SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dan snap ik het, bedankt.quote:Op zaterdag 12 oktober 2013 01:49 schreef Riparius het volgende:
[..]
Geen idee, je formulering is zo onduidelijk dat onmogelijk is te achterhalen wat je je hier precies bij voorstelt.
[..]
Er werd duidelijk gevraagd naar een functie die zowel convex als concaaf moest zijn op hetzelfde interval. Jij maakte daarvan dat er werd gevraagd naar een functie die convex is op een deel van een interval maar concaaf op een ander deel van datzelfde interval. Maar dat is iets anders.
Bepaal eerst de kritieke (stationaire) punten. Bepaal vervolgens voor elk gevonden stationair punt of het een locaal minimum of maximum is, of een zadelpunt. Bedenk eerst eens hoe je dat doet, of kijk eens in je dictaten of leerboeken.quote:Op zaterdag 12 oktober 2013 00:26 schreef jordyqwerty het volgende:
Een nieuwe.
Stel je hebt de functie:
f(x,y) = x3 + y3 - 9xy + 27
Verder is gegeven dat:
0 ≤ x ≤ 4 en 0 ≤ y ≤ 4
Gevraagd wordt om het maximum en minimum te vinden.
Er zijn drie typen punten waarbij globale minima of maxima van je functie op het beschouwde domein
V = {(x;y) ∈ R² | 0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 4}
kunnen worden bereikt, namelijk
1. Locale extrema bij inwendige punten van het vierkant V
2. Locale extrema op de randen van het vierkant V
3. Locale extrema bij de hoekpunten van het vierkant V
Bedenk nu zelf hoe je dit verder uitwerkt.
A = f''xx = 6xquote:
[..]
Bepaal eerst de kritieke (stationaire) punten. Bepaal vervolgens voor elk gevonden stationair punt of het een locaal minimum of maximum is, of een zadelpunt. Bedenk eerst eens hoe je dat doet, of kijk eens in je dictaten of leerboeken.
Er zijn drie typen punten waarbij globale minima of maxima van je functie op het beschouwde domein
V = {(x;y) ∈ R² | 0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 4}
kunnen worden bereikt, namelijk
1. Locale extrema bij inwendige punten van het vierkant V
2. Locale extrema op de randen van het vierkant V
3. Locale extrema bij de hoekpunten van het vierkant V
Bedenk nu zelf hoe je dit verder uitwerkt.
B = f''xy = -9
C =f''yy = 6y
(3,3)
Dus A > 0 en C > 0
AC - B2
324 - (-9)2 = 243
Dus AC - B2 > 0
Je hebt hier dus te maken met een minimum.
f(3,3) geeft 0 (27 + 27 - 81 + 27)
0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 4
f(0,y) = y3 + 27
De kleinst mogelijke waarde voor y is dan 0, dus (0,0) = 27
De grootst mogelijke waarde voor y is dan 4, dus (0,4) = 91
Is dit juist? Voordat ik verderga
Je moet hier wat aan je notatie doen, en je past ook het criterium voor een locaal minimum niet correct toe.quote:
[..]
A = f''xx = 6x
B = f''xy = -9
C =f''yy = 6y
(3,3)
Dus A > 0 en C > 0
AC - B2
324 - (-9)2 = 243
Dus AC - B2 > 0
Je hebt hier dus te maken met een minimum.
f(3,3) geeft 0 (27 + 27 - 81 + 27)
Het is niet nodig, en ook niet gebruikelijk, om primes te gebruiken voor de partiële afgeleiden van f(x,y) als je de notaties fx(x,y) en fy(x,y) gebruikt voor de partiële eerste afgeleiden. Er zijn overigens ook verschillende andere notaties zoals ∂f(x,y)/∂x resp. ∂f(x,y)/∂y of ∂f/∂x resp. ∂f/∂y of ∂z/∂x resp. ∂z/∂y als z = f(x,y). Ook gebruikt men wel indices, dus f1(x,y) resp. f2(x,y), dit om ambiguïteiten bij het samenstellen van functies met meerdere variabelen te vermijden. Voor de tweede partiële afgeleiden naar x resp. naar y kun je fxx(x,y) resp. fyy(x,y) gebruiken. Voor de gemengde partiële tweede afgeleiden heb je dan fxy(x,y) en fyx(x,y) maar helaas zijn deze notaties niet eenduidig. De meeste auteurs bedoelen met fxy(x,y) dat je eerst naar x differentieert en dan naar y, dus fxy = (fx)y, maar er zijn ook auteurs die ditzelfde nu juist noteren als fyx(x,y) om zo een overeenstemming te krijgen met de volgorde van de x en de y in de klassieke notatie ∂2f/∂y∂x = ∂/∂y(∂f/∂x). Nu is er een bekende stelling die zegt dat de gemengde partiële tweede afgeleiden onder bepaalde voorwaarden gelijk zijn, zodat dit in de praktijk meestal geen verwarring oplevert.
De determinant D(x,y) van de Hessiaan van f(x,y) is
D(x,y) = fxx(x,y)fyy(x,y) − (fxy(x,y))2
Als nu (xc;yc) een kritisch punt is van f(x,y), dus fx(xc,yc) = 0 en tevens fy(xc,yc) = 0, dan luidt de correcte (voldoende, maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor een minimum dat D(xc,yc) > 0 en tevens fxx(xc,yc) > 0.
We hebben nu
f(x,y) = x3 + y3 − 9xy + 27
fx(x,y) = 3x2 − 9y
fy(x,y) = 3y2 − 9x
fxx(x,y) = 6x
fyy(x,y) = 6y
fxy(x,y) = −9
Om de kritische (oftewel stationaire) punten te bepalen moeten we eerst het stelsel fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0 oplossen. Dit levert niet één maar twee punten op, namelijk (0;0) en (3;3). Uit 3x2 − 9y = 0 volgt immers y = x2/3, en substitutie daarvan in 3y2 − 9x = 0 levert x(x3 − 27) = 0 en dus x = 0 of x = 3, en daarmee is ook y = 0 resp. y = 3.
Nu is fxx(0,0) = 0, fyy(0,0) = 0, fxy(0,0) = −9, en dus D(0,0) = 0 − (−9)2 = −81. Dat betekent dat (0;0) een zadelpunt is van f. Verder hebben we fxx(3,3) = 18, fyy(3,3) = 18, fxy(3,3) = −9, en dus D(3,3) = 182 − (−9)2 = 243. Aangezien ook fxx(3,3) > 0 betekent dit dat f(x,y) voor (x,y) = (3,3) een locaal minimum aanneemt. De waarde van dit locale minimum is f(3,3) = 0.
Nu gaan we de functiewaarden bekijken langs de vier zijden van het vierkant die de rand vormen van het domein van de functie. Hiervoor hebben we
f(x,0) = x3 + 27
f(x,4) = x3 − 36x + 91
f(0,y) = y3 + 27
f(4,y) = y3 − 36y + 91
Je ziet nu gemakkelijk dat fx(x,0) = 3x2 en fy(0,y) = 3y2 zodat f(x,0) stijgt voor x > 0 en f(0,y) stijgt voor y > 0. Als we dus in een rechte lijn van het punt (0;0) naar het punt (4;0) gaan, dan neemt de functiewaarde toe van f(0,0) = 27 tot f(4,0) = 91. Evenzo neemt de functiewaarde toe van f(0,0) = 27 tot f(0,4) = 91 wanneer we in een rechte lijn van het punt (0;0) naar het punt (0;4) gaan.
Maar hiermee zijn we er nog niet, want het vierkant heeft nog een vierde hoekpunt (4;4). Dus moeten we nu ook nog kijken wat er met de functiewaarde gebeurt als we vanuit hetzij het punt (0;4) hetzij het punt (4;0) in een rechte lijn naar het punt (4;4) gaan. Het is gemakkelijk te zien dat fx(x,4) = 3x2 − 36 een nulpunt heeft bij x = √12 = 2√3 en dat fx(x,4) negatief is voor 0 < x < 2√3 en positief voor x > 2√3. Evenzo is fy(4,y) = 3y2 − 36 negatief voor 0 < y < 2√2 en positief voor y > 2√3. De functiewaarde daalt dus eerst als we vanuit (0;4) in een rechte lijn naar (4;4) gaan, om in het punt (2√3;4) een minimum aan te nemen ter grootte van 2√3(12 − 36) + 91 = 91 − 48√3 (≈ 7,86). Vervolgens stijgt de functiewaarde weer, om dan uit te komen op 11 als we in het punt (4;4) zitten. Volkomen analoog daalt de functiewaarde eveneens van 91 tot 91 − 48√3 als we in een rechte lijn van het punt (4;0) naar het punt (4;2√3) gaan, om dan weer te stijgen tot 11 als we in een rechte lijn van het punt (4;2√3) naar het punt (4;4) gaan. De functiewaarde wordt niet negatief op de lijnstukken van (0;4) naar (4;4) en van (4;0) naar (4;4), zodat f(3,3) = 0 inderdaad het globale minimum blijft van de functie.
Conclusie:
De functie f: V → R gedefinieerd door V := { (x;y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 } en f(x,y) := x3 + y3 − 9xy + 27 neemt op V een globaal minimum 0 aan in het punt (3;3) en een globaal maximum 91 in de punten (4;0) en (0;4).
Merk nog op dat de punten waar het globale minimum en maximum worden bereikt symmetrisch liggen ten opzichte van de lijn met vergelijking y = x. Dat was ook niet anders te verwachten aangezien f(x,y) symmetrisch is in x en y.
Bepaal x en y als
xy = 294
x+y = 54
Hoe reken je dit snel uit? Ik las hier ergens dat je de priemgetallen moet uitrekenen, maar ik kan het niet meer terugvinden.
294 = 2*3*7*7
54 = (7*7)+(2*3)
x= 49 en y= 6
xy = 294
x+y = 54
Hoe reken je dit snel uit? Ik las hier ergens dat je de priemgetallen moet uitrekenen, maar ik kan het niet meer terugvinden.
294 = 2*3*7*7
54 = (7*7)+(2*3)
x= 49 en y= 6
Opnieuw hartstikke bedankt.quote:
[..]
Je moet hier wat aan je notatie doen, en je past ook het criterium voor een locaal minimum niet correct toe.
Het is niet nodig, en ook niet gebruikelijk, om primes te gebruiken voor de partiële afgeleiden van f(x,y) als je de notaties fx(x,y) en fy(x,y) gebruikt voor de partiële eerste afgeleiden. Er zijn overigens ook verschillende andere notaties zoals ∂f(x,y)/∂x resp. ∂f(x,y)/∂y of ∂f/∂x resp. ∂f/∂y of ∂z/∂x resp. ∂z/∂y als z = f(x,y). Ook gebruikt men wel indices, dus f1(x,y) resp. f2(x,y), dit om ambiguïteiten bij het samenstellen van functies met meerdere variabelen te vermijden. Voor de tweede partiële afgeleiden naar x resp. naar y kun je fxx(x,y) resp. fyy(x,y) gebruiken. Voor de gemengde partiële tweede afgeleiden heb je dan fxy(x,y) en fyx(x,y) maar helaas zijn deze notaties niet eenduidig. De meeste auteurs bedoelen met fxy(x,y) dat je eerst naar x differentieert en dan naar y, dus fxy = (fx)y, maar er zijn ook auteurs die ditzelfde nu juist noteren als fyx(x,y) om zo een overeenstemming te krijgen met de volgorde van de x en de y in de klassieke notatie ∂2f/∂y∂x = ∂/∂y(∂f/∂x). Nu is er een bekende stelling die zegt dat de gemengde partiële tweede afgeleiden onder bepaalde voorwaarden gelijk zijn, zodat dit in de praktijk meestal geen verwarring oplevert.
De determinant D(x,y) van de Hessiaan van f(x,y) is
D(x,y) = fxx(x,y)fyy(x,y) − (fxy(x,y))2
Als nu (xc;yc) een kritisch punt is van f(x,y), dus fx(xc,yc) = 0 en tevens fy(xc,yc) = 0, dan luidt de correcte (voldoende, maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor een minimum dat D(xc,yc) > 0 en tevens fxx(xc,yc) > 0.
We hebben nu
f(x,y) = x3 + y3 − 9xy + 27
fx(x,y) = 3x2 − 9y
fy(x,y) = 3y2 − 9x
fxx(x,y) = 6x
fyy(x,y) = 6y
fxy(x,y) = −9
Om de kritische (oftewel stationaire) punten te bepalen moeten we eerst het stelsel fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0 oplossen. Dit levert niet één maar twee punten op, namelijk (0;0) en (3;3). Uit 3x2 − 9y = 0 volgt immers y = x2/3, en substitutie daarvan in 3y2 − 9x = 0 levert x(x3 − 27) = 0 en dus x = 0 of x = 3, en daarmee is ook y = 0 resp. y = 3.
Nu is fxx(0,0) = 0, fyy(0,0) = 0, fxy(0,0) = −9, en dus D(0,0) = 0 − (−9)2 = −81. Dat betekent dat (0;0) een zadelpunt is van f. Verder hebben we fxx(3,3) = 18, fyy(3,3) = 18, fxy(3,3) = −9, en dus D(3,3) = 182 − (−9)2 = 243. Aangezien ook fxx(3,3) > 0 betekent dit dat f(x,y) voor (x,y) = (3,3) een locaal minimum aanneemt. De waarde van dit locale minimum is f(3,3) = 0.
Nu gaan we de functiewaarden bekijken langs de vier zijden van het vierkant die de rand vormen van het domein van de functie. Hiervoor hebben we
f(x,0) = x3 + 27
f(x,4) = x3 − 36x + 91
f(0,y) = y3 + 27
f(4,y) = y3 − 36y + 91
Je ziet nu gemakkelijk dat fx(x,0) = 3x2 en fy(0,y) = 3y2 zodat f(x,0) stijgt voor x > 0 en f(0,y) stijgt voor y > 0. Als we dus in een rechte lijn van het punt (0;0) naar het punt (4;0) gaan, dan neemt de functiewaarde toe van f(0,0) = 27 tot f(4,0) = 91. Evenzo neemt de functiewaarde toe van f(0,0) = 27 tot f(0,4) = 91 wanneer we in een rechte lijn van het punt (0;0) naar het punt (0;4) gaan.
Maar hiermee zijn we er nog niet, want het vierkant heeft nog een vierde hoekpunt (4;4). Dus moeten we nu ook nog kijken wat er met de functiewaarde gebeurt als we vanuit hetzij het punt (0;4) hetzij het punt (4;0) in een rechte lijn naar het punt (4;4) gaan. Het is gemakkelijk te zien dat fx(x,4) = 3x2 − 36 een nulpunt heeft bij x = √12 = 2√3 en dat fx(x,4) negatief is voor 0 < x < 2√3 en positief voor x > 2√3. Evenzo is fy(4,y) = 3y2 − 36 negatief voor 0 < y < 2√2 en positief voor y > 2√3. De functiewaarde daalt dus eerst als we vanuit (0;4) in een rechte lijn naar (4;4) gaan, om in het punt (2√3;4) een minimum aan te nemen ter grootte van 2√3(12 − 36) + 91 = 91 − 48√3 (≈ 7,86). Vervolgens stijgt de functiewaarde weer, om dan uit te komen op 11 als we in het punt (4;4) zitten. Volkomen analoog daalt de functiewaarde eveneens van 91 tot 91 − 48√3 als we in een rechte lijn van het punt (4;0) naar het punt (4;2√3) gaan, om dan weer te stijgen tot 11 als we in een rechte lijn van het punt (4;2√3) naar het punt (4;4) gaan. De functiewaarde wordt niet negatief op de lijnstukken van (0;4) naar (4;4) en van (4;0) naar (4;4), zodat f(3,3) = 0 inderdaad het globale minimum blijft van de functie.
Conclusie:
De functie f: V → R gedefinieerd door V := { (x;y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 } en f(x,y) := x3 + y3 − 9xy + 27 neemt op V een globaal minimum 0 aan in het punt (3;3) en een globaal maximum 91 in de punten (4;0) en (0;4).
Merk nog op dat de punten waar het globale minimum en maximum worden bereikt symmetrisch liggen ten opzichte van de lijn met vergelijking y = x. Dat was ook niet anders te verwachten aangezien f(x,y) symmetrisch is in x en y.
