Een grafiek snijdt met de x-as als de y = 0, dat betekent dus dat f(x) = 0 ofwel f(0). Dus alle y = >0 en <0 zou dan geen snijpunten moeten vertonen met de x-as, echter denk ik dat dat te simpel is..Dit klopt niet. f(x) = 0 is niet hetzelfde als f(0).quote:
Hallo,
Is er iemand die mij met het volgende vraagstuk kan helpen?
''Voor welke reële getallen p heeft de grafiek van f geen snijpunten met de x-as? ''
a) f(x) = x² + px + 1
Wat ik zelf tot nu toe aan het vraagstuk heb gedaan:
--> Een grafiek snijdt met de x-as als de y = 0, dat betekent dus dat f(x) = 0 ofwel f(0). Dus alle y = >0 en <0 zou dan geen snijpunten moeten vertonen met de x-as, echter denk ik dat dat te simpel is..
Je moet even het topic doorlezen, want er zijn een paar vergelijkbare vragen geweest de laatste paar dagen.Ow.. Dan bedoel ik f(x) = 0, want f(0) is dat de x waarde 0 is.. Dat is niet hetzelfde inderdaad.quote:
[..]
Dit klopt niet. f(x) = 0 is niet hetzelfde als f(0).
Je moet even het topic doorlezen, want er zijn een paar vergelijkbare vragen geweest de laatste paar dagen.
Ik heb het topic al doorgespit en kwam veel vraagstukken tegen met betrekking tot kwadratische oplossingen. Het kan daarmee te maken hebben, maar ik raak in de war met de variabele p.Wat is de eigenschap van de discriminant bij een kwadratische vergelijking als deze lager dan 0 is?quote:
[..]
Ow.. Dan bedoel ik f(x) = 0, want f(0) is dat de x waarde 0 is.. Dat is niet hetzelfde inderdaad.
Ik heb het topic al doorgespit en kwam veel vraagstukken tegen met betrekking tot kwadratische oplossingen. Het kan daarmee te maken hebben, maar ik raak in de war met de variabele p.Dat er geen oplossingen mogelijk zijn. Bij 0 is er één oplossing mogelijk en bij waarden boven 0 zijn er twee oplossingen mogelijk.quote:
[..]
Wat is de eigenschap van de discriminant bij een kwadratische vergelijken als deze lager dan 0 is?De discriminant berekenen en werken volgens de trial and error methode. Waarden blijven invoeren bij de b variabelen totdat de uitkomsten lager dan 0 zijn... en alle waarden die een uitkomst hebben lager dan 0 zijn de antwoorden. Dat denk ik dan.quote:
Maar even een gedachtenkronkel;
Het gaat toch om het feit het snijpunt met de x-as.. waarom betreft het oplossen van de vraag over de discriminant en de oplossing van de vergelijking? Zelf zou ik denken dat het iets te maken heeft met dat y niet 0 mag zijn.
Want het oplossingsmogelijkheden van de grafiek //abc formule, kwadratische oplosmethode etc. // gaan allemaal over x en niet over y..
Dus dat is even een gedachtenkronkel. Zou je dat kunnen ophelderen voor mij?Dat kan ik, maar helaas kan ik het bij lange na niet zo elegant verwoorden als de wiskundigen hier.
Je hoeft geen trial and error te doen als je weet dat je de discriminant te pakken wil hebben wanneer deze nul is (gelijkstellen aan 0 dus).
De discriminant is (volgens mij) een eigenschap van een functie (y) die iets weergeeft over het aantal nulpunten (y=0), waar jij in dit geval dus op zoek naar bent. Het aantal nulpunten is afhankelijk van de coëfficiënten in de vergelijking, in dit geval p.
Hieronder nog een citaat van Riparius die het beter uitlegt.quote:
[..]
Nee, in een top loopt de raaklijn aan de grafiek juist horizontaal, en dan is de richtingscoëfficiënt van de curve ter plaatse (oftewel de afgeleide) dus gelijk aan nul.
[..]
En zo te zien zal het ook nog heel lang duren voordat je daar aan toe komt.
[..]
Als we een kwadratische functie
f(x) = ax2 + bx + c
hebben (a ≠ 0), dan is de grafiek hiervan een parabool, en zijn de coördinaten van de top
(−b/2a; −D/4a)
waarbij
D = b2 − 4ac
de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c.
[..]
[ Bericht 7% gewijzigd door DonnieDarkno op 04-05-2014 19:46:20 ]Het gaat erom dat de discriminant van je functie uitgedrukt kan worden als een functie van p.
Dus D(p) = p2 - 4
D(p) < 0 betekent dat f(x) geen reële nulpunten heeft,
dus p2 - 4 < 0
Dus p2 < 4
Dus p < 2 of p < -2Fervent tegenstander van het korps lasergamers.Nee, aan de oplossing van je opgave komt geen trial and error te pas.quote:
[..]
De discriminant berekenen en werken volgens de trial and error methode. Waarden blijven invoeren bij de b variabelen totdat de uitkomsten lager dan 0 zijn... en alle waarden die een uitkomst hebben lager dan 0 zijn de antwoorden. Dat denk ik dan.
Maar even een gedachtenkronkel;
Het gaat toch om het feit het snijpunt met de x-as.. waarom betreft het oplossen van de vraag over de discriminant en de oplossing van de vergelijking? Zelf zou ik denken dat het iets te maken heeft met dat y niet 0 mag zijn.De algemene gedaante van een kwadratische functie isquote:Want het oplossingsmogelijkheden van de grafiek //abc formule, kwadratische oplosmethode etc. // gaan allemaal over x en niet over y..
Dus dat is even een gedachtenkronkel. Zou je dat kunnen ophelderen voor mij?
(1) f(x) = ax2 + bx + c
Hierbij zijn a,b,c vaste (reële) getallen, en tevens is a ≠ 0, anders zou je geen kwadratische term meer hebben en dus ook geen kwadratische functie.
De grafiek van een kwadratische functie is altijd een parabool met een verticale symmetrie-as. Het is een dalparabool als a > 0 en een bergparabool als a < 0.
De grafiek van de kwadratische functie kan de x-as snijden in twee punten, de x-as raken in één punt of geheel en al boven of onder de x-as liggen.
