[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op maandag 30 september 2013 12:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

(5) volgt direct uit (4) en bij (7) heeft hij de productregel incorrect gebruikt. Impliciet differentiëren is hier feitelijk overbodig.

Oh ja klopt, ik bedoelde inderdaad dat ie gewoon (5) moet gebruiken om de y' weg te werken. Maar het enige wat je nog moet doen om het antwoord (de tweede afgeleide van deze functie) te krijgen is (3) nog een keer differentiëren en dan dmv (5) de y' weg werken toch?

quote:

Op maandag 30 september 2013 12:32 schreef ulq het volgende:

[..]

Oh ja klopt, ik bedoelde inderdaad dat ie gewoon (5) moet gebruiken om de y' weg te werken. Maar het enige wat je nog moet doen om het antwoord (de tweede afgeleide van deze functie) te krijgen is (3) nog een keer differentiëren en dan dmv (5) de y' weg werken toch?

Nog eenvoudiger: je kunt (5) differentiëren om direct y'' te krijgen.

quote:

Op zondag 29 september 2013 23:27 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Uiteindelijk heb ik twee vergelijkingen in a en b staan (met een direct verband tussen x+y=z uiteraard), maar dat ging WolframAlpha wat te ver. Ik had met de sinus van dat stuk v/d schuine zijde en de stelling van Pythagoras x en y uitgedrukt in c en d om zo twee vergelijkingen in c en d te krijgen. Maar zelfs Mathematica gaf daar geen output over.

Ik weet natuurlijk niet wat je allemaal in Mathematica hebt gestopt, maar een goniometrische oplossing is ook heel goed mogelijk, WolframAlpha heeft daar geen moeite mee, en Mathematica naar ik aanneem dus ook niet.

Laat ik even uitgaan van de aanduidingen van Thabit hierboven. De kortste van de twee ladders steunt op een hoogte a boven de grond tegen de linker muur en de langste van de twee ladders steunt op een hoogte b boven de grond tegen de rechter muur. Verder noem ik de hoek die de kortste van de twee ladders met de straat maakt α en de hoek die de langste van de twee ladders met de straat maakt β. We hadden we al gezien dat geldt

(1) 1/a + 1/b = 1

Verder hebben we nu

(2) cos α = z/2, cos β = z/3, cot α = z/a, cot β = z/b

zodat

(3) z = cot α + cot β, z = 2·cos α, z = 3·cos β

Zo krijgen we dus voor α en β de voorwaarde

(4) cot α + cot β = 2·cos α = 3·cos β

waarbij moet gelden

(6) 0 < α < π/2, 0 < β < π/2

Dit stelsel kun je numeriek oplossen en dan krijgen we

(7) α ≈ 0,907658, β ≈ 1,14791

En dus hebben we

(8) z = 2·cos α ≈ 1,231186

Algebraïsch gaat het ook prima als je a en b oplost uit het stelsel

(9) b² − a² = 5, 1/a + 1/b = 1

Dit levert een vergelijking op die wat makkelijker te hanteren is dan de vergelijking die je voor z af kunt leiden. Aangezien a en b positief zijn volgt uit 1/a + 1/b = 1 dat 1/a < 1 en dus a > 1 en verder is a < 2 aangezien a² = 4 − z², zodat we dus voor a een waarde zoeken op het interval (1,2). Numeriek oplossen geeft dan

(10) a ≈ 1,57613, b ≈ 2,73572

De exacte uitdrukkingen zien er inderdaad tamelijk hopeloos uit, maar dat komt omdat de kubische resolventes van de vierdemachtsvergelijkingen die dit stelsel oplevert niet prettig zijn (lees: geen rationale oplossingen hebben). Ik neem aan dat je er begrip voor hebt dat ik die exacte oplossing hier dan ook niet uit ga werken.

Uit 1/a + 1/b = 1 volgt b = a/(a − 1) en substitutie daarvan in b² − a² = 5 geeft dan

(11) (a/(a − 1))² − a² = 5

en dit kunnen we verder herleiden tot

(12) a⁴ − 2a³ + 5a² − 10a + 5 = 0

Numeriek zou je (ook met pen en papier) de gezochte oplossing op het interval (1,2) kunnen benaderen met een Newton-Raphson iteratie, waarbij het voor de hand ligt om als startwaarde a₀ = 1,5 te nemen. Dan krijg je dit en dan zie je dat we na enkele iteraties inderdaad op a ≈ 1,57613 uitkomen.

