Nog even een aanvulling. Ik bedacht nadat ik mijn uitwerking had gepost dat het berekenen van de afstand PQ eenvoudiger en eleganter gaat als je gebruik maakt van een bekende eigenschap van evenredigheden. Uit p : q = r : s volgt namelijk dat (p + q) : (p − q) = (r + s) : (r − s) mits p ≠ q. Welnu, we hadden gevonden datquote:Op dinsdag 17 december 2013 08:03 schreef la_perle_rouge het volgende:
[..]
Bedankt allebei. Ik heb wel een heleboel met verhoudingen zitten frutten, en met vergelijkingen, maar ik raakte steeds maar de draad kwijt. Die antwoorden kloppen (die staan ook in het boek). Ik snapte alleen niet hoe ze eraan kwamen, maar nu dus wel. Ik zal eens kijken of ik met deze methode zelf opgave 1 van het examen van 1910 kan oplossen, dat is iets soortgelijks, met een voetganger en een rijtuig. (Die koeriers gingen overigens niet snel, handkar en bakfiets? En dan koudweg vertrekken voor een afstand van 78 km?)
We definiëren op D = [0,1]quote:Op maandag 16 december 2013 18:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog fn(x) definiëren op D zodanig dat limn→∞ fn(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl fn voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.
Ja, dat kan, alleen zijn je functies fn(x) nu niet continu op D = [0,1]. Ik dacht zelf aan fn(x) = 1/(x + 1/n), dan is elke fn(x) continu op D = (0,1), en heb je | fn(x) | < n voor x > 0 maar dan moet je 0 uitsluiten uit het domein omdat limn→∞ fn(0) dan niet bestaat.quote:Op dinsdag 17 december 2013 12:31 schreef Amoeba het volgende:
[..]
We definiëren op D = [0,1]
f: D -> R, gegeven door f(x) = 1/x voor x ongelijk 0 en f(0) = 0
En de bijbehorende functierij {fn} wordt gegeven door fn(x) = 1/x als x > 1/n en fn(x) = 0 als x ≤ 1/n.
Wat vind je hiervan?
Maar continuīteit was geen eis, en dat vind ik wel mooi. Maar ik mag 0 niet uitsluiten van het domein, want ik moet een functie op dat domein [0,1] vinden.quote:Op dinsdag 17 december 2013 12:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, dat kan, alleen zijn je functies fn(x) nu niet continu op D = [0,1]. Ik dacht zelf aan fn(x) = 1/(x + 1/n), dan is elke fn(x) continu op D = (0,1), en heb je | fn(x) | < n voor x > 0 maar dan moet je 0 uitsluiten uit het domein omdat limn→∞ fn(0) dan niet bestaat.
Ah zo. Dat had je dan hierboven wel aan moeten geven.quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:27 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Maar continuīteit was geen eis, en dat vind ik wel mooi. Maar ik mag 0 niet uitsluiten van het domein, want ik moet een functie op dat domein [0,1] vinden.
Nee dit is precies de opgave. Er wordt toch nergens een eis gesteld aan de continuīteit van fn(x) en f(x)?quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:35 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ah zo. Dat had je dan hierboven wel aan moeten geven.
Nee dat niet, maar jij maakte bezwaar tegen mijn keuze D := (0,1) en toen pas gaf je aan dat je een functie op het domein [0,1] moest vinden, terwijl je die eis eerder niet stelde.quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:46 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nee dit is precies de opgave. Er wordt toch nergens een eis gesteld aan de continuīteit van fn(x) en f(x)?
Ah, excuus, vergeten.quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:52 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee dat niet, maar jij maakte bezwaar tegen mijn keuze D := (0,1) en toen pas gaf je aan dat je een functie op het domein [0,1] moest vinden, terwijl je die eis eerder niet stelde.
Ten eerste, wil je de letter x niet gebruiken als vermenigvuldigingsteken? Daarvoor is de center dot uitgevonden. Vaak wordt de letter x gebruikt voor een variabele.quote:Op zondag 22 december 2013 20:09 schreef Senderious het volgende:
Ik ben bezig met het onderwerp machten met gebroken exponent.
Dit wordt slecht uitgelegd in mijn boek en op internet kan ik er ook weinig over vinden wat mij verder helpt.
Het gaat om deze opgave:
Schrijf als macht of product van machten.
5√18 x 10√12
36 = 4*9 = 22 * 32quote:Op zondag 22 december 2013 20:38 schreef Senderious het volgende:
Mijn excuses, die zal ik voortaan gebruiken.
Bedankt voor je tijd en moeite!
Maar in mijn antwoordenboek wordt het antwoord van de desbetreffende opgave als volgt aangegeven:
22/5ˇ31/2
Het is duidelijk dat je voor alle x>1 puntsgewijze convergentie hebt naar 0. Merk op dat voor x=1 iedere functie 1/2 zou zijn, en dat hoe dichter je x=1 van boven nadert, hoe langzamer de convergentie naar 0 gaat. Uniforme convergentie betekent dat er een bovengrens moet zijn voor hoe snel de convergentie over alle x plaatsvindt. Dat is hier niet het geval, dus is er geen uniforme convergentie.quote:Op zondag 22 december 2013 20:57 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb trouwens nog een vraagje over uniforme convergentie.
We definiëren de functierij (fk) als volgt
, met D := (1, ∞)
gegeven door
Nu wordt er gevraagd om voor de functiereeks van fk uniforme convergentie aan te tonen of te weerleggen. Ik zie dat fk puntsgewijs convergent is, en met de stelling van Dini kan ik zelfs uniforme convergentie aantonen, maar ik heb geen idee hoe ik nu uniforme convergentie voor de functiereeks kan aantonen of weerleggen. Tipje iemand? [ afbeelding ]
fk(x) is wel degelijk uniform convergent, volgens de stelling van Dini.quote:Op maandag 23 december 2013 01:55 schreef thenxero het volgende:
[..]
Het is duidelijk dat je voor alle x>1 puntsgewijze convergentie hebt naar 0. Merk op dat voor x=1 iedere functie 1/2 zou zijn, en dat hoe dichter je x=1 van boven nadert, hoe langzamer de convergentie naar 0 gaat. Uniforme convergentie betekent dat er een bovengrens moet zijn voor hoe snel de convergentie over alle x plaatsvindt. Dat is hier niet het geval, dus is er geen uniforme convergentie.
Dit is even een snel intuītief argument, maar ik denk dat het wel klopt, dus probeer het eens om te zetten in een bewijs.
Als de functiereeks uniform convergent is, dan is die ook in het bijzonder puntsgewijs convergent. Dus deze functiereeks moet naar de nul-functie convergeren, als die uniform convergent wil zijn. Nu moet je laten zien dat het niet kan; je moet laten zien dat de functiereeks niet uniform convergeert naar de nul-functie onder de functienorm (sup-norm).quote:Op maandag 23 december 2013 08:15 schreef Amoeba het volgende:
Oh fuck, je mag de stelling van Dini alleen toepassen op begrensde en gesloten intervallen.
'Nu weet ik nog niets.
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.quote:Op maandag 23 december 2013 09:05 schreef Mathemaat het volgende:
[..]
Als de functiereeks uniform convergent is, dan is die ook in het bijzonder puntsgewijs convergent. Dus deze functiereeks moet naar de nul-functie convergeren, als die uniform convergent wil zijn. Nu moet je laten zien dat het niet kan; je moet laten zien dat de functiereeks niet uniform convergeert naar de nul-functie onder de functienorm (sup-norm).
Gewoon zoals je het met een reële rij zou doen onder de euclidische norm, maar nu met functies onder de sup-norm. Probeer gewoon maar wat aan te kloten met papier en pen. Iedereen gaat door deze fase binnen wiskunde, als je er goed in wil wordenquote:Op maandag 23 december 2013 11:19 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.
http://www.wjvanderzanden(...)20Hoofdstuk%2012.pdfquote:Op maandag 23 december 2013 16:09 schreef ibri het volgende:
constante hoeken, omtrekshoeken en vooral hoek tussen raaklijn en koorde.
Heb je al geprobeerd mijn intuītieve bewijs om te zetten in een formeel bewijs?quote:Op maandag 23 december 2013 11:19 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.
Volgens mij kwam jouw intuītief bewijs niet verder dan een kreet dat hij niet uniform convergent was.quote:Op maandag 23 december 2013 18:23 schreef thenxero het volgende:
[..]
Heb je al geprobeerd mijn intuītieve bewijs om te zetten in een formeel bewijs?
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |