[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 03:03 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je moet je maar afvragen of het anders kan. Een intelligente leerling kan zelf wel voor zijn verdieping zorgen.

Daar heb je wel een punt. Maar, wat er nu in het WO wel wordt gedaan, is wat ze (in mijn functies en reeksen-dictaat) noemen 'luikjes openzetten': verwijzen naar interessante stof (dat kan heel concreet zijn, bijvoorbeeld in de vorm van de titel van een boek, of heel losjes, door bijvoorbeeld alleen een term als 'complexe functietheorie' te noemen). Als de term dan genoemd wordt en er een voorbeeld van een mooi bewijs of zelfs alleen maar een mooi resultaat, kan dat een leerling motiveren om er iets over op te zoeken.

Ik geloof niet dat dat ooit gebeurd is op de middelbare school. Daardoor wordt het vak voor zowel leraar (hij krijgt bijvoorbeeld niet de kans om wiskunde te laten zien die hij mooi vindt, en moet met ongemotiveerde leerlingen werken) als leerling (wiskunde wordt onnodig saai en vervelend) minder leuk en leerzaam. Ook mis ik creativiteit op de middelbare school. Het gebeurt nu op de universiteit regelmatig dat ik opgaven niet snap, op de middelbare school was 95% van de sommen routinewerk.

In het WO vind ik vaak de manier van presentatie weer doorslaan naar het andere uiterste. Vooral bij vakken die verwant zijn met de analyse, vind ik de dictaten vaak slecht leesbaar. De stellingen en bewijzen mogen van mij wel wat meer aangevuld worden met voorbeelden in tekstuele uitleg. Dit is natuurlijk ook wel een beetje persoonlijke voorkeur, maar ik denk dat het veel mensen zou helpen met het begrijpen van de stof. Wat ik vaak zie is dat je een heel dictaat hebt met interessante en handige wiskunde, maar dat mensen maar 10% echt goed gebruiken, puur omdat je door de vorm waarin de stof wordt gepresenteerd veel moeite moet doen om de stof echt te doorgronden.

Ik vind het altijd wel een leuke discussie. Er is natuurlijk altijd veel aan te merken op wiskunde op de middelbare school, maar volgens mij is een goed leerboek schrijven en goed wiskundeles geven ook gewoon erg moeilijk. Er zitten mensen met een verschillend intellect, een verschillende motivatie en interesse en met nog genoeg andere vakken. Dan moet je keuzes maken: wat behandel je, leg je dingen intuitief uit, leer je de leerlingen goede formele bewijzen te geven of probeer je de focus te leggen op inzicht, etcetera.

[ Bericht 13% gewijzigd door kutkloon7 op 30-12-2012 03:56:32 ]

Ik vraag me het volgende af:
Als de Laplace-integraal absoluut convergeert, dan convergeert hij ook betrekkelijk.
Maar als die Laplace-integraal betrekkelijk convergeert, convergeert hij dan absoluut? (voor een bepaald complex getal s)

Ik krijg dit vermoeden, omdat men als men het gebied van absolute convergentie bepaalt, men in de werkelijkheid er een berekening staat voor betrekkelijke convergentie. Dus ik vraag me af of het gebied van absolute convergentie hier samenvalt met het gebied van (gewone) convergentie.

Ik heb deze integraal op twee manieren geprobeerd, en de tweede manier is waarschijnlijk fout(ik doe waarschijnlijk iets fout bij het partieel integreren) maar ik zie niet wat er precies fout gaat, kan iemand mij helpen?

1:



stel
dan wordt de integraal



2:



Ik wil het tweede stuk (met kwadraat in noemer) dus eerst integreren, dan kom ik uit op


weer u substitutie, u= (2x+1)/3 ,


(moet ik hierboven trouwens kettingsregel gebruiken omdat u van x afhangt? dit heb ik gedaan)
hier maak ik denk ik ook de fout, omdat het arctan gedeelte van het antwoord wel hetzelfde is, zie alleen niet waarom


kan iemand mij uitleggen waar ik de fout in ga? danku !

[ Bericht 3% gewijzigd door jabbahabba op 04-01-2013 23:57:08 ]

Je moet deze integraal helemaal niet partieel integreren. Wat je wèl moet doen is van de integrand de teller zodanig schrijven dat daar de afgeleide van de noemer maal een constante factor plus of min een extra éénterm komt te staan. Dan kan je de breuk opsplitsen in 2 stukken, waarvan de linkerbreuk middels ∫ p(2ax+b)/(ax²+bx+c) dx = ln|ax²+bx+c| integreren en de rechterbreuk ∫ e/(ax²+bx+c) dx middels de arctangens-formule te integreren valt. Een breuk met kwadratisch polynoom in de noemer direct met de arctangens-formule integreren werkt alleen als a.) het polynoom geen nulpunten heeft en b.) er alleen een constante in de teller staat.

Concreet gezegd mbt tot jouw post; je schreef onder 2.:

∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx =

∫ (8x+3)
------------------------ dx
((2x+1)/3)²+1)

terwijl je had moeten schrijven
∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4-1)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4)/(4x²+4x+10) dx - ∫ 1/(4x²+4x+10) dx

Dan kom je idd uit op de oplossing die onder 1. vermeld staat.

quote:

Op vrijdag 4 januari 2013 23:43 schreef jabbahabba het volgende:

kan iemand mij uitleggen waar ik de fout in ga? danku !

-2∙∫ arctan(u)du = -2∙u∙arctan(u) + 2∙∫ (u/(u² + 1))∙du = -2u∙arctan(u) + ln(u² + 1) + C

Bedenk verder dat ln(1/9) een constante is evenals ln(2) en dat je de absoluutstrepen hier weg mag laten aangezien u² + 1 > 0. Dan vind je uiteindelijk dit, hoewel het duidelijk is dat je tweede methode niet bepaald handig is.

BETAAAA!

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 02:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

-2∙∫ arctan(u)du = -2∙u∙arctan(u) + 2∙∫ (u/(u² + 1))∙du = -2u∙arctan(u) + ln(u² + 1) + C

Bedenk verder dat ln(1/9) een constante is evenals ln(2) en dat je de absoluutstrepen hier weg mag laten aangezien u² + 1 > 0. Dan vind je uiteindelijk dit, hoewel het duidelijk is dat je tweede methode niet bepaald handig is.

Oké, dankje! Dat dat constantes zijn had ik helemaal over het hoofd gezien

maar je moet dus bij het differentieren van arctan(u) (2e gedeeltje partieel integreren) niet de kettingregel(nog keer du/dx) toepassen ? waarom niet?

[ Bericht 3% gewijzigd door jabbahabba op 05-01-2013 03:39:04 ]

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 00:14 schreef VanishedEntity het volgende:
Je moet deze integraal helemaal niet partieel integreren. Wat je wèl moet doen is van de integrand de teller zodanig schrijven dat daar de afgeleide van de noemer maal een constante factor plus of min een extra éénterm komt te staan. Dan kan je de breuk opsplitsen in 2 stukken, waarvan de linkerbreuk middels ∫ p(2ax+b)/(ax²+bx+c) dx = ln|ax²+bx+c| integreren en de rechterbreuk ∫ e/(ax²+bx+c) dx middels de arctangens-formule te integreren valt. Een breuk met kwadratisch polynoom in de noemer direct met de arctangens-formule integreren werkt alleen als a.) het polynoom geen nulpunten heeft en b.) er alleen een constante in de teller staat.

Concreet gezegd mbt tot jouw post; je schreef onder 2.:

∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx =

∫ (8x+3)
------------------------ dx
((2x+1)/3)²+1)

terwijl je had moeten schrijven
∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4-1)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4)/(4x²+4x+10) dx - ∫ 1/(4x²+4x+10) dx

Dan kom je idd uit op de oplossing die onder 1. vermeld staat.

Deze oplossing had ik al gevonden ik snapte alleen niet waarom de tweede methode niet werkte.

quote:

Een breuk met kwadratisch polynoom in de noemer direct met de arctangens-formule integreren werkt alleen als a.) het polynoom geen nulpunten heeft en b.) er alleen een constante in de teller staat.

Waarom is dit ?

[ Bericht 8% gewijzigd door jabbahabba op 05-01-2013 03:34:48 ]

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 03:24 schreef jabbahabba het volgende:

[..]

Oké, dankje! Dat dat constantes zijn had ik helemaal over het hoofd gezien

maar je moet dus bij het differentieren van arctan(u) (2e gedeelte partieel integreren) niet de kettingregel (nog keer du/dx) toepassen ? waarom niet?

Uit je vraag proef ik dat je niet precies begrijpt hoe substitutie van een variabele bij integreren werkt. Als je hebt:

u = (2x + 1)/3

dan is:

du/dx = 2/3

en dus:

du = (2/3)∙dx

en dus:

dx = (3/2)∙du

Na de substitutie is u de variabele van je integrand en werk je hiermee om partieel te integreren. Dat u hier afhangt van x doet niet ter zake. Je differentieert arctan(u) namelijk naar u, en niet naar x om te vinden dat ∫ arctan(u)∙du = u∙arctan(u) - ∫ (u/(u² + 1))∙du.

Wanneer je werkt met bepaalde integralen, dan moet je bij een substitutie van de variabele van de integrand uiteraard ook nog de grenzen van het interval waarover je integreert aanpassen aan de nieuwe variabele, maar dat is hier niet aan de orde.

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 05:27 schreef Riparius het volgende:

[..]
Uit je vraag proef ik dat je niet precies begrijpt hoe substitutie van een variabele bij integreren werkt. Als je hebt:

Dit is inderdaad zo, dankjewel voor de hulp!

Heren
ik ben op zoek naar een goed boek om meetkunde te oefenen, liefst een die van vooraf aan begint. Daar ben ik naar op zoek om mijn kans op slagen bij Euclidische meetkunde volgend jaar te vergroten.
Iemand aanraders?

Ik heb weer een vraagje over chaos!

Bij de bifurcatiediagram van de logistieke vergelijking:



wordt er gezegd dat de zwarte punten evenwichtsstanden zijn of punten waarbij een periodieke orbit is. Ik snap dat bij r<3 het de evenwichtspunten voorstelt, en dat bij voor 3<r<3,5 (ongeveer) het de periodieke schommelingen zijn, maar in het chaos gedeelte verlies ik het. Zijn het dan nog steeds periodieke schommelingen, of stellen al die stipjes gewoon de mogelijke waarden voor?

samengevat; wat stellen alle stipjes in de chaos regio van de bifurcatiediagram voor?

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 03:26 schreef jabbahabba het volgende:
[..]

Waarom is dit ?

Laten we ze even nalopen voor de aardigheid.

In het geval van (ax²+bx+c)/(dx²+ex+f) of elke variant daarop waarbij de teller van hogere machtsgraad is dan de noemer kan je dmv polynoomstaartdeling de breuk zover uitdelen, dat je iig op zn minst een constante a/e plus een breuk in vorm van (gx+h)/(dx²+ex+f) over zult houden.

In het geval van (kx+m)/(nx²+px+q) kan je de afgeleide van de noemer maal een factor in de teller krijgen door bij de laatste een geschikte extra constante term toe te voegen. Concreter gezegd, (kx+m)/(nx²+px+q) is dan te schrijven als (s2nx+sp±t)/(nx²+px+q) oftewel s(2nx+p)/(nx²+px+q) ± t/(nx²+px+q), waarvan de linkerbreuk volgens de regel
∫s(2nx+p)/(nx²+px+q) dx = s∫(2nx+p)/(nx²+px+q) dx = s*ln|nx²+px+q| te integreren is. Immers ∫ f '(x)/f(x) dx = ln|f(x)|

Blijft over de t/(nx²+px+q) uit het vorige voorbeeld, en dan is het een kwestie van kijken of de noemer nulpunten heeft.

-In het geval van 2 nulpunten is t/(nx²+px+q) te schrijven als t/w(x+α)(x+β) en dien je breuksplitsen toe te passen.
-In het geval van 1 nulpunt is t/(nx²+px+q) te schrijven als t/z(x+ε)² en komt de machtsregel van het differentiëren om de hoek kijken. In dit geval dus d(-t/z(x+ε))/dx = t/z(x+ε)² .
-In het geval van geen nulpunten moet je omzien naar de arctangens-formule voor het integreren van uitdrukkingen in de vorm van 1/(ax²+bx+c). De functie is dan net als de afgeleide van arctanx oftewel 1/(x²+1) nl. gedefinieerd voor elke x in ℜ

[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 06-01-2013 22:37:35 ]

Hoe bereken je de integraal van x*3^(x^2) ?
Ik dacht ik pak het zo aan:
U = x^2 /2
DU = x dx
dan hou je 3^(2u) du over.

Dan hou je volgens http://www.numberempire.com/integralcalculator.php:
3^u/(2*ln(u)) over, maar ik snap niet hoe het nou werkt met die 2.

wolfram zegt trouwens iets anders die geeft:
9^u / ln(9)

[ Bericht 75% gewijzigd door jabbahabba op 07-01-2013 02:03:59 ]

quote:

Op maandag 7 januari 2013 01:34 schreef MouzurX het volgende:
Hoe bereken je de integraal van x*3^(x^2) ?
Ik dacht ik pak het zo aan:
u = x^2 /2
du = x dx
dan hou je 3^(2u) du over.

Dan hou je volgens http://www.numberempire.com/integralcalculator.php:
3^u/(2*ln(u)) over, maar ik snap niet hoe het nou werkt met die 2.

Nee. De site je geeft levert dan

3^(2*u)/(2*ln(3))

als primitieve. Gebruik trouwens niet de kreet overhouden, want dan lijkt het net of je alleen een uitdrukking hebt herleid.

quote:

Wolfram zegt trouwens iets anders die geeft:
9^u / ln(9)

Dit is niet iets anders maar precies hetzelfde. Je hebt namelijk 3^2u = (3²)^u = 9^u en 2∙ln(3) = ln(3²) = ln(9).

Het is het handigst om 3^x² = e^x²∙ln(3) meteen om te zetten naar een eenvoudige e-macht door

u = x²∙ln(3)

te substitueren, zodat

du/dx = 2x∙ln(3)

en dus

x∙dx = (2∙ln(3))^-1∙du

zodat we krijgen:

∫ x∙3^x²∙dx = (2∙ln(3))^-1∙∫ e^u∙du = (2∙ln(3))^-1∙e^u + C = (2∙ln(3))^-1∙3^x² + C

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-01-2013 13:45:25 ]

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 23:15 schreef thenxero het volgende:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html

Die heb ik, en ga ik gebruiken. Ben meer op zoek naar een lesboek, wat opgaven, enzovoorts. Internet mag ook.

quote:

Op maandag 7 januari 2013 15:48 schreef Quir het volgende:

[..]

Die heb ik, en ga ik gebruiken. Ben meer op zoek naar een lesboek, wat opgaven, enzovoorts. Internet mag ook.

Neem eens een kijkje op de site van het Nederlands Schoolmuseum. Daar vind je erg veel (oude) Nederlandse schoolboeken (met veel opgaven) over vlakke meetkunde, uit de tijd dat dit nog echt een apart vak was.

Engelstalige (oude) schoolboeken over vlakke meetkunde zijn er natuurlijk ook te kust en te keur. Zoek daarvoor eens op archive.org.

Voor wat meer gevorderde boeken over Euclidische meetkunde kan ik je deze titels aanbevelen:

Coxeter, Geometry Revisited
Coxeter, Introduction to Geometry
Bottema, Hoofdstukken uit de elementaire meetkunde
Johnson, Advanced Euclidean Geometry
Altshiller-Court, College Geometry

[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 07-01-2013 17:42:42 ]

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^2sin(x)

klopt? Komt voort uit uitwerking op van een tentamen:

C'(x) * e ^{- sin(x)} = e^sin(x)

de algemene regel is: a^p / a^q = a^{p - q}

Want als ik met deze regel kijkt klopt 't niet right.

quote:

Op maandag 7 januari 2013 18:09 schreef GoodGawd het volgende:
e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^2sin(x)

klopt? Komt voort uit uitwerking op van een tentamen:

C'(x) * e ^{- sin(x)} = e^sin(x)

de algemene regel is: a^p / a^q = a^{p - q}

Want als ik met deze regel kijkt klopt 't niet right.

Wat is je vraag nu? Je eerste regel klopt gewoon.

quote:

Op maandag 7 januari 2013 18:09 schreef GoodGawd het volgende:
e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^2sin(x)

klopt? Komt voort uit uitwerking op van een tentamen:

C'(x) * e ^{- sin(x)} = e^sin(x)

de algemene regel is: a^p / a^q = a^{p - q}

Want als ik met deze regel kijkt klopt 't niet right.

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^{sin(x)- -sin(x)} = e^{sin(x)+sin(x)} = e^2sin(x)
bedoel je dit?

quote:

Op maandag 7 januari 2013 19:30 schreef Unsub het volgende:

[..]

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^{sin(x)- -sin(x)} = e^{sin(x)+sin(x)} = e^2sin(x)
bedoel je dit?

Jou moest ik nog even hebben. Vanuit school wordt mij gevraagd of ik zin heb om naar een meeloopdag bij de TU/e te gaan. Dan loop je 1 dag met een eerstejaars mee. Ik moest direct aan jou denken. Kan dat met jou?

quote:

Op maandag 7 januari 2013 19:35 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Jou moest ik nog even hebben. Vanuit school wordt mij gevraagd of ik zin heb om naar een meeloopdag bij de TU/e te gaan. Dan loop je 1 dag met een eerstejaars mee. Ik moest direct aan jou denken. Kan dat met jou?

Haha, dat kan zeker met mij, maar normaal worden meelopers willekeurig verdeeld over de meeloopstudenten. Dit is op zich niet zo erg, omdat je bij een meeloopdag toch (bijna) alle actieve studenten wel ziet/spreekt.
Je kan misschien wel bij je aanmelding wel vermelden dat je een voorkeur hebt voor een meeloopstudent?

quote:

Op maandag 7 januari 2013 19:30 schreef Unsub het volgende:

[..]

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^{sin(x)- -sin(x)} = e^{sin(x)+sin(x)} = e^2sin(x)
bedoel je dit?

Ja, ik had gewoon weer een hersen storing. Merci.