[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ik moet de limiet van de rij

a_n = n⁵ / 3ⁿ met n ∈ N

geven en bewijzen zonder de formele definitie van de limiet. Mag ik nu gebruik maken van de regel van l'Hospital, of is deze functie/rij niet differentieerbaar? Als dat een probleem is, mag ik hem dan uitbreiden naar de reële getallen?

quote:

Op vrijdag 15 november 2013 19:13 schreef Amoeba het volgende:
Ik moet de limiet van de rij

a_n = n⁵ / 3ⁿ met n ∈ N

geven en bewijzen zonder de formele definitie van de limiet. Mag ik nu gebruik maken van de regel van l'Hospital, of is deze functie/rij niet differentieerbaar? Als dat een probleem is, mag ik hem dan uitbreiden naar de reële getallen?

Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.

Hint: beschouw eerst de rij {b_n}₁^∞ gedefinieerd door

b_n = n / αⁿ met α > 1

Als je nu kunt bewijzen dat

lim_n→∞ b_n = 0

dan ben je klaar, aangezien je voor α = 3^1/5 dan hebt a_n = (b_n)⁵ en dus ook

lim_n→∞ a_n = 0

quote:

Op vrijdag 15 november 2013 20:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hint: beschouw eerst de rij {b_n}₁^∞ gedefinieerd door

b_n = n / αⁿ met α > 1

Als je nu kunt bewijzen dat

lim_n→∞ b_n = 0

dan ben je klaar, aangezien je voor α = 3^1/5 dan hebt a_n = (b_n)⁵ en dus ook

lim_n→∞ a_n = 0

Dat begrijp ik.

quote:

Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.

Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.

Ik ga zeer zeker naar je hint kijken, maar ik ben wel benieuwd of ik hier nu de regel van l'Hospital mag toepassen. In dat geval is je hint ook zeer gemakkelijk op te lossen.

[ Bericht 2% gewijzigd door Amoeba op 15-11-2013 21:03:43 ]

quote:

Op vrijdag 15 november 2013 20:58 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dat begrijp ik.

[..]

Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.

Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.

quote:

Ik ga zeer zeker naar je hint kijken, maar ik ben wel benieuwd of ik hier nu de regel van l'Hospital mag toepassen. In dat geval is je hint ook zeer gemakkelijk op te lossen.

Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.

Volgende hint: kies α = 1 + h zodat h > 0 aangezien α > 1 en bedenk dat dan voor n > 1 geldt

(1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h² > (n(n−1)/2)h²

quote:

Op vrijdag 15 november 2013 21:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.

[..]

Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.

Volgende hint: kies α = 1 + h zodat h > 0 aangezien α > 1 en bedenk dat dan voor n > 1 geldt

(1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h² > (n(n−1)/2)h²

Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.

De regel van l'Hospital is aan de orde gekomen in het basisvak Calculus, dus ik zie niet in waarom ik die niet mag gebruiken.

Maar je ontwijkt steeds de vraag. Het is nou niet noodzakelijkerwijs de bedoeling om de regel van l'Hospital te gebruiken, ik wil alleen weten of dat mag i.v.m. de definitie van n als een natuurlijk getal en differentieerbaarheid.

Nu op basis van je onderste regel:

(1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h² > (n(n−1)/2)h²

Dus

n/αⁿ met α > 1 en α = 1 + h

dan geldt:

n/αⁿ < n / (nh²(n−1)/2) = 1/(h²(n−1)/2) = 2/(h²(n−1))

En voor n voldoende groot nadert dat naar 0.

Maar ik moet heel eerlijk bekennen dat ik op die regel niet zou zijn gekomen.

[ Bericht 3% gewijzigd door Amoeba op 15-11-2013 22:25:27 ]

Eigenlijk geen huiswerk vraag, maar ben wel benieuwd 'how to handle'.

Ik heb een hele bak met data, waarbij elke vastlegging in de databank een combinatie is van tijdstip (in minuten nauwkeurig) en en event type. Het is data van meerdere weken, maar ik ben geinteresseerd op welke tijdstippen 'het meest waarschijnlijk' of 'normaal' het event plaatsvind.

uit ervaring weet ik dat de meeste events voor 1 bepaald event type tussen 7 en 8 sochtends voorkomen met een bepaalde frequentie, en tussen 4 en 5. Maar andere events hebben 3 voorkeurs momenten per dag, of meer.

Wat ik graag wil is dat ik wil weten wanneer de resultaten van een bepaalde dag, of een aantal dagen, 'anders is dan bv de afgelopen weken'. En dan met een bepaalde zekerheid, natuurlijk.

Ik heb vhet vermoeden dat ik met multi-gaussians moet gaan werken, al is het maar de vraag of de events binnen tijdstip zich normaal gedragen. Ik denk van niet, namelijk. Anders is misschien Kernal Density Estimation een idee? O

In het kort, ik wil graag op basis van bv een week of 2 aan observaties, een schatting kunnen geven hoe waarschijnlijk het is dat de observatieserie van vandaag binnen 'het normale' valt.

-----------

Heel simpel voorbeeld: een apparaat telt het aantal mensen dat over een spoorwegovergang loopt gedurende 24 uur per dag 7 dagen per week. Na een week of wat wil je dat systeem gaan gebruiken om te kijken of de doorstroom 'gisteren' anders was dan 'normaal'. En ook wil je graag enige kwantitatieve expressie hoe anders dan wel. Je wilt niet alleen kijken naar aantallen, maar ook naar drukste doorstroomtijden, bijvoorbeeld.

tot slot rijst de vraag: hoe update je je systeem? Als er bv steeds meer begroeiing langs het looppad gaat groeien met stevige doorns, gaan er heel langzaam minder mensen lopen. Ik wil daar wel rekening mee houden, dus het systeem een beetje 'updaten' zeg maar.

----

afronding: in welke hoek moet ik zoeken? Ik hoop niet gelijk in moeilijke pattern recognition / machine learning meuk, maar wat flinke wiskunde is prima

quote:

Op vrijdag 15 november 2013 22:08 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.

Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.

quote:

De regel van l'Hospital is aan de orde gekomen in het basisvak Calculus, dus ik zie niet in waarom ik die niet mag gebruiken.

Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.

quote:

Maar je ontwijkt steeds de vraag. Het is nou niet noodzakelijkerwijs de bedoeling om de regel van l'Hospital te gebruiken, ik wil alleen weten of dat mag i.v.m. de definitie van n als een natuurlijk getal en differentieerbaarheid.

Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.

Maar goed, L'Hôpital. Definieer op [1, ∞) de functies f(x) = x⁵ en g(x) = 3^x. Deze functies zijn oneindig vaak differentieerbaar op (1, ∞) en bovendien nemen |f(x)| en |g(x)| onbeperkt toe voor x → ∞ zodat we nu (behoudens in bepaalde gevallen, zie hier) inderdaad de regel van L'Hôpital zo vaak als nodig kunnen gebruiken om

lim_x→∞ f(x)/g(x)

te bepalen, als deze limiet althans bestaat.

Verder heb je nu

a_n = f(n)/g(n)

Als nu lim_x→∞ f(x)/g(x) = L

dan is ook

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ f(n)/g(n) = L

Je mag dit laatste echter niet omkeren. Neem bijvoorbeeld h(x) = x⁻¹·tan(¼π+xπ) op [1,∞)\{ x ∈ R | x = n + ¼ ∧ n ∈ N }, dan is lim_n→∞ h(n) = 0, maar lim_x→∞ h(x) bestaat niet.

quote:

Nu op basis van je onderste regel:

(1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h² > (n(n−1)/2)h²

Dus

n/αⁿ met α > 1 en α = 1 + h

dan geldt:

n/αⁿ < n / (nh²(n−1)/2) = 1/(h²(n−1)/2) = 2/(h²(n−1))

En voor n voldoende groot nadert dat willekeurig dicht tot 0.

Maar ik moet heel eerlijk bekennen dat ik op die regel niet zou zijn gekomen.

Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 06:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.

Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.


http://www.win.tue.nl/~gprokert/2WA30.html

quote:

[..]

Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.

[..]

Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.

Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.

quote:

Maar goed, L'Hôpital. Definieer op [1, ∞) de functies f(x) = x⁵ en g(x) = 3^x. Deze functies zijn oneindig vaak differentieerbaar op (1, ∞) en bovendien nemen |f(x)| en |g(x)| onbeperkt toe voor x → ∞ zodat we nu (behoudens in bepaalde gevallen, zie hier) inderdaad de regel van L'Hôpital zo vaak als nodig kunnen gebruiken om

lim_x→∞ f(x)/g(x)

te bepalen, als deze limiet althans bestaat.

Verder heb je nu

a_n = f(n)/g(n)

Als nu lim_x→∞ f(x)/g(x) = L

dan is ook

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ f(n)/g(n) = L

Je mag dit laatste echter niet omkeren. Neem bijvoorbeeld h(x) = x⁻¹·tan(¼π+xπ) op [1,∞)\{ x ∈ R | x = n + ¼ ∧ n ∈ N }, dan is lim_n→∞ h(n) = 0, maar lim_x→∞ h(x) bestaat niet.

[..]

Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.

Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 11:09 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.

http://www.win.tue.nl/~gprokert/2WA30.html

[..]

Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.

[..]

Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.

Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 13:48 schreef tacos049 het volgende:

[..]

Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.

Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 14:04 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.

Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hôpital'.

[ Bericht 0% gewijzigd door jordyqwerty op 18-11-2013 01:52:24 ]

Cos(2x+pi/3)=sin(pi/6 - 2x)

?

[ Bericht 6% gewijzigd door DefinitionX op 16-11-2013 16:53:01 ]

W-alpa zegt dat het sin(pi/6 - 2x) is, mijn uitwerking zegt dat het sin(2x+5pi/6) is. Ik zeg dat het sin(pi/6 - 2x) is.

Nu ben ik door het concept door de war. De opgaves die ik heb:

quote:

Opgaven:

a. sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
b. cos(2x + 0.33pi) = - sin(x - 0.75pi)

Uitwerkingen:

a. cos(2x - 0.75pi) = cos(2x + 1.33pi)
b. sin(2x + 0.83pi) = sin(x + 0.25pi)

sin(2x-0.25pi) heeft volgens mij als complementair cos(0.75pi - 2x). In de uitwerkingen hebben ze gedeeld door -1, maar ik vraag me af of dat wel mag. Daarbij zeggen ze dat -cos(x + 0.33pi) gelijk staat aan cos(2x + 1.33pi), echter mijn boekje geeft mij 2 mogelijkheden: door -cos(a)=cos(pi+a) of cos(pi-a), maakt het uit welke ik kies?

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 15:56 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hopital'.

Okay.

Neem -cos(60) eens, dat is gelijk aan -.0.5 Dat is gelijk aan cos(120), maar ook aan cos(240).

Dan moet - cos(x + 0.33pi), wat ook geschreven kan worden als - cos(x+60), zijn cos(180-x-60) en dit is gelijk aan cos(120-x) wat in radialen gelijk is aan cos(2pi/3 - x) of als cos(240-x) namelijk cos(4pi/3 - x).

Mis ik iets?

Edit:

Ik zou a zo oplossen:

sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
cos(pi/2 - 2x + 0.25pi) = cos(pi - x - 0.33pi)
cos(3pi/4 - 2x) = cos(2pi/3 -x)
3pi/4 - 2x = 2pi/3 - x + k * 2pi
-x=2pi/3 - 3pi/4 + k * 2pi
-x = - pi/12 + k * 2pi
x= pi/12 + k * 2pi

Maar dat klopt niet volgens de uitwerkingen.

[ Bericht 17% gewijzigd door DefinitionX op 16-11-2013 18:16:14 ]

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 16:46 schreef DefinitionX het volgende:
Cos(2x+pi/3)=sin(pi/6 - 2x)

?

Bedenk dat de cosinus van een (rotatie)hoek gelijk is aan de sinus van het complement van die (rotatie)hoek. Daar komt ook de naam cosinus vandaan, deze naam is ontstaan uit co. sinus dat stond voor complementi sinus oftewel 'de sinus van het complement'.

Twee hoeken noemen we complementair als ze samen een rechte hoek vormen. Eigenlijk zijn complementaire hoeken in de vlakke meetkunde dus altijd scherpe hoeken, maar als we werken met de eenheidscirkel dan noemen we twee willekeurige rotatiehoeken die samen een rotatie over +90° oftewel ½π rad opleveren ook complementair.

Als we het startpunt (1; 0) op de eenheidscirkel roteren om de oorsprong over twee hoeken die elkaars complement zijn, dan liggen de beeldpunten P en P' van (1; 0) symmetrisch ten opzichte van de lijn met vergelijking y = x. Dat betekent dus dat P en P' elkaars beeld zijn bij spiegeling in deze lijn. En omdat bij spiegeling in de lijn y = x een punt met coördinaten (x; y) over gaat in het punt met coördinaten (y; x) hebben we dus inderdaad voor elke rotatiehoek α

cos(½π − α) = sin α
sin(½π − α) = cos α

Verder kun je bedenken dat een willekeurig punt (x; y) bij een rotatie om de oorsprong over een halve slag oftewel 180° oftewel π rad overgaat in het punt (−x; −y) dat immers diametraal ten opzichte van de oorsprong tegenover het punt (x; y) ligt. En dus hebben we ook voor elke rotatiehoek α

cos(π + α) = −cos α
sin(π + α) = −sin α

Tenslotte kun je bedenken dat het roteren van het startpunt (1; 0) om de oorsprong over twee tegengestelde rotatiehoeken twee beeldpunten P en P' geeft die symmetrisch liggen ten opzichte van de x-as, zodat de x-coördinaten van P en P' hetzelfde zijn terwijl de y-coördinaten van P en P' elkaars tegengestelde zijn. En dus hebben we voor elke rotatiehoek α

cos(−α) = cos α
sin(−α) = −sin α

Voor de volledigheid herinner ik je er ook nog even aan dat het roteren van het startpunt (1; 0) om de oorsprong over twee rotatiehoeken die elkaars supplement zijn twee beeldpunten P en P' oplevert die symmetrisch liggen ten opzichte van de y-as, zodat de x-coördinaten van P en P' dan elkaars tegengestelde zijn terwijl de y-coördinaten van P en P' gelijk zijn. Dus hebben we voor elke rotatiehoek α

cos(π − α) = −cos α
sin(π − α) = sin α

Welnu, met deze identiteiten hebben we dan

cos(2x + π/3) = sin(π/2 − 2x − π/3) = sin(π/2 − π/3 − 2x) = sin(π/6 − 2x)

Maar nu kun je ook bedenken dat

sin(π/6 − 2x) = sin(π − 5π/6 − 2x) = sin(π − (2x + 5π/6)) = sin(2x + 5π/6)

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 17:26 schreef DefinitionX het volgende:

Ik zou a zo oplossen:

sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)

Dit mag je om te beginnen niet zo opschrijven. Gebruik geen decimale breuken, 0.33 is niet hetzelfde als 1/3. Ook ben ik tegen het gebruik van de punt als decimaal scheidingsteken, maar dat is weer een andere kwestie. Verder maak je rekenfouten met breuken en vergeet je een deel van de oplossingen, omdat je niet bedenkt dat twee cosinussen niet alleen gelijk zijn als de rotatiehoeken gelijk zijn (op een geheel veelvoud van 2π na) maar ook als de rotatiehoeken tegengesteld zijn (op een geheel veelvoud van 2π na).

Begin met de vergelijking correct op te schrijven:

sin(2x − π/4) = −cos(x + π/3)

Nu is het gewoon een kwestie van het toepassen van de identiteiten die ik hierboven heb besproken.

cos(π/2 − 2x + π/4) = cos(π − x − π/3)
cos(3π/4 − 2x) = cos(2π/3 − x)
3π/4 − 2x = 2π/3 − x + 2kπ ∨ 3π/4 − 2x = −2π/3 + x + 2kπ, k ∈ Z

Dit mag je zelf even verder uitwerken.

http://i43.tinypic.com/55sfo6.jpg

Dank u wel voor de uitleg!

Ik moet zeggen dat ik dit blijf lastig vinden i.v.m. het kiezen van de juiste vorm van overzetten en het aantal antwoorden.

