SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ja, dan is de noemer uiteraard een homogeen polynoom in a en b, want dan zijn de termen toch van dezelfde graad? En dan ga je vervolgens naar de teller kijken. Maar vóór je dit doet moet je eerst de waarde die je voor q hebt gevonden nog verder herleiden.quote:Op woensdag 9 oktober 2013 17:19 schreef jordyqwerty het volgende:
qr2 + 1 = q + r
qr2 -q = r - 1
q(r2-1) = r - 1
q = (r-1)/(r2-1)
Begrijp ik goed dat als q deze 'waarde' heeft, de noemer dan homogeen is?
1/(r+1) ?quote:Op woensdag 9 oktober 2013 17:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, dan is de noemer uiteraard een homogeen polynoom in a en b, want dan zijn de termen toch van dezelfde graad? En dan ga je vervolgens naar de teller kijken. Maar vóór je dit doet moet je eerst de waarde die je voor q hebt gevonden nog verder herleiden.
Inderdaad. En als je nu q = 1/(r + 1) invult, wat wordt dan de graad van de term in de teller en wat is dan de graad van het polynoom in de noemer? Dus wat kun je nu zeggen over f(a,b) ?quote:
Die is er zeker, volgens mij in het MATH menu en dan FRAC (bij de TI-84)quote:
Vraag over gr,
is er een mode waarin je het antwoord ziet in breuken i.p.v. decimalen?
Dank je man!quote:
[..]
Die is er zeker, volgens mij in het MATH menu en dan FRAC (bij de TI-84)
Als je stelt dat qr2 +1 = q + r, mag je dan ook zeggen dat de graad van homogeniteit twee is? Tenzij r = 1 of -1quote:
[..]
Inderdaad. En als je nu q = 1/(r + 1) invult, wat wordt dan de graad van de term in de teller en wat is dan de graad van het polynoom in de noemer? Dus wat kun je nu zeggen over f(a,b) ?
Homogeniteit is eigenlijk toch gewoon als een functie volledig uit één macht bestaat? Bijvoorbeeld f(x) = 3x + 5x dan is hij homogeen met graad 1 en f(x) 3x^5 + 5x^5 dan is hij homogeen met graad 5?
In die gevallen wel jaquote:
Homogeniteit is eigenlijk toch gewoon als een functie volledig uit één macht bestaat? Bijvoorbeeld f(x) = 3x + 5x dan is hij homogeen met graad 1 en f(x) 3x^5 + 5x^5 dan is hij homogeen met graad 5?
Als q = 1/(r + 1) dan is q ongedefinieerd voor r = −1, maar niet voor r = 1, dan is q = ½. Maar voor r = 1 voldoet elke waarde van q aan q(r² − 1) = r − 1, terwijl voor r = −1 uiteraard geen enkele waarde van q aan deze betrekking kan voldoen. Ik heb het idee dat je gewoon met een schuin oog in het antwoordenboekje hebt zitten kijken zonder dat je begrijpt hoe dit antwoord is verkregen, want uit de betrekking qr² + 1 = q + r volgt an sich niet dat f(a,b) homogeen is van de graad 2 indien q = 1/(r + 1).quote:
[..]
Als je stelt dat qr2 +1 = q + r, mag je dan ook zeggen dat de graad van homogeniteit twee is? Tenzij r = 1 of -1
Je functie is homogeen van de graad k indien
f(ta,tb) = tk·f(a,b)
Bekijk nu de teller en de noemer eens apart. We definiëren nu
f(a,b) = g(a,b) / h(a,b)
met
g(a,b) = aq+1·br+1
en
h(a,b) = aqr²+1 + bq+r
De functie g(a,b) is sowieso homogeen, want je hebt g(ta,tb) = t(q+1)+(r+1)·g(a,b).
De functie h(a,b) is niet zonder meer homogeen, dat is immers alleen het geval als de machten van beide termen gelijk zijn, dus als qr² + 1 = q + r en dus q = 1/(r + 1) (r ≠ − 1).
Verder geldt: als g(a,b) homogeen is van de graad m en h(a,b) is homogeen van de graad n, dan is f(a,b) homogeen van de graad m − n, want dan is
f(ta,tb) = g(ta,tb) / h(ta,tb) = tm·g(a,b) / tn·h(a,b) = tm−n·(g(a,b)/h(a,b)) = tm−n·f(a,b)
Goed, we veronderstellen nu dat q = 1/(r + 1) (r ≠ −1). Voor de graad van homogeniteit m van de teller g(a,b) uitgedrukt in r vinden we dan
m = q + 1 + r + 1 = (r² + 3r + 3)/(r + 1)
En voor de graad van homogeniteit n van de noemer h(a,b) uitgedrukt in r hebben we dan
n = q + r = (r² + r + 1)/(r + 1)
De graad van homogeniteit m − n van f(a,b) is onfhankelijk van r, want uit m = q + r + 2 en n = q + r volgt direct dat m − n = 2.
Voila.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-10-2013 11:21:55 ]
Nee, kijk even in Wikipedia.quote:
Homogeniteit is eigenlijk toch gewoon als een functie volledig uit één macht bestaat? Bijvoorbeeld f(x) = 3x + 5x dan is hij homogeen met graad 1 en f(x) 3x^5 + 5x^5 dan is hij homogeen met graad 5?
Ja heb ik gedaan maar wat ik eerder zei is feite toch wel waar het op neer komt? Alleen bedoel jij dat ik vergeet te vermelden dat het ook veralgemeend kan worden voor functies van meerdere veranderlijken, zoals f(x,y) = 19xy^3 + 14x^4 + 20(xy)^2 is een homogene functie van graad 4? Of zeg ik nou iets wat niet klopt?quote:
[ Bericht 0% gewijzigd door ulq op 11-10-2013 14:51:59 ]
Omdat je stelt qr2 + 1 = q + r, dacht ik dat je kon stellen q + r + 2 (volgt uit g) - (q+r) = 2.quote:
[..]
Als q = 1/(r + 1) dan is q ongedefinieerd voor r = −1, maar niet voor r = 1, dan is q = ½. Maar voor r = 1 voldoet elke waarde van q aan q(r² − 1) = r − 1, terwijl voor r = −1 uiteraard geen enkele waarde van q aan deze betrekking kan voldoen. Ik heb het idee dat je gewoon met een schuin oog in het antwoordenboekje hebt zitten kijken zonder dat je begrijpt hoe dit antwoord is verkregen, want uit de betrekking qr² + 1 = q + r volgt an sich niet dat f(a,b) homogeen is van de graad 2 indien q = 1/(r + 1).
Je functie is homogeen van de graad k indien
f(ta,tb) = tk·f(a,b)
Bekijk nu de teller en de noemer eens apart. We definiëren nu
f(a,b) = g(a,b) / h(a,b)
met
g(a,b) = aq+1·br+1
en
h(a,b) = aqr²+1 + bq+r
De functie g(a,b) is sowieso homogeen, want je hebt g(ta,tb) = t(q+1)+(r+1)·g(a,b).
De functie h(a,b) is niet zonder meer homogeen, dat is immers alleen het geval als de machten van beide termen gelijk zijn, dus als qr² + 1 = q + r en dus q = 1/(r + 1) (r ≠ − 1).
Verder geldt: als g(a,b) homogeen is van de graad m en h(a,b) is homogeen van de graad n, dan is f(a,b) homogeen van de graad m − n, want dan is
f(ta,tb) = g(ta,tb) / h(ta,tb) = tm·g(a,b) / tn·h(a,b) = tm−n·(g(a,b)/h(a,b)) = tm−n·f(a,b)
Goed, we veronderstellen nu dat q = 1/(r + 1) (r ≠ −1). Voor de graad van homogeniteit m van de teller g(a,b) uitgedrukt in r vinden we dan
m = q + 1 + r + 1 = (r² + 3r + 3)/(r + 1)
En voor de graad van homogeniteit n van de noemer h(a,b) uitgedrukt in r hebben we dan
n = q + r = (r² + r + 1)/(r + 1)
De graad van homogeniteit m − n van f(a,b) is onfhankelijk van r, want uit m = q + r + 2 en n = q + r volgt direct dat m − n = 2.
Voila.
Ik noemde de waardes 1 en - 1 omdat ik keek naar de niet verder vereenvoudigde (r-1)/(r2-1).
De functie is dus homogeen van graad 2 op voorwaarde dat r niet -1 (dan is hij niet homogeen).
Hartstikke bedankt voor je uitleg, een stuk helderder nu.
In het boek worden helaas vooral heel basale voorbeelden besproken (bijv. x2 + y2).
Dit klopt, maar de aanvulling is wel essentieel, want het vraagstuk van jordyqwerty ging over een functie van twee variabelen.quote:
[..]
Ja heb ik gedaan maar wat ik eerder zei is feite toch wel waar het op neer komt? Alleen bedoel jij dat ik vergeet te vermelden dat het ook veralgemeend kan worden voor functies van meerdere veranderlijken, zoals f(x,y) = 19xy^3 + 14x^4 + 20(xy)^2 is een homogene functie van graad 4? Of zeg ik nou iets wat niet klopt?
Iets heel anders. Op een tussentoets werd gevraagd of een functie op hetzelfde interval convex en concaaf kon zijn. Zo ja, moest je hier een voorbeeld voor geven.
Er stond niet expliciet bij of dat voorbeeld in de vorm van een functie met uitleg moest zijn, dus heb ik iets getekend. Ik heb genoteerd dat dat kan, mits er een buigpunt is (f'' = 0) en vervolgens een U (convex) verbonden met een ∩ (concaaf) en het buigpunt aangegeven.
In hoeverre is dat juist? Ik ben me er bewust van dat dit niet het meest verfijnde antwoord is.
Dan nog iets, stel je hebt een optimalisatieprobleem (voor de eenvoud van één variabele) en je moet binnen een gesloten interval (bijv. [2,6]) het maximum geven. Waarom is het dan verkeerd om de tweede afgeleide test te gebruiken om te kijken of de eindpunten 2 en 6 maxima of minima zijn?
Of is dat helemaal niet verkeerd?
Er stond niet expliciet bij of dat voorbeeld in de vorm van een functie met uitleg moest zijn, dus heb ik iets getekend. Ik heb genoteerd dat dat kan, mits er een buigpunt is (f'' = 0) en vervolgens een U (convex) verbonden met een ∩ (concaaf) en het buigpunt aangegeven.
In hoeverre is dat juist? Ik ben me er bewust van dat dit niet het meest verfijnde antwoord is.
Dan nog iets, stel je hebt een optimalisatieprobleem (voor de eenvoud van één variabele) en je moet binnen een gesloten interval (bijv. [2,6]) het maximum geven. Waarom is het dan verkeerd om de tweede afgeleide test te gebruiken om te kijken of de eindpunten 2 en 6 maxima of minima zijn?
Of is dat helemaal niet verkeerd?
Antwoord op je eerste vraag: Bedenk gewoon een functie waarvoor f ' '(x)=0 voor alle x. Alle functies van de vorm f(x)=ax+b voldoen hier uiteraard aan. Jouw voorbeeld klopt niet, want jouw functie is niet tegelijkertijd convex en concaaf op hetzelfde interval.quote:
Iets heel anders. Op een tussentoets werd gevraagd of een functie op hetzelfde interval convex en concaaf kon zijn. Zo ja, moest je hier een voorbeeld voor geven.
Er stond niet expliciet bij of dat voorbeeld in de vorm van een functie met uitleg moest zijn, dus heb ik iets getekend. Ik heb genoteerd dat dat kan, mits er een buigpunt is (f'' = 0) en vervolgens een U (convex) verbonden met een ∩ (concaaf) en het buigpunt aangegeven.
In hoeverre is dat juist? Ik ben me er bewust van dat dit niet het meest verfijnde antwoord is.
Dan nog iets, stel je hebt een optimalisatieprobleem (voor de eenvoud van één variabele) en je moet binnen een gesloten interval (bijv. [2,6]) het maximum geven. Waarom is het dan verkeerd om de tweede afgeleide test te gebruiken om te kijken of de eindpunten 2 en 6 maxima of minima zijn?
Of is dat helemaal niet verkeerd?
Tweede vraag: wat wil je met de tweede afgeleide doen op de randpunten?
Aha ok thanksquote:
[..]
Dit klopt, maar de aanvulling is wel essentieel, want het vraagstuk van jordyqwerty ging over een functie van twee variabelen.
Op het buigpunt ook niet?quote:
[..]
Antwoord op je eerste vraag: Bedenk gewoon een functie waarvoor f ' '(x)=0 voor alle x. Alle functies van de vorm f(x)=ax+b voldoen hier uiteraard aan. Jouw voorbeeld klopt niet, want jouw functie is niet tegelijkertijd convex en concaaf op hetzelfde interval.
Tweede vraag: wat wil je met de tweede afgeleide doen op de randpunten?
2: Kijken of het een minimum of maximum is, maar. ik begrijp dat die vlieger niet opgaat?
Kijk eens naar de definities van (strikt) convex en (strikt) concaaf. Die twee sluiten elkaar uit. Als je de eis van striktheid achterwege laat, dan kun je wel een functie hebben die zowel convex als concaaf is op hetzelfde interval, maar dat kan dan alleen een lineaire functie zijn op dat interval.quote:
Kijk eens naar de functie f: [2,6] → R gedefinieerd door f(x) = x3. Deze functie heeft een minimum bij x = 2 en een maximum bij x = 6 terwijl f''(2) en f''(6) beide positief zijn. Wat denk je daarvan?quote:2: Kijken of het een minimum of maximum is, maar. ik begrijp dat die vlieger niet opgaat?
