SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
quote:Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Hoi, ik heb weer een (waarschijnlijk niet al te snuggere) vraag.
Ik snap precies wat ze hier doen bij het oplossen van deze opgave, ik had echter een andere manier in mijn gedachte.
Ik zou beide grondtallen met 3 vermenigvuldigen zodat je vervolgens 3 (links) en 27 (rechts) als grondtal krijgt. Vervolgens wordt de uitdrukking rechts 3^((3)(14x-11)) en links gewoon 3^(x^(2)+27x-64).
Je komt wanneer je dit doet echter niet goed uit. Waar ga ik de fout in?
Alvast bedankt
Ik snap precies wat ze hier doen bij het oplossen van deze opgave, ik had echter een andere manier in mijn gedachte.
Ik zou beide grondtallen met 3 vermenigvuldigen zodat je vervolgens 3 (links) en 27 (rechts) als grondtal krijgt. Vervolgens wordt de uitdrukking rechts 3^((3)(14x-11)) en links gewoon 3^(x^(2)+27x-64).
Je komt wanneer je dit doet echter niet goed uit. Waar ga ik de fout in?
Alvast bedankt
Als je beide zijden met 3 vermenigvuldigt wordt links niet 3^(x^2 + 27x -64) maar gewoon 3^(x^2 + 27x -63).
Rechts vermenigvuldig je dan met 9^(1/2) = 3. 27 ervan maken kan idd niet.
Rechts vermenigvuldig je dan met 9^(1/2) = 3. 27 ervan maken kan idd niet.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Omdat je beide grondgetallen niet met 3 kan/moet vermenigvuldigen op die manier. Je kunt niet stellen dat 3 * 3^a = 27^a.
Denk ik dan.
@Riparius
Dank u, ik ga ernaar kijken en kom zo hopelijk met wat zinnigs.
Denk ik dan.
@Riparius
Dank u, ik ga ernaar kijken en kom zo hopelijk met wat zinnigs.
Kut, ik ben wel een partij heel scheel dat ik dat even niet zag. 
En ik had gewoon al dat ET = sin(a)+cos(a)
Waarom.
En ik had gewoon al dat ET = sin(a)+cos(a)
Waarom.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Misschien omdat je een mens bent en dat je van fouten, ja werkelijk, leert. Ik heb tig fouten gemaakt met een schumann stuk op de piano, maar ik speel het nu wel redelijk.quote:Op dinsdag 22 oktober 2013 20:44 schreef Amoeba het volgende:
Kut, ik ben wel een partij heel scheel dat ik dat even niet zag.
En ik had gewoon al dat ET = sin(a)+cos(a)
Waarom.
Edit:
Besides, ik denk niet dat alle wiskunde studenten van de TU Delft een examen wiskunde b op vwo niveau met een 10 kunnen afsluiten, zelfs met voorbereiding.
TU Eindhoven. Ik mag het mezelf kwalijk nemen dat ik zoiets eenvoudigs niet direct zag.quote:Op dinsdag 22 oktober 2013 20:49 schreef DefinitionX het volgende:
[..]
Misschien omdat je een mens bent en dat je van fouten, ja werkelijk, leert. Ik heb tig fouten gemaakt met een schumann stuk op de piano, maar ik speel het nu wel redelijk.
Edit:
Besides, ik denk niet dat alle wiskunde studenten van de TU Delft een examen wiskunde b op vwo niveau met een 10 kunnen afsluiten, zelfs met voorbereiding.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Rechts staat er dan 31*328x-22quote:
Hoi, ik heb weer een (waarschijnlijk niet al te snuggere) vraag.[ afbeelding ]
Ik snap precies wat ze hier doen bij het oplossen van deze opgave, ik had echter een andere manier in mijn gedachte.
Ik zou beide grondtallen met 3 vermenigvuldigen zodat je vervolgens 3 (links) en 27 (rechts) als grondtal krijgt. Vervolgens wordt de uitdrukking rechts 3^((3)(14x-11)) en links gewoon 3^(x^(2)+27x-64).
Je komt wanneer je dit doet echter niet goed uit. Waar ga ik de fout in?
Alvast bedankt
Hoi fokkers,
Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?
Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link
) : ik kan er helaas geen stappenplan uit opmaken...
http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)
Waarom 4y*y' ? En waarom na 6y + 6xy' ?. Ik snap niet waarom ze deze stappen nemen...
Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?
Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link
) : ik kan er helaas geen stappenplan uit opmaken...http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)
Waarom 4y*y' ? En waarom na 6y + 6xy' ?. Ik snap niet waarom ze deze stappen nemen...
Omdat de uitdrukking niet geschreven kan worden als y = ...quote:
Hoi fokkers,
Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?
Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link
http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)
Waarom 4y*y' ? En waarom na 6y + 6xy' ?. Ik snap niet waarom ze deze stappen nemen...
Normaliter zou je toch ook gewoon bijvoorbeeld hebben y = 2x en y' = 2? Nou, nu probeer je op een ietwat andere manier een uitdrukking te vinden voor y'.
4yy' volgt gewoon uit de kettingregel, 6y + 6xy' uit de productregel
Waarschijnlijk begrijp je gezien je eerdere posts hier nog niets van differentiëren, en dan is impliciet differentiëren nog wat te hoog gegrepen. Maar afgezien daarvan zou het wel helpen als je boek of dictaat geen stomme fouten zou maken. De herleiding van y' in je plaatje is fout.quote:
Hoi fokkers,
Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?
Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link
http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)
De raaklijn aan je curve in het punt (1;3) loopt namelijk verticaal (evenwijdig aan de y-as), zodat y' in dit punt onbepaald is, kijk maar.
Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:
sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5
Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?
sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5
Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?
Voor cosinus:quote:
Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:
sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5
Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?
cos 0° = ½√4 = 1
cos 30° = ½√3
cos 45° = ½√2
cos 60° = ½√1 = 0,5
cos 90° = ½√0 = 0
Voor sinus gaat het net andersom:
sin 0° = ½√0 = 0
sin 30° = ½√1 = 0,5
sin 45° = ½√2
sin 60° = ½√3
sin 90° = ½√4 = 1
Zie je het patroon?
Eerst even een hardnekkig misverstand uit de weg ruimen: nooit stampen bij wiskunde. Sterker nog, nooit denken dat je iets moet gaan stampen. Zelfs de gedachte hieraan is al een indicatie dat je fout bezig bent.quote:
Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:
sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5
Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?
Om in te zien hoe het zit met de sinus en de cosinus van 30° en 60° teken je het best even een gelijkzijdige driehoek, en laat je vanuit één hoekpunt een loodlijn neer op de tegenoverliggende zijde:
Nemen we aan dat de zijden van de gelijkzijdige driehoek een lengte 2 hebben, dan heeft de helft van een zijde de lengte 1, en via de stelling van Pythagoras vind je dan direct dat de hoogtelijnen in deze gelijkzijdige driehoek de lengte √3 hebben.
Nu weet je ook dat in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde, en dat de cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde. Uit de figuur kun je nu dus direct aflezen dat je hebt
sin 30° = 1 / 2, cos 30° = √3 / 2
en ook
sin 60° = √3 / 2, cos 60° = 1 / 2
Een eenvoudig ezelsbruggetje om de goniometrische verhoudingen voor de 'standaardhoeken' te onthouden gaat als volgt. Schrijf eerst de 'standaardhoeken' op
0°, 30°, 45°, 60°, 90°
De sinussen van deze hoeken zijn nu
½√0, ½√1, ½√2, ½√3, ½√4
En de cosinussen van deze hoeken krijg je door hetzelfde rijtje van rechts naar links op te schrijven, dus
½√4, ½√3, ½√2, ½√1, ½√0
Lylolyc, bedankt!
Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevorm wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in toaal 1 zou zijn.
U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.
Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?
Ik denk echter dat dat niet efficient zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.
Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin30 weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.
Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn (sin60=0.5) dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60 zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.
Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de grieken/o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.
De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Alrac4, Aardappeltaart en Riparius (mijn OCD forceert mij om zo'n bedank gedeelte te ordenen van vroegste datum naar laatste datum, heb ik vaak ook met andere dingen in het leven).
Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevorm wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in toaal 1 zou zijn.
U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.
Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?
Ik denk echter dat dat niet efficient zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.
Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin30 weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.
Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn (sin60=0.5) dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60 zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.
Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de grieken/o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.
De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Alrac4, Aardappeltaart en Riparius (mijn OCD forceert mij om zo'n bedank gedeelte te ordenen van vroegste datum naar laatste datum, heb ik vaak ook met andere dingen in het leven).
Het scheelt een minteken in de noemer.quote:
[..]
Waarschijnlijk begrijp je gezien je eerdere posts hier nog niets van differentiëren, en dan is impliciet differentiëren nog wat te hoog gegrepen. Maar afgezien daarvan zou het wel helpen als je boek of dictaat geen stomme fouten zou maken. De herleiding van y' in je plaatje is fout.
De raaklijn aan je curve in het punt (1;3) loopt namelijk verticaal (evenwijdig aan de y-as), zodat y' in dit punt onbepaald is, kijk maar.
y' = (3y²-6y)/(4y - 6xy + 6x)
Substitueren we nu het punt (1; 3), dan zien we dat de noemer 0 wordt, en de teller 9. Nu gaat y' dus naar ∞, en dat correspondeert met een verticale asympoot.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik kan hier weinig chocola van maken.quote:
Lylolyc, bedankt!
Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevorm wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in toaal 1 zou zijn.
U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.
Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?
Ik denk echter dat dat niet efficient zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.
Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin30 weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.
Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn (sin60=0.5) dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60 zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.
Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de grieken/o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.
De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Alrac4, Aardappeltaart en Riparius (mijn OCD forceert mij om zo'n bedank gedeelte te ordenen van vroegste datum naar laatste datum, heb ik vaak ook met andere dingen in het leven).
Een gelijkzijdige driehoek heeft 3 gelijke hoeken van ieder π/3 radialen. Teken nu de middelloodlijn (tevens bissectrice), dan verdeel je de driehoek in 2 rechthoekige driehoeken waarvan je 2 zijden weet omdat je een lengte aanneemt voor de hypotenusa. Met de stelling van Pythagoras en de bekende verhoudingen voor sinus en cosinus vind je dan vrij eenvoudig de gezochte waarden.
Merk op dat je rechthoekige driehoeken zo altijd 30-60-90 driehoeken zijn, ongeacht de grootte van de gelijkzijdige driehoek.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het is beter om bij goniometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek niet te denken in termen van een straal. Historisch is het zo dat men goniometrische verhoudingen eerst heeft bestudeerd aan de hand van rechthoekige driehoeken. Aangezien de lengtes van de zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen deze verhoudingen uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek.quote:
Lylolyc, bedankt!
Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevormd wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in totaal 1 zou zijn.
De eenheidscirkel maakt het mogelijk om het begrip sinus en cosinus uit te breiden naar willekeurige hoeken (eigenlijk: rotaties), zowel positief (tegen de wijzers van de klok in) als negatief (met de wijzers van de klok mee).
Heel eenvoudig: heb je in de eenheidscirkel een driehoek getekend waarvan de hypotenusa (schuine zijde) gelijk is aan een straal van de cirkel, en dus een lengte één heeft, en heeft de basis b van je rechthoekige driehoek een lengte 1/2, en stellen we de hoogte van de rechthoekige driehoek gelijk aan h, dan geldt volgens Pythagorasquote:U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.
Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?
(1/2)2 + h2 = 12
en dus
h2 = 12 − (1/2)2 = 1 − 1/4 = 3/4
en dus
h = √(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2 = ½√3
Daar vergis je je dan in. De oude Grieken konden dit duizenden jaren geleden al uitrekenen zonder instrumenten, en jij kunt dat ook.quote:Ik denk echter dat dat niet efficiënt zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.
Het lijkt me de bedoeling dat je hier de sinusregel gebruikt in ΔBCD, dan vind je namelijk direct dat BC = 2√3 / √2 en dus r = √3/√2 en daarmee voor de oppervlakte van de cirkel (3/2)·π.quote:Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin 30° weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.
Heel eenvoudig: je maakt even uit de losse pols een schetsje van een gelijkzijdige driehoek met een hoogtelijn, en dan vind je zoals ik hierboven uitleg gemakkelijk dat sin 60° = ½√3.quote:Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60° zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.
Dat hoop ik dan maar. Ik heb namelijk het idee dat je niet zag dat je voor deze opgave het beste de sinusregel kon gebruiken.quote:Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de Grieken o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.
Heb je de vervolgopgaven ook geprobeerd? De opgave die je uitgelegd wilde hebben heeft op zich bitter weinig met goniometrie te maken: je hoefde alleen de definities van de sinus en de cosinus als verhoudingen tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek te kennen, en verder was het eigenlijk vlakke meetkunde, geen goniometrie.quote:De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Riparius.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-10-2013 23:22:32 ]
Nee, geen asymptoot. De kromme in kwestie heeft wel degelijk een (verticale) raaklijn in het punt (1;3).quote:Op woensdag 23 oktober 2013 16:53 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Het scheelt een minteken in de noemer.
y' = (3y²-6y)/(4y - 6xy + 6x)
Substitueren we nu het punt (1; 3), dan zien we dat de noemer 0 wordt, en de teller 9. Nu gaat y' dus naar ∞, en dat correspondeert met een verticale asympoot.
Dankje Amoeba en dank u Riparius! Wow, echt, wow! Dat is zo mooi om in te zien. Die uitleg over het gebruik van pythagoras bij het berekenen van h, merci!
Overigens, hier de berekeningen van de eerste vraag van de 2010 augustus examen van Belgie:
Overigens heb ik ook vraag 11 gemaakt en dat was eigenlijk best simpel.
Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.
Overigens, hier de berekeningen van de eerste vraag van de 2010 augustus examen van Belgie:
Overigens heb ik van het wiskunde b examen 2013, eerste zitting, vragen 9 en 10 ook gemaakt. Ik moet zeggen, ik snapte wel wat ze wilden, maar ik wist niet welke methode ik kon gebruiken om de bewijzen te leveren. Toen heb ik de uitwerkingen ervan gezien op youtube (gemaakt door studenten wiskunde van de VU) en snapte ik hoe ze daarbij kwamen.quote:Hoek D = 180-60=120 graden
Sinus(D)/BC = Sinus(C)/2
BC=(Sinus(D)*2)/Sinus(C)
Sinus(D)= 1/2 wortel 3
Sinus(C)= 1/2 wortel 2
Bc=2wortel3/wortel2
Straal = BC/2 = wortel3/wortel2
Oppervlakte cirkel = straal in het kwadraat * pi
Straal in het kwadraat = 3/2
Oppervlakte = 3/2 pi
Het juiste antwoord is C.
Overigens heb ik ook vraag 11 gemaakt en dat was eigenlijk best simpel.
Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.
Je vraagt dus naar tips om bewijsvragen (vlakke meetkunde) op te lossen. Hier wat dingen die in me opkomen, die ik zelf ook handig vind om te doen bij dergelijke vragen:quote:
Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.
D'r zijn een aantal stellingen van de vlakke meetkunde waarnaar je mag verwijzen, die staan op pagina 1 van je examen. Zorg dat je weet wat deze allemaal inhouden. Probeer het onderlinge verband te zien, associeer dingen met elkaar. Als je bijvoorbeeld een rechte omtrekshoek hebt, is het handig dat er een Pavlov-reactie komt dat je aan Thales denkt. De gegeven stellingen mag je zonder meer gebruiken, dingen die er niet bijstaan mag je niet gebruiken (of moet je zelf bewijzen, eerst).
Als je zo'n bewijsvraag gaat maken is het handig goed naar het plaatje te kijken en het plaatje compleet te maken. Geef bijvoorbeeld in je plaatje aan dat er twee gelijke zijdes staat als gegeven is dat de driehoek gelijkzijdig is.
Bedenk dan even wat je allemaal uit de gegevens, met die stellingen die je mag gebruiken, nog meer kan bewijzen. Probeer hiermee zover mogelijk naar het te bewijzen toe te werken. Je kan ook, als je vast loopt, van achter naar voren gaan werken. Je moet iets bewijzen, maar wanneer geldt dat? En dan kan je daar vanuit terugwerken.
Het lijkt me ook handig dat je, voordat je het daadwerkelijke bewijs netjes uit gaat werken, in je hoofd hebt zitten wat je wilt gaan doen (eventueel kort genoteerd voor jezelf). Voorkom dus dat je een half bewijs hebt opgeschreven en erachter komt dat je een verkeerd zijspoor genomen hebt en je via deze weg helemaal niet bij het te bewijzen uit kan komen.
En oja, en zoals bij alles bij wiskunde: oefenen.
Dat is in orde zo. Merk nog op dat supplementaire hoeken dezelfde sinus hebben, zodat sin 120° = sin(180° − 120°) = sin 60° = ½√3.quote:
Dankje Amoeba en dank u Riparius! Wow, echt, wow! Dat is zo mooi om in te zien. Die uitleg over het gebruik van pythagoras bij het berekenen van h, merci!
Overigens, hier de berekeningen van de eerste vraag van de 2010 augustus examen van Belgie:
[..]
Vlakke meetkunde. Bij vraag 9 maak je gebruik van de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op dezelfde cirkelboog, waaruit volgt dat omtrekshoeken op dezelfde cirkelboog gelijk zijn. Dan zie je gemakkelijk dat twee van de drie hoeken van driehoek BCD gelijk zijn aan 60°, zodat de derde hoek eveneens 60° moet zijn en driehoek BCD dus inderdaad gelijkzijdig is. Bij vraag 10 maak je gebruik van congruentiekenmerken van driehoeken. Hier is CE = CA en BC = DC en verder is ABDC een koordenvierhoek, waaruit volgt dat ∠EBC = ∠ADC. Ook is ∠BCE = ∠DCA en ∠CEB = ∠CAD = 60°. Je kunt dan gebruik maken van congruentiekenmerk ZHZ of HZH of ZHH.quote:Overigens heb ik van het wiskunde b examen 2013, eerste zitting, vragen 9 en 10 ook gemaakt. Ik moet zeggen, ik snapte wel wat ze wilden, maar ik wist niet welke methode ik kon gebruiken om de bewijzen te leveren. Toen heb ik de uitwerkingen ervan gezien op youtube (gemaakt door studenten wiskunde van de VU) en snapte ik hoe ze daarbij kwamen.
Vlakke meetkunde is geen trucendoos, je moet gewoon je stellingen kennen en strict deductief redeneren.quote:Overigens heb ik ook vraag 11 gemaakt en dat was eigenlijk best simpel.
Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-10-2013 23:11:25 ]
Ja natuurlijk, ik zie mijn vergissing in.quote:
[..]
Nee, geen asymptoot. De kromme in kwestie heeft wel degelijk een (verticale) raaklijn in het punt (1;3).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Derde Eureka, over de ideale partner.
Weer een interessante. Misschien wat simpel voor velen in dit topic, maar erg boeiend gebracht.
Onder andere: het secateresseprobleem (37 proberen, eerstvolgende betere nemen voor groep van 100. 12 proberen en weer eerstvolgende nemen voor partner bij beste 10%); nonsense over de Gulden Snede (verhouding is in ieder gezicht wel ergens te vinden); benadrukken van je 'lelijkere' kan (gemiddelde kan bestaan uit 1 en 5 en uit twee drieën).
Meer die 't gezien hebben hier? Ik tip 'm hierbij. Volgende week over hoe je een miljoen wint!
Weer een interessante. Misschien wat simpel voor velen in dit topic, maar erg boeiend gebracht.
Onder andere: het secateresseprobleem (37 proberen, eerstvolgende betere nemen voor groep van 100. 12 proberen en weer eerstvolgende nemen voor partner bij beste 10%); nonsense over de Gulden Snede (verhouding is in ieder gezicht wel ergens te vinden); benadrukken van je 'lelijkere' kan (gemiddelde kan bestaan uit 1 en 5 en uit twee drieën).
Meer die 't gezien hebben hier? Ik tip 'm hierbij. Volgende week over hoe je een miljoen wint!
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2011b, vraag 8 versie 2
A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5
Ik had dus antwoord A.
Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?
Examen 2011b, vraag 8 versie 2
A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5
Ik had dus antwoord A.
Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?
er staat c sin(ax +b), niet c sin(a(x+b)).
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Het is duidelijk dat c = 3/2, immers is het maximum van deze sinusfunctie y = 3/2, en de evenwichtstand ligt op y = 0.quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2011b, vraag 8 versie 2
A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5
Ik had dus antwoord A.
Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?
Maar de sinus is NIET verschoven. Dit betekent dat b = 0. Immers, x = 0 geeft y =0, en dus 3/2sin0 = 0, en dus (ax+b) = 0 voor x = 0.
En a = 2. sin(ax) = 1 voor ax = 1/2pi, en dus is a 2.
A is dus het juiste antwoord.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
/
[ Bericht 26% gewijzigd door Amoeba op 26-10-2013 15:31:07 ]
[ Bericht 26% gewijzigd door Amoeba op 26-10-2013 15:31:07 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2011b, vraag 8 versie 2
A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5
Ik had dus antwoord A.
Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?
Welnu, we zien dat de functie voor x = ¾π de waarde 3/2 aanneemt, zodat
sin(2·¾π + b) = 1
en dus
(3/2)·π + b = (1/2)·π + 2kπ, k ∈ Z
en dus
b = −π + 2kπ, k ∈ Z
Er is geen geheel getal k dat de waarde b = −½π op kan leveren, maar voor k = 0 hebben we wel b = −π. Ergo, <D> is het enige juiste antwoord.
Ik ging ook uit van deze redenatie voor vraag 8 versie 2.quote:
Voor versie 2 geldt:"
c = 3/2 (zelfde redenatie als hierboven)
b = -π/2, want de sinus is π/2 naar rechts verschoven.
En volgens eenzelfde redenatie als hierboven geldt a = 2
En dit inderdaad in het geval:
Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.quote:
[..]
Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.
Welnu, we zien dat de functie voor x = ¾π de waarde 3/2 aanneemt, zodat
sin(2·¾π + b) = 1
Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.quote:en dus
(3/2)·π + b = (1/2)·π + 2kπ, k ∈ Z
quote:en dus
b = −π + 2kπ, k ∈ Z
Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.quote:Er is geen geheel getal k dat de waarde b = −½π op kan leveren, maar voor k = 0 hebben we wel b = −π. Ergo, <D> is het enige juiste antwoord.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
2011 a vraag 3.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf
Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.
Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.
2011 a vraag 3.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf
Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.
Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.
Toch wel. Je hebt namelijkquote:
Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.
[..]
(3/2)·sin(2·¾π + b) = 3/2
en beide leden delen door 3/2 geeft dan
sin(2·¾π + b) = 1
De sinusfunctie neemt alleen waarden aan op het interval [−1, 1]. Maar nu hebben we bij de gegeven functie f(¾π) = 3/2, en omdat we al weten dat c = 3/2 en a = 2 moet dus sin(2·¾π + b) = 1 zijn.
Dat zou je toch moeten begrijpen. De sinus is een periodieke functie met een periode 2π, zodat niet alleen sin(½π) = 1, maar in het algemeen sin(½π + 2kπ) = 1 voor élk geheel getal k.quote:Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.
Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.quote:Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.
Hier wordt gebruik gemaakt van het rational root theorem, waar ik je trouwens al eerder op heb gewezen, maar dat ben je blijkbaar al weer vergeten.quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
2011 a vraag 3.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf
Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.
Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.
Volgens deze stelling moeten eventuele rationale nulpunten van deze veelterm tevens geheel zijn, aangezien de coëfficiënt van de hoogste macht x4 van de veelterm gelijk is aan 1. Bovendien moeten deze gehele nulpunten dan, afgezien van het teken, delers zijn van de constante term 6. Maar als je nu even goed kijkt, dan zie je ook dat deze veelterm geen negatieve (reële) nulpunten kan hebben, aangezien x4 − 3x3 + x2 − 5x + 6 > 0 voor x < 0. Dus houden we alleen 1, 2, 3 en 6 over als mogelijke kandidaten voor gehele nulpunten van deze veelterm. Door uitproberen vind je dan gemakkelijk dat x = 1 en x = 3 voldoen, zodat x4 − 3x3 + x2 − 5x + 6 dus een factor (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3 bevat.
Goed, nu gaan we deze factor x2 − 4x + 3 buiten haakjes halen:
x4 − 3x3 + x2 − 5x + 6
x2(x2 − 4x + 3) + x3 − 2x2 − 5x + 6
x2(x2 − 4x + 3) + x(x2 − 4x + 3) + 2x2 − 8x + 6
x2(x2 − 4x + 3) + x(x2 − 4x + 3) + 2(x2 − 4x + 3)
(x2 − 4x + 3)(x2 + x + 2)
Welnu, de discriminant van de kwadratische veelterm x2 + x + 2 is negatief, en dus heeft deze vierdegraads veelterm geen andere reële nulpunten dan x = 1 en x = 3. Het aantal reële nulpunten van de vierdegraads veelterm is dus 2.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 13:29:02 ]
Dat gaat vooral fout omdat het niet consequent in 1 keer in zn geheel goed aangeleerd wordt, maar zo halfbakken. Neem bijv. de sinusfuncties: Het algemene geval wordt beschreven door f(x)=a+b*sin(c(x+d)). Hierin is:quote:
Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.
a = de verschuiving langs de y-as.
d = de verschuiving langs de x-as. LET OP!!: De eigenlijke verschuiving is het tegengestelde van de waarde d, oftewel, exact de andere kant van de x-as op.
b = de expansiefactor in de y-richting a.k.a. de verticale richting.
c = de, let op nu, compressiefactor in de x-richting a.k.a. de horizontale richting. Net als de parameter d in dezen is het effect op de grafiek exact het tegenovergestelde van de waarde b (compressie ipv van expansie met factor c).
Ja die dubbele haken zijn belangrijk!! Vergelijk de translatie van sin(x+½π) tov sin(x) vergeleken met sin(2x+½π) tov sin(2x). De eerste twee zijn verschoven van elkaar met translatie T:(-½π,0,0), de laatste twee met translatie T:(-¼π,0,0). Dit omdat het argument (2x+½π) te schrijven valt als (2(x+¼π)). Een andere manier van redeneren is; wanneer is sin(x+½π) = 0 en wanneer is sin(2x+½π) = 0 ? Het antwoord voor beide is: wanneer het argument 0 is. Dit levert op:
sin(x+½π) = 0
x+½π = 0
x = -½π
vergelijk: sin(2x+½π) = 0
2x+½π = 0
2x = -½π
x = -¼π.
want, sin(2x+½π) ≡ sin(2(x+¼π))
De andere elementaire functieklassen zijn op dezelfde als in paraaf 2 van mn reply beschreven wijze te manipuleren. Vervang hiertoe de sinus in f(x)=a+b*sin(c(x+d)) voor een andere functietype (2de, 3de enz, graads machtsfunctie, (n-de machts) wortelfunctie, cyclometrisch, log, exp...)
[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 25-10-2013 16:50:58 ]
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.quote:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem
Naar mijn mening mag er best 9 miljoen dollar extra bij per het oplossen van een van die vraagstukken. Ruimtereis/interstellaire reis/vliegende auto's the jetson's style, zijn allen mogelijk door beta mensen. Dan heb ik het met name over mensen die geboren zijn met de liefde voor beta en dit verwezenlijken door er dagelijks mee bezig te zijn.
Ik bedoel, kijk naar Einstein. Niemand zal hem ooit vergeten.
Korte reactie om je (?) te beantwoorden, de Nobelprijs voor de wiskunde bestaat niet.quote:
[..]
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.
Ik heb een keer een documentaire gezien over de laatste stelling van Fermat, wat een denkstappen zitten achter dergelijke stellingen zeg... Hij deed zo'n 7 jaar over het bewijs.
EDIT: Zeer kort filmpje gevonden over 'nobelprijs voor de wiskunde'. De nobelprijs voor de economie, natuurkunde en zelfs literatuur ging een paar keer naar een wiskundige.
De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd. Een officiële Nobelprijs voor de Wiskunde bestaat namelijk nietquote:
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.
.Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.quote:Naar mijn mening mag er best 9 miljoen dollar extra bij per het oplossen van een van die vraagstukken. Ruimtereis/interstellaire reis/vliegende auto's the jetson's style, zijn allen mogelijk door beta mensen. Dan heb ik het met name over mensen die geboren zijn met de liefde voor beta en dit verwezenlijken door er dagelijks mee bezig te zijn.
Ik bedoel, kijk naar Einstein. Niemand zal hem ooit vergeten.
Dat gezegd hebbende: de RT ontwikkelen is, op zn engels gezegd, "a feat in and of its own already"
.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Diederik_Samsom
Had nooit een beta achter hem gezocht eerlijk gezegd.
Aardappeltaart, interessante video (het feit dat er wiskundige zijn die met een nobelprijs voor de literatuur/fysica weg zijn gekomen verbaast me eigenlijk niet).
VanishedEntity, hmmm, ik weet het niet hoor.
[ Bericht 27% gewijzigd door DefinitionX op 25-10-2013 21:03:46 ]
Had nooit een beta achter hem gezocht eerlijk gezegd.
Aardappeltaart, interessante video (het feit dat er wiskundige zijn die met een nobelprijs voor de literatuur/fysica weg zijn gekomen verbaast me eigenlijk niet).
VanishedEntity, hmmm, ik weet het niet hoor.
[ Bericht 27% gewijzigd door DefinitionX op 25-10-2013 21:03:46 ]
Die problemen zijn echt gruwelijk moeilijk. De Laatste Stelling van Fermat is een peuleschilletje vergeleken met de meeste problemen uit die lijst. Maar goed, het Poincarévermoeden is inmiddels getackeld, dus we kunnen gaan gokken welk probleem het volgende gaat worden. Ik zet zelf in op het Hodgevermoeden.quote:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem
Ze moesten Wiles een eervolle vermelding geven omdat hij te oud was om de prijs te mogen ontvangen.quote:
[..]
De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd.
Jammer dat ze die leeftijdsgrens nog steeds niet willen afschaffen.
Het geheim van een goede kok is dat hij goed de verschillende ingrediënten en combinaties van ingrediënten die al bestaan combineert. Geld hetzelfde niet voor de goede wetenschapper? Hoe kan je creëren zonder te combineren wat er al bestaat? Geld voor al die andere helden zoals onze eigen Lorentz en Maxwell niet eveneens dat zij hun succes weer te danken hebben aan wat anderen al hadden ontwikkeld?quote:Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.
Dat gezegd hebbende: de RT ontwikkelen is, op zn engels gezegd, "a feat in and of its own already" .
Maar goed, misschien is dat ook wel jouw punt, geen enkele wetenschapper moet op een voetstuk worden gezet aangezien de toppers elkaar nodig hebben voor hun succes.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?quote:
[..]
Die problemen zijn echt gruwelijk moeilijk. De Laatste Stelling van Fermat is een peuleschilletje vergeleken met de meeste problemen uit die lijst. Maar goed, het Poincarévermoeden is inmiddels getackeld, dus we kunnen gaan gokken welk probleem het volgende gaat worden. Ik zet zelf in op het Hodgevermoeden.
Het gaat volgens mij vaak inderdaad om bewijzen dat een bepaalde stelling altijd geldt.quote:
[..]
Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?
Dat lijkt me nou weer niet zo interessant, om 4 jaar bezig te zijn met het bewijzen van ''1+1=2''quote:
[..]
Het gaat volgens mij vaak inderdaad om bewijzen dat een bepaalde stelling altijd geldt.
Wel als je een probleem moet oplossen waardoor tijdreizen mogelijk wordt ofzo
Waarom ben je zo geïnteresseerd in die Millennium Prize Problems? Het gaat in ieder geval niet om 'sommetjes'. Lees je anders eens in, alleen het begrijpen van de vraagstellingen is al een hele studie. Het Clay Institute is in ieder geval wel zo verstandig geweest om allerlei regels op te stellen waaraan voorgestelde oplossingen moeten voldoen, zoals publicatie in een internationaal erkend peer reviewed tijdschrift, en acceptatie van de voorgestelde oplossing door de wiskundige gemeenschap twee jaar na publicatie. Het Clay Institute accepteert zelf geen inzendingen van would be oplossers, maar het zou me niets verbazen als ze desondanks overstroomd worden door waardeloze papers van amateurwiskundigen en cranks, net zoals dat gebeurde nadat Paul Wolfskehl bij zijn dood in 1906 een bedrag van 100.000 Goldmark had nagelaten aan de academie van wetenschappen in Göttingen als prijs voor een bewijs van de laatste (grote) stelling van Fermat.quote:
[..]
Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 18:51:44 ]
Hoewel ik hierboven al een uitwerking van dit vraagstuk heb gepost, kom ik hier graag nog even op terug nu ik eens wat meer uitwerkingen heb bekeken van de persoon die ik nu maar even de oplosser van Veurne zal noemen. Heel wat vragen van het Vlaamse toelatingsexamen wiskunde testen op inzicht, hetgeen betekent dat ze zonder noemenswaardig rekenwerk en veelal uit het blote hoofd zijn op te lossen. Maar in de uitwerkingen van de oplosser van Veurne blijkt daar niet veel van, hij of zij doet vaak veel te veel werk. Ik denk dat je je daarom niet te veel vast moet klampen aan deze uitwerkingen.quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
2011 a vraag 3.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf
Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.
Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.
Ook bovenstaande opgave over het aantal reële nulpunten van de veelterm x4 − 3x3 + x2 − 5x + 6 blijkt veel eenvoudiger dan de oplosser van Veurne het doet voorkomen. Noem de nulpunten x1 t/m x4. Nadat je door uitproberen hebt gevonden dat x1 = 1 en x2 = 3 is het eenvoudig om som en product van de twee resterende nulpunten x3 en x4 te bepalen. Immers, de som van alle vier de nulpunten moet 3 zijn, zodat
x3 + x4 = 3 − (1 + 3) = −1
Verder moet het product van alle vier de nulpunten 6 zijn, zodat
x3x4 = 6/(1·3) = 2
Nu is dus
(x3 − x4)2 = (x3 + x4)2 − 4x3x4 = (−1)2 − 4·2 = 1 − 8 = −7
en dat betekent dat x3 en x4 niet reëel zijn (ze zijn toegevoegd complex). Ergo, de veelterm heeft 2 reële nulpunten.
Ander leuk voorbeeld (hier, vraag 3):
We beschouwen de volgende veelterm:
x4 − x3 − 4x2 + 5x − 5
Deze veelterm is deelbaar door x2 − x + 1
Bereken de som van de reële nulpunten van deze veelterm?
De gegeven keuzemogelijkheden zijn
<A> 10
<B> 6
<C> 0
<D> −6
De oplosser van Veurne slaat nu weer driftig aan het rekenen en gaat een polynoomstaartdeling uitvoeren (hier). Maar al dit werk is overbodig: de discriminant van de kwadratische veelterm x2 − x + 1 is negatief en deze veelterm heeft dus geen reële nulpunten, maar wel twee toegevoegd complexe nulpunten waarvan de som gelijk is aan 1. En omdat de som van alle vier de nulpunten van het vierdegraadspolynoom ook gelijk is aan 1, is de som van de reële nulpunten van dit polynoom 1 − 1 = 0. Het antwoord is dus <C>.
Nog een voorbeeld (hier, vraag 3):
Gegeven is de volgende rationale functie: y = (x2 + x + 1)/(x + 2)
Welke uitspraak is verkeerd?
<A> Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot.
<B> Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot.
<C> Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot.
<D> Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot.
De oplosser van Veurne slaat nu weer direct flink aan het rekenen en gaat niet alleen asymptoten maar ook zowel de eerste als de tweede afgeleide bepalen (hier). Maar al dit werk is overbodig: we hebben (x + 2)y = (x2 + x + 1) en dus een tweedegraads kromme. Dat is een (al dan niet ontaarde) kegelsnede, en kegelsneden hebben geen buigpunten. Ergo, uitspraak <B> is onjuist, en aangezien slechts één van de vier uitspraken onjuist is, is <B> het antwoord op de vraag.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 17:38:29 ]
Misschien doet de oplosser het om te laten zien hoe zo'n opgave er in detail uitziet? Geen idee eigenlijk, maar wat je uitlegt bij je laatste voorbeeld zet me wel aan het denken. Al dat rekenen kost veel tijd, wat je niet hebt tijden's zo'n examen.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2009 a/juli, vraag 1.
Ik heb dit opgelost met de cosinusregel. Echter, waarom zou hier een sinusregel niet werken?
Ik weet de waarde van sin30, dat is 1/2. Nu kan ik ook de waarde van hoek c berekenen door overstaande/schuine zijde. Ik weet dan weliswaar niet hoeveel graden, maar wel de delingsquotient ervan. Als ik dat invul in de sinusregel:
hoek c= (2/wortel 3) gedeeld door (2) dat is wortel 3.
sinusA/BC = sinus C/AB
0.5/BC=wortel 3/(wortel3/2)=2
Maar nu ik terugdenk......Deze driehoek is geen rechthoekige driehoek dus hoe ik hoek c bereken klopt niet.
Het antwoord is B:
BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2*AC*AB*cos(30)
Examen 2009 a/juli, vraag 1.
Ik heb dit opgelost met de cosinusregel. Echter, waarom zou hier een sinusregel niet werken?
Ik weet de waarde van sin30, dat is 1/2. Nu kan ik ook de waarde van hoek c berekenen door overstaande/schuine zijde. Ik weet dan weliswaar niet hoeveel graden, maar wel de delingsquotient ervan. Als ik dat invul in de sinusregel:
hoek c= (2/wortel 3) gedeeld door (2) dat is wortel 3.
sinusA/BC = sinus C/AB
0.5/BC=wortel 3/(wortel3/2)=2
Maar nu ik terugdenk......Deze driehoek is geen rechthoekige driehoek dus hoe ik hoek c bereken klopt niet.
Het antwoord is B:
BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2*AC*AB*cos(30)
Om de lengte van een zijde van een driehoek met behulp van de sinusregel te berekenen moet je twee hoeken van de driehoek kennen. Maar hier is slechts de grootte van één hoek gegeven, dus kun je de sinusregel hier niet gebruiken.quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2009 a/juli, vraag 1.
Ik heb dit opgelost met de cosinusregel. Echter, waarom zou hier een sinusregel niet werken?
Sinusregel:
a : sin α = b : sin β = c : sin γ
Cosinusregel:
a2 = b2 + c2 − 2bc·cos α
b2 = c2 + a2 − 2ca·cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab·cos γ
[ Bericht 29% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 18:19:54 ]
Dank u wel voor het verhelderen van de vraag over de cosinusregel Riparius.
Vraag 5 examen 2008 augustus/b: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Ik begrijp dat ik hier met stelsels moet werken. Ik kom niet verder dan 10b-c=34 te stellen als eerste vergelijking, maar ik weet niet welke andere vergelijking ik kan stellen om de waarde van b en c te berekenen.. Naar de uitwerking van vraag 5 kijkend snap ik niet zo goed hoe de oplosser komt aan b^2-c=9.
Vraag 5 examen 2008 augustus/b: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Ik begrijp dat ik hier met stelsels moet werken. Ik kom niet verder dan 10b-c=34 te stellen als eerste vergelijking, maar ik weet niet welke andere vergelijking ik kan stellen om de waarde van b en c te berekenen.. Naar de uitwerking van vraag 5 kijkend snap ik niet zo goed hoe de oplosser komt aan b^2-c=9.
Beetje analytische meetkunde. Je moet voor deze opgave weten dat de vergelijking van een cirkel met middelpunt (p;q) en straal r is te schrijven alsquote:
Dank u wel voor het verhelderen van de vraag over de cosinusregel Riparius.
Vraag 5 examen 2008 augustus/b: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Ik begrijp dat ik hier met stelsels moet werken. Ik kom niet verder dan 10b-c=34 te stellen als eerste vergelijking, maar ik weet niet welke andere vergelijking ik kan stellen om de waarde van b en c te berekenen.. Naar de uitwerking van vraag 5 kijkend snap ik niet zo goed hoe de oplosser komt aan b^2-c=9.
(x − p)2 + (y − q)2 = r2
Herleiden van de gegeven vergelijking tot een vergelijking van deze gedaante (waarbij je kwadraatafsplitsing moet gebruiken) levert dan op dat
b2 − c = 9
aangezien is gegeven dat de straal van de cirkel 3 is. Het gegeven dat het punt (5;3) op de cirkel ligt levert een tweede betrekking op tussen b en c, namelijk
10b − c = 34
Oplossen van dit stelsel geeft dan b = 5, c = 16, en dus b + c = 21.
Kan iemand mij de stappen uitleggen hoe ik de afgeleide krijg van een wortel en dan staat er binnen de wortel (x^2-1)/(x) Ik weet dat het iets is met de ketting regel en coëfficiënt regel.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 27-10-2013 22:37:37 ]
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 27-10-2013 22:37:37 ]
Als je weet wat de ketting- en quotiëntregel inhouden, zou het toepassen ook moeten lukken. Het berekenen van een afgeleide is alleen maar het toepassen van de regels. Je moet even wat meer toelichting geven.quote:
Kan iemand mij de stappen uitleggen hoe ik de afgeleide krijg van een wortel en dan staat er binnen de wortel (x^2-1)/(x) Ik weet dat het iets is met de ketting regel en coëfficiënt regel.
Wat precies begrijp je niet? Hoever kom je nu?
Als je de vierkantswortel bedoelt uit (x2 − 1)/x = x − x−1 dan heb je dusquote:
Kan iemand mij de stappen uitleggen hoe ik de afgeleide krijg van een wortel en dan staat er binnen de wortel (x^2-1)/(x) Ik weet dat het iets is met de ketting regel en coëfficiënt regel.
f(x) = (x − x−1)1/2
Nu lukt het toch wel om hiervan de afgeleide te bepalen? En wat versta je onder coëfficiëntregel?
De afgeleide van een breuk. Sorry, ik krijg wiskunde in het Engels.quote:
[..]
Als je de vierkantswortel bedoelt uit (x2 − 1)/x = x − x−1 dan heb je dus
f(x) = (x − x−1)1/2
Nu lukt het toch wel om hiervan de afgeleide te bepalen? En wat versta je onder coëfficiëntregel?
Dan bedoel je de quotiëntregel. In het Engels is dat de quotient rule, dus ik zie niet waarom je de termen quotiënt en coëfficiënt door elkaar gooit. Ik zou trouwens de quotiëntregel hier niet gebruiken, onnodig ingewikkeld.quote:
[..]
De afgeleide van een breuk. Sorry, ik krijg wiskunde in het Engels.
[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 29-10-2013 16:52:16 ]
Hier wordt inderdaad de quotiëntregel en de kettingregel gebruikt, nadat eerst nog het domein van de functie is bepaald. Als je de regels voor het differentiëren goed kent is hier verder niet zoveel aan te snappen. Maar kennelijk begrijp je die regels nog niet voldoende. Maar goed, zoals gezegd, ik zou het zo niet doen.quote:
http://nl.tinypic.com/r/fa60yu/5
Hier staat de uitwerking waar ik dus geen hout van kan snijden.
Maar staat hier nu hetzelfde als 0,5wortel(u)^-0,5 keer de afgeleide van u ? Alleen dan weer herschreven volgens algebraïsche regels?quote:
[..]
Hier wordt inderdaad de quotiëntregel en de kettingregel gebruikt, nadat eerst nog het domein van de functie is bepaald. Als je de regels voor het differentiëren goed kent is hier verder niet zoveel aan te snappen. Maar kennelijk begrijp je die regels nog niet voldoende. Maar goed, zoals gezegd, ik zou het zo niet doen.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 27-10-2013 23:17:29 ]
Je kunt inderdaad u = x − x−1 nemen. Maar ik zou het zo doen:quote:
[..]
Maar staat hier nu hetzelfde als 0,5wortel(u)^-0,5 keer de afgeleide van u ? Alleen dan weer herschreven volgens algebraïsche regels?
d((x − x−1)1/2)/dx = d((x − x−1)1/2)/d(x − x−1) · d(x − x−1)/dx = ½·(x − x−1)−1/2·(1 + x−2)
Dit kun je uiteraard nog verder herleiden. Je uitwerking klopt trouwens niet helemaal omdat √x niet reëel is voor x < 0.
Dit is niet mijn uitwerking. Dit zijn uitwerkingen van de docenten van de uni. Tot zover hun niveau, mocht dit niet totaal kloppen.quote:
[..]
Je kunt inderdaad u = x − x−1 nemen. Maar ik zou het zo doen:
d((x − x−1)1/2)/dx = d((x − x−1)1/2)/d(x − x−1) · d(x − x−1)/dx = ½·(x − x−1)−1/2·(1 + x−2)
Dit kun je uiteraard nog verder herleiden. Je uitwerking klopt trouwens niet helemaal omdat √x niet reëel is voor x < 0.
Als een docent van de uni dat zo opschrijft zou die persoon ontslagen mogen worden wat mij betreft.quote:
[..]
Dit is niet mijn uitwerking. Dit zijn uitwerkingen van de docenten van de uni. Tot zover hun niveau, mocht dit niet totaal kloppen.
Jammer dat ik zelf niet zo goed onderlegd ben om ze hiermee te confronteren.quote:
[..]
Als een docent van de uni dat zo opschrijft zou die persoon ontslagen mogen worden wat mij betreft.
Tot nu toe geniet ik met volle teugen van "Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs (Blankespoort, de Joode en Sluijter)". Ik zit nu met limieten en er is een vraag bij me opgekomen, namelijk: zou een functie niet meer dan 1 verticale/horizontale asymptoot kunnen hebben? Neem de helft van een small eclips . Volgens mij heb je boven de eclips een verticale asymptoot, maar ook daaronder.
Uiteraard kunnen (grafieken van) functies meer dan één horizontale of verticale asymptoot hebben. Een eenvoudig voorbeeld is de functiequote:
Tot nu toe geniet ik met volle teugen van "Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs (Blankespoort, de Joode en Sluijter)". Ik zit nu met limieten en er is een vraag bij me opgekomen, namelijk: zou een functie niet meer dan 1 verticale/horizontale asymptoot kunnen hebben? Neem de helft van een small eclips . Volgens mij heb je boven de eclips een verticale asymptoot, maar ook daaronder.
f(x) = tan x
Deze heeft (op R) zelfs oneindig veel verticale asymptoten. En vergeet niet dat je ook nog schuine asymptoten hebt.
Een eclips is een zons- of maansverduistering. Ik denk dat je hier een ellips bedoelt. Maar die heeft geen asymptoten. Een hyperbool wél, die heeft twee asymptoten die elkaar snijden in een punt dat het centrum van de hyperbool wordt genoemd.
Want hij noemt het domein van f ' niet?quote:
[..]
Als een docent van de uni dat zo opschrijft zou die persoon ontslagen mogen worden wat mij betreft.
Nee, ik doelde op het feit dat hij of zij 1/√(a/b) herschrijft als √b/√a. Dat geldt alleen als a > 0 en tevens b > 0, maar aan die voorwaarde is niet voldaan voor −1 < x < 0, terwijl de functie wel is gedefinieerd en differentieerbaar is op (−1, 0).quote:
[..]
Want hij noemt het domein van f ' niet?
Vraagje... Ik wil de volgende vergelijking oplossen...
Oplossingen mogen reëel of complex zijn zolang het reëel deel maar negatief is. Met wolfram alpha krijg ik
of
Nu heb ik
Nu splits het probleem zich geloof ik op in twee problemen namelijk...
En
(groter of gelijk aan nul omdat als de discriminant kleiner is dan nul dan is die complex en dan hoeven we dus alleen nog maar te zorgen dat de eerste term kleiner is dan nul)
Nu valt de oplossing
blijkbaar af, waarom is mij nie geheel duidelijk.
Vervolgens om
bound te bepalen...
dus
Nu mijn probleem is is dat ik het niet geheel systimatisch heb opgelost en min of meer naar de oplossing van Wolfram Alpha heb gewerkt. En ik niet precies goed snap waarom bij hoort en
bij
[ Bericht 4% gewijzigd door Dale. op 29-10-2013 19:09:10 ]
Oplossingen mogen reëel of complex zijn zolang het reëel deel maar negatief is. Met wolfram alpha krijg ik
Nu heb ik
Nu splits het probleem zich geloof ik op in twee problemen namelijk...
En
Nu valt de oplossing
Vervolgens om
Nu mijn probleem is is dat ik het niet geheel systimatisch heb opgelost en min of meer naar de oplossing van Wolfram Alpha heb gewerkt. En ik niet precies goed snap waarom
[ Bericht 4% gewijzigd door Dale. op 29-10-2013 19:09:10 ]
Het is onduidelijk wat nu precies de bedoeling is. Als je polynoom in λ een complexe waarde heeft, dan heeft < hier geen betekenis, dus de vraagstelling klopt zo alvast niet. Het zou kunnen dat je bedoeltquote:Op dinsdag 29 oktober 2013 17:41 schreef Dale. het volgende:
Vraagje... Ik wil de volgende vergelijking oplossen...
Oplossingen mogen reëel of complex zijn zolang het reëel deel maar negatief is.
maar als ik dat in WolframAlpha invoer krijg ik toch iets heel anders, evenals trouwens bij invoer van je oorspronkelijke ongelijkheid.
-edit-
Sorry beetje in de war...
Wat ik wil is dat de oplossingen
van de kwadratische vergelijking
een negatief reëel deel hebben.
e.g. zoek ik de range van waardes, 
(die wel reëel zijn) wat mij een negatief reëel deel geeft voor
Dus...
en
Wolfram: eerste, tweede.
Ik geloof dat de uitwerkingen wel gedeeltelijk kloppen in de bovenstaande post. Alleen faal ik in de systematische aanpak.
[ Bericht 15% gewijzigd door Dale. op 29-10-2013 19:15:40 ]
Sorry beetje in de war...
Wat ik wil is dat de oplossingen
een negatief reëel deel hebben.
e.g. zoek ik de range van waardes
Dus...
en
Wolfram: eerste, tweede.
Ik geloof dat de uitwerkingen wel gedeeltelijk kloppen in de bovenstaande post. Alleen faal ik in de systematische aanpak.
[ Bericht 15% gewijzigd door Dale. op 29-10-2013 19:15:40 ]
Ik ga over 'n paar weken proefstuderen in Utrecht voor de studie wiskunde (en toepassingen). Toevallig iemand hier met ervaringen over Nederlandse wiskunde studies, met name Utrecht (of Nijmegen)? Waar moet ik (niet) op letten, bij wiskunde?
In Utrecht spreekt het me wel aan dat ik veel keuzevrijheid heb en kan switchen naar wiskunde en toepassingen mocht de pure theoretische (afleidingen, historie) kant me geen voldoening geven.
(Vond deze vraag geen apart topic waard en hoop hier wat reacties te kunnen krijgen erop.)
In Utrecht spreekt het me wel aan dat ik veel keuzevrijheid heb en kan switchen naar wiskunde en toepassingen mocht de pure theoretische (afleidingen, historie) kant me geen voldoening geven.
(Vond deze vraag geen apart topic waard en hoop hier wat reacties te kunnen krijgen erop.)
Als we aannemen dat l1 en l2 reëel zijn en je vierkantsvergelijking heeft twee reële wortels λ1 en λ2, dan zijn deze beide negatief als λ1 + λ2 < 0 en tevens λ1λ2 > 0, dusquote:
-edit-
Sorry beetje in de war...
Wat ik wil is dat de oplossingen
een negatief reëel deel hebben.
l2 - l1 + 1 > 0 ∧ 4l1 - l2 - 2 > 0
Heeft de vierkantsvergelijking twee toegevoegd complexe wortels, dan zijn de reële delen hiervan negatief als de som λ1 + λ2 negatief is, dus
l2 - l1 + 1 > 0
Helpt dit?
Nee, dat kan niemand, want je geeft niet aan wat er wordt gesommeerd ...quote:
70
∑
k=10
kan iemand me helpen met wat hier uitkomt ?
Het eerste stukje begrijp ik inderdaad, als l2 - l1 + 1 > 0 ∧ 4l1 - l2 - 2 > 0 dat dan inderdaad de waardes van λ kleiner zijn dan 0.
Het tweede stukje niet helemaal... Ik snap dat als er complexe wortels zijn dat als reële delen negatief zijn dat dan λ1 + λ2 negatief is. Alleen waarom geldt l2 - l1 + 1 > 0 dan?
Voor het eerste stukje krijg ik nu:
l2 > l1 - 1 ∧ l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < 2(2l1 - 1) impliceert dat l1 > 1/3
Dus voor l1 > 1/3 geldt dat l2 ligt in l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1).
En nu moet je dus nog de case bepalen voor wanneer l1 ≤ 1/3 wat dus is als er complexe wortels zijn?
Het tweede stukje niet helemaal... Ik snap dat als er complexe wortels zijn dat als reële delen negatief zijn dat dan λ1 + λ2 negatief is. Alleen waarom geldt l2 - l1 + 1 > 0 dan?
Voor het eerste stukje krijg ik nu:
l2 > l1 - 1 ∧ l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < 2(2l1 - 1) impliceert dat l1 > 1/3
Dus voor l1 > 1/3 geldt dat l2 ligt in l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1).
En nu moet je dus nog de case bepalen voor wanneer l1 ≤ 1/3 wat dus is als er complexe wortels zijn?
http://en.wikipedia.org/w(...)lynomial_expressionsquote:
70
∑
k=10
kan iemand me helpen met wat hier uitkomt ?
70quote:
[..]
Nee, dat kan niemand, want je geeft niet aan wat er wordt gesommeerd ...
∑
k=10
(7k − 2)
Je hebt een rekenkundige reeks. Heeft een rekenkundige reeks n termen en is de eerste term t1 en de laatste term tn, dan is de som S = ½n(t1 + tn).quote:
Hier heb je n = 61, t1 = 68, tn = 488, dus S = ½·61·(68 + 488) = 16958.
quote:
[ afbeelding ]
ehmm.. wordt dit dan: 70+(7k-2)-10 ? ...
hoe kom je aan t1 en tn ?quote:
[..]
Je hebt een rekenkundige reeks. Heeft een rekenkundige reeks n termen en is de eerste term t1 en de laatste term tn, dan is de som S = ½n(t1 + tn).
Hier heb je n = 61, t1 = 68, tn = 488, dus S = ½·61·(68 + 488) = 16958.
Als λ1 en λ2 de wortels zijn van de vierkantsvergelijkingquote:
Het eerste stukje begrijp ik inderdaad, als l2 - l1 + 1 > 0 ∧ 4l1 - l2 - 2 > 0 dat dan inderdaad de waardes van λ kleiner zijn dan 0.
Het tweede stukje niet helemaal... Ik snap dat als er complexe wortels zijn dat als reële delen negatief zijn dat dan λ1 + λ2 negatief is. Alleen waarom geldt l2 - l1 + 1 > 0 dan?
λ2 + pλ + q = 0
dan geldt
λ1 + λ2 = −p, λ1λ2 = q
Zijn de wortels reëel, dan is de voorwaarde voor twee negatieve reële wortels λ1 + λ2 < 0 en tevens λ1λ2 > 0 en dus p > 0 en tevens q > 0.
Zijn de wortels λ1 en λ2 toegevoegd complex, dan is λ1 = α + βi en λ2 = α − βi waarbij α en β reëel zijn. De voorwaarde dat het reële deel α van de beide wortels negatief is, is dan equivalent met 2α = λ1 + λ2 = −p < 0 en dus p > 0. Merk op dat nu λ1λ2 = α2 + β2 > 0, zodat de voorwaarde λ1λ2 = q > 0 hier redundant is.
Je uiteindelijke voorwaarde wordtquote:Voor het eerste stukje krijg ik nu:
l2 > l1 - 1 ∧ l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < 2(2l1 - 1) impliceert dat l1 > 1/3
Dus voor l1 > 1/3 geldt dat l2 ligt in l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1).
En nu moet je dus nog de case bepalen voor wanneer l1 ≤ 1/3 wat dus is als er complexe wortels zijn?
(p > 0 ∧ q > 0 ∧ p2 − 4q ≥ 0) ∨ (p > 0 ∧ p2 − 4q < 0)
met p = l2 − l1 + 1 en q = 4l1 − l2 − 2
Ik heb een vraag over Lineaire Algebra 1.
Gegeven zijn de 2x2 matrices A en B. Bewijs dat de kolommenruimte van AB bevat is in de kolommenruimte van A.
Nou, stel
en 
dan
Nou, dit laatste lukt al helemaal waardeloos. Enfin, voor de // staat de bovenste rij, na de // staat de onderste rij.
Hoe laat ik nu het gevraagde zien? De kolommenruimte van A is 1,2 of 0. Wanneer die 0 is dan zijn alle a'tjes 0, en is dus de kolommenruimte van AB ook 0, immers is AB dan de nulmatrix.
Als de kolommenruimte van A 1 is dan is er één kolom, en we zien dan in AB ook wéér een nulkolom terug.
Als de kolommenruimte van A gelijk is aan 2 ....
Maar wat als de rijenruimte van B nu eens 1 is?
Ik snap hier echt helemaal niets van.
Gegeven zijn de 2x2 matrices A en B. Bewijs dat de kolommenruimte van AB bevat is in de kolommenruimte van A.
Nou, stel
dan
Nou, dit laatste lukt al helemaal waardeloos. Enfin, voor de // staat de bovenste rij, na de // staat de onderste rij.
Hoe laat ik nu het gevraagde zien? De kolommenruimte van A is 1,2 of 0. Wanneer die 0 is dan zijn alle a'tjes 0, en is dus de kolommenruimte van AB ook 0, immers is AB dan de nulmatrix.
Als de kolommenruimte van A 1 is dan is er één kolom, en we zien dan in AB ook wéér een nulkolom terug.
Als de kolommenruimte van A gelijk is aan 2 ....
Maar wat als de rijenruimte van B nu eens 1 is?
Ik snap hier echt helemaal niets van.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
LaTeX-hint:quote:
Ik heb een vraag over Lineaire Algebra 1.
Gegeven zijn de 2x2 matrices A en B. Bewijs dat de kolommenruimte van AB bevat is in de kolommenruimte van A.
Nou, stel
dan
Nou, dit laatste lukt al helemaal waardeloos. Enfin, voor de // staat de bovenste rij, na de // staat de onderste rij.
Hoe laat ik nu het gevraagde zien? De kolommenruimte van A is 1,2 of 0. Wanneer die 0 is dan zijn alle a'tjes 0, en is dus de kolommenruimte van AB ook 0, immers is AB dan de nulmatrix.
Als de kolommenruimte van A 1 is dan is er één kolom, en we zien dan in AB ook wéér een nulkolom terug.
Als de kolommenruimte van A gelijk is aan 2 ....
Maar wat als de rijenruimte van B nu eens 1 is?
Ik snap hier echt helemaal niets van.
Wiskunde-hint: interpreteer een matrix als een lineaire afbeelding.
quote:
[..]
LaTeX-hint:
Wiskunde-hint: interpreteer een matrix als een lineaire afbeelding.
Ik heb nog een vraag, niet over de uitwerking, maar hoe ver moet ik dit oplossen?
Gegeven is een stelsel vergelijkingen met 3 variabelen en een parameter a. De vraagstelling luidt: los het volgende stelsel vergelijkingen op voor iedere waarde van a.
Nu heb ik het geschreven als
Ax = b
En dus x = A-1b voor iedere waarde van a waarvoor A inverteerbaar is (dus determinant ongelijk 0 ). Verder heb ik de waarden voor a bekeken waarvoor A niet inverteerbaar is.
Moet ik nu op het tentamen die inverse van A ook nog bepalen, of hoeft dat niet denk je?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
De matrix A kun je zien als een afbeelding van R2 naar R2 die v naar Av stuurt. De kolomruimte is niets anders dan het beeld van deze afbeelding, d.w.z. alle vectoren die daadwerkelijk van de vorm Av zijn. De matrix AB is als afbeelding gelijk aan B gevolgd door A: (AB)v = A(Bv). Alles wat van geschreven kan worden als ABv kan dus ook zeker geschreven worden als Aw (nl met w = Bv). Daarom is het beeld van AB bevat in het beeld van A.
Ik snap er nog steeds geen bal van.quote:
De matrix A kun je zien als een afbeelding van R2 naar R2 die v naar Av stuurt. De kolomruimte is niets anders dan het beeld van deze afbeelding, d.w.z. alle vectoren die daadwerkelijk van de vorm Av zijn. De matrix AB is als afbeelding gelijk aan B gevolgd door A: (AB)v = A(Bv). Alles wat van geschreven kan worden als ABv kan dus ook zeker geschreven worden als Aw (nl met w = Bv). Daarom is het beeld van AB bevat in het beeld van A.
Lineaire Algebra 1 man. Geen hocus pocus.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gezien de snelheid waarmee je reageert, heb je niet eens de tijd genomen om erover na te denken.quote:
[..]
Ik snap er nog steeds geen bal van.
Lineaire Algebra 1 man. Geen hocus pocus.
Het is echt nooit in het college (noch in het dictaat behandeld).quote:Op woensdag 30 oktober 2013 00:02 schreef thabit het volgende:
[..]
Gezien de snelheid waarmee je reageert, heb je niet eens de tijd genomen om erover na te denken.
Ik peins er wel even over verder. Bedankt voor je hulp.
Mijn eerste vraag over de inverse van A kun je vergeten, dat lukt wel.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Thanks! Awesomequote:
[..]
Als λ1 en λ2 de wortels zijn van de vierkantsvergelijking
λ2 + pλ + q = 0
dan geldt
λ1 + λ2 = −p, λ1λ2 = q
Zijn de wortels reëel, dan is de voorwaarde voor twee negatieve reële wortels λ1 + λ2 < 0 en tevens λ1λ2 > 0 en dus p > 0 en tevens q > 0.
Zijn de wortels λ1 en λ2 toegevoegd complex, dan is λ1 = α + βi en λ2 = α − βi waarbij α en β reëel zijn. De voorwaarde dat het reële deel α van de beide wortels negatief is, is dan equivalent met 2α = λ1 + λ2 = −p < 0 en dus p > 0. Merk op dat nu λ1λ2 = α2 + β2 > 0, zodat de voorwaarde λ1λ2 = q > 0 hier redundant is.
[..]
Je uiteindelijke voorwaarde wordt
(p > 0 ∧ q > 0 ∧ p2 − 4q ≥ 0) ∨ (p > 0 ∧ p2 − 4q < 0)
met p = l2 − l1 + 1 en q = 4l1 − l2 − 2
Bekijkquote:
Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.
https://www.khanacademy.o(...)mn-space-of-a-matrix
en
https://www.khanacademy.o(...)-of-a-transformation
Thanks. Morgen. PC staat in slaapstand met die video's open, dus dat is het eerste waar ik mee geconfronteerd ga worden.quote:
[..]
Bekijk
https://www.khanacademy.o(...)mn-space-of-a-matrix
en
https://www.khanacademy.o(...)-of-a-transformation
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Omdat je bij een vermenigvuldiging het resultaat kan zien als lineaire combinatie van de kolommen van de matrix.quote:
Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.
Stel je hebt een matrix met kolomvectoren v1 t/m vn en je vermenigvuldigt met (a1, ..., an)T. Dan krijg je
(v1, ..., vn)(a1, ..., an)T = a1v1 + ... + anvn
Dit lijkt ingewikkelder dan het is, als je het even narekent snap je het waarschijnlijk beter,
Riparius, ik ben dat boek dat je me gestuurd hebt aan het bestuderen en ben bij pagina 4: 1.2 Goniometrische Formules, verwante hoeken.
Op de eenheidscirkel snap ik het, maar als ik 2 driehoeken teken met driehoek 1 een hoek van 120 graden en de andere een hoek van 60 graden kan ik niet bevatten hoe sin 120 = sin 60. Dat is hetzelfde als stellen dat de de overstaande zijde van hoek van 120 graden ook wortel 3 is. Als je kijkt naar mijn tekening kan dat toch niet?
Ik heb er wel wortel 3 bij neergezet, maar dat vind ik moeilijk te geloven. Ik heb er ook bijgezet dat dat hetzelfde is als concluderen dat 10/2= 5 voor hoek 60 graden en 20/4=5 voor hoek 120 graden. De verhoudingen moeten immers hetzelfde blijven als je wilt stellen dat sin 60 = sin 120.
Ik kan dit nu wel afsluiten en het regeltje onthouden dat sin 120 = sin 60 graden en sin 150 graden = sin 30 graden, maar ik wil snappen waarom dat zo is......Als je nog het geduld kan vinden om dit uit te leggen, graag.
Ik heb nog even het volgende getekend:
Als het klopt dat sin 120 = sin 60, dan stel je dat de 2 rood getekende bogen hetzelfde zijn. Volgens mij is boog A= 60+30+30 graden groter dan boog A=60 graden.
Dan kom ik tot het volgende plaatje:
Dit is waar ik vastloop. Sin 120 = x/y. Als sin 120 = sin 60, dan stel je dat x= wortel 3 en y =2, maar dat kan toch niet?
Op de eenheidscirkel snap ik het, maar als ik 2 driehoeken teken met driehoek 1 een hoek van 120 graden en de andere een hoek van 60 graden kan ik niet bevatten hoe sin 120 = sin 60. Dat is hetzelfde als stellen dat de de overstaande zijde van hoek van 120 graden ook wortel 3 is. Als je kijkt naar mijn tekening kan dat toch niet?
Ik heb er wel wortel 3 bij neergezet, maar dat vind ik moeilijk te geloven. Ik heb er ook bijgezet dat dat hetzelfde is als concluderen dat 10/2= 5 voor hoek 60 graden en 20/4=5 voor hoek 120 graden. De verhoudingen moeten immers hetzelfde blijven als je wilt stellen dat sin 60 = sin 120.
Ik kan dit nu wel afsluiten en het regeltje onthouden dat sin 120 = sin 60 graden en sin 150 graden = sin 30 graden, maar ik wil snappen waarom dat zo is......Als je nog het geduld kan vinden om dit uit te leggen, graag.
Ik heb nog even het volgende getekend:
Als het klopt dat sin 120 = sin 60, dan stel je dat de 2 rood getekende bogen hetzelfde zijn. Volgens mij is boog A= 60+30+30 graden groter dan boog A=60 graden.
Dan kom ik tot het volgende plaatje:
Dit is waar ik vastloop. Sin 120 = x/y. Als sin 120 = sin 60, dan stel je dat x= wortel 3 en y =2, maar dat kan toch niet?
Nee.....quote:
[..]
Verduidelijkt dit het een en ander?
[ afbeelding ]
Wel zie ik dat de schuine zijde van hoek 120 graden gelijk is aan de overstaande zijde van hoek 60 graden.
Als je 1 hoek weet dan kan je toch gewoon telkens een driehoek in tweeen splitsen om de overige hoeken te berekenen?
Sinus van een hoek kan je zien als een y-coördinaat bijbehorende bij die hoek op de eenheidscirkel. Deze sinus is dus voor alfa en 180-alfa gelijk, dat zegt dat plaatje.
Cosinus voor de x-coördinaat. Dus Cos(alfa)=Cos(-alfa)
Cosinus voor de x-coördinaat. Dus Cos(alfa)=Cos(-alfa)
Gegeven is de familie van functies f(x) = (x^2-kx+4) / (x-1)
Een van deze functies heeft geen verticale asymptoot x = 1
Voor welke waarde van k is dat het geval?
Zou iemand mij dit kunnen uitleggen? ik snap er namelijk niks van
Een van deze functies heeft geen verticale asymptoot x = 1
Voor welke waarde van k is dat het geval?
Zou iemand mij dit kunnen uitleggen? ik snap er namelijk niks van
:)
Inderdaad, wat jij hier wil kan niet. Je weet dat de som van de hoeken van elke driehoek - en dus ook de som van de hoeken van een rechthoekige driehoek - gelijk is aan 180°. Maar dat betekent dus dat er in een rechthoekige driehoek voor de beide andere hoeken samen nog 90° overblijft. En dus is het zo dat de andere hoeken in een rechthoekige driehoek altijd beide scherp zijn. Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan een rechte hoek, en een stompe hoek is een hoek die groter is dan een rechte hoek maar kleiner dan een gestrekte hoek. Een gestrekte hoek is een hoek van 180°, dat is een hoek waarvan de beide benen niet samenvallen maar wel in elkaars verlengde liggen.quote:
Riparius, ik ben dat boek dat je me gestuurd hebt aan het bestuderen en ben bij pagina 4: 1.2 Goniometrische Formules, verwante hoeken.
Op de eenheidscirkel snap ik het, maar als ik 2 driehoeken teken met driehoek 1 een hoek van 120 graden en de andere een hoek van 60 graden kan ik niet bevatten hoe sin 120° = sin 60°. Dat is hetzelfde als stellen dat de de overstaande zijde van hoek van 120 graden ook wortel 3 is. Als je kijkt naar mijn tekening kan dat toch niet?
Zoals ik eerder heb opgemerkt heeft men goniometrische verhoudingen vroeger eerst gedefinieerd en bestudeerd aan de hand van rechthoekige driehoeken. Omdat de lengtes van de zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen de verhoudingen tussen de lengtes van twee zijden in een rechthoekige driehoek uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek.
In deze figuur is de grootte één van de beide scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek aangegeven met de Griekse letter θ (theta). Deze letter wordt in het Nederlands gewoonlijk uitgesproken als 'têta' met een ê zoals in Frans tête ('hoofd'), maar in het Engels spreekt men de θ gewoonlijk uit als 'theetah' met th zoals in thin en met ee zoals in cheetah.
De schuine zijde in een rechthoekige driehoek (dat is de zijde tegenover de rechte hoek) wordt meestal de hypotenusa genoemd. De beide rechthoekszijden kun je onderscheiden doordat er één rechthoekszijde tegenover de scherpe hoek ligt die we nu bekijken, terwijl de andere rechthoekszijde één been vormt van de scherpe hoek die we nu bekijken. In het Nederlands spreken we dan resp. van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde van hoek θ. In het Engels noemt men deze rechthoekszijden resp. opposite side en adjacent side.
Omdat we drie zijden hebben, kunnen we nu in totaal 3·2 = 6 verhoudingen tussen twee van deze drie zijden vormen, en inderdaad heb je dan ook zes (gangbare) goniometrische verhoudingen. De meest gebruikelijke zijn
sin θ = overstaande rechthoekszijde : hypotenusa
cos θ = aanliggende rechthoekszijde : hypotenusa
tan θ = overstaande rechthoekszijde : aanliggende rechthoekszijde
maar je hebt ook nog
cot θ = aanliggende rechthoekszijde : overstaande rechthoekszijde
sec θ = hypotenusa : aanliggende rechthoekszijde
csc θ = hypotenusa : overstaande rechthoekszijde
Deze laatste drie goniometrische verhoudingen heten voluit resp. de cotangens, de secans, en de cosecans. Je ziet natuurlijk dat deze niets anders zijn dan de inverse verhoudingen van resp. de tangens, de cosinus, en de sinus, en dat is de reden dat deze goniometrische verhoudingen niet zo vaak worden gebruikt: we hebben eigenlijk voldoende aan de sinus, de cosinus en de tangens.
De aldus met behulp van een rechthoekige driehoek gedefinieerde goniometrische verhoudingen hebben uitsluitend betekenis voor scherpe hoeken, want in een rechthoekige driehoek is een hoek die niet tegenover de hypotenusa ligt altijd scherp. We hebben dus een ander concept nodig als we het begrip sinus of cosinus of tangens van een hoek willen uitbreiden naar stompe hoeken. En dat is precies de reden waarom men is gaan werken met een assenstelsel (rechthoekig coördinatenstelsel) met daarin een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met een straal gelijk aan één, de eenheidscirkel.
In deze figuur heeft men een willekeurig punt P gekozen dat op de eenheidscirkel ligt, maar wel tevens in het eerste kwadrant, dat is het deel van het vlak waar zowel de x- als de y-coördinaat van elk punt positief is. De vier kwadranten waarin het assenstelsel het vlak verdeelt worden gewoonlijk aangegeven met de Romeinse cijfers I, II, III, IV, en de conventie is dat men de kwadranten nummert tegen de klok in, te beginnen in het kwadrant rechtsboven. Vanuit punt P heeft men een loodlijn neergelaten op de x-as, en het voetpunt van deze loodlijn heeft men hier Q genoemd.
Nu is driehoek OPQ een rechthoekige driehoek met een rechte hoek in hoekpunt Q. De zijde OP tegenover hoekpunt Q is dus de schuine zijde oftewel hypotenusa van de rechthoekige driehoek OPQ. Deze hypotenusa OP heeft een lengte één, omdat OP een straal is van de cirkel. De rechthoekige driehoek heeft twee scherpe hoeken in de hoekpunten O en P, en de grootte van de scherpe hoek in hoekpunt O heeft men hier weer θ genoemd. Omdat punt P in het eerste kwadrant ligt is zowel de x- als de y-coördinaat van punt P positief en geldt voor de coördinaten (xP; yP) van punt P dus xP = OQ en yP = QP.
Nu kunnen we met onze 'oude' definities gaan kijken naar de sinus en de cosinus van hoek θ, en dan vinden we
cos θ = aanliggende rechthoekszijde : hypotenusa = OQ : OP = xP : 1 = xP
sin θ = overstaande rechthoekszijde : hypotenusa = QP : OP = yP : 1 = yP
Nu zie je dat de coördinaten van punt P dus (cos θ; sin θ) zijn, oftewel de x-coördinaat xP van P is de cosinus van hoek θ en de y-coördinaat yP van punt P is de sinus van hoek θ. Het is natuurlijk ook duidelijk waarom dit zo 'mooi' uitkomt, dat is omdat we de straal van de cirkel gelijk aan één hebben gekozen. Als we een willekeurige straal r hadden genomen, dan zou OP = r zijn geweest, en dan hadden we dus gekregen cos θ = xP : r en sin θ = yP : r en daarmee xP = r·cos θ, yP = r·sin θ zodat de coördinaten van punt P dan (r·cos θ; r·sin θ) zouden zijn geweest. Alleen de keuze r = 1 maakt dat punt P hier de coördinaten (cos θ; sin θ) heeft.
Om nu de begrippen sinus en cosinus uit te breiden naar stompe hoeken en meer hebben we nog iets nodig, namelijk het begrip rotatie. Je ziet in de figuur dat lijnstuk OP een hoek θ maakt met lijnstuk OQ, en dat lijnstuk OQ langs de positieve x-as ligt, omdat punt Q immers op de positieve x-as ligt. Dat betekent dat we punt P kunnen opvatten als het beeld van het punt met coördinaten (1; 0) bij een rotatie om de oorsprong tegen de klok in over een hoek θ.
Maar nu zijn we bij rotaties niet gebonden aan hoeken tussen 0° en 90°. We kunnen het punt met coördinaten (1; 0) over een willekeurige hoek rond de oorsprong roteren. En we hoeven ons niet te beperken tot rotaties tegen de klok in, want we kunnen ook met de klok mee roteren. Omdat we rotaties tegen de klok in en met de klok mee wel van elkaar moeten kunnen onderscheiden, heeft men de afspraak gemaakt dat rotaties tegen de klok in positief worden gerekend en rotaties met de klok mee negatief.
Dit laatste lijkt misschien wat tegennatuurlijk, maar uit het plaatje is direct duidelijk waarom dit een zinnige afspraak is: als we het punt (1; 0) over een positieve hoek θ tussen 0° en 90° om de oorsprong roteren, dan is het beeld een punt P met als coördinaten (cos θ; sin θ). Anders gezegd, bij een rotatie van het punt (1; 0) om de oorsprong over een hoek θ tussen 0° en 90° is de x-coördinaat van het beeldpunt cos θ en de y-coördinaat van het beeldpunt sin θ. Maar omdat we ons bij rotaties om de oorsprong niet hoeven te beperken tot rotaties over een positieve hoek tussen 0° en 90° kunnen we nu eenvoudig afspreken (definiëren) dat we ook bij een willekeurige rotatie om de oorsprong van het punt (1; 0) over een hoek θ de x-coördinaat van het beeldpunt cos θ zullen noemen en de y-coördinaat van het beeldpunt sin θ.
Zo kunnen we dus dankzij de eenheidscirkel en het begrip rotatie betekenis geven aan cos θ en sin θ voor willekeurige (rotatie)hoeken, zowel positief als negatief. Merk op dat je je hierbij niet hoeft te beperken tot rotaties tussen −360° en +360°. Je kunt het punt (1; 0) ook roteren om de oorsprong over een hoek van bijvoorbeeld +480° maar dat levert uiteraard hetzelfde resultaat op als een rotatie over bijvoorbeeld −240° of een rotatie over bijvoorbeeld +120° zoals je hier kunt zien:
Goed, maar wat betekent deze 'nieuwe' definitie van de cosinus en de sinus nu voor scherpe en stompe hoeken zoals we die tegenkomen in driehoeken? Wel, voor scherpe hoeken verandert er helemaal niets, omdat we onze 'nieuwe' definitie aan de hand van de eenheidscirkel hebben gebaseerd op onze 'oude' definitie aan de hand van de verhoudingen tussen de rechthoekszijden en de hypotenusa in een rechthoekige driehoek.
De 'oude' definitie van de cosinus en de sinus had geen betekenis voor stompe hoeken, maar met onze 'nieuwe' definitie kunnen we nu wél betekenis geven aan de sinus en de cosinus van een stompe hoek. Als we het punt (1; 0) roteren om de oorsprong over een hoek tussen +90° en +180°, dan komen we uit op een punt P op de eenheidscirkel in het tweede kwadrant, zoals ook in het plaatje hierboven is te zien: een rotatie over +480° levert immers hetzelfde resultaat op als een rotatie over +120°.
Welnu, in het tweede kwadrant is de x-coördinaat van een punt negatief en de y-coördinaat positief. En omdat de x-coördinaat van het beeldpunt P van (1; 0) per definitie de cosinus is van de (rotatie)hoek, is de cosinus van een stompe hoek dus negatief. De y-coördinaat van een punt in het tweede kwadrant is nog steeds positief, en dus is de sinus van een stompe hoek wel positief, net als de sinus van een scherpe hoek.
Twee hoeken die samen een gestrekte hoek vormen, oftewel een hoek van 180°, noemen we supplementaire hoeken. Als dus een hoek scherp is, dan is het supplement van die hoek stomp, en omgekeerd, als een hoek stomp is, dan is het supplement van die hoek scherp. Omdat we nu met onze 'nieuwe' definitie ook kunnen spreken over de sinus en cosinus van stompe hoeken, kunnen we eens kijken hoe het verband is tussen de sinussen en de cosinussen van twee hoeken die elkaars supplement zijn. Laten we eens kijken naar een stompe hoek van 150°, zodat het supplement hiervan dus een scherpe hoek is van 30°.
Roteren we het punt (1; 0) om de oorsprong over een hoek van 150°, dan komen we uit op een punt P in het tweede kwadrant, dat per definitie de coördinaten (cos 150°; sin 150°) heeft. Maar nu zie je in de figuur dat het punt P het spiegelbeeld is van het punt met coördinaten (cos 30°; sin 30°) bij een spiegeling in de y-as. Het is eenvoudig in te zien waarom dat zo is: de gestippeld getekende driehoek in het eerste kwadrant is congruent met driehoek OPQ in het tweede kwadrant, omdat ∠POQ = 30°. Als we immers het punt (1;0) niet over een hoek van 150° maar nog 30° verder en daarmee over een hoek van 180° om de oorsprong hadden geroteerd, dan zouden we zijn uitgekomen in het punt (−1; 0).
Aangezien de punten met coördinaten (cos 150°; sin 150°) en (cos 30°; sin 30°) symmetrisch liggen ten opzichte van de y-as hebben deze punten tegengestelde x-coördinaten maar dezelfde y-coördinaten. En dus zien we dat cos 150° = −cos 30° terwijl sin 150° = sin 30°. In het algemeen geldt dat rotatie van het punt (1; 0) om de oorsprong over een hoek θ en over een hoek 180° − θ twee beeldpunten P en P' geeft die symmetrisch liggen ten opzichte van de y-as, zodat dus steeds geldt dat cos(180° − θ) = −cos θ terwijl sin(180° − θ) = sin θ.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-11-2013 16:32:31 ]
Je ziet dat je in de teller van het quotiënt (x2 − kx + 4)/(x - 1) een kwadratische veelterm x2 − kx + 4 hebt. Stel nu dat deze kwadratische veelterm twee (reële) nulpunten x1 en x2 heeft, dan is deze kwadratische veelterm te schrijven alsquote:
Gegeven is de familie van functies
f(x) = (x2 − kx + 4)/(x - 1)
Eén van deze functies heeft geen verticale asymptoot x = 1
Voor welke waarde van k is dat het geval?
Zou iemand mij dit kunnen uitleggen? ik snap er namelijk niks van
(x − x1)(x − x2)
en dan is de functie dus te schrijven als
f(x) = (x − x1)(x − x2)/(x − 1)
Maar stel nu vervolgens eens dat één van de nulpunten, zeg x1, gelijk zou zijn aan 1. Dan heb je dus
f(x) = (x − 1)(x − x2)/(x − 1)
Maar nu hebben teller en noemer van het quotiënt een factor (x − 1) gemeen, en dat betekent dat we de breuk kunnen vereenvoudigen door teller en noemer door (x − 1) te delen, zodat we dan krijgen
f(x) = x − x2, x ≠ 1
en het is duidelijk dat deze functie geen verticale asymptoot meer heeft bij x = 1. Dit is namelijk gewoon een lineaire functie, met als enige bijzonderheid dat deze functie niet is gedefinieerd voor x = 1. De grafiek van deze functie is een rechte lijn met een 'gaatje' erin bij x = 1.
Goed, je moet dus kijken voor welke waarde van k de kwadratische veelterm x2 − kx + 4 een nulpunt x = 1 heeft. Hoe doe je dat? Wel, we weten dat het product x1x2 van de beide nulpunten x1 en x2 gelijk is aan de constante term 4, dus als één van beide nulpunten 1 is, dan moet het andere nulpunt wel 4 zijn. En aangezien
(x − 1)(x − 4) = x2 − 5x + 4
is dat het geval als k = 5.
That's it.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Wat een bazenpost weer.
Plaatjes zelf gemaakt deze keer?
edit: zo te zien niet.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
quote:Op donderdag 31 oktober 2013 21:29 schreef Amoeba het volgende:
Bestudeer mijn post nog maar wat beter. Hint: klik met de rechter muisknop op één van de plaatjes. Ik kom hier nog op terug, maar dat doe ik pas als de vragensteller zelf heeft gereageerd.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Wat een bazenpost weer.
Plaatjes zelf gemaakt deze keer?
Ja ik had het al gezien.quote:
[..]
Bestudeer mijn post nog maar wat beter. Hint: klik met de rechter muisknop op één van de plaatjes. Ik kom hier nog op terug, maar dat doe ik pas als de vragensteller zelf heeft gereageerd.
Ik heb je post doorgelezen. Heb me voorgenomen even wat minder te posten, die complete faal die ik laatst had neergeschreven met de translatie van die sinus heb ik mezelf nog niet vergeven.
Mijn tentamen ging vandaag ook echt ruk trouwens. Ik heb werkelijk geen idee hoe ik
18X = 20 mod 34
moet oplossen.
Het uitgebreide algoritme van Euclides geeft ggd(34,18) = 2*18 - 34 = 2, maar hoe krijg ik hieruit dat
X = 3 + 17a
?
En zo nog wat meer punten laten liggen. De hoop is gevestigd op een vijfje, de inzet is een hertentamen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Chinese Reststelling: 34 = 2 * 17, en 2 en 17 zijn copriem, dus de vgl is equivalent met het stelselquote:
[..]
Ja ik had het al gezien.
Ik heb je post doorgelezen. Heb me voorgenomen even wat minder te posten, die complete faal die ik laatst had neergeschreven met de translatie van die sinus heb ik mezelf nog niet vergeven.
Mijn tentamen ging vandaag ook echt ruk trouwens. Ik heb werkelijk geen idee hoe ik
18X = 20 mod 34
moet oplossen.
Het uitgebreide algoritme van Euclides geeft ggd(34,18) = 2*18 - 34 = 2, maar hoe krijg ik hieruit dat
X = 3 + 17a
?
En zo nog wat meer punten laten liggen. De hoop is gevestigd op een vijfje, de inzet is een hertentamen.
18X = 20 mod 2;
18X = 20 mod 17.
De eerste vergelijking geldt altijd, want daar staat gewoon 0 = 0 mod 2, en de tweede vergelijking is X = 3 mod 17.
Ah, dat was 'm dus. Verzuimd door te nemen, helaas.quote:
[..]
Chinese Reststelling: 34 = 2 * 17, en 2 en 17 zijn copriem, dus de vgl is equivalent met het stelsel
18X = 20 mod 2;
18X = 20 mod 17.
De eerste vergelijking geldt altijd, want daar staat gewoon 0 = 0 mod 2, en de tweede vergelijking is X = 3 mod 17.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Toen u stelde dat punt P coordinaten (1,0) had (voor de rotatie) was ik even door de war (punt P heeft de coordinaten cos teta: sin teta), maar toen ik zag wat u deed in de plaatjes begreep ik het. Nu kan ik de logica gewoon uit de eenheidscirkel halen. Dank u!quote:
Gezien de groteske fouten in de schetsjes die je hierboven had gepost is het wel duidelijk dat je zelfstudie niet erg efficiënt verloopt en dat je de feedback mist van een goede docent die tijdig bij kan sturen zodat je niet voortdurend uit de bocht vliegt. Als je een stomphoekige driehoek tekent en je noemt de lengte van de zijde tegenover de stompe hoek x en de lengte van één van de andere zijden y, dan is x/y > 1 zodat deze verhouding onmogelijk een sinus voor kan stellen, die immers niet groter dan 1 kan zijn. Dat had je toch onmiddellijk moeten zien. Ik denk daarom dat je nog maar weinig van goniometrie begrijpt en dat je er dus veel meer aan zou moeten doen in plaats van het nu al af te willen sluiten.quote:
[..]
Toen u stelde dat punt P coördinaten (1;0) had (voor de rotatie) was ik even door de war (punt P heeft de coördinaten (cos θ; sin θ), maar toen ik zag wat u deed in de plaatjes begreep ik het. Nu kan ik de logica gewoon uit de eenheidscirkel halen. Dank u!
Enige tijd geleden ben ik een website tegengekomen van het TIMES Project (The Improving Mathematics Education in Schools Project), waar leermodules zijn te vinden die zijn ontwikkeld door het AMSI (Australian Mathematical Sciences Institute). Deze modules zijn eigenlijk bedoeld voor docenten in het middelbaar onderwijs in Australië, maar ik denk dat ze ook heel geschikt zijn voor zelfstudie. Aan dit materiaal heb ik de plaatjes ontleend die ik in mijn post hierboven over de definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel gebruik. Er zijn drie modules waarin de schoolstof goniometrie aan bod komt:
Introductory trigonometry
Further trigonometry
Trigonometric functions
Als je geen problemen hebt met het gebruik van Engelstalig lesmateriaal, dan zou ik je aanraden dit materiaal eens door te werken.
Ik had vandaag tentamen Lineaire Algebra (dat ik zeker gehaald heb), en daar stond een vraag in over een reële vectorruimte V met inproduct.
Nu waren er 2 lijnen in die vectorruimte:
en
Nu was gegeven dat
en 
Nu was de vraag de volgende uitspraak te bewijzen:
Als bovenstaande geldt, dan geldt:
Waarbij
een willekeurige vector op l is, en 
een willekeurige vector op m.
Nu had ik eigenlijk een heel kort antwoord. Als geldt:
en
dan geldt
en dus
Maar nu ik hierover nadenk vind ik dit heel veel op een cirkelredenering lijken. Wat vinden jullie van mijn antwoord?
Nu waren er 2 lijnen in die vectorruimte:
en
Nu was gegeven dat
Nu was de vraag de volgende uitspraak te bewijzen:
Als bovenstaande geldt, dan geldt:
Waarbij
Nu had ik eigenlijk een heel kort antwoord. Als geldt:
dan geldt
en dus
Maar nu ik hierover nadenk vind ik dit heel veel op een cirkelredenering lijken. Wat vinden jullie van mijn antwoord?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Waarschijnlijk was het de bedoeling om gebruik te maken vanquote:
Ik had vandaag tentamen Lineaire Algebra (dat ik zeker gehaald heb), en daar stond een vraag in over een reële vectorruimte V met inproduct.
Nu waren er 2 lijnen in die vectorruimte:
en
Nu was gegeven dat
Nu was de vraag de volgende uitspraak te bewijzen:
Als bovenstaande geldt, dan geldt:
Waarbij
Nu had ik eigenlijk een heel kort antwoord. Als geldt:
dan geldt
en dus
Maar nu ik hierover nadenk vind ik dit heel veel op een cirkelredenering lijken. Wat vinden jullie van mijn antwoord?
|| x − z ||2 = (x − z)·(x − z)
en
(p − q)·(λa − μb) = 0
Kan iemand me helpen met lim(x->0) sin(x^2)/(x*arctan(x))? Ik heb al geprobeerd met taylorbenaderingen en dan kom ik op lim(x->0) (x^2-1/6x^6+O(x^10))/(x^2-1/3x^4+O(x^6), maar weet ik niet hoe ik verder moet
.
.
Geen geknoei met Taylorbenaderingen.quote:
Kan iemand me helpen met lim(x->0) sin(x^2)/(x*arctan(x))? Ik heb al geprobeerd met taylorbenaderingen en dan kom ik op lim(x->0) (x^2-1/6x^6+O(x^10))/(x^2-1/3x^4+O(x^6), maar weet ik niet hoe ik verder moet
.
Herschrijf
sin(x2)/(x·arctan(x))
als
(sin(x2) / x2) · (x / arctan(x))
Wat denk je daarvan?
Ik zie dat sin(x^2)/x^2 1 wordt en voor x/arctan(x) zie ik niks gemakkelijks en zou ik alsnog geneigd zijn l'hopital of een benadering te gebruiken. De vraag was overigens de limiet met orde benaderingen te berekenenquote:
[..]
Geen geknoei met Taylorbenaderingen.
Herschrijf
sin(x2)/(x·arctan(x))
als
(sin(x2) / x2) · (x / arctan(x))
Wat denk je daarvan?
Beide factoren gaan naar 1 voor x → 0.quote:
[..]
Ik zie dat sin(x^2)/x^2 1 wordt en voor x/arctan(x) zie ik niks gemakkelijks en zou ik alsnog geneigd zijn l'hopital of een benadering te gebruiken. De vraag was overigens de limiet met orde benaderingen te berekenen
limx→0 x/arctan(x) = limx→0 arctan(x)/x = 1
is evengoed een standaardlimiet. Substitueer arctan(x) = θ en dus x = tan θ met |θ| < π/2, dan is
limx→0 x/arctan(x) = limθ→0 tan(θ)/θ = 1
Ik heb de eerste geprobeerd te bewijzen met de middelwaardestelling voor integralen dan zou de integraal dus gelijk zijn aan (1-0)*(1-c^2)/(3+cos(c)) voor een c tussen 0 en 1. Als ik kan laten zien dat de max kleiner is dan 2/9 en de min groter is dan 1/6 dan heb ik em bewezen, maar ik krijg de afgeleide=0 niet opgelost :/. Iemand een ander idee?
Maak gebruik van ongelijkheden.quote:
[ afbeelding ]
Ik heb de eerste geprobeerd te bewijzen met de middelwaardestelling voor integralen dan zou de integraal dus gelijk zijn aan (1-0)*(1-c^2)/(3+cos(c)) voor een c tussen 0 en 1. Als ik kan laten zien dat de max kleiner is dan 2/9 en de min groter is dan 1/6 dan heb ik em bewezen, maar ik krijg de afgeleide=0 niet opgelost :/. Iemand een ander idee?
a) Je hebt 0 < cos x < 1 voor 0 < x < 1 en dus
(1 − x2)/4 < (1 − x2)/(3 + cos x) < (1 − x2)/3 voor 0 < x < 1
b) Haal bij de integrand een factor x4 voor het wortelteken, dan zie je dat
x3 < x3√(1 + x−3) < x3√2 voor 2 < x < 3
Bedankt ik begrijp em nuquote:
[..]
Maak gebruik van ongelijkheden.
a) Je hebt 0 < cos x < 1 voor 0 < x < 1 en dus
(1 − x2)/4 < (1 − x2)/(3 + cos x) < (1 − x2)/3 voor 0 < x < 1
b) Haal bij de integrand een factor x4 voor het wortelteken, dan zie je dat
x3 < x3√(1 + x−3) < x3√2 voor 2 < x < 3
(ze hadden de de integraal van b nog beter kunnen benaderen volgens jouw methode bij b, maar dat ziet er natuurlijk wat lelijker uit)
Ik heb een vraagje lokale extreme waarden:
Het gaat om de functie: (1+2/x)*sqrt(x+6)
Van deze functie worden de lokale extreme waarden gevraagd. Deze functie is gedefinieerd voor x groter of gelijk aan -6 en x ongelijk aan 0. Voor de lokale extreme waarden kan je dan de eerste afgeleide vd functie bepalen en gelijk stellen aan nul en vervolgens de first-derivative test toepassen. Dat lukt ook allemaal wel, maar nu zit ik met het punt x = -6. Zelf dacht ik dat je daar niet zoveel over kon zeggen aan de hand van de first-derivative test, maar het antwoordenboek zegt dat je aan de hand van de first-derivative test kan concluderen dat x = -6 een lokaal minimum is. Kan iemand mij verlichten met hoe je dat kan concluderen?
Het gaat om de functie: (1+2/x)*sqrt(x+6)
Van deze functie worden de lokale extreme waarden gevraagd. Deze functie is gedefinieerd voor x groter of gelijk aan -6 en x ongelijk aan 0. Voor de lokale extreme waarden kan je dan de eerste afgeleide vd functie bepalen en gelijk stellen aan nul en vervolgens de first-derivative test toepassen. Dat lukt ook allemaal wel, maar nu zit ik met het punt x = -6. Zelf dacht ik dat je daar niet zoveel over kon zeggen aan de hand van de first-derivative test, maar het antwoordenboek zegt dat je aan de hand van de first-derivative test kan concluderen dat x = -6 een lokaal minimum is. Kan iemand mij verlichten met hoe je dat kan concluderen?
x = -6 is een randpunt van je functie f. Waarschijnlijk concludeer je dat f'(x) > 0 rond x = -6, dus een lokaal minimum.quote:
Ik heb een vraagje lokale extreme waarden:
Het gaat om de functie: (1+2/x)*sqrt(x+6)
Van deze functie worden de lokale extreme waarden gevraagd. Deze functie is gedefinieerd voor x groter of gelijk aan -6 en x ongelijk aan 0. Voor de lokale extreme waarden kan je dan de eerste afgeleide vd functie bepalen en gelijk stellen aan nul en vervolgens de first-derivative test toepassen. Dat lukt ook allemaal wel, maar nu zit ik met het punt x = -6. Zelf dacht ik dat je daar niet zoveel over kon zeggen aan de hand van de first-derivative test, maar het antwoordenboek zegt dat je aan de hand van de first-derivative test kan concluderen dat x = -6 een lokaal minimum is. Kan iemand mij verlichten met hoe je dat kan concluderen?
En met 'rond' bedoel ik groter dan x = -6, maar wel in de omgeving van.
Kijk hier even:
http://www.google.nl/url?(...)Ro6ljvxh5MxwWSWvYMiA
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ah, ik lees het ja. Bedankt!quote:
[..]
x = -6 is een randpunt van je functie f. Waarschijnlijk concludeer je dat f'(x) > 0 rond x = -6, dus een lokaal minimum.
En met 'rond' bedoel ik groter dan x = -6, maar wel in de omgeving van.
Kijk hier even:
http://www.google.nl/url?(...)Ro6ljvxh5MxwWSWvYMiA
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2008 deel 1, vraag 3. Ik heb het antwoord goed, maar ik wil weten of ik juist redeneer:
335*3=1005
+75= 1080
Daar zit 3 keer 360 in. Om cos(x)=1 te krijgen zul je cos 0 cq 360 graden moeten hebben. Ongeacht hoevaak je 360 graden draait, je komt op dezelfde plek op de eenheidscirkel, namelijk voor 0 of 360 graden graden.
Ik heb nog niet gonio. vergelijkingen bestudeerd, maar ik geloof dat het oplossen op deze manier gaat.
Examen 2008 deel 1, vraag 3. Ik heb het antwoord goed, maar ik wil weten of ik juist redeneer:
335*3=1005
+75= 1080
Daar zit 3 keer 360 in. Om cos(x)=1 te krijgen zul je cos 0 cq 360 graden moeten hebben. Ongeacht hoevaak je 360 graden draait, je komt op dezelfde plek op de eenheidscirkel, namelijk voor 0 of 360 graden graden.
Ik heb nog niet gonio. vergelijkingen bestudeerd, maar ik geloof dat het oplossen op deze manier gaat.
Dat is juist jaquote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2008 deel 1, vraag 3. Ik heb het antwoord goed, maar ik wil weten of ik juist redeneer:
335*3=1005
+75= 1080
Daar zit 3 keer 360 in. Om cos(x)=1 te krijgen zul je cos 0 cq 360 graden moeten hebben. Ongeacht hoevaak je 360 graden draait, je komt op dezelfde plek op de eenheidscirkel, namelijk voor 0 of 360 graden graden.
Ik heb nog niet gonio. vergelijkingen bestudeerd, maar ik geloof dat het oplossen op deze manier gaat.
cos(pi/12)
cos(pi/12)=cos(pi/4 - pi/6)=cos(pi/4)*sin(pi/6) - cos(pi/6)*sin(pi/4)
Ik ben uitgegaan van wat die video deed, maar dan voor de cosinus. Volgens mij is het niet goed.
[ Bericht 4% gewijzigd door DefinitionX op 05-11-2013 19:00:01 ]
cos(pi/12)=cos(pi/4 - pi/6)=cos(pi/4)*sin(pi/6) - cos(pi/6)*sin(pi/4)
Ik ben uitgegaan van wat die video deed, maar dan voor de cosinus. Volgens mij is het niet goed.
[ Bericht 4% gewijzigd door DefinitionX op 05-11-2013 19:00:01 ]
Nee, voor de cosinus is de regel net iets anders:quote:
cos(pi/12)
cos(pi/12)=cos(pi/4 - pi/6)=cos(pi/4)*sin(pi/6) - cos(pi/6)*sin(pi/4)
Klopt dit? Ik ben uitgegaan van wat die video deed, maar dan voor de cosinus.
cos(x-y) = cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)
Deze regels kun je ook zelf afleiden door de cosinus/sinus om te schrijven naar e-machten:
En deze e-machten vervolgens weer om te schrijven naar cosinussen/sinussen en dan de haakjes uit te werken (dat wordt me wat veel werk om uit te schrijven
)[ Bericht 25% gewijzigd door Alrac4 op 05-11-2013 19:16:40 ]
Het is van belang dat je de zogeheten additietheorema's voor de cosinus en de sinus van de som en het verschil van twee (rotatie)hoeken goed kent. Deze identiteiten luiden als volgtquote:
cos(pi/12)
Ik ben uitgegaan van wat die video deed, maar dan voor de cosinus. Volgens mij is het niet goed.
cos(α + β) = cos α∙cos β − sin α∙sin β
cos(α − β) = cos α∙cos β + sin α∙sin β
sin(α + β) = sin α∙cos β + cos α∙sin β
sin(α − β) = sin α∙cos β − cos α∙sin β
Als je een algemeen geldig bewijs wil zien voor deze identiteiten uitgaande van de definities voor de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel, dan kan ik je aanraden mijn PDF hierover eens te bestuderen.
Dan ga je ervan uit dat de vragensteller wel de formule van Euler kent, maar dat is voor zover ik weet niet het geval. Het gaat trouwens veel eenvoudiger met complexe getallen als je weet dat argumenten optellen (modulo 2π) bij vermenigvuldiging van complexe getallen. Een vermenigvuldiging met cos θ + i·sin θ beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een hoek θ in het complexe vlak, en dus hebben wequote:
En deze e-machten vervolgens weer om te schrijven naar cosinussen/sinussen en dan de haakjes uit te werken (dat wordt me wat veel werk om uit te schrijven
cos(α + β) + i∙sin(α + β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β)
Uitwerken van de haakjes in het rechterlid en gebruik maken van i2 = −1 levert dan
cos(α + β) + i∙sin(α + β) = (cos α∙cos β − sin α∙sin β) + i∙(sin α∙cos β + cos α∙sin β)
en gelijkstellen van de reële en imaginaire delen geeft dan direct
cos(α + β) = cos α∙cos β − sin α∙sin β
sin(α + β) = sin α∙cos β + cos α∙sin β
Verder is α − β = α + (−β) en cos(−β) = cos β en tevens sin(−β) = −sin β, zodat ook
cos(α − β) = cos α∙cos β + sin α∙sin β
sin(α − β) = sin α∙cos β − cos α∙sin β
Ik moet laten zien dat als y = f(u) en u = g(x), en f en g zijn beide twee keer differentieerbaar, dat:
Nu ben ik eerst begonnen met de kettingregel voor de eerste afgeleide:
Daarna:
Dit is dus de productregel:
Nu lukt het mij nog om dat eerste deel samen te nemen tot:
De vraag:
Maar ik snap niet hoe ze van dat tweede deel na de plus:
naar:
komen.
Heeft er iemand een idee?
Nu ben ik eerst begonnen met de kettingregel voor de eerste afgeleide:
Daarna:
Dit is dus de productregel:
Nu lukt het mij nog om dat eerste deel samen te nemen tot:
De vraag:
Maar ik snap niet hoe ze van dat tweede deel na de plus:
naar:
komen.
Heeft er iemand een idee?
Simpelweg nog een keer de kettingregel toepassen:quote:
Ik moet laten zien dat als y = f(u) en u = g(x), en f en g zijn beide twee keer differentieerbaar, dat:
Nu ben ik eerst begonnen met de kettingregel voor de eerste afgeleide:
Daarna:
Dit is dus de productregel:
Nu lukt het mij nog om dat eerste deel samen te nemen tot:
De vraag:
Maar ik snap niet hoe ze van dat tweede deel na de plus:
naar:
komen.
Heeft er iemand een idee?
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Ah oke, dan snap ik hem. Bedankt.quote:
[..]
Simpelweg nog een keer de kettingregel toepassen:
Kan iemand mij vertellen waarom je bij gebroken lineaire functies de verticale en horizontale asymptoten wil weten?
[ Bericht 1% gewijzigd door wiskundenoob op 06-11-2013 00:02:48 ]
[ Bericht 1% gewijzigd door wiskundenoob op 06-11-2013 00:02:48 ]
Gewoon, omdat het kan, en omdat we jou daar dan lekker lastige vragen over kunnen stellen. En ze zijn handig als je de grafiek van een functie gaat schetsen. Maar ja, wie doet dat tegenwoordig nog met potlood en (ruitjes)papier?quote:
Kan iemand mij vertellen waarom je bij gebroken lineaire functies de verticale en horizontale asymptoten wil weten?
Om maar een banaal voorbeeld te geven.quote:
Kan iemand mij vertellen waarom je bij gebroken lineaire functies de verticale en horizontale asymptoten wil weten?
Stel je wilt harder gaan. Maar wat blijkt, hoe harder je gaat, hoe minder je energie wordt omgezet in feitelijke snelheid. Deze relatie blijkt een asymptoot te hebben, waar ligt die?
ant: bij lichtsnelheid
Nu hopen dat ik dit niet fout heb verteld
quote:
15=(2000-16,3v)(-5--18)^-16,68
Zou iemand 'v' kunnen vrijmaken? In micky mouse taal a.u.b (5 havo)
Beide kanten delen door
Dan krijg je:
Nu beide kanten min 2000
En dan beide kanten delen door -16,3
Dit kan je verder vereenvoudigen als je wilt.
En dit kan je in de rekenmachine invoeren als je wilt:
http://www.wolframalpha.c(...)3%29+%2B+2000%2F16.3
[ Bericht 3% gewijzigd door Ensemble op 06-11-2013 17:50:18 ]
Klopt niet volgens het antwoordenboek. Het is wiskunde A dus houd het aub een beetje simpel.
Het antwoord moet 56 zijn.
Toch bedankt voor je hulp.
Het antwoord moet 56 zijn.
Toch bedankt voor je hulp.
Weet je zeker dat je de vergelijking dan goed hebt ingetypt? Want mijn antwoord klopt met de gegeven vergelijking.quote:
Klopt niet volgens het antwoordenboek. Het is wiskunde A dus houd het aub een beetje simpel.
Het antwoord moet 56 zijn.
Toch bedankt voor je hulp.
Het klopt in ieder geval niet met v=56.
Is het dit?
Dr staat toch ook tot de macht -1,668. Dus niet -16,68...
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Als je in mijn uitwerking van net -16.68 vervangt door -1.668 krijg je dit:quote:
Zucht.. Je hebt gelijk.
Bedankt voor de hulp!
http://www.wolframalpha.c(...)3%29+%2B+2000%2F16.3
Ongeveer 56. Dus dat klopt.
Heb je een grafische rekenmachine? Als ik dat zo zie, is de gedachte waarschijnlijk geweest dat je de grafieken vanquote:
Het is wiskunde A dus houd het aub een beetje simpel.
Y1 = (2000 - 16,3v)(-5 - -18)-1,668 en Y2 = 15 plot en het snijpunt van de grafieken bepaalt.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2007b.pdf
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
cos (3x + 30°) = wortel(1/2) oftewel 1/4
Nu wil ik eerst weten wat cos(x)=1/4 is, maar ik krijg dit niet voor elkaar. Ik weet wel dat de waarde van x tussen de 60 en 90 graden ligt, dat moet wel, want voor cos(60°)=1/2 en cos(90°)=0.
Ik denk niet dat de additietheorum hier zal helpen.
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
cos (3x + 30°) = wortel(1/2) oftewel 1/4
Nu wil ik eerst weten wat cos(x)=1/4 is, maar ik krijg dit niet voor elkaar. Ik weet wel dat de waarde van x tussen de 60 en 90 graden ligt, dat moet wel, want voor cos(60°)=1/2 en cos(90°)=0.
Ik denk niet dat de additietheorum hier zal helpen.
Nee, hier gaat het al fout, wantquote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2007b.pdf
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
cos (3x + 30°) = wortel(1/2) oftewel 1/4
1. De vierkantswortel uit 1/2 is niet 1/4
en
2. Je vergeet dat cos(3x + 30°) ook nog gelijk kan zijn aan min de vierkantswortel uit 1/2
Je hebt:
√(1/2) = √1 / √2 = 1 / √2 = √2 / 2 = ½√2.
Ken uw goniometrische identiteiten!!quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2007b.pdf
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
cos (3x + 30°) = wortel(1/2) oftewel 1/4
Nu wil ik eerst weten wat cos(x)=1/4 is, maar ik krijg dit niet voor elkaar. Ik weet wel dat de waarde van x tussen de 60 en 90 graden ligt, dat moet wel, want voor cos(60°)=1/2 en cos(90°)=0.
Ik denk niet dat de additietheorum hier zal helpen.
cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2cos2(x) - 1 = 1 - 2sin2(x)
... en zoals Riparius hierboven al aangeeft; houdt rekening met het feit dat a2 zowel +a als -a als oplossing heeft; wel effe checken of ze beide valide zijn natuurlijk.
[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 07-11-2013 00:34:42 ]
√a = a v √a = -a ja?quote:
[..]
Ken uw goniometrische identiteiten!!
cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2cos2(x) - 1 = 1 - 2sin2(x)
... en zoals Riparius hierboven al aangeeft; houdt rekening met het feit dat √a zowel +a als -a als oplossing heeft; wel effe checken of ze beide valide zijn natuurlijk.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Bepaal mbv de grafiek van f voor welke reële getallen x geldt dat -1 ≤ f(x) ≤1
f(x) = (-2x -2 )/(2x -1)
-1 = (-2x -2)/(2x -1)
x = -2/5
als x = 1 dan is f(x)= -4
Dus x ≥ -2/5?
1 = (-2x -2)/(2x -1)
x = -6
als x = -5 dan is f(x)= -8/11
Dus x ≤ -6?
En omdat het een gebroken lineaire functie is kan je de twee voorwaardes niet bij elkaar brengen?
[ Bericht 7% gewijzigd door wiskundenoob op 07-11-2013 00:49:14 ]
f(x) = (-2x -2 )/(2x -1)
-1 = (-2x -2)/(2x -1)
x = -2/5
als x = 1 dan is f(x)= -4
Dus x ≥ -2/5?
1 = (-2x -2)/(2x -1)
x = -6
als x = -5 dan is f(x)= -8/11
Dus x ≤ -6?
En omdat het een gebroken lineaire functie is kan je de twee voorwaardes niet bij elkaar brengen?
[ Bericht 7% gewijzigd door wiskundenoob op 07-11-2013 00:49:14 ]
Het is je vergeven.quote:
[..]
erhm, ja dat was best wel slordig
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Bedoel jequote:
Bepaal mbv de grafiek van f voor welke reële getallen x geldt dat -1 ≤ f(x) ≤1
f(x) = -2x -2 /2x -1
-1 = -2x -2 /2x -1
x = -2/5
als x = 1 dan is f(x)= -4
Dus x ≥ -2/5?
1 = -2x -2 /2x -1
x = -6
als x = -5 dan is f(x)= -8/11
Dus x ≤ -6?
En omdat het een gebroken lineaire functie is kan je de twee voorwaardes niet bij elkaar brengen?
En inderdaad, leer LaTeX gebruiken (FOK! heeft een TeX command, zoals VanishedEntity hierboven demonstreert) óf zet haken. Alhoewel het welhaast duidelijk is wat je bedoelt is het toch wiskundig onjuist, en dat kost punten.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Op 
huh? Wat ben je precies aan het doen?quote:
[..]
Daarvan zou ik maken:
knock yourself out
De breuk in een makkelijker te hanteren vorm aan het gieten. Jij moet per slot van rekening berekenen voor welke x-waarden f(x) ts -1 en 1 ligt. Dat lijkt het mij het handigste om eerst f(x) = -1 en f(x) = 1 te berekenen.
Voor het opstellen van het tekenoverzicht zou ik wel de breuk herschrijven naar:
zodat je heel snel het gedrag van teller en noemer kan schetsen en kijken waar de kritische punten liggen. Je weet wat ik met een tekenoverzicht bedoel???
[ Bericht 2% gewijzigd door VanishedEntity op 07-11-2013 01:18:37 ]
Voor het opstellen van het tekenoverzicht zou ik wel de breuk herschrijven naar:
zodat je heel snel het gedrag van teller en noemer kan schetsen en kijken waar de kritische punten liggen. Je weet wat ik met een tekenoverzicht bedoel???
[ Bericht 2% gewijzigd door VanishedEntity op 07-11-2013 01:18:37 ]
Nope.quote:
Je weet wat ik met een tekenoverzicht bedoel???
Waarom zou je de functie willen herleiden? x is toch gewoon makkelijk te berekenen?
En bedoel je met het schetsen van de teller en noemer gewoon de grafiek van de functie? Zoja, hoe kan ik uit die schets afleiden welke ongelijkheidtekens ik moet gebruiken?
Ik wel. Maar eerst een opmerking: die identiteiten heten additietheorema's. Je moet er geen mengelmoes van steenkolenengels en potjeslatijn van maken, ook al heb je het voornemen om medicijnen te gaan studeren.quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2007b.pdf
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
Ik denk niet dat de additietheorum hier zal helpen.
Ik had hierboven al laten zien dat √(1/2) = ½√2, dus je krijgt dan
cos(3x + 30°) = ½√2 ∨ cos(3x + 30°) = −½√2
Nu zou je de waarde ½√2 in ieder geval direct moeten herkennen als zijnde de cosinus (en tevens de sinus) van de 'standaardhoek' 45°, maar er zijn uiteraard meer (rotatie)hoeken waarbij de cosinus gelijk is aan ½√2, en datzelfde geldt voor −½√2. Kijk je naar de eenheidscirkel, dan vind je dat we hebben
3x + 30° = 45° + k·360° ∨ 3x + 30° = −45° + k·360° ∨ 3x + 30° = 135° + k·360° ∨ 3x + 30° = −135° + k·360°, k ∈ Z
In de uitwerking van de oplosser van Veurne kun je zien hoe je nu verder kunt gaan.
Het kan echter eleganter en overzichtelijker als je de identiteiten voor de cosinus van de dubbele hoek kent. Ik vermoed dat je die niet kent omdat je nog maar nauwelijks bent bekomen van je eerste kennismaking met de additietheorema's, dus die identiteiten gaan we nu eerst even afleiden. Je hebt
cos(α + β) = cos α·cos β − sin α·sin β
Nemen we hier β = α, dan is α + β = 2α en krijgen we dus
cos 2α = cos2α − sin2α
Naast deze identiteit voor de cosinus van de dubbele hoek zijn er nog twee andere identiteiten voor de cosinus van de dubbele hoek, die je hier gemakkelijk uit af kunt leiden als je weet dat voor elke α ook geldt
cos2α + sin2α = 1
Dat deze identiteit geldt kun je weer gemakkelijk zien aan de hand van de eenheidscirkel: je weet dat (cos α; sin α) een punt is op de eenheidscirkel dat je verkrijgt door het punt (1; 0) over een hoek α om de oorsprong te roteren. En voor de coördinaten (x; y) van elk punt op de eenheidscirkel geldt
x2 + y2 = 1
Immers, de afstand van het punt (x; y) tot de oorsprong is volgens Pythagoras √(x2 + y2) zodat voor elk punt op de eenheidscirkel geldt √(x2 + y2) = 1 en daarmee x2 + y2 = 1.
Uit cos2α + sin2α = 1 volgt sin2α = 1 − cos2α en cos2α = 1 − sin2α. Dus hebben we ook cos 2α = cos2α − sin2α = cos2α − (1 − cos2α) = 2·cos2α − 1 en cos 2α = cos2α − sin2α = (1 − sin2α) − sin2α = 1 − 2·sin2α. Ζο hebben we dus drie identiteiten voor de cosinus van de dubbele hoek:
cos 2α = cos2α − sin2α
cos 2α = 2·cos2α − 1
cos 2α = 1 − 2·sin2α
Voor deze opgave kunnen we nu ons voordeel doen met de tweede van deze drie identiteiten. Herleiden we het rechterlid van de goniometrische vergelijking namelijk op nul, dan hebben we
2·cos2(3x + 30°) − 1 = 0
en dus
cos(6x + 60°) = 0
Dit ziet er al een stuk handzamer uit. Als je nu weer even naar de eenheidscirkel kijkt, dan zie je dat de x-coördinaat voor een punt op de eenheidscirkel nul is in (0; 1) en in (0; −1), en dat deze punten worden bereikt als je het startpunt (1; 0) rond de oorsprong roteert over een hoek van 90° plus of min een geheel aantal halve slagen. En dus hebben we
6x + 60° = 90° + k·180°, k ∈ Z
6x = 30° + k·180°, k ∈ Z
x = 5° + k·30°, k ∈ Z
De kleinste (rotatie)hoek onder de vier gegeven alternatieven is <A> 140°, zodat k > 4 moet zijn om één van de gegeven antwoorden te krijgen. En zo zie je direct dat we met k = 5 uitkomen op <D> 155°.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-11-2013 01:26:01 ]
Nee, want je moet in feite een dubbele ongelijkheid oplossen. En als je dat algebraïsch wil doen, dan zul je toch echt het één en ander moeten herleiden. Je hebt overigens ook weinig aan het maken van een tekenschema als je niet eerst het rechterlid van de betreffende ongelijkheden op nul herleidt.quote:
[..]
Waarom zou je de functie willen herleiden? x is toch gewoon makkelijk te berekenen?
Je zou zo zonder herleidingen uit het functievoorschiftquote:En bedoel je met het schetsen van de teller en noemer gewoon de grafiek van de functie? Zoja, hoe kan ik uit die schets afleiden welke ongelijkheidtekens ik moet gebruiken?
f(x) = (2x + 2)/(−2x + 1)
moeten kunnen aflezen dat de grafiek van deze functie een horizontale asymptoot y = −1 heeft en een verticale asymptoot x = 1/2.
Hoe zie ik dat zo snel? Wel, je kunt om te beginnen zien dat de noemer van de breuk uit het functievoorschrift nul wordt als −2x + 1 = 0 en dus x = 1/2. Dat betekent dat de functie niet is gedefinieerd voor x = 1/2. Maar aangezien de teller 2x + 2 niet nul is als we x heel dicht in de buurt van die x = 1/2 laten komen, betekent dit dat f(x) steeds grotere positieve waarden óf steeds kleinere negatieve waarden aanneemt, al naar gelang we net 'links' van die x = 1/2 of net 'rechts' van die x = 1/2 zitten. Het is niet moeilijk aan te tonen dat de absolute waarde |f(x)| van de functie willekeurig groot kan worden gemaakt als we x maar dicht genoeg in de buurt van die x = 1/2 nemen, en dat is typisch voor een verticale asymptoot.
Maar nu die horizontale asymptoot, hoe zie ik dat? Wel, als je teller en noemer door x deelt, dan heb je
f(x) = (2 + 2/x)/(−2 + 1/x)
Als we nu de absolute waarde van x steeds groter laten worden, dan naderen 2/x en 1/x tot nul, zodat de functiewaarde dan nadert tot 2/−2 = −1. We kunnen de functiewaarde willekeurig dicht laten naderen tot −1, maar de functiewaarde wordt nooit exact −1.
Nu je de asymptoten kent van de grafiek is het eenvoudig de grafiek te schetsen met potlood en papier, maar we kunnen dat ook door bijvoorbeeld WolframAlpha laten doen.
Oplossen van f(x) = 1 levert x = −1/4, en met behulp van de grafiek van de functie kun je dan eenvoudig aflezen dat −1 ≤ f(x) ≤ 1 voor x ≤ −1/4.
Wil je het geheel algebraïsch oplossen, dan moet je zoals gezegd twee ongelijkheden oplossen. De voorwaarde −1 ≤ f(x) ≤ 1 is namelijk equivalent met
f(x) + 1 ≥ 0 ∧ f(x) − 1 ≤ 0
Als je het goed doet, vind je dan als oplossing van de eerste ongelijkheid x < 1/2 en als oplossing van de tweede ongelijkheid x ≤ −1/4. Aangezien de tweede voorwaarde de eerste impliceert, heb je dan weer x ≤ −1/4 als oplossing van je dubbele ongelijkheid.
Slecht hoor. Schop je (vroegere) wiskundedocent namens mij maar voor zn ballenquote:
. Ach, zoveel scheelt het qua rekenwerk ook weer niet, en het laat een truck zien die je later nog wel vaker zult tegenkomen.quote:Waarom zou je de functie willen herleiden? x is toch gewoon makkelijk te berekenen?
Nee, wat ik bedoel is een tekenoverzicht van de functie opstellen, en in het geval van dit slag gebroken a.k.a, rationale functies om eerst adhv zo'n tekenoverzicht het gedrag van tellen en noemer in kaart te brengen. Om met de teller te beginnen:quote:En bedoel je met het schetsen van de teller en noemer gewoon de grafiek van de functie? Zoja, hoe kan ik uit die schets afleiden welke ongelijkheidtekens ik moet gebruiken?
| 1 2 3 4 | T(f(x)) +++++++++++++++++++++ 0 --- -2 --------------------- ____________________________________________________ x -1 0 |
lijn 1.) is zelfuitleggend: daar zet ik het label voor de teller van de functie neer.
lijn 2.) zijn de waarden die de teller aanneemt voor de x-waarden
lijn 3.) is doodsimpel een rechte (scheids)lijn
lijn 4.) zijn de x-waarden die je in de teller inplugt
Zoals je kunt zien zijn de punten (-1,0) en (0,-2) belangrijk; het zijn nl. de punten waar de teller 0 wordt resp. waarde die de teller aanneemt bij het invullen van x=0.
Dezelfde grap halen we uiteraard ook uit met de noemer.
| 1 2 3 4 | N(f(x)) --------------------------- -1 -- * +++++++++++++++ ____________________________________________________ x 0 1/2 |
hier geldt
lijn 1.) is zelfuitleggend: daar zet ik nu het label voor de _noemer_ van de functie neer.
lijn 2.) zijn de waarden die de noemer aanneemt voor de x-waarden
lijn 3.) is, wederom, doodsimpel een rechte (scheids)lijn
lijn 4.) zijn de x-waarden die je in de noemer inplugt.
Let erop dat de noemer niet 0 mag worden, want in dat geval is f(x) niet gedefinieerd. Dit geven we in zo'n tekenoverzicht aan met een ster boven de streep boven de x-waarde waar de noemer 0 wordt. We kijken ook even naar wat de noemer doet wanneer x 0 wordt. Je zou denken: wat de n##k moet ik daar nou mee? Nou, simpel; we gaan nu de overzichten van teller en noemer even onder elkaar zetten. Vervolgens gaan we adhv de resultaten van teller en noemer kijken wanneer f(x) positief en wanneer f(x) negatief is, door het teken van de teller met die van de noemer te vergelijken. Daarbij maken we gebruik van een stukje boleaanse logica, nl. de regels:
positief * positief = positief
negatief * positief = negatief
positief * negatief = negatief
negatief * negatief = positief
we kijken ook naar het gedrag van van de teller, noemer en f(x) in zn geheel voor de interessante waarden (bij welke x is de teller nul, bij welke x is de noemer nul, wanneer is f(x) nul, welke waarde krijgt de teller/noemer/f(x) als we 0 invullen). Die vermelden we in het tekenoverzicht. Zodoende krijgen we:
| 1 2 3 4 | T(f(x)) +++++++++++++++++++++ 0 --- -2 -- -3 --------------- ____________________________________________________ x -1 0 1/2 |
| 1 2 3 4 | N(f(x)) --------------------------- -1 --- * +++++++++++++++ ____________________________________________________ x 0 1/2 |
| 1 2 3 4 | f(x) --------------------- 0 ++++ 2 +++ * --------------- ____________________________________________________ x -1 0 1/2 |
Als je vervolgens ook de limieten van f(x) voor naar +oneindig resp -oneindig berekent, kan je aan de randen van het tekenoverzicht van f(x) deze limietwaarden neerpennen (beiden -1). Je kan rond x=1/2 ook aangeven welk asymptotisch gedrag f(x) vertoont met ⤴ of ⤵ als je van links komt, en de vertikaal gespiegelde tegenhangers van die pijlen (waar ze bij het W3C en het Unicode consortium _géén_ codes voor gereserveerd hebben
) als je van rechts komt. Op die manier kun je ook zonder Wolfram het gedrag van een functie inzichtelijk maken.
Dank u! Ik ga dit bestuderen met het boekje. Excuus voor het gebruiken van de verkeerde terminologie, dat is niet enkel bij wiskunde zo bij mij.quote:
[..]
Ik wel. Maar eerst een opmerking: die identiteiten heten additietheorema's. Je moet er geen mengelmoes van steenkolenengels en potjeslatijn van maken, ook al heb je het voornemen om medicijnen te gaan studeren.
De kleinste (rotatie)hoek onder de vier gegeven alternatieven is <A> 140°, zodat k > 4 moet zijn om één van de gegeven antwoorden te krijgen. En zo zie je direct dat we met k = 5 uitkomen op <D> 155°.
Twee algemene vragen over limieten/asymptoten:
1. Hoeveel horizontale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben.
2. Hoeveel verticale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben?
Volgens het boekje is het antwoord op 1: 2(delen) en voor 2: oneindig.
Als er maximaal 2 horizontale asymptoten kunnen bestaan voor een functie dan betekent dat de functie ingesloten wordt tussen de 2 bijbehorende y-waarde. Waarom zou er geen 3e of 4e bij kunnen komen? Stel 4 horizontale asymptoten voor functie f(x)=een functie:
y=-1
y=0
y=1
y=2
Ik zou dan een grafiek tekenen die uit stukjes bestaat: ieder stuk gaat precies verder na respectievelijk y=-1, 0, 1 en 2. Dan zitten de lijnen van de grafiek niet aan elkaar, maar heb je wel een grafiek, enkel bestaan er geen x waarde voor de genoemde y waarde.
Datzelfde principe zou ik gebruiken voor de verticale asymptoten. Maar daar staat het antwoord al waarna ik verlang: oneindig veel verticale asymptoten.
Als het niet kan, dan zou dat voor mij betekenen dat een functie een andere definitie heeft dan ik denk: namelijk dat de functie per definitie aan elkaar moet zitten. Echter, dat betwijfel ik omdat een functie: (x^2 - 1)/(x^2 - 2x - 3) uit 2 delen bestaat: een linker- en rechterlimiet.
Deze twee delen raken elkaar niet aan door de horizontale asymptoot.
Er komt nu iets bij me op: een 2e horizontale asymptoot bij mijn vorige functie zou betekenen dat de functie in 3 delen kan worden opgedeeld.
Om mijn punt te illustreren en te verdedigen waarom ik denk dat een functie oneindig veel horizontale asymptoten kan hebben (uiteraard afhangend van de functie zelf!):
Je zult zien dat je veel plezier gaat beleven aan het boekje. Alle schoolstof goniometrie zoals die vroeger in Nederland werd behandeld (en nog steeds in andere beschaafde landen) wordt duidelijk uitgelegd in het eerste deel en daarmee heb je een uitstekende voorbereiding op bijvoorbeeld Vlaamse examens.quote:
[..]
Dank u! Ik ga dit bestuderen met het boekje. Excuus voor het gebruiken van de verkeerde terminologie, dat is niet enkel bij wiskunde zo bij mij.
Het antwoord van het boekje is correct.quote:Twee algemene vragen over limieten/asymptoten:
1. Hoeveel horizontale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben.
2. Hoeveel verticale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben?
Volgens het boekje is het antwoord op 1: 2(delen) en voor 2: oneindig.
Je houdt er geen rekening mee dat het de grafiek moet zijn van een functie. Uiteraard is het mogelijk een curve te bedenken die meer dan twee - zelfs oneindig veel - horizontale asymptoten heeft. Denk bijvoorbeeld aan de grafiek van de tangensfunctie als je deze een kwart slag draait. Maar: dan is het niet meer de grafiek van een functie.quote:Als er maximaal 2 horizontale asymptoten kunnen bestaan voor een functie dan betekent dat de functie ingesloten wordt tussen de 2 bijbehorende y-waarde. Waarom zou er geen 3e of 4e bij kunnen komen? Stel 4 horizontale asymptoten voor functie f(x)=een functie:
y=-1
y=0
y=1
y=2
Ik zou dan een grafiek tekenen die uit stukjes bestaat: ieder stuk gaat precies verder na respectievelijk y=-1, 0, 1 en 2. Dan zitten de lijnen van de grafiek niet aan elkaar, maar heb je wel een grafiek, enkel bestaan er geen x waarde voor de genoemde y waarde.
Kenmerkend voor de grafiek van een functie is dat er bij elke x-waarde ten hoogste één y-waarde hoort. Anders gezegd: elke verticale lijn mag de grafiek in ten hoogste één punt snijden. En aan die voorwaarde is niet te voldoen als je een curve hebt met méér dan twee horizontale asymptoten.
Een eenvoudig voorbeeld van een grafiek van een functie met oneindig veel verticale asymptoten is de grafiek van de functie f(x) = tan x op R. Deze functie is niet gedefinieerd voor x = ½π + kπ, k ∈ Z, omdat tan x = sin x / cos x terwijl cos x = 0 voor x = ½π + kπ, k ∈ Z. Het is echter ook zo dat de absolute waarde |f(x)| van deze functie willekeurig groot kan worden als we voor x maar een waarde nemen die voldoende dicht in de buurt ligt van een x = ½π + kπ, k ∈ Z. En dat is kenmerkend voor een verticale asymptoot, waarvan de grafiek van deze functie er dus oneindig veel heeft.quote:Datzelfde principe zou ik gebruiken voor de verticale asymptoten. Maar daar staat het antwoord al waarna ik verlang: oneindig veel verticale asymptoten.
De grafiek van een functie hoeft inderdaad niet uit één aaneengesloten curve te bestaan. Maar de grafiek van de functie die je hier geeft heeft helemaal geen asymptoot. Het lijkt er dus op dat je nog niet begrijpt wat een asymptoot nu eigenlijk is.quote:Als het niet kan, dan zou dat voor mij betekenen dat een functie een andere definitie heeft dan ik denk: namelijk dat de functie per definitie aan elkaar moet zitten. Echter, dat betwijfel ik omdat een functie: (x^2 - 1)/(x^2 - 2x - 3) uit 2 delen bestaat: een linker- en rechterlimiet.
Nee, dat is niet zo. De twee delen van de grafiek van deze functie zijn 'los' van elkaar omdat de functie een discontinuïteit heeft bij x = −1. Maar dat is iets totaal anders dan een asymptoot.quote:Deze twee delen raken elkaar niet aan door de horizontale asymptoot.
Nee. De grafiek van de functie in je plaatje heeft geen asymptoot, maar de functie heeft wel een discontinuïteit bij x = 1.quote:Er komt nu iets bij me op: een 2e horizontale asymptoot bij mijn vorige functie zou betekenen dat de functie in 3 delen kan worden opgedeeld.
Om mijn punt te illustreren en te verdedigen waarom ik denk dat een functie oneindig veel horizontale asymptoten kan hebben (uiteraard afhangend van de functie zelf!):
[ afbeelding ]
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 09-11-2013 17:19:53 ]
Ik zit met het volgende probleem: schrijf pi*(a+b) als machtreeks van de excentriciteit van de ellips. Waarbij a en b de assen van de ellips zijn. Voor de duidelijkheid pi*(a+b) is een benadering van de omtrek van een ellips. Alle hulp is welkom!
-
Mischien heb je hier iets aan. Kijk ook naar de literatuurverwijzingen.quote:
Ik zit met het volgende probleem: schrijf pi*(a+b) als machtreeks van de excentriciteit van de ellips. Waarbij a en b de assen van de ellips zijn. Voor de duidelijkheid pi*(a+b) is een benadering van de omtrek van een ellips. Alle hulp is welkom!
Heey, zou iemand mij deze vraag kunnen uitleggen:
http://www.freebits.nl/images/161opgave_6.png
Het is een opgave uit de proeftoets, heb morgen de echte toets. Dus als iemand mij zou kunnen helpen, graag!
http://www.freebits.nl/images/161opgave_6.png
Het is een opgave uit de proeftoets, heb morgen de echte toets. Dus als iemand mij zou kunnen helpen, graag!
Pas de definities toe van injectie en surjectie. Als je dit nu nog niet begrijpt, dan vraag ik me af hoe het morgen met je toets gaat. Eerder beginnen met studeren en je stof bijhouden.quote:
Heey, zou iemand mij deze vraag kunnen uitleggen:
http://www.freebits.nl/images/161opgave_6.png
Het is een opgave uit de proeftoets, heb morgen de echte toets. Dus als iemand mij zou kunnen helpen, graag!
1.
Stel f(a) = b en f(a') = b. Bewijs nu dat a = a', dit impliceert dat f(x) injectief is.
2.
In prenex-normaalvorm:
∀y in R∃x in R[f(x) = 4x -3]
Dus bewijs nu dat voor willekeurige y je altijd een x kunt construeren, dan is bovenstaande waar en is f(x) dus surjectief.
Als ik een fout maak gaarne commentaar.
Stel f(a) = b en f(a') = b. Bewijs nu dat a = a', dit impliceert dat f(x) injectief is.
2.
In prenex-normaalvorm:
∀y in R∃x in R[f(x) = 4x -3]
Dus bewijs nu dat voor willekeurige y je altijd een x kunt construeren, dan is bovenstaande waar en is f(x) dus surjectief.
Als ik een fout maak gaarne commentaar.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Daar heb ik al gekeken. Heb geprobeerd om de methode die wordt gebruikt om de exacte omtrek af te leiden toe te passen. Maar ik zie niet hoe dat zou moeten. De exacte uitdrukking wordt afgeleid door de ellips als parametrische kromme te schrijven. Dat idee uitwerken levert een elliptische integraal op. Dat uitwerken levert een oneindige reeks uitgedrukt in de excentriciteit. Maar om deze methode toe te passen zou je eerst pi*(a+b) als integraal moeten schrijven. Maar is dat uberhaupt mogelijk?quote:
[..]
Mischien heb je hier iets aan. Kijk ook naar de literatuurverwijzingen.
-
Ja. Tot zover kan ik je volgen.quote:
[..]
Daar heb ik al gekeken. Heb geprobeerd om de methode die wordt gebruikt om de exacte omtrek af te leiden toe te passen. Maar ik zie niet hoe dat zou moeten. De exacte uitdrukking wordt afgeleid door de ellips als parametrische kromme te schrijven. Dat idee uitwerken levert een elliptische integraal op. Dat uitwerken levert een oneindige reeks uitgedrukt in de excentriciteit.
Ik begrijp niet precies wat je hiermee bedoelt c.q. wat je nu eigenlijk wil. Je kunt π(a + b) strict genomen niet schrijven als machtreeks in ε = √(1 − b2/a2) omdat a + b onbepaald is als je alleen b/a kent.quote:Maar om deze methode toe te passen zou je eerst pi*(a+b) als integraal moeten schrijven. Maar is dat uberhaupt mogelijk?
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?
Voor pi zijn er toch verscheidene bepaalde integralen, als ik het goed heb. Dan zou het toch mogelijk kunnen zijn om pi*(a+b) ook als bepaalde integraal uit te drukken? Als dat lukt, dan kan ik de methode voor de exacte uitdrukking 1 op 1 kopieren.quote:
[..]
Ja. Tot zover kan ik je volgen.
[..]
Ik begrijp niet precies wat je hiermee bedoelt c.q. wat je nu eigenlijk wil. Je kunt π(a + b) strict genomen niet schrijven als machtreeks in ε = √(1 − b2/a2) omdat a + b onbepaald is als je alleen b/a kent.
-
Een meetkundige rij heeft als vorm:quote:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?
a, ar, ar2, ar3, ..., arn
Nu weet je dat a = 2 en r = 3 en je weet dat arn = 1458
Dus 2 * 3n = 1458, en dan heb je een simpele vergelijking die je op kan lossen.
3n = 729
n = 3log(729) = 6
Maar de rij begint bij n=0, dus eentje er bij optellen. Dus het is de 7-de term.
Beetje creatief zijn. Noem de eerste term van je meetkundige rij te en de laatste tl, en de reden r, dan isquote:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?
tl = te·rn−1
en dus
n = log(tl/te) / log(r) + 1
In feite staat erquote:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?
2*3^0 +2*3^1 + 2*3^2 etc.
Om de exponent van 3^x = y te weten neem je de logaritme met grondtal 3 van y. ..
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ja, uiteraard zijn er integraaluitdrukkingen voor π, een heel eenvoudige is bijvoorbeeldquote:
[..]
Voor pi zijn er toch verscheidene bepaalde integralen, als ik het goed heb. Dan zou het toch mogelijk kunnen zijn om pi*(a+b) ook als bepaalde integraal uit te drukken? Als dat lukt, dan kan ik de methode voor de exacte uitdrukking 1 op 1 kopieren.
π/4 = ∫01 dx/(1+x2)
Maar ik zie niet zo goed hoe je dat wil gebruiken om een reeksontwikkeling voor de omtrek van een ellips af te leiden. Ik denk dat je beter even kunt beginnen met dit. Maar ik vermoed dat je eigenlijk op zoek bent naar een herleiding van de formule van Gauss-Kummer. Dan kun je de omtrek van de ellips schrijven als het product van π(a + b) en een reeks in h = (a−b)/(a+b), als volgt:
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 07-11-2013 23:48:06 ]
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:
ik snap niet hoe zij stellen dat
1 - cos x = 2(sin^2)0.5x
Ik ben steeds aan het kijken naar deze twee standaardlimieten, maar weet deze niet te gebruiken hiervoor.
(sinx)/x = 1 voor lim x nadert 0
(tanx)/x = 1 voor lim x nadert 0
Ik snap ook niet zo goed hoe ik zelf kan herleiden dat x/4 een factor is van (1-cosx)/x voor lim x nadert 0.
Edit:
Even kijken of ik het begrijp na deze video.
Edit2:
Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.
[ Bericht 6% gewijzigd door DefinitionX op 08-11-2013 19:14:41 ]
ik snap niet hoe zij stellen dat
1 - cos x = 2(sin^2)0.5x
Ik ben steeds aan het kijken naar deze twee standaardlimieten, maar weet deze niet te gebruiken hiervoor.
(sinx)/x = 1 voor lim x nadert 0
(tanx)/x = 1 voor lim x nadert 0
Ik snap ook niet zo goed hoe ik zelf kan herleiden dat x/4 een factor is van (1-cosx)/x voor lim x nadert 0.
Edit:
Even kijken of ik het begrijp na deze video.
Edit2:
Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.
[ Bericht 6% gewijzigd door DefinitionX op 08-11-2013 19:14:41 ]
Wel, we hebben hierboven gezien dat er drie identiteiten zijn voor de cosinus van de dubbele hoek die vaak van pas komen. Eén daarvan isquote:
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:
ik snap niet hoe zij stellen dat
1 - cos x = 2(sin^2)0.5x
[ afbeelding ]
cos 2α = 1 − 2·sin2α
Kiezen we nu α = ½x, dan is 2α = x en krijgen we dus de identiteit
cos x = 1 − 2·sin2½x
Bij beide leden van deze identiteit 2·sin2½x optellen geeft
cos x + 2·sin2½x = 1
En nu van beide leden weer cos x aftrekken geeft
2·sin2½x = 1 − cos x
In het quotiënt (1 − cos x)/x kunnen we de teller dus vervangen door 2·sin2½x, zodat we krijgen
2·sin2½x / x
Nu teller en noemer delen door 2 en we hebben
sin2½x / ½x
En dit kunnen we weer schrijven als een product
(sin ½x)·(sin ½x / ½x)
Laten we nu x naar 0 gaan, dan gaat ½x ook naar 0, zodat de tweede factor sin ½x / ½x nadert tot 1 (standaardlimiet). Maar de eerste factor sin ½x gaat naar 0 voor x → 0, en dus gaat het product naar 0·1 = 0. Zo vinden we dus dat
limx→0 (1 − cos x)/x = 0
De man in de video maakt wel een nodeloos lang verhaal van iets heel simpels. Je kunt inderdaad teller en noemer ook met (1 + cos x) vermenigvuldigen. Dit is onlangs ook nog op het forum aan de orde geweest voor de bepaling van een iets andere limiet, zie hier.quote:
Even kijken of ik het begrijp na deze video.
Edit2:
Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.
Of in 2 regels.quote:
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:
ik snap niet hoe zij stellen dat
1 - cos x = 2(sin^2)0.5x
[ afbeelding ]
Ik ben steeds aan het kijken naar deze twee standaardlimieten, maar weet deze niet te gebruiken hiervoor.
(sinx)/x = 1 voor lim x nadert 0
(tanx)/x = 1 voor lim x nadert 0
Ik snap ook niet zo goed hoe ik zelf kan herleiden dat x/4 een factor is van (1-cosx)/x voor lim x nadert 0.
Edit:
Even kijken of ik het begrijp na deze video.
Edit2:
Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.
limx→0(1-cos(x))/x = limx→0sin(x)/1 = 0
Stelling van l'Hospital, maar nu krijg ik gegarandeerd een haatreactie van Riparius die vindt dat het veel eleganter kan.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
DefinitionX is nog niet toe aan differentiëren, laat staan de stelling van l'Hospital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is). En het gevaar ligt zo op de loer van een cirkelredenering als je deze limiet weer zou willen gebruiken om te bewijzen dat d(sin x)/dx = cos x.quote:
[..]
Of in 2 regels.
limx→0(1-cos(x))/x = limx→0sin(x)/1 = 0
Stelling van l'Hospital, maar nu krijg ik gegarandeerd een haatreactie van Riparius die vindt dat het veel eleganter kan.
Okay.quote:
[..]
DefinitionX is nog niet toe aan differentiëren, laat staan de stelling van l'Hospital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is). En het gevaar ligt zo op de loer van een cirkelredenering als je deze limiet weer zou willen gebruiken om te bewijzen dat d(sin x)/dx = cos x.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik snap niet hoe je de voorwaarden van de absolute waarde moet schrijven
|x| = x als x>0 en x=0
|x| = -x als x<0 en x=0
en dit bijvoorbeeld toepassen op:
f(x) = |1 -(x +1)2|
Moet je eerst de nulpunten uitrekenen?
f(x) = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
En dan nog 2 voorwaardes voor x ≥ 0 en -2 ≥ x
Maar daar kom ik niet uit.
|1 -(x +1)2)| = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
|1 -(x +1)2)| = -(1 -(x +1)2) als x ≥ 0 en -2 ≥ x
Ok, volgens mij snap ik het al.
[ Bericht 8% gewijzigd door wiskundenoob op 09-11-2013 14:07:50 ]
|x| = x als x>0 en x=0
|x| = -x als x<0 en x=0
en dit bijvoorbeeld toepassen op:
f(x) = |1 -(x +1)2|
Moet je eerst de nulpunten uitrekenen?
f(x) = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
En dan nog 2 voorwaardes voor x ≥ 0 en -2 ≥ x
Maar daar kom ik niet uit.
|1 -(x +1)2)| = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
|1 -(x +1)2)| = -(1 -(x +1)2) als x ≥ 0 en -2 ≥ x
Ok, volgens mij snap ik het al.
[ Bericht 8% gewijzigd door wiskundenoob op 09-11-2013 14:07:50 ]
Nee het klopt niet. |x| = -x voor x < 0. Duidelijk snap je het nog niet helemaal.quote:
Ik snap niet hoe je de voorwaarden van de absolute waarde moet schrijven
|x| = x als x>0 en x=0
|x| = -x als x<0 en x=0
en dit bijvoorbeeld toepassen op:
f(x) = |1 -(x +1)2|
Moet je eerst de nulpunten uitrekenen?
f(x) = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
En dan nog 2 voorwaardes voor x ≥ 0 en -2 ≥ x
Maar daar kom ik niet uit.
|1 -(x +1)2)| = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
|1 -(x +1)2)| = -(1 -(x +1)2) als x ≥ 0 en -2 ≥ x
Ok, volgens mij snap ik het al.
Je zou dan ook kunnen beweren
f(x) = 1 voor x ≥ 0 en f(x) = -1 voor x ≤ 0
Dan f(0) = 1 en f(0) = -1 en dat kan niet, want dan is f geen functie.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Jawel, de tweede voorwaarde is tegenovergestelde van de eerste voorwaarde. Heb het verkeerd opgeschreven.quote:
[..]
Nee het klopt niet. |x| = -x voor x < 0. Duidelijk snap je het nog niet helemaal.
Heb even wat toegevoegd. Dat het nu toevallig uitkomt zegt niet dat het mag.quote:
[..]
Jawel, de tweede voorwaarde is tegenovergestelde van de eerste voorwaarde. Heb het verkeerd opgeschreven.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ok, geef een vergelijking dan probeer ik het op te lossen.quote:
[..]
Heb even wat toegevoegd. Dat het nu toevallig uitkomt zegt niet dat het mag.
Oke, misschien snap ik het toch niet? Als ik mijn antwoorden plot en de voorwaarden controleert dan klopt het gewoon?
Maar je voorwaarden kloppen niet.quote:
Oke, misschien snap ik het toch niet? Als ik mijn antwoorden plot en de voorwaarden controleert dan klopt het gewoon?
|x| = x voor x ≥ 0
|x| = -x voor x < 0 niet x ≤ 0
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je hebt −0 = 0 want (−1)·0 = 0, dus je mag ook zeggen dat |x| = −x voor x ≤ 0.quote:
[..]
Maar je voorwaarden kloppen niet.
|x| = x voor x ≥ 0
|x| = -x voor x < 0 niet x ≤ 0
Ik denk dat je vooral een notatieprobleem hebt. Het is gebruikelijk om functies die je niet met een eenduidig functievoorschrift weer kunt geven (althans: in jouw geval niet zonder absoluutstrepen te gebruiken) weer te geven met een accolade waarbij je de verschillende functievoorschriften met de bijbehorende voorwaarde voor de onafhankelijke variabele (meestal x) elk op een aparte regel achter de accolade zet. De benodigde TeX code om dit weer te geven werkt niet op FOK, dus dan maar even een plaatje als voorbeeld:quote:
Oke, misschien snap ik het toch niet? Als ik mijn antwoorden plot en de voorwaarden controleert dan klopt het gewoon?
Zie ook hier.
In principe wel, maar waarom zou je dat jezelf aanleren? Definieer subdomeinen niet dubbel in een functievoorschrift, klaar.quote:
[..]
Je hebt −0 = 0 want (−1)·0 = 0, dus je mag ook zeggen dat |x| = −x voor x ≤ 0.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gewoon, omdat het juist is. Als je wordt gevraagd wat de verzameling is van alle reële waarden x waarvoor geldt |x| = −x, dan is het correcte antwoord { x ∈ R | x ≤ 0 } en niet { x ∈ R | x < 0 }.quote:
[..]
In principe wel, maar waarom zou je dat jezelf aanleren?
Dit is een goed advies, maar het staat los van het voorgaande.quote:Definieer subdomeinen niet dubbel in een functievoorschrift, klaar.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-11-2013 19:26:35 ]
Oke, maar dat waren functies die ik moest schetsen.quote:
[..]
Ik denk dat je vooral een notatieprobleem hebt. Het is gebruikelijk om functies die je niet met een eenduidig functievoorschrift weer kunt geven (althans: in jouw geval niet zonder absoluutstrepen te gebruiken) weer te geven met een accolade waarbij je de verschillende functievoorschriften met de bijbehorende voorwaarde voor de onafhankelijke variabele (meestal x) elk op een aparte regel achter de accolade zet. De benodigde TeX code om dit weer te geven werkt niet op FOK, dus dan maar even een plaatje als voorbeeld:
[ afbeelding ]
Zie ook hier.
Waarvoor leer je al deze wiskunde eigenlijkquote:
[..]
Oke, maar dat waren functies die ik moest schetsen.
Gewoon niks te doen soms en dan maak ik wat opgaves in mijn boek.quote:
[..]
Waarvoor leer je al deze wiskunde eigenlijk
Maar het voorgaande staat los van het originele vraagstuk.quote:
[..]
Gewoon, omdat het juist is. Als je wordt gevraagd wat de verzameling is van alle reële waarden x waarvoor geldt |x| = −x, dan is het correcte antwoord { x ∈ R | x ≤ 0 } en niet { x ∈ R | x < 0 }.
[..]
Dit is een goed advies, maar het staat los van het voorgaande.
Maar ik begrijp je wel.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het was daarom ook niet bedoeld op het originele vraagstuk, maar juist wat jij beweerdequote:
[..]
Maar het voorgaande staat los van het originele vraagstuk.
Maar ik begrijp je wel.
Waarom niet? Daar ging de vraag juist over.quote:Op zondag 10 november 2013 13:56 schreef tacos049 het volgende:
[..]
Het was daarom ook niet bedoeld op het originele vraagstuk, maar juist wat jij beweerde
Hmm, ja eigenlijk wel he.quote:
[..]
Waarom niet? Daar ging de vraag juist over.
Ik zou het meer interpreteren hoe je correct een (gebroken) functievoorschrift van |f(x)| opschreef. Maar in principe komt het erop neer om de verzameling reële getallen te bepalen waarvoor geldt |f(x)| = -f(x) en |f(x)| = f(x)
Maar dan nog kun je jezelf beter aanleren om in een functievoorschrift geen domeinen dubbel te definiëren, en dat is het punt wat ik al een tijdje probeer te maken.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Wat gebeurt er met de coefficient of variance van arrivals en van de effective process times op 1 machine wanneer je onafhankelijke poisson arrivals hebt van twee producttypen(zelfde lamda) en poisson process tijden(producttype a-b ratio van 1:3)?
Met een simulatie in enterprise dynamics zou 1 van deze CV's 1,5 moeten worden ipv 1(bij een M/M/1 queue), maar waarom snap ik niet.
Met een simulatie in enterprise dynamics zou 1 van deze CV's 1,5 moeten worden ipv 1(bij een M/M/1 queue), maar waarom snap ik niet.
When I get sad, I stop being sad and just be awesome instead.
even een par simpele vragen,maar ik kan niet echt concreet antwoord vinden in mijn boek:
1)als je een parameter differentieert, bijv. ( f(x)= P x (X-2)2 -6),wordt het dan:
- F"(x)= P x 2X-4
- F"(x)= 1 x 2X-4
(ofwel, blijft de derde variabele bij een differentie staan of niet)
2) als je de inverse moet geven van: 3/(2x+4)
dan kom ik er wel op dat je dit moet doen:
x2 --> +4 --> 3/... en dan inversen: x/3 --> (x/3) +4--> ((x/3)+4) /2..
maar dan komt er zo'n inverse grafiek uit...kan iemand mij bevestiging geven of ik het goed heb gedaan?
1)als je een parameter differentieert, bijv. ( f(x)= P x (X-2)2 -6),wordt het dan:
- F"(x)= P x 2X-4
- F"(x)= 1 x 2X-4
(ofwel, blijft de derde variabele bij een differentie staan of niet)
2) als je de inverse moet geven van: 3/(2x+4)
dan kom ik er wel op dat je dit moet doen:
x2 --> +4 --> 3/... en dan inversen: x/3 --> (x/3) +4--> ((x/3)+4) /2..
maar dan komt er zo'n inverse grafiek uit...kan iemand mij bevestiging geven of ik het goed heb gedaan?
16-jarige gymnasiast met als hobby's wielrennen,gamen en muziek luisteren
Even een paar tips want zo is er geen touw aan vast te knopen en ga je geen hulp hier krijgen.
-Gebruik de benodigde sub, sup, en
tags rond (delen van) je wiskundige uitdrukkingen om ze eenduidig en leesbaar neer te zetten.
-Speciale tekens (griekse letters, operatoren, enz.) kunnen ook met HTML en Unicode codes ingetikt worden. Googlen op mathematical symbols html of mathematical symbols unicode geeft al in eerste 10 hits voldoende bruikbare webpagina's.
-Gebruik de benodigde sub, sup, en
-Speciale tekens (griekse letters, operatoren, enz.) kunnen ook met HTML en Unicode codes ingetikt worden. Googlen op mathematical symbols html of mathematical symbols unicode geeft al in eerste 10 hits voldoende bruikbare webpagina's.
Je notatie is compleet hopeloos. Het kost mij meer tijd om je bericht te ontcijferen dan om je vragen te beantwoorden, en dat kan niet de bedoeling zijn. Gebruik om te beginnen nooit, maar dan ook helemaal nooit, de letter x als teken van vermenigvuldiging. Dit teken is ook geen x, maar een Andreaskruis × dat je op FOK kunt krijgen door & times; te typen zonder de spatie na de ampersand. Maar dan nog, gebruik liever de middle dot · die je krijgt door & middot; te typen zonder spatie na de &.quote:
Even een paar simpele vragen,maar ik kan niet echt concreet antwoord vinden in mijn boek:
Parameters differentieer je niet, je differentieert een functie die afhangt van een parameter. De parameter hangt hier niet af van je variabele x, en is dus een constante.quote:1) Als je een parameter differentieert ...
f(x) = p·(x−2)2 − 6
f'(x) = 2·p·(x − 2)
f''(x) = 2·p
Om een functie als deze te inverteren pas je elementaire algebraïsche regels toe die je als het goed is al jaren geleden hebt geleerd. De grafiek van de inverse van een functie krijg je door de grafiek te spiegelen in de lijn met vergelijking y = x, en aangezien hierbij een punt met coördinaten (x;y) overgaat in het punt met coördinaten (y;x) verkrijg je de vergelijking van de grafiek van de inverse functie door x en y om te wisselen. Vervolgens kun je dan proberen uit je nieuwe betrekking weer y op te lossen om zo een functievoorschrift te krijgen voor de inverse functie. Dat kan uiteraard alleen als de oorspronkelijke functie inverteerbaar is. Hier heb je danquote:2) Als je de inverse moet geven van: 3/(2x+4) ...
x = 3/(2y + 4)
x(2y + 4) = 3
2xy + 4x = 3
2xy = 3 − 4x
y = (3 − 4x)/2x
Je kunt het ook ietsje anders doen, als volgt
x = 3/(2y + 4)
2y + 4 = 3/x
2y = 3/x − 4
y = 3/(2x) − 2
sorry hiervoor,ik wist zo 1,2,3 niet hoe het moest,bedankt voor de uitleg daarvan, ik zal dat volgende keer zeker toepassenquote:Je notatie is compleet hopeloos. Het kost mij meer tijd om je bericht te ontcijferen dan om je vragen te beantwoorden, en dat kan niet de bedoeling zijn
voor de rest snap ik nu wel alle dingen die ik je vroeg,hartstikke bedankt:)
16-jarige gymnasiast met als hobby's wielrennen,gamen en muziek luisteren
Vraag 2009a, 6.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
Het is niet nodig om de oplossingen expliciet te vinden. Ik zou persoonlijk even een cirkel tekenen. Als je dat doet zie je dat er voor sin(x)=y met y in (-1, 1) heb je twee oplossingen x in [0°,360°).quote:
Vraag 2009a, 6.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
Omdat je nu hebt sin(x)2=y heb je al vier oplossingen, en omdat je niet sin(x), maar sin(2x) hebt, krijg je in totaal 8 oplossingen.
Dit is natuurlijk niet heel rigoureus (de redenering klopt bijvoorbeeld niet als y=0, want dan heb je door het kwadraat niet twee keer zoveel oplossingen), maar je begrijpt het idee
yupsquote:
Vraag 2009a, 6.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
afgezien van die 23,5 deg waar Riparius even hieronder terecht op wijst want 45/2 = 22,5 sin2(2x) = 1/2
sin(2x) = ½√2 ∨ -½√2
sin(2x) = sin(¼π) ∨ sin(-¼π)
2x = ¼π+2kπ ∨ π-¼π+2kπ ∨ -¼π+2kπ ∨ π+¼π+2kπ
2x = ¼π+2kπ ∨ ¾π+2kπ ∨ 1¾π+2kπ ∨ 1¼π+2kπ
x = ⅛π+kπ ∨ ⅜π+kπ ∨ ⅞π+kπ ∨ ⅝π+kπ
Dat zijn 4 oplossingen in 1 periode van pi, dus in 2pi worden dat er dus 8 in totaal.
PS: als je de breuken niet goed genoeg kan zien even 1 of 2 keer CTRL+"+" drukken om op de tekst in te zoomen, en CRTL+"-" om terug uit te zoomen.
[ Bericht 2% gewijzigd door VanishedEntity op 11-11-2013 20:27:32 ]
Dit is niet correct geredeneerd. Bestudeer de uitwerking van de oplosser van Veurne. De helft van 45° is 22,5°, niet 23,5°. Verder geef je hier niet de juiste hoeken na elkaar. Bij de sinus is het zo dat supplementaire (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben, maar jij lijkt hier te veronderstellen dat tegengestelde (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben, en dat is niet zo. Tegengestelde rotatiehoeken hebben ook tegengestelde sinussen (maar wel dezelfde cosinus).quote:
Vraag 2009a, 6.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
Je kunt het hier weer veel eenvoudiger doen dan wat de oplosser van Veurne doet als je gebruik maakt van het procédé dat bekend staat als overgaan op de dubbele hoek (zie het boekje van Van der Linden, p. 59).
We hebben de volgende identiteit
cos 2α = 1 − 2·sin2α
We kunnen hieruit sin2α vrijmaken, en dan krijgen we
sin2α = ½ − ½·cos 2α
Kiezen we nu α = 2x, dan is 2α = 4x en hebben we dus de volgende identiteit
sin22x = ½ − ½·cos 4x
De vergelijking
sin22x = ½
is dus ook te schrijven als
½ − ½·cos 4x = ½
en dus
cos 4x = 0
Nu is de cosinus nul in de punten (0; 1) en (0; −1) op de eenheidscirkel, en deze punten worden bereikt door het startpunt (1; 0) rond de oorsprong te roteren over een hoek van 90° plus of min een geheel aantal halve slagen, zodat we krijgen
4x = 90° + k·180°, k ∈ Z
en dus
x = 22,5° + k·45°, k ∈ Z
Je ziet nu direct dat je k = 0 .. 7 kunt nemen om een (rotatie)hoek te verkrijgen tussen 0 en 360°, zodat het juiste antwoord inderdaad <D> 8 is.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-11-2013 21:57:48 ]
Nitpicking, maar wel terecht.quote:
Dit is niet correct geredeneerd. De helft van 45° is 22,5°, niet 23,5°.
Daar ligt het probleem niet; de fout, voor zover je het een fout kan noemen, die DefinitionX daar heeft gemaakt is dat hij de negatieve oplossingen niet dusdanig verschoven heeft, dat ze binnen dezelfde periode, die van 0 tot pi loopt, waarin ook de positieve oplossingen zitten, komen te liggen. Doordat de sinus in de oorspronkelijke opgave gekwadrateerd is, heb je hier met zowel positieve als negatieve oplossingen te maken, en zowel de positieve oplossing als de negatieve oplossing komt in de vorm van een paar, nl. arg + 2kπ, én π-arg + 2kπ. Je ziet dit mooi in mijn oplossingsstrategie; de derde oplossing op lijn 4 ligt niet binnen 0 en 2π, maar door 2π erbij op te tellen krijg ik uiteindelijk 1¾pi wat wel daarbinnen ligt. Als we vervolgens alle 4 gevonden oplossingen ( ¼π; ¾π; (5/4)π; (7/4)π) delen door 2, krijgen we uiteindelijk alle 4 de antwoorden binnen een periode van 0 tot π .quote:Verder neem je hier niet de juiste hoeken. Bij de sinus is het zo dat supplementaire (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben, maar jij lijkt hier te veronderstellen dat tegengestelde (rotatie)hoeken dezelfde sinus heben, en dat is niet zo. Tegengestelde rotatiehoeken hebben ook tegengestelde sinussen (maar wel dezelfde cosinus).
Vergelijken we dit met de antwoorden van DefinitionX, dan zien we dat door de negatieve antwoorden van DefinitionX met π oftewel 180° op te schuiven we op idd 22,5° <=> (1/4)π, 67,5° <=> (3/4)π, 122,5° <=> (5/4)π, en 157,5° <=> (7/4)π uitkomen.
Niet nodig zoals je even hierboven kunt zien. 6 regels en klaarquote:Je kunt het hier weer veel eenvoudiger doen dan wat de oplosser van Veurne doet als je gebruik maakt van het procédé dat bekend staat als overgaan op de dubbele hoek (zie het boekje van Van der Linden, p. 59).
Nee, dat is niet waar ik op doelde. DefinitionX zegt dat hij de vergelijking 'algebraïsch' heeft opgelost. Daarmee bedoelt hij hoogstwaarschijnlijk datquote:
Daar ligt het probleem niet; de fout, voor zover je het een fout kan noemen, die DefinitionX daar heeft gemaakt is dat hij de negatieve oplossingen niet dusdanig verschoven heeft, dat ze binnen dezelfde periode, die van 0 tot pi loopt, waarin ook de positieve oplossingen zitten, komen te liggen.
[..]
sin22x = ½
equivalent is met
sin 2x = ½√2 ∨ sin 2x = −½√2
Voor de eerste vergelijking hebben we dan
x = 22,5° + k·180° ∨ x = 67,5° + k·180°, k ∈ Z
en voor de tweede vergelijking
x = −22,5° + k·180° ∨ x = −67,5° + k·180°, k ∈ Z
Maar als je nu kijkt naar de volgorde waarin DefinitionX deze vier mogelijkheden opschrijft, dan zie je dat hij (afgezien van zijn rekenfout) eerst x = 22,5° + k·180° en x = −22,5° + k·180° geeft en dan x = 67,5° + k·180° en x = −67,5° + k·180°. Dit verraadt dat hij is uitgegaan van de onjuiste veronderstelling dat tegengestelde (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben. Het komt hier inderdaad goed uit, maar de onderliggende redenatie blijft gewoon fout.
Overgaan op de dubbele hoek is een beproefde techniek die vroeger in Nederland ook op school werd geleerd, en in Vlaanderen is dat nog steeds zo. Er komen in die Vlaamse toelatingsexamens vaak goniometrische vergelijkingen voor met een kwadraat van een sinus of een cosinus, en dan is het uitermate zinnig om te weten dat je deze kwadraten kunt herschrijven met behulp van een cosinus van de dubbele hoek:quote:Niet nodig zoals je even hierboven kunt zien. 6 regels en klaar
cos2α = ½(1 + cos 2α)
sin2α = ½(1 − cos 2α)
De oplossing wordt dan toch stukken eenvoudiger:
sin22x = ½
cos 4x = 0
x = 22,5° + k·45°, k ∈ Z
De identiteiten voor de herleiding van het kwadraat van een cosinus of een sinus tot de cosinus van de dubbele hoek worden ook vaak gebruikt in de integraalrekening, en ook daarover kunnen opgaven voorkomen bij de Vlaamse toelatingsexamens.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-11-2013 21:34:52 ]
Nee, die conclusie kan je uit zijn twee antwoordenparen niet trekken, dat is te voorbarig becommentarieerd van jou!! Het klopt idd dat tegengestelde (rotatie)hoeken een tegengestelde sinus hebben, maar als men twee tegengestelde sinuswaarden elk afzonderlijk kwadrateert, blijken zowel de positieve sinus als de negatieve sinus beide dezelfde oplossing te geven. Dit is geen toevalligheid, maar volgt direct uit de eigenschap van 2 oplossingen voor even machten. Daar maak ik hier gebruik van. Bovendien, die -1/8pi en -3/8pi zijn op te vatten als de 5/8pi en 7/8pi van de vorige periode/golf, en je weet dat het antwoord niet verandert wanneer je een periode opschuift.quote:
Nee, dat is niet waar ik op doelde. DefinitionX zegt dat hij de vergelijking 'algebraïsch' heeft opgelost. Daarmee bedoelt hij hoogstwaarschijnlijk dat
sin22x = ½
equivalent is met
sin 2x = ½√2 ∨ sin 2x = −½√2
Voor de eerste vergelijking hebben we dan
x = 22,5° + k·180° ∨ x = 67,5° + k·180°, k ∈ Z
en voor de tweede vergelijking
x = −22,5° + k·180° ∨ x = −67,5° + k·180°, k ∈ Z
Maar als je nu kijkt naar de volgorde waarin DefinitionX deze vier mogelijkheden opschrijft, dan zie je dat hij (afgezien van zijn rekenfout) eerst x = 22,5° + k·180° en x = −22,5° + k·180° geeft en dan x = 67,5° + k·180° en x = −67,5° + k·180°. Dit verraadt dat hij is uitgegaan van de onjuiste veronderstelling dat tegengestelde (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben. Het komt hier inderdaad goed uit, maar de onderliggende redenatie blijft gewoon fout.
Dat neemt niet weg dat strikt genomen dat stuk gonio niet nodig is geweest om dit vraagstuk tot een goed einde brengen.quote:Overgaan op de dubbele hoek is een beproefde techniek die vroeger in Nederland ook op school werd geleerd, en in Vlaanderen is dat nog steeds zo. Er komen in die Vlaamse toelatingsexamens vaak goniometrische vergelijkingen voor met een kwadraat van een sinus of een cosinus, en dan is het uitermate zinnig om te weten dat je deze kwadraten kunt herschrijven met behulp van een cosinus van de dubbele hoek:
cos2a = ½(1 + cos 2α)
sin2a = ½(1 − cos 2α)
De oplossing wordt dan toch stukken eenvoudiger:
sin22x = ½
cos 4x = 0
x = 22,5° + k·45°, k ∈ Z
De identiteiten voor de herleiding van het kwadraat van een cosinus of een sinus tot de cosinus van de dubbele hoek worden ook vaak gebruikt in de integraalrekening, en ook daarover kunnen opgaven voorkomen bij de Vlaamse toelatingsexamens.
Bepaal alle complexe getallen z, met Re(z^2)=Im(z^2).
Ik dacht laat z=a+bi dan Re(z^2)=a^2-b^2 en Im(z^2)=2ab en dan oplossen a^2-b^2=2ab, maar dat lukt me niet echt. Iemand een ander idee?
Ik dacht laat z=a+bi dan Re(z^2)=a^2-b^2 en Im(z^2)=2ab en dan oplossen a^2-b^2=2ab, maar dat lukt me niet echt. Iemand een ander idee?
Kijk, als je nou je merkwaardige producten kende en vroeger had geleerd om kwadraten af te splitsen, dan deed je gewoon dit:quote:
Bepaal alle complexe getallen z, met Re(z^2)=Im(z^2).
Ik dacht laat z=a+bi dan Re(z^2)=a^2-b^2 en Im(z^2)=2ab en dan oplossen a^2-b^2=2ab, maar dat lukt me niet echt. Iemand een ander idee?
a2 − b2 − 2ab = 0
(a − b)2 − 2b2 = 0
(a − b − √2·b)(a − b + √2·b) = 0
a = (1 + √2)b ∨ a = (1 − √2)b
Re(z) = (1 + √2)·Im(z) ∨ Re(z) = (1 − √2)·Im(z)
Dus als ik het goed heb is de verzameling van alle z die daaraan voldoet: v = {z=(1+sqrt(2))x+xi of z=(1-sqrt(2))x+xi met x element van de reële getallen} ?quote:
[..]
Kijk, als je nou je merkwaardige producten kende en vroeger had geleerd om kwadraten af te splitsen, dan deed je gewoon dit:
a2 − b2 − 2ab = 0
(a − b)2 − 2b2 = 0
(a − b − √2·b)(a − b + √2·b) = 0
a = (1 + √2)b ∨ a = (1 − √2)b
Re(z) = (1 + √2)·Im(z) ∨ Re(z) = (1 − √2)·Im(z)
V = { z ∈ C | (z = (1 + √2)x + xi ∨ z = (1 − √2)x + xi) ∧ x ∈ R }quote:
[..]
Dus als ik het goed heb is de verzameling van alle z die daaraan voldoet: v = {z=(1+sqrt(2))x+xi of z=(1-sqrt(2))x+xi met x element van de reële getallen} ?
De beeldpunten van deze complexe getallen vormen in het complexe vlak twee rechte lijnen die elkaar loodrecht snijden in de oorsprong.
Als je een lijn vanuit het midden van een hoek tekent, hoe heet die lijn dan ook al weer? 
Dus je hebt bijvoorbeeld een hoek van 90 graden ten opzichte van lijn a en de lijn teken je dan op een hoek van 45 graden ten opzichte van lijn a.
Dus je hebt bijvoorbeeld een hoek van 90 graden ten opzichte van lijn a en de lijn teken je dan op een hoek van 45 graden ten opzichte van lijn a.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Bissectricequote:
Als je een lijn vanuit het midden van een hoek tekent, hoe heet die lijn dan ook al weer?
Ik heb een kopie van een stuk van een CD, 1 op 1, en moet de straal van de CD bepalen daarmee. Nu is me dat al gelukt door twee raaklijnen te tekenen en dan loodrecht daarop lijnen te tekenen, die lijnen te laten kruisen, en dan gewoon te meten. Maar de docent zei dat ik er ook een formule was. Met wat googelen kan ik eigenlijk niet veel vinden, kom vaak terecht op formules om de omtrek van de cirkel te bepalen aan de hand van de straal. Iemand een idee?
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Daar heb ik te weinig gegevens voor.quote:
Iets met dit?
x2 +y2 + ax +by +c =0
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Bedoel je nu dat je het middelpunt van een deel van een cirkel wil bepalen, en daarmee de straal?quote:
Ik heb een kopie van een stuk van een CD, 1 op 1, en moet de straal van de CD bepalen daarmee. Nu is me dat al gelukt door twee raaklijnen te tekenen en dan loodrecht daarop lijnen te tekenen, die lijnen te laten kruisen, en dan gewoon te meten. Maar de docent zei dat ik er ook een formule was. Met wat googelen kan ik eigenlijk niet veel vinden, kom vaak terecht op formules om de omtrek van de cirkel te bepalen aan de hand van de straal. Iemand een idee?
Misschien wat analytische meetkunde: kies drie punten op het cirkelsegment. Geef deze coördinaten. Laat deze een driehoek vormen. Stel vergelijkingen voor de middelloodlijnen van twee zijdes van die driehoek op. Die snijden elkaar in het middelpunt (want de middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de omgeschreven cirkel; dit gebruik je andersom). Afstand van het bepaalde middelpunt tot één van de drie gekozen punten bepalen (Pythagoras) en je hebt de straal.
Of denk ik te moeilijk? Bedoelt de docent iets anders?
Dat met de loodlijnen heb ik dus al gedaan. En hij zei dat we die formule moesten opzoeken, dus denk niet dat het de stelling van Pythagoras is.quote:
[..]
Bedoel je nu dat je het middelpunt van een deel van een cirkel wil bepalen, en daarmee de straal?
Misschien wat analytische meetkunde: kies drie punten op het cirkelsegment. Geef deze coördinaten. Laat deze een driehoek vormen. Stel vergelijkingen voor de middelloodlijnen van twee zijdes van die driehoek op. Die snijden elkaar in het middelpunt (want de middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de omgeschreven cirkel; dit gebruik je andersom). Afstand van het bepaalde middelpunt tot één van de drie gekozen punten bepalen (Pythagoras) en je hebt de straal.
Of denk ik te moeilijk? Bedoelt de docent iets anders?
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Zo'n stuk heb ik dus, en dan moet ik de straal bepalen op twee manieren. Dit is het enige wat de docent er over zegt:
quote:Voor de berekening van de straal moet je ook zelf op zoek naar een formule. Afleiden is niet nodig, maar geef wel aan wat de formule is die je gebruikt hebt en waar die vandaan komt (bronvermelding!).
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Pythagoras is helemaal niet de kern van mijn idee. Het is een stukje analytische meetkunde (dus met formules). Je kiest drie punten op de cirkel, je geeft die coördinaten en de rest van je oplossing komt neer op dat het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek het middelpunt van de omgeschreven cirkel is. Dat is iets heel anders dan raaklijnen tekenen en daar lijnen loodrecht op nemen.quote:
[..]
Dat met de loodlijnen heb ik dus al gedaan. En hij zei dat we die formule moesten opzoeken, dus denk niet dat het de stelling van Pythagoras is.
Het rechte stuk is een koorde van de cirkel gevormd door de omtrek van de CD. Noem de straal van de cirkel r en de halve middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen α, dan is de lengte van de koorde 2·r·sin α en de afstand van het midden van de koorde tot de cirkel r·(1 − cos α). Het quotiënt van deze lengtes is danquote:
[ afbeelding ]
Zo'n stuk heb ik dus, en dan moet ik de straal bepalen op twee manieren. Dit is het enige wat de docent er over zegt:
[..]
r·(1 − cos α) / 2·r·sin α = ½·tan ½α
aangezien
tan ½α = (1 − cos α)/sin α
zodat je tan ½α en daarmee α kunt bepalen (0 < α < ½π). Zodoende ken je ook sin α en cos α en kun je dus r berekenen uit de opgemeten lengte 2·r·sin α van de koorde.
Ik had de formule net gevonden in mijn boek, en toen las ik je post, toevallig allemaal.quote:
[..]
Het rechte stuk is een koorde van de cirkel gevormd door de omtrek van de CD. Noem de straal van de cirkel r en de halve middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen α, dan is de lengte van de koorde 2·r·sin α en de afstand van het midden van de koorde tot de cirkel r·(1 − cos α). Het quotiënt van deze lengtes is dan
r·(1 − cos α) / 2·r·sin α = ½·tan ½α
aangezien
tan ½α = (1 − cos α)/sin α
zodat je tan ½α en daarmee α kunt bepalen (0 < α < ½π). Zodoende ken je ook sin α en cos α en kun je dus r berekenen uit de opgemeten lengte 2·r·sin α van de koorde.
In ieder geval bedankt.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Het kan natuurlijk ook met Pythagoras, en dat is misschien hier wel zo makkelijk.quote:
[..]
Ik had de formule net gevonden in mijn boek, en toen las ik je post, toevallig allemaal.
Noem de lengte van de koorde k en de afstand van het midden van de koorde tot de cirkel p, en de gezochte straal R, dan hebben we volgens Pythagoras
(½k)2 + (R − p)2 = R2
Uitwerken geeft
¼k2 + R2 − 2Rp + p2 = R2
¼k2 − 2Rp + p2 = 0
2pR = ¼k2 + p2
Ja, die is wel een stuk makkelijker inderdaad, vooral met het plaatje. Ik gebruik die wel.quote:
[..]
Het kan natuurlijk ook met Pythagoras, en dat is misschien hier wel zo makkelijk.
[ afbeelding ]
Noem de lengte van de koorde k en de afstand van het midden van de koorde tot de cirkel p, en de gezochte straal R, dan hebben we volgens Pythagoras
(½k)2 + (R − p)2 = R2
Uitwerken geeft
¼k2 + R2 − 2Rp + p2 = R2
¼k2 − 2Rp + p2 = 0
2pR = ¼k2 + p2
[ afbeelding ]
Hoe vind je zoiets iets eigenlijk, dat plaatje bedoel ik? Heeft het een specifieke naam, zoek je op specifieke termen, of maak je het gewoon zelf? Want ik probeerde eerst te zoeken op internet, maar daar kwam ik niet heel ver mee. Misschien ook wel doordat ik zocht op "omtrek cirkel straal berekenen".
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Je probleem was kennelijk dat je niet wist hoe z'n stuk van een cirkelschijf heet. Welnu, zo'n stuk noemen we een cirkelsegment.quote:
[..]
Ja, die is wel een stuk makkelijker inderdaad, vooral met het plaatje. Ik gebruik die wel.
Hoe vind je zoiets iets eigenlijk, dat plaatje bedoel ik? Heeft het een specifieke naam, zoek je op specifieke termen, of maak je het gewoon zelf? Want ik probeerde eerst te zoeken op internet, maar daar kwam ik niet heel ver mee. Misschien ook wel doordat ik zocht op "omtrek cirkel straal berekenen".
Oh mijn god, zo simpel.quote:
[..]
Je probleem was kennelijk dat je niet wist hoe z'n stuk van een cirkelschijf heet. Welnu, zo'n stuk noemen we een cirkelsegment.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Ik moet de limiet van de rij
an = n5 / 3n met n ∈ N
geven en bewijzen zonder de formele definitie van de limiet. Mag ik nu gebruik maken van de regel van l'Hospital, of is deze functie/rij niet differentieerbaar? Als dat een probleem is, mag ik hem dan uitbreiden naar de reële getallen?
an = n5 / 3n met n ∈ N
geven en bewijzen zonder de formele definitie van de limiet. Mag ik nu gebruik maken van de regel van l'Hospital, of is deze functie/rij niet differentieerbaar? Als dat een probleem is, mag ik hem dan uitbreiden naar de reële getallen?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.quote:
Ik moet de limiet van de rij
an = n5 / 3n met n ∈ N
geven en bewijzen zonder de formele definitie van de limiet. Mag ik nu gebruik maken van de regel van l'Hospital, of is deze functie/rij niet differentieerbaar? Als dat een probleem is, mag ik hem dan uitbreiden naar de reële getallen?
Hint: beschouw eerst de rij {bn}1∞ gedefinieerd door
bn = n / αn met α > 1
Als je nu kunt bewijzen dat
limn→∞ bn = 0
dan ben je klaar, aangezien je voor α = 31/5 dan hebt an = (bn)5 en dus ook
limn→∞ an = 0
Dat begrijp ik.quote:
[..]
Hint: beschouw eerst de rij {bn}1∞ gedefinieerd door
bn = n / αn met α > 1
Als je nu kunt bewijzen dat
limn→∞ bn = 0
dan ben je klaar, aangezien je voor α = 31/5 dan hebt an = (bn)5 en dus ook
limn→∞ an = 0
Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.quote:Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.
Ik ga zeer zeker naar je hint kijken, maar ik ben wel benieuwd of ik hier nu de regel van l'Hospital mag toepassen. In dat geval is je hint ook zeer gemakkelijk op te lossen.
[ Bericht 2% gewijzigd door Amoeba op 15-11-2013 21:03:43 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.quote:
[..]
Dat begrijp ik.
[..]
Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.
Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.quote:Ik ga zeer zeker naar je hint kijken, maar ik ben wel benieuwd of ik hier nu de regel van l'Hospital mag toepassen. In dat geval is je hint ook zeer gemakkelijk op te lossen.
Volgende hint: kies α = 1 + h zodat h > 0 aangezien α > 1 en bedenk dat dan voor n > 1 geldt
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.quote:
[..]
Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.
[..]
Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.
Volgende hint: kies α = 1 + h zodat h > 0 aangezien α > 1 en bedenk dat dan voor n > 1 geldt
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
De regel van l'Hospital is aan de orde gekomen in het basisvak Calculus, dus ik zie niet in waarom ik die niet mag gebruiken.
Maar je ontwijkt steeds de vraag. Het is nou niet noodzakelijkerwijs de bedoeling om de regel van l'Hospital te gebruiken, ik wil alleen weten of dat mag i.v.m. de definitie van n als een natuurlijk getal en differentieerbaarheid.
Nu op basis van je onderste regel:
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
Dus
n/αn met α > 1 en α = 1 + h
dan geldt:
n/αn < n / (nh2(n−1)/2) = 1/(h2(n−1)/2) = 2/(h2(n−1))
En voor n voldoende groot nadert dat naar 0.
Maar ik moet heel eerlijk bekennen dat ik op die regel niet zou zijn gekomen.
[ Bericht 3% gewijzigd door Amoeba op 15-11-2013 22:25:27 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Eigenlijk geen huiswerk vraag, maar ben wel benieuwd 'how to handle'.
Ik heb een hele bak met data, waarbij elke vastlegging in de databank een combinatie is van tijdstip (in minuten nauwkeurig) en en event type. Het is data van meerdere weken, maar ik ben geinteresseerd op welke tijdstippen 'het meest waarschijnlijk' of 'normaal' het event plaatsvind.
uit ervaring weet ik dat de meeste events voor 1 bepaald event type tussen 7 en 8 sochtends voorkomen met een bepaalde frequentie, en tussen 4 en 5. Maar andere events hebben 3 voorkeurs momenten per dag, of meer.
Wat ik graag wil is dat ik wil weten wanneer de resultaten van een bepaalde dag, of een aantal dagen, 'anders is dan bv de afgelopen weken'. En dan met een bepaalde zekerheid, natuurlijk.
Ik heb vhet vermoeden dat ik met multi-gaussians moet gaan werken, al is het maar de vraag of de events binnen tijdstip zich normaal gedragen. Ik denk van niet, namelijk. Anders is misschien Kernal Density Estimation een idee? O
In het kort, ik wil graag op basis van bv een week of 2 aan observaties, een schatting kunnen geven hoe waarschijnlijk het is dat de observatieserie van vandaag binnen 'het normale' valt.
-----------
Heel simpel voorbeeld: een apparaat telt het aantal mensen dat over een spoorwegovergang loopt gedurende 24 uur per dag 7 dagen per week. Na een week of wat wil je dat systeem gaan gebruiken om te kijken of de doorstroom 'gisteren' anders was dan 'normaal'. En ook wil je graag enige kwantitatieve expressie hoe anders dan wel. Je wilt niet alleen kijken naar aantallen, maar ook naar drukste doorstroomtijden, bijvoorbeeld.
tot slot rijst de vraag: hoe update je je systeem? Als er bv steeds meer begroeiing langs het looppad gaat groeien met stevige doorns, gaan er heel langzaam minder mensen lopen. Ik wil daar wel rekening mee houden, dus het systeem een beetje 'updaten' zeg maar.
----
afronding: in welke hoek moet ik zoeken? Ik hoop niet gelijk in moeilijke pattern recognition / machine learning meuk, maar wat flinke wiskunde is prima
Ik heb een hele bak met data, waarbij elke vastlegging in de databank een combinatie is van tijdstip (in minuten nauwkeurig) en en event type. Het is data van meerdere weken, maar ik ben geinteresseerd op welke tijdstippen 'het meest waarschijnlijk' of 'normaal' het event plaatsvind.
uit ervaring weet ik dat de meeste events voor 1 bepaald event type tussen 7 en 8 sochtends voorkomen met een bepaalde frequentie, en tussen 4 en 5. Maar andere events hebben 3 voorkeurs momenten per dag, of meer.
Wat ik graag wil is dat ik wil weten wanneer de resultaten van een bepaalde dag, of een aantal dagen, 'anders is dan bv de afgelopen weken'. En dan met een bepaalde zekerheid, natuurlijk.
Ik heb vhet vermoeden dat ik met multi-gaussians moet gaan werken, al is het maar de vraag of de events binnen tijdstip zich normaal gedragen. Ik denk van niet, namelijk. Anders is misschien Kernal Density Estimation een idee? O
In het kort, ik wil graag op basis van bv een week of 2 aan observaties, een schatting kunnen geven hoe waarschijnlijk het is dat de observatieserie van vandaag binnen 'het normale' valt.
-----------
Heel simpel voorbeeld: een apparaat telt het aantal mensen dat over een spoorwegovergang loopt gedurende 24 uur per dag 7 dagen per week. Na een week of wat wil je dat systeem gaan gebruiken om te kijken of de doorstroom 'gisteren' anders was dan 'normaal'. En ook wil je graag enige kwantitatieve expressie hoe anders dan wel. Je wilt niet alleen kijken naar aantallen, maar ook naar drukste doorstroomtijden, bijvoorbeeld.
tot slot rijst de vraag: hoe update je je systeem? Als er bv steeds meer begroeiing langs het looppad gaat groeien met stevige doorns, gaan er heel langzaam minder mensen lopen. Ik wil daar wel rekening mee houden, dus het systeem een beetje 'updaten' zeg maar.
----
afronding: in welke hoek moet ik zoeken? Ik hoop niet gelijk in moeilijke pattern recognition / machine learning meuk, maar wat flinke wiskunde is prima
Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.quote:
[..]
Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.
Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.quote:De regel van l'Hospital is aan de orde gekomen in het basisvak Calculus, dus ik zie niet in waarom ik die niet mag gebruiken.
Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.quote:Maar je ontwijkt steeds de vraag. Het is nou niet noodzakelijkerwijs de bedoeling om de regel van l'Hospital te gebruiken, ik wil alleen weten of dat mag i.v.m. de definitie van n als een natuurlijk getal en differentieerbaarheid.
Maar goed, L'Hôpital. Definieer op [1, ∞) de functies f(x) = x5 en g(x) = 3x. Deze functies zijn oneindig vaak differentieerbaar op (1, ∞) en bovendien nemen |f(x)| en |g(x)| onbeperkt toe voor x → ∞ zodat we nu (behoudens in bepaalde gevallen, zie hier) inderdaad de regel van L'Hôpital zo vaak als nodig kunnen gebruiken om
limx→∞ f(x)/g(x)
te bepalen, als deze limiet althans bestaat.
Verder heb je nu
an = f(n)/g(n)
Als nu limx→∞ f(x)/g(x) = L
dan is ook
limn→∞ an = limn→∞ f(n)/g(n) = L
Je mag dit laatste echter niet omkeren. Neem bijvoorbeeld h(x) = x−1·tan(¼π+xπ) op [1,∞)\{ x ∈ R | x = n + ¼ ∧ n ∈ N }, dan is limn→∞ h(n) = 0, maar limx→∞ h(x) bestaat niet.
Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.quote:Nu op basis van je onderste regel:
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
Dus
n/αn met α > 1 en α = 1 + h
dan geldt:
n/αn < n / (nh2(n−1)/2) = 1/(h2(n−1)/2) = 2/(h2(n−1))
En voor n voldoende groot nadert dat willekeurig dicht tot 0.
Maar ik moet heel eerlijk bekennen dat ik op die regel niet zou zijn gekomen.
Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.quote:
[..]
Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.
http://www.win.tue.nl/~gprokert/2WA30.html
Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.quote:[..]
Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.
[..]
Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.quote:Maar goed, L'Hôpital. Definieer op [1, ∞) de functies f(x) = x5 en g(x) = 3x. Deze functies zijn oneindig vaak differentieerbaar op (1, ∞) en bovendien nemen |f(x)| en |g(x)| onbeperkt toe voor x → ∞ zodat we nu (behoudens in bepaalde gevallen, zie hier) inderdaad de regel van L'Hôpital zo vaak als nodig kunnen gebruiken om
limx→∞ f(x)/g(x)
te bepalen, als deze limiet althans bestaat.
Verder heb je nu
an = f(n)/g(n)
Als nu limx→∞ f(x)/g(x) = L
dan is ook
limn→∞ an = limn→∞ f(n)/g(n) = L
Je mag dit laatste echter niet omkeren. Neem bijvoorbeeld h(x) = x−1·tan(¼π+xπ) op [1,∞)\{ x ∈ R | x = n + ¼ ∧ n ∈ N }, dan is limn→∞ h(n) = 0, maar limx→∞ h(x) bestaat niet.
[..]
Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.quote:
[..]
Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.
http://www.win.tue.nl/~gprokert/2WA30.html
[..]
Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.
[..]
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.
Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.quote:
[..]
Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hôpital'.quote:
[..]
Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.
[ Bericht 0% gewijzigd door jordyqwerty op 18-11-2013 01:52:24 ]
W-alpa zegt dat het sin(pi/6 - 2x) is, mijn uitwerking zegt dat het sin(2x+5pi/6) is. Ik zeg dat het sin(pi/6 - 2x) is.
Nu ben ik door het concept door de war. De opgaves die ik heb:
Nu ben ik door het concept door de war. De opgaves die ik heb:
sin(2x-0.25pi) heeft volgens mij als complementair cos(0.75pi - 2x). In de uitwerkingen hebben ze gedeeld door -1, maar ik vraag me af of dat wel mag. Daarbij zeggen ze dat -cos(x + 0.33pi) gelijk staat aan cos(2x + 1.33pi), echter mijn boekje geeft mij 2 mogelijkheden: door -cos(a)=cos(pi+a) of cos(pi-a), maakt het uit welke ik kies?quote:Opgaven:
a. sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
b. cos(2x + 0.33pi) = - sin(x - 0.75pi)
Uitwerkingen:
a. cos(2x - 0.75pi) = cos(2x + 1.33pi)
b. sin(2x + 0.83pi) = sin(x + 0.25pi)
Okay.quote:Op zaterdag 16 november 2013 15:56 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hopital'.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Neem -cos(60) eens, dat is gelijk aan -.0.5 Dat is gelijk aan cos(120), maar ook aan cos(240).
Dan moet - cos(x + 0.33pi), wat ook geschreven kan worden als - cos(x+60), zijn cos(180-x-60) en dit is gelijk aan cos(120-x) wat in radialen gelijk is aan cos(2pi/3 - x) of als cos(240-x) namelijk cos(4pi/3 - x).
Mis ik iets?
Edit:
Ik zou a zo oplossen:
sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
cos(pi/2 - 2x + 0.25pi) = cos(pi - x - 0.33pi)
cos(3pi/4 - 2x) = cos(2pi/3 -x)
3pi/4 - 2x = 2pi/3 - x + k * 2pi
-x=2pi/3 - 3pi/4 + k * 2pi
-x = - pi/12 + k * 2pi
x= pi/12 + k * 2pi
Maar dat klopt niet volgens de uitwerkingen.
[ Bericht 17% gewijzigd door DefinitionX op 16-11-2013 18:16:14 ]
Dan moet - cos(x + 0.33pi), wat ook geschreven kan worden als - cos(x+60), zijn cos(180-x-60) en dit is gelijk aan cos(120-x) wat in radialen gelijk is aan cos(2pi/3 - x) of als cos(240-x) namelijk cos(4pi/3 - x).
Mis ik iets?
Edit:
Ik zou a zo oplossen:
sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
cos(pi/2 - 2x + 0.25pi) = cos(pi - x - 0.33pi)
cos(3pi/4 - 2x) = cos(2pi/3 -x)
3pi/4 - 2x = 2pi/3 - x + k * 2pi
-x=2pi/3 - 3pi/4 + k * 2pi
-x = - pi/12 + k * 2pi
x= pi/12 + k * 2pi
Maar dat klopt niet volgens de uitwerkingen.
[ Bericht 17% gewijzigd door DefinitionX op 16-11-2013 18:16:14 ]
Bedenk dat de cosinus van een (rotatie)hoek gelijk is aan de sinus van het complement van die (rotatie)hoek. Daar komt ook de naam cosinus vandaan, deze naam is ontstaan uit co. sinus dat stond voor complementi sinus oftewel 'de sinus van het complement'.quote:
Twee hoeken noemen we complementair als ze samen een rechte hoek vormen. Eigenlijk zijn complementaire hoeken in de vlakke meetkunde dus altijd scherpe hoeken, maar als we werken met de eenheidscirkel dan noemen we twee willekeurige rotatiehoeken die samen een rotatie over +90° oftewel ½π rad opleveren ook complementair.
