[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Enorm bedankt lyolyrc en Riparius!

Voor mijn studie wiskunde ben ik op zoek naar enkele extra dicaten over matrices. Met name met uitleg over basisbewerkingen en lekker veel opdrachten Kan iemand mij helpen? Boek van vd craats heb ik al.

Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:

f(x) = 1/ (1 + x^2)

Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 16:49 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:

f(x) = 1/ (1 + x^2)

Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.

Dit is een standaardprimitieve. Het blijkt dat de afgeleide van arctan(x) gelijk is aan f(x), dus als je de stappen van de afgeleide kunt volgen van F(x) (hint: denk aan de formele definitie van de afgeleide) dan weet je de primitieve functie.

Ik heb een vraagje over analyse. Zij f: R -> R, f continu op R met periode T > 0

Laat zien: er is een x zodanig dat f(x) = f(x+T/2)

Ik weet dat f(x) = f(x+T) omdat f periodiek is met periode T, maar hoe ik dan aantoon dat er zo'n waarde bestaat weet ik niet.

Wederom vraag ik niet om een uitwerking, maar om een duwtje in de goede richting. Ik kom steeds uit op de tussenwaardestelling, mjah, hoe gebruik ik die?

Ik zat te denken aan een bewijs uit het ongerijmde. Stel er is géén x zodanig dat f(x) = f(x+T/2), dan is f(x) - f(x+T/2) ongelijk 0 voor alle x, maar kan ik nu al een tussenwaardestelling toepassen om te laten zien dat dit niet waar is?

Wacht wacht ik denk dat ik hem heb! Werk hem zo even uit.

[ Bericht 4% gewijzigd door Amoeba op 10-12-2013 18:04:51 ]

Bij een xy-plot kan je een (of meerdere) curve(s) trekken waarbij x*y gelijk is aan een (verschillende) constante(s), is er een naam voor die lijn(en)?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 17:15 schreef 2thmx het volgende:
Bij een xy-plot kan je een (of meerdere) curve(s) trekken waarbij x*y gelijk is aan een (verschillende) constante(s), is er een naam voor die lijn(en)?

Hyperbool, zoek je dat?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 17:06 schreef Amoeba het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Willen jullie even verifiëren of mijn bewijs juist is?
Bewijs:

Definieer: f: R → R continu en periodiek met T>0
Definieer: g(x) = f(x) - f(x+T/2), g(x) is een verschil van 2 continu periodieke functies en is dus zelf ook periodiek en continu.

Neem aan dat er géén waarde x ∈ R bestaat zodanig dat f(x) = f(x+T/2)
dan:

(1): ∃x ∈ R: f(x) > f(x+T/2) (of andersom: analoog)

Neem nu aan dat f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R
Dit kan niet, want als f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R, dan f(x) > f(x+T/2) > f(x+T), en er geldt juist f(x) = f(x+T), dus: (?)

(2):: ∃x ∈ R: f(x) < f(x+T/2)

dus:

(1) ∃x₁ ∈ R: ⇒ g(x) > 0
(2) ∃x₂ ∈ R: ⇒ g(x) < 0

Passen we nu de tussenwaardestelling op g(x) toe dan:

∃x₃ ∈ [x₁, x₂]: g(x₃) = 0 ⇒ f(x₃) - f(x₃+T/2) = 0 ⇒ f(x₃) = f(x₃+T/2) en het gevraagde volgt.

Ik heb ergens een (?) bij geplaatst. Dit formuleren vind ik nogal lastig, wellicht maak ik hier een fout. Kan iemand me dan vertellen hoe ik dat wel goed opschrijf?

[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 10-12-2013 19:06:22 ]

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 16:49 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:

f(x) = 1/ (1 + x^2)

Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.

Substitueer x=tan(x)

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 18:48 schreef Amoeba het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Willen jullie even verifiëren of mijn bewijs juist is?
Bewijs:

Definieer: f: R → R continu en periodiek met T>0
Definieer: g(x) = f(x) - f(x+T/2), g(x) is een verschil van 2 continu periodieke functies en is dus zelf ook periodiek en continu.

Neem aan dat er géén waarde x ∈ R bestaat zodanig dat f(x) = f(x+T/2)
dan:

(1): ∃x ∈ R: f(x) > f(x+T/2) (of andersom: analoog)

Neem nu aan dat f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R
Dit kan niet, want als f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R, dan f(x) > f(x+T/2) > f(x+T), en er geldt juist f(x) = f(x+T), dus: (?)

(2):: ∃x ∈ R: f(x) < f(x+T/2)

dus:

(1) ∃x₁ ∈ R: ⇒ g(x) > 0
(2) ∃x₂ ∈ R: ⇒ g(x) < 0

Passen we nu de tussenwaardestelling op g(x) toe dan:

∃x₃ ∈ [x₁, x₂]: g(x₃) = 0 ⇒ f(x₃) - f(x₃+T/2) = 0 ⇒ f(x₃) = f(x₃+T/2) en het gevraagde volgt.

