[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op donderdag 2 januari 2014 15:12 schreef Senderious het volgende:

[..]

In de opdracht staat (letterlijk) dat ik het domein moet bepalen, vervolgens een grafiek moet schetsen en ten slotte het bereik van de desbetreffende functie moet bepalen.

Maar ik snap het principe van domeinen niet dus daar begint voor mij de moeilijkheid.

Beschouw een functie eens als een black box waar je iets in stopt (namelijk een waarde van x) en waar dan ook weer iets uit komt, namelijk een waarde y = f(x). Dan is het domein van een functie de verzameling van alle mogelijke invoerwaarden, en het bereik is dan de verzameling van alle mogelijke uitvoerwaarden.

Eigenlijk moet het domein zijn gegeven als onderdeel van de definitie van een functie, maar als je alleen een functievoorschrift hebt, zoals f(x) = x² + 3, en de invoer en uitvoer worden verondersteld reële getallen te zijn, dan kiest men als domein gewoonlijk de grootst mogelijke deelverzameling van R. In dit voorbeeld is dan D_f = R omdat je voor x elk reëel getal kunt invullen. Maar als je bijvoorbeeld hebt

g(x) = 1/(x − 1)

dan mag je niet x = 1 invullen, want dan krijg je 1/0, en dat heeft geen betekenis, omdat delen door nul niet is gedefinieerd. In dit geval bestaat het (grootst mogelijke) domein van de functie g dus uit alle reële getallen behalve 1, en dat kun je noteren als volgt:

D_g = R\{1}

quote:

Op donderdag 2 januari 2014 15:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Beschouw een functie eens als een black box waar je iets in stopt (namelijk een waarde van x) en waar dan ook weer iets uit komt, namelijk een waarde y = f(x). Dan is het domein van een functie de verzameling van alle mogelijke invoerwaarden, en het bereik is dan de verzameling van alle mogelijke uitvoerwaarden.

Eigenlijk moet het domein zijn gegeven als onderdeel van de definitie van een functie, maar als je alleen een functievoorschrift hebt, zoals f(x) = x² + 3, en de invoer en uitvoer worden verondersteld reële getallen te zijn, dan kiest men als domein gewoonlijk de grootst mogelijke deelverzameling van R. In dit voorbeeld is dan D_f = R omdat je voor x elk reëel getal kunt invullen. Maar als je bijvoorbeeld hebt

g(x) = 1/(x − 1)

dan mag je niet x = 1 invullen, want dan krijg je 1/0, en dat heeft geen betekenis, omdat delen door nul niet is gedefinieerd. In dit geval bestaat het (grootst mogelijke) domein van de functie g dus uit alle reële getallen behalve 1, en dat kun je noteren als volgt:

D_g = R\{1}

Bedankt voor je uitleg! Dit maakt het een stuk duidelijker. Dus als ik het goed begrijp betekent R dat je voor x elk getal kunt gebruiken?

quote:

Op donderdag 2 januari 2014 15:37 schreef Senderious het volgende:

[..]

Bedankt voor je uitleg! Dit maakt het een stuk duidelijker. Dus als ik het goed begrijp betekent R dat je voor x elk getal kunt gebruiken?

Ja. De vetgedrukte letter R staat voor de verzameling van alle reële getallen. Zo heb je ook nog andere standaardverzamelingen van getallen. De verzameling van alle gehele getallen bijvoorbeeld wordt aangegeven met Z en de verzameling van alle rationale getallen met Q.

quote:

Op donderdag 2 januari 2014 15:37 schreef Senderious het volgende:

[..]

Bedankt voor je uitleg! Dit maakt het een stuk duidelijker. Dus als ik het goed begrijp betekent R dat je voor x elk getal kunt gebruiken?

Elk reëel getal ja: positief, negatief, nul, breuken en irrationale getallen zoals pi. Het gaat niet om álle getallen, want er zijn ook verzamelingen getallen zoals complexe getallen, die niet in R zitten.

Bedankt thenxero, Riparius en Aardappeltaart! Zou iemand mij ook uit kunnen leggen hoe ik het bereik kan bepalen van desbetreffende functie? f(x) = x² + 3

quote:

Op donderdag 2 januari 2014 16:36 schreef Senderious het volgende:
Bedankt thenxero, Riparius en Aardappeltaart! Zou iemand mij ook uit kunnen leggen hoe ik het bereik kan bepalen van desbetreffende functie? f(x) = x² + 3

Je kunt beginnen met te bedenken dat het kwadraat van een reëel getal nooit negatief kan zijn. Dus is x² zeker groter dan of gelijk aan nul. Maar dan is f(x) = x² + 3 zeker groter dan of gelijk aan 3. Getallen kleiner dan 3 kunnen dus in ieder geval niet tot het bereik van deze functie behoren.

Nu rest nog de vraag of ook elk reëel getal groter dan of gelijk aan 3 deel uitmaakt van het bereik. Dat is inderdaad het geval, maar probeer nu zelf eens te bedenken hoe je dat (algebraïsch) aan zou kunnen tonen.

Ik heb een vraag waarop het antwoord makkelijk zou moeten zijn, maar ik mis hem:

http://fermatslasttheorem(...)rmats-one-proof.html

In de overgang van (5) naar (6) wordt gesteld dat omdat S = 2W² + V², (2W²)² + (V²)² een kwadraat is. Waarom is dat zo? En als bonus, is dit waarom ik niet snap waarom in (7) uit de oplossing voor de Pythagoreïsche drietallen volgt dat het verschil inderdaad een kwadraat is?

Stel dat je een paar AB en een paar CD hebt. Beiden paren vormen 1 grotere paar.

Op hoeveel manieren kun je deze paren neerzetten?

Opschrijven geeft:

AB
CD

AB
DC

BA
CD

BA
DC

Dus 4. Ik kan zo doorgaan met paren zoals ABC en DCE of ABCF en GHIJ.

Wiskundig kom je dan uit op verschillende manieren = 2^n, waarin n staat voor verschillend aantal letters in een enkele paar.

Betekent dat ook dat als je een drievoudig paar moet vormen zoals:

ABC
DCE
FGH

De formule om de verschillende aantal combinaties te berekenen 3^n is?

Ik denk dat ik het een beetje verwarrend formulier, maar ik hoop dat het duidelijk is wat ik vraag wat betreft 2^n en 3^n.

Ook vraag ik mij af waarom n niet 8 is bij iets zoals ABCD en EFGH. Je hebt per paar weliswaar 4 verschillende letters, maar totaal zijn het er 8.

Kortom; ik heb de vraagstukken wel goed, maar ik snap het niet wat ik aan het doen ben.

quote:

Op vrijdag 3 januari 2014 22:50 schreef DefinitionX het volgende:
Betekent dat ook dat als je een drievoudig paar moet vormen zoals:

ABC
DCE
FGH

De formule om de verschillende aantal combinaties te berekenen 3^n is?

Nee, dat is iets te makkelijk gedacht.

Stel je hebt ABC. Dit kan je schrijven als: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Dit zijn 6 manieren, oftwel 3! = 3x2x1 = 6.

Nu heb je dus een drietal dat elk op 6 manieren geschreven kan worden.
Dus dan krijg je 6x6x6 = 6³ = 216 manieren.

quote:

Op vrijdag 3 januari 2014 22:50 schreef DefinitionX het volgende:

Baseer je je algemene oplossing nu op één voorbeeld? Wie zegt dat het voor andere aantallen per paar of meerdere paren ook zo gaat?

Als ik het goed begrijp is dit je vraagstuk: Je hebt q paren letters, met n letters per paar. Op hoeveel manieren kan je deze letters achter elkaar zetten, waarbij de letters uit hetzelfde paar bij elkaar blijven?

Per paar begin je met één van de n letters. Voor de volgende zijn er (n-1) over, enzovoorts. Er zijn per paar dus n! (n faculteit) mogelijkheden.

Wat niet duidelijk is is of je de paren van volgorde mag verwisselen. Als dit niet zo is, geldt wat Ensemble zei. Als dat wel zo is, moet je denk ik nog wat met de faculteit van het aantal paren dat je hebt doen: q! (je begint met één paar, de volgende moet één van de paren die overblijven zijn, etc...).

quote:

Op vrijdag 3 januari 2014 23:10 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Wat niet duidelijk is is of je de paren van volgorde mag verwisselen. Als dit niet zo is, geldt wat Ensemble zei. Als dat wel zo is, moet je denk ik nog wat met de faculteit van het aantal paren dat je hebt doen: q! (je begint met één paar, de volgende moet één van de paren die overblijven zijn, etc...).

