[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Een vraag over getaltheorie. De opgave is: bereken de 70e decimaal van ¹/₁₄₁. Ik weet dat breuken een periodieke decimaalontwikkeling hebben, dus ik begon met het berekenen van de minimale periode (oftewel de orde van 10 modulo 141). Die moet een deler zijn van het aantal inverteerbare restklassen modulo 141, dus die heb ik berekend.

Dit is te berekenen met de Euler totiënt-functie, die multiplicatief is, dus ik heb gedaan: ϕ(141) = ϕ(3)ϕ(47). Dit zijn beide priemgetallen, en voor priemmachten geldt ϕ(p^k) = p^k - p^k-1, dus ϕ(141) = 2 * 46 = 92. Dus ord₁₄₁(100)|141.
Dus ik bereken achtereenvolgend: 10², 10⁴, 10²³, 10⁴⁶, en jawel 10⁴⁶ = 1 (mod 141). Dus de periode van ¹/₁₄₁ is 46.

Nou moet ik het 70e decimaal berekenen. Nu komt dat dus overeen met het 24e decimaal, maar dan moet ik alsnog 24 decimalen berekenen, ik weet niet of dat de bedoeling is. Weet iemand een betere manier? (Misschien ook in het voorgaande, dat was ook allemaal nog wat omslachtig en een beetje gevoelig voor rekenfouten)

quote:

Op dinsdag 9 oktober 2012 22:16 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Je vergeet te noemen dat x geen 0 mag zijn en dat H in echelonvorm moet staan.
Door ero's veranderen de kolomvectoren inderdaad, maar lineaire afhankelijkheden tussen de kolommen veranderen niet. Dat zie je zelf ook al omdat je dezelfde x gebruikt.

Sorry maar ik zie dit dus niet ( dat de lineaire afhankelijkheiden tussen de kolommen niet veranderen). Zou je dit uit kunnen leggen?

quote:

Op woensdag 10 oktober 2012 13:48 schreef kutkloon7 het volgende:
Een vraag over getaltheorie. De opgave is: bereken de 70e decimaal van ¹/₁₄₁. Ik weet dat breuken een periodieke decimaalontwikkeling hebben, dus ik begon met het berekenen van de minimale periode (oftewel de orde van 10 modulo 141). Die moet een deler zijn van het aantal inverteerbare restklassen modulo 141, dus die heb ik berekend.

Dit is te berekenen met de Euler totiënt-functie, die multiplicatief is, dus ik heb gedaan: ϕ(141) = ϕ(3)ϕ(47). Dit zijn beide priemgetallen, en voor priemmachten geldt ϕ(p^k) = p^k - p^k-1, dus ϕ(141) = 2 * 46 = 92. Dus ord₁₄₁(100)|141.
Dus ik bereken achtereenvolgend: 10², 10⁴, 10²³, 10⁴⁶, en jawel 10⁴⁶ = 1 (mod 141). Dus de periode van ¹/₁₄₁ is 46.

Nou moet ik het 70e decimaal berekenen. Nu komt dat dus overeen met het 24e decimaal, maar dan moet ik alsnog 24 decimalen berekenen, ik weet niet of dat de bedoeling is. Weet iemand een betere manier? (Misschien ook in het voorgaande, dat was ook allemaal nog wat omslachtig en een beetje gevoelig voor rekenfouten)

Ik betwijfel of er manieren zijn die heel veel beter zijn dan dit. Waar komt de opgave vandaan?

quote:

Op woensdag 10 oktober 2012 16:04 schreef flopsies het volgende:

[..]

Sorry maar ik zie dit dus niet ( dat de lineaire afhankelijkheiden tussen de kolommen niet veranderen). Zou je dit uit kunnen leggen?

probeer het eens uit met een 2x2 matrix, en schrijf de tweede kolom als een constante maal de eerste kolom.

quote:

Op woensdag 10 oktober 2012 16:14 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik betwijfel of er manieren zijn die heel veel beter zijn dan dit. Waar komt de opgave vandaan?

