[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 5 december 2012 18:16 schreef Riparius het volgende:
∂P/∂a = -(1/5)∙(a - 20)∙p

Bedankt! Deze vereenvoudiging zag ik niet zo snel en daar liep het dus klem.

Zij uniform continu. Toon aan dat begrensd is.
Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen dat en bestaan en zo een continue functie kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee?

Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past).

quote:

Op donderdag 6 december 2012 20:12 schreef JWF het volgende:
Zij uniform continu. Toon aan dat begrensd is.
Kun je dit op een makkelijke manier bewijzen? Medestudenten en ik hadden bedacht dat je kunt aantonen dat en bestaan en zo een continue functie kunt 'construeren': er is dan een stelling in het dictaat die zegt dat die functie (continu op een gesloten interval) begrensd is. We weten echter niet of dit correct is en het is behoorlijk lang en omslachtig. Heeft iemand een beter idee?

Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n₀ > 1 zodanig dat 1/n₀ < δ (i.e. n₀ > 1/δ) en definieer x_i = i/n₀ voor i ∈ {1,...,n₀-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(| f(x_i) |, 1 ≤ i ≤ n₀-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n₀-1} zodanig dat | x - x_i | < δ en dus | f(x) - f(x_i) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(x_i)) + f(x_i) | ≤ | f(x) - f(x_i) | + | f(x_i) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-12-2012 19:21:37 ]

[ Bericht 100% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 12:57:24 ]

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 12:47 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ja, wat je zegt klopt. Je kunt het ook bewijzen voor continue functies.

wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 12:55 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

wat, dat f(x)=1/x begrensd is op (0,1)?

Sorry, ik hield het door elkaar met het continue uitbreiden van reële functies op compacte domeinen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 07-12-2012 13:51:13 ]

quote:

Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n₀ > 1 zodanig dat 1/n₀ < δ (i.e. n₀ > 1/δ) en definieer x_i = i/n₀ voor i ∈ {1,...,n₀-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(x_i)|, 1 ≤ i ≤ n₀-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n₀-1} zodanig dat | x - x_i | < δ en dus | f(x) - f(x_i) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(x_i)) + f(x_i) | ≤ | f(x) - f(x_i) | + | f(x_i) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

quote:

Op donderdag 6 december 2012 20:22 schreef GlowMouse het volgende:
Het kan veel simpeler. Pak uit de defintie op http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity een willekeurige epsilon>0, dan komt daar een delta uitrollen. Kijk dan eens naar 1/delta (1/delta is interessant omdat delta minder dan 1/delta keer in het interval (0,1) past).

Dit idee laat ook mooi zien wat uniforme continuiteit betekent: waar je die delta intervalletjes ook plaatst, je hebt altijd een fluctuatie van hoogstens epsilon.

Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips?

x : -6/8 = -14/35

-45/18 - 18/6 = x

quote:

Op donderdag 6 december 2012 21:05 schreef Riparius het volgende:
Kies ε = 1. Aangezien f uniform continu is op (0,1) bestaat er dan een δ > 0 zodanig dat | f(x) - f(y) | < ε = 1 voor elke x,y ∈ (0,1) met | x - y | < δ. Kies nu een positief geheel getal n0 > 1 zodanig dat 1/n0 < δ (i.e. n0 > 1/δ) en definieer xi = i/n0 voor i ∈ {1,...,n0-1}. Zij verder M een getal zodanig dat max(|(f(xi)|, 1 ≤ i ≤ n0-1) < M - 1. Dan bestaat er voor elke x ∈ (0,1) een i ∈ {1,...,n0-1} zodanig dat | x - xi | < δ en dus | f(x) - f(xi) | < 1 zodat | f(x) | = | (f(x) - f(xi)) + f(xi) | ≤ | f(x) - f(xi) | + | f(xi) | < 1 + (M - 1) = M, QED.

Dankjewel, heel helder. Ik zou dit zelf niet zomaar bedenken, maar ik heb wel het gevoel nu beter te begrijpen wat uniforme continuïteit inhoudt.

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 18:21 schreef Maryn. het volgende:
Ok, geen wiskunde dit maar hoe los los ik dit het handigst op uit 't hoofd? Iemand tips?

x : -6/8 = -14/35

Beide leden vermenigvuldigen met -6/8 = -3/4 en je hebt x = -3/4 ∙ -14/35 = 3/4 ∙ 2/7 = 6/28 = 3/14.

quote:

-45/18 - 18/6 = x

Breuken vereenvoudigen, x = -45/18 - 18/6 = -5/2 - 6/2 = -11/2.

"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen.

Iemand die ziet waarom dit zo is?

quote:

Op zaterdag 8 december 2012 17:31 schreef yarnamc het volgende:
"een uniform convergente reeks van exponentiële of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continue functie (waarom?)". Dit staat er, in verband met de uniforme convergentie van Fourierreeksen.

Iemand die ziet waarom dit zo is?

Het klassieke ε/3 trucje. Het bewijs staat vast wel ergens in de een of andere vorm in je leerboek, en anders moet je maar even hier kijken.

Stel je hebt een polynoom met p is priem en zodat . Hoeveel oplossingen heeft f=0?

Komt een lastige. Ik ben bezig met de orthografische cilinderprojectie (van Johann Heinrich Lambert), nu wordt er gesteld dat dit een equivalente projectie is. Maar waaruit volgt dit precies? Stel dat ik de vraag krijg om dit uit te leggen, hoe zou ik dat dan in Godsnaam moeten beantwoorden?

Dit is de betreffende kaart.

Al gekeken op http://nl.wikipedia.org/wiki/Orthografische_cilinderprojectie?

Het volgt direct uit de formules.

quote:

Op maandag 10 december 2012 02:03 schreef Dale. het volgende:
Al gekeken op http://nl.wikipedia.org/wiki/Orthografische_cilinderprojectie?

Het volgt direct uit de formules.

Ja, maar ik zie even niet hoe. De formules afleiden (peanuts) ook al gedaan.

Uhmmm de eerste alinea?

quote:

Die ontstaat door de aardbol af te beelden op een cilinder vanuit een punt op de omwentelingsas van de bol, zodanig dat de projectielijn loodrecht op de as staat.

quote:

Op maandag 10 december 2012 12:36 schreef Dale. het volgende:
Uhmmm de eerste alinea?

[..]

[ afbeelding ]

Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter?

Komt er nog een (wat eenvoudigere) meetkundige vraag bij.

Wanneer men dit document opent:

http://mail.vssd.nl/hlf/a028h02oud.pdf

Dan wordt op pagina 25 en 26 het bewijs dat een stereografische projectie conform is behandeld. Nu snap ik de hele godganse redenatie, op een puntje na. Bovenaan pagina 26 staat:

Angle(WRP) = Angle(WRA) = 90 graden

Waaruit volgt dit exact? Waarom is dit zo?

Angle(WRP) is me inmiddels duidelijk. Mag ik zeggen doordat de snijlijn van het raakvlaak aan P met het grondvlak NA snijdt in R, dat die snijlijn loodrecht op NA staat?

Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had? Ik wou ze net gaan oplossen maar kan ze vreemd genoeg niet meer terugvinden.

@Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn.

quote:

Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:
Waar staan die integralen van Riparius die hij een tijdje geleden ergens gepost had?

Hier.

quote:

Op maandag 10 december 2012 16:28 schreef thenxero het volgende:

@Amoeba: ik heb geen verstand van projecties, maar je hebt er steeds over dat die orthografische cilinderprojectie equivalent moet zijn. Maar je zegt niet waarmee die dan equivalent moet zijn.

Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar.

quote:

Op maandag 10 december 2012 17:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Equivalentie is hier een term voor oppervlaktegetrouwheid. Dat betekent dus dat het product van de schaalfactoren van de kaartprojectie in horizontale en in verticale richting in elk punt op de kaart constant moet zijn. Bij hoekgetrouwheid oftewel conformiteit moet daarentegen de verhouding van de schaalfactoren in verticale en horizontale richting voor elk punt op de kaart gelijk zijn aan één. Bij afbeelding van een bolvormig oppervlak op een plat vlak zijn equivalentie en conformiteit onverenigbaar.

De methode door te bewijzen (meetkundig) dat de hoek die 2 raaklijnen aan een bol maken equivalent is aan de hoek die de projecties van die lijnen met elkaar maken, is dat ook een sluitend bewijs? Immers, de hoek die 2 krommen maken is gelijk aan de hoek die hun raaklijnen maken.

quote:

Op maandag 10 december 2012 14:26 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik snap wat je hiermee bedoelt. Dit is hoe de projectie tot stand komt. Nu wil ik graag weten waarom de projectie equivalent is, en niet omdat 'dit toevallig zo is', nee, wat is de redenatie hierachter?

Bij een conforme projectie zoals de Mercatorprojectie zijn op ieder punt op de kaart de schaalfactoren in horizontale en in verticale richting gelijk. Omdat we willen dat de meridianen als verticale evenwijdige lijnen worden afgebeeld is de schaalfactor voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ in horizontale richting dus 1/cos φ = sec φ maal de schaalfactor voor de evenaar, omdat een breedtecirkel op noorderbreedte of zuiderbreedte φ slechts een omtrek heeft van cos φ maal de omtrek van de evenaar.

Maar, vanwege de conformiteitseis moet de dan schaling in verticale richting voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ ook sec φ maal de schaling voor de evenaar bedragen, en dus wordt de oppervlakte voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ dan op de kaart geschaald met een factor sec²φ ten opzichte van de schaling van de oppervlakte op de kaartprojectie bij de evenaar.

Dus, om een voorbeeld te geven, op 60 graden noorderbreedte wordt de oppervlakte dan al opgeschaald met een factor sec²(π/3) = 4 ten opzichte van de schaling van een gebiedje op de evenaar.

Willen we nu echter een kaartprojectie waarbij de meridianen nog steeds als evenwijdige verticale lijnen worden afgebeeld maar die wel oppervlaktegetrouw is, dan hebben we voor een punt op noorderbreedte of zuiderbreedte φ nog steeds te maken met een horizontale schaling met dezelfde factor 1/cos φ = sec φ ten opzichte van de (horizontale) schaling van de evenaar, maar dan moeten we bij de verticale schaling gaan compenseren door te schalen met een factor cos φ, zodat het product van de horizontale en de verticale schalingen voor elk punt op de kaart, en daarmee dus de oppervlakteschaling constant blijft over de gehele kaart. En als je hebt:

dy/dφ = s₀∙R∙cos φ

waarbij s₀ de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, en R de straal is van de aarde, dan volgt door primitiveren dus dat we moeten hebben:

y = s₀∙R∙sin φ

aangezien ook moet gelden y = 0 voor φ = 0. Begrijp je dit?