Heeft de grafiek van de kwadratische functie punten die op de x-as liggen, dan zijn er waarden van x waarvoor de bijbehorende functiewaarde y = f(x) gelijk is aan nul, dus
(2) f(x) = 0
Uit (1) en (2) volgt dat je dan hebt
(3) ax2 + bx + c = 0
Dit is een tweedegraads vergelijking oftewel een kwadratische vergelijking, ook wel een vierkantsvergelijking genoemd (het woord kwadraat komt van het Latijnse quadratus dat 'vierkant' betekent).
Om nu de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van de kwadratische functie met de x-as oftewel de nulpunten van f(x) te vinden moeten bekijken voor welke waarde(n) van x aan (3) wordt voldaan en dus vergelijking (3) oplossen.
De kwadratische vergelijking (3) kan óf 2 óf 1 óf 0 (reële) oplossingen hebben. Het aantal (reële) oplossingen wordt bepaald door de zogeheten discriminant van (3). De discriminant wordt gewoonlijk aangegeven met de hoofdletter D en is gelijk aan b2 − 4ac, dus
(4) D = b2 − 4ac
Er zijn nu drie mogelijkheden, de discriminant D kan positief zijn, nul, of negatief, en deze drie mogelijkheden corresponderen precies met het aantal (reële) oplossingen van de vierkantsvergelijking (3), als volgt
D > 0 : twee oplossingen
D = 0 : één oplossing
D < 0 : geen oplossingen
Als je wil weten waarom dit zo is, en tevens hoe de vermaarde abc-formule voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen kan worden afgeleid, dan moet je deze post van mij eens goed bestuderen.
Nu je opgave. Gegeven is de functie
(5) f(x) = x2 + px + 1
waarbij een p een vast getal voorstelt (een zogeheten parameter, vandaar de keuze voor de letter p). Gevraagd wordt nu voor welke (reële) waarden van p de grafiek van de functie f geen punten gemeen heeft met de x-as. De grafiek van f is een dalparabool, aangezien de coëfficiënt van de kwadratische term gelijk is aan 1, en dus positief. Als de grafiek van f geen punten gemeen heeft met de x-as dan zal deze dalparabool dus geheel boven de x-as moeten liggen. Aangezien er geen waarden van x moeten zijn waarvoor f(x) = 0, moet de vergelijking
(6) x2 + px + 1 = 0
dan geen (reële) oplossingen hebben. Dat is het geval als de discriminant van (6) negatief is. Welnu, als je (6) vergelijkt met de standaardvorm (3), dan zie je dat we hier hebben a = 1, b = p, c = 1. De discriminant Dp van (6) is dus
(7) Dp = p2 − 4
We duiden de discriminant hier aan met Dp, met een index p, om aan te geven dat de discriminant hier afhangt van de waarde van p. De vraag is nu voor welke waarden van p geldt
(8) Dp < 0
en dus
(9) p2 − 4 < 0
Nu zie je dat (9) een kwadratische ongelijkheid is in de onbekende p, en deze ongelijkheid moeten we oplossen. Hoe doe je dat? Wel, je zou eerst kunnen kijken voor welke waarde(n) van p het linkerlid p2 − 4 precies gelijk is aan nul. Dan moet p2 = 4 zijn en hebben we dus p = 2 óf p = − 2. Je kunt nu gemakkelijk nagaan dat aan de ongelijkheid (9) wordt voldaan als p tussen deze waarden −2 en +2 in ligt, dus als p groter is dan −2 maar tevens kleiner dan +2. Dat kunnen we heel compact noteren als volgt
(10) −2 < p < 2
En daarmee is je opgave opgelost: de grafiek van de functie f(x) = x2 + px + 1 heeft geen snijpunten met de x-as als p op het open interval (−2, 2) ligt. Met een open interval bedoelen we een interval waarbij de eindpunten niet meedoen.Hartstikke duidelijk! Jeetje, zelf getypt of van het internet bij elkaar gesprokkeld? Want het is werkelijk erg goed geschreven.. Wat voor opleiding volg je?quote:
[..]
Nee, aan de oplossing van je opgave komt geen trial and error te pas.
[..]
De algemene gedaante van een kwadratische functie is
(1) f(x) = ax2 + bx + c
Hierbij zijn a,b,c vaste (reële) getallen, en tevens is a ≠ 0, anders zou je geen kwadratische term meer hebben en dus ook geen kwadratische functie.
De grafiek van een kwadratische functie is altijd een parabool met een verticale symmetrie-as. Het is een dalparabool als a > 0 en een bergparabool als a < 0.
De grafiek van de kwadratische functie kan de x-as snijden in twee punten, de x-as raken in één punt of geheel en al boven of onder de x-as liggen.
Heeft de grafiek van de kwadratische functie punten die op de x-as liggen, dan zijn er waarden van x waarvoor de bijbehorende functiewaarde y = f(x) gelijk is aan nul, dus
(2) f(x) = 0
Uit (1) en (2) volgt dat je dan hebt
(3) ax2 + bx + c = 0
Dit is een tweedegraads vergelijking oftewel een kwadratische vergelijking, ook wel een vierkantsvergelijking genoemd (het woord kwadraat komt van het Latijnse quadratus dat 'vierkant' betekent).
Om nu de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van de kwadratische functie met de x-as oftewel de nulpunten van f(x) te vinden moeten bekijken voor welke waarde(n) van x aan (3) wordt voldaan en dus vergelijking (3) oplossen.
De kwadratische vergelijking (3) kan óf 2 óf 1 óf 0 (reële) oplossingen hebben. Het aantal (reële) oplossingen wordt bepaald door de zogeheten discriminant van (3). De discriminant wordt gewoonlijk aangegeven met de hoofdletter D en is gelijk aan b2 − 4ac, dus
(4) D = b2 − 4ac
Er zijn nu drie mogelijkheden, de discriminant D kan positief zijn, nul, of negatief, en deze drie mogelijkheden corresponderen precies met het aantal (reële) oplossingen van de vierkantsvergelijking (3), als volgt
D > 0 : twee oplossingen
D = 0 : één oplossing
D < 0 : geen oplossingen
Als je wil weten waarom dit zo is, en tevens hoe de vermaarde abc-formule voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen kan worden afgeleid, dan moet je deze post van mij eens goed bestuderen.
