[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 19:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk dat jij een heel verkeerde voorstelling hebt van wat nu een wiskundig bewijs is. Je mag datgene wat je wil bewijzen nooit voor waar aannemen, want dan bewijs je uiteindelijk niets. Je ziet vaak dat mensen hiermee de mist in gaan als ze een bewijs met (volledige) inductie moeten geven.

Ah ja, dan krijg je inderdaad een cirkelredenering.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 19:52 schreef Rezania het volgende:

[..]

Ah ja, dan krijg je inderdaad een cirkelredenering.

Dat is inderdaad de gangbare Nederlandse term voor een petitio principii. Heb je deze limiet nog uitgewerkt?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 20:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is inderdaad de gangbare Nederlandse term voor een petitio principii. Heb je deze limiet nog uitgewerkt?

Nee, ik liep op een gegeven moment steeds vast op die noemer en daarna heb ik er geen tijd meer aan besteed. Ik had andere prioriteiten.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 20:12 schreef Rezania het volgende:

[..]

Nee, ik liep op een gegeven moment steeds vast op die noemer en daarna heb ik er geen tijd meer aan besteed. Ik had andere prioriteiten.

Hint: herschrijf de noemer als

x³·x⁻¹·log(1 + x) = x³·log(1 + x)^1/x

en gebruik dat

lim_x→0 (1 + x)^1/x = e

zodat

lim_x→0 log(1 + x)^1/x = log e = 1

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 20:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hint: herschrijf de noemer als

x³·x⁻¹·log(1 + x) = x³·log(1 + x)^1/x

en gebruik dat

lim_x→0 (1 + x)^1/x = e

zodat

lim_x→0 log(1 + x)^1/x = log e = 1

Misschien morgen, ben voor vandaag wel klaar met wiskunde.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 17:32 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik ga dit nog maar eens correct met limieten proberen op te schrijven. Een commentaar is dat ik onderscheid moet maken tussen de lim_x→∞ f(x) en lim_{x→ -∞} f(x) en de limietvoorwaarde beter moet opschrijven.

Het gaat uiteraard ook eenvoudig als je de formele definitie van een limiet en wat rekenregels voor limieten gebruikt. Voor k = 1 .. n heb je

lim_x→∞ (a_n−k/a_n)x^−k = 0

en

lim_x→−∞ (a_n−k/a_n)x^−k = 0

(Bewijs dit aan de hand van de formele definitie van deze limieten). Aangezien de limiet van een som gelijk is aan de som van de limieten van de termen (mits deze bestaan) volgt dan direct dat

lim_x→∞ f(x) = 0

en

lim_x→−∞ f(x) = 0

In overeenstemming met de definitie van deze limieten bestaan er nu getallen X₁, X₂ ∈ R zodanig dat

|f(x)| < 1 voor x > X₁

en

|f(x)| < 1 voor x < X₂

Kies nu X₀ = max(|X₁|, |X₂|), dan is X₀ ≥ X₁ en tevens −X₀ ≤ X₂ zodat |f(x)| < 1 voor |x| > X₀.

Nog een vraagje over integreren:
Hoe moet deze integraal met de substitutieregel:

x(2x+5)^8

Zelf:
U=2x+5
du=2
dx=0,5xdu
dan
0,5x(u)^8
Maar dit kan volgensmij niet want x en u door elkaar?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 21:36 schreef wiskundige het volgende:
Nog een vraagje over integreren:
Hoe moet deze integraal met de substitutieregel:

x(2x+5)^8

Zelf:
U=2x+5
du=2
dx=0,5xdu
dan
0,5x(u)^8
Maar dit kan volgensmij niet want x en u door elkaar?

Deze opgave komt me heel bekend voor. Toevallig ook econometrie?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 19:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk inderdaad dat hij dit bedoelt. Hij wil het totaal aantal delers van een positief geheel getal bepalen. En dat heeft niets met kansrekening te maken.

Voorbeeld: bereken het aantal delers van 1000.

Antwoord: we ontbinden 1000 eerst in priemfactoren. Dit geeft

1000 = 2³·5³

Het aantal delers van 1000 is dus (3 + 1)·(3 + 1) = 16.

Controle: de delers van 1000 zijn

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000.

16 stuks inderdaad.

delers = factoren?
Of is er een verschil tussen NL en ENG?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 21:58 schreef Ensemble het volgende:

[..]

Deze opgave komt me heel bekend voor. Toevallig ook econometrie?

Ja, jij weet niet toevallig hoe die moet?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 22:01 schreef wiskundige het volgende:

[..]

Ja, jij weet niet toevallig hoe die moet?

Nee, die lukte bij mij ook niet. Ook de practicumdocent kon hem niet uitleggen.

Dus ben wel benieuwd hoe die moet.

Ik had trouwens precies hetzelfde als wat jij had.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 22:09 schreef Ensemble het volgende:

[..]

Nee, die lukte bij mij ook niet. Ook de practicumdocent kon hem niet uitleggen.

Dus ben wel benieuwd hoe die moet.

Ik had trouwens precies hetzelfde als wat jij had.

Die docent moet eens wat creatiever worden. Het gaat uiteraard via partieel integreren, maar ook als je dat niet mag gebruiken en het uitsluitend via substitutie moet is het te doen. We gaan eerst de integrand een beetje herleiden.

x(2x + 5)⁸ = ½·[2x(2x + 5)⁸] = ½·[(2x + 5 − 5)(2x + 5)⁸] = ½·[(2x + 5)(2x + 5)⁸ − 5(2x + 5)⁸] = ½·[(2x + 5)⁹ − 5(2x + 5)⁸] = ½·(2x + 5)⁹ − (5/2)·(2x + 5)⁸

Nu hebben we dus

∫ x(2x + 5)⁸dx = ∫ (½·(2x + 5)⁹ − (5/2)·(2x + 5)⁸)dx

Nu substitueren we

u = 2x + 5

zodat

du/dx = 2

en dus

dx = ½·du

Dan hebben we

∫ (½·(2x + 5)⁹ − (5/2)·(2x + 5)⁸)dx = ∫ (¼·u⁹ − (5/4)·u⁸)du = (1/40)·u¹⁰ − (5/36)·u⁹ + C = (1/40)·(2x + 5)¹⁰ − (5/36)·(2x + 5)⁹ + C

Deze uitkomst kunnen we weer herleiden door een factor (2x + 5)⁹ buiten haakjes te halen, en dan krijgen we uiteindelijk

∫ x(2x + 5)⁸dx = (2x + 5)⁹((1/20)·x − 1/72) + C

Edit: zoals hier terecht is opgemerkt is het nog veel eenvoudiger om te bedenken dat de substitutie u = 2x + 5 equivalent is met x = ½u − 5/2, waarmee direct ∫ (¼·u⁹ − (5/4)·u⁸)du wordt verkregen.

[ Bericht 26% gewijzigd door Riparius op 14-10-2013 23:25:38 ]

nvm

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 21:36 schreef wiskundige het volgende:
Nog een vraagje over integreren:
Hoe moet deze integraal met de substitutieregel:

x(2x+5)^8

Zelf:
U=2x+5
du=2
dx=0,5xdu
dan
0,5x(u)^8
Maar dit kan volgensmij niet want x en u door elkaar?

Gewoon productregel + kettingregel lijkt me?
Met functie (1)=x en functie (2)=(2x+5)^8
En dan bij functie (2) de kettingregel toepassen.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 22:00 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

delers = factoren?
Of is er een verschil tussen NL en ENG?

Volgens de Nederlandse Wikipedia zijn deler en factor synoniemen.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 22:20 schreef ulq het volgende:

[..]

Gewoon productregel + kettingregel lijkt me?
Met functie (1)=x en functie (2)=(2x+5)^8
En dan bij functie (2) de kettingregel toepassen.

Als je gaat differentiëren moet dat, of begrijp ik je niet goed?

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 22:41 schreef wiskundige het volgende:

[..]

Als je gaat differentiëren moet dat, of begrijp ik je niet goed?

Oh ok nvm. Denk inderdaad dat die regels dan niet gelden voor integreren dan. Ik dacht ff een slim antwoord te geven

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 21:36 schreef wiskundige het volgende:
Nog een vraagje over integreren:
Hoe moet deze integraal met de substitutieregel:

x(2x+5)^8

Zelf:
U=2x+5
du=2
dx=0,5xdu
dan
0,5x(u)^8
Maar dit kan volgensmij niet want x en u door elkaar?

doe eens

u = 2x + 5
du = 2dx

x = (u-5)/2

dan ∫x(2x+5)⁸dx = 1/4 ∫ (u-5)u⁸du
= 1/4(u¹⁰/10 - 5/9 u⁹) + C = u¹⁰/40 - 5/36 u⁹ + C

En dan x terug substitueren en je bent klaar.

= (2x+5)¹⁰/40 - 5/36 (2x+5)⁹ + C

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 21:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het gaat uiteraard ook eenvoudig als je de formele definitie van een limiet en wat rekenregels voor limieten gebruikt. Voor k = 1 .. n heb je

lim_x→∞ (a_n−k/a_n)x^−k = 0

en

lim_x→−∞ (a_n−k/a_n)x^−k = 0

(Bewijs dit aan de hand van de formele definitie van deze limieten).