Van wat ik weet is een functie strict convex als f'' > 0 en strict concaaf als f'' < 0. Daar komt = 0 bij zonder strictheid. In een buigpunt is f'' 0, dus ik dacht dat op dat punt de functie zowel convex als concaaf is (niet strict). Ik kijk zo even op mijn laptop naar de wikipedia pagina!quote:
[..]
Kijk eens naar de definities van (strikt) convex en (strikt) concaaf. Die twee sluiten elkaar uit. Als je de eis van striktheid achterwege laat, dan kun je wel een functie hebben die zowel convex als concaaf is op hetzelfde interval, maar dat kan dan alleen een lineaire functie zijn op dat interval.
[..]
Kijk eens naar de functie f: [2,6] → R gedefinieerd door f(x) = x3. Deze functie heeft een minimum bij x = 2 en een maximum bij x = 6 terwijl f''(2) en f''(6) beide positief zijn. Wat denk je daarvan?
.
2: Hm, lokaal minimum en maximum? Tweede afgeleide test is dus irrelevant voor randpunten?
Is 23162 nu groter of kleiner dan 31995?quote:
[..]
Voor kleine exponenten lukt dit zeker. Voor m,n > 0 heb je immers 2m > 3n als m/n > log(3)/log(2) ≈ 1,585, dus is m = 5, n = 3 een goede keuze, want dan is m/n = 5/3 ≈ 1,667. En een hele goede keuze is dan m = 8, n = 5, want dan is m/n = 8/5 = 1,6. Maar het wordt lastiger bij grote exponenten en als de waarden van de machten dichter bij elkaar liggen. Als je uitsluitend met pen en papier zou willen nagaan of bijvoorbeeld 23162 nu groter of kleiner is dan 31995 dan zijn zelfs opa's logaritmentafels in vijf decimalen niet meer toereikend. En ik hoop niet dat je nu het advies blijft geven om het dan maar met de hand uit te rekenen omdat het algoritme zo lekker simpel is.
Dit is toch niet te berekenen zonder rekenmachine?
1995a = 3162
a ~ 1.58
21.58< 3
Dus
23162< 31995
Of toch wel? Klopt bovenstaande?
[ Bericht 1% gewijzigd door wiskundenoob op 11-10-2013 23:52:39 ]
Ah! Hij (nouja, mijn uitleg) is niet convex (en concaaf) op hetzelfde interval omdat je die lijn niet kunt trekken tussen twee willekeurige punten zonder buiten het interval te komen. Klopt dat?quote:
[..]
Kijk eens naar de definities van (strikt) convex en (strikt) concaaf. Die twee sluiten elkaar uit. Als je de eis van striktheid achterwege laat, dan kun je wel een functie hebben die zowel convex als concaaf is op hetzelfde interval, maar dat kan dan alleen een lineaire functie zijn op dat interval.
[..]
Kijk eens naar de functie f: [2,6] → R gedefinieerd door f(x) = x3. Deze functie heeft een minimum bij x = 2 en een maximum bij x = 6 terwijl f''(2) en f''(6) beide positief zijn. Wat denk je daarvan?
Ik wist dat overigens, maar ik wist niet dat de hele functie convex en concaaf moet zijn op het gehele interval.
Jawel hoor, in principe is alles te berekenen zonder rekenmachine. Het is geen pretje, maar het kan. Met de calculator van Windows vind ik 23162/1995 = 2.9999998030641692219144189133716 ... zodat inderdaad 23162< 31995 maar dat kun je met bijvoorbeeld de logaritmentafels in 14 decimalen van Briggs uit 1624 ook concluderen. En die tafels zijn toch echt met de hand berekend. Dus ja, het kan.quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 23:37 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Is 23162 nu groter of kleiner dan 31995?
Dit is toch niet te berekenen zonder rekenmachine?
1995a = 3162
a ~ 1.58
21.58< 3
Dus
23162< 31995
Maar goed, vroeger kon men wel vaker dingen met de hand uitrekenen waarvan we nu soms nog niet weten hoe het is gedaan. Heel bekend is bijvoorbeeld dat Mersenne eens per brief aan Fermat vroeg of het getal 100895598169 priem was of niet. Fermat antwoordde nog dezelfde dag per kerende post dat dit getal niet priem is en dat dit getal het product is van 112303 en 898423 en dat elk van deze beide factoren priem is. Tot op de dag van vandaag weet niemand hoe hij dit zonder rekenmachine heeft gedaan. Het valt wel direct op dat je hebt 898423 = 8·112303 − 1, dus N = n(8n − 1) en daarmee 32N + 1 = (16n − 1)2 met n = 112303, maar ja ...
