quote:
Op woensdag 2 oktober 2013 00:07 schreef Bram_van_Loon het volgende:[..]
Ik ben het met je eens dat het een slechte notatie is gezien de logische verwarring (bij leerlingen) met sec en cosec. Met arccos en arcsin is er geen twijfel over mogelijk.
Het ironische is nu juist dat de secans en cosecans vooral in de angelsaksische wereld in het onderwijs 'populair' zijn gebleven, precies om de verwarring van sin
−1 x en cos
−1 x met (sin x)
−1 resp. (cos x)
−1 tegen te gaan. Tegelijkertijd wordt die verwarring krachtig in de hand gewerkt door datzelfde onderwijs door te insisteren dat (sin x)
n voor n > 1 dient te worden genoteerd als sin
nx.
Op het Europese vasteland bestond deze bron van verwarring in het onderwijs vroeger uiteraard niet, omdat men de inverse van e.g. de sinusfunctie noteerde als Bg sin x of als Arc sin x of ook wel bg Sin of arc Sin (
niet aaneengeschreven). Nog in de jaren '60 van de vorige eeuw was deze notatie heel gebruikelijk. Pas vrij recent is men consequent arcsin gaan schrijven, maar in Vlaanderen schijft men nog Bgsin (nu echter wél aaneengeschreven). Je komt ook wel Arcsin tegen (met een hoofdletter A) maar de officiële ISO recommendatie schijft arcsin voor met een kleine letter a. En om de verwarring nog groter te maken zijn er ook wel auteurs die zowel Arcsin x als arcsin x gebruiken om de zogeheten hoofdwaarde en de verzameling van alle waarden waarvan de sinus gelijk is aan x van elkaar te onderscheiden. En dan is het altijd maar de vraag wat wat is, want hier heerst dezelfde chaos als bijvoorbeeld bij het onderscheid tussen Arg z en arg z of Log z en log z (om nog maar even te zwijgen over de verwarring die de notatie log voor hetzij
10log hetzij
elog oplevert).
De secans en cosecans waren in Europa langzaam maar zeker uit het onderwijs verdwenen, maar ze hebben tot op zekere hoogte een
comeback gemaakt door de opkomst van de rekenmachine waar de inverse van de sinusfunctie steevast wordt aangeduid met sin
−1x en waarmee de verwarring met (sin x)
−1 wereldwijd een issue is geworden. Ik zie dat als een subtiel staaltje Amerikaans cultuurimperialisme, net zo goed als de rekenmachine erin heeft geresulteerd dat het een janboel is geworden met het gebruik van de punt naast de komma als decimaal scheidingsteken.
De vermaledijde sin
−1 notatie voor de inverse van de sinusfunctie gaat terug op de Britse astronoom en wiskundige
John Herschel (niet te verwarren met zijn vader, de astronoom William Herschel). John Herschel introduceerde de notatie in
dit artikel verschenen in de
Philosophical Transactions van 1813. Hij stelt hier voor om φ(φ(x)), φ(φ(φ(x))) ... te noteren als φ
2(x), φ
3(x) ... en beredeneert dat de inverse operatie dan is te noteren als φ
−1(x). Heel consequent verwerpt hij dan de notatie sin
nx voor (sin x)
n en wil hij bijv. sin
2x opvatten als sin (sin x). En evenals hij sin.
−1 x noteert voor arcsin x wil hij bijvoorbeeld ook log.
−1 x noteren voor e
x ... In een
boek dat enkele jaren later, in 1820, werd gepubliceerd herhaalde hij nog eens zijn voorstellen, en hier introduceert hij de notatie f
−1(x) voor de inverse van de functie f(x), een notatie die we nog steeds gebruiken. De meeste van zijn voorstellen hebben het niet gehaald, en dat is maar goed ook, want stel je voor dat we nu log
−1 x hadden voor exp x terwijl log x of log
10 x of
10log x dan weer de Briggse logaritme voorstelt ...
Opmerkelijk genoeg konden de voorstellen van Herschel wel de goedkeuring wegdragen van niemand minder dan Gauss, die weinig moest hebben van de notatie sin
2x voor (sin x)
2. In een
brief aan Bessel gedateerd 21 november 1811, dus nog
vóór de publicatie van Herschel's artikel, schrijft hij:
Auch is mir jedes Mal fatal das gar nicht analogische sin2φ, obgleich auch Laplace es gebraucht; fürchtet man, dass sin φ2 zweideutig werden könne (was doch vielleicht nie oder höchst selten eintritt, wenn man von sin (φ2) spräche), ei nun, so schreibe man (sin φ)2 aber nicht sin2φ, was der Analogie nach nur sin (sin φ) bedeuten sollte.Veel later, in een
brief aan Schumacher gedateerd 23 september 1839 kwam hij nog eens op de kwestie terug:
Ich finde diese Schreibart aller Analogie zuwider, da die Analogie überall sonst ein an die Spitze gesetztes 2 als eine Abkürzung für doppeltes Schreiben des nächst vorhergehenden erfordert also sin2φ = sin (sin φ). Die Schreibart sin2φ wird allerdings von angesehenen Namen gebraucht, wie Laplace und Poisson und ist an sich gut gemeint, nemlich einer falschen Interpretation vorzubeugen, damit man das was (sin φ)2 sein soll nicht als sin (φ2) verstehe, wenn man sin φ2 schlechthin schreibt. Aber unter 1000 Fällen kommt die letztere Bedeutung nicht Einmahl vor, es kann gewiss ein Missverständniss nie eintreten, und wo ein solches denkbar wäre, ist es weit besser durch eine Parenthese (wie oben) vorzubeugen, als eine durchaus analogisch unrichtige Schreibart anzuwenden. Ich erinnere mich, dass Herschel sich auch einmahl nachdrücklich gegen die Schreibart sin2φ erklärt hat. Bessel, der wie mir scheint, auf correctes Formelnschreiben etwas hält, schreibt meines Wissens nie so.
De meningen over wat nu de beste notatie is voor e.g. de inverse van sin x en de machten van sin x lopen dus uiteen, maar het is wel duidelijk dat je
niet het gebruik van sin
−1x voor arcsin x moet combineren met het gebruik van sin
2x voor (sin x)
2 zoals men in de angelsaksische wereld doet. Gebruik je sin
−1x voor arcsin x, wat op zich heel goed te verdedigen is zoals Herschel en Gauss aangeven, dan zou je de notatie sin
2x voor (sin x)
2 moeten verbannen. Maar het voorstel om dan maar sin x
2 te schrijven voor (sin x)
2 is ook weinig gelukkig, want dan zet je de deur op een kier om bijv. ook log x
2 op te vatten als (log x)
2. Omgekeerd, als je de notatie sin
nx voor (sin x)
n aanvaardt, dan zou je de notatie sin
−1x voor arcsin x moeten verbannen. En aangezien sin
nx voor (sin x)
n al heel lang wereldwijd is aanvaard (in weerwil van de bedenkingen van Gauss) is de conclusie dus dat sin
−1x voor arcsin x al lang had moeten zijn afgeschaft. Maar ja, dan moet je consequent zijn en ook de notatie f
−1(x) voor de inverse van f(x) verwerpen, en dat is dan waarschijnlijk voor de meesten weer een brug te ver. En zolang je f
−1 aanvaardt als notatie voor de inverse van f is er
an sich ook weinig in te brengen tegen de notatie sin
−1 voor de inverse van sin. Zo blijft het dus behelpen met onze notaties.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-10-2013 15:15:02 ]