Tot slot zal ik toch nog even aangeven hoe (12) althans in principe exact is op te lossen met de methode van Ferrari. We brengen eerst de termen met de tweede en lagere machten van de onbekende over naar het rechterlid, dit geeft

(13) a⁴ − 2a³ = −5a² + 10a − 5

Nu kwadraat afsplitsen in het linkerlid

(14) (a² − a)² − a² = −5a² + 10a − 5

en de kwadratische term weer overbrengen naar het rechterlid

(15) (a² − a)² = −4a² + 10a − 5

Nu zou het mooi zijn als we het rechterlid ook als een kwadraat konden schrijven, maar dat is hier niet zo, de discriminant van de kwadratische veelterm in het rechterlid is namelijk niet nul. Daarom gaan we een parameter t invoeren waarmee we een beetje kunnen schuiven, zodat we alsnog het rechterlid ook als een kwadraat kunnen schrijven. Maar dan moeten we wel zorgen dat we het linkerlid tevens als een kwadraat kunnen blijven schrijven. Daarom tellen we nu bij beide leden

(16) t(a² − a) + ¼t² = ta² − ta + ¼t²

op, zodat we krijgen

(17) (a² − a)² + t(a² − a) + ¼t² = −4a² + 10a − 5 + ta² − ta + ¼t²

en dit geeft

(18) (a² − a + ½t)² = (t − 4)a² + (10 − t)a + (¼t² − 5)

Nu willen we t zó kiezen dat de discriminant van de kwadratische veelterm in a in het rechterlid gelijk wordt aan nul, en dus moet gelden

(19) (10 − t)² − 4(t − 4)(¼t² − 5) = 0

Uitwerken hiervan geeft

(20) t³ − 5t² − 20 = 0

En zie, we hebben nu een kubische vergelijking in t, en als we een oplossing hiervan substitueren in (18) dan kunnen we het rechterlid van (18) ook als een kwadraat schrijven, en dan is (18) te herleiden tot twee vierkantsvergelijkingen in a, die we op de bekende manier(en) kunnen oplossen.

Nu heeft (20) echter geen rationale wortels, en dus krijg je hier vrij ongelukkige uitdrukkingen voor t en dus ook voor de waarden van a die je dan krijgt door vervolgens (18) op te lossen. Maar je kunt wel zien dat WolframAlpha het op een soortgelijke manier doet, want als je (20) laat oplossen en je kijkt dan naar de exacte uitdrukkingen voor de oplossingen van (20) dan herken je hier inderdaad precies dezelfde derdemachtswortels als in de exacte uitdrukkingen voor de oplossingen van (12).

[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 01-10-2013 10:54:41 ]

quote:

Op maandag 30 september 2013 12:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nog eenvoudiger: je kunt (5) differentiëren om direct y'' te krijgen.

Ik poogde (2) verder te differentieren, geen idee waarom, maar raakte verward doordat er al eenmaal y' staat. (5) direct differentieren is natuurlijk een stuk eenvoudiger.

quote:

Op zondag 29 september 2013 22:47 schreef thabit het volgende:
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).

Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a² = 4-z², en b²=9-z².

Kwadrateren en invullen geeft
(4-z²)y² = z², en (9-z²)x² = z².

Dit geeft ook weer

Hieruit volgt


Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.

Ah, super, bedankt!
Zat een flinke tijd te puzzelen, maar eigenlijk is het best logisch

Kan iemand mij deze vergelijking uitleggen?

100-(2x+1)^5 = 68

Ik snap dus niet wat er wordt bedoeld met die uitleg, waar komt die = 2 op het laatst bijvoorbeeld vandaan?

100-(2x+1)^5 = 68

-(2x+1)^5 = 68-100 ;logische stap toch?

-(2x+1)^5 = -32 ;moet ook nog te volgen zijn?

(2x+1)^5 = 32 ;alle beide kanten maal -1

2x+1 = 5_sqrt(32) = 2 ;5de macht links, verdwijnt door links en rechts 5de machtswortel te nemen, 5demachtswortel van 32 is 2, want 2^5 = 32

2x+1 = 2 ;logisch

2x = 1 ;gewoon links en rechts 1 eraf

x = 1/2 ;beide kanten door 2 delen

[ Bericht 22% gewijzigd door MaximusTG op 30-09-2013 18:04:58 ]

Zit even mobiel. Maar vijfde machts wortel uit 32; dat is 32^(1/5). Enig idee hoe je dit uitrekent?

2^5 = 32

quote:

Op maandag 30 september 2013 18:00 schreef Borizzz het volgende:
Zit even mobiel. Maar vijfde machts wortel uit 32; dat is 32^(1/5). Enig idee hoe je dit uitrekent?

Priemgetallen van maken.

quote:

Op maandag 30 september 2013 17:59 schreef MaximusTG het volgende:
100-(2x+1)^5 = 68

-(2x+1)^5 = 68-100 ;logische stap toch?

-(2x+1)^5 = -32 ;moet ook nog te volgen zijn?