Ik heb ergens een (?) bij geplaatst. Dit formuleren vind ik nogal lastig, wellicht maak ik hier een fout. Kan iemand me dan vertellen hoe ik dat wel goed opschrijf?

Ik neem aan dat je met (1) en (2) bedoelt geval 1 en geval 2. Wel raar dat je binnen geval (1) je aanname opeens verruimt naar "voor alle x" ipv "er bestaat een x".

Dus nogal vaag opgeschreven, maar er zitten wel juiste ideeën in.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:09 schreef Novermars het volgende:

[..]

Substitueer x=tan(x)

Dit mag natuurlijk nooit. x = tan(x) is een relatie waarbij x = tan(x) voor alle x in het domein. En dat is niet het geval voor R...

[ Bericht 6% gewijzigd door Amoeba op 10-12-2013 20:34:01 ]

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:27 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dit mag natuurlijk nooit. x = tan(x) is een relatie waarbij x = tan(x) voor alle x in het domein. Nou, dan beperk je je domein tot 0, en dat is natuurlijk niet wenselijk.

Betere notatie is inderdaad x=tan(y) of


Maar het punt van de poster lijkt me duidelijk .

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:27 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik neem aan dat je met (1) en (2) bedoelt geval 1 en geval 2. Wel raar dat je binnen geval (1) je aanname opeens verruimt naar "voor alle x" ipv "er bestaat een x".

Dus nogal vaag opgeschreven, maar er zitten wel juiste ideeën in.

Jazeker. Ik neem aan dat f(x) > f(x+T/2) voor alle x, en wil laten zien dat dit niet kan, zodat er een x bestaat waarvoor f(x) < f(x+T/2). Maar hoe laat ik dat netjes zien?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:28 schreef thenxero het volgende:

[..]

Betere notatie is inderdaad x=tan(y) of


Maar het punt van de poster lijkt me duidelijk .

Inderdaad. Dan krijg je inderdaad een uitdrukking die je wel kunt integreren. Wilde even dat hij het zelf zou zien.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:29 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Jazeker. Ik neem aan dat f(x) > f(x+T/2) voor alle x, en wil laten zien dat dit niet kan, zodat er een x bestaat waarvoor f(x) < f(x+T/2). Maar hoe laat ik dat netjes zien?

Dat heb je toch ook gedaan (alleen dan dat f(x) <= f(x+T/2)) ?

Je laat zien "niet voor alle x geldt f(x) > f(x+T/2)" en dus "er bestaat een x zodat f(x) <= f(x+T/2)".

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:32 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat heb je toch ook gedaan (alleen dan dat f(x) <= f(x+T/2)) ?

Je laat zien "niet voor alle x geldt f(x) > f(x+T/2)" en dus "er bestaat een x zodat f(x) <= f(x+T/2)".

Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.

Excuses, ik bedoelde natuurlijk x=tan(u).

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:36 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.

Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.

En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:36 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.

Je maakt het veel te moeilijk. Je kunt gemakkelijk laten zien dat voor jouw functie g(x) geldt

g(T/2) = −g(0)

Als g(0) = 0 dan is er niets meer te bewijzen, dus veronderstel g(0) ≠ 0. Dan hebben g(0) en g(T/2) een tegengesteld teken, en is er dus volgens de tussenwaardestelling een ξ ∈ (0, T/2) zodanig dat g(ξ) = 0 en daarmee f(ξ) = f(ξ + T/2), QED.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 21:05 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.

En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?

Het maakt eigenlijk ook geen fluit of g(x) periodiek is. Doet niet eens ter zake.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 21:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je maakt het veel te moeilijk. Je kunt gemakkelijk laten zien dat voor jouw functie g(x) geldt

g(T/2) = −g(0)

Als g(0) = 0 dan is er niets meer te bewijzen, dus veronderstel g(0) ≠ 0. Dan hebben g(0) en g(T/2) een tegengesteld teken, en is er dus volgens de tussenwaardestelling een ξ ∈ (0, T/2) zodanig dat g(ξ) = 0 en daarmee f(ξ) = f(ξ + T/2), QED.

Crap, je bent echt een genie.

[ Bericht 4% gewijzigd door Amoeba op 10-12-2013 22:03:47 ]

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 16:49 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:

f(x) = 1/ (1 + x^2)

Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.

En opmerking vooraf: je kunt niet spreken van de primitieve van een functie, omdat een primitieve altijd slechts tot op een constante is bepaald: als F(x) een primitieve is van f(x), dan is G(x) = F(x) + C met een willekeurige constante C eveneens een primitieve van f(x), omdat de afgeleide van een constante immers nul is en je dus ook hebt G'(x) = F'(x) + 0 = f(x).