[ Bericht 4% gewijzigd door Riparius op 12-10-2013 02:49:56 ]
Een nieuwe.
Stel je hebt de functie:
f(x,y) = x3 + y3 - 9xy + 27
Verder is gegeven dat:
0 ≤ x ≤ 4 en 0 ≤ y ≤ 4
Gevraagd wordt om het maximum en minimum te vinden.
Eerst dus de stationaire punten vinden.
f'x(x,y) = 3x2 - 9y = 0
f'y(x,y) = 3y2 - 9x = 0
Y uitdrukken in x voor f'x(x,y)
9y = 3x2
y = (1/3)x2
Invoeren in f'y(x,y)
3((1/3)x2)2 - 9x = 0
3((1/9)x4) - 9x = 0
(1/3)x4 - 9x = 0
x4 - 27x = 0
x(x3 - 27) = 0
Waaruit volgt x = 0 of x = 3, omdat x = 0 een randpunt is, is x = 3 het enige stationaire punt. Bijbehorende y-waarde: (1/3)(3)2 = 3
Nu heb ik dus als mogelijk punt (3,3).
Ik snap nu niet hoe ik verder moet gaan, ofwel, wat ik met de randpunten moet doen (0 ≤ x ≤ 4 en 0 ≤ y ≤ 4).
In eerste instantie dacht ik dat ik door het invullen in de afgeleiden voor x en y de bijbehorende waardes kon vinden (bijvoorbeeld, welke waarde bij het punt x = 4 hoort), maar dat is niet zo/lijkt me onwaarschijnlijk.
Ik denk zelf dat ik iets moet doen met de originele functie f(x,y), maar wat? Als ik x = 0 invul, wat moet ik dan voor y invullen? Y kan immers tussen 0 en 4 liggen.
Stel je hebt de functie:
f(x,y) = x3 + y3 - 9xy + 27
Verder is gegeven dat:
0 ≤ x ≤ 4 en 0 ≤ y ≤ 4
Gevraagd wordt om het maximum en minimum te vinden.
Eerst dus de stationaire punten vinden.
f'x(x,y) = 3x2 - 9y = 0
f'y(x,y) = 3y2 - 9x = 0
Y uitdrukken in x voor f'x(x,y)
9y = 3x2
y = (1/3)x2
Invoeren in f'y(x,y)
3((1/3)x2)2 - 9x = 0
3((1/9)x4) - 9x = 0
(1/3)x4 - 9x = 0
x4 - 27x = 0
x(x3 - 27) = 0
Waaruit volgt x = 0 of x = 3, omdat x = 0 een randpunt is, is x = 3 het enige stationaire punt. Bijbehorende y-waarde: (1/3)(3)2 = 3
Nu heb ik dus als mogelijk punt (3,3).
Ik snap nu niet hoe ik verder moet gaan, ofwel, wat ik met de randpunten moet doen (0 ≤ x ≤ 4 en 0 ≤ y ≤ 4).
In eerste instantie dacht ik dat ik door het invullen in de afgeleiden voor x en y de bijbehorende waardes kon vinden (bijvoorbeeld, welke waarde bij het punt x = 4 hoort), maar dat is niet zo/lijkt me onwaarschijnlijk.
Ik denk zelf dat ik iets moet doen met de originele functie f(x,y), maar wat? Als ik x = 0 invul, wat moet ik dan voor y invullen? Y kan immers tussen 0 en 4 liggen.
Geen idee, je formulering is zo onduidelijk dat onmogelijk is te achterhalen wat je je hier precies bij voorstelt.quote:
[..]
Ah! Hij (nouja, mijn uitleg) is niet convex (en concaaf) op hetzelfde interval omdat je die lijn niet kunt trekken tussen twee willekeurige punten zonder buiten het interval te komen. Klopt dat?
Er werd duidelijk gevraagd naar een functie die zowel convex als concaaf moest zijn op hetzelfde interval. Jij maakte daarvan dat er werd gevraagd naar een functie die convex is op een deel van een interval maar concaaf op een ander deel van datzelfde interval. Maar dat is iets anders.quote:Ik wist dat overigens, maar ik wist niet dat de hele functie convex en concaaf moet zijn op het gehele interval.