Nu je opgave. Gegeven is de functie
(5) f(x) = x2 + px + 1
waarbij een p een vast getal voorstelt (een zogeheten parameter, vandaar de keuze voor de letter p). Gevraagd wordt nu voor welke (reële) waarden van p de grafiek van de functie f geen punten gemeen heeft met de x-as. De grafiek van f is een dalparabool, aangezien de coëfficiënt van de kwadratische term gelijk is aan 1, en dus positief. Als de grafiek van f geen punten gemeen heeft met de x-as dan zal deze dalparabool dus geheel boven de x-as moeten liggen. Aangezien er geen waarden van x moeten zijn waarvoor f(x) = 0, moet de vergelijking
(6) x2 + px + 1 = 0
dan geen (reële) oplossingen hebben. Dat is het geval als de discriminant van (6) negatief is. Welnu, als je (6) vergelijkt met de standaardvorm (3), dan zie je dat we hier hebben a = 1, b = p, c = 1. De discriminant Dp van (6) is dus
(7) Dp = p2 − 4
We duiden de discriminant hier aan met Dp, met een index p, om aan te geven dat de discriminant hier afhangt van de waarde van p. De vraag is nu voor welke waarden van p geldt
(8) Dp < 0
en dus
(9) p2 − 4 < 0
Nu zie je dat (9) een kwadratische ongelijkheid is in de onbekende p, en deze ongelijkheid moeten we oplossen. Hoe doe je dat? Wel, je zou eerst kunnen kijken voor welke waarde(n) van p het linkerlid p2 − 4 precies gelijk is aan nul. Dan moet p2 = 4 zijn en hebben we dus p = 2 óf p = − 2. Je kunt nu gemakkelijk nagaan dat aan de ongelijkheid (9) wordt voldaan als p tussen deze waarden −2 en +2 in ligt, dus als p groter is dan −2 maar tevens kleiner dan +2. Dat kunnen we heel compact noteren als volgt
(10) −2 < p < 2
En daarmee is je opgave opgelost: de grafiek van de functie f(x) = x2 + px + 1 heeft geen snijpunten met de x-as als p op het open interval (−2, 2) ligt. Met een open interval bedoelen we een interval waarbij de eindpunten niet meedoen.
Het vetgedrukte is echter nog niet helemaal helder voor mij...
En hoe kan de oplossing x < 2 of x > -2 zijn? p² = 4 en de wortel daarvan is 2, dus dan kan p toch alleen maar < 2 ?
Daarnaast heb ik nog een vraag:
Zou ik ook i.p.v. een ongelijkheid ervan maken gewoon in de vergelijking -1 kunnen vullen, want alles onder <0 heeft geen oplossing:
x² + px + 1 = -1Nee. Je wilt alle waarden van p weten waarvoor voor alle x geldt dat f(x) niet 0 is.quote:
[..]
Hartstikke duidelijk! Jeetje, zelf getypt of van het internet bij elkaar gesprokkeld? Want het is werkelijk erg goed geschreven.. Wat voor opleiding volg je?
Het vetgedrukte is echter nog niet helemaal helder voor mij...
En hoe kan de oplossing x < 2 of x > -2 zijn? p² = 4 en de wortel daarvan is 2, dus dan kan p toch alleen maar < 2 ?
Daarnaast heb ik nog een vraag:
Zou ik ook i.p.v. een ongelijkheid ervan maken gewoon in de vergelijking -1 kunnen vullen, want alles onder <0 heeft geen oplossing:
x² + px + 1 = -1
Bestudeer de hoofdstelling van de algebra eens, dan zul je zien dat in het algemene geval geldt dat voor f(x) = 0 met f(x) een polynoom van graad n geldt dat f(x) n oplossingen heeft. Deze kunnen complex zijn en met ten hoogste multipliciteit n. x2 - 4 = 0 is een polynoom van graad 2, dus heeft deze 2 oplossingen. Om dit te controleren moet je -2 eens kwadrateren. Daar komt 4 uit toch?
Verder is 3 posts hierboven duidelijk gemaakt dat Riparius geen antwoord geeft op privévragen, om maar even als persoonlijke secretaresse op te treden.quote:Fervent tegenstander van het korps lasergamers.Oké bedankt!quote:
[..]
Nee. Je wilt alle waarden van p weten waarvoor voor alle x geldt dat f(x) niet 0 is.
Bestudeer de hoofdstelling van de algebra eens, dan zul je zien dat in het algemene geval geldt dat voor f(x) = 0 met f(x) een polynoom van graad n geldt dat f(x) n oplossingen heeft. Deze kunnen complex zijn en met ten hoogste multipliciteit n. x2 - 4 = 0 is een polynoom van graad 2, dus heeft deze 2 oplossingen. Om dit te controleren moet je -2 eens kwadrateren. Daar komt 4 uit toch?
Verder is 3 posts hierboven duidelijk gemaakt dat Riparius geen antwoord geeft op privévragen, om maar even als persoonlijke secretaresse op te treden.
[..]
Hier een iets lastigere:
x² + px + p
p² + 4p < 0
p² < -4p
Ik twijfel nu om het te delen door p waardoor je p < -4 krijgt... maar daarnaast denk ik dat het niet klopt, want in het antwoordenmodel staat wat anders dan p < -4.D = b^2− 4acquote:
[..]
Oké bedankt!
Hier een iets lastigere:
x² + px + p
p² + 4p < 0
p² < -4p
Ik twijfel nu om het te delen door p waardoor je p < -4 krijgt... maar daarnaast denk ik dat het niet klopt, want in het antwoordenmodel staat wat anders dan p < -4.
Je bent de min vergeten.Je maakt al een fout. De discriminant D is gelijk aan b^2 - 4acquote:
[..]
Oké bedankt!
Hier een iets lastigere:
x² + px + p
p² + 4p < 0
p² < -4p
Ik twijfel nu om het te delen door p waardoor je p < -4 krijgt... maar daarnaast denk ik dat het niet klopt, want in het antwoordenmodel staat wat anders dan p < -4.
Dan krijg je p^2 -4p < 0
Dus p(p-4) < 0
Volg je het nu?Fervent tegenstander van het korps lasergamers.Oeps ik zie het al!quote:
[..]