Je hebt



Dit is een standaardintegraal, een primitieve van f(x) = 1/(1 + x²) is F(x) = arctan x oftewel de inverse van de tangens functie. Let op dat men de inversen van de goniometrische functies in Vlaanderen meestal noteert met het prefix bg voor 'boog' en dus niet met het prefix arc voor 'arcus' (Latijn voor 'boog').

Om te begrijpen hoe dit zit moet je eerst weten wat de afgeleide is van de tangens functie en hoe het verband is tussen de afgeleiden van twee functies die elkaars inverse zijn. Als je hebt

g(x) = tan x

dan is

g'(x) = 1 + tan²x

Ga dit na door te schrijven g(x) = sin x / cos x, en dan gebruik te maken van de quotiëntregel om g'(x) te bepalen. De afgeleide van de tangens functie is ook nog op een andere manier te schrijven, namelijk

g'(x) = 1 / cos²x

en aangezien de secans de multplicatieve inverse is van de cosinus, zou je hiervoor ook nog kunnen schrijven

g'(x) = sec²x

maar dit laatste wordt nog maar zelden gedaan.

Heb je twee functies f en g dan kun je ook een samengestelde functie h maken, waarbij je als het ware de 'output' van de eerste functie f weer gebruikt als 'input' voor de tweede functie g, zodat je dus hebt

h(x) = g(f(x))

Zoals bekend vertelt de kettingregel je dan hoe je de afgeleide kunt bepalen van deze samengestelde functie, als je tenminste al weet hoe je de afgeleiden van f en g bepaalt:

h'(x) = g'(f(x))·f'(x)

Maar stel nu eens dat f en g elkaars inverse zijn. Dan doet g weer teniet wat f heeft bewerkstelligd, dus als we de 'output' van f in g stoppen als 'input', dan geeft g weer de oorspronkelijke 'input' x van f terug, dus

g(f(x)) = x

Maar dan is dus h(x) = g(f(x)) = x, zodat h'(x) = 1 moet zijn. Maar we weten dat volgens de kettingregel h'(x) = g'(f(x))·f'(x), en dus hebben we nu

g'(f(x))·f'(x) = 1

zodat

f'(x) = 1 / g'(f(x))

Welnu, stel dat f(x) = arctan x en g(x) = tan x, dan weten we al dat

g'(x) = 1 + tan²x = 1 + (g(x))²

zodat

g'(f(x)) = 1 + (g(f(x)))² = 1 + x²

en dus hebben we

f'(x) = 1 / g'(f(x)) = 1/(1 + x²)

De afgeleide van f(x) = arctan x is dus inderdaad f'(x) = 1/(1 + x²), zodat arctan x een primitieve is van 1/(1 + x²).

Waar je wel op moet letten bij periodieke functies, zoals de goniometrische functies, is dat je hier niet 'zomaar' kunt spreken van een inverse functie. Immers, arctan x = θ impliceert tan θ = x, maar je mag dit niet omkeren. Uit tan θ = x volgt niet zonder meer dat arctan x = θ, omdat er voor elke reële waarde van x oneindig veel waarden van θ zijn waarvoor tan θ = x, de tangens functie is immers een periodieke functie met een periode π. Men moest dus een keuze maken en bij elke reële x één van de waarden van θ kiezen waarvoor tan θ = x. De afspraak is dat men dan de waarde van θ (uitgedrukt in radialen) op het interval (−π/2, π/2) kiest. Met arctan x bedoelen we dus de (unieke) waarde van θ (in radialen) op het interval (−π/2, π/2) waarvoor tan θ = x. Zo heb je bijvoorbeeld arctan(1) = π/4 omdat tan(π/4) = 1 en omdat π/4 de enige waarde is op het interval (−π/2, π/2) waarvan de tangens gelijk is aan 1.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-12-2013 02:23:57 ]

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 17:36 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Hyperbool, zoek je dat?

Nee, ik bedoel een naam voor specifiek de curve die ik omschrijf. Zoiets (met z als constante):

Kan goed zijn dat er geen naam voor bestaat hoor .

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 23:48 schreef 2thmx het volgende:

[..]

Nee, ik bedoel een naam voor specifiek de curve die ik omschrijf. Zoiets: [ afbeelding ]

Kan goed zijn dat er geen naam voor bestaat hoor .

Exponentiële functie?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 23:49 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Exponentiële functie?

Nee, ik bedoel dus een naam specifiek voor deze curve . Als die bestaat, that is.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 23:52 schreef 2thmx het volgende:

[..]

Nee, ik bedoel dus een naam specifiek voor deze curve . Als die bestaat, that is.

De curve in je figuur is één tak van een orthogonale hyperbool. De andere tak ligt in het derde kwadrant. Deze hyperbool heet orthogonaal omdat de asymptoten van deze hyperbool loodrecht op elkaar staan, de coördinaatassen zijn immers de asymptoten.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 21:05 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.

En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?

Ah dat kan niet. Er is geen veelvoud van 1 wat deelbaar is door pi