[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 10 juli 2013 10:00 schreef wiskundenoob het volgende:
Sorry, had het moeten weten dat je niet zomaar bij alle termen met machten mag vermenigvuldigen.

De manier waarop je dit formuleert geeft mooi je begripsverwarring weer: machtsverheffen is echt iets anders dan vermenigvuldigen met een bepaalde factor. Als je hebt

a + b = c

en je hebt een getal p ≠ 0, dan is dit equivalent met

ap + bp = cp

maar uit a + b = c volgt dan niet dat

a^p + b^p = c^p

Immers, als dit wel zo was, dan zou je met p = 2 hebben

a² + b² = c² = (a + b)²

en dit klopt in het algemeen niet, omdat (a + b)² = a² + 2ab + b². Het dubbele product 2ab zorgt ervoor dat a² + b² in het algemeen niet hetzelfde is als (a + b)². Dat zou alleen opgaan als 2ab = 0 zou zijn, en dat is alleen zo als hetzij a = 0 hetzij b = 0.

Het is van het grootste belang dat je in ieder geval de volgende merkwaardige producten van buiten kent en dat je deze bij allerlei algebraïsche herleidingen ook steeds kunt herkennen en kunt toepassen:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²

Het gaat hier steeds om de vermenigvuldiging van tweetermen die uit een som (a + b) of een verschil (a − b) van twee grootheden bestaan. Vermenigvuldiging van tweetermen komt erg vaak voor en met de tweetermen (a + b) en (a − b) kun je precies de bovenstaande drie producten vormen. Eigenlijk vier, maar (a − b)(a + b) is uiteraard hetzelfde als (a + b)(a − b) omdat vermenigvuldiging commutatief is.

Belangrijk bij alle identiteiten, en dus ook bij deze merkwaardige producten, is dat je ze zowel van links naar rechts als van rechts naar links kunt herkennen en toepassen. Dus, als je ergens p² + 2pq + q² tegenkomt, dan moet je onmiddellijk herkennen dat dit hetzelfde is als (p + q)². En als je x² − 6x + 9 ziet staan, dan moet je direct herkennen dat dit hetzelfde is als (x − 3)².

Om deze identiteiten beter te begrijpen en te onthouden, kan het helpen om ze te visualiseren. Als a en b positieve getallen zijn, dan stelt (a + b)² meetkundig de oppervlakte voor van een vierkant met zijde a + b. Dit vierkant is opgebouwd uit twee kleinere vierkanten met zijde a resp. zijde b, maar ook uit twee rechthoeken met afmeting a bij b, en dus oppervlakte ab, zodat de totale oppervlakte van het vierkant gelijk is aan a² + 2ab + b² zoals je hier kunt zien:



Bron

Het is ook mogelijk op deze manier de techniek van het kwadraatafsplitsen voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen te visualiseren. Stel dat we de volgende vergelijking hebben:

x² + 10x = 39

Wat men nu in de oudheid deed was dit opvatten als een vierkant met een onbekende zijde x en een rechthoek van 10 bij x die samen een oppervlakte van 39 eenheden moeten hebben.



De rechthoek van 10 bij x kunnen we verdelen in twee kleinere rechthoeken van 5 bij x die we met de zijde met lengte x tegen twee aangrenzende zijden van het vierkant met zijde x kunnen leggen. Dan krijgen we een L-vormige figuur, zoals je kunt zien. Deze figuur kunnen we aanvullen tot een groot vierkant door er nog een vierkant van 5 bij 5 bij te plaatsen (aangegeven met de stippellijnen in het plaatje). De totale oppervlakte van het grote vierkant wordt dan 39 + 25 = 64, zodat de zijde van het grote vierkant dus 8 moet zijn, want 8·8 = 64. Maar we zien ook dat de zijde van het grote vierkant x + 5 is, zodat dus x = 3 moet zijn.

Uiteraard vind je met deze antieke meetkundige methode alleen de positieve oplossing van de vergelijking, en niet de negatieve oplossing x = −13. Maar dit laat mooi het principe zien van het completeren van het vierkant (completing the square) en je ziet ook waarom kwadratische vergelijkingen nog altijd vierkantsvergelijkingen worden genoemd. En nu begrijp je hopelijk ook beter waarom je bij het oplossen van een vierkantsvergelijking via kwadraatafsplitsing - als althans de kwadratische coëfficiënt één is - de coëfficiënt van x halveert en hier weer het kwadraat van neemt om dit vervolgens bij beide leden op te tellen. Zie verder hier voor meer bijzonderheden.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 10-07-2013 17:48:50 ]

quote:

Op donderdag 11 juli 2013 14:27 schreef wiskundenoob het volgende:
Uh, klopt dat eerste plaatje wel? Waarom is a² groter dan b²? Waarom zijn a en b niet even groot?

Ehhh, omdat men dat a priori dient te stellen om de herkomst en afleiding van die merkwaardig product formules inzichtelijk te maken mss? Stel dat a en b idd even groot zouden zijn dan zou je onmiddelijk kunnen stellen:

a=b => a+b <=> 2a <=> 2b .
(a+b)² = a² + 2ab + b² .

Maar omdat a=b kan je ook gelijk opschrijven:
a² + 2*a*a + a² <=> b² + 2*b*b + b² <=> 4a² <=> 4b²

Op eenzelfde manier is aan te tonen dat (a-b)² = 0 als a=b geldt.

quote:

Op woensdag 10 juli 2013 15:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier ook een paper van een masterstudent waarin de formule van Cardano op soortgelijke (maar natuurlijk wat ingewikkeldere wijze) wordt afgeleid.

Trouwens, ik zoek nog wat opgaven om bewijzen mee te oefenen. Ik heb wel putnam problemen gevonden, maar veel daarvan zijn toch wat te moeilijk voor me. Ik begrijp de te bewijzen stelling wel, maar ik kom eigenlijk nooit uit de bewijzen. Iemand een idee?

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 01:13 schreef randomo het volgende:

[..]

Hier ook een paper van een masterstudent waarin de formule van Cardano op soortgelijke (maar natuurlijk wat ingewikkeldere wijze) wordt afgeleid.

Ik ken dat stuk wel, maar ik vind het niet zo goed, zowel inhoudelijk als didactisch niet. Het begint al meteen bij de eerste alinea, waar de auteur de lezer vraagt of deze er wel eens over nagedacht heeft hoe de vergelijking

x³ + 3x² + 6x + 8 = 0

algebraïsch kan worden opgelost. Dit is een heel slecht voorbeeld, want dergelijke vergelijkingen werden vroeger vaak als oefening in het ontbinden in factoren gegeven. Oplossen van deze vergelijking zonder kennis van de theorie van de kubische vergelijkingen is een koud kunstje omdat je hebt 3x² + 6x = 3x(x + 2) en x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4) zodat we dus hebben

(x + 2)(x² + x + 4) = 0

Er staan nogal wat onjuistheden in, zoals de bewering dat Al-Khwarizmi de eerste was die de techniek van kwadraatafsplitsing toepaste. Dat is niet zo, want ca. 1000 jaar eerder werd de techniek al gebruikt door de Grieken, en nog weer zo'n anderhalf millennium eerder (!) was de techniek ook al bekend bij de Babyloniërs, zie hier.

Interessant is dat de Babyloniërs een iets andere methode gebruikten dan de techniek die nu gewoonlijk onder completing the square wordt verstaan. Een bekend voorbeeld is het vraagstuk over een rechthoekig stuk land waarvan de lengte 20 eenheden groter is dan de breedte terwijl de oppervlakte 800 vierkante eenheden bedraagt en waarbij gevraagd wordt de afmetingen van het stuk land te bepalen.

Dit vraagstuk werd opgelost door de helft van het verschil tussen lengte en breedte te nemen, zijnde 10 eenheden, en een strook van deze breedte van de lengte af te halen en aan de breedte toe te voegen. Hierdoor verkrijgen we een L-vormig stuk land dat bestaat uit een vierkant waarvan de zijde het gemiddelde is van de lengte en breedte van het oorspronkelijke stuk land en waaraan een vierkant ontbreekt met een zijde gelijk aan het halve verschil tussen de lengte en breedte van het oorspronkelijke stuk land. Aangezien het L-vormige stuk land dezelfde oppervlakte heeft als het oorspronkelijke rechthoekige stuk land, 800 vierkante eenheden, en het ontbrekende vierkant een oppervlakte heeft van 100 vierkante eenheden, dus samen 900 vierkante eenheden, volgt zo dat het gemiddelde van de gezochte lengte en breedte 30 eenheden bedraagt. De afmetingen van het rechthoekige stuk land bedragen dus 40 bij 20 eenheden.

We kunnen deze werkwijze als volgt vertalen naar een algebraïsche oplossing van het vraagstuk. Noem de gezochte breedte van het stuk land x, dan is de lengte van het stuk land x + 20, en aangezien de oppervlakte 800 bedraagt hebben we dan

x(x + 20) = 800

Het gemiddelde van x en x + 20 is x + 10, en we kunnen nu schrijven x = (x + 10) − 10 en x + 20 = (x + 10) + 10, zodat we de vergelijking kunnen herschrijven als

((x + 10) − 10)((x + 10) + 10) = 800

Nu hebben we het linkerlid omgevormd tot een product van het verschil en de som van twee grootheden, zodat we de vergelijking nu met behulp van het merkwaardig product (a − b)(a + b) = a² − b² kunnen herschrijven als

(x + 10)² − 10² = 800

zodat

(x + 10)² = 900

waaruit volgt

x = 20 ∨ x = −40

Uiteraard voldoet voor het vraagstuk alleen de positieve oplossing. Deze methode van oplossen van een vierkantsvergelijking wordt wel de Babylonische methode genoemd. Hier wordt dus gebruik gemaakt van het merkwaardig product (a − b)(a + b) = a² − b² om het linkerlid te herleiden tot een verschil van twee kwadraten, terwijl bij de gangbare methode gebruik wordt gemaakt van het merkwaardig product (a ± b)² = a² ± 2ab + b² om het linkerlid van de kwadratische vergelijking te completeren tot een volkomen kwadraat.

De (gemoderniseerde) weergave van Bombelli's behandeling van de kubische vergelijking x³ − 15x = 4 is niet juist, Bombelli schreef de oplossing x = 4 namelijk niet als een verschil maar als een som van twee derdemachtswortels uit 2 + √−121 resp. 2 − √−121.

Verder is de notatie i voor √−1 niet ingevoerd door Bombelli, maar pas twee eeuwen later door Euler, die de notatie voor het eerst gebruikte in een paper uit 1777, dat echter pas in 1794 (postuum) werd gepubliceerd. Enkele jaren later, in 1801, introduceerde ook Gauss de notatie i voor √−1, waarbij niet duidelijk is of hij dit onafhankelijk van Euler deed.

Ik mis in het stuk een bespreking van de goniometrische oplossingsmethode voor het geval de kubische vergelijking drie (verschillende) reële wortels heeft. Anders dan de auteur lijkt te willen suggereren is het in dit geval (casus irreducibilis) namelijk in het algemeen niet mogelijk gebruik te maken van de formules van Cardano om langs algebraïsche weg een oplossing te vinden van de kubische vergelijking.

Voor de afleiding van de abc-formule wordt uitgegaan van een afleiding van de pq-formule waaruit door een substitutie p = b/a en q = c/a dan de abc-formule wordt afgeleid. Veel eleganter is echter de directe herleiding van de abc-formule met behulp van de methode van Sridhara. Dit is een gemiste kans omdat het de mogelijkheid had geboden om kwadraatafsplitsing ook te behandelen in het algemene geval waarin de kwadratische coëfficiënt niet gelijk is aan 1 zonder daarbij de vergelijking eerst te herleiden tot de gedaante x² + px + q = 0.

quote:

Trouwens, ik zoek nog wat opgaven om bewijzen mee te oefenen. Ik heb wel putnam problemen gevonden, maar veel daarvan zijn toch wat te moeilijk voor me. Ik begrijp de te bewijzen stelling wel, maar ik kom eigenlijk nooit uit de bewijzen. Iemand een idee?

Geef eens wat voorbeelden van stellingen die je denkt te begrijpen maar waarvan je niet zelf een bewijs kunt verzinnen en (correct) op kunt schrijven.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 15-07-2013 04:02:22 ]

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 01:13 schreef randomo het volgende:

[..]

Hier ook een paper van een masterstudent waarin de formule van Cardano op soortgelijke (maar natuurlijk wat ingewikkeldere wijze) wordt afgeleid.

Trouwens, ik zoek nog wat opgaven om bewijzen mee te oefenen. Ik heb wel putnam problemen gevonden, maar veel daarvan zijn toch wat te moeilijk voor me. Ik begrijp de te bewijzen stelling wel, maar ik kom eigenlijk nooit uit de bewijzen. Iemand een idee?

wtf dat is een master thesis!

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 10:23 schreef Dale. het volgende:

[..]

wtf dat is een master thesis!

Haha inderdaad . Het had ook een matig profielwerkstuk kunnen zijn. Ik hoop dat je hiermee geen wiskunde master kan afronden, maar misschien een education master of zo. Het moet een soort leermethode voor middelbare scholieren voorstellen denk ik.

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 10:42 schreef thenxero het volgende:

[..]

Haha inderdaad . Het had ook een matig profielwerkstuk kunnen zijn. Ik hoop dat je hiermee geen wiskunde master kan afronden, maar misschien een education master of zo. Het moet een soort leermethode voor middelbare scholieren voorstellen denk ik.

Zelfs voor een educational master vind ik het nogal erg matig. Er staat nou niet echt hele moeilijke dingen in. Ik denk dat iedere beta master of bachelor student dit kan schrijven.

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 10:53 schreef Dale. het volgende:

[..]

Zelfs voor een educational master vind ik het nogal erg matig. Er staat nou niet echt hele moeilijke dingen in. Ik denk dat iedere beta master of bachelor student dit kan schrijven.

Ja, klopt. Van die master had ik ook al niet zo'n hoge pet op .

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 05:04 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik ken dat stuk wel, maar ik vind het niet zo goed, zowel inhoudelijk als didactisch niet. Het begint al meteen bij de eerste alinea, waar de auteur de lezer vraagt of deze er wel eens over nagedacht heeft hoe de vergelijking

x³ + 3x² + 6x + 8 = 0

[...]

Ben ik helemaal met je eens, ik vond het alleen wel mooi om te zien dat de formule ook geometrisch afgeleid kan worden. Bij infi heb ik het geleerd om met een aantal substituties te doen die totaal niet voor de hand liggen, dan vind ik deze manier toch mooier.

quote:

Geef eens wat voorbeelden van stellingen die je denkt te begrijpen maar waarvan je niet zelf een bewijs kunt verzinnen en (correct) op kunt schrijven.

O, ik heb er geloof ik nog wel wat liggen, maar dat zijn dus voornamelijk putnam-problemen.
Zoals (maar die is volgens mij dan weer achterlijk moeilijk) deze:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Oh, laat maar. Ik ben net deze site tegengekomen. De makkelijkste daarvan zijn denk ik wel een goede uitdaging

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 10:23 schreef Dale. het volgende:

[..]

wtf dat is een master thesis!

Er stond 'project', ik wist niet zeker of dat een thesis was of niet, maar ik vreesde inderdaad al dat het een thesis was... Anyway, het lijkt me ook ontzettend moeilijk om een goede thesis te schrijven, dus als ik dat ooit nog moet gaan doen kom ik misschien ook met zoiets op de proppen

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 13:57 schreef randomo het volgende:

[..]

Ben ik helemaal met je eens, ik vond het alleen wel mooi om te zien dat de formule ook geometrisch afgeleid kan worden. Bij infi heb ik het geleerd om met een aantal substituties te doen die totaal niet voor de hand liggen, dan vind ik deze manier toch mooier.

[..]

O, ik heb er geloof ik nog wel wat liggen, maar dat zijn dus voornamelijk putnam-problemen.
Zoals (maar die is volgens mij dan weer achterlijk moeilijk) deze:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Oh, laat maar. Ik ben net deze site tegengekomen. De makkelijkste daarvan zijn denk ik wel een goede uitdaging

[..]

Er stond 'project', ik wist niet zeker of dat een thesis was of niet, maar ik vreesde inderdaad al dat het een thesis was... Anyway, het lijkt me ook ontzettend moeilijk om een goede thesis te schrijven, dus als ik dat ooit nog moet gaan doen kom ik misschien ook met zoiets op de proppen

Bij de UU staat geloof ik 47 ECTS voor je masterthesis. Dan kan je ook wel wat meer dan dat verwachten. Met een dergelijke scriptie ga je het ook echt niet redden, als je even het niveau van wat echte scripties bekijkt: http://studenttheses.libr(...)Sciences&language=nl .

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 14:37 schreef wiskundenoob het volgende:
Kan iemand mij uitleggen wat -b/a en a/c betekent bij een kwadratische vergelijking.

Meestal staat de - staat voor aftrekken, de / voor delen, en a,b voor de coëfficienten van x^2 resp. x, en c de constante term.

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 14:45 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Ja, maar wat reken je dan uit?

Een getal. Misschien moet je wat meer achtergrond informatie geven.

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 10:54 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ja, klopt. Van die master had ik ook al niet zo'n hoge pet op .

Dingen afkraken is nogal een kansloze aangelegenheid als je niet eens in staat bent om even op te zoeken waar dat verslag nu daadwerkelijk van is.
Het is namelijk onderdeel van een 10 EC vak :http://www.studiegids.sci(...)ourses/course/29529/

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 17:10 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Zoiets afkraken is nogal een kansloze aangelegenheid als je niet eens in staat bent om even op te zoeken waar dat verslag nu daadwerkelijk van is.
Het is namelijk onderdeel van een 10 EC vak :http://www.studiegids.sci(...)ourses/course/29529/

Ik kraak het niet af, en ik zei al dat je er misschien een education master mee kan afronden. Desondanks ontstijgt het nauwelijks het pws niveau.

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 17:15 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik kraak het niet af, en ik zei al dat je er misschien een education master mee kan afronden. Desondanks ontstijgt het nauwelijks het pws niveau.

Ik zeg ook niet dat het een briljant verslag is (alleen al het aantal spelfouten...). Misschien had ik beter Dale kunnen quoten. Overigens is het een onderwijsmodule, dus kunt je moeilijk iets op master niveau gaan maken.
Daarnaast was mijn PWS van hoger niveau; dat ging over Blackjack & Poker i.c.m. kansrekenen .

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 17:22 schreef Thormodo het volgende:

[..]

Ik zeg ook niet dat het een briljant verslag is (alleen al het aantal spelfouten...). Misschien had ik beter Dale kunnen quoten. Overigens is het een onderwijsmodule, dus kunt je moeilijk iets op master niveau gaan maken.
Daarnaast was mijn PWS van hoger niveau; dat ging over Blackjack & Poker i.c.m. kansrekenen .

Dat bedoel ik dus . Het hoeft bij zo'n master natuurlijk ook geen technisch hoogstandje te zijn. Maar je mag wel verwachten dat het historisch correct is, met goede bronnen en zonder spelfouten. Bovendien laat de opbouw ook het een en ander te wensen over.

En dat ik niet zo'n hoge pet op heb van die master is (misschien niet geheel terecht) gebaseerd op de lesmethodes die ik tegenkom op middelbare scholen. Ik ga er dan even vanuit dat mensen die lesmethodes schrijven wel een master in education hebben. Toch kom ik aan de lopende band didactisch onverantwoorde sommen tegen. Als die master van hoog niveau is dan zou dat niet moeten kunnen.

Ook heb ik een keer gelezen in een blad (kan me de bron niet meer herinneren), dat het niveau van de education master zwaar onder druk stond.

quote:

Op zaterdag 13 juli 2013 17:59 schreef wiskundenoob het volgende:
x ₁ + x ₂ = -b/a

x ₁ * x ₂ = c/a

En toen? a, b en c zijn gewoon constanten (of variabelen).