Ik vind dit heel moeilijk, maar ik heb -zonder te spieken- een poging gedaan.

f(x) = x^-k met k ∈ N

dan

lim_x→∞ f(x) =0

als ∀ε>0∃x: [|f(x)| < ε] ,

dus |x^-k| < ε

en

-ε < x^-k < ε

voor x ≥ 1 geldt

0 ≤ x^-k ≤ 1/x

dus -ε < 1/x
Dus kies x > -1/ε

En dan zit ik vast. Ik vind dit echt heel lastig. Ik moet een fout maken hierboven, maar waar zit die zonder dat je het hele bewijs hier neerknalt?

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Zo gaat het ook inderdaad, maar ik vond mijn manier toch sneller.

voor hierboven gekozen x

|x^-k| < ε

geeft

|(-1/ε)^-k| < ε

1/ε > 0, dus
|(-1/ε)^-k| = |(1/ε)^-k| = |ε^k| < ε

Lijkt me ook onzin.

quote:

Op zondag 13 oktober 2013 23:46 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik vind dit heel moeilijk, maar ik heb -zonder te spieken- een poging gedaan.

f(x) = x^-k met k ∈ N

dan

lim_x→∞ f(x) =0

als ∀ε>0∃x: [|f(x)| < ε] ,

Het helpt wel als je de formele definitie van lim_x→∞ f(x) = 0 correct opschrijft

∀_ε>0 ∃_X∈R ∀_x>X [ |f(x)| < ε ]

[snip]

quote:

En dan zit ik vast. Ik vind dit echt heel lastig. Ik moet een fout maken hierboven, maar waar zit die zonder dat je het hele bewijs hier neerknalt?

Je maakte geen onderscheid tussen X en x. Voor elke ε > 0 moet er een X ∈ R bestaan zodanig dat voor elke x > X geldt |f(x)| < ε. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en in het algemeen doe je dat bij een limiet als deze door te laten zien dat je voor elke ε > 0 zo'n X kunt construeren. Hier kun je gebruik maken van het feit dat x^−k ≤ x⁻¹ voor x ≥ 1 en k ≥ 1, maar dat hoeft niet.

quote:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Zo gaat het ook inderdaad, maar ik vond mijn manier toch sneller.

Ja. Ik had er even niet bij stilgestaan dat je een lineaire substitutie gemakkelijk kunt inverteren.

quote:

Op maandag 14 oktober 2013 00:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het helpt wel als je de formele definitie van lim_x→∞ f(x) = 0 correct opschrijft

∀_ε>0 ∃_X∈R ∀_x>X [ |f(x)| < ε ]

[snip]

[..]

Je maakte geen onderscheid tussen X en x. Voor elke ε > 0 moet er een X ∈ R bestaan zodanig dat voor elke x > X geldt |f(x)| < ε. Je moet dus een existentiebewijs leveren, en in het algemeen doe je dat bij een limiet als deze door te laten zien dat je voor elke ε > 0 zo'n X kunt construeren. Hier kun je gebruik maken van het feit dat x^−k ≤ x⁻¹ voor x ≥ 1 en k ≥ 1, maar dat hoeft niet.

[..]

Ja. Ik had er even niet bij stilgestaan dat je een lineaire substitutie gemakkelijk kunt inverteren.

Dank. Ik ga hier morgenvroeg nog even over peinzen.

Maakt wolfram hier een dikke fout? -5(1+√2), 5(√2 -1)= -5+/- 5√2

[ Bericht 60% gewijzigd door wiskundenoob op 14-10-2013 19:45:14 ]

quote:

Op maandag 14 oktober 2013 19:35 schreef wiskundenoob het volgende:
Maakt wolfram hier een dikke fout? -5(1+√2), 5(√2 -1)= -5+/- 5√2

Daar twijfel ik ten zeerste aan. Wat is je vergelijking precies, want dat is weer eens bepaald niet helder.Zoiets?

-5(1+√2), 5(√2 -1) = (-5-5√2), (5√2 -5)= -5+/- 5√2

quote:

Op maandag 14 oktober 2013 20:04 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Daar twijfel ik ten zeerste aan. Wat is je vergelijking precies, want dat is weer eens bepaald niet helder.Zoiets?

-5(1+√2), 5(√2 -1) = (-5-5√2), (-5+5√2 )= -5+/- 5√2

Ja, die vergelijking bedoel ik.
Laat maar ik zie het al.

[ Bericht 6% gewijzigd door wiskundenoob op 14-10-2013 20:32:11 ]