Je maakt al een fout. De discriminant D is gelijk aan b^2 - 4ac
Dan krijg je p^2 -4p < 0
Dus p(p-4) < 0
Volg je het nu?
Nee het vetgedrukte niet. Wiskunde blijft een interessant vak.
Ik zou zelf denken p² - 4p < 0 en dus p² < 4p en vervolgens beide kanten delen door p waardoor je krijgt p < 4Maar mag dat wel altijd, delen door een getal?quote:
[..]
Oeps ik zie het al!
Nee het vetgedrukte niet. Wiskunde blijft een interessant vak.
Ik zou zelf denken p² - 4p < 0 en dus p² < 4p en vervolgens beide kanten delen door p waardoor je krijgt p < 4Ja toch? In ieder geval letters wel toch om de letter - exponent weg te werken, althans bij breuken etc?quote:
[..]
Maar mag dat wel altijd, delen door een getal?Nog een pittige hoor...
Alleen dit keer ''voor welke reële getallen p snijdt de grafiek van f de x-as in twee verschillende punten?''
f (x) = x²+ 2px - 1
Vervolgens deed ik:
D = b²- 4ac wat resulteert tot 2p² + 4p > 0
Daarna deelde ik zowel links als rechts door 2, wat resulteert tot p²+ 2p > 0 (0/2 blijft 0).
p ( p + 2)
p = 0 of p = -2 du -2 < p < 0
Echter zegt het antwoordenmodel: ''voor alle p''
Zolang je er bij het antwoord neer zet dat de oplossing alleen geldt indien de "letter" niet gelijk aan is aan nul wel.quote:
[..]
Ja toch? In ieder geval letters wel toch om de letter - exponent weg te werken, althans bij breuken etc?
In dit geval is dat dus precies de oplossing die je mist voor p² - 4p > 0. Je kunt hier een p "buiten haakjes halen", waardoor je dus p(p-4) > 0 krijgt. En dan gelijk kunt zien dat de grensgevallen p=0 V p=4 zijn.Nee, tot 4p^2 + 4 > 0quote:
Nog een pittige hoor...
Alleen dit keer ''voor welke reële getallen p snijdt de grafiek van f de x-as in twee verschillende punten?''
f (x) = x²+ 2px - 1
Vervolgens deed ik:
D = b²- 4ac wat resulteert tot 2p² + 4p > 0Voor welke reële getallen p snijdt de grafiek van f de x-as in twee verschillende punten?'
f (x) = x²+ 2px - 1
D = b²- 4ac dus als 4p² + 4 > 0 dan zijn er twee verschillende snijpunten
En p² is altijd groter of gelijk aan 0 voor elke p dus D > 0 voor elke pHoe weet je direct dat p² altijd of gelijk is aan 0? Moet je het niet eerst oplossen of wat?quote:
Voor welke reële getallen p snijdt de grafiek van f de x-as in twee verschillende punten?'
f (x) = x²+ 2px - 1
D = b²- 4ac dus als 4p² + 4 > 0 dan zijn er twee verschillende snijpunten
En p² is altijd groter of gelijk aan 0 voor elke p dus D > 0 voor elke p
En het gaat toch om de hele formule dat >0 moet zijn?p wordt gekwadrateerd, dus het resultaat is altijd groter dan 0.quote:
[..]
Hoe weet je direct dat p² altijd of gelijk is aan 0? Moet je het niet eerst oplossen of wat?
En het gaat toch om de hele formule dat >0 moet zijn?Maar als p = 0 dan niet.. Het is wel een lastig onderwerp...quote:
[..]
p wordt gekwadrateerd, dus het resultaat is altijd groter dan 0.f (x) = ax²+ bx + c
D = b²- 4ac
Nu
f (x) = x²+ 2px - 1
Dus a = 1 , b = 2p , c = -1
D = (2p)² - 4 * 1 * (-1) = 4p² + 4 = 4(p²+1)
Er zijn twee verschillende snijpunten met de x-as als D > 0.
Voor elke p geldt dat p² ≥ 0.
En dus geldt voor elke p dat p² + 1 > 0
Dus D > 0 voor alle p.
Dus voor elke p zijn er twee verschillende snijpunten met de x-as.Dan is de oplossing toch alsnog groter dan 0, want er staat +4 achter ... Dus dat maakt niet uit.quote:
[..]
Maar als p = 0 dan niet.. Het is wel een lastig onderwerp...Aha.. Je gaat nu van een ax²+ bx + c vergelijking uit.quote:
f (x) = ax²+ bx + c
D = b²- 4ac
Nu
f (x) = x²+ 2px - 1
Dus a = 1 , b = 2p , c = -1
D = (2p)² - 4 * 1 * (-1) = 4p² + 4 = 4(p²+1)
Er zijn twee verschillende snijpunten met de x-as als D > 0.
Voor elke p geldt dat p² ≥ 0.
En dus geldt voor elke p dat p² + 1 > 0
Dus D > 0 voor alle p.
Dus voor elke p zijn er twee verschillende snijpunten met de x-as.
Hoe zou jet het bij een vergelijking als bijvoorbeeld -x² + x + p + 1 doen? Hoe weet je dan wat b en c is?Je kunt dat toch gewoon invullen? Wat staat er bij x², wat staat er bij x, en waar staat geen x bij.quote:
[..]
Aha.. Je gaat nu van een ax²+ bx + c vergelijking uit.
Hoe zou jet het bij een vergelijking als bijvoorbeeld -x² + x + p + 1 doen? Hoe weet je dan wat b en c is?Ja maar ik raak in de war van de p -1quote:
[..]
Je kunt dat toch gewoon invullen? Wat staat er bij x², wat staat er bij x, en waar staat geen x bij.
Kan iemand hier de juiste berekening van geven? Ik kom wel op de juiste antwoorden maar volgens mij niet op de juiste manier..Hoe kun je aan de oplossing zelf zien dat de oplossing is ''alle p'' ?quote:
f (x) = ax²+ bx + c
D = b²- 4ac
Nu
f (x) = x²+ 2px - 1
Dus a = 1 , b = 2p , c = -1
D = (2p)² - 4 * 1 * (-1) = 4p² + 4 = 4(p²+1)
Er zijn twee verschillende snijpunten met de x-as als D > 0.
Voor elke p geldt dat p² ≥ 0.
En dus geldt voor elke p dat p² + 1 > 0
Dus D > 0 voor alle p.
Dus voor elke p zijn er twee verschillende snijpunten met de x-as.
Aan 4(p² + 1) kan ik dat niet zo direct zien.Waarom? Er staat geen x bij. p kun je in dit geval zien als niets meer dan een willekeurig getal.quote:Voor elke p geldt toch dat het resulterende getal groter is dan 0?quote:
[..]
Hoe kun je aan de oplossing zelf zien dat de oplossing is ''alle p'' ?
Aan 4(p² + 1) kan ik dat niet zo direct zien.Een kwadraat kan niet negatief zijn. Dus is p2 altijd groter dan of gelijk aan nul. Maar dan is p2 + 1 dus altijd tenminste 1 en 4(p2 + 1) dus altijd tenminste 4. De discriminant is dus altijd positief, en de corresponderende kwadratische vergelijking heeft dus altijd twee (verschillende) oplossingen.quote:
[..]
Hoe kun je aan de oplossing zelf zien dat de oplossing is ''alle p'' ?
Aan 4(p² + 1) kan ik dat niet zo direct zien.Ja de merkwaardige producten ben ik eerder tegengekomen:quote:
[..]
Nee. Zorg dat je je merkwaardige producten kent. Zie ook hier.
4p^2 + 4
Als het p² - 4 was had ik geweten dat het een merkwaardig product was: (p-2)(p+2)
Maar ik weet niet hoe ik het merkwaardig kan oplossen bij zowel p² + 4 als 4p² + 4.Wat is jouw manier?quote:
Kan iemand hier de juiste berekening van geven? Ik kom wel op de juiste antwoorden maar volgens mij niet op de juiste manier..Dat is het punt niet. Je dacht hierboven dat jequote:
[..]
Ja de merkwaardige producten ben ik eerder tegengekomen:
4p^2 + 4
Als het p² - 4 was had ik geweten dat het een merkwaardig product was: (p-2)(p+2)
Maar ik weet niet hoe ik het merkwaardig kan oplossen bij zowel p² + 4 als 4p² + 4.
p2 + 1
kon herschrijven als
(p−1)(p+1)
maar dat klopt niet. Je had direct moeten zien dat als (p−1)(p+1) gelijk is aan p2 − 1 dat (p−1)(p+1) dan niet gelijk kan zijn aan p2 + 1.Oh zo..quote:
[..]
Dat is het punt niet. Je dacht hierboven dat je
p2 + 1
kon herschrijven als
(p−1)(p+1)
maar dat klopt niet. Je had direct moeten zien dat als (p−1)(p+1) gelijk is aan p2 − 1 dat (p−1)(p+1) dan niet gelijk kan zijn aan p2 + 1.
Hoe los je dit op de ''merkwaardigheids'' manier op dan? 4p^2 + 4
Of kan dat niet opgelost worden en is de enige mogelijkheid om in te zien dat alle p's kunnen?Je kunt p2 + 1 niet schrijven als een product van twee lineaire factoren, althans niet binnen de reële getallen. Maar het is hier voldoende om je te realiseren dat p2 + 1 niet kleiner kan zijn dan 1 en dus dat 4(p2 + 1) niet kleiner kan zijn dan 4. De uitdrukking 4(p2 + 1) is dus positief voor elke (reële) waarde van p.quote:
[..]
Oh zo..
Hoe los je dit op de ''merkwaardigheids'' manier op dan? 4p^2 + 4
Of kan dat niet opgelost worden en is de enige mogelijkheid om in te zien dat alle p's kunnen?Wiskunde wordt als hulpmiddel gebruikt, net als bij alle andere bèta-opleidingen buiten wiskunde. Dat is niet te vergelijken met wiskunde zelf studeren, je krijgt wat gemeenschappelijke basisvakken en that's it.quote:
[..]
Ik geloof dat jij er de ballen verstand van hebt. Informatica is wel zeker een opleiding waar zeer veel wiskunde behandeld wordt.ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPLAh kijk, duidelijkquote:
[..]
Wiskunde wordt als hulpmiddel gebruikt, net als bij alle andere bèta-opleidingen buiten wiskunde. Dat is niet te vergelijken met wiskunde zelf studeren, je krijgt wat gemeenschappelijke basisvakken en that's it.
Dan kunnen we er dus wel van uit gaan dat de wiskundekennis van een informatica-student gemiddeld gezien hoger is dan een niet-beta opleiding.
Blijft het natuurlijk een feit dat dit 'middelbareschoolwiskunde' is, een vwo-leerling, die uitblinkt in wiskunde bezit voor dit soort vragen ook genoeg kennis.Dat is fout. Je weet namelijk helemaal niet of je onbekende p positief of negatief is. Als je bij een ongelijkheid beide leden deelt door een negatief getal, dan klapt het teken van de ongelijkheid om. Maar aangezien je in principe niet weet of je hier door een positief of negatief getal deelt kun je dus ook niet weten of je het ongelijkheidsteken wel of niet om moet klappen. Daarom is je aanpak fout.quote:
[..]
Oeps ik zie het al!
Nee het vetgedrukte niet. Wiskunde blijft een interessant vak.
Ik zou zelf denken p² - 4p < 0 en dus p² < 4p en vervolgens beide kanten delen door p waardoor je krijgt p < 4
Wat je moet doen is eerst de gelijkheid (vergelijking) p2 − 4p = 0 oplossen. Dan vind je p = 0 ∨ p = 4. Vervolgens maak je een tekenschema.
1
2
3++++++++++++++++++++0--------------------0++++++++++++++++++++
____________________|____________________|____________________
0 4
Een tekenschema bestaat uit een getallenlijn waarop je de getallen aangeeft waarvoor je uitdrukking p2 − 4p gelijk is aan nul, hier dus de getallen 0 en 4. Boven deze getallen op de getallenlijn plaats je een 0 om aan te geven dat de waarde van p2 − 4p hier nul is. Verder zet je plustekens boven de getallenlijn daar waar p2 − 4p positief is en mintekens boven de getallenlijn daar waar p2 − 4p negatief is. Nu zie je in één oogopslag in het tekenschema dat p2 − 4p < 0 voor 0 < p < 4.