Ik was reeds bekend met de notaties (en Young's theorem). In mijn boek worden echter wèl primes gebruikt voor partiële afgeleiden, desalniettemin zal ik er in het vervolg op letten.
Ik wist ook dat (0,0) zou volgen uit fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0, maar nam dit punt niet mee omdat het een randpunt is (bij f(x,0) = x3 + 27 en f(0,y) = y3 + 27 vind je dit punt ook), maar ik zal proberen zo volledig mogelijk te zijn.
Ik heb alleen deze som meegekregen om ermee te oefenen, dus ik ga nog even op zoek naar wat extra opdrachten.
Je motivatie om het punt (0;0) buiten beschouwing te laten omdat het randpunt is, is niet juist, immers ook in een randpunt kun je een extreme waarde hebben. Waar het om gaat is dat (0;0) een zadelpunt is.quote:
[..]
Opnieuw hartstikke bedankt.
Ik was reeds bekend met de notaties (en Young's theorem). In mijn boek worden echter wèl primes gebruikt voor partiële afgeleiden, desalniettemin zal ik er in het vervolg op letten.
Ik wist ook dat (0,0) zou volgen uit fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0, maar nam dit punt niet mee omdat het een randpunt is (bij f(x,0) = x3 + 27 en f(0,y) = y3 + 27 vind je dit punt ook), maar ik zal proberen zo volledig mogelijk te zijn.
Kijk hier eens voor wat (uitgewerkte) extra opgaven.quote:Ik heb alleen deze som meegekregen om ermee te oefenen, dus ik ga nog even op zoek naar wat extra opdrachten.
x en y zijn de oplossingen van de vergelijking (t-x)(t-y) = 0. Uitwerken geeft t2 - (x+y)t + xy = 0, ofwel t2 - 54t + 294 = 0.quote:
Bepaal x en y als
xy = 294
x+y = 54
Hoe reken je dit snel uit? Ik las hier ergens dat je de priemgetallen moet uitrekenen, maar ik kan het niet meer terugvinden.
294 = 2*3*7*7
54 = (7*7)+(2*3)
x= 49 en y= 6
Je rekenwerk klopt niet, waarschijnlijk bedoel je dat de som van de te vinden (gehele) getallen 55 moet zijn.quote:
Bepaal x en y als
xy = 294
x+y = 55
Het gaat niet om het 'uitrekenen' van priemgetallen maar het is de bedoeling dat je het product van de te vinden getallen ontbindt in factoren. Vervolgens verdeel je de gevonden priemfactoren over twee producten zodanig dat de som van deze producten gelijk is aan de gegeven som, en daarmee zijn de gevraagde (gehele) getallen gevonden.quote:Hoe reken je dit snel uit? Ik las hier ergens dat je de priemgetallen moet uitrekenen, maar ik kan het niet meer terugvinden.
quote:294 = 2*3*7*7
55 = (7*7)+(2*3)
x= 49 en y= 6
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-10-2013 15:38:55 ]
xy = 294 (1)quote:
Bepaal x en y als
xy = 294
x+y = 54
Hoe reken je dit snel uit? Ik las hier ergens dat je de priemgetallen moet uitrekenen, maar ik kan het niet meer terugvinden.
294 = 2*3*7*7
54 = (7*7)+(2*3)
x= 49 en y= 6
x + y = 54 (2)
Je kan nu bijvoorbeeld y schrijven als een functie van x:
y = 54 - x (3)
En dit vervolgens substitueren in (1)
Kan je dan verder?
Duidelijk. Bedankt voor de link, het wordt steeds helderder.quote:
[..]
Je motivatie om het punt (0;0) buiten beschouwing te laten omdat het randpunt is, is niet juist, immers ook in een randpunt kun je een extreme waarde hebben. Waar het om gaat is dat (0;0) een zadelpunt is.
[..]
Kijk hier eens voor wat (uitgewerkte) extra opgaven.