Uit een oud tentamen getaltheorie, opgave 2d.

En ik zie nu ook dat de vraag erboven is:

quote:

Wat is het kleinste getal a zodat:
10⁷⁰ = a (mod 141)
Ik had de vraag even los opgeschreven, daarom had ik b niet gezien...

Nu wordt het opeens een stuk makkelijker

Dus, nu heb je 10⁷⁰ = 37 (mod 141). Maar we willen eigenlijk 10⁶⁹ (mod 141) weten. 10⁶⁹ = 46 (mod 141). Dus dan hebben we voor het 70e decimaal:
⁴⁶⁰/₁₄₁ = 3 + rest
Dus, het 70e decimaal (of is het nou de decimaal?) is 3. Dat klopt met wat wolfram alpha zegt (al moet je daar om de 68e vragen omdat ie de eerste 2 nullen niet meetelt).

(Ik ga er bij deze uitleg vanuit dat de lezer weet hoe je een breuk in decimale vorm kan zetten)

[ Bericht 10% gewijzigd door kutkloon7 op 11-10-2012 00:10:55 ]

Volgende probleem:

"Let f be a function from A to B, let S be a subset of B, then
.

Prove the following: let G be a collection of subsets
of B, such that this collection is a sigma-algebra. Prove that the collection
of inverse images of elements of G is a sigma-algebra of subsets of A."

Ik zou echt niet weten hoe ik dit moet aanpakken, iemand een tip hoe ik kan starten?

quote:

Op donderdag 11 oktober 2012 17:12 schreef dynamiet het volgende:
Volgende probleem:

"Let f be a function from A to B, let S be a subset of B, then
.

Prove the following: let G be a collection of subsets
of B, such that this collection is a sigma-algebra. Prove that the collection
of inverse images of elements of G is a sigma-algebra of subsets of A."

Ik zou echt niet weten hoe ik dit moet aanpakken, iemand een tip hoe ik kan starten?

- Wat is het inversebeeld van de lege verzameling?
- Je moet checken (of weten) dat f^-1 verenigingen en complementen "respecteert" (d.w.z. je mag ze omwisselen).

Ik loop vast bij de volgende vergelijking

(Dus Integraal(a,0) f(x) dx = f(a) )
Met tevens extra gegeven x=/=0
Hierbij moet a<0
Onbepaalde integraal van f(x) is -e^1/x, dus levert dit up
-e^1/0 - -e^1/a = f(a)
Maar -e^1/0 bestaat niet, of mag ik hier de (linker)limiet nemen (want je gaat vanuit a naar nul, dus vanuit links)

Schrijf de integraal om naar een stieltjesintegraal met (1/x) als maat.
∫ e^1/x/x² =
∫ (e^1/x) * 1/x² =
∫e^1/x d(-1/x) (want een primitieve van 1/x² = -1/x)
= ∫ e^-1/x d(1/x)
= F(x) = -e^-1/x

Als x van boven nadert naar 0, dan nadert -1/x naar -∞, en nadert -e^-1/x naar 0. Maar omdat 0 nu hier lim^sup is moet je ipv [F(x)]⁰_a nu -[F(x)]^a₀ nemen, want dan kan je bovenstaande toepassen voor het evalueren van de limiet van x naar -∞ voor e^x.

Dan blijft alleen lim^sup over om te evalueren en dat is een kwestie van botweg a invullen

[ Bericht 10% gewijzigd door VanishedEntity op 14-10-2012 16:21:49 ]

Die Stieltjes integraal is gewoon een fancy manier om de substitutie y=1/x te doen, toch? Ik zou niet veronderstellen dat de vraagsteller maattheorie gehad heeft.

Dat hoeft ook niet (direct) want je mag er wel vanuit gaan dat Fsmxi de substitutietechiniek in 1 of andere vorm gehad heeft als hij dit soort integralen voor zn kiezen krijgt. De Stieltjesnotatie gebruik ik vooral omdat deze meer overzicht geeft bij het uitwerken van integralen die directe substitutie en/of partiële integratie behoeven.

quote:

Op zondag 14 oktober 2012 19:26 schreef VanishedEntity het volgende:
Dat hoeft ook niet (direct) want je mag er wel vanuit gaan dat Fsmxi de substitutietechiniek in 1 of andere vorm gehad heeft als hij dit soort integralen voor zn kiezen krijgt. De Stieltjesnotatie gebruik ik vooral omdat deze meer overzicht geeft bij het uitwerken van integralen die directe substitutie en/of partiële integratie behoeven.

Ik wou hem er alleen op attenderen.

Hoi,

Ik zoek de partiële afgeleide van de volgende 2 functies waarbij A variabel is en B constant:

1
g(A,B) = (A-B)e^{a – b}

Zelf denk ik dat het dit is:

(1-B) * e^{a – b} + e^{a – b} *-B * (A-B)

2
h(A,B) = ln(A+B) /(3A+3B)

Zelf denk ik dat het dit is:

1/A + B * (3A+3B) – 3 * ln(A+B) / (3A+3B)²

Zoals jullie vast wel zien maak ik gebruik van de product- en quotientregel!

Is dit juist?

1.) G(a,b) = (a-b)*e^a-b

δG/δa = e^a-b + (a-b)*e^a-b (de afgeleide van a naar a = 1)

vergelijk (x*e^x)' = e^x + x*e^x = (1+x)*e^x

2.) H(a,b) = ln(a+b)/(3a+3b) = ln(a+b)/3(a+b) = 1/3 * ln(a+b)/(a+b)

δH/δa = 1/3 * (1 - ln(a+b))/(a+b)² = (1 - ln(a+b))/3(a+b)² =

1 - ln(a+b)
-----------------------
3(a+b)²

vergelijk (x^-1*lnx)' = (1-lnx)/x²

[ Bericht 4% gewijzigd door VanishedEntity op 14-10-2012 21:38:25 ]

Dus als ik het goed begrijp:

1

De afgeleide van e^a-b = e^a-b
De afgeleide van (a-b) = 1 en hoeft dus niet genoteerd te worden

2

Met betrekking tot de 2e kan ik je niet volgen.
Zo denk ik:

F(A,B) = ln(A+B)
F(A,B)´ = 1/ (a+b)
G(A,B) = 3A+3B
G(A,B)´ = 3

Nee, goed kijken. Jij zoekt de partiële afgeleiden van de volgende 2 functies waarbij a variabel is en b constant. Anders gezegd; van de volgende 2 functies hoeft alleen de afgeleide naar a bepaald te worden. Vandaar dat ik niet de notatie dG(a)/da maar δG/δa gebruikt heb.

Als we dus de functie (a-b)*e^a-b hebben en we moeten de afgeleide naar a bepalen, dan moeten we a als variabele beschouwen en b constant houden, oftewel alles waar een a in zit moet gedifferentieerd worden. Voor vraag 1 betekent dat zowel de productregel als de kettingregel gebruiken.
Dat houdt concreet in dat (a-b)*e^a-b = (a-b)' *e^a-b + (a-b)*(e^a-b)' , en omdat de afgeleide van (a-b) naar a dus 1 is, reduceert dit tot e^a-b + (a-b)*e^a-b oftewel (1+a-b)*e^a-b

Voor vraag 2 schijn je het stukje elementaire algebra dat ik op de noemer heb toegepast gemist te hebben.
Van ln(a+b)/(3a+3b) maak ik vervolgens ln(a+b)/(3(a+b)) om daarna op 1/3 * ln(a+b)/(a+b) uit te komen, zodat ik voor het differentieren naar a niet meer met die 3 hoef te rekenen. Die voeg ik dan later weer in de noemer zodra ik klaar ben met het toepassen van de quotiëntregel. Dit geeft:

(ln(a+b))' *(a+b) - (a+b)' *ln(a+b)
------------------------------------------------
3(a+b)(a+b)

=

(1/(a+b))*(a+b) - 1*ln(a+b)
-----------------------------------------
3*(a+b)²

=

1 - ln(a+b)
-----------------------------------------
3*(a+b)²

[ Bericht 1% gewijzigd door VanishedEntity op 15-10-2012 16:32:40 ]

En wanneer we de afgeleide naar b willen (wordt niet gevraagd) verandert er in principe niets?

quote:

Op maandag 15 oktober 2012 12:42 schreef BankzakenExpert het volgende:
En wanneer we de afgeleide naar b willen (wordt niet gevraagd) verandert er in principe niets?

Ja, toch wel, want je functie G(a,b) = (a-b)∙e^a-b is niet symmetrisch in a en b zodat je ∂G/∂b niet kunt verkrijgen door a en b om te wisselen in de uitdrukking voor ∂G/∂a.

Mwoah, zoveel verandert er ook weer niet hoor. Het enige waar je extra rekening mee moet houden is de extra factor -1 die voortvloeit uit d(-b)/db = -1*db/db= -1 waardoor de factor (1+a-b) in δG/δb in teken omklapt. Dat speelt bij δH/δb geen rol omdat daar zowel a als b positief zijn.

Kan iemand me helpen met een beetje notatie? Uit een opgave:
"...gebruik het isomorfisme tussen A₅ en Isom₊(D)..."

Wat houdt deze laatste groep in?

Er staat verder geen context bij. Ik dacht zelf aan de dihedrale groep, maar dan zou er eigenlijk een getal bij moeten staan om aan te geven welke dihedrale groep er bedoeld wordt, en volgens mij is geen dihedrale groep isomorf met A₅ (waarmee overigens de alternerende groep bedoeld wordt, de symmetriegroep met alle even permutaties).

Ik moet x^2 + 3xy + y^2 = 5 impliciet gaan differentieren.
Ik twijfel echter tussen 2 antwoorden.
Namelijk: 2x +3 y + 3xy' + 2y' = 0
of 2x + 3y +3xy' + 2yy' =0

quote:

Op dinsdag 16 oktober 2012 14:34 schreef knight18 het volgende:
Ik moet x^2 + 3xy + y^2 = 5 impliciet gaan differentieren.

Dan moet je er wel bij vertellen welke variabele je als onafhankelijke variabele wil beschouwen.

quote:

Ik twijfel echter tussen 2 antwoorden.
Namelijk: 2x +3 y + 3xy' + 2y' = 0
of 2x + 3y +3xy' + 2yy' =0

Je beschouwt kennelijk y als functie van x. Bij het bepalen van de afgeleide van 3xy = 3x∙y(x) naar x pas je (correct) de productregel toe. Maar dan moet je dat ook doen bij y² = y(x)∙y(x). Wat krijg je dan?

quote:

Op dinsdag 16 oktober 2012 15:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dan moet je er wel bij vertellen welke variabele je als onafhankelijke variabele wil beschouwen.

[..]

Je beschouwt kennelijk y als functie van x. Bij het bepalen van de afgeleide van 3xy = 3x∙y(x) naar x pas je (correct) de productregel toe. Maar dan moet je dat ook doen bij y² = y(x)∙y(x). Wat krijg je dan?

In de opgave staat er : bepaal de eerste afgeleide van y (y') in het punt (1,1) door impliciet differetieren van x^2 + 3xy + y^2 = 5

quote:

Op dinsdag 16 oktober 2012 15:38 schreef knight18 het volgende:

[..]

In de opgave staat er : bepaal de eerste afgeleide van y (y') in het punt (1,1) door impliciet differentiëren van x² + 3xy + y² = 5

Dat is toch geen probleem? Impliciet differentiëren naar x geeft:

2x + 3y +3xy' + 2yy' = 0

Nu x = 1 en y = 1 substitueren en we krijgen:

2 + 3 + 3y' + 2y' = 0

Dus:

y' = -1

Nu kun je desgewenst ook gemakkelijk de vergelijking van de raaklijn aan de curve in het punt (1;1) opstellen.

even een klein vraagje; (x*sqrtx)² = x² * x V x * x?