(2x+1)^5 = 32 ;alle beide kanten maal -1

2x+1 = 5_sqrt(32) = 2 ;5de macht links, verdwijnt door links en rechts 5de machtswortel te nemen, 5demachtswortel van 32 is 2, want 2^5 = 32

2x+1 = 2 ;logisch

2x = 1 ;gewoon links en rechts 1 eraf

x = 1/2 ;beide kanten door 2 delen

Ah, zo dus, helemaal niet zo moeilijk eigenlijk. Gewoon 5e machtswortel nemen van beide kanten.
Ik meen het, als ik niet in het antwoordenboekje keek voor een antwoord had ik gewoon serieus 5 keer achter elkaar (2x+1) geschreven lol.

Gelukkig is er ook een andere route.
Dankjewel

quote:

Op maandag 30 september 2013 18:18 schreef Spinosaurus het volgende:

[..]

Ah, zo dus, helemaal niet zo moeilijk eigenlijk. Gewoon 5e machtswortel nemen van beide kanten.
Ik meen het, als ik niet in het antwoordenboekje keek voor een antwoord had ik gewoon serieus 5 keer achter elkaar (2x+1) geschreven lol.

Gelukkig is er ook een andere route.
Dankjewel

Ik kan je nog 4 andere antwoorden geven, mocht dat nodig zijn.

quote:

Op maandag 30 september 2013 22:33 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik kan je nog 4 andere antwoorden geven, mocht dat nodig zijn.

Er is maar één antwoord toch? Je bedoelt 4 andere manieren?

Ik moet een kwadratische vergelijking bepalen(ax ² +bx +c) met de volgende gegevens:
Top: (0,0) en gaat ook door punt: (1,2).

Hoe pak ik dit aan?
Enige wat ik kan bedenken: er is geen constante. Dus dan krijg je f(x) = (h)² en h is 2 ^1/2

Of zoals bij lin. vergl. y/x = 2/1 = hellingsgetal dus y = x ² +2x +0

Top is volgens mij ook gelijke het enige nulpunt.

[ Bericht 5% gewijzigd door wiskundenoob op 30-09-2013 22:54:57 ]

quote:

Op maandag 30 september 2013 22:34 schreef Spinosaurus het volgende:

[..]

Er is maar één antwoord toch? Je bedoelt 4 andere manieren?

Ik hoopte al dat je nieuwsgierig zou worden. Algemeen geldt dat een polynoom van de graad n ook n nulpunten heeft, als je de multipliciteit van ieder nulpunt meeneemt

Dus er zijn 5 oplossingen, maar daarvoor heb je wel complexe getallen nodig.

quote:

Op maandag 30 september 2013 22:39 schreef wiskundenoob het volgende:
Ik moet een kwadratische vergelijking bepalen(ax ² +bx +c) met de volgende gegevens:
Top: (0,0) en gaat ook door punt: (1,2).

Hoe pak ik dit aan?
Enige wat ik kan bedenken: er is geen constante. Dus dan krijg je f(x) = (h)² en h is 2 ^1/2

Of zoals bij lin. vergl. y/x = 2/1 = hellingsgetal dus y = x ² +2x +0

Top is volgens mij ook gelijke het enige nulpunt.

Dat is juist, c = 0.
Schrijf nu eens y = x(ax+b) en gebruik dat (1,2) een functiewaarde is. Maar je weet ook dat x_top = -b/(2a) = 0

Volgens mij is het dan wel heel eenvoudig om te concluderen wat f(x) nu moet zijn.

b = 0 ? Omdat a niet nul kan zijn?

quote:

Op maandag 30 september 2013 23:02 schreef wiskundenoob het volgende:
b = 0 ? Omdat a niet nul kan zijn?

a ≠ 0, anders heb je geen polynoom van de tweede graad.

Maar inderdaad, uit -b/(2a) = 0 concludeer je dat b = 0.

Substitueer nu dat punt in je vergelijking en je vindt op z'n janboerenfluitjes dat a = 2 en dus f(x) = 2x²

Ok! bedankt.

Yep

Lang geleden maar volgens mij is het gewoon y=2x^2

quote:

Op maandag 30 september 2013 23:07 schreef wiskundenoob het volgende:
Ok! bedankt.

Overigens voldoet f(x) = x² + x niet aan beide voorwaarden, want f(x) heeft geen top in de oorsprong.

Nee, dat is niet waar

edit: haha, ik dacht even dat ik het verkeerd gelezen had, maar het was wel een edit

Ik was inderdaad even te snel.

quote:

Op maandag 30 september 2013 23:10 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Overigens voldoet f(x) = x² + x ook niet aan beide voorwaarden, want f(x) heeft geen top in de oorsprong.

afgeleide in (0,0) moest toch ook 0 zijn

Weer te traag