Ik weet niet of dit de juiste plek is om de vraag te stellen, maar misschien kan iemand me kort uitleg geven over het volgende (statistiek):
Welke test gebruik je om een relatie tussen twee variabelen (n.a.v. de H0 en HA) te onderzoeken naar aanleiding van alleen een kruistabel? Er mag verder geen gebruik van SPSS of andere programma's gemaakt worden. Het gaat me dus vooral om het kiezen van de juiste test hiervoor.
Welke test gebruik je om een relatie tussen twee variabelen (n.a.v. de H0 en HA) te onderzoeken naar aanleiding van alleen een kruistabel? Er mag verder geen gebruik van SPSS of andere programma's gemaakt worden. Het gaat me dus vooral om het kiezen van de juiste test hiervoor.
Nope, dan werk je dubbel, denk ik. Of bedoel je wat anders?quote:
[..]
xy = 294 (1)
x + y = 54 (2)
Je kan nu bijvoorbeeld y schrijven als een functie van x:
y = 54 - x (3)
En dit vervolgens substitueren in (1)
Kan je dan verder?
x(55-x)= 294
55x -x2 = 294
x2 -55x +294 = 0
Kan je x2 -55x +294 = 0 ontbinden in factoren?quote:Op zaterdag 12 oktober 2013 16:30 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Nope, dan werk je dubbel, denk ik. Of bedoel je wat anders?
x(55-x)= 294
55x -x2 = 294
x2 -55x +294 = 0
Zoals Thabit hierboven al opmerkt zijn x en y de wortels van een vierkantsvergelijking, en door deze substitutie kom je op diezelfde vierkantsvergelijking uit, die je dan op één der bekende manieren kunt oplossen. Maar als je dan gaat proberen de vierkantsvergelijking door ontbinden in factoren op te lossen, dan ben je weer terug bij het oorspronkelijke vraagstuk om twee getallen te bepalen waarvan som en product zijn gegeven.quote:
[..]
xy = 294 (1)
x + y = 55 (2)
Je kan nu bijvoorbeeld y schrijven als een functie van x:
y = 55 - x (3)
En dit vervolgens substitueren in (1)
Kan je dan verder?
Je kunt het ook als volgt doen. We nemen het kwadraat van de som, dat is
(x + y)2 = 552 = 3025
Dit kwadraat verminderen we met het viervoud van het product, dit geeft
(x + y)2 − 4xy = 3025 − 4·294 = 1849
En aangezien (x + y)2 − 4xy = (x − y)2 hebben we dus
(x − y)2 = 1849
De vierkantswortel nemen geeft dan
x − y = 43
We hadden hier ook −43 kunnen nemen, maar we hebben aan één waarde voor het verschil genoeg, omdat het inverteren van het teken van het verschil neerkomt op het omwisselen van x en y. Optellen van som en verschil geeft nu
2x = (x + y) + (x − y) = 55 + 43 = 98, dus x = 49
En aftrekken van het verschil van de som geeft
2y = (x + y) − (x − y) = 55 − 43 = 12, dus y = 6
Dezelfde methode is ook te gebruiken om uitdrukkingen af te leiden voor de wortels van de algemene vierkantsvergelijking
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Zijn de wortels van deze vergelijking x1 en x2, dan is de vergelijking te schrijven als
a(x − x1)(x − x2) = 0
oftewel
ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0
zodat we door de coëfficiënten te vergelijken kunnen concluderen dat geldt
x1 + x2 = −b/a
en
x1x2 = c/a
Door nu op bovenstaande wijze x1 en x2 te bepalen uit de gegeven som −b/a en het gegeven product c/a kunnen we uitdrukkingen voor x1 en x2 in de coëfficiënten a, b en c van de vergelijking afleiden. Deze manier om de abc-formule af te leiden resp. een vierkantsvergelijking op te lossen wordt wel de methode van Harriot genoemd.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-10-2013 17:47:31 ]
Dus:quote:
[..]
Als je de term anxn buiten haakjes haalt, dan heb je
P(x) = anxn(1 + (an−1/an)x−1 + (an−2/an)x−2 + ... + (a1/an)x−(n−1) + (a0/an)x−n)
Nu moet je laten zien dat de uitdrukking tussen de haakjes positief is voor voldoend grote |x| en daarvoor heb je de driehoeksongelijkheid nodig.
[..]
De driehoeksongelijkheid ontleent haar naam uiteraard aan de meetkunde, maar je hebt ook betrekkingen tussen (de absolute waarden van) reële of complexe getallen die hiermee verband houden. Voor elk tweetal (reële of complexe) getallen a en b geldt
| a + b | ≤ | a | + | b |
Deze ongelijkheid kun je eenvoudig uitbreiden naar een willekeurig aantal termen, bijvoorbeeld
| a + b + c | ≤ | a | + | b | + | c |
Gebruik dit.
[..]
Dat vermoedde ik al. Dank voor de bevestiging.
P(x) = anxn(1 + (an−1/an)x−1 + (an−2/an)x−2 + ... + (a1/an)x−(n−1) + (a0/an)x−n)
En volgens de driehoeksongelijkheid
|P(x)| = |anxn(1 + (an−1/an)x−1 + (an−2/an)x−2 + ... + (a1/an)x−(n−1) + (a0/an)x−n)| ≤ |anxn|(1 + |(an−1/an)x−1| + |(an−2/an)x−2| + ... + | (a1/an)x−(n−1)| + |(a0/an)x−n|)
En dus
|P(x)| / |anxn| ≤ 1 + |(an−1/an)x−1| + |(an−2/an)x−2| + ... + |(a1/an)x−(n−1)| + |(a0/an)x−n|
Dit mag omdat we door iets positiefs delen, dus het teken klapt niet om.
|P(x) / anxn| ≤ 1 + |(an−1/an)|·|x−1| + |(an−2/an)|·|x−2| + ... + |(a1/an)|·|x−(n−1)| + |(a0/an)|·|x−n|
En we weten dat |xk| = |x|k
|P(x) / anxn| ≤ 1 + |(an−1/an)|·|x|−1 + |(an−2/an)|·|x|−2 + ... + |(a1/an)|·|x|−(n−1) + |(a0/an)|·|x|−n
Als we dan nu de limiet voor |x| → ∞ nemen zien we dat de rechterkant van de uitdrukking 1 wordt.
Ik weet dat dit niet helemaal juist is. Riparius, zonder het bewijs compleet af te maken, kun je iets cursiveren waar ik wat mee moet doen of waar ik een fout bega? Het lijkt me onjuist om te concluderen dat
|P(x)| ≤ |anxn| voor |x| → ∞
En dus alleen de hoogste macht er feitelijk toe doet.
[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 12-10-2013 18:25:28 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je kan dan net zo goed kwadraatafsplitsen of niet soms? Alles keer 4 eerst en dan uitwerken.quote:
[..]
Zoals Thabit hierboven al opmerkt zijn x en y de wortels van een vierkantsvergelijking, en door deze substitutie kom je op diezelfde vierkantsvergelijking uit, die je dan op één der bekende manieren kunt oplossen. Maar als je dan gaat proberen de vierkantsvergelijking door ontbinden in factoren op te lossen, dan ben je weer terug bij het oorspronkelijke vraagstuk om twee getallen te bepalen waarvan som en product zijn gegeven.
Je kunt het ook als volgt doen. We nemen het kwadraat van de som, dat is
(x + y)2 = 552 = 3025
Dit kwadraat verminderen we met het viervoud van het product, dit geeft
(x + y)2 − 4xy = 3025 − 4·294 = 1849
En aangezien (x + y)2 − 4xy = (x − y)2 hebben we dus
(x − y)2 = 1849
De vierkantswortel nemen geeft dan
x − y = 43
We hadden hier ook −43 kunnen nemen, maar we hebben aan één waarde voor het verschil genoeg, omdat het inverteren van het teken van het verschil neerkomt op het omwisselen van x en y. Optellen van som en verschil geeft nu
2x = (x + y) + (x − y) = 55 + 43 = 98, dus x = 49
En aftrekken van het verschil van de som geeft
2y = (x + y) − (x − y) = 55 − 43 = 12, dus y = 6
Dezelfde methode is ook te gebruiken om uitdrukkingen af te leiden voor de wortels van de algemene vierkantsvergelijking
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Zijn de wortels van deze vergelijking x1 en x2, dan is de vergelijking te schrijven als
a(x − x1)(x − x2) = 0
oftewel
ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0
zodat we door de coëfficiënten te vergelijken kunnen concluderen dat geldt
x1 + x2 = −b/a
en
x1x2 = c/a
Door nu op bovenstaande wijze x1 en x2 te bepalen uit de gegeven som −b/a en het gegeven product c/a kunnen we uitdrukkingen voor x1 en x2 in de coëfficiënten a, b en c van de vergelijking afleiden. Deze manier om de abc-formule af te leiden resp. een vierkantsvergelijking op te lossen wordt wel de methode van Harriot genoemd.
Je moet even begrijpen wat er gebeurt. Als x+y = a en xy = b gegeven is kun je i.p.v. een substitutie ook het verschil x-y uitrekenen. Riparius doet dit door zeer handig gebruik te maken van merkwaardige producten.quote:
[..]
Je kan dan net zo goed kwadraatafsplitsen of niet soms? Alles keer 4 eerst en dan uitwerken.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Uit | P(x)/anxn | ≤ 1 + ε voor een zekere ε > 0 volgt niet | P(x) | ≤ | anxn | want dan zou ε = 0 moeten zijn: tegenspraak. Overigens begrijp ik niet hoe je een ongelijkheid met | P(x) | wil gebruiken om aan te tonen dat P(x) een tegengesteld teken heeft voor een positieve en negatieve x met een voldoend grote absolute waarde (want dat is wat je aan moet tonen).quote:
[..]
Ik weet dat dit niet helemaal juist is. Riparius, zonder het bewijs compleet af te maken, kun je iets cursiveren waar ik wat mee moet doen of waar ik een fout bega? Het lijkt me onjuist om te concluderen dat
|P(x)| ≤ |anxn| voor |x| → ∞
En dus alleen de hoogste macht er feitelijk toe doet.
Ik dacht al dat het onjuist was.quote:
[..]
Uit | P(x)/anxn | ≤ 1 + ε voor een zekere ε > 0 volgt niet | P(x) | ≤ | anxn | want dan zou ε = 0 moeten zijn: tegenspraak.
Moet ik hieruit concluderen dat ik helemaal verkeerd denk?quote:Overigens begrijp ik niet hoe je een ongelijkheid met | P(x) | wil gebruiken om aan te tonen dat P(x) een tegengesteld teken heeft voor een positieve en negatieve x met een voldoend grote absolute waarde (want dat is wat je aan moet tonen).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat denk je dan weer goed.quote:
[..]
Ik dacht al dat het onjuist was.
[..]
Moet ik hieruit concluderen dat ik helemaal verkeerd denk?
Ik krijg er koppijn van. Hoe moet ik anders die driehoeksongelijkheid toepassen!?quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Wat is je precieze vraagstelling en wat heb je al behandeld over limieten?quote:
[..]
Ik krijg er koppijn van. Hoe moet ik anders die driehoeksongelijkheid toepassen!?
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
quote:
[..]
Wat is je precieze vraagstelling en wat heb je al behandeld over limieten?
Hier komt hier op neer. Ik moet van Riparius bewijzen dat een polynoom van oneven graad ten minste één nulpunt in R heeft. Nu heb ik dat zo gedaan, maar dat is klaarblijkelijk te kort door de bocht.quote:
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
lim(x -> ∞)(P(x)) = lim(x -> ∞)(anxn) = ∞ als an > 0 en -∞ als an < 0
lim(x -> -∞)(P(x)) = lim(x -> -∞)(anxn) = -∞ als an > 0 en ∞ als an < 0
Uit de tussenwaardestelling volgt dan dat er een waarde c bestaat zó dat P(c) = 0
Hmm?
Nu moet ik de driehoeksongelijkheid toepassen om aan te tonen dat P(x) van teken wisselt. En ik heb geen idee hoe ik dat anders moet doen dan op bovenstaande wijze.
Ik vraag niet om een complete uitwerking, FYI.
Over limieten, we hebben behandeld wat een limiet betekent, l'Hôpital, formele definitie van een limiet. Dat laatste minder uitvoerig trouwens. Een inleiding tot bij Calculus (C).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