Als we het startpunt (1; 0) op de eenheidscirkel roteren om de oorsprong over twee hoeken die elkaars complement zijn, dan liggen de beeldpunten P en P' van (1; 0) symmetrisch ten opzichte van de lijn met vergelijking y = x. Dat betekent dus dat P en P' elkaars beeld zijn bij spiegeling in deze lijn. En omdat bij spiegeling in de lijn y = x een punt met coördinaten (x; y) over gaat in het punt met coördinaten (y; x) hebben we dus inderdaad voor elke rotatiehoek α
cos(½π − α) = sin α
sin(½π − α) = cos α
Verder kun je bedenken dat een willekeurig punt (x; y) bij een rotatie om de oorsprong over een halve slag oftewel 180° oftewel π rad overgaat in het punt (−x; −y) dat immers diametraal ten opzichte van de oorsprong tegenover het punt (x; y) ligt. En dus hebben we ook voor elke rotatiehoek α
cos(π + α) = −cos α
sin(π + α) = −sin α
Tenslotte kun je bedenken dat het roteren van het startpunt (1; 0) om de oorsprong over twee tegengestelde rotatiehoeken twee beeldpunten P en P' geeft die symmetrisch liggen ten opzichte van de x-as, zodat de x-coördinaten van P en P' hetzelfde zijn terwijl de y-coördinaten van P en P' elkaars tegengestelde zijn. En dus hebben we voor elke rotatiehoek α
cos(−α) = cos α
sin(−α) = −sin α
Voor de volledigheid herinner ik je er ook nog even aan dat het roteren van het startpunt (1; 0) om de oorsprong over twee rotatiehoeken die elkaars supplement zijn twee beeldpunten P en P' oplevert die symmetrisch liggen ten opzichte van de y-as, zodat de x-coördinaten van P en P' dan elkaars tegengestelde zijn terwijl de y-coördinaten van P en P' gelijk zijn. Dus hebben we voor elke rotatiehoek α
cos(π − α) = −cos α
sin(π − α) = sin α
Welnu, met deze identiteiten hebben we dan
cos(2x + π/3) = sin(π/2 − 2x − π/3) = sin(π/2 − π/3 − 2x) = sin(π/6 − 2x)
Maar nu kun je ook bedenken dat
sin(π/6 − 2x) = sin(π − 5π/6 − 2x) = sin(π − (2x + 5π/6)) = sin(2x + 5π/6)
Dit mag je om te beginnen niet zo opschrijven. Gebruik geen decimale breuken, 0.33 is niet hetzelfde als 1/3. Ook ben ik tegen het gebruik van de punt als decimaal scheidingsteken, maar dat is weer een andere kwestie. Verder maak je rekenfouten met breuken en vergeet je een deel van de oplossingen, omdat je niet bedenkt dat twee cosinussen niet alleen gelijk zijn als de rotatiehoeken gelijk zijn (op een geheel veelvoud van 2π na) maar ook als de rotatiehoeken tegengesteld zijn (op een geheel veelvoud van 2π na).quote:
Ik zou a zo oplossen:
sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
Begin met de vergelijking correct op te schrijven:
sin(2x − π/4) = −cos(x + π/3)
Nu is het gewoon een kwestie van het toepassen van de identiteiten die ik hierboven heb besproken.
cos(π/2 − 2x + π/4) = cos(π − x − π/3)
cos(3π/4 − 2x) = cos(2π/3 − x)
3π/4 − 2x = 2π/3 − x + 2kπ ∨ 3π/4 − 2x = −2π/3 + x + 2kπ, k ∈ Z
Dit mag je zelf even verder uitwerken.
http://i43.tinypic.com/55sfo6.jpg
Dank u wel voor de uitleg!
Ik moet zeggen dat ik dit blijf lastig vinden i.v.m. het kiezen van de juiste vorm van overzetten en het aantal antwoorden.
Dat je bijvoorbeeld in de ene situatie kiest om π/2 als basis voor het aftrekken te gebruiken of juist gewoon π. Ik moet wennen aan de logica (want je kiest niet zomaar getallen), want als ik het gewoon test, dus waardes invul, kom ik gewoon netjes uit voor de identiteits regels. Bijvoorbeeld in "wiskundige basisvaardigheden" 3e druk, pagina 125 is er een net overzicht daarvan.
Ik ben niet ontzettend ver gekomen met dit onderdeel, al heb ik er wel wat uren in gestopt vandaag, maar wat ik nu wel met gemak kan oplossen zijn vragen zoals vraag 2 van het 2013 juli examen en vraag 3 van het 2013 augustus examen.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Vandaag is meer logica naar binnen gekomen dan opgaves.
Dank u wel voor de uitleg!
Ik moet zeggen dat ik dit blijf lastig vinden i.v.m. het kiezen van de juiste vorm van overzetten en het aantal antwoorden.
Dat je bijvoorbeeld in de ene situatie kiest om π/2 als basis voor het aftrekken te gebruiken of juist gewoon π. Ik moet wennen aan de logica (want je kiest niet zomaar getallen), want als ik het gewoon test, dus waardes invul, kom ik gewoon netjes uit voor de identiteits regels. Bijvoorbeeld in "wiskundige basisvaardigheden" 3e druk, pagina 125 is er een net overzicht daarvan.
Ik ben niet ontzettend ver gekomen met dit onderdeel, al heb ik er wel wat uren in gestopt vandaag, maar wat ik nu wel met gemak kan oplossen zijn vragen zoals vraag 2 van het 2013 juli examen en vraag 3 van het 2013 augustus examen.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Vandaag is meer logica naar binnen gekomen dan opgaves.
Het is in ieder geval belangrijk om altijd in het achterhoofd te houden dat cosinus eigenlijk sinus van het complement betekent, en dusquote:
http://i43.tinypic.com/55sfo6.jpg
Dank u wel voor de uitleg!
Ik moet zeggen dat ik dit blijf lastig vinden i.v.m. het kiezen van de juiste vorm van overzetten en het aantal antwoorden.
Dat je bijvoorbeeld in de ene situatie kiest om π/2 als basis voor het aftrekken te gebruiken of juist gewoon π. Ik moet wennen aan de logica (want je kiest niet zomaar getallen), want als ik het gewoon test, dus waardes invul, kom ik gewoon netjes uit voor de identiteits regels. Bijvoorbeeld in "wiskundige basisvaardigheden" 3e druk, pagina 125 is er een net overzicht daarvan.
cos α = sin(½π − α)
en daarmee ook
sin α = cos(½π − α)
Immers, ½π − α is het complement van α, maar omgekeerd is α ook het complement van ½π − α. Met deze betrekkingen kun je een cosinus altijd omzetten in een sinus, maar kun je ook omgekeerd een sinus altijd omzetten in een cosinus.
Als je een goniometrische vergelijking hebt met links uitsluitend een sinus en rechts uitsluitend een cosinus (of omgekeerd), dan kun je dus altijd zorgen dat er óf in beide leden een cosinus komt óf in beide leden een sinus.
Twee cosinussen zijn gelijk als de (rotatie)hoeken óf gelijk zijn óf tegengesteld, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus
cos α = cos β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = −β + k·2π, k ∈ Z
Twee sinussen daarentegen zijn gelijk als de (rotatie)hoeken óf gelijk zijn óf supplementair, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus
sin α = sin β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = π − β + k·2π, k ∈ Z
Een beetje inzicht verwerven is waardevoller dan het maken van enkele opgaven waarvan je de achterliggende theorie maar half begrijpt.quote:Ik ben niet ontzettend ver gekomen met dit onderdeel, al heb ik er wel wat uren in gestopt vandaag, maar wat ik nu wel met gemak kan oplossen zijn vragen zoals vraag 2 van het 2013 juli examen en vraag 3 van het 2013 augustus examen.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Vandaag is meer logica naar binnen gekomen dan opgaves.
Bij het werken met (limieten van) rijen komt de ongelijkheid van Bernoulli vaak van pas (vernoemd naar Jakob Bernoulli, de broer van Johann). Deze ongelijkheid zegt dat je hebtquote:
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.
(1 + h)n ≥ 1 + nh, h ≥ −1, n ≥ 0
Er is ook een strikte versie van de ongelijkheid die zegt dat je hebt
(1 + h)n > 1 + nh, h ≥ −1, h ≠ 0, n > 1
De juistheid van deze ongelijkheden is triviaal voor h > 0 op grond van het binomium, maar ze hebben dus een ruimere geldigheid. Meestal neemt men voor n een natuurlijk getal, en dan kun je eenvoudig een bewijs met inductie geven. De ongelijkheid is ook uit te breiden naar reële exponenten r, dan heb je
(1 + h)r ≥ 1 + rh, h > −1, r ≤ 0 ∨ r ≥ 1
(1 + h)r ≤ 1 + rh, h > −1, 0 ≤ r ≤ 1
En de strikte vorm hiervan is
(1 + h)r > 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, r < 0 ∨ r > 1
(1 + h)r < 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, 0 < r < 1
Voor een (niet triviaal) gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli moet je mijn post met het bewijs voor de convergentie van de Newton-Raphson iteratie voor derdemachtswortels nog maar eens bestuderen.
Een heel bekende (en wel triviale) toepassing van de ongelijkheid van Bernoulli is het bewijs dat je voor α > 1 en n positief geheel hebt
limn→∞ 1/αn = 0
Immers, zij α = 1 + h, dan is h > 0 en hebben we
0 < 1/αn = 1/(1+h)n ≤ 1/(1 + nh) < 1/nh
zodat het gestelde direct volgt met behulp van de insluitstelling.
Maar nu moesten we bewijzen dat voor α > 1 en n positief geheel geldt
limn→∞ n/αn = 0
en dan komen we met de ongelijkheid van Bernoulli niet verder dan 0 < n/αn < 1/h, en dat is niet bruikbaar voor het bewijs. Maar we kunnen een uitdrukking voor de bovengrens krijgen waarbij wel een factor met n in de noemer zit als we bedenken dat (1 + h)n voor n > 1 als derde term (n(n−1)/2)·h2 heeft, zodat we voor h > 0, n > 1 hebben
(1 + h)n > (n(n−1)/2)·h2
en daarmee
0 < n/αn < 2/((n−1)·h2)
waaruit het gestelde weer volgt met behulp van de insluitstelling.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-11-2013 03:26:01 ]
Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:
Ik 'zie' het gewoon niet.
Edit:
Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.
Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.quote:
[ afbeelding ]
Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:
[ afbeelding ]
Ik 'zie' het gewoon niet.
Edit:
Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
quote:
[..]
Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.
Nu je het zegt, inderdaad!
Trouwens, ik heb 1 antwoord kunnen vinden, namelijk sin(x)=-1 oftewel x= 3pi/2 + k2pi
En opgelost voor
sin(x)=-1 v sin(x)= - (1/2)
oftewel
x = 3pi/2 + k2pi v x = 7pi/6 + k2pi
En omdat 7pi/6 hetzelfde is als 11pi/6 is het uiteindelijke antwoord:
x = 3pi/2 + k2pi v x = 7pi/6 + k2pi v x=11pi/6 + k2pi
Enorm bedankt!
[ Bericht 8% gewijzigd door DefinitionX op 17-11-2013 18:38:21 ]
Deze vergelijking is eigenlijk een vierkantsvergelijking in sin(x). Wat je hier kunt doen is eerst een substitutie uitvoeren. Stellen wequote:
[ afbeelding ]
Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:
[ afbeelding ]
Ik 'zie' het gewoon niet.
Edit:
Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.
sin(x) = z
dan krijgen we
2z2 + 3z + 1 = 0
Deze vierkantsvergelijking is op te lossen middels ontbinden in factoren, als volgt. We zoeken eerst twee getallen waarvan de som 3 is en het product 2·1 = 2. Deze getallen zijn uiteraard 2 en 1. Nu herschrijven we 3z eerst als 2z + z, zodat we krijgen
2z2 + 2z + z + 1 = 0
Nu kunnen we bij de eerste twee termen een factor 2z buiten haakjes halen, dan hebben we
2z(z + 1) + (z + 1) = 0
Nu weer de gemene factor (z + 1) buiten haakjes halen en we hebben
(z + 1)(2z + 1) = 0
en dus
z + 1 = 0 ∨ 2z + 1 = 0
z = −1 ∨ z = −½
Maar nu weten we dat z staat voor sin(x), en dus hebben we
sin(x) = −1 ∨ sin(x) = −½
Nu kun je de vergelijking zelf wel verder oplossen.
Kijk, die ongelijkheid hadden we dus nog niet gehad. Ik kan me inderdaad je post herinneren over het bewijs met de ongelijkheid van Bernoulli.quote:
[..]
Bij het werken met (limieten van) rijen komt de ongelijkheid van Bernoulli vaak van pas (vernoemd naar Jakob Bernoulli, de broer van Johann). Deze ongelijkheid zegt dat je hebt
(1 + h)n ≥ 1 + nh, h ≥ −1, n ≥ 0
Er is ook een strikte versie van de ongelijkheid die zegt dat je hebt
(1 + h)n > 1 + nh, h ≥ −1, h ≠ 0, n > 1
De juistheid van deze ongelijkheden is triviaal voor h > 0 op grond van het binomium, maar ze hebben dus een ruimere geldigheid. Meestal neemt men voor n een natuurlijk getal, en dan kun je eenvoudig een bewijs met inductie geven. De ongelijkheid is ook uit te breiden naar reële exponenten r, dan heb je
(1 + h)r ≥ 1 + rh, h > −1, r ≤ 0 ∨ r ≥ 1
(1 + h)r ≤ 1 + rh, h > −1, 0 ≤ r ≤ 1
En de strikte vorm hiervan is
(1 + h)r > 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, r < 0 ∨ r > 1
(1 + h)r < 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, 0 < r < 1
Voor een (niet triviaal) gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli moet je mijn post met het bewijs voor de convergentie van de Newton-Raphson iteratie voor derdemachtswortels nog maar eens bestuderen.
Een heel bekende (en wel triviale) toepassing van de ongelijkheid van Bernoulli is het bewijs dat je voor α > 1 en n positief geheel hebt
limn→∞ 1/αn = 0
Immers, zij α = 1 + h, dan is h > 0 en hebben we
0 < 1/αn = 1/(1+h)n ≤ 1/(1 + nh) < 1/nh
zodat het gestelde direct volgt met behulp van de insluitstelling.
Maar nu moesten we bewijzen dat voor α > 1 en n positief geheel geldt
limn→∞ n/αn = 0
en dan komen we met de ongelijkheid van Bernoulli niet verder dan 0 < n/αn < 1/h, en dat is niet bruikbaar voor het bewijs. Maar we kunnen een uitdrukking voor de bovengrens krijgen waarbij wel een factor met n in de noemer zit als we bedenken dat (1 + h)n voor n > 1 als derde term (n(n−1)/2)·h2 heeft, zodat we voor h > 0, n > 1 hebben
(1 + h)n > (n(n−1)/2)·h2
en daarmee
0 < n/αn < 2/((n−1)·h2)
waaruit het gestelde weer volgt met behulp van de insluitstelling.
Maar dan zitten we met het volgende probleem:
Er wordt hier geroepen dat het waarschijnlijk niet de bedoeling was om de regel van l'Hôpital te gebruiken, maar nu kan ik net zo hard roepen dat het niet de bedoeling is om de ongelijkheid van Bernoulli te gebruiken.
Maar dat is een zorg voor het Wiskundepracticum, ik hoef die zooi niet na te kijken in ieder geval.
Vriendelijk dank.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Wel netjes werken: er zijn twee punten op de eenheidscirkel waarbij de y-coördinaat (en dus ook de sinus van de bijbehorende rotatiehoeken) gelijk is aan −½. Je krijgtquote:
[..]
Nu je het zegt, inderdaad!
Trouwens, ik heb 1 antwoord kunnen vinden, namelijk sin(x)=-1 oftewel x= 3pi/2 + k2pi
En opgelost voor
sin(x)=-1 v sin(x)= - (1/2)
x = 3π/2 + k·2π ∨ x = 7π/6 + k·2π ∨ x = 11π/6 + k·2π, k ∈ Z
Het is muggenziften, maar je gooit ineens een variabele k in het spel. Formeel moet je definiëren wat die k is, zoals Riparius hierboven doet, hij definieert k als een element van Z (de gehele getallen). Stel dat ik dat element k nu als een element van R (de reële getallen) opvat dan klopt het gewoon niet meer voor alle k.quote:
Opgave d op een zelfde manier opgelost, bedankt Amoeba en Riparius!
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb je boekje niet, anders zou ik waarschijnlijk kunnen achterhalen wat dan wel de bedoeling was.quote:
[..]
Er wordt hier geroepen dat het waarschijnlijk niet de bedoeling was om de regel van l'Hôpital te gebruiken, maar nu kan ik net zo hard roepen dat het niet de bedoeling is om de ongelijkheid van Bernoulli te gebruiken.
College 2: Reële getallen II, rijen Iquote:
[..]
Ik heb je boekje niet, anders zou ik waarschijnlijk kunnen achterhalen wat dan wel de bedoeling was.
Materiaal: [K] 1.7, 2.1
Kernbegrippen: rij, naar boven / beneden begrensde rij, (strict) monotoon stijgende/dalende rij, limiet
Centrale stellingen: Eenduidigheid van de limiet, begrensdheid van convergente rijen
Vaardigheden: herkennen van eigenschappen van rijen, werken met de limietdefinitie
http://www.win.tue.nl/~gprokert/opcoll02.pdf
Dit zijn de opgaven.
En dan vind ik opgave 2 nog wel het vaagste (en meest triviaalste). Volgt dat niet direct uit de limietdefinitie?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.quote:
[..]
En dan vind ik opgave 2 nog wel het vaagste (en meest triviaalste). Volgt dat niet direct uit de limietdefinitie?
Edit: je kunt bedenken dat je hebt
bn+1/bn = ⅓·(1 + 1/n)5
Voor voldoend grote n, zeg n ≥ 20, heb je dan
bn+1 < ½·bn
en daarmee is er een c > 0 zodanig dat voor n > 20
bn < c·2−n
De rij is dus monotoon dalend vanaf een zekere term, de termen zijn positief zodat nul een ondergrens is, en een monotoon dalende rij met een ondergrens heeft een limiet. Die limiet kan bovendien niet groter zijn dan nul omdat je voor elke ε > 0 een N ≥ 20 kunt vinden zodanig dat 2n > c/ε voor n > N en dus 2−n < ε/c en dus bn < ε voor n > N. Ergo, de limiet van de rij is nul. Wat denk je daarvan?
[ Bericht 19% gewijzigd door Riparius op 17-11-2013 22:46:26 ]
Ik zou zoiets noteren:
Te bewijzen:
xn → x* ↔ |xn - x*| → 0
Bewijs:
Stel dat x*, de limiet waarnaar xn convergeert, dan geldt de limietdefinitie:
∀ε>0 ∃N∈N∀n>N [ |xn - x*| < ε ]
Dus nemen we nu voor ε nu willekeurig klein, dan volgt het gevraagde.
Maar de opgave is om te bewijzen dat het één het ander impliceert, dus volgens mij moet ik het nu ook nog andersom bewijzen.
Maar dat is net zo simpel, neem nu aan dat |xn - x*| → 0, dan kunnen we dus de limietdefinitie erbij halen, laten zien dat die waar is, en dat dus dan ook x* de limiet is waarmee bewezen is dat xn → x*
Te bewijzen:
xn → x* ↔ |xn - x*| → 0
Bewijs:
Stel dat x*, de limiet waarnaar xn convergeert, dan geldt de limietdefinitie:
∀ε>0 ∃N∈N∀n>N [ |xn - x*| < ε ]
Dus nemen we nu voor ε nu willekeurig klein, dan volgt het gevraagde.
Maar de opgave is om te bewijzen dat het één het ander impliceert, dus volgens mij moet ik het nu ook nog andersom bewijzen.
Maar dat is net zo simpel, neem nu aan dat |xn - x*| → 0, dan kunnen we dus de limietdefinitie erbij halen, laten zien dat die waar is, en dat dus dan ook x* de limiet is waarmee bewezen is dat xn → x*
Komt in orde.quote:
[..]
Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik zal proberen in het vervolg netter te werken.quote:
[..]
Wel netjes werken: er zijn twee punten op de eenheidscirkel waarbij de y-coördinaat (en dus ook de sinus van de bijbehorende rotatiehoeken) gelijk is aan −½. Je krijgt
x = 3π/2 + k·2π ∨ x = 7π/6 + k·2π ∨ x = 11π/6 + k·2π, k ∈ Z
Zal ik aan denken.quote:
[..]
Het is muggenziften, maar je gooit ineens een variabele k in het spel. Formeel moet je definiëren wat die k is, zoals Riparius hierboven doet, hij definieert k als een element van Z (de gehele getallen). Stel dat ik dat element k nu als een element van R (de reële getallen) opvat dan klopt het gewoon niet meer voor alle k.
Overigens:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2010 a/1/juli, vraag 3:
Mijn antwoord is C en dat klopt volgens het antwoordmodel. Ik heb het opgelost door:
x - pi/3 = pi/2 + k2pi v x - pi/3 = - pi/2 + k2pi
x=5pi/6 + k2pi v x=pi/6 + k2pi
Waarin k een element van Z is. Dus 2 oplossingen.
Goede redenatie?
Een tijdje terug zag ik hoe je vrij eenvoudig de derdemachtswortel van een natuurlijk getal tussen de 1 en 100 kunt 'berekenen'. Ik zou graag willen weten waarom dit werkt.
Een 'demonstratie':
³√(50653)
50653
We weten dat 7³ eindigt op een 3 en weten zo dat het getal dat we zoeken eindigt op een 7. We strepen de laatste 3 cijfers door, 50 blijft over.
50653
Vervolgens zien we dat 50 tussen 3³ en 4³ ligt, ons getal begint dus met een 3.
37.
Ja, dit is een matige formulering.
Op een zelfde wijze volgt bijvoorbeeld dat ³√(658503) = 87
Maar waarom werkt het?
Een 'demonstratie':
³√(50653)
50653
We weten dat 7³ eindigt op een 3 en weten zo dat het getal dat we zoeken eindigt op een 7. We strepen de laatste 3 cijfers door, 50 blijft over.
50653
Vervolgens zien we dat 50 tussen 3³ en 4³ ligt, ons getal begint dus met een 3.
37.
Ja, dit is een matige formulering.
Op een zelfde wijze volgt bijvoorbeeld dat ³√(658503) = 87
Maar waarom werkt het?
Creatief. Alleen ik snap je regel niet waar je die c introduceert. Dat je daaruit concludeert dat de rij monotoon dalend is begrijp ik wel.quote:
[..]
Kijk eens naar mijn edit hierboven. Gewoon een beetje creatief zijn.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Voor n > 20 heb je bn < 220−n·b20, dus neem bijvoorbeeld c = 220·b20, dan is bn < c·2−n voor n > 20. Zo, en nu niet meer mekkeren dat de opgave niet oplosbaar zou zijn met uitsluitend de stof die tot nu toe in het college aan de orde is geweest.quote:
[..]
Creatief. Alleen ik snap je regel niet waar je die c introduceert. Dat je daaruit concludeert dat de rij monotoon dalend is begrijp ik wel.
[ Bericht 22% gewijzigd door Riparius op 17-11-2013 20:51:55 ]
Dadelijk krijgen we te horen dat we hadden moeten gebruiken dat een macht van n altijd sneller groeide dan een macht op n voor voldoende grote n. Dat was een ´vuistregeltje´ bij Calculus.quote:
[..]
Voor n > 20 heb je bn < 220−n·b20, dus neem bijvoorbeeld c = 220·b20, dan is bn < c·2−n voor n > 20. Zo, en nu niet meer mekkeren dat de opgave niet oplosbaar zou zijn met uitsluitend de stof die tot nu toe in het college aan de orde is geweest.
Maar dit moet nog even vallen, staat genoteerd voor morgen. Dank, en nog een fijne avond.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Uit 6 plekken moeten ze er 3 kiezen. Dit is een combinatie, namelijk:quote:
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Maar omdat ze verschillende auto's hebben maakt de volgorde onderling ook uit. Dit is nu een permutatie, namelijk: 3! = 3 x 2 x 1
Dan krijg je
Dus op 120 manieren.
Maar je kan het ook op een makkelijkere manier bekijken. De eerste auto heeft 6 opties, de tweede auto heeft 5 opties en de derde auto heeft 4 opties. Dus 6*5*4 = 120
Ok gesnopen. Bij deze kom ik ook niet uit:quote:
[..]
Uit 6 plekken moeten ze er 3 kiezen. Dit is een combinatie, namelijk:
Maar omdat ze verschillende auto's hebben maakt de volgorde onderling ook uit. Dit is nu een permutatie, namelijk: 3! = 3 x 2 x 1
Dan krijg je
Dus op 120 manieren.
Maar je kan het ook op een makkelijkere manier bekijken. De eerste auto heeft 6 opties, de tweede auto heeft 5 opties en de derde auto heeft 4 opties. Dus 6*5*4 = 120
Uit een groep van 15 heren en 5 dames moet een bestuur gekozen worden, bestaande uit een voorzitter, een penningmeester en 4 leden.
Op hoeveel manieren kan een bestuur met precies 2 dames erin gekozen worden?
Ik heb
5*4 *18!/14!4! = 5*4*(18*17*16*15)/(4*3*2*1) = 61200
Net een heel verhaal getypt, maar dat is nu perongeluk weg.quote:
[..]
Ok gesnopen. Bij deze kom ik ook niet uit:
Uit een groep van 15 heren en 5 dames moet een bestuur gekozen worden, bestaande uit een voorzitter, een penningmeester en 4 leden.
Op hoeveel manieren kan een bestuur met precies 2 dames erin gekozen worden?
Ik heb
5*4 *18!/14!4! = 5*4*(18*17*16*15)/(4*3*2*1) = 61200
Maar in ieder geval zou ik het zo doen:
Eerst kies je 2 van de 5 vrouwen en 4 van de 15 mannen. Deze kun je dan op 30 verschillende manieren verdelen over het bestuur. Eerst uit 6 mensen 1 voorzitter kiezen, dan uit 5 mensen 1 penningmeester en de overige 4 zijn de leden.
Dit laatste noemen ze ook wel een multinomiale coefficient:
Kan je ook lezen als 6 mensen verdelen over 3 groepen, waarbij de groepen respectievelijk 1, 1 en 4 mensen bevatten. De onderste 3 getallen moeten daarom ook altijd optellen tot het bovenste getal.
[ Bericht 7% gewijzigd door Ensemble op 17-11-2013 23:52:56 ]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.quote:
[..]
Net een heel verhaal getypt, maar dat is nu perongeluk weg.
Maar in ieder geval zou ik het zo doen:
Eerst kies je 2 van de 5 vrouwen en 4 van de 15 mannen. Deze kun je dan op 30 verschillende manieren verdelen over het bestuur. Eerst uit 6 mensen 1 voorzitter kiezen, dan uit 5 mensen 1 penningmeester en de overige 4 zijn de leden.
Dit laatste noemen ze ook wel multinomiaal
Ik zal er morgen ook nog wel even naar kijken. Is het nu te laat voor.quote:
[..]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.
Heb je toevallig een linkje naar het bestand met de vragen en antwoorden? Kan ik wel gebruiken voor m'n tentamenquote:
[..]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.
Smile like you mean it
www.wefut.com
www.wefut.com
Volgensmij komt dit van hhofstedequote:
[..]
Heb je toevallig een linkje naar het bestand met de vragen en antwoorden? Kan ik wel gebruiken voor m'n tentamen
http://www.hhofstede.nl/modules/tellen2.htm
quote:Op maandag 18 november 2013 01:50 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Volgensmij komt dit van hhofstede
http://www.hhofstede.nl/modules/tellen2.htm
Thanks!
Smile like you mean it
www.wefut.com
www.wefut.com
Als aanvulling op deze: kan iemand mij uitleggen op hoeveel manieren dat kan als de drie overblijvende plaatsen naast elkaar liggen?quote:
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Smile like you mean it
www.wefut.com
www.wefut.com
Simpel. Als V voor vol en L voor leeg staat, zijn vier mogelijkheden om drie lege plekken naast elkaar te zetten:quote:
[..]
Als aanvulling op deze: kan iemand mij uitleggen op hoeveel manieren dat kan als de drie overblijvende plaatsen naast elkaar liggen?
LLLVVV
VLLLVV
VVLLLV
VVVLLL
Iedere mogelijkheid heeft weer 3! permutaties.
Thanks.quote:
[..]
Simpel. Als V voor vol en L voor leeg staat, zijn vier mogelijkheden om drie lege plekken naast elkaar te zetten:
LLLVVV
VLLLVV
VVLLLV
VVVLLL
Iedere mogelijkheid heeft weer 3! permutaties.
Ik blijf er mee stoeien, kan iemand me nog met deze helpen?Bepaal het aantal oplossingen in gehele getallen x1; ...; x6 ≥ 0 van de vergelijking x1 + ... + x6 = 15.
Smile like you mean it
www.wefut.com
www.wefut.com
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |