abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_130054534
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

OP

Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
pi_130078777
quote:
0s.gif Op vrijdag 9 augustus 2013 17:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Interessanter zijn dan tips voor alternatieve oplossingen. Je kunt gemakkelijk laten zien dat de integrand voor x → ∞ asymptotisch nadert tot (√(a/2) − √(b/2))·x−1/4 zodat het evident is dat de integraal niet kan convergeren voor a ≠ b. Maar dan moet je uiteraard nog steeds aantonen dat de integraal wel convergeert voor a = b.
Ik denk dat ik er inmiddels uit ben, nogmaals dank voor je opmerking! Zoals jij al opmerkte, niet op eigen kracht, maar ik denk toch dat ik er op deze manier meer van heb geleerd dan direct naar het antwoord kijken :)

In het geval a = b kan je definiëren
f(x) := √(√(x + a) - √x)
dan
f(x-a) = √(√a - √(x - a))
zodat de integraal uit de opgave wordt
a f(x) - f(x - a) dx
= ∫a f(x) dx - ∫a f(x - a) dx
= ∫a f(x) dx - ∫0 f(x) dx
= -∫0a f(x) dx

En deze integraal is natuurlijk convergent omdat f(x) begrensd is op het interval [0, a]
(er geldt bijvoorbeeld |f(x)| < |(2a)|1/4, om maar wat te noemen).
pi_130085252
quote:
0s.gif Op woensdag 14 augustus 2013 23:25 schreef randomo het volgende:

[..]

Ik denk dat ik er inmiddels uit ben, nogmaals dank voor je opmerking! Zoals jij al opmerkte, niet op eigen kracht, maar ik denk toch dat ik er op deze manier meer van heb geleerd dan direct naar het antwoord kijken :)

In het geval a = b kan je definiëren
f(x) := √(√(x + a) - √x)
dan
f(x-a) = √(√x - √(x - a))
zodat de integraal uit de opgave wordt
a f(x) - f(x - a) dx
= ∫a f(x) dx - ∫a f(x - a) dx
= ∫a f(x) dx - ∫0 f(x) dx
= -∫0a f(x) dx

En deze integraal is natuurlijk convergent omdat f(x) begrensd is op het interval [0, a]
(er geldt bijvoorbeeld |f(x)| < |(2a)|1/4, om maar wat te noemen).
Dit is inderdaad het idee, maar je hebt niet aangetoond dat

a (f(x) − f(x − a))dx

convergeert. Dat zou je eerst moeten doen voor alle drie je integralen, anders mag je niet stellen dat

a (f(x) − f(x − a))dx = ∫a f(x)dx − ∫a f(x − a)dx

De integralen in het rechterlid zijn echter divergent, en je kunt natuurlijk niet de convergentie van een oneigenlijke integraal aantonen door deze even te herschrijven als een verschil van twee divergente oneigenlijke integralen.

Maar het bewijs voor de convergentie is nu niet moeilijk meer. Bekijken we eerst de integraal over het eindige interval [a, na] met n > 1 dan hebben we

ana (f(x) − f(x − a))dx = ∫ana f(x)dx − ∫ana f(x − a)dx

Nu is ook duidelijk dat

ana f(x − a)dx = ∫0na−a f(x)dx = ∫0a f(x)dx + ∫ana−a f(x)dx

zodat we hebben

ana (f(x) − f(x − a))dx = ∫na−ana f(x)dx − ∫0a f(x)dx

Je merkt terecht op dat f(x) begrensd is op [0, a], maar daarmee ben je er niet. We moeten nu namelijk nog aantonen dat

limn→∞ ( ∫ana (f(x) − f(x − a))dx ) = limn→∞ ( ∫na−ana f(x)dx − ∫0a f(x)dx )

bestaat. Voor x > 0 hebben we

0 < f(x) < √(a/2)·x−1/4

Nu is x−1/4 monotoon dalend op R+, zodat we op het interval [na−a, na] hebben

√(a/2)·x−1/4 ≤ √(a/2)·(na−a)−1/4

en dus

0 < f(x) < √(a/2)·(na−a)−1/4

zodat

0 < ∫na−ana f(x)dx < a·√(a/2)·(na−a)−1/4

En aangezien limn→∞ (na−a)−1/4 = 0, volgt dan met behulp van de insluitstelling dat

limn→∞ ( ∫na−ana f(x)dx ) = 0

zodat inderdaad

a (f(x) − f(x − a))dx = limn→∞ ( ∫ana (f(x) − f(x − a))dx ) = limn→∞ ( ∫na−ana f(x)dx − ∫0a f(x)dx ) = − ∫0a f(x)dx

QED

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 15-08-2013 13:20:57 ]
pi_130110589
quote:
0s.gif Op donderdag 15 augustus 2013 04:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

QED
Het is helemaal duidelijk! (na drie keer doorlezen ;) ). Achteraf gezien was ik niet echt handig bezig, ik hoop maar dat ik wat meer handigheid in integralen krijg.
pi_130142015
Kan iemand me aub helpen? Ik ben nu vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels aan het doen, maar ik kom bij sommige gewoon niet uit.

Ik heb met rood aangegeven welke ik niet snap.



Hoe kan ik het beste veeltermen zoals c, d, f en g oplossen?
pi_130143457
Die veelvoudtermen in DFG zie ik ook zo snel niet, maar C kan met een simpele substitutie
stel y=x^2
dan staat er 2y^2-y-6=0 --> y= -2/3 v y = 2
y=x^2 --> x = sqrt(-2/3) v x = sqrt(2)
in R is alleen het laatste een antwoord, met opletten dat -sqrt(2) ook een antwoord is.
pi_130143680
Bij c heb ik dit:
16x 4 -8x 2 = 48
(4x 2 -1) 2 = 49
4x 2 = 8
x 2 = 2
x = √2 of - √ 2
pi_130143797
Bij opgaven d, f en g kun je een euclidische deling gebruiken. Gezien de twee regels boven de opgave neem ik aan dat er iets over uitgelegd staat.
pi_130144078
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 20:40 schreef Fsmxi het volgende:
Die veelvoudtermen in DFG zie ik ook zo snel niet, maar C kan met een simpele substitutie
stel y=x^2
dan staat er 2y^2-y-6=0 --> y= -2/3 v y = 2
y=x^2 --> x = sqrt(-2/3) v x = sqrt(2)
in R is alleen het laatste een antwoord, met opletten dat -sqrt(2) ook een antwoord is.

Bedankt! C snap ik nu.

quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 20:49 schreef Tochjo het volgende:
Bij opgaven d, f en g kun je een euclidische deling gebruiken. Gezien de twee regels boven de opgave neem ik aan dat er iets over uitgelegd staat.
Dat is niet echt uitleg, maar een opgave op zichzelf (die 2 regels waar je het over hebt). Een euclidische deling uitvoeren, maar met wat?

x=1 is geen oplossing, dus delen door (x-1) gaat niet. x=-1 ook niet, dus delen door (x+1) gaat ook niet.
pi_130144189
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 20:55 schreef DefinitionX het volgende:
Dat is niet echt uitleg, maar een opgave op zichzelf (die 2 regels waar je het over hebt). Een euclidische deling uitvoeren, maar met wat?

x=1 is geen oplossing, dus delen door (x-1) gaat niet. x=-1 ook niet, dus delen door (x+1) gaat ook niet.
Je geeft te snel op; in opgave d is x = -2 wel een oplossing, dus je kunt delen door x+2.
pi_130147027
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 20:57 schreef Tochjo het volgende:

[..]

Je geeft te snel op; in opgave d is x = -2 wel een oplossing, dus je kunt delen door x+2.
Ik had nog -2 geprobeerd, maar zo stom geweest om dat in c in te vullen en niet in d >.<.