Uiteraard is het in een eenvoudig geval als dit ook zonder tekenschema direct in te zien dat p2 − 4p alleen negatief kan zijn als p tussen 0 en 4 in ligt: de grafiek van q = p2 − 4p (met p langs de horizontale as en q langs de verticale as) is immers een dalparabool die de p-as snijdt in de punten (0;0) en (4;0). Het deel van de grafiek tussen deze snijpunten ligt onder de p-as, zodat de waarde van q = p2 − 4p negatief is voor waarden van p tussen 0 en 4, en elders niet.
Bij het oplossen van ingewikkelder ongelijkheden kan een tekenschema goede diensten bewijzen. Als je bijvoorbeeld een ongelijkheid hebt met in het linkerlid een breuk waarbij de onbekende zowel in de teller als in de noemer voorkomt terwijl je het rechterlid al hebt herleid op nul, dan kun je twee afzonderlijke tekenschema's maken, namelijk één voor de teller en één voor de noemer, en deze tekenschema's uitgelijnd onder elkaar plaatsen. Als de waarde van de breuk als geheel dan bijvoorbeeld kleiner dan nul moet zijn, dan kan dat alleen hetzij als de teller negatief is en tevens de noemer positief hetzij als de teller positief is en tevens de noemer negatief. Uit het gecombineerde tekenschema van de teller en de noemer kun je dan aflezen voor welke waarden van de onbekende dit het geval is.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 05-05-2014 08:19:12 ]Laat eerst maar eens zien wat je hebt gedaan.quote:
Kan iemand hier de juiste berekening van geven? Ik kom wel op de juiste antwoorden maar volgens mij niet op de juiste manier..
Hint: voor elke x ∈ R heb je x4 = |x|4 en ook |³√x| = |x|1/3.Geloof mij nu maar dat je met een informatica studie nog steeds de ballen verstand hebt van wiskunde.quote:
[..]
Ah kijk, duidelijk
Dan kunnen we er dus wel van uit gaan dat de wiskundekennis van een informatica-student gemiddeld gezien hoger is dan een niet-beta opleiding.
Blijft het natuurlijk een feit dat dit 'middelbareschoolwiskunde' is, een vwo-leerling, die uitblinkt in wiskunde bezit voor dit soort vragen ook genoeg kennis.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.Weten jullie wat er met het volgende bedoelt wordt?:
f (x) = (2x + 4) / (x - 3)
Voor x = 3 wordt de noemer nul, en dan kan f(x) niet berekend worden. Nadert x boven tot 3, dan nadert f(x) tot +∞ , nadert x van onder tot 3, dan nadert f(x) tot -∞ .
Snappen jullie dit? Ik snap het niet echt.. wat maakt het uit als het antwoord op 0 komt bij asymptoten? Dan is het coördinaat van y gewoon 0 toch? Dat kan in principe toch gewoon?
Neem me niet kwalijk voor de vele vragen, maar het is voor mij een voorbereiding voor een intaketoets en dit zijn vrijwel vervaagde onderwerpen voor mij.Dat beide lijnen langzamerhand recht naar boven toe gaan wijzen en nooit de x = 3 raken, maar er wel dichtbij tegenaan hangen.quote:Gaan ze echt beiden recht naar boven? Kijk eens beter.
Verder, wat is het verschil als je van onder ('links') en van boven ('rechts') naargaat?
Oeps typfout, de één gaat naar boven (rechter) en de linker gaat naar beneden, maar ze raken beide nooit de x =3 (onzichtbare lijn)quote:
Gaan ze echt beiden recht naar boven? Kijk eens beter.
Verder, wat is het verschil als je van onder ('links') en van boven ('rechts') naarGoeie vraag, heb geen flauw idee.quote:
En waarom zit er een gat (discontinuïteit) bij?
Veronderstel je nu dat iets delen door 0 gelijkstaat aan 0?quote:
Snappen jullie dit? Ik snap het niet echt.. wat maakt het uit als het antwoord op 0 komt bij asymptoten? Dan is het coördinaat van y gewoon 0 toch?Ohhh ik zie het al.. kan niet.quote:
[..]
Veronderstel je nu dat iets delen door 0 gelijkstaat aan 0?Hoe kun je de snijpunten met de coördinaatassen bepalen van 3 / (2x-4) ? Wat ik weet is dat x = 0 of y = 0.Bij de y-as is het mij gelukt door x = 0 in te vullen:quote:
Vul beiden eens in om mee te beginnen.
3 / (2*0 - 4) = -1
Dus de y-coördinaat is -3/4, maar om de x-coördinaat te weten, moet ik f(0) hebben...
Dus... 3 / (2x-4) = 0 , maar ik weet niet hoe ik verder moet...Hmm wat je voor je bewerkte post zei, klopt niet. Dan zou ik 2x - 4 = 0 moeten pakken, maar dan krijg ik x = 2 eruit en dat is niet de bedoeling.quote:Er zijn geen snijpunten met de x-as omdat de teller van de breuk 3 / (2x-4) nooit 0 is.quote:
[..]
Bij de y-as is het mij gelukt door x = 0 in te vullen:
3 / (2*0 - 4) = -1
Dus de y-coördinaat is -3/4, maar om de x-coördinaat te weten, moet ik f(0) hebben...
Dus... 3 / (2x-4) = 0 , maar ik weet niet hoe ik verder moet...
Kap eens met f(x) = 0 oplossen door elkaar gebruiken met f(0) zeggen.Dus de teller zegt iets over de x-as en de noemer over de y-as?quote:
[..]
Er zijn geen snijpunten met de x-as omdat de teller van de breuk 3 / (2x-4) nooit 0 is.
Kap eens met f(x) = 0 oplossen door elkaar gebruiken met f(0) zeggen.
Oh ja hahaha excuus... f(0) staat voor dat de x-waarden vervangen wordt door 0... foutje..
Ik heb er vrij weinig van begrepen hoe ik alle snijpunten met de coördinaatassen moet berekenen, met een normale functie weet ik het wel (y=0 en x=0), maar bij een gebroken functie heb ik geen flauw idee..Je wilt weten voor welke x geldt f(x) = 0 en je kreeg dat moet gelden 3 / (2x-4) = 0.