Als de volgorde van de paren van belang is moet je het nog met q! vermenigvuldigen ja.

quote:

Op vrijdag 3 januari 2014 23:16 schreef Ensemble het volgende:

[..]

Als de volgorde van de paren van belang is moet je het nog met q! vermenigvuldigen ja.

Precies, ik wilde niet óók de allerlaatste stap nog helemaal voorzeggen, maar dat kwam door de 'vind ik' misschien een beetje onzeker over, zie ik nu.

quote:

Op vrijdag 3 januari 2014 23:19 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Precies, ik wilde niet óók de allerlaatste stap nog helemaal voorzeggen, maar dat kwam door de 'vind ik' misschien een beetje onzeker over, zie ik nu.

Ah, ik dacht inderdaad dat je het niet zeker wist.

Misschien kan DefinitionX als allerlaatste stap nog de algemene formule geven voor q paren met n letters. Dat moet niet meer zo moeilijk zijn, en dan snapt hij hem zeker.

quote:

Op vrijdag 3 januari 2014 23:10 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Baseer je je algemene oplossing nu op één voorbeeld? Wie zegt dat het voor andere aantallen per paar of meerdere paren ook zo gaat?

Als ik het goed begrijp is dit je vraagstuk: Je hebt q paren letters, met n letters per paar. Op hoeveel manieren kan je deze letters achter elkaar zetten, waarbij de letters uit hetzelfde paar bij elkaar blijven?

Niet achter elkaar. Zie het zo:

ABC
DEF

Twee paren die 1 groter paar vormen. Dit noem ik 1 van de mogelijk combinaties. A is verbonden met D, B met E, C met F.

ABC
EFD

Dit noem ik de 2e mogelijkheid van het totaal aantal combinaties. Nu is A verbonden met E, B met F en C met D.

Edit:

Komt het op hetzelfde neer als achter elkaar?

Edit2:

Het heeft te maken met een vraagstuk over chromosomen. Je hebt in een cel 4 chromosomen met elke chromosoom een dubbel. Dan heb je 8 chromosomen in de cel.

Vraag: op hoeveel verschillende manieren kun je de chromosomen sorteren in paren.

Het antwoord is 16, gebruikmakend van 2^n. Waarin n is verschillend aantal chromosomen.

[ Bericht 8% gewijzigd door DefinitionX op 04-01-2014 01:33:52 ]

quote:

Op vrijdag 3 januari 2014 15:52 schreef Diacetylmorfine het volgende:
Ik heb een vraag waarop het antwoord makkelijk zou moeten zijn, maar ik mis hem:

http://fermatslasttheorem(...)rmats-one-proof.html

In de overgang van (5) naar (6) wordt gesteld dat omdat S = 2W² + V², (2W²)² + (V²)² een kwadraat is. Waarom is dat zo? En als bonus, is dit waarom ik niet snap waarom in (7) uit de oplossing voor de Pythagoreïsche drietallen volgt dat het verschil inderdaad een kwadraat is?

Al gevonden.

quote:

Op zaterdag 4 januari 2014 20:58 schreef Diacetylmorfine het volgende:

[..]

Al gevonden.

Die blogger waar je naar verwijst maakt het allemaal veel te moeilijk door een hoop overbodige variabelen te introduceren waardoor je door de bomen het bos niet meer ziet, en bovendien kan hij ook niet goed uitleggen. Typisch kwaaltje van een ICTer die naar hartelust variabelen declareert zonder zich af te vragen of die wel nuttig zijn.

De m.i. duidelijkste en meest eenvoudige reconstructie van de gedachtengang van Fermat is gegeven door André Weil, Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, p. 76-77, zie hier.

quote:

Op zaterdag 4 januari 2014 22:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Die blogger waar je naar verwijst maakt het allemaal veel te moeilijk door een hoop overbodige variabelen te introduceren waardoor je door de bomen het bos niet meer ziet, en bovendien kan hij ook niet goed uitleggen. Typisch kwaaltje van een ICTer die naar hartelust variabelen declareert zonder zich af te vragen of die wel nuttig zijn.

De m.i. duidelijkste en meest eenvoudige reconstructie van de gedachtengang van Fermat is gegeven door André Weil, Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, p. 76-77, zie hier.

Ah, de mensen die bang zijn hun oorspronkelijke variabelen aan te passen. Iedereen houdt toch van een rommelig script? Bedankt voor de link.

quote:

Op zondag 5 januari 2014 17:59 schreef Diacetylmorfine het volgende:

[..]

Ah, de mensen die bang zijn hun oorspronkelijke variabelen aan te passen. Iedereen houdt toch van een rommelig script? Bedankt voor de link.

Nee, ik houd helemaal niet van rommelige code of redundante variabelen. Die blogger kent zijn literatuur niet, anders had hij het nooit zo onbeholpen opgeschreven. Hij heeft de Engelse vertaling van de Latijnse tekst van Fermat kennelijk overgenomen uit het boek van Edwards die weer verwijst naar T.L. Heath als bron, maar hij heeft niet de moeite genomen T.L. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, ²1910 te raadplegen, waar het ook glashelder wordt uitgelegd (lees online of download dit boek als PDF of als DjVu).

quote:

Op zondag 5 januari 2014 18:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, ik houd helemaal niet van rommelige code of redundante variabelen. Die blogger kent zijn literatuur niet, anders had hij het nooit zo onbeholpen opgeschreven. Hij heeft de Engelse vertaling van de Latijnse tekst van Fermat kennelijk overgenomen uit het boek van Edwards die weer verwijst naar T.L. Heath als bron, maar hij heeft niet de moeite genomen T.L. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, ²1910 te raadplegen, waar het ook glashelder wordt uitgelegd (lees online of download dit boek als PDF of als DjVu).

Dat was ironisch bedoeld, we zitten op een lijn. Je blijft me verbazen met alle kennis en informatie die je ogenschijnlijk met een handomdraai produceert - hoe doe je dat toch?

Een stuk uit een voorbeeld opgave waarmee ik bezig ben:

quote:

U(x,y) = xy^1/2
MRS(x,y) = U'_x(x,y) / U'_y(x,y) = (1/2)x^-1/2y^1/2 / (1/2)x^1/2y^-1/2 = Y / X

De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?

quote:

Op dinsdag 7 januari 2014 21:13 schreef stephano1990 het volgende:
Een stuk uit een voorbeeld opgave waarmee ik bezig ben:

[..]

De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?

Dit kan je vinden door ff te spelen met de regels voor machten:
aⁿ/a^m = a^n-m en
a^-n=1/aⁿ

quote:

Op dinsdag 7 januari 2014 21:13 schreef stephano1990 het volgende:
Een stuk uit een voorbeeld opgave waarmee ik bezig ben:

[..]

De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?

Bedoel je deze stap:


Of het uitrekenen van de afgeleide? (btw, volgens mij ben je de haakjes vergeten in je eerste formule. Het lijkt me dat U(x,y) = (xy)^1/2

quote:

Op dinsdag 7 januari 2014 21:25 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Bedoel je deze stap:


Of het uitrekenen van de afgeleide? (btw, volgens mij ben je de haakjes vergeten in je eerste formule. Het lijkt me dat U(x,y) = (xy)^^1/2

Wow, dat zijn even heel wat stappen die eventjes zijn overgeslagen! XD

En inderdaad, (xy)^1/2 had tussen haakjes moeten staan!

Thanks!

quote:

Op dinsdag 7 januari 2014 21:29 schreef stephano1990 het volgende:

[..]

Wow, dat zijn even heel wat stappen die eventjes zijn overgeslagen! XD

En inderdaad, (xy)^1/2 had tussen haakjes moeten staan!

Thanks!

Voor een machine komt dit heel nauw. In principe is (xy)^1/2 gelijk aan dit:



Nu weet iedereen dat je bedoelt, maar strikt formeel staat dat er niet.

quote:

Op dinsdag 7 januari 2014 21:13 schreef stephano1990 het volgende:
Een stuk uit een voorbeeld opgave waarmee ik bezig ben:

[..]

De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?

Ik mag hopen dat je bedoelt U(x,y) = (xy)^1/2 anders klopt je partiële afgeleide naar x niet. Verder moet je hiervoor niet je rekenmachine gebruiken, maar rekenregels voor breuken en machten. Vermenigvuldig teller en noemer van je quotiënt eens met x^1/2y^1/2, wat krijg je dan?