Dat je bijvoorbeeld in de ene situatie kiest om π/2 als basis voor het aftrekken te gebruiken of juist gewoon π. Ik moet wennen aan de logica (want je kiest niet zomaar getallen), want als ik het gewoon test, dus waardes invul, kom ik gewoon netjes uit voor de identiteits regels. Bijvoorbeeld in "wiskundige basisvaardigheden" 3e druk, pagina 125 is er een net overzicht daarvan.

Ik ben niet ontzettend ver gekomen met dit onderdeel, al heb ik er wel wat uren in gestopt vandaag, maar wat ik nu wel met gemak kan oplossen zijn vragen zoals vraag 2 van het 2013 juli examen en vraag 3 van het 2013 augustus examen.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

Vandaag is meer logica naar binnen gekomen dan opgaves.

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 22:20 schreef DefinitionX het volgende:
http://i43.tinypic.com/55sfo6.jpg

Dank u wel voor de uitleg!

Ik moet zeggen dat ik dit blijf lastig vinden i.v.m. het kiezen van de juiste vorm van overzetten en het aantal antwoorden.

Dat je bijvoorbeeld in de ene situatie kiest om π/2 als basis voor het aftrekken te gebruiken of juist gewoon π. Ik moet wennen aan de logica (want je kiest niet zomaar getallen), want als ik het gewoon test, dus waardes invul, kom ik gewoon netjes uit voor de identiteits regels. Bijvoorbeeld in "wiskundige basisvaardigheden" 3e druk, pagina 125 is er een net overzicht daarvan.

Het is in ieder geval belangrijk om altijd in het achterhoofd te houden dat cosinus eigenlijk sinus van het complement betekent, en dus

cos α = sin(½π − α)

en daarmee ook

sin α = cos(½π − α)

Immers, ½π − α is het complement van α, maar omgekeerd is α ook het complement van ½π − α. Met deze betrekkingen kun je een cosinus altijd omzetten in een sinus, maar kun je ook omgekeerd een sinus altijd omzetten in een cosinus.

Als je een goniometrische vergelijking hebt met links uitsluitend een sinus en rechts uitsluitend een cosinus (of omgekeerd), dan kun je dus altijd zorgen dat er óf in beide leden een cosinus komt óf in beide leden een sinus.

Twee cosinussen zijn gelijk als de (rotatie)hoeken óf gelijk zijn óf tegengesteld, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus

cos α = cos β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = −β + k·2π, k ∈ Z

Twee sinussen daarentegen zijn gelijk als de (rotatie)hoeken óf gelijk zijn óf supplementair, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus

sin α = sin β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = π − β + k·2π, k ∈ Z

quote:

Ik ben niet ontzettend ver gekomen met dit onderdeel, al heb ik er wel wat uren in gestopt vandaag, maar wat ik nu wel met gemak kan oplossen zijn vragen zoals vraag 2 van het 2013 juli examen en vraag 3 van het 2013 augustus examen.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

Vandaag is meer logica naar binnen gekomen dan opgaves.

Een beetje inzicht verwerven is waardevoller dan het maken van enkele opgaven waarvan je de achterliggende theorie maar half begrijpt.

Kan af en toe toch iets beter, dat KhanAcademy

quote:

Op zaterdag 16 november 2013 11:09 schreef Amoeba het volgende:

Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.

Bij het werken met (limieten van) rijen komt de ongelijkheid van Bernoulli vaak van pas (vernoemd naar Jakob Bernoulli, de broer van Johann). Deze ongelijkheid zegt dat je hebt

(1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh, h ≥ −1, n ≥ 0

Er is ook een strikte versie van de ongelijkheid die zegt dat je hebt

(1 + h)ⁿ > 1 + nh, h ≥ −1, h ≠ 0, n > 1

De juistheid van deze ongelijkheden is triviaal voor h > 0 op grond van het binomium, maar ze hebben dus een ruimere geldigheid. Meestal neemt men voor n een natuurlijk getal, en dan kun je eenvoudig een bewijs met inductie geven. De ongelijkheid is ook uit te breiden naar reële exponenten r, dan heb je

(1 + h)^r ≥ 1 + rh, h > −1, r ≤ 0 ∨ r ≥ 1
(1 + h)^r ≤ 1 + rh, h > −1, 0 ≤ r ≤ 1

En de strikte vorm hiervan is

(1 + h)^r > 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, r < 0 ∨ r > 1
(1 + h)^r < 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, 0 < r < 1

Voor een (niet triviaal) gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli moet je mijn post met het bewijs voor de convergentie van de Newton-Raphson iteratie voor derdemachtswortels nog maar eens bestuderen.