Vermenigvuldig beide kanten met (2x-4) en je ziet dat er geen oplossing is.
In het algemeen
a/b = 0 dan en slechts dan als a = 0
Want vermenigvuldigen met b aan beide kanten geeft dat moet gelden a = 0.Ik heb al een trucje uitgeprobeerd en het lijkt te werken:quote:
Je wilt weten voor welke x geldt f(x) = 0 en je kreeg dat moet gelden 3 / (2x-4) = 0.
Vermenigvuldig beide kanten met (2x-4) en je ziet dat er geen oplossing is.
In het algemeen
a/b = 0 dan en slechts dan als a = 0
Want vermenigvuldigen met b aan beide kanten geeft dat moet gelden a = 0.
3 / (2x - 4)
y-coördinaat is te vinden bij x = 0, dus de uitkomst is dat y-coördinaat = -3/4
-3/4 invullen in de formule:
-3/4 = 3 / (2x-4)
3 = -3/4 (2x - 4 )
3 = -1,5x + 3
0 = -1,5x
0 / -1,5 = 0 dus x = 0
(0, -3/4)Wat probeer je hier te doen?
Dat y = -3/4 het snijpunt met de y-as is wist je al door x = 0 in te vullen.
Dan hoef je niet weer y = - 3/4 in te vullen in de formule/Oh voor de zekerheid,quote:
Wat probeer je hier te doen?
Dat y = -3/4 het snijpunt met de y-as is wist je al door x = 0 in te vullen.
Dan hoef je niet weer y = - 3/4 in te vullen in de formule/
bij bijvoorbeeld het volgende formule doe ik het als volgt:
(x + 2) / (x - 2 )
y-coördinaat bij x = 0 is 2 / -2 = -1 (0 , -1)
x-coördinaat bij y = 0 is 0 = (x + 2) / (x - 2 )
(x+2) = 0(x-2)
x+2 = 0
x = - 2
dus de snijpunten zijn: (0 , -1) en ( -2, 0 )Hoe weet ik of er überhaupt al een tweede snijpunt is?:
3 / (2x - 4)
zoals de net met x = 0 resulteert het tot (0, -3/4) als eerste snijpunt.
Eventueel tweede snijpunt:
0 = 3 / (2x - 4)
3 = 0(2x - 4)
3 = 0 --> dus geen tweede snijpunt.
Dit is de methode die ik gebruik i.i.g.Als f(x) = 0 geen oplossing heeft dan is er geen snijpunt met de x-as.
En bijvoorbeeld f(x) = 1/x heeft geen snijpunt met de y-as.''Voor welke reële getallen x geldt dat -1 < f(x) < 1 ''
''Bij de formule 1 / (x+3)''
Ik weet wat ik moet doen en ik krijg dan ook -4 en -2, maar ik weet niet naar welke kanten de groter/kleiner dan tekens op moeten.Jep klopt.quote:
Als f(x) = 0 geen oplossing heeft dan is er geen snijpunt met de x-as.
En bijvoorbeeld f(x) = 1/x heeft geen snijpunt met de y-as.Misschien helpt deze post van Ripariusquote:
''Voor welke reële getallen x geldt dat -1 < f(x) < 1 ''
''Bij de formule 1 / (x+3)''
Ik weet wat ik moet doen en ik krijg dan ook -4 en -2, maar ik weet niet naar welke kanten de groter/kleiner dan tekens op moeten.
SES / [Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic
En/of de posts ervoor en erna
Je moet in ieder geval -1 < f(x) en f(x) < 1 apart bekijken.
Ik ben even weg, succes.Oké bedankt!quote:
[..]
Misschien helpt deze post van Riparius
SES / [Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic
En/of de posts ervoor en erna
Je moet iig -1 < f(x) en f(x) < 1 apart bekijken.
Ik ben even weg, succes.Weet iemand hoe ik 6x² - 8x - 8 gemakkelijk kan oplossen? Ik kan namelijk alles delen door 6, maar dan kom ik niet lekker uit... allemaal breuken..Oplossen? Je geeft enkel een formule.. iets duidelijker graag.quote:
Weet iemand hoe ik 6x² - 8x - 8 gemakkelijk kan oplossen? Ik kan namelijk alles delen door 6, maar dan kom ik niet lekker uit... allemaal breuken..Jep.. oplossen om zo te weten wat x kan zijn. Het kan d.m.v. abc formule en het antwoord een breuk laten maken via mijn Casio rekenmachine, maar ik ben benieuwd naar een makkelijke methode zonder de abc formule.quote:
[..]
Oplossen? Je geeft enkel een formule..Dus volgens jou is het domein van de functie f(x) = 6x² - 8x - 8 beperkt?quote:
[..]
Jep.. oplossen om zo te weten wat x kan zijn.Hoe bedoel je beperkt?quote:
[..]
Dus volgens jou is het domein van de functie f(x) = 6x² - 8x - 8 beperkt?Dat zijn de wortels van de formule. De x-coördinaten van de snijpunten met de y-as. Niet 'wat x kan zijn', want het domein van x is R. Er geldt dus f(x) = 0, 'f(x) oplossen' is ietwat te algemeen, je kan namelijk ook toppen bepalen e.d.quote:
[..]
Jep.. oplossen om zo te weten wat x kan zijn. Het kan d.m.v. abc formule en het antwoord een breuk laten maken via mijn Casio rekenmachine, maar ik ben benieuwd naar een makkelijke methode zonder de abc formule.x-coördinaten van de snijpunten met y-as bepalen bedoel ik dan.quote:
[..]
Dat zijn de wortels van de formule. De x-coördinaten van de snijpunten met de y-as. Niet 'wat x kan zijn', want het domein van x is R. Er geldt dus f(x) = 0, 'f(x) oplossen' is ietwat te algemeen, je kan namelijk ook toppen bepalen e.d.quote:
[..]
Ik heb al een trucje uitgeprobeerd en het lijkt te werken:
3 / (2x - 4)
y-coördinaat is te vinden bij x = 0, dus de uitkomst is dat y-coördinaat = -3/4
-3/4 invullen in de formule:
-3/4 = 3 / (2x-4)
3 = -3/4 (2x - 4 )
3 = -1,5x + 3
0 = -1,5x
0 / -1,5 = 0 dus x = 0
(0, -3/4)Fervent tegenstander van het korps lasergamers.Juist!quote:
[..]
Hij controleert gewoon of hij het goed heeft gedaan.Je stelt eerstquote:
x = y
En gaat y voor x = 0 uitrekenen.
Vervolgens ga je die y waarde opnieuw substitueren, logischerwijs gaat hieruit x = 0 volgen.Inderdaad.. Maar ik kwam er dus later achter.quote:
[..]
Je stelt eerst
x = y
En gaat y voor x = 0 uitrekenen.
Vervolgens ga je die y waarde opnieuw substitueren, logischerwijs gaat hieruit x = 0 volgen.
Ben jij al voorbij de absolute-waardefunctie geweest qua stof?
Hoe zou ik beginnen met het uitrekenen van deze reeks?
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparetJep. Ik ben nu bij differentiëren.quote:
[..]
Inderdaad.. Maar ik kwam er dus later achter.
Ben jij al voorbij de absolute-waardefunctie geweest qua stof?Heb jij nog andere leerplekken geraadpleegd? Want het lijkt mij dat die van het boek te weinig uitleg erover geeft...quote:
Ik heb namelijk geen flauw idee hoe ik de vergelijking x^4 < x³ kan oplossen, naast het feit dat ik het vereenvoudigd op kan schrijven als x² < x.Vereenvoudig nog eens een stapje verder.quote:
[..]
Heb jij nog andere leerplekken geraadpleegd? Want het lijkt mij dat die van het boek te weinig uitleg erover geeft...
Ik heb namelijk geen flauw idee hoe ik de vergelijking x^4 < x³ kan oplossen, naast het feit dat ik het vereenvoudigd op kan schrijven als x² < x.Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparetJa. khanacademy.org en wiskundeacademie op youtube.quote:
[..]
Heb jij nog andere leerplekken geraadpleegd? Want het lijkt mij dat die van het boek te weinig uitleg erover geeft...
Ik heb namelijk geen flauw idee hoe ik de vergelijking x^4 < x³ kan oplossen, naast het feit dat ik het vereenvoudigd op kan schrijven als x² < x.
Voor absolute waarde-functie heb ik trouwens khanacademy gebruikt.x ( x - 1 ) < 0quote:
[..]
Vereenvoudig nog eens een stapje verder.
x = 0 of x = 1
En dan even waarden onder/boven 0 en onder/boven 1 invullen om te kijken wanneer x^3 groter is dan x^3 en dan resulteert dat toch 0 < x < 1Wacht, niets zeggen, ik zie ineens iets.quote:Op maandag 5 mei 2014 16:20 schreef Diacetylmorfine het volgende:
Hoe zou ik beginnen met het uitrekenen van deze reeks?
[ afbeelding ]Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparetDe baan van P is gegeven door de parameter voorstelling
x = -1 + 2 cos(t)
y = 3 + 2sin(t)
met t op [0,3/2π]
De baan van P snijdt de lijn l: y = x + 4 in de punten B en C. Bereken exact de coördinaten van B en C.
Nu kan ik er zelf an sich wel uitkomenSPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt., maar in de uitwerkingen wordt de richtingscoëfficient van l genomen en vanuit daar direct gesteld dat bij B 1/4π hoort en bij C 5/4π. Hoe?
[ Bericht 13% gewijzigd door jordyqwerty op 05-05-2014 16:40:31 ]
Nee, met integreren en vergelijken met de meetkundige reeks kom ik ook niet verder.quote:
[..]
Wacht, niets zeggen, ik zie ineens iets.Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparetIk zou eerstquote:Op maandag 5 mei 2014 16:46 schreef Diacetylmorfine het volgende:
[..]
Nee, met integreren en vergelijken met de meetkundige reeks kom ik ook niet verder.substitueren zodat je som bij 0 begint.
Dan haakjes uitwerken en je som schrijven als 4 afzonderlijke sommen
Met a en b ... de coefficienten van het polynoom in k na de substitutie.
De eerste som moet je weten.
En de formules voorkan je afleiden door de vorige uitdrukking af te leiden, geloof ik.
x^4 > | x |³
Ik kom uit op x = 0 , x (< of > ) 1 en x (< of > ) -1
Ergens een aantal pagina's terug staat er een post van Riparius m.b.t. de getallenrijen, maar ik vul gewoon getallen in om zodoende erachter te komen welke > is en welke <.
Echter kom ik er niet uit, dus keek ik naar het antwoordenmodel en er stond x = 0 en x < -1 en x > 1..
Maar als ik waarden invul klopt er niks van.. bij bijvoorbeeld -0,5 blijft x^4 groter dan x³...Het is dan ook |x|³ en niet x³.quote:
x^4 > | x |³
Maar als ik waarden invul klopt er niks van.. bij bijvoorbeeld -0,5 blijft x^4 groter dan x³...Ja, daar was ik al in een andere volgorde aan begonnen, maar daar kwam niet veel uit. Althans, dat meende ik; vandaar ook mijn vorige post. Maar ik lees net nog eens mijn berekening door, omdat het toch zou moeten werken, en ik merk een fout op. Juiste berekening volgt zodadelijk.quote:
[..]
Ik zou eerst
Dan haakjes uitwerken en je som schrijven als 4 afzonderlijke sommen
Met a en b ... de coefficienten van het polynoom in k na de substitutie.
De eerste som moet je weten.
En de formules voorCuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caparetHahahahha nee zeker niet. Had het liefst voor de sier gewild, maar ja.quote:
Dat heet de absolute waarde. Die streepjes staan er niet voor de sier.
Ik snap hem niet helemaal... In mijn boek is het zeer kort uitgelegd en op internet is er ook zeer weinig te vinden over de absolute-waardefunctie, althans weinig goede naar mijn mening..
In mijn boek staat er alleen dit:
f(x) = |x| die gedefinieerd is door |x| = x als x > 0 en |x| = -x als x < 0. Voor alle x geldt dat |x|² = x².
Maar ja dan zou ik ervan uit moeten gaan dat |x|³ = -x³ ?
Forum Opties Forumhop: Hop naar:
