abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_130523535
quote:
0s.gif Op dinsdag 27 augustus 2013 19:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat is juist. Je kunt het ook mooi visualiseren in het complexe vlak: een vermenigvuldiging met i betekent meetkundig een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in. Het beeldpunt van −1 is (−1;0) en als we dit punt om de oorsprong roteren over een rechte hoek tegen de klok in, dan zitten we in het punt (0; −1), en dat is het beeldpunt van −i.

Hier nog een plaatje dat mooi laat zien hoe je vermenigvuldiging met i meetkundig kunt interpreteren. Na viermaal achtereen vermenigvuldigen met i, oftewel vermenigvuldiging met i4 = i2·i2 = (−1)·(−1) = 1 ben je weer terug op het uitgangspunt:

[ afbeelding ]
Bedankt Riparius!

Hoewel ik complexe getallen niet hoef te leren voor het examen, doe ik het toch. :)

En dat grafiek (in lack of a better term), ziet er reuze interessant uit.

Kan jij mij misschien in de goede richting sturen met het volgende?

(1-i/wortel2)^48
pi_130524048
Ik kom op:

1-48i+i^48 / 2^24

Ik twijfel over 48i. Daarbij moet i^48 1 zijn, want je kunt het ontleden in 24 i^2. Ik ga uit van i^2 * i^2 = 1.

Dus dan is het 48i / 2^24.

Maar dat klopt niet.

Edit:

2-48i / 2^24
pi_130524248
quote:
0s.gif Op dinsdag 27 augustus 2013 19:38 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Bedankt Riparius!

Hoewel ik complexe getallen niet hoef te leren voor het examen, doe ik het toch. :)

En dat grafiek (in lack of a better term), ziet er reuze interessant uit.

Kan jij mij misschien in de goede richting sturen met het volgende?

(1-i/wortel2)^48
Ben je vertrouwd met de formule van De Moivre

(cos φ + i·sin φ)n = cos nφ + i·sin nφ

en met de manier waarop je de cartesische vorm

z = x + iy

van een complex getal omzet in de goniometrische vorm

z = r(cos φ + i·sin φ)

?
pi_130524629
Tevens:

i48 ≠ 24 i2
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_130525789
quote:
0s.gif Op dinsdag 27 augustus 2013 19:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ben je vertrouwd met de formule van De Moivre

(cos φ + i·sin φ)n = cos nφ + i·sin nφ

en met de manier waarop je de cartesische vorm

z = x + iy

van een complex getal omzet in de goniometrische vorm

z = r(cos φ + i·sin φ)

?
Nooit van gehoord eerlijk gezegd. Maar mijn wiskunde docent had vandaag wel deels uitlegd over de getallen z en r en hoe die samenhangen met de hoek fi (volgens mij is dat teken fi).

quote:
1s.gif Op dinsdag 27 augustus 2013 20:02 schreef Amoeba het volgende:
Tevens:

i48 ≠ 24 i2
Sorry, verkeerd geformuleerd. Ik bedoelde: (i^2)^24.
pi_130527349
phi
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_130527444
phi staat voor de rotatie om de oorsprong. Met poolcoördinaten kun je ieder punt in een assenstelsel beschrijven door zijn modulus en rotatiehoek.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_130527457
quote:
0s.gif Op dinsdag 27 augustus 2013 20:27 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Nooit van gehoord eerlijk gezegd. Maar mijn wiskunde docent had vandaag wel deels uitlegd over de getallen z en r en hoe die samenhangen met de hoek fi (volgens mij is dat teken fi).

[..]

Ik dacht dat dit wel wordt uitgelegd in je Vlaamse boek. Door (1 − i)/√2 eerst om te zetten in een vorm van de gedaante

r(cos φ + i·sin φ)

kun je gebruik maken van de formule van De Moivre. Direct uitwerken van de 48-ste macht van (1 − i)/√2 is geen doen, want dan krijg je een veelterm met 49 termen en deels heel grote coëfficiënten, zoals ik hier al had aangegeven.

Maar, de clou is dat vermenigvuldiging met een complex getal meetkundig neerkomt op een draaistrekking, dat is een samenstelling van een rotatie om de oorsprong en een meetkundige vermenigvuldiging (schaling) ten opzichte van de oorsprong.

Je hebt al gezien dat vermenigvuldiging met i meetkundig overeenkomt met een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek in tegenwijzerzin. Welnu, het is ook mogelijk om te laten zien dat een vermenigvuldiging met het complexe getal

cos φ + i·sin φ

meetkundig overeenkomt met een rotatie om de oorsprong over een hoek φ (phi). En als je nu een punt n maal achtereen om de oorsprong roteert over een hoek φ, dan komt dat op hetzelfde neer als éénmaal een rotatie om de oorsprong over een hoek nφ. Zo begrijp je dus dat vermenigvuldiging met (cos φ + i·sin φ)n precies hetzelfde is als vermenigvuldiging met cos nφ + i·sin nφ. De formule van De Moivre zegt dus meetkundig eigenlijk niets anders dan dat een n maal herhaalde rotatie over een hoek φ hetzelfde is als een rotatie over een hoek nφ, en dat wist je natuurlijk allang.

Hint: maak een tekening van een cartesisch assenstelsel dat het complexe vlak representeert. Geef hierin het complexe getal 1 − i aan, dat het beeldpunt (1; −1) heeft. Wat kun je zeggen over de afstand van het beeldpunt van 1 − i tot de oorsprong? En wat is dus de afstand van het beeldpunt van (1 − i)/√2 tot de oorsprong? En wat kun je zeggen over de (georiënteerde) hoek die het lijnstuk tussen de beeldpunten van 0 en (1 − i)/√2 maakt met de positieve reële as? Gebruik deze gegevens om (1 − i)/√2 om te zetten in een vorm van de gedaante r(cos φ + i·sin φ) zodat je de formule van De Moivre kunt gebruiken om hiervan de 48-ste macht te bepalen.
pi_130559829
Hallo,

Ik zit met een wiskundig vraagstuk in de knoop.
http://imageshack.us/photo/my-images/35/ykdq.jpg/ (copy/paste deze link)

Ik heb hier de DV's (differentiaalvergelijking) voor beide vaten opgesteld
http://imageshack.us/photo/my-images/19/hyta.jpg/ (copy/paste deze link)

Nu moeten deze twee DV's tot 1 gesubstitueerd worden. De h1 moet uit de DV gewerkt worden dmv substitutie (alleen h1 en h2 zijn onbekende, en h2 moet bekeken worden), alleen ik kom dan elke keer uit op een onbruikbare vergelijking.

Kan iemand mij helpen?
Groeten,
Bart

[ Bericht 4% gewijzigd door bjoppe op 28-08-2013 17:15:45 ]
pi_130561496
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 17:04 schreef bjoppe het volgende:
Hallo,

Kan iemand mij helpen?

Nee, ik denk het niet. Je plaatje bevat namelijk geen vraagstelling. Post eerst eens de complete tekst van je vraagstuk.
pi_130561852
En op FOK! niet gebruik maken van links naar imageshack, dat werkt hier om de een of andere gare reden niet. Maak liever gebruik van tinypic of beter nog imgur.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_130562092


dit is de vraagstelling.
Opdracht 3.1 heb ik zelf uitgewerkt en klopt (2de plaatje)
alleen om de twee DV's naar 1 DV te substitueren lukt niet,( opdracht 3.2)
de rest van de opdrachten (3.3-3.5) is niet het probleem.
pi_130564312
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 18:11 schreef bjoppe het volgende:
[ link | afbeelding ]

dit is de vraagstelling.
Opdracht 3.1 heb ik zelf uitgewerkt en klopt (2de plaatje)
Nou nee, je schrijft de DV's niet correct op.
quote:
Alleen om de twee DV's naar 1 DV te substitueren lukt niet,( opdracht 3.2)
De rest van de opdrachten (3.3-3.5) is niet het probleem.
Of je met de rest geen probleem hebt moeten we nog maar afwachten ...

De DV's die je krijgt zijn de volgende:

(1) φin = φ12 + A1 · dh1/dt

(2) φ12 = h2/R2 + A2 · dh2/dt

Nu kun je uiteraard (2) in (1) substitueren, en dan hebben we

(3) φin = h2/R2 + A2 · dh2/dt + A1 · dh1/dt

Nu wil je nog dh1/dt elimineren uit (3), dus moeten we hier eerst een uitdrukking voor afleiden. Je hebt φ12 = (h1 − h2)/R1 en dus:

(4) h1 = R1·φ12 + h2

Differentiëren van (4) naar t levert:

(5) dh1/dt = R1 · d(φ12)/dt + dh2/dt

En door (2) te differentiëren naar t krijg je:

(6) d(φ12)/dt = (1/R2)· dh2/dt + A2 · d2h2/dt2

Nu kun je (6) substitueren in (5) zodat we hebben:

(7) dh1/dt = R1 · ((1/R2)· dh2/dt + A2 · d2h2/dt2) + dh2/dt

Tenslotte substitueer je (7) in (3) en dan hebben we dus

(8) φin = h2/R2 + A2 · dh2/dt + A1 · (R1 · ((1/R2)· dh2/dt + A2 · d2h2/dt2) + dh2/dt)

Dit mag je zelf even verder herleiden.
pi_130567849
quote:
0s.gif Op dinsdag 27 augustus 2013 19:50 schreef DefinitionX het volgende:
Ik kom op:

1-48i+i^48 / 2^24

Ik twijfel over 48i. Daarbij moet i^48 1 zijn, want je kunt het ontleden in 24 i^2. Ik ga uit van i^2 * i^2 = 1.

Dus dan is het 48i / 2^24.

Maar dat klopt niet.

Edit:

2-48i / 2^24
Het is helaas maar al te duidelijk dat je nog steeds niet begrijpt dat



met



Maar goed, ook zonder kennis van de binomiaalformule en zonder de formule van De Moivre had je op het goede antwoord kunnen komen.

Je zag in ieder geval dat

(1/√2)48 = 1/224

zodat we nu nog

(1 − i)48

moeten bepalen. Welnu, met gebruik van het merkwaardig product (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 hebben we

(1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = 1 − 2i − 1 = −2i

zodat

(1 − i)48 = ((1 − i)2)24 = (−2i)24 = (−2)24·i24 = 224·1 = 224

En dus krijgen we

((1 − i)/√2)48 = (1 − i)48/(√2)48 = 224/224 = 1
pi_130568168
Bedankt Riparius,

Ik heb het verder uit zitten werken zoals jij aangaf. Ik was zelf tot (4) gekomen, omdat je bij (6) nog een keer differentieert, maar deze DV is toch al ten opzichte van de tijd. dat snap ik niet helemaal.

Hoe je het vervolgens stap voor stap uitwerkt en substitueert snap ik wel hoe je aan het antwoord op het einde komt. Alleen doordat je nog een keer differentieert bij (6) is dit eindantwoord best ingewikkeld om te simuleren want ik heb tot nu toe alleen vergelijkingen moeten simuleren waar alleen 1x dh2/dt bijvoorbeeld instaat.

Ik zie namelijk niet in hoe ik het naar een makkelijkere vergelijking moet herleiden..
pi_130569242
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 20:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is helaas maar al te duidelijk dat je nog steeds niet begrijpt dat

[ afbeelding ]

met

[ afbeelding ]

Maar goed, ook zonder kennis van de binomiaalformule en zonder de formule van De Moivre had je op het goede antwoord kunnen komen.

Je zag in ieder geval dat

(1/√2)48 = 1/224

zodat we nu nog

(1 − i)48

moeten bepalen. Welnu, met gebruik van het merkwaardig product (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 hebben we

(1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = 1 − 2i − 1 = −2i

zodat

(1 − i)48 = ((1 − i)2)24 = (−2i)24 = (−2)24·i24 = 224·1 = 224

En dus krijgen we

((1 − i)/√2)48 = (1 − i)48/(√2)48 = 224/224 = 1
Vele dank. :)
pi_130569506
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 20:43 schreef bjoppe het volgende:
Bedankt Riparius,

Ik heb het verder uit zitten werken zoals jij aangaf. Ik was zelf tot (4) gekomen, omdat je bij (6) nog een keer differentieert, maar deze DV is toch al ten opzichte van de tijd. dat snap ik niet helemaal.
Ik dacht al dat je het niet helemaal zou begrijpen, anders had je het zelf ook kunnen bedenken. We moeten in (3) niet h1 maar dh1/dt elimineren, en dus moeten we een uitdrukking voor dh1/dt afleiden, en dat doen we door uitdrukking (4) voor h1 te differentiëren naar t. Ik denk dat je hier op stuk liep omdat je in je DV's de d van dh1 resp. dh2 was vergeten.

In de uitdrukking (5) voor dh1/dt zit d(φ12)/dt omdat ook φ12 afhangt van de tijd, en dus moeten we die ook omschrijven om een DV voor h2 als functie van de tijd t te krijgen.
quote:
Hoe je het vervolgens stap voor stap uitwerkt en substitueert snap ik wel hoe je aan het antwoord op het einde komt. Alleen doordat je nog een keer differentieert bij (6) is dit eindantwoord best ingewikkeld om te simuleren want ik heb tot nu toe alleen vergelijkingen moeten simuleren waar alleen 1x dh2/dt bijvoorbeeld instaat.

Ik zie namelijk niet in hoe ik het naar een makkelijkere vergelijking moet herleiden..
Nee, en dat kan ook niet. Uiteraard kun je (8) verder herleiden door de haakjes uit te werken en gelijksoortige termen samen te nemen, maar je houdt een tweede orde lineaire inhomogene DV met constante coëfficiënten voor h2 als functie van de tijd t. En die is op te lossen.
pi_130572130
Nogmaals bedankt, Ik snap het nu een stuk beter.

Ik heb het verder uitgewerkt en kwam op dit uit:



Ik denk dat dit wel redelijk moet kloppen?

Nu is het inderdaad nog maar de vraag dat ik de overige opdrachten ga snappen haha, want heb alleen nog maar met 1ste orde vergelijking gewerkt in simulatieprogramma als matlab.
pi_130575227
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 21:52 schreef bjoppe het volgende:
Nogmaals bedankt, Ik snap het nu een stuk beter.

Ik heb het verder uitgewerkt en kwam op dit uit:

[ link | afbeelding ]

Ik denk dat dit wel redelijk moet kloppen?

Aan 'redelijk' kloppen heb je niets, het moet exact kloppen maar dat doet het niet. Ik kom op

φin = (1/R2)·h2 + ((A1R1 + A1R2 + A2R2)/R2)·dh2/dt + A1A2R1·d2h2/dt2

Misbruik trouwens niet de letter x als teken voor vermenigvuldiging.
pi_130577019
[/quote]
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 22:43 schreef Riparius het volgende:
((A1R1 + A1R2 + A2R2)/R2)·dh2/dt
Hoe ben je hierop gekomen? want uit mijn eigen afbeelding zie ik niet hoe je op die term bent gekomen.

als je de tweede vergelijking ziet zitten er de termen A2·dh2/dt A1R1/R2·dh2/dt en A1·dh2/dt in.
pi_130577540
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 23:16 schreef bjoppe het volgende:
Hoe ben je hierop gekomen? want uit mijn eigen afbeelding zie ik niet hoe je op die term bent gekomen.

Eerst haakjes uitwerken in (7), termen samennemen, en dan pas substitueren in (3) en opnieuw haakjes uitwerken en termen samennemen.
pi_130579123
quote:
0s.gif Op woensdag 28 augustus 2013 23:16 schreef bjoppe het volgende:

Als je de tweede vergelijking ziet zitten er de termen A2·dh2/dt, A1R1/R2·dh2/dt en A1·dh2/dt in.
Dat klopt, maar je gaat de fout in bij de overgang van de tweede naar de derde regel van je herleiding:

A2 + A1R1/R2 + A1 = (A1R1 + A1R2 + A2R2)/R2
pi_130579279
Heel erg bedankt Riparius!!!

Alleen was het me nooit gelukt
pi_130579322
Is een euclidische deling gewoon een staartdeling?
pi_130579443
quote:
0s.gif Op donderdag 29 augustus 2013 00:02 schreef wiskundenoob het volgende:
Is een euclidische deling gewoon een staartdeling?
http://annsanders.be/Wiskunde/veeltermfuncties/euclidische_deling.html
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')