Een heel bekende (en wel triviale) toepassing van de ongelijkheid van Bernoulli is het bewijs dat je voor α > 1 en n positief geheel hebt

lim_n→∞ 1/αⁿ = 0

Immers, zij α = 1 + h, dan is h > 0 en hebben we

0 < 1/αⁿ = 1/(1+h)ⁿ ≤ 1/(1 + nh) < 1/nh

zodat het gestelde direct volgt met behulp van de insluitstelling.

Maar nu moesten we bewijzen dat voor α > 1 en n positief geheel geldt

lim_n→∞ n/αⁿ = 0

en dan komen we met de ongelijkheid van Bernoulli niet verder dan 0 < n/αⁿ < 1/h, en dat is niet bruikbaar voor het bewijs. Maar we kunnen een uitdrukking voor de bovengrens krijgen waarbij wel een factor met n in de noemer zit als we bedenken dat (1 + h)ⁿ voor n > 1 als derde term (n(n−1)/2)·h² heeft, zodat we voor h > 0, n > 1 hebben

(1 + h)ⁿ > (n(n−1)/2)·h²

en daarmee

0 < n/αⁿ < 2/((n−1)·h²)

waaruit het gestelde weer volgt met behulp van de insluitstelling.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-11-2013 03:26:01 ]

Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:



Ik 'zie' het gewoon niet.

Edit:

Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.

quote:

Op zondag 17 november 2013 18:28 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]

Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:

[ afbeelding ]

Ik 'zie' het gewoon niet.

Edit:

Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.

Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.

quote:

Op zondag 17 november 2013 18:30 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.

Nu je het zegt, inderdaad!

Trouwens, ik heb 1 antwoord kunnen vinden, namelijk sin(x)=-1 oftewel x= 3pi/2 + k2pi

En opgelost voor

sin(x)=-1 v sin(x)= - (1/2)

oftewel

x = 3pi/2 + k2pi v x = 7pi/6 + k2pi

En omdat 7pi/6 hetzelfde is als 11pi/6 is het uiteindelijke antwoord:

x = 3pi/2 + k2pi v x = 7pi/6 + k2pi v x=11pi/6 + k2pi

Enorm bedankt!

[ Bericht 8% gewijzigd door DefinitionX op 17-11-2013 18:38:21 ]

quote:

Op zondag 17 november 2013 18:28 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]

Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:

[ afbeelding ]

Ik 'zie' het gewoon niet.

Edit:

Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.

Deze vergelijking is eigenlijk een vierkantsvergelijking in sin(x). Wat je hier kunt doen is eerst een substitutie uitvoeren. Stellen we

sin(x) = z

dan krijgen we

2z² + 3z + 1 = 0

Deze vierkantsvergelijking is op te lossen middels ontbinden in factoren, als volgt. We zoeken eerst twee getallen waarvan de som 3 is en het product 2·1 = 2. Deze getallen zijn uiteraard 2 en 1. Nu herschrijven we 3z eerst als 2z + z, zodat we krijgen

2z² + 2z + z + 1 = 0

Nu kunnen we bij de eerste twee termen een factor 2z buiten haakjes halen, dan hebben we

2z(z + 1) + (z + 1) = 0

Nu weer de gemene factor (z + 1) buiten haakjes halen en we hebben

(z + 1)(2z + 1) = 0

en dus

z + 1 = 0 ∨ 2z + 1 = 0

z = −1 ∨ z = −½

Maar nu weten we dat z staat voor sin(x), en dus hebben we

sin(x) = −1 ∨ sin(x) = −½

Nu kun je de vergelijking zelf wel verder oplossen.