Dankje Tochjo.
pi_130150443
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 20:57 schreef Tochjo het volgende:

[..]

Je geeft te snel op; in opgave d is x = -2 wel een oplossing, dus je kunt delen door x+2.
Die staartdeling is geen probleem maar hoe weet je dat x = -2 een oplossing is? Willekeurig invullen? :?
Riparius heeft hier eens uitgelegd hoe je een derdegraadsvergelijking (met een constante in de som) kan oplossen maar ze gaan er toch zeker niet van uit dat de lezer dit kan?
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
pi_130151835
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 23:21 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Die staartdeling is geen probleem maar hoe weet je dat x = -2 een oplossing is? Willekeurig invullen?
Volgens mij is de bedoeling van dit soort opgaven inderdaad dat je een gehele oplossing van x achterhaalt, die bijna altijd ergens rondom 0 zit, en de bijbehorende lineaire factor uitdeelt. Het kennen van een standaard aanpak voor derdegraads functies (formule van Cardano of soortgelijk werk) lijkt me niet de bedoeling.
pi_130152252
Dan kunnen ze net zo goed die ene oplossing geven, of wel de technieken leren waarmee je de oplossing achterhaalt. ;)

DefX, wat voor boekje gebruik jij?
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
pi_130154833
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 23:58 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Dan kunnen ze net zo goed die ene oplossing geven, of wel de technieken leren waarmee je de oplossing achterhaalt. ;)

DefX, wat voor boekje gebruik jij?
Wiskundige Basisvaardigheden: http://www.bol.com/nl/p/w(...)en/9200000015501914/

Op aanraden van Riparius, nogmaals dank. Goed boek.

Ik gebruik ook youtube voor meer uitgebreide uitleg. Zo snapte ik niet hoe de regel van Horner werkte in het begin, maar na een (weet niet zeker of dit hem was, maar wel van dezelfde maker), wel.
pi_130155959
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 23:21 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Die staartdeling is geen probleem maar hoe weet je dat x = -2 een oplossing is? Willekeurig invullen? :?
Riparius heeft hier eens uitgelegd hoe je een derdegraadsvergelijking (met een constante in de som) kan oplossen maar ze gaan er toch zeker niet van uit dat de lezer dit kan?
Nee, het is hier de bedoeling om één (gehele) wortel x0 te vinden door proberen, waarna je een polynoomstaartdeling (euclidische deling) uit kunt voeren om het linkerlid van de vergelijking te schrijven als een product van (x − x0) en een kwadratische veelterm in x.

Willekeurig uitproberen is niet handig en ook niet nodig, want volgens het rational root theorem geldt voor rationale oplossingen x = p/q (met p en q geheel en onderling ondeelbaar) dat p een deler van 8 moet zijn en q een deler van 2, afgezien van het teken. En dan vind je al gauw dat x = 8/2 = 4 inderdaad voldoet. Dan hebben we

(x −4)(2x2 + 3x − 2) = 0

Nu zien we dat we de resterende vierkantsvergelijking

2x2 + 3x − 2 = 0

gemakkelijk op kunnen lossen door ontbinden in factoren: we moeten twee (gehele) getallen zoeken waarvan het product 2·(−2) = −4 is en de som +3, en die getallen zijn uiteraard +4 en −1. Dus krijgen we

2x2 + 4x − x − 2 = 0
2x(x + 2) − (x + 2) = 0
(x + 2)(2x − 1) = 0
x = −2 ∨ x = 1/2

De drie (reële) wortels van de kubische vergelijking zijn dus x = 4, x = −2, x = 1/2. Overigens, als je door uitproberen al weet dat x = 4 en x = −2 oplossingen zijn van de kubische vergelijking, dan is direct duidelijk dat de derde oplossing x = 1/2 moet zijn, aangezien het product van de drie oplossingen immers gelijk moet zijn aan −8/2 = −4.
pi_130157432
quote:
0s.gif Op vrijdag 16 augustus 2013 20:00 schreef DefinitionX het volgende:
Kan iemand me aub helpen? Ik ben nu vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels aan het doen, maar ik kom bij sommige gewoon niet uit.

Ik heb met rood aangegeven welke ik niet snap.

[ afbeelding ]

Hoe kan ik het beste veeltermen zoals c, d, f en g oplossen?
c. Substitutie, zie hierboven.

d. Zie mijn antwoord aan Bram hierboven.

f. Gehele wortels van deze vergelijking moeten, afgezien van het teken, delers zijn van 6. Zo vind je door uitproberen gemakkelijk dat zowel x = 1 als x = −1 voldoen. Maar dan bevat het polynoom in het linkerlid van deze vergelijking dus zowel een factor (x − 1) als een factor (x + 1), en daarmee dus ook een kwadratische factor (x − 1)(x + 1) = (x2 − 1).

Je kunt nu middels een polynoomstaartdeling x4 − x3 − 7x2 + x + 6 delen door x2 − 1, maar je kunt ook anders te werk gaan, als volgt. We gaan nu de vierdegraads veelterm in het linkerlid van de vergelijking herschrijven als een som of verschil van termen met elk een factor (x2 − 1). We moeten dan in ieder geval een term x2(x2 − 1) = x4 − x2 hebben, aangezien de vergelijking van de vierde graad is en de coëfficiënt van de hoogste macht van x in de vergelijking gelijk is aan 1. Maar nu zien we ook dat de coëfficiënt van de kwadratische term niet −1 is maar −7. Daarom splitsen we de term − 7x2 eerst even op in − x2 − 6x2, zodat we dus krijgen

x4 − x3 − x2 − 6x2 + x + 6 = 0

Nu zie je gemakkelijk dat we hebben x4 − x2 = x2(x2 − 1), − x3 + x = − x(x2 − 1) en − 6x2 + 6 = − 6(x2 − 1), zodat we dus hebben

x2(x2 − 1) − x(x2 − 1) − 6(x2 − 1) = 0

Nu kunnen we de gemene factor (x2 − 1) buiten haakjes halen zodat we krijgen

(x2 − 1)(x2 − x − 6) = 0

De resterende twee oplossingen van de vergelijking zijn dus de wortels van de vierkantsvergelijking

x2 − x − 6 = 0

Deze vierkantsvergelijking is eenvoudig op te lossen door ontbinden in factoren. We zoeken twee (gehele) getallen waarvan het product gelijk is aan −6 en de som gelijk is aan −1, en die getallen zijn uiteraard +2 en −3, zodat we krijgen

(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2 ∨ x = 3

De vier (reële) oplossingen van de vierdemachtsvergelijking zijn dus x = −2, x = −1, x = 1 en x = 3. Uiteraard had je in dit geval alle vier de oplossingen ook gemakkelijk kunnen vinden door uitproberen, omdat je wist dat gehele oplossingen, afgezien van het teken, delers van 6 moeten zijn, maar ik wilde even laten zien dat je niet per se een polynoomstaartdeling hoeft uit te voeren om een polynoom waarvan je al een factor kent te herschrijven als een product van veeltermen.

g. Een eventuele gehele wortel van deze kubische vergelijking moet, afgezien van het teken, een deler zijn van 13. We zien direct dat x = 1 en x = −1 niet voldoen, dus proberen we x = 13, en die voldoet inderdaad wel. Dus gaan we nu in het linkerlid een factor (x − 13) buiten haakjes halen. Dat kunnen we weer doen door de veelterm in het linkerlid te herschrijven als een som of verschil van termen die elk een factor (x − 13) bevatten. We hebben x2(x − 13) = x3 − 13x2 zodat we − 18x2 eerst even opsplitsen in − 13x2 − 5x2 en we krijgen

x3 − 13x2 − 5x2 + 66x − 13 = 0

en dus

x2(x − 13) − 5x2 + 66x − 13 = 0

Nu hebben we verder − 5x(x − 13) = − 5x2 + 65x, dus splitsen we 66x op in 65x + x en krijgen we

x2(x − 13) − 5x2 + 65x + x − 13 = 0

en dus

x2(x − 13) − 5x(x − 13) + (x − 13) = 0

Nu kunnen we de gemene factor (x − 13) buiten haakjes halen en krijgen we

(x − 13)(x2 − 5x + 1) = 0

Om nu de resterende twee wortels van de kubische vergelijking te vinden moeten we dus nog de vierkantsvergelijking

x2 − 5x + 1 = 0

oplossen. Dit kan op verschillende manieren, maar ik kies hier voor kwadraatafsplitsing volgens de methode van Sridhara. We brengen eerst de constante term over naar het rechter lid door van beide leden 1 af te trekken. Dit geeft

x2 − 5x = −1

Nu vermenigvuldigen we beide leden met het viervoud van de coëfficiënt van de kwadratische term, dus met 4·1 = 4. Dit geeft

4x2 − 20x = −4

Nu is 4x2 het kwadraat van 2x en 20x = 2·2x·5 het dubbele product van 2x en 5, zodat we het linkerlid kunnen completeren tot een volkomen kwadraat door bij beide leden 52 = 25 op te tellen. Dit geeft

(2x)2 − 2·(2x)·5 + 52 = 21

en dus

(2x − 5)2 = 21

zodat

2x − 5 = √21 ∨ 2x − 5 = −√21

en daarmee

x = 5/2 + ½√21 ∨ x = 5/2 − ½√21

De drie (reële) wortels van de kubische vergelijking zijn dus x = 13, x = 5/2 + ½√21, x = 5/2 − ½√21.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-08-2013 03:55:35 ]
pi_130223496
Riparius super bedankt!

[ Bericht 69% gewijzigd door DefinitionX op 19-08-2013 00:55:19 ]
pi_130313135
Iemand die mij kan helpen onderstaande vraag op een begrijpelijke maar snelle manier op te lossen?

pi_130313484
Schrijf de tweede vergelijking als y = 1 - 4x en substitueer dit in de eerste vergelijking.
pi_130315747
Kan iemand mij misschien uitleg geven over hoe ik het best een tekenverloop van een functie kan opschrijven? En dan met name bij ongelijkheden.

Bij het mbo boek/pre-hbo boek heb ik ook ongelijkheden gehad, maar daar hoefde ik enkel de oplossing als [2,->) op te schrijven voor x is gelijk aan of groter dan 2.

In het boek dat ik nu gebruik wordt dat echter gedaan in tabelvorm (in de foto gaat het niet om een ongelijkheid, maar een normale kwadratische vergelijking).

Foto:



En mijn tweede vraag hierbij, hoe zou je een dergelijk tabel kunnen gebruiken om wat te zeggen over de minima en maxima van een functie? Dat wordt nog niet behandeld in het boek (pas in een later hoofdstuk), maar dit zou ik toch graag willen weten. Mijn begrip van de termen is dat een minima de minimale y waarde is en maxima de maximale y waarde van de top van een parabool. Maar een parabool is enkel bij een x2 functie en bij een x macht 3 functie anders.

Je ziet ook staan in het tabel 'teken van a' en 'tegengesteld van a'. Kun je dat opschrijven gebaseerd op waarde die kleiner zijn dan x1, tussen x1 en x2 en groter dan x2? Dat je daaruit dan concludeert dat de waarde het teken van a nemen?
pi_130316834
quote:
0s.gif Op woensdag 21 augustus 2013 16:09 schreef DefinitionX het volgende:
Kan iemand mij misschien uitleg geven over hoe ik het best een tekenverloop van een functie kan opschrijven? En dan met name bij ongelijkheden.
Dat hangt erg van de ongelijkheid af. Als je het rechterlid van de ongelijkheid herleidt op nul en dan de nulpunten van de uitdrukking in het linkerlid bepaalt, dan kun je die uitdrukking opvatten als een functie en daarvan een tekenschema maken en hieruit vervolgens de oplossing van de ongelijkheid aflezen.
quote:
En mijn tweede vraag hierbij, hoe zou je een dergelijk tabel kunnen gebruiken om wat te zeggen over de minima en maxima van een functie? Dat wordt nog niet behandeld in het boek (pas in een later hoofdstuk), maar dit zou ik toch graag willen weten. Mijn begrip van de termen is dat een minimum de minimale y waarde is en een maximum de maximale y waarde van de top van een parabool. Maar een parabool is enkel bij een x2 functie en bij een x macht 3 functie is het anders.
Bij een kwadratische functie f(x) = ax2 + bx + c met twee nulpunten x1 en x2 is het zo dat het minimum of maximum wordt bereikt precies midden tussen de beide nulpunten in, dus voor x = (x1 + x2)/2 = −b/2a, om de eenvoudige reden dat de parabool die de grafiek is van deze functie een verticale symmetrie-as heeft. Voor a > 0 is de grafiek een dalparabool en neemt de functie voor x = −b/2a een minimum aan, en voor a < 0 is de grafiek een bergparabool en neemt de functie bij x = −b/2a een maximum aan.

Overigens geldt ook als de kwadratische functie geen nulpunten heeft, dus als D < 0, dat de kwadratische functie een minimum of een maximum aanneemt bij x = −b/2a. De waarde van dit minimum of maximum is steeds f(−b/2a) = −D/4a, waarbij D = b2 − 4ac de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c. De top van de parabool die de grafiek is van deze kwadratische functie heeft dus de coördinaten (−b/2a ; −D/4a).

Maar in het algemeen moet je differentiaalrekening gebruiken en de afgeleide van de functie bepalen om (locale) minima en maxima te vinden. Dan kun je een tekenschema maken, niet van de functie f(x), maar van de afgeleide functie f'(x) en daarvan de nulpunten bepalen, zie hier.
quote:
Je ziet ook staan in het tabel 'teken van a' en 'tegengesteld van a'. Kun je dat opschrijven gebaseerd op waarde die kleiner zijn dan x1, tussen x1 en x2 en groter dan x2? Dat je daaruit dan concludeert dat de waarde het teken van a nemen?
Wat je hier vraagt is onduidelijk. Het boek bedoelt gewoon dat in het tekenschema het teken van de functiewaarde tussen de beide nulpunten tegengesteld is aan het teken van a. Dus, als a > 0 (a positief) dan is de functiewaarde negatief voor waarden van x tussen x1 en x2, en als a < 0 (a negatief) dan is de functiewaarde positief voor waarden van x tussen x1 en x2.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-08-2013 00:15:40 ]
pi_130318707
quote:
0s.gif Op woensdag 21 augustus 2013 15:05 schreef Tochjo het volgende:
Schrijf de tweede vergelijking als y = 1 - 4x en substitueer dit in de eerste vergelijking.
Aah thx man!
pi_130320661
Danke Riparius, ik ga er zo met een kop thee naar je uitleg kijken. Ik heb het gelezen, maar ik moet het even absorberen.

Is het trouwens verstandig om eigen wiskunde opgaves te maken en dan via w-alpha kijken of ik de juiste antwoord heb? Ongeveer zoiets als zelf 100 verschillende lineaire vergelijkingen maken en dan oplossen. Zoiets zou ook moeten kunnen bij termen tot graad 3, 4.

Ik vraag het omdat ik anders steeds dezelfde opgaves moet maken.
pi_130325960
Beetje moe, maar hier komt die dan:



Waarom mag dit niet?

Ik heb het over de -5 elimineren uit de noemer.

Edit: zelfs al mocht het, ik zie ineens waarom de rest niet kan. Je houdt namelijk geen 2 over aan de